Producto mixto de vectores. Producto cruzado de vectores. Producto mixto de vectores Encuentra el volumen de un paralelepípedo usando vectores.

20.06.2020

En esta lección veremos dos operaciones más con vectores: producto vectorial de vectores Y producto mixto de vectores (enlace inmediato para quienes lo necesiten). Está bien, a veces sucede que para la felicidad total, además de producto escalar de vectores, cada vez se necesitan más. Esta es la adicción a los vectores. Puede parecer que nos adentramos en la jungla de la geometría analítica. Esto está mal. En esta sección de matemáticas superiores generalmente hay poca madera, excepto quizás suficiente para Pinocho. De hecho, el material es muy común y simple, apenas más complicado que el mismo. producto escalar, incluso tareas tipicas habrá menos. Lo principal en geometría analítica, como muchos estarán convencidos o ya lo han estado, es NO COMETIR ERRORES EN LOS CÁLCULOS. Repite como un hechizo y serás feliz =)

Si los vectores brillan en algún lugar lejano, como un rayo en el horizonte, no importa, comience con la lección. Vectores para tontos recuperar o readquirir conocimientos básicos sobre vectores. Los lectores más preparados pueden familiarizarse con la información de forma selectiva; traté de recopilar la colección más completa de ejemplos que se encuentran a menudo en trabajo practico

¿Qué te hará feliz de inmediato? Cuando era pequeña podía hacer malabarismos con dos y hasta tres pelotas. Funcionó bien. Ahora no tendrás que hacer ningún malabarismo, ya que consideraremos solo vectores espaciales, A vectores planos con dos coordenadas quedarán fuera. ¿Por qué? Así nacieron estas acciones: el vector y el producto mixto de vectores se definen y funcionan en un espacio tridimensional. ¡Ya es más fácil!

Esta operación, al igual que el producto escalar, implica dos vectores. Que estas sean letras imperecederas.

La acción en sí denotado por de la siguiente manera: . Hay otras opciones, pero estoy acostumbrado a denotar el producto vectorial de vectores de esta manera, entre corchetes con una cruz.

Y de inmediato pregunta: si en producto escalar de vectores están involucrados dos vectores, y aquí también se multiplican dos vectores, entonces cual es la diferencia? La diferencia obvia está, en primer lugar, en el RESULTADO:

El resultado del producto escalar de vectores es NÚMERO:

El resultado del producto cruzado de vectores es VECTOR: , es decir, multiplicamos los vectores y obtenemos un vector nuevamente. Club cerrado. En realidad, de aquí proviene el nombre de la operación. En varios literatura educativa las designaciones también pueden variar, usaré la letra .

Definición de producto cruzado

Primero habrá una definición con una imagen, luego comentarios.

Definición: Producto vectorial no colineal vectores, tomado en este orden, llamado VECTOR, longitud que es numéricamente igual al área del paralelogramo, construido sobre estos vectores; vector ortogonal a vectores, y está dirigido para que la base tenga una orientación correcta:

Analicemos la definición pieza por pieza, ¡hay muchas cosas interesantes aquí!

Así, se pueden destacar los siguientes puntos importantes:

1) Los vectores originales, indicados por flechas rojas, por definición. no colineal. Será apropiado considerar el caso de los vectores colineales un poco más adelante.

2) Se toman vectores en un orden estrictamente definido: – "a" se multiplica por "be", y no "ser" con "a". El resultado de la multiplicación de vectores. es VECTOR, que se indica en azul. Si los vectores se multiplican en orden inverso, obtenemos un vector de igual longitud y de dirección opuesta (color frambuesa). Es decir, la igualdad es verdadera. .

3) Ahora conozcamos el significado geométrico del producto vectorial. ¡Este es un punto muy importante! La LONGITUD del vector azul (y, por lo tanto, del vector carmesí) es numéricamente igual al ÁREA del paralelogramo construido sobre los vectores. En la figura, este paralelogramo está sombreado en negro.

Nota : el dibujo es esquemático y, naturalmente, la longitud nominal del producto vectorial no es igual al área del paralelogramo.

Recordemos uno de los fórmulas geométricas: El área de un paralelogramo es igual al producto de los lados adyacentes por el seno del ángulo entre ellos. Por lo tanto, con base en lo anterior, es válida la fórmula para calcular la LONGITUD de un producto vectorial:

Hago hincapié en que la fórmula trata sobre la LONGITUD del vector y no sobre el vector en sí. ¿Cuál es el significado práctico? Y el significado es que en problemas de geometría analítica, el área de un paralelogramo a menudo se encuentra mediante el concepto de producto vectorial:

Consigamos la segunda fórmula importante. La diagonal de un paralelogramo (línea de puntos roja) lo divide en dos triangulo igual. Por lo tanto, el área de un triángulo construido sobre vectores (sombreado en rojo) se puede encontrar usando la fórmula:

4) No menos hecho importante es que el vector es ortogonal a los vectores, es decir . Por supuesto, el vector dirigido en sentido opuesto (flecha de frambuesa) también es ortogonal a los vectores originales.

