Sabes que cada par ordenado de números corresponde a un punto específico en plano de coordenadas. Dado que cada solución de una ecuación con dos variables xey es un par ordenado de números, todas sus soluciones se pueden representar mediante puntos en el plano de coordenadas. En estos puntos, la abscisa es el valor de la variable x y la ordenada es el valor correspondiente de la variable y. Por tanto, obtenemos una gráfica de una ecuación con dos variables.
¡Recordar!
La gráfica de una ecuación con dos variables es la imagen en el plano de coordenadas de todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación dada.
Mire las Figuras 64 y 65. Verá una gráfica de la ecuación 0.5 x - y = 2, donde x es un número par de un solo dígito (Figura 64), y una gráfica de la ecuación x 2 + y 2 = 4 (Figura 65). El primer gráfico contiene sólo cuatro puntos porque las variables xey sólo pueden tomar cuatro valores. La segunda gráfica es una recta en el plano coordenado. Contiene muchos puntos, ya que la variable x puede tomar cualquier valor de -2 a 2 y existen muchos números de este tipo. También hay muchos valores correspondientes. Varían de 2 a 2.
La Figura 66 muestra la gráfica de la ecuación x + y = 4. A diferencia de la gráfica de la ecuación x 2 + y 2 = 4 (ver Fig. 65), cada punto de abscisión de esta gráfica corresponde a una sola ordenada. Esto significa que la Figura 66 muestra la gráfica de la función. Convéncete de que la gráfica de la ecuación de la Figura 64 es también la gráfica de una función.
tenga en cuenta
No todas las ecuaciones tienen una gráfica de una función, pero cada gráfica de una función es una gráfica de alguna ecuación.
La ecuación x + y = 4 es una ecuación lineal en dos variables. Habiendo resuelto para y, obtenemos: y = -x + 4. La igualdad resultante puede entenderse como una fórmula que define la función lineal y = -x + 4. La gráfica de dicha función es una línea recta. Entonces, la gráfica de la ecuación lineal x + y = 4, que se muestra en la Figura 66, es una línea recta.
¿Podemos decir que la gráfica de cualquier ecuación lineal en dos variables es una línea recta? No. Por ejemplo, la ecuación lineal 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0 se satisface con cualquier par de números y, por lo tanto, la gráfica de esta ecuación contiene todos los puntos del plano coordenado.
Averigüemos cuál es la gráfica de una ecuación lineal con dos variables ax + bу + c = 0 dependiendo de los valores de los coeficientes a, b y c. Estos casos son posibles.
Sea a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0. Entonces la ecuación ax + by + c = 0 se puede representar como:
Hemos obtenido una igualdad que define la función lineal y(x). Su horario, y por lo tanto el horario. ecuación dada es una línea recta que no pasa por el origen de coordenadas (Fig. 67).
2. Sea a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0. Entonces la ecuación ax + by + c = 0 toma la forma ax + by + 0 = 0, o y = x.
Hemos obtenido la igualdad, que especifica la proporcionalidad directa con y(x). Su gráfica, y por tanto la gráfica de esta ecuación, es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas (Fig. 68).
3. Sea a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0. Entonces la ecuación ax + by + c = 0 toma la forma ax + 0 ∙ y + c = 0, o x = -.
La igualdad recibida no especifica la función y(). Esta igualdad se satisface con pares de números (x; y), en los que x = , y y es cualquier número. En el plano coordenado, estos puntos se encuentran en una línea recta paralela al eje OY. Entonces, la gráfica de esta ecuación es una línea recta paralela al eje de ordenadas (Fig. 69).
4. Sea a ≠ 0, b = 0, c = 0. Entonces la ecuación ax + by + c = 0 toma la forma ax + 0 ∙ y + 0 = 0, o x = 0.
Esta igualdad se satisface con pares de números (x; y), en los que x = 0 e y es cualquier número. En el plano coordenado, estos puntos se encuentran en el eje OY. Entonces, la gráfica de esta ecuación es una línea recta que coincide con el eje de ordenadas.
