Fórmulas para encontrar los volúmenes de figuras geométricas. Fórmulas para encontrar el volumen de un paralelepípedo.

Descripción general. ¡Fórmulas de estereometría!

Hola, Queridos amigos! En este artículo decidí hacer descripción general tareas de estereometría que estarán en Examen Estatal Unificado de Matemáticas e. Hay que decir que las tareas de este grupo son bastante variadas, pero no difíciles. Se trata de problemas para encontrar cantidades geométricas: longitudes, ángulos, áreas, volúmenes.

Considerados: cubo, paralelepípedo, prisma, pirámide, poliedro compuesto, cilindro, cono, bola. Lo triste es que algunos graduados ni siquiera abordan este tipo de problemas durante el examen, aunque más del 50% de ellos se resuelven de forma sencilla, casi oralmente.

El resto requiere poco esfuerzo, conocimientos y técnicas especiales. En futuros artículos consideraremos estas tareas, no te las pierdas, suscríbete a las actualizaciones del blog.

Para resolverlo necesitas saber. fórmulas para áreas de superficie y volúmenes paralelepípedo, pirámide, prisma, cilindro, cono y esfera. Tareas complejas no, todos se resuelven en 2-3 pasos, es importante “ver” qué fórmula hay que aplicar.

Todas las fórmulas necesarias se presentan a continuación:

Bola o esfera. Una superficie esférica o esférica (a veces simplemente una esfera) es el lugar geométrico de puntos en el espacio equidistantes de un punto: el centro de la pelota.

Volumen de bola igual al volumen de una pirámide cuya base tiene la misma área que la superficie de la pelota, y la altura es el radio de la pelota

El volumen de la esfera es una vez y media menor que el volumen del cilindro circunscrito a su alrededor.

Un cono circular se puede obtener girando un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos, por lo que al cono circular también se le llama cono de revolución. Ver también Área de superficie de un cono circular

Volumen de un cono redondo igual a un tercio del producto del área de la base S por la altura H:

(H es la altura del borde del cubo)

Un paralelepípedo es un prisma cuya base es un paralelogramo. El paralelepípedo tiene seis caras y todas ellas son paralelogramos. Paralelepípedo, cuatro caras laterales que son rectángulos se llama línea recta. Un paralelepípedo recto cuyas seis caras son todas rectángulos se llama rectangular.

Volumen de un paralelepípedo rectangular. igual al producto del área de la base por la altura:

(S es el área de la base de la pirámide, h es la altura de la pirámide)

Una pirámide es un poliedro que tiene una cara, la base de la pirámide, un polígono arbitrario, y el resto, caras laterales, triángulos con un vértice común, llamado cima de la pirámide.

Una sección paralela a la base de la pirámide divide la pirámide en dos partes. La parte de la pirámide comprendida entre su base y este tramo es una pirámide trunca.

Volumen de una pirámide truncada igual a un tercio del producto de la altura h (sistema operativo) por la suma de las áreas de la base superior S1 (abcd), base inferior de una pirámide truncada T2 (ABCDE) y el promedio proporcional entre ellos.

n - número de lados de un polígono regular - bases pirámide regular
a - lado de un polígono regular - la base de una pirámide regular
h - altura de una pirámide regular

Una pirámide triangular regular es un poliedro que tiene una cara, la base de la pirámide, un triángulo regular, y el resto, las caras laterales, triángulos iguales con un vértice común. La altura desciende hasta el centro de la base desde arriba.

Volumen correcto pirámide triangular igual a un tercio del producto del área triangulo regular, que es la base S (ABC) a la altura h (sistema operativo)

a - lado de un triángulo regular - base de una pirámide triangular regular
h - altura de una pirámide triangular regular

Derivación de la fórmula para el volumen de un tetraedro.

El volumen de un tetraedro se calcula mediante la fórmula clásica del volumen de una pirámide. Es necesario sustituir la altura del tetraedro y el área de un triángulo regular (equilátero).