5) El vector se dirige de modo que base tiene bien orientación. En la lección sobre transición a una nueva base Hablé con suficiente detalle sobre orientación plana, y ahora descubriremos qué es la orientación espacial. te lo explicaré con los dedos derecha . combinar mentalmente dedo índice con vectores y dedo medio con vectores. Dedo anular y meñique presiónelo en su palma. Como resultado pulgar – el producto vectorial buscará hacia arriba. Ésta es una base orientada a la derecha (es ésta en la figura). Ahora cambia los vectores ( dedos índice y medio) en algunos lugares, como resultado el pulgar se girará y el producto vectorial ya mirará hacia abajo. Esta es también una base orientada hacia los derechos. Quizás tengas una pregunta: ¿qué base ha dejado la orientación? “Asignar” a los mismos dedos mano izquierda vectores, y obtener la base izquierda y la orientación izquierda del espacio (en este caso, el pulgar estará ubicado en la dirección del vector inferior). En sentido figurado, estas bases “tuercen” u orientan el espacio en diferentes direcciones. Y este concepto no debe considerarse algo inverosímil o abstracto; por ejemplo, el espejo más común cambia la orientación del espacio, y si "saca el objeto reflejado del espejo", entonces, en el caso general, No será posible combinarlo con el “original”. Por cierto, acerca tres dedos al espejo y analiza el reflejo ;-)

...qué bueno que ahora sepas orientado a la derecha y a la izquierda bases, porque las declaraciones de algunos profesores sobre un cambio de orientación dan miedo =)

Producto cruzado de vectores colineales

La definición se ha discutido en detalle, queda por descubrir qué sucede cuando los vectores son colineales. Si los vectores son colineales, entonces se pueden colocar en una línea recta y nuestro paralelogramo también se "dobla" en una línea recta. El área de tal, como dicen los matemáticos, degenerar paralelogramo es igual a cero. Lo mismo se desprende de la fórmula: el seno de cero o 180 grados es igual a cero, lo que significa que el área es cero

Así, si , entonces Y . Tenga en cuenta que el producto cruzado en sí es igual al vector cero, pero en la práctica esto a menudo se descuida y se escribe que también es igual a cero.

Un caso especial es el producto vectorial de un vector consigo mismo:

Utilizando el producto vectorial se puede comprobar la colinealidad de vectores tridimensionales, y también analizaremos este problema, entre otros.

Para resolver ejemplos prácticos es posible que necesites tabla trigonométrica para encontrar los valores de los senos a partir de él.

Bueno, encendamos el fuego:

Ejemplo 1

a) Encuentre la longitud del producto vectorial de vectores si

b) Encuentra el área de un paralelogramo construido sobre vectores si

Solución: No, esto no es un error tipográfico, deliberadamente hice los mismos datos iniciales en las cláusulas. ¡Porque el diseño de las soluciones será diferente!

a) Según la condición, necesitas encontrar longitud vector (producto cruzado). Según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

Si le preguntaron sobre la longitud, en la respuesta indicamos la dimensión: unidades.

b) Según la condición, es necesario encontrar cuadrado paralelogramo construido sobre vectores. El área de este paralelogramo es numéricamente igual a la longitud del producto vectorial:

Respuesta:

Tenga en cuenta que la respuesta no habla en absoluto del producto vectorial que nos preguntaron; área de la figura, en consecuencia, la dimensión son unidades cuadradas.

Siempre miramos QUÉ necesitamos encontrar según la condición y, en base a esto, formulamos claro respuesta. Puede parecer literalismo, pero hay muchos literalistas entre los profesores y la tarea tiene muchas posibilidades de ser devuelta para revisión. Aunque no se trata de una objeción demasiado descabellada: si la respuesta es incorrecta, da la impresión de que la persona no comprende cosas simples y/o no entendió la esencia de la tarea. Este punto siempre debe mantenerse bajo control al resolver cualquier problema en matemáticas superiores, y también en otras materias.

¿A dónde se fue la letra grande “en”? En principio, se podría haber adjuntado adicionalmente a la solución, pero para acortar la entrada no lo hice. Espero que todos entiendan eso y es una designación para lo mismo.

Ejemplo popular para solución independiente:

Ejemplo 2

Encuentra el área de un triángulo construido sobre vectores si

La fórmula para encontrar el área de un triángulo a través del producto vectorial se da en los comentarios a la definición. La solución y la respuesta están al final de la lección.

En la práctica, la tarea es realmente muy común; los triángulos generalmente pueden atormentarte.

Para resolver otros problemas necesitaremos:

Propiedades del producto vectorial de vectores.

Ya hemos considerado algunas propiedades del producto vectorial, sin embargo, las incluiré en esta lista.

Para vectores arbitrarios y un número arbitrario, las siguientes propiedades son verdaderas:

1) En otras fuentes de información, este elemento no suele destacarse en las propiedades, pero es muy importante en términos prácticos. Así que déjalo ser.

2) – la propiedad también se analiza anteriormente, a veces se la llama anticonmutatividad. En otras palabras, el orden de los vectores importa.

3) – asociativo o de asociación leyes de productos vectoriales. Las constantes se pueden mover fácilmente fuera del producto vectorial. Realmente, ¿qué deberían hacer allí?

4) – distribución o distributivo leyes de productos vectoriales. Tampoco hay problemas para abrir los soportes.

Para demostrarlo, veamos un breve ejemplo:

Ejemplo 3

encontrar si

Solución: La condición nuevamente requiere encontrar la longitud del producto vectorial. Pintemos nuestra miniatura:

(1) Según leyes asociativas, sacamos las constantes del alcance del producto vectorial.