5. Sea a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠0. Entonces la ecuación ax + bу + c = 0 toma la forma 0 ∙ x + by + c = 0, o y = -. Esta igualdad define una función y(x), que toma los mismos valores para cualquier valor de x, es decir, es constante. Su gráfica, y por tanto la gráfica de esta ecuación, es una recta paralela al eje de abscisas (Fig. 70).
6. Sea a = 0, b ≠ 0, c = 0. Entonces la ecuación ax + by + c = 0 toma la forma 0 ∙ x + by + 0 = 0, o b = 0. Obtuvimos una función constante y( x), en el que cada punto de la gráfica se encuentra en el eje OX. Entonces, la gráfica de esta ecuación es una línea recta que coincide con el eje de abscisas.
7. Sea a = 0, b = 0, c ≠ 0. Entonces la ecuación ax + by + c = 0 toma la forma 0 ∙ x + 0 ∙ y + c = 0, o 0 ∙ x + 0 ∙ b = c . Y tal ecuación lineal no tiene soluciones, por lo que su gráfica no contiene un solo punto en el plano coordenado.
8. Sea a = 0, b = 0, c = 0. Entonces la ecuación ax + by + c = 0 toma la forma 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 = 0, o 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0 Una ecuación lineal de este tipo tiene muchas soluciones, por lo que su gráfica es todo el plano coordenado.
Podemos resumir los resultados obtenidos.
Gráfica de una ecuación lineal con dos variables ax + bу + с = 0:
Es recto si a ≠ 0 o b ≠ 0;
Es el plano completo si a = 0, b = 0 y c = 0;
No contiene un solo punto del plano coordenado si a = 0, b = 0 y c ≠ 0.
Tarea. Grafique la ecuación 2x - y - 3 = 0
Soluciones. La ecuación 2x - y - 3 = 0 es lineal. Por tanto, su gráfica es la recta y = 2x - 3. Para construirla basta con especificar dos puntos pertenecientes a esta recta. Hagamos una tabla de valores de y para dos valores arbitrarios de x, por ejemplo, para x = 0 y x = 2 (Tabla 27).
Tabla 27
En el plano de coordenadas, designamos puntos con coordenadas (0; -3) y (2; 1) y trazamos una línea recta a través de ellos (Fig. 70). Esta línea recta es la gráfica deseada de la ecuación 2x - y - 3 = 0.
¿Es posible identificar la gráfica de una ecuación lineal con dos variables y la gráfica de una ecuación de primer grado con dos variables? No, porque hay ecuaciones lineales que no son ecuaciones de primer grado. Por ejemplo, estas son la ecuación 0 ∙ x + 0 ∙ y + c = 0, 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 = 0.
Tenga en cuenta:
La gráfica de una ecuación lineal en dos variables puede ser una línea recta, todo el plano, o no contener un solo punto en el plano coordenado;
La gráfica de una ecuación de primer grado en dos variables siempre es recta.
Descubra más
1. Sea a ≠ 0. Entonces solución general Las ecuaciones también se pueden presentar de esta forma: X = - y -. Obtuvimos una función lineal x(y). Su gráfica es una línea recta. Para construir un gráfico de este tipo, es necesario combinar los ejes de coordenadas de diferentes maneras: primero eje de coordenadas(variable independiente) considere el eje del amplificador operacional y el segundo (variable dependiente)
Eje BUEY. Entonces es conveniente posicionar el eje OU horizontalmente y el eje OX
Verticalmente (Fig. 72). La gráfica de la ecuación en este caso también se ubicará de manera diferente en el plano de coordenadas dependiendo de las marcas de los coeficientes b y c. Exploralo tu mismo.
2. Nikolai Nikolaevich Bogolyubov (1909-1992): destacado matemático y mecánico nacional, físico teórico, fundador de escuelas científicas de mecánica no lineal y física teórica, académico de la Academia de Ciencias de la República Socialista Soviética de Ucrania (1948) y de la Academia de Ciencias. de la URSS (desde 1953). Nació en Nizhni Nóvgorod imperio ruso. En 1921 la familia se mudó a Kyiv. Después de graduarse de una escuela de siete años, Bogolyubov estudió física y matemáticas de forma independiente y, desde los 14 años, ya participó en un seminario en el Departamento de Física Matemática de la Universidad de Kiev bajo la dirección del académico D. A. Grave. En 1924, a la edad de 15 años, Bogolyubov escribió su primer trabajo científico y al año siguiente fue aceptado por académicos en la escuela de posgrado de la ANURSR. M. Krylov, donde se graduó en 1929, recibiendo el título de Doctor en Ciencias Matemáticas a la edad de 20 años.
