Obviamente, en el caso de un producto vectorial, el orden en que se toman los vectores importa; además,
Además, directamente de la definición se deduce que para cualquier factor escalar k (número) se cumple lo siguiente:
El producto cruzado de vectores colineales es igual al vector cero. Además, producto vectorial de dos vectores es igual a cero si y sólo si son colineales. (En caso de que uno de ellos sea un vector cero, es necesario recordar que un vector cero es colineal con cualquier vector por definición).
El producto vectorial tiene propiedad distributiva, eso es
Expresar el producto vectorial a través de las coordenadas de vectores.
Sean dos vectores
(cómo encontrar las coordenadas de un vector a partir de las coordenadas de su principio y final; consulte el artículo Producto escalar de vectores, artículo Definición alternativa del producto escalar o cálculo del producto escalar de dos vectores especificados por sus coordenadas).
¿Por qué necesitas un producto vectorial?
Hay muchas formas de utilizar el producto cruzado, por ejemplo, como se escribió anteriormente, al calcular el producto cruzado de dos vectores puedes averiguar si son colineales.
O puede usarse como una forma de calcular el área de un paralelogramo construido a partir de estos vectores. Según la definición, la longitud del vector resultante es el área del paralelogramo dado.
También gran cantidad Existen aplicaciones en electricidad y magnetismo.Calculadora de productos vectoriales en línea.
Para encontrar el producto escalar de dos vectores usando esta calculadora, debes ingresar en la primera línea en orden las coordenadas del primer vector, en segundo - segundo. Las coordenadas de los vectores se pueden calcular a partir de las coordenadas de su principio y final (ver artículo Producto escalar de vectores, elemento Una definición alternativa de producto escalar, o calcular el producto escalar de dos vectores dados por sus coordenadas.)
Dado calculadora en línea Calcula el producto cruzado de vectores. Dado solución detallada. Para calcular el producto cruzado de vectores, ingrese las coordenadas de los vectores en las celdas y haga clic en el botón "Calcular".
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Instrucciones de entrada de datos. Los números se ingresan como números enteros (ejemplos: 487, 5, -7623, etc.), decimales (ej. 67, 102,54, etc.) o fracciones. La fracción debe ingresarse en la forma a/b, donde a y b (b>0) son números enteros o decimales. Ejemplos 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7, etc.
Producto vectorial de vectores
Antes de pasar a la definición del producto vectorial de vectores, consideremos los conceptos. triplete de vectores ordenados, triplete de vectores izquierdo, triplete de vectores derecho.
Definición 1. Tres vectores se llaman ordenado triple(o triple), si se indica cuál de estos vectores es el primero, cuál es el segundo y cuál es el tercero.
Registro cba- significa - el primero es un vector do, el segundo es el vector b y el tercero es el vector a.
Definición 2. Triple de vectores no coplanares abecedario llamado derecha (izquierda) si, cuando se reduce a comienzo general, estos vectores están ubicados de la misma manera que se ubican los dedos índice y medio grandes y no doblados de la mano derecha (izquierda), respectivamente.
La definición 2 se puede formular de manera diferente.
Definición 2". Triple de vectores no coplanares abecedario se llama derecha (izquierda) si, reducido a un origen común, el vector do se encuentra al otro lado del plano definido por los vectores a Y b, ¿dónde está el giro más corto desde a A b realizado en sentido antihorario (en el sentido de las agujas del reloj).
Troika de vectores abecedario, mostrado en la Fig. 1 tiene razón y tres abecedario mostrado en la Fig. 2 es el izquierdo.
 |
Si dos tripletas de vectores son de derecha o de izquierda, se dice que tienen la misma orientación. En caso contrario se dice que tienen orientación opuesta.
Definición 3. Un sistema de coordenadas cartesiano o afín se llama derecho (izquierda) si tres vectores base forman una tripleta derecha (izquierda).
Para ser más precisos, en lo que sigue consideraremos sólo sistemas de coordenadas diestros.