(2) Movemos la constante fuera del módulo y el módulo "se come" el signo menos. La longitud no puede ser negativa.

(3) El resto está claro.

Respuesta:

Es hora de echar más leña al fuego:

Ejemplo 4

Calcula el área de un triángulo construido sobre vectores si

Solución: Encuentra el área del triángulo usando la fórmula . El problema es que los vectores “tse” y “de” se presentan como sumas de vectores. El algoritmo aquí es estándar y recuerda algo a los ejemplos 3 y 4 de la lección. Producto escalar de vectores. Para mayor claridad, dividiremos la solución en tres etapas:

1) En el primer paso, expresamos el producto vectorial a través del producto vectorial, de hecho, expresemos un vector en términos de un vector. ¡Aún no se sabe nada sobre las longitudes!

(1) Sustituir las expresiones de los vectores.

(2) Utilizando leyes distributivas, abrimos los corchetes según la regla de multiplicación de polinomios.

(3) Usando leyes asociativas, movemos todas las constantes más allá de los productos vectoriales. Con un poco de experiencia, los pasos 2 y 3 se pueden realizar simultáneamente.

(4) El primer y último término son iguales a cero (vector cero) debido a propiedad agradable. En el segundo término utilizamos la propiedad de anticonmutatividad de un producto vectorial:

(5) Presentamos términos similares.

Como resultado, el vector resultó expresarse mediante un vector, que es lo que se necesitaba lograr:

2) En el segundo paso, encontramos la longitud del producto vectorial que necesitamos. Esta acción es similar al Ejemplo 3:

3) Encuentra el área del triángulo requerido:

Las etapas 2 y 3 de la solución podrían haberse escrito en una línea.

Respuesta:

El problema considerado es bastante común en pruebas, aquí hay un ejemplo de una solución independiente:

Ejemplo 5

encontrar si

Una breve solución y respuesta al final de la lección. A ver qué tan atento estuviste al estudiar los ejemplos anteriores ;-)

Producto cruzado de vectores en coordenadas.

, especificado en base ortonormal , expresado por la fórmula:

La fórmula es realmente sencilla: en la línea superior del determinante escribimos vectores de coordenadas, en la segunda y tercera linea “ponemos” las coordenadas de los vectores , y ponemos en estricto orden– primero las coordenadas del vector “ve”, luego las coordenadas del vector “doble-ve”. Si es necesario multiplicar los vectores en un orden diferente, entonces se deben intercambiar las filas:

Ejemplo 10

Compruebe si los siguientes vectores espaciales son colineales:
A)
b)

Solución: La verificación se basa en una de las declaraciones. esta lección: si los vectores son colineales, entonces su producto vectorial es igual a cero (vector cero): .

a) Encuentre el producto vectorial:

Por tanto, los vectores no son colineales.

b) Encuentra el producto vectorial:

Respuesta: a) no colineal, b)

Aquí, quizás, esté toda la información básica sobre el producto vectorial de vectores.

Esta sección no será muy extensa, ya que hay pocos problemas en los que se utiliza el producto mixto de vectores. De hecho, todo dependerá de la definición, significado geométrico y un par de fórmulas de trabajo.

pieza mixta vectores es el producto tres vectores :

Así que se alinearon como un tren y no pueden esperar a ser identificados.

Primero, de nuevo, una definición y una imagen:

Definición: Trabajo mixto no coplanar vectores, tomado en este orden, llamado volumen paralelepípedo, construido sobre estos vectores, equipado con un signo "+" si la base está a la derecha y un signo "-" si la base está a la izquierda.

Hagamos el dibujo. Las líneas invisibles para nosotros se dibujan con líneas de puntos:

Profundicemos en la definición:

2) Se toman vectores en un cierto orden, es decir, la reordenación de vectores en el producto, como se puede adivinar, no ocurre sin consecuencias.

3) Antes de comentar el significado geométrico, señalaré un hecho obvio: el producto mixto de vectores es un NÚMERO: . En la literatura educativa, el diseño puede ser ligeramente diferente; estoy acostumbrado a denotar un producto mixto con , y el resultado de los cálculos con la letra "pe".

Por definición el producto mezclado es el volumen del paralelepípedo, construido sobre vectores (la figura está dibujada con vectores rojos y líneas negras). Es decir, el número es igual al volumen de este paralelepípedo.

Nota : El dibujo es esquemático.

4) No nos preocupemos más por el concepto de orientación de la base y el espacio. El significado de la parte final es que se puede agregar un signo menos al volumen. En palabras simples, el producto mezclado puede ser negativo: .

Directamente de la definición se desprende la fórmula para calcular el volumen de un paralelepípedo construido sobre vectores.

Para los vectores , y , especificados por sus coordenadas , , el producto mixto se calcula mediante la fórmula: .

Se utiliza un producto mixto: 1) calcular los volúmenes de un tetraedro y un paralelepípedo, construido sobre los vectores , y , como sobre las aristas, utilizando la fórmula: ; 2) como condición para la coplanaridad de los vectores , y : y son coplanares.

Tema 5. Líneas rectas y planos.

Vector de línea normal , se llama cualquier vector distinto de cero perpendicular a una línea dada. El vector director es recto. , se llama cualquier vector distinto de cero paralelo a una recta dada.