Volumen de un tetraedro- es igual a la fracción en cuyo numerador la raíz cuadrada de dos en el denominador es doce, multiplicada por el cubo de la longitud de la arista del tetraedro

(h es la longitud del lado del rombo)

Circunferencia pag es aproximadamente tres enteros y un séptimo de la longitud del diámetro del círculo. La relación exacta entre la circunferencia de un círculo y su diámetro se indica con la letra griega π

Como resultado, el perímetro del círculo o circunferencia se calcula mediante la fórmula

(r - radio del arco, n - ángulo central arcos en grados.)

Y los antiguos egipcios usaban métodos para calcular las áreas de varias figuras, similares a nuestros métodos.

en mis libros "Principios" el famoso matemático griego antiguo Euclides describió bastante gran número métodos para calcular las áreas de muchos formas geométricas. Los primeros manuscritos en Rusia que contienen información geométrica se escribieron en el siglo XVI. Describen las reglas para encontrar las áreas de figuras de varias formas.

Hoy con la ayuda métodos modernos podrás encontrar el área de cualquier figura con gran precisión.

Consideremos una de las figuras más simples, un rectángulo, y la fórmula para encontrar su área.

Fórmula del área del rectángulo

Consideremos una figura (Fig. 1), que consta de $8$ cuadrados con lados de $1$ cm. El área de un cuadrado con un lado de $1$ cm se llama centímetro cuadrado y se escribe $1\ cm^2. $.

El área de esta figura (Fig. 1) será igual a $8\cm^2$.

El área de una figura que se puede dividir en varios cuadrados con un lado de $1\ cm$ (por ejemplo, $p$) será igual a $p\ cm^2$.

En otras palabras, el área de la figura será igual a tantos $cm^2$ en cuantos cuadrados de lado $1\ cm$ se pueda dividir esta figura.

Consideremos un rectángulo (Fig. 2), que consta de $3$ franjas, cada una de las cuales está dividida en $5$ cuadrados con un lado de $1\ cm$. todo el rectángulo consta de $5\cdot 3=15$ de estos cuadrados, y su área es $15\cm^2$.

Figura 1.

Figura 2.

El área de las figuras suele denotarse con la letra $S$.

Para encontrar el área de un rectángulo, debes multiplicar su largo por su ancho.

Si denotamos su largo con la letra $a$ y su ancho con la letra $b$, entonces la fórmula para el área de un rectángulo se verá así:

Definición 1

Las figuras se llaman igual si al superponerse unas a otras las figuras coinciden. cifras iguales tienen áreas iguales y perímetros iguales.

El área de una figura se puede encontrar como la suma de las áreas de sus partes.

Ejemplo 1

Por ejemplo, en la Figura $3$, el rectángulo $ABCD$ está dividido en dos partes por la línea $KLMN$. El área de una parte es $12\ cm^2$ y la otra es $9\ cm^2$. Entonces el área del rectángulo $ABCD$ será igual a $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Encuentra el área del rectángulo usando la fórmula:

Como puedes ver, las áreas encontradas por ambos métodos son iguales.

Figura 3.

Figura 4.

El segmento $AC$ divide el rectángulo en dos triangulo igual: $ABC$ y $ADC$. Esto significa que el área de cada triángulo es igual a la mitad del área de todo el rectángulo.

Definición 2

Un rectángulo de lados iguales se llama cuadrado.

Si denotamos el lado de un cuadrado con la letra $a$, entonces el área del cuadrado se encontrará mediante la fórmula:

De ahí el nombre cuadrado del número $a$.

Ejemplo 2

Por ejemplo, si el lado de un cuadrado es $5$ cm, entonces su área es:

Volúmenes

Con el desarrollo del comercio y la construcción, incluso durante la época de las civilizaciones antiguas, surgió la necesidad de encontrar volúmenes. En matemáticas existe una rama de la geometría que se ocupa del estudio de las figuras espaciales, llamada estereometría. Se encontraron menciones de esta rama separada de las matemáticas ya en el siglo IV a.C.

Los antiguos matemáticos desarrollaron un método para calcular el volumen de figuras simples: un cubo y un paralelepípedo. Todos los edificios de aquella época tenían exactamente esta forma. Pero posteriormente se encontraron métodos para calcular el volumen de figuras de formas más complejas.