En 1929 p. MM. Bogolyubov se convirtió becario de investigación Academia de Ciencias de Ucrania, en 1934 comenzó a enseñar en la Universidad de Kiev (desde 1936 - profesor). Desde finales de los años 40 del siglo XX. Al mismo tiempo trabajó en Rusia. Fue director del Instituto Conjunto de Investigaciones Nucleares y, más tarde, director del Instituto de Matemáticas que lleva su nombre. A. Steklova en Moscú, enseñó en la Universidad de Moscú. universidad estatal lleva el nombre de Mijaíl Lomonósov. En 1966, se convirtió en el primer director del Instituto de Física Teórica de la Academia de Ciencias de Ucrania en Kiev, que él mismo creó, y al mismo tiempo (1963-1988) fue académico y secretario del Departamento de Matemáticas de la Academia de Ciencias de la URSS.
MM. Bogolyubov: dos veces Héroe del Trabajo Socialista (1969,1979), Premio Lenin (1958), Premio Estatal de la URSS (1947,1953,1984), Medalla de Oro. Academia de Ciencias M. V. Lomonosov de la URSS (1985).
El 21 de septiembre de 2009, en la fachada del edificio Rojo de la Universidad Nacional Taras Shevchenko de Kiev, un placa conmemorativa al brillante académico Nikolai Bogolyubov en honor al centenario de su nacimiento.
En 1992, la Academia Nacional de Ciencias de Ucrania fundó el Premio NAS de Ucrania que lleva el nombre de N.M. Bogolyubov, que otorga el Departamento de Matemáticas de la NAS de Ucrania por logros sobresalientes. trabajos científicos en matemáticas y física teórica. El pequeño planeta “22616 Bogolyubov” recibió su nombre en honor al científico.
RECUERDA LO IMPORTANTE
1. ¿Cuál es la gráfica de una ecuación lineal en dos variables?
2. En cualquier caso, la gráfica de una ecuación con dos variables es una recta; ¿avión?
3. ¿En qué caso la gráfica de una ecuación lineal en dos variables pasa por el origen?
RESOLVER PROBLEMAS
1078 . ¿Cuál de las Figuras 73 y 74 muestra la gráfica de una ecuación lineal en dos variables? Explica tu respuesta.
1079 . ¿A qué valores de los coeficientes a, byc se encuentra la recta ax + bу + c = 0?
1) pasa por el origen;
2) paralelo al eje x;
3) paralelo al eje de ordenadas;
4) coincide con el eje de abscisas;
5) coincide con el eje de ordenadas?
1080 . Sin realizar construcción, determine si el punto pertenece a la gráfica de una ecuación lineal con dos variables 6x - 2y + 1 = 0:
1)A(-1;2,5); 2)B(0;3,5); 3) C(-2; 5,5); 4)D(1,5;5).
1081 . Sin realizar construcción, determine si el punto pertenece a la gráfica de una ecuación lineal con dos variables 3x + 3y - 5 = 0:
1) A (-1; ); 2) B (0; 1).
1082
1) 2x + y - 4 = 0 si x = 0; 3) 3x + 3y - 1 = 0 si x = 2;
2) 4x - 2y + 5 = 0, si x = 0; 4) -5x - y + 6 = 0 si x = 2.
1083 . Para una ecuación lineal dada en dos variables, encuentre el valor de y correspondiente a valor establecido INCÓGNITA:
1)3x - y + 2 = 0 si x = 0; 2) 6x - 5y - 7 = 0 si x = 2.
1084
1) 2x + y - 4 = 0; 4) -x + 2y + 8 = 0; 7) 5x - 10 = 0;
2) 6x - 2y + 12 = 0; 5)-x - 2y + 4 = 0; 8)-2у + 4 = 0;
3) 5x - 10y = 0; 6)x - y = 0; 9) x - y = 0.