Derecho en el avión

1) - ecuación general recta, donde está el vector normal de la recta;

2) - ecuación de una recta que pasa perpendicularmente por un punto este vector ;

3) ecuación canónica );

5) - ecuaciones de una recta Con pendiente , donde es el punto por donde pasa la recta; () – el ángulo que forma la recta con el eje; - longitud del segmento (con signo) cortado por la recta en el eje (signo “ ” si el segmento se corta en la parte positiva del eje y “ ” si en la parte negativa).

6) - ecuación de una recta en segmentos, donde y son las longitudes de los segmentos (con signo) cortados por la recta en los ejes coordenados y (signo “ ” si el segmento se corta en la parte positiva del eje y “ ” si en la negativa).

Distancia de un punto a una línea , dada por una ecuación general en el plano, se encuentra mediante la fórmula:

Esquina , ( )entre lineas rectas y, dado ecuaciones generales o ecuaciones con un coeficiente de pendiente, se encuentra usando una de las siguientes fórmulas:

Si o.

si o

Coordenadas del punto de intersección de las líneas. y se encuentran como solución al sistema ecuaciones lineales: o .

Vector normal del avión. , se llama cualquier vector distinto de cero perpendicular a un plano dado.

Avión en el sistema de coordenadas se puede especificar mediante una ecuación de uno de los siguientes tipos:

1) - ecuación general plano, donde está el vector normal del avión;

2) - ecuación de un plano que pasa por un punto perpendicular a un vector dado;

3) - ecuación de un plano que pasa por tres puntos, y;

4) - ecuación plana en segmentos, donde , y son las longitudes de los segmentos (con signo) cortados por el plano en los ejes coordenados , y (signo “ ” si el segmento se corta en la parte positiva del eje y “ ” si en la negativa) .

Distancia de un punto a un plano , dada por la ecuación general, se encuentra mediante la fórmula:

Esquina ,( )entre aviones y , dado por ecuaciones generales, se encuentra mediante la fórmula:

Derecho en el espacio en el sistema de coordenadas se puede especificar mediante una ecuación de uno de los siguientes tipos:

1) - ecuación general recta como la línea de intersección de dos planos, donde y son los vectores normales de los planos y ;

2) - ecuación de una línea recta que pasa por un punto paralelo a un vector dado ( ecuación canónica );

3) - ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados, ;

4) - ecuación de una recta que pasa por un punto paralelo a un vector dado, ( ecuación paramétrica );

Esquina , ( ) entre lineas rectas Y en el espacio , dado por ecuaciones canónicas se encuentra mediante la fórmula:

Coordenadas del punto de intersección de la línea. , dado por la ecuación paramétrica y aviones , dada por la ecuación general, se encuentran como solución de un sistema de ecuaciones lineales: .

Esquina , ( ) entre la linea recta , dado por la ecuación canónica y avión , dado por la ecuación general se encuentra mediante la fórmula: .

Tema 6. Curvas de segundo orden.

Curva algebraica de segundo orden en el sistema de coordenadas se llama curva, ecuación general que tiene la forma:

donde los números - no son iguales a cero al mismo tiempo. Existe la siguiente clasificación de curvas de segundo orden: 1) si , entonces la ecuación general define la curva tipo elíptico (círculo (en), elipse (en), conjunto vacío, punto); 2) si, entonces - curva tipo hiperbólico (hipérbole, un par de líneas que se cruzan); 3) si, entonces - curva tipo parabólico(parábola, conjunto vacío, recta, par de rectas paralelas). Se llaman círculo, elipse, hipérbola y parábola. curvas no degeneradas de segundo orden.

La ecuación general , donde , que define una curva no degenerada (círculo, elipse, hipérbola, parábola), siempre (por el método de selección cuadrados llenos) se puede reducir a una ecuación de uno de los siguientes tipos:

1a)- ecuación de un círculo con centro en un punto y radio (Fig. 5).

1b)- ecuación de una elipse con centro en un punto y ejes de simetría paralelos a los ejes de coordenadas. Los números y - se llaman semiejes de la elipse el rectángulo principal de la elipse; vértices de la elipse .

Para construir una elipse en el sistema de coordenadas: 1) marque el centro de la elipse; 2) pasar por el centro línea de puntos eje de simetría de la elipse; 3) construimos con una línea de puntos el rectángulo principal de la elipse con el centro y lados paralelos a los ejes de simetría; 4) Dibujamos una elipse con una línea continua, inscribiéndola en el rectángulo principal de modo que la elipse toque sus lados solo en los vértices de la elipse (Fig. 6).

De manera similar se construye un círculo, cuyo rectángulo principal tiene lados (Fig. 5).

Fig.5 Fig.6

2) - ecuaciones de hipérbolas (llamadas conjugado) con centro en un punto y ejes de simetría paralelos a los ejes de coordenadas. Los números y - se llaman semiejes de hipérbolas ; un rectángulo con lados paralelos a los ejes de simetría y centro en el punto - rectángulo básico de hipérbolas; puntos de intersección del rectángulo principal con los ejes de simetría - vértices de hipérbolas; líneas rectas que pasan por los vértices opuestos del rectángulo principal - asíntotas de hipérbolas .