Volumen de un paralelepípedo rectangular.

Si llenas el molde con arena húmeda y luego le das la vuelta, obtendrás una figura tridimensional que se caracteriza por su volumen. Si haces varias figuras de este tipo con el mismo molde, obtendrás figuras que tendrán el mismo volumen. Si llenas el molde con agua, el volumen de agua y el volumen de la figura de arena también serán iguales.

Figura 5.

Puedes comparar los volúmenes de dos recipientes llenando uno con agua y vertiéndolo en el segundo recipiente. Si el segundo recipiente está completamente lleno, entonces los recipientes tienen volúmenes iguales. Si queda agua en el primero, entonces el volumen del primer recipiente es mayor que el volumen del segundo. Si, al verter agua del primer recipiente, no es posible llenar completamente el segundo recipiente, entonces el volumen del primer recipiente es menor que el volumen del segundo.

El volumen se mide utilizando las siguientes unidades:

$mm^3$ -- milímetro cúbico,

$cm^3$ -- centímetro cúbico,

$dm^3$ -- decímetro cúbico,

$m^3$ -- metro cúbico,

$km^3$ -- kilómetro cúbico.

Mida todas las distancias requeridas en metros. El volumen de muchas figuras tridimensionales se puede calcular fácilmente utilizando las fórmulas adecuadas. Sin embargo, todos los valores sustituidos en las fórmulas deben medirse en metros. Por lo tanto, antes de introducir valores en la fórmula, asegúrese de que todos estén medidos en metros o de haber convertido otras unidades de medida a metros.

• 1 mm = 0,001 m
• 1 cm = 0,01 m
• 1 kilómetro = 1000 metros

Y los antiguos egipcios usaban métodos para calcular las áreas de varias figuras, similares a nuestros métodos.

en mis libros "Principios" El famoso matemático griego Euclides describió una cantidad bastante grande de formas de calcular las áreas de muchas figuras geométricas. Los primeros manuscritos en Rusia que contienen información geométrica se escribieron en el siglo XVI. Describen las reglas para encontrar las áreas de figuras de varias formas.

Hoy en día, utilizando métodos modernos, puedes encontrar el área de cualquier figura con gran precisión.

Consideremos una de las figuras más simples, un rectángulo, y la fórmula para encontrar su área.

Fórmula del área del rectángulo

Consideremos una figura (Fig. 1), que consta de $8$ cuadrados con lados de $1$ cm. El área de un cuadrado con un lado de $1$ cm se llama centímetro cuadrado y se escribe $1\ cm^2. $.

El área de esta figura (Fig. 1) será igual a $8\cm^2$.

El área de una figura que se puede dividir en varios cuadrados con un lado de $1\ cm$ (por ejemplo, $p$) será igual a $p\ cm^2$.

En otras palabras, el área de la figura será igual a tantos $cm^2$ en cuantos cuadrados de lado $1\ cm$ se pueda dividir esta figura.

Consideremos un rectángulo (Fig. 2), que consta de $3$ franjas, cada una de las cuales está dividida en $5$ cuadrados con un lado de $1\ cm$. todo el rectángulo consta de $5\cdot 3=15$ de estos cuadrados, y su área es $15\cm^2$.

Figura 1.

Figura 2.

El área de las figuras suele denotarse con la letra $S$.

Para encontrar el área de un rectángulo, debes multiplicar su largo por su ancho.

Si denotamos su largo con la letra $a$ y su ancho con la letra $b$, entonces la fórmula para el área de un rectángulo se verá así:

Definición 1

Las figuras se llaman igual si al superponerse unas a otras las figuras coinciden. Figuras iguales tienen áreas iguales y perímetros iguales.

El área de una figura se puede encontrar como la suma de las áreas de sus partes.