1085 . Grafique una ecuación lineal con dos variables:
1) 4x + y - 3 = 0; 4) 10x - 5y - 1 = 0;
2) 9x - 3y + 12 = 0; 5) 2x + 6 = 0;
3) -4x - 8y = 0; 6) y - 3 = 0.
1086 . Encuentra las coordenadas del punto de intersección de la gráfica de una ecuación lineal con dos variables 2x - 3y - 18 = 0 con el eje:
1) ejes; 2) ejes.
1087 . Encuentra las coordenadas del punto de intersección de la gráfica de una ecuación lineal con dos variables 5x + 4y - 20 = 0 con el eje:
1) ejes; 2) ejes.
1088 . Sobre la recta, que es la gráfica de la ecuación 0,5 x + 2y - 4 = 0, se indica un punto. Encuentra la ordenada de este punto si su abscisa es:
5) 4(x - y) = 4 - 4y;
6) 7x - 2y = 2(1 + 3,5 x).
1094 . La gráfica de una ecuación lineal en dos variables pasa por el punto A(3; -2). Encuentra el coeficiente desconocido de la ecuación:
1) hacha + 3y - 3 = 0;
2) 2x - por + 8 = 0;
3)-x + 3y - c = 0.
1095 . Determina el tipo de cuadrilátero cuyos vértices son los puntos de intersección de las gráficas de las ecuaciones:
x - y + 4 = 0, x - y - 4 = 0, -x - y + 4 = 0, -x - y - 4 = 0
1096 . Traza la ecuación:
1) a - 4b + 1 = 0; 3) 3a + 0 ∙ segundo - 12 = 0;
2) 0 ∙ a + 2b + 6 = 0; 4) 0 ∙ a + 0 ∙ b + 5 = 0.
PONLO EN PRÁCTICA
1097 . Cree una ecuación lineal con dos variables basándose en los siguientes datos: 1) 3 kg de dulces y 2 kg de galletas cuestan 120 UAH; 2) 2 bolígrafos cuestan 20 grivnas más que 5 lápices. Traza una gráfica de tu ecuación.
1098 . Construya una gráfica de la ecuación del problema sobre: 1) el número de niñas y niños en su clase; 2) compra de cuadernos rayados y cuadriculados.
PROBLEMAS DE REVISIÓN
1099. Un turista caminó 12 km en una hora. ¿Cuántas horas tardará un turista en recorrer una distancia de 20 km a la misma velocidad?
1100. ¿Cuál debería ser la velocidad del tren según el nuevo horario para que pueda cubrir la distancia entre dos estaciones en 2,5 horas, si según el antiguo horario, moviéndose a una velocidad de 100 km/h, lo recorría en 3 ¿horas?
§ 1 Selección de raíces de ecuaciones en situaciones reales.
Consideremos esta situación real:
El maestro y el aprendiz fabricaron juntos 400 piezas personalizadas. Además, el maestro trabajó 3 días y el alumno 2 días. ¿Cuántas piezas hizo cada persona?
Creemos un modelo algebraico de esta situación. Deje que el maestro produzca piezas en 1 día. Y el estudiante está en los detalles. Luego el maestro hará 3 partes en 3 días y el alumno hará 2 partes en 2 días. Juntos producirán 3 + 2 piezas. Dado que según la condición se fabricaron un total de 400 piezas, obtenemos la ecuación:
La ecuación resultante se llama ecuación lineal en dos variables. Aquí necesitamos encontrar un par de números xey para los cuales la ecuación tomará la forma de una verdadera igualdad numérica. Tenga en cuenta que si x = 90, y = 65, entonces obtenemos la igualdad:
3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400
Como se obtuvo la igualdad numérica correcta, el par de números 90 y 65 será una solución a esta ecuación. Pero la solución encontrada no es la única. Si x = 96 e y = 56, entonces obtenemos la igualdad:
96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400
Esta también es una verdadera igualdad numérica, lo que significa que el par de números 96 y 56 también es una solución a esta ecuación. Pero un par de números x = 73 e y = 23 no serán una solución para esta ecuación. De hecho, 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 nos dará la igualdad numérica incorrecta 265 = 400. Cabe señalar que si consideramos la ecuación en relación con esta situación real, entonces habrá pares de números que, siendo una solución a esta ecuación, no será una solución al problema. Por ejemplo, un par de números:
x = 200 y y = -100
es una solución a la ecuación, pero el estudiante no puede formar -100 partes y, por lo tanto, ese par de números no puede ser la respuesta a la pregunta del problema. Por tanto, en cada situación real específica es necesario adoptar un enfoque razonable para seleccionar las raíces de la ecuación.