Para construir una hipérbola en un sistema de coordenadas: 1) marque el centro de la hipérbola; 2) dibuja el eje de simetría de la hipérbola que pasa por el centro con una línea de puntos; 3) construimos con una línea de puntos el rectángulo principal de la hipérbola con el centro y lados paralelos a los ejes de simetría; 4) trazar líneas rectas a través de los vértices opuestos del rectángulo principal con una línea de puntos, que son asíntotas de la hipérbola, a las que se acercan indefinidamente las ramas de la hipérbola, a una distancia infinita del origen de coordenadas, sin cruzarlas; 5) Representamos con una línea continua las ramas de una hipérbola (Fig. 7) o una hipérbola (Fig. 8).

Fig.7 Fig.8

3a)- ecuación de una parábola con vértice en un punto y eje de simetría paralelo al eje de coordenadas (Fig. 9).

3b)- ecuación de una parábola con vértice en un punto y eje de simetría paralelo al eje de coordenadas (Fig. 10).

Para construir una parábola en el sistema de coordenadas: 1) marque el vértice de la parábola; 2) dibuja el eje de simetría de la parábola que pasa por el vértice con una línea de puntos; 3) Representamos una parábola con una línea continua, dirigiendo su rama, teniendo en cuenta el signo del parámetro de la parábola: cuando - en lado positivo un eje de coordenadas paralelo al eje de simetría de la parábola (Fig. 9a y 10a); en - en lado negativo eje de coordenadas (Fig. 9b y 10b).

Arroz. 9a figura. 9b

Arroz. 10a figura. 10b

Tema 7. Multitudes. Conjuntos numéricos. Función.

Bajo muchos comprender un determinado conjunto de objetos de cualquier naturaleza, distinguibles entre sí y concebibles como un todo único. Los objetos que forman un conjunto se llaman elementos . Un conjunto puede ser infinito (consta de un número infinito de elementos), finito (consta de un número finito de elementos), vacío (no contiene un solo elemento). Los conjuntos se denotan por: y sus elementos: . Un conjunto vacío se denota por .

El conjunto se llama subconjunto establecer si todos los elementos del conjunto pertenecen al conjunto y escribir. Los conjuntos se llaman igual , si constan de los mismos elementos y escribe . Dos conjuntos y serán iguales si y sólo si y .

El conjunto se llama universal (en el marco de esta teoría matemática) , si sus elementos son todos los objetos considerados en esta teoría.

El conjunto se puede especificar: 1) enumerando todos sus elementos, por ejemplo: (sólo para conjuntos finitos); 2) especificando la regla para determinar si un elemento de un conjunto universal pertenece a un conjunto dado: .

Asociación

Al cruzar conjuntos y se llama conjunto

Por diferencia conjuntos y se llama conjunto

Suplemento Los conjuntos (antes del conjunto universal) se llaman conjunto.

Los dos conjuntos se llaman equivalente y escriba ~ si se puede establecer una correspondencia uno a uno entre los elementos de estos conjuntos. El conjunto se llama contable , si es equivalente al conjunto de los números naturales: ~. El conjunto vacío, por definición, es contable.

El concepto de cardinalidad de un conjunto surge al comparar conjuntos por la cantidad de elementos que contienen. La cardinalidad de un conjunto se denota por. La cardinalidad de un conjunto finito es el número de sus elementos.

Los conjuntos equivalentes tienen igual cardinalidad. El conjunto se llama incontable , si su potencia es mayor que la potencia del conjunto.

Válido (real) número llamado infinito decimal, tomado con un signo “+” o “ ”. Los números reales se identifican con puntos en la recta numérica. Módulo (valor absoluto) de un número real es un número no negativo:

El conjunto se llama numérico , si sus elementos son números reales. a intervalos Los conjuntos de números se llaman: , , , , , , , , .

El conjunto de todos los puntos de la recta numérica que cumplen la condición , donde es un número arbitrariamente pequeño, se llama -alrededores (o simplemente una vecindad) del punto y se denota por. El conjunto de todos los puntos con la condición , donde - arbitrariamente gran número, llamado - alrededores (o simplemente una vecindad) de infinito y se denota por.

Una cantidad que conserva el mismo valor numérico se llama constante. Una cantidad que toma diferentes valores numéricos se llama variable. Función Se llama regla según la cual a cada número se le asocia un número muy concreto, y se escriben. El conjunto se llama dominio de definición funciones, - muchos ( o región ) valores funciones, - argumento , - valor de la función . La forma más común de especificar una función es el método analítico, en el que la función se especifica mediante una fórmula. Dominio natural de definición La función es el conjunto de valores del argumento para el cual esta fórmula tiene sentido. Gráfico de funciones , en un sistema de coordenadas rectangular, es el conjunto de todos los puntos del plano con coordenadas , .

La función se llama incluso en un conjunto simétrico con respecto al punto si se cumple la siguiente condición para todos: y extraño , si se cumple la condición. De lo contrario - función vista general o ni par ni impar .

La función se llama periódico en el televisor si hay un número ( período de la función ), de modo que se cumpla la siguiente condición para todos: . Número más pequeño llamado período principal.

La función se llama aumentando monótonamente (decreciente ) en el set si valor más alto El argumento corresponde a un valor mayor (menor) de la función.

La función se llama limitado en el conjunto, si hay un número tal que se cumple la siguiente condición para todos: . De lo contrario la función es ilimitado .