Definición 4. Ilustraciones vectoriales vector a a vector b llamado vector Con, denotado por el símbolo c=[ab] (o c=[a,b], o c=a×b) y que cumplan los tres requisitos siguientes:
- longitud del vector Con igual al producto de longitudes de vectores a Y b por el seno del ángulo φ entre ellos:
- vector Con ortogonal a cada uno de los vectores a Y b;
- vector do dirigido para que los tres abecedario tiene razón.
| |do|=|[ab]|=|a||b|pecadoφ; | (1) |
El producto vectorial de vectores tiene las siguientes propiedades:
- [ab]=−[licenciado en Letras] (antipermutabilidad factores);
- [(λa)b]=λ [ab] (combinación relativo al factor numérico);
- [(a+b)do]=[ado]+[bdo] (distributividad relativo a la suma de vectores);
- [Automóvil club británico]=0 para cualquier vector a.
Propiedades geométricas del producto vectorial de vectores.
Teorema 1. Para que dos vectores sean colineales, es necesario y suficiente que su producto vectorial sea igual a cero.
Prueba. Necesidad. Deja que los vectores a Y b colineal. Entonces el ángulo entre ellos es 0 o 180° y pecadoφ=pecado180=pecado 0=0. Por tanto, teniendo en cuenta la expresión (1), la longitud del vector do igual a cero. Entonces do vector cero.
Adecuación. Sea el producto vectorial de vectores. a Y b obviamente cero: [ ab]=0. Demostremos que los vectores a Y b colineal. Si al menos uno de los vectores a Y b cero, entonces estos vectores son colineales (ya que el vector cero tiene una dirección indefinida y puede considerarse colineal con cualquier vector).
Si ambos vectores a Y b distinto de cero, entonces | a|>0, |b|>0. Luego desde [ ab]=0 y de (1) se deduce que pecadoφ=0. Por lo tanto los vectores a Y b colineal.
El teorema ha sido demostrado.
Teorema 2. Longitud (módulo) del producto vectorial [ ab] es igual al área S paralelogramo construido sobre vectores reducidos a un origen común a Y b.
Prueba. Como sabes, el área de un paralelogramo es igual al producto de los lados adyacentes de este paralelogramo por el seno del ángulo entre ellos. Por eso:
Entonces el producto vectorial de estos vectores tiene la forma:
Desarrollando el determinante sobre los elementos de la primera fila, obtenemos la descomposición del vector. a×b por base yo, j, k, que es equivalente a la fórmula (3).
Prueba del teorema 3. Creemos todos los pares posibles de vectores básicos. yo, j, k y calcular su producto vectorial. Hay que tener en cuenta que los vectores base son mutuamente ortogonales, forman una terna diestra y tienen longitud unitaria (en otras palabras, podemos suponer que i={1, 0, 0}, j={0, 1, 0}, k=(0, 0, 1)). Entonces tenemos:
De la última igualdad y relaciones (4), obtenemos:
Creemos una matriz de 3x3, cuya primera fila son los vectores base. yo, j, k, y las líneas restantes se rellenan con elementos vectoriales. a Y b:
Por tanto, el resultado del producto vectorial de vectores. a Y b será un vector:
 .
|
Ejemplo 2. Encuentre el producto vectorial de vectores [ ab], ¿dónde está el vector? a representado por dos puntos. Punto inicial del vector a: 
, punto final del vector a: 
, vector b parece 
.
Solución: Mueva el primer vector al origen. Para hacer esto, reste las coordenadas del punto inicial de las coordenadas correspondientes del punto final:
Calculemos el determinante de esta matriz expandiéndola a lo largo de la primera fila. El resultado de estos cálculos es el producto vectorial de vectores. a Y b.