Ejemplo 1

Por ejemplo, en la Figura $3$, el rectángulo $ABCD$ está dividido en dos partes por la línea $KLMN$. El área de una parte es $12\ cm^2$ y la otra es $9\ cm^2$. Entonces el área del rectángulo $ABCD$ será igual a $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Encuentra el área del rectángulo usando la fórmula:

Como puedes ver, las áreas encontradas por ambos métodos son iguales.

Figura 3.

Figura 4.

El segmento de línea $AC$ divide el rectángulo en dos triángulos iguales: $ABC$ y $ADC$. Esto significa que el área de cada triángulo es igual a la mitad del área de todo el rectángulo.

Definición 2

Un rectángulo de lados iguales se llama cuadrado.

Si denotamos el lado de un cuadrado con la letra $a$, entonces el área del cuadrado se encontrará mediante la fórmula:

De ahí el nombre cuadrado del número $a$.

Ejemplo 2

Por ejemplo, si el lado de un cuadrado es $5$ cm, entonces su área es:

Volúmenes

Con el desarrollo del comercio y la construcción, incluso durante la época de las civilizaciones antiguas, surgió la necesidad de encontrar volúmenes. En matemáticas existe una rama de la geometría que se ocupa del estudio de las figuras espaciales, llamada estereometría. Se encontraron menciones de esta rama separada de las matemáticas ya en el siglo IV a.C.

Los antiguos matemáticos desarrollaron un método para calcular el volumen de figuras simples: un cubo y un paralelepípedo. Todos los edificios de aquella época tenían exactamente esta forma. Pero posteriormente se encontraron métodos para calcular el volumen de figuras de formas más complejas.

Volumen de un paralelepípedo rectangular.

Si llenas el molde con arena húmeda y luego le das la vuelta, obtendrás una figura tridimensional que se caracteriza por su volumen. Si haces varias figuras de este tipo con el mismo molde, obtendrás figuras que tendrán el mismo volumen. Si llenas el molde con agua, el volumen de agua y el volumen de la figura de arena también serán iguales.

Figura 5.

Puedes comparar los volúmenes de dos recipientes llenando uno con agua y vertiéndolo en el segundo recipiente. Si el segundo recipiente está completamente lleno, entonces los recipientes tienen volúmenes iguales. Si queda agua en el primero, entonces el volumen del primer recipiente es mayor que el volumen del segundo. Si, al verter agua del primer recipiente, no es posible llenar completamente el segundo recipiente, entonces el volumen del primer recipiente es menor que el volumen del segundo.

El volumen se mide utilizando las siguientes unidades:

$mm^3$ -- milímetro cúbico,

$cm^3$ -- centímetro cúbico,

$dm^3$ -- decímetro cúbico,

$m^3$ -- metro cúbico,

$km^3$ -- kilómetro cúbico.

Cualquier cuerpo geométrico se puede caracterizar por el área de superficie (S) y el volumen (V). Área y volumen no son lo mismo en absoluto. Un objeto puede tener una V relativamente pequeña y una S grande, por ejemplo, así es como funciona el cerebro humano. Es mucho más fácil calcular estos indicadores para formas geométricas simples.

Paralelepípedo: definición, tipos y propiedades.

Un paralelepípedo es prisma cuadrangular, en cuya base hay un paralelogramo. ¿Por qué podrías necesitar una fórmula para encontrar el volumen de una figura? Libros, cajas de embalaje y muchas otras cosas de vida cotidiana. Las habitaciones de los edificios residenciales y de oficinas suelen ser paralelepípedos rectangulares. Para instalar ventilación, aire acondicionado y determinar la cantidad de elementos calefactores en una habitación, es necesario calcular el volumen de la habitación.

La figura tiene 6 caras: paralelogramos y 12 aristas; dos caras seleccionadas arbitrariamente se llaman bases. Un paralelepípedo puede ser de varios tipos. Las diferencias se deben a los ángulos entre bordes adyacentes. Las fórmulas para encontrar las V de diferentes polígonos son ligeramente diferentes.

Si las 6 caras de una figura geométrica son rectángulos, entonces también se llama rectangular. Un cubo es un caso especial de paralelepípedo en el que las 6 caras son cuadrados iguales. En este caso, para encontrar V, necesitas averiguar la longitud de un solo lado y elevarla a la tercera potencia.