Contrarrestar funcionar , , es una función que se define en el conjunto y para cada

Coincidencias tales que. Para encontrar la inversa de una función. , necesito resolver la ecuacion relativamente. Si la función , es estrictamente monótono en , entonces siempre tiene una inversa, y si la función aumenta (disminuye), entonces función inversa también aumenta (disminuye).

Una función representada en la forma , donde , son algunas funciones tales que el dominio de definición de la función contiene el conjunto completo de valores de la función se llama función compleja argumento independiente. La variable se llama argumento intermedio. Función compleja también se llama composición de funciones y , y se escribe: .

primaria basica Se consideran funciones: fuerza función, indicativo función ( , ), logarítmico función ( , ), trigonométrico funciones , , , , trigonométrica inversa funciones , , , . Elemental llamada función obtenida a partir de la base funciones elementales un número finito de sus operaciones aritméticas y composiciones.

Si se proporciona una gráfica de una función, entonces la construcción de una gráfica de la función se reduce a una serie de transformaciones (desplazamiento, compresión o estiramiento, visualización) de la gráfica:

1) 2) la transformación muestra el gráfico simétricamente, con respecto al eje; 3) la transformación desplaza el gráfico a lo largo del eje en unidades ( - a la derecha, - a la izquierda); 4) la transformación desplaza el gráfico a lo largo del eje en unidades ( - arriba, - abajo); 5) transformar el gráfico a lo largo del eje se estira en un factor, si o se comprime en un factor, si; 6) Transformar el gráfico a lo largo del eje se comprime por un factor si o se estira por un factor si.

La secuencia de transformaciones al construir la gráfica de una función se puede representar simbólicamente como:

Nota. Al realizar la transformación, tenga en cuenta que la cantidad de desplazamiento a lo largo del eje está determinada por la constante que se suma directamente al argumento y no al argumento.

La gráfica de una función es una parábola con un vértice en el punto , cuyas ramas se dirigen hacia arriba si o hacia abajo si . La gráfica de una función fraccionaria lineal es una hipérbola con centro en el punto , cuyas asíntotas pasan por el centro, paralelas a los ejes de coordenadas.

, satisfaciendo la condición. llamado. Considere el producto de vectores, Y
, compuesto de la siguiente manera:

. Aquí los dos primeros vectores se multiplican vectorialmente y su resultado se multiplica escalarmente por el tercer vector. Tal producto se llama producto vectorial escalar o mixto de tres vectores. El producto mixto representa un número.
.

Descubramos el significado geométrico de la expresión. . El producto mixto de tres vectores es igual al volumen del paralelepípedo construido sobre estos vectores, tomado con signo más si estos vectores forman un triple derecho, y con signo menos si forman un triple izquierdo.

Prueba.. Construyamos un paralelepípedo cuyas aristas sean vectores. , , y vector
.

Tenemos:
,
, Dónde - área de un paralelogramo construido sobre vectores Considere el producto de vectores, ,
para el triple derecho de vectores y
por la izquierda, donde
- altura del paralelepípedo. Obtenemos:
, es decir.
, Dónde - volumen de un paralelepípedo formado por vectores , Considere el producto de vectores, .

Propiedades de un producto mixto.

1. El producto mezclado no cambia cuando cíclico reordenamiento de sus factores, es decir .

De hecho, en este caso no cambia ni el volumen del paralelepípedo ni la orientación de sus bordes.

2. El producto mixto no cambia cuando se intercambian los signos de la multiplicación vectorial y escalar, es decir,
.

En realidad,
Considere el producto de vectores,
. Tomamos el mismo signo en el lado derecho de estas igualdades, ya que los triples de vectores , , Considere el producto de vectores, , , - una orientación.

Por eso,
. Esto le permite escribir un producto mixto de vectores.
en la forma
sin signos de vector, multiplicación escalar.

3. El producto mixto cambia de signo cuando dos vectores de factores cambian de lugar, es decir,
,
,
.

De hecho, tal reordenamiento equivale a reordenar los factores en un producto vectorial, cambiando el signo del producto.

4. Producto mixto de vectores distintos de cero. , Considere el producto de vectores, es igual a cero si y sólo si son coplanares.

2.12. Cálculo del producto mixto en forma de coordenadas en base ortonormal.

Se dan los vectores.
,
,
. Encontremos su producto mixto usando expresiones en coordenadas para vector y productos escalares:

. (10)

La fórmula resultante se puede escribir más brevemente:

ya que el lado derecho de la igualdad (10) representa la expansión del determinante de tercer orden en elementos de la tercera fila.

Entonces, el producto mixto de vectores es igual al determinante de tercer orden, compuesto por las coordenadas de los vectores multiplicados.

2.13.Algunas aplicaciones del producto mixto

Determinar la orientación relativa de los vectores en el espacio.

Determinar la orientación relativa de los vectores. , Considere el producto de vectores, basándose en las siguientes consideraciones. Si
, Eso , , - tres a la derecha; Si
, Eso , , - quedaron tres.

Condición de coplanaridad de vectores.

Vectores , Considere el producto de vectores, son coplanares si y sólo si su producto mixto es igual a cero (
,
,
):

vectores , , coplanar.

Determinación de los volúmenes de un paralelepípedo y una pirámide triangular.