Ilustraciones vectoriales es un pseudovector perpendicular a un plano construido a partir de dos factores, que es el resultado de la operación binaria “multiplicación de vectores” sobre vectores en el espacio euclidiano tridimensional. El producto vectorial no tiene las propiedades de conmutatividad y asociatividad (es anticonmutativo) y, a diferencia del producto escalar de vectores, es un vector. Ampliamente utilizado en muchas aplicaciones de ingeniería y física. Por ejemplo, el momento angular y la fuerza de Lorentz se escriben matemáticamente como un producto vectorial. El producto vectorial es útil para "medir" la perpendicularidad de vectores: el módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al producto de sus módulos si son perpendiculares y disminuye a cero si los vectores son paralelos o antiparalelos.
El producto vectorial se puede definir de diferentes maneras y, teóricamente, en un espacio de cualquier dimensión n, se puede calcular el producto de n-1 vectores, obteniendo así un único vector perpendicular a todos ellos. Pero si el producto se limita a productos binarios no triviales con resultados vectoriales, entonces el producto vectorial tradicional se define sólo en espacios tridimensionales y heptadimensionales. El resultado de un producto vectorial, como un producto escalar, depende de la métrica del espacio euclidiano.
A diferencia de la fórmula para calcular vectores de productos escalares a partir de coordenadas en un sistema de coordenadas rectangular tridimensional, la fórmula del producto vectorial depende de la orientación del sistema de coordenadas rectangulares o, en otras palabras, de su "quiralidad".
Definición:
El producto vectorial del vector a y el vector b en el espacio R3 es un vector c que satisface los siguientes requisitos:
la longitud del vector c es igual al producto de las longitudes de los vectores a y by el seno del ángulo φ entre ellos:
|c|=|a||b|sin φ;
el vector c es ortogonal a cada uno de los vectores a y b;
el vector c está dirigido de modo que el triple de los vectores abc sea diestro;
en el caso del espacio R7 se requiere la asociatividad de la terna de los vectores a, b, c.
Designación:
c===a×b
Arroz. 1. El área de un paralelogramo es igual al módulo del producto vectorial
Propiedades geométricas del producto cruzado.:
Una condición necesaria y suficiente para la colinealidad de dos vectores distintos de cero es que su producto vectorial sea igual a cero.
Módulo de productos cruzados es igual al área S paralelogramo construido sobre vectores reducidos a un origen común a Y b(ver figura 1).
Si mi- vector unitario ortogonal a los vectores a Y b y elegido para que tres a,b,e- correcto, y S es el área del paralelogramo construido sobre ellos (reducido a un origen común), entonces la fórmula del producto vectorial es válida:
=S e
Fig.2. Volumen de un paralelepípedo utilizando el producto vectorial y escalar de vectores; lineas punteadas muestre las proyecciones del vector c sobre a × b y del vector a sobre b × c, el primer paso es encontrar los productos escalares
Si do- algún vector, π
- cualquier plano que contenga este vector, mi- vector unitario situado en el plano π
y ortogonal a c, g- vector unitario ortogonal al plano π
y dirigido de modo que el triple de vectores ECG es correcto, entonces para cualquier mentira en el avión π
vector a la fórmula es correcta:
=Pr e a |c|g
donde Pr e a es la proyección del vector e sobre a
|c|-módulo del vector c
Cuando se utilizan productos vectoriales y escalares, se puede calcular el volumen de un paralelepípedo construido sobre vectores reducidos a un origen común. a, b Y do. Este producto de tres vectores se llama mixto.
V=|a (b×c)|
La figura muestra que este volumen se puede encontrar de dos maneras: el resultado geométrico se conserva incluso cuando se intercambian los productos “escalar” y “vectorial”:
V=a×b c=a b×c
La magnitud del producto vectorial depende del seno del ángulo entre los vectores originales, por lo que el producto vectorial puede percibirse como el grado de "perpendicularidad" de los vectores, así como el producto escalar puede verse como el grado de "paralelismo". ”. El producto vectorial de dos vectores unitarios es igual a 1 (vector unitario) si los vectores originales son perpendiculares e igual a 0 (vector cero) si los vectores son paralelos o antiparalelos.