Para resolver problemas, necesitará conocimiento no solo de las fórmulas ya preparadas, sino también de las propiedades de la figura. La lista de propiedades básicas de un prisma rectangular es pequeña y muy fácil de entender:

1. Los lados opuestos de la figura son iguales y paralelos. Esto significa que las nervaduras opuestas tienen la misma longitud y ángulo de inclinación.
2. Todas las caras laterales de un paralelepípedo recto son rectángulos.
3. Las cuatro diagonales principales de una figura geométrica se cortan en un punto y se dividen por la mitad por éste.
4. El cuadrado de la diagonal de un paralelepípedo es igual a la suma de los cuadrados de las dimensiones de la figura (se desprende del teorema de Pitágoras).

teorema de pitágoras afirma que la suma de las áreas de cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo es igual al área de un triángulo construido sobre la hipotenusa del mismo triángulo.

La prueba de la última propiedad se puede ver en la imagen a continuación. El proceso de resolución del problema es sencillo y no requiere explicaciones detalladas.

Fórmula para el volumen de un paralelepípedo rectangular.

La fórmula para encontrar para todo tipo de figuras geométricas es la misma: V=S*h, donde V es el volumen requerido, S es el área de la base del paralelepípedo, h es la altura bajada desde el vértice opuesto y perpendicular a la base. En un rectángulo, h coincide con uno de los lados de la figura, por lo que para encontrar el volumen de un prisma rectangular, debes multiplicar tres dimensiones.

El volumen suele expresarse en cm3. Conociendo los tres valores de a, b y c, encontrar el volumen de una figura no es nada difícil. El tipo de problema más común en el Examen Estatal Unificado es encontrar el volumen o la diagonal de un paralelepípedo. Resuelve muchos típicos. Asignaciones del examen estatal unificado Es imposible sin la fórmula del volumen de un rectángulo. En la siguiente figura se muestra un ejemplo de una tarea y el diseño de su solución.

Nota 1. El área de la superficie de un prisma rectangular se puede encontrar multiplicando por 2 la suma de las áreas de las tres caras de la figura: la base (ab) y dos caras laterales adyacentes (bc + ac).

Nota 2. La superficie de las caras laterales se puede determinar fácilmente multiplicando el perímetro de la base por la altura del paralelepípedo.

Basado en la primera propiedad de los paralelepípedos AB = A1B1 y la cara B1D1 = BD. Según los corolarios del teorema de Pitágoras, la suma de todos los ángulos en triangulo rectángulo es igual a 180°, y el cateto opuesto al ángulo de 30° es igual a la hipotenusa. Aplicando este conocimiento a un triángulo, podemos encontrar fácilmente la longitud de los lados AB y AD. Luego multiplicamos los valores obtenidos y calculamos el volumen del paralelepípedo.

Fórmula para encontrar el volumen de un paralelepípedo inclinado.

Para encontrar el volumen de un paralelepípedo inclinado, es necesario multiplicar el área de la base de la figura por la altura bajada a la base dada desde la esquina opuesta.

Por lo tanto, la V requerida se puede representar en forma de h, el número de hojas con un área de base S, por lo que el volumen de la baraja se compone de las V de todas las cartas.

Ejemplos de resolución de problemas

Las tareas del examen único deben completarse en un tiempo determinado. Tareas típicas, por regla general, no contienen gran cantidad cálculos y fracciones complejas. A menudo se pregunta a un estudiante cómo encontrar el volumen de una figura geométrica irregular. En tales casos, una regla sencilla de recordar es que el volumen total igual a la suma Componentes de V.

Como puede ver en el ejemplo de la imagen de arriba, no hay nada difícil en resolver este tipo de problemas. Las tareas de secciones más complejas requieren conocimiento del teorema de Pitágoras y sus consecuencias, así como de la fórmula para la longitud de la diagonal de una figura. Para resolver con éxito las tareas de prueba, basta con familiarizarse de antemano con ejemplos de problemas típicos.