Es fácil demostrar que el volumen de un paralelepípedo construido sobre vectores. , Considere el producto de vectores, calculado como
y el volumen pirámide triangular, construido sobre los mismos vectores, es igual a
.

Ejemplo 1. Demostrar que los vectores
,
,
coplanar.

Solución. Encontremos el producto mixto de estos vectores usando la fórmula:

Esto significa que los vectores
coplanar.

Ejemplo 2. Dados los vértices del tetraedro: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). Encuentre la longitud de su altura bajada del vértice. .

Solución. Primero encontremos el volumen del tetraedro.
. Usando la fórmula obtenemos:

Dado que el determinante es igual a un número negativo, entonces en en este caso Debes poner un signo menos delante de la fórmula. Por eso,
.

La cantidad requerida h determinamos a partir de la fórmula
, Dónde S – superficie base. Determinemos el área. S:

Dónde

Desde

Sustituyendo en la fórmula
valores
Considere el producto de vectores,
, obtenemos h= 3.

Ejemplo 3.¿Se forman los vectores?
base en el espacio? Expandir vector
basado en vectores.

Solución. Si los vectores forman una base en el espacio, entonces no se encuentran en el mismo plano, es decir son no coplanares. Encontremos el producto mixto de vectores.
:
,

En consecuencia, los vectores no son coplanares y forman una base en el espacio. Si los vectores forman una base en el espacio, entonces cualquier vector se puede representar como una combinación lineal de vectores base, a saber
,Dónde
coordenadas vectoriales en base vectorial
. Encontremos estas coordenadas componiendo y resolviendo un sistema de ecuaciones.

Resolviendo por el método de Gauss tenemos

Desde aquí
. .

Entonces
.

De este modo, Ejemplo 4.
,
,
,
Las cimas de la pirámide están ubicadas en los puntos:

. Calcular:
;

a) área de la cara
;

b) volumen de la pirámide
c) proyección vectorial
;

a la dirección del vector
;

d) ángulo
,
,
coplanar.

Solución

d) comprobar que los vectores

a) De la definición de producto vectorial se sabe que:
Considere el producto de vectores,
Encontrar vectores

,
.

, usando la fórmula

, Dónde
.

Para vectores especificados por sus proyecciones, el producto vectorial se encuentra mediante la fórmula

Para nuestro caso

,
.

Encontramos la longitud del vector resultante usando la fórmula
y luego

(unidades cuadradas). , , b) El producto mixto de tres vectores es igual en valor absoluto al volumen de un paralelepípedo construido sobre vectores.

como en las costillas.

El producto mezclado se calcula mediante la fórmula:
,
,
Encontremos vectores :

, coincidiendo con los bordes de la pirámide convergiendo hacia la cima

El producto mixto de estos vectores.
,
,
, Eso
Dado que el volumen de la pirámide es igual a parte del volumen del paralelepípedo construido sobre los vectores

(unidades cúbicas).
c) Usando la fórmula , , definiendo el producto escalar de vectores

Dónde
, se puede escribir así:
;

, se puede escribir así:
.

o
c) proyección vectorial
Para encontrar la proyección de un vector.
,
encontrar las coordenadas de los vectores

, y luego aplicando la fórmula

obtenemos
d) Encontrar el ángulo
,
definir vectores teniendo comienzo general :

en el punto

Luego, usando la fórmula del producto escalar

,
,

e) Para que tres vectores

fueran coplanares, es necesario y suficiente que su producto mixto sea igual a cero.
.

En nuestro caso tenemos

Por tanto, los vectores son coplanares. dado por coordenadas, , el producto mezclado se calcula mediante la fórmula: .

Tema 5. Líneas en un avión.

Derecho en el avión en el sistema de coordenadas se puede especificar mediante una ecuación de uno de los siguientes tipos:

1) - ecuación general recta, donde está el vector normal de la recta;

2) - ecuación de una línea recta que pasa por un punto perpendicular a un vector dado;

3) - ecuación de una línea recta que pasa por un punto paralelo a un vector dado ( ecuación canónica );

4) - ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados, ;

5) - ecuaciones de una recta con pendiente , donde es el punto por donde pasa la recta; () – el ángulo que forma la recta con el eje; - longitud del segmento (con signo) cortado por la recta en el eje (signo “ ” si el segmento se corta en la parte positiva del eje y “ ” si en la parte negativa).

Distancia de un punto a una línea , dada por una ecuación general en el plano, se encuentra mediante la fórmula:

Esquina , ( )entre lineas rectas y , dado por ecuaciones generales o ecuaciones con coeficiente angular, se encuentra utilizando una de las siguientes fórmulas:

Si o.

si o

Coordenadas del punto de intersección de las líneas. y se encuentran como solución a un sistema de ecuaciones lineales: o .

Tema 10. Multitudes. Conjuntos numéricos. Funciones.

El conjunto se llama subconjunto establecer si todos los elementos del conjunto pertenecen al conjunto y escribir.

Los conjuntos se llaman igual , si constan de los mismos elementos y escribe . Dos conjuntos y serán iguales si y sólo si y .

El conjunto se llama universal (en el marco de esta teoría matemática) , si sus elementos son todos los objetos considerados en esta teoría.