Resumamos los primeros resultados:
Una ecuación de la forma ax + bу + c = 0, donde a, b, c son números cualesquiera, se llama ecuación lineal con dos variables.
La solución a una ecuación lineal en dos variables es un par de números correspondientes a xey, para los cuales la ecuación se convierte en una verdadera igualdad numérica.
§ 2 Gráfica de una ecuación lineal.
El propio registro del par (x;y) nos lleva a pensar en la posibilidad de representarlo como un punto de coordenadas xy y en un plano. Esto significa que podemos obtener un modelo geométrico de una situación específica. Por ejemplo, considere la ecuación:
2x + y - 4 = 0
Seleccionemos varios pares de números que serán soluciones a esta ecuación y construyamos puntos con las coordenadas encontradas. Sean estos puntos:
A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(- 1; 6).
Tenga en cuenta que todos los puntos se encuentran en la misma recta. Esta recta se llama gráfica de una ecuación lineal en dos variables. Es un modelo gráfico (o geométrico) de una ecuación dada.
Si un par de números (x;y) es una solución a la ecuación
ax + vy + c = 0, entonces el punto M(x;y) pertenece a la gráfica de la ecuación. Podemos decir al revés: si el punto M(x;y) pertenece a la gráfica de la ecuación ax + y + c = 0, entonces el par de números (x;y) es una solución de esta ecuación.
Del curso de geometría sabemos:
Para construir una línea recta, necesitas 2 puntos, por lo tanto, para trazar una gráfica de una ecuación lineal con dos variables, basta con conocer solo 2 pares de soluciones. Pero adivinar las raíces no siempre es un procedimiento conveniente o racional. Puedes actuar según otra regla. Dado que la abscisa de un punto (variable x) es una variable independiente, puedes darle cualquier valor conveniente. Sustituyendo este número en la ecuación, encontramos el valor de la variable y.
Por ejemplo, déjese dar la ecuación:
Sea x = 0, entonces obtenemos 0 - y + 1 = 0 o y = 1. Esto significa que si x = 0, entonces y = 1. Un par de números (0;1) es la solución a esta ecuación. Establezcamos otro valor para la variable x: x = 2. Luego obtenemos 2 - y + 1 = 0 o y = 3. El par de números (2;3) también es una solución a esta ecuación. Usando los dos puntos encontrados, ya es posible construir una gráfica de la ecuación x - y + 1 = 0.
Puedes hacer esto: primero asigna algún valor específico a la variable y, y solo luego calcula el valor de x.
§ 3 Sistema de ecuaciones
Encuentra dos números naturales, cuya suma es 11 y la diferencia es 1.
Para resolver este problema, primero creamos un modelo matemático (es decir, uno algebraico). Sea el primer número x y el segundo número y. Entonces la suma de los números x + y = 11 y la diferencia de los números x - y = 1. Dado que ambas ecuaciones tratan con los mismos números, estas condiciones deben cumplirse simultáneamente. Generalmente en tales casos se utiliza un registro especial. Las ecuaciones se escriben una debajo de la otra y se combinan con una llave.
Tal registro se llama sistema de ecuaciones.
Ahora construyamos conjuntos de soluciones para cada ecuación, es decir gráficas de cada una de las ecuaciones. Tomemos la primera ecuación:
Si x = 4, entonces y = 7. Si x = 9, entonces y = 2.
Dibujemos una línea recta que pase por los puntos (4;7) y (9;2).
Tomemos la segunda ecuación x - y = 1. Si x = 5, entonces y = 4. Si x = 7, entonces y = 6. También trazamos una línea recta que pasa por los puntos (5;4) y (7;6). ). Obtuvimos un modelo geométrico del problema. El par de números que nos interesa (x;y) debe ser una solución para ambas ecuaciones. En la figura vemos un único punto que se encuentra en ambas rectas; este es el punto de intersección de las rectas.
Sus coordenadas son (6;5). Por tanto, la solución al problema será: el primer número requerido es 6, el segundo es 5.
Lista de literatura usada:
- Mordkovich A.G., Álgebra de séptimo grado en 2 partes, Parte 1, Libro de texto para instituciones de educación general / A.G. Mordkovich. – 10ª ed., revisada – Moscú, “Mnemosyne”, 2007
- Mordkovich A.G., Álgebra de séptimo grado en 2 partes, Parte 2, Libro de problemas para instituciones educativas / [A.G. Mordkovich y otros]; editado por A.G. Mordkovich - 10ª edición, revisada - Moscú, “Mnemosyne”, 2007
- SU. Tulchinskaya, Álgebra de séptimo grado. Encuesta Blitz: manual para estudiantes de instituciones de educación general, cuarta edición, revisada y ampliada, Moscú, “Mnemosyne”, 2008
- Alexandrova L.A., Álgebra 7mo grado. Temático trabajo de prueba V nueva forma para estudiantes de instituciones de educación general, editado por A.G. Mordkovich, Moscú, “Mnemosyne”, 2011
- Alexandrova L.A. Álgebra 7mo grado. trabajo independiente para estudiantes de instituciones de educación general, editado por A.G. Mordkovich - 6ª edición, estereotipado, Moscú, “Mnemosyne”, 2010
ecuación lineal con dos variables: cualquier ecuación que tenga la siguiente forma: a*x + b*y =ñ. Aquí xey son dos variables, a,b,c son algunos números.
La solución a la ecuación lineal a*x + b*y = c es cualquier par de números (x,y) que satisfaga esta ecuación, es decir, convierta la ecuación con las variables xey en una igualdad numérica correcta. Una ecuación lineal tiene un número infinito de soluciones.
Si cada par de números que son soluciones de una ecuación lineal en dos variables se representa en el plano de coordenadas como puntos, entonces todos estos puntos forman la gráfica de una ecuación lineal en dos variables. Las coordenadas de los puntos serán nuestros valores de x e y. En este caso, el valor de x será la abscisa y el valor de y será la ordenada.
Gráfica de una ecuación lineal en dos variables
La gráfica de una ecuación lineal con dos variables es el conjunto de todos los puntos posibles en el plano coordenado, cuyas coordenadas serán soluciones de esta ecuación lineal. Es fácil adivinar que la gráfica será una línea recta. Por eso estas ecuaciones se llaman lineales.
Algoritmo de construcción
Algoritmo para trazar una ecuación lineal en dos variables.
1. Dibuje ejes de coordenadas, etiquételos y marque la escala de la unidad.
2. En una ecuación lineal, ponga x = 0 y resuelva la ecuación resultante para encontrar y. Marca el punto resultante en la gráfica.
3. En una ecuación lineal, toma el número 0 como y y resuelve la ecuación resultante para x. Marca el punto resultante en la gráfica.
4. Si es necesario, tome un valor arbitrario de x y resuelva la ecuación resultante para y. Marca el punto resultante en la gráfica.
5. Conecta los puntos resultantes y continúa la gráfica más allá de ellos. Firma la línea recta resultante.
Ejemplo: Grafique la ecuación 3*x - 2*y =6;
Pongamos x=0, entonces - 2*y =6; y= -3;
Pongamos y=0, entonces 3*x = 6; x=2;
Marcamos los puntos obtenidos en el gráfico, trazamos una línea recta a través de ellos y los etiquetamos. Mire la figura a continuación, el gráfico debería verse exactamente así.
A menudo nos hemos encontrado con ecuaciones de la forma ax + b = 0, donde a, b son números, x es una variable. Por ejemplo, bx - 8 = 0, x + 4 = O, - 7x - 11 = 0, etc. Los números a, b (coeficientes de ecuación) pueden ser cualquiera, excepto en el caso en que a = 0.
La ecuación ax + b = 0, donde a, se llama ecuación lineal con una variable x (o ecuación lineal con una x desconocida). Podemos resolverlo, es decir, expresar x mediante a y b:
Hemos observado anteriormente que muy a menudo modelo matemático la situación real es una ecuación lineal con una variable o una ecuación que, después de transformaciones, se reduce a lineal. Ahora veamos esta situación real.
Desde las ciudades A y B, cuya distancia es de 500 km, salieron dos trenes uno hacia el otro, cada uno con su propio velocidad constante. Se sabe que el primer tren salió 2 horas antes que el segundo. 3 horas después de que partiera el segundo tren, se encontraron. ¿Cuáles son las velocidades de los trenes?
Creemos un modelo matemático del problema. Sea x km/h la velocidad del primer tren, y km/h la velocidad del segundo tren. El primero estuvo en la carretera durante 5 horas y, por tanto, recorrió una distancia de bx km. El segundo tren estuvo en camino durante 3 horas, es decir. caminó una distancia de 3 km.
Su encuentro tuvo lugar en el punto C. La Figura 31 muestra un modelo geométrico de la situación. En lenguaje algebraico se puede describir de la siguiente manera:
5x + Zu = 500
o
5x + Zu - 500 = 0.
Este modelo matemático se llama ecuación lineal con dos variables x, y.
En absoluto,
hacha + por + c = 0,
donde a, b, c son números y , es lineal ecuación con dos variables xey (o con dos incógnitas xey).
Volvamos a la ecuación 5x + 3 = 500. Observamos que si x = 40, y = 100, entonces 5 40 + 3 100 = 500 es una igualdad correcta. Esto significa que la respuesta a la pregunta del problema puede ser la siguiente: la velocidad del primer tren es de 40 km/h, la velocidad del segundo tren es de 100 km/h. Un par de números x = 40, y = 100 se llama solución de la ecuación 5x + 3 = 500. También se dice que este par de valores (x; y) satisface la ecuación 5x + 3 = 500.
Desafortunadamente, esta solución no es la única (a todos nos encanta la certeza y la falta de ambigüedad). De hecho, también es posible la siguiente opción: x = 64, y = 60; de hecho, 5 64 + 3 60 = 500 es una igualdad correcta. Y esto: x = 70, y = 50 (ya que 5 70 + 3 50 = 500 es una igualdad verdadera).
Pero, digamos, un par de números x = 80, y = 60 no es una solución a la ecuación, ya que con estos valores una verdadera igualdad no funciona:
En general, una solución a la ecuación ax + by + c = 0 es cualquier par de números (x; y) que satisfaga esta ecuación, es decir, convierte la igualdad con las variables ax + by + c = 0 en una verdadera numérica. igualdad. Hay infinitas soluciones de este tipo.
Comentario. Volvamos una vez más a la ecuación 5x + 3 = 500, obtenida en el problema comentado anteriormente. Entre la infinidad de sus soluciones se encuentran, por ejemplo, las siguientes: x = 100, y = 0 (de hecho, 5 100 + 3 0 = 500 es una igualdad numérica correcta); x = 118, y = - 30 (ya que 5,118 + 3 (-30) = 500 es una igualdad numérica correcta). Sin embargo, siendo soluciones a la ecuación, estos pares no pueden servir como solución a este problema, porque la velocidad del tren no puede ser igual a cero (entonces no se mueve, sino que se detiene); Además, la velocidad del tren no puede ser negativa (entonces no viaja hacia otro tren, como se indica en el planteamiento del problema, sino en sentido contrario).
Ejemplo 1. Dibuja soluciones a una ecuación lineal con dos variables x + y - 3 = 0 por puntos en el plano de coordenadas xOy.
Solución. Seleccionemos varias soluciones. ecuación dada, es decir varios pares de números que satisfacen la ecuación: (3; 0), (2; 1), (1; 2) (0; 3), (- 2; 5).
A. V. Pogorelov, Geometría para los grados 7-11, Libro de texto para instituciones educativas
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