Expresión para el producto cruzado en coordenadas cartesianas
Si dos vectores a Y b definidos por sus coordenadas cartesianas rectangulares, o más precisamente, representados en una base ortonormal
a=(a x ,a y ,az)
b=(bx,by,bz)
y el sistema de coordenadas es diestro, entonces su producto vectorial tiene la forma
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Para recordar esta fórmula:
i =∑ε ijk a j b k
Dónde ε ijk- símbolo de Levi-Civita.
Propiedades del producto escalar
Producto escalar vectores, definición, propiedades
Operaciones lineales sobre vectores.
Vectores, conceptos básicos, definiciones, operaciones lineales sobre ellos.
Un vector en un plano es un par ordenado de sus puntos, siendo el primer punto el comienzo y el segundo el final del vector.
Dos vectores se llaman iguales si son iguales y codireccionales.
Los vectores que se encuentran en la misma línea se llaman codireccionales si son codireccionales con algunos del mismo vector que no se encuentran en esta línea.
Los vectores que se encuentran en la misma línea o en líneas paralelas se llaman colineales, y los colineales pero no codireccionales se llaman de dirección opuesta.
Los vectores que se encuentran sobre rectas perpendiculares se llaman ortogonales.
Definición 5.4. Cantidad a+b vectores a Y b se llama vector que viene del principio del vector A hasta el final del vector b , si el comienzo del vector b coincide con el final del vector A .
Definición 5.5. Por diferencia a-b vectores A Y b tal vector se llama Con , que suma con el vector b da un vector A .
Definición 5.6. La obrak a vector A por numero k llamado vector b , colineal al vector A , teniendo un módulo igual a | k||a |, y la dirección coincide con la dirección A en k>0 y lo contrario A en k<0.
Propiedades de multiplicar un vector por un número:
Propiedad 1. k(a+b ) = k a+k b.
Propiedad 2. (k+m)a =k a+m a.
Propiedad 3. k(m) a) = (kilómetros)a .
Consecuencia. Si los vectores no son cero A Y b son colineales, entonces existe tal número k, Qué segundo = k a.
El producto escalar de dos vectores distintos de cero. a Y b es un número (escalar) igual al producto de las longitudes de estos vectores y el coseno del ángulo φ entre ellos. El producto escalar se puede indicar de varias maneras, por ejemplo como ab, a · b, (a , b), (a · b). Entonces el producto escalar es:
a · b = |a| · | b| cosφ
Si al menos uno de los vectores es cero, entonces el producto escalar es cero.
· Propiedad de permutación: a · b = b · a(el producto escalar no cambia al reordenar los factores);
· Propiedad de distribución: a · ( b · do) = (a · b) · do(el resultado no depende del orden de multiplicación);
· Propiedad de combinación (respecto al factor escalar): (λ a) · b = λ ( a · b).
· Propiedad de ortogonalidad (perpendicularidad): si el vector a Y b son distintos de cero, entonces su producto escalar es igual a cero sólo cuando estos vectores son ortogonales (perpendiculares entre sí) a ┴ b;
· Propiedad de un cuadrado: a · a = a 2 = |a| 2 (el producto escalar de un vector consigo mismo es igual al cuadrado de su módulo);
· Si las coordenadas de los vectores a=(x 1, y 1, z 1) y b=(x 2 , y 2 , z 2 ), entonces el producto escalar es igual a a · b= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .
Vector de retención de vectores. Definición: El producto vectorial de dos vectores es un vector para el cual:
El módulo es igual al área del paralelogramo construido sobre estos vectores, es decir , donde es el ángulo entre los vectores y
Este vector es perpendicular a los vectores que se multiplican, es decir
Si los vectores no son colineales, entonces forman un triplete de vectores a la derecha.
Propiedades de un producto cruzado:
1. Al cambiar el orden de los factores, el producto vectorial cambia de signo al contrario, conservando el módulo, es decir
2 .El vector cuadrado es igual al vector nulo, es decir
3 El factor escalar se puede sacar del signo del producto vectorial, es decir
4 .Para tres vectores cualesquiera la igualdad es verdadera
5 .Condición necesaria y suficiente para la colinealidad de dos vectores y :