Asociación

Al cruzar conjuntos y se llama conjunto

Por diferencia conjuntos y se llama conjunto

Suplemento Los conjuntos (antes del conjunto universal) se llaman conjunto.

Válido (real) número Se llama fracción decimal infinita tomada con un signo “+” o “ ”. Los números reales se identifican con puntos en la recta numérica.

Módulo (valor absoluto) de un número real es un número no negativo:

El conjunto se llama numérico , si sus elementos son números reales. Numérico a intervalos se llaman conjuntos

números: , , , , , , , , .

El conjunto de todos los puntos de la recta numérica que cumplen la condición , donde es un número arbitrariamente pequeño, se llama -alrededores (o simplemente una vecindad) del punto y se denota por. El conjunto de todos los puntos con la condición , donde es un número arbitrariamente grande, se llama: alrededores (o simplemente una vecindad) de infinito y se denota por.

La función se llama incluso en un conjunto simétrico con respecto al punto si se cumple la siguiente condición para todos: y extraño , si se cumple la condición. De lo contrario, una función de forma general o ni par ni impar .

La función se llama periódico en el televisor si hay un número ( período de la función ), de modo que se cumpla la siguiente condición para todos: . El número más pequeño se llama período principal.

La función se llama aumentando monótonamente (decreciente ) en el conjunto si un valor mayor del argumento corresponde a un valor mayor (menor) de la función.

La función se llama limitado en el conjunto, si hay un número tal que se cumple la siguiente condición para todos: . De lo contrario la función es ilimitado .

Contrarrestar funcionar , , es una función que se define en un conjunto y asigna a cada uno tal que . Para encontrar la inversa de una función. , necesito resolver la ecuacion relativamente. Si la función , es estrictamente monótono en , entonces siempre tiene una inversa, y si la función aumenta (disminuye), entonces la función inversa también aumenta (disminuye).

Una función representada en la forma , donde , son algunas funciones tales que el dominio de definición de la función contiene el conjunto completo de valores de la función se llama función compleja argumento independiente. La variable se llama argumento intermedio. Una función compleja también se llama composición de funciones y y se escribe: .

primaria basica Se consideran funciones: fuerza función, indicativo función ( , ), logarítmico función ( , ), trigonométrico funciones , , , , trigonométrica inversa funciones , , , . Elemental es una función obtenida a partir de funciones elementales básicas mediante un número finito de sus operaciones aritméticas y composiciones.

La gráfica de una función es una parábola con un vértice en el punto , cuyas ramas se dirigen hacia arriba si o hacia abajo si .

En algunos casos, al construir una gráfica de una función, es aconsejable dividir su dominio de definición en varios intervalos que no se superpongan y construir secuencialmente una gráfica en cada uno de ellos.

Todo conjunto ordenado de números reales se llama aritmética punto-dimensional (coordinar) espacio y se denota por o , mientras que los números se llaman ee coordenadas .

Sean y algunos conjuntos de puntos y . Si a cada punto se le asigna, según alguna regla, un número real bien definido , entonces dicen que en el conjunto está dada una función numérica de variables y escriben o brevemente y , que se llama dominio de definición , - conjunto de significados , - argumentos (variables independientes) funciones.

Una función de dos variables a menudo se denota por , una función de tres variables por . El dominio de definición de una función es un determinado conjunto de puntos en el plano; el dominio de una función es un determinado conjunto de puntos en el espacio.

Tema 7. Secuencias numéricas y series. Límite de consistencia. Límite de función y continuidad.

si todos número natural de acuerdo con alguna regla, se asigna un número real bien definido, entonces dicen que el dado secuencia numérica . Denota brevemente. el numero se llama miembro común de la secuencia . La secuencia también se llama función de argumento natural. Una secuencia siempre contiene infinitos elementos, algunos de los cuales pueden ser iguales.

el numero se llama límite de la secuencia , y escribe si para cualquier número existe un número tal que para toda la desigualdad .

Una secuencia que tiene un límite finito se llama convergente , de lo contrario - divergente .

: 1) decreciente , Si ; 2) creciente , Si ; 3) no decreciente , Si ; 4) no creciente , Si . Todas las secuencias anteriores se llaman monótono .

La secuencia se llama limitado , si existe un número tal que se cumple la siguiente condición para todos: . De lo contrario, la secuencia es ilimitado .

Cada secuencia acotada monótona tiene un límite ( teorema de Weierstrass).

La secuencia se llama infinitesimal , Si . La secuencia se llama infinitamente grande (convergiendo al infinito) si .

Número se llama límite de la secuencia, donde

La constante se llama número de Neper. El logaritmo de un número respecto de su base se llama logaritmo natural números y se denota por .

Una expresión de la forma , donde es una secuencia de números, se llama serie de números y será designado. La suma de los primeros términos de la serie se llama -ésimo importe parcial fila.

la serie se llama convergente , si hay un límite finito y divergente , si el límite no existe. el numero se llama la suma de una serie convergente , al mismo tiempo escriben.

Si la serie converge, entonces (un signo necesario de convergencia de una serie ) . La afirmación inversa no es cierta.

Si , entonces la serie diverge ( una indicación suficiente de la divergencia de una serie ).

Serie armónica generalizada es una serie que converge en y diverge en .

Serie geométrica es una serie que converge en , mientras que su suma es igual y diverge en . encontrar un número o símbolo.