El problema B9 muestra una gráfica de una función o derivada a partir de la cual es necesario determinar una de las siguientes cantidades:
- El valor de la derivada en algún punto x 0,
- Puntos máximos o mínimos (puntos extremos),
- Intervalos de funciones crecientes y decrecientes (intervalos de monotonicidad).
Las funciones y derivadas presentadas en este problema son siempre continuas, lo que facilita mucho la solución. A pesar de que la tarea pertenece a la sección de análisis matemático, incluso los estudiantes más débiles pueden realizarla, ya que aquí no se requieren conocimientos teóricos profundos.
Para encontrar el valor de la derivada, los puntos extremos y los intervalos de monotonicidad, existen algoritmos simples y universales; todos ellos se analizarán a continuación.
Lee atentamente las condiciones del problema B9 para no cometer errores estúpidos: a veces te encuentras con textos bastante extensos, pero condiciones importantes, que influyen en el curso de la decisión, son pocos.
Cálculo del valor de la derivada. Método de dos puntos
Si al problema se le da una gráfica de una función f(x), tangente a esta gráfica en algún punto x 0, y se requiere encontrar el valor de la derivada en este punto, se aplica el siguiente algoritmo:
- Encuentra dos puntos “adecuados” en la gráfica tangente: sus coordenadas deben ser números enteros. Denotemos estos puntos como A (x 1; y 1) y B (x 2; y 2). Escriba las coordenadas correctamente: este es un punto clave en la solución y cualquier error aquí conducirá a una respuesta incorrecta.
- Conociendo las coordenadas, es fácil calcular el incremento del argumento Δx = x 2 − x 1 y el incremento de la función Δy = y 2 − y 1 .
- Finalmente, encontramos el valor de la derivada D = Δy/Δx. En otras palabras, debes dividir el incremento de la función por el incremento del argumento, y esta será la respuesta.
Notemos una vez más: los puntos A y B deben buscarse precisamente en la tangente, y no en la gráfica de la función f(x), como suele ocurrir. La recta tangente debe contener al menos dos de estos puntos; de lo contrario, el problema no se formulará correctamente.
Considere los puntos A (−3; 2) y B (−1; 6) y encuentre los incrementos:
Δx = x 2 - x 1 = -1 - (-3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Encontremos el valor de la derivada: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Tarea. La figura muestra una gráfica de la función y = f(x) y una tangente a ella en el punto con la abscisa x 0. Encuentra el valor de la derivada de la función f(x) en el punto x 0 .
Considere los puntos A (0; 3) y B (3; 0), encuentre los incrementos:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
Ahora encontramos el valor de la derivada: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Tarea. La figura muestra una gráfica de la función y = f(x) y una tangente a ella en el punto con la abscisa x 0. Encuentra el valor de la derivada de la función f(x) en el punto x 0 .
Considere los puntos A (0; 2) y B (5; 2) y encuentre los incrementos:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Queda por encontrar el valor de la derivada: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Del último ejemplo podemos formular una regla: si la tangente es paralela al eje OX, la derivada de la función en el punto de tangencia es cero. En este caso, ni siquiera es necesario contar nada, basta con mirar el gráfico.
Cálculo de puntos máximos y mínimos.
A veces, en lugar de una gráfica de una función, el problema B9 da una gráfica de la derivada y requiere encontrar el punto máximo o mínimo de la función. En esta situación, el método de los dos puntos es inútil, pero existe otro algoritmo aún más sencillo. Primero, definamos la terminología:
- El punto x 0 se llama punto máximo de la función f(x) si en alguna vecindad de este punto se cumple la siguiente desigualdad: f(x 0) ≥ f(x).
- El punto x 0 se llama punto mínimo de la función f(x) si en alguna vecindad de este punto se cumple la siguiente desigualdad: f(x 0) ≤ f(x).
Para encontrar los puntos máximo y mínimo en el gráfico de la derivada, simplemente sigue estos pasos:
- Vuelva a dibujar el gráfico de derivadas, eliminando toda la información innecesaria. Como muestra la práctica, los datos innecesarios sólo interfieren con la decisión. Por lo tanto, marcamos los ceros de la derivada en el eje de coordenadas, y listo.
- Descubre los signos de la derivada en los intervalos entre ceros. Si para algún punto x 0 se sabe que f'(x 0) ≠ 0, entonces sólo son posibles dos opciones: f'(x 0) ≥ 0 o f'(x 0) ≤ 0. El signo de la derivada es fácil de determinar a partir del dibujo original: si la gráfica derivada se encuentra por encima del eje OX, entonces f'(x) ≥ 0. Y viceversa, si la gráfica derivada se encuentra debajo del eje OX, entonces f'(x) ≤ 0.
- Volvemos a comprobar los ceros y signos de la derivada. Donde el signo cambia de menos a más es el punto mínimo. Por el contrario, si el signo de la derivada cambia de más a menos, este es el punto máximo. El conteo siempre se hace de izquierda a derecha.
Este esquema sólo funciona para funciones continuas; no hay otros en el problema B9.
Tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida en el intervalo [−5; 5]. Encuentra el punto mínimo de la función f(x) en este segmento.
Deshagámonos de la información innecesaria y dejemos solo los límites [−5; 5] y ceros de la derivada x = −3 y x = 2,5. También notamos las señales:
Obviamente, en el punto x = −3 el signo de la derivada cambia de menos a más. Este es el punto mínimo.
Tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida en el intervalo [−3; 7]. Encuentra el punto máximo de la función f(x) en este segmento.
Volvamos a dibujar la gráfica, dejando solo los límites [−3; 7] y ceros de la derivada x = −1,7 y x = 5. Observemos los signos de la derivada en la gráfica resultante. Tenemos:
Obviamente, en el punto x = 5 el signo de la derivada cambia de más a menos: este es el punto máximo.
Tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida en el intervalo [−6; 4]. Encuentre el número de puntos máximos de la función f(x) pertenecientes al segmento [−4; 3].
De las condiciones del problema se deduce que basta con considerar sólo la parte del gráfico limitada por el segmento [−4; 3]. Por lo tanto, construimos un nuevo gráfico en el que marcamos solo los límites [−4; 3] y ceros de la derivada dentro de él. Es decir, puntos x = −3,5 y x = 2. Obtenemos:
En esta gráfica solo hay un punto máximo x = 2. Es en este punto donde el signo de la derivada cambia de más a menos.
Una pequeña nota sobre puntos con coordenadas no enteras. Por ejemplo, en el último problema se consideró el punto x = −3,5, pero con el mismo éxito podemos tomar x = −3,4. Si el problema se redacta correctamente, dichos cambios no deberían afectar la respuesta, ya que los puntos “sin lugar de residencia fijo” no participan directamente en la solución del problema. Por supuesto, este truco no funcionará con puntos enteros.
Encontrar intervalos de funciones crecientes y decrecientes.
En un problema como el de los puntos máximo y mínimo, se propone utilizar la gráfica derivada para encontrar áreas en las que la función misma aumenta o disminuye. Primero, definamos qué son crecientes y decrecientes:
- Se dice que una función f(x) es creciente en un segmento si para dos puntos cualesquiera x 1 y x 2 de este segmento se cumple la siguiente afirmación: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . En otras palabras, cuanto mayor sea el valor del argumento, mayor será el valor de la función.
- Una función f(x) se llama decreciente en un segmento si para dos puntos cualesquiera x 1 y x 2 de este segmento se cumple la siguiente afirmación: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Aquellos. valor mas alto El argumento corresponde al valor menor de la función.
Formulemos condiciones suficientes para aumentar y disminuir:
- Para que una función continua f(x) aumente en el segmento , es suficiente que su derivada dentro del segmento sea positiva, es decir f'(x) ≥ 0.
- Para que una función continua f(x) disminuya en el segmento , es suficiente que su derivada dentro del segmento sea negativa, es decir f'(x) ≤ 0.
Aceptemos estas declaraciones sin pruebas. Por lo tanto, obtenemos un esquema para encontrar intervalos crecientes y decrecientes, que es en muchos aspectos similar al algoritmo para calcular puntos extremos:
- Elimina toda la información innecesaria. En la gráfica original de la derivada, nos interesan principalmente los ceros de la función, por lo que los dejaremos solo.
- Marca los signos de la derivada en los intervalos entre ceros. Donde f'(x) ≥ 0, la función aumenta, y donde f'(x) ≤ 0, disminuye. Si el problema impone restricciones a la variable x, además las marcamos en una nueva gráfica.
- Ahora que conocemos el comportamiento de la función y las restricciones, queda calcular la cantidad requerida en el problema.
Tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida en el intervalo [−3; 7.5]. Encuentra los intervalos de disminución de la función f(x). En tu respuesta, indica la suma de los números enteros incluidos en estos intervalos.
Como de costumbre, volvamos a dibujar el gráfico y marquemos los límites [−3; 7.5], así como ceros de la derivada x = −1.5 y x = 5.3. Luego observamos los signos de la derivada. Tenemos:
Dado que la derivada es negativa en el intervalo (− 1,5), este es el intervalo de función decreciente. Queda por sumar todos los números enteros que están dentro de este intervalo:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida en el intervalo [−10; 4]. Encuentra los intervalos de aumento de la función f(x). En tu respuesta indica la longitud del mayor de ellos.
Deshagámonos de la información innecesaria. Dejemos sólo los límites [−10; 4] y ceros de la derivada, de los cuales esta vez eran cuatro: x = −8, x = −6, x = −3 y x = 2. Marquemos los signos de la derivada y obtengamos la siguiente imagen:
Nos interesan los intervalos de función creciente, es decir tal donde f'(x) ≥ 0. Hay dos intervalos de este tipo en la gráfica: (−8; −6) y (−3; 2). Calculemos sus longitudes:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Como necesitamos encontrar la longitud del mayor de los intervalos, anotamos el valor l 2 = 5 como respuesta.
(Figura 1)
Figura 1. Gráfico derivado
Propiedades del gráfico derivado
- A intervalos crecientes, la derivada es positiva. Si la derivada en un determinado punto de un determinado intervalo tiene un valor positivo, entonces la gráfica de la función en este intervalo aumenta.
- En intervalos decrecientes, la derivada es negativa (con signo menos). Si la derivada en un determinado punto de un determinado intervalo tiene un valor negativo, entonces la gráfica de la función disminuye en este intervalo.
- La derivada en el punto x es igual a la pendiente de la tangente trazada a la gráfica de la función en el mismo punto.
- En los puntos máximo y mínimo de la función, la derivada es cero. La tangente a la gráfica de la función en este punto es paralela al eje OX.
Ejemplo 1
Usando la gráfica (Fig. 2) de la derivada, determine en qué punto del segmento [-3; 5] la función es máxima.
Figura 2. Gráfico derivado
Solución: En este segmento, la derivada es negativa, lo que significa que la función disminuye de izquierda a derecha y el valor más grande está en el lado izquierdo en el punto -3.
Ejemplo 2
Usando el gráfico (Fig. 3) de la derivada, determine el número de puntos máximos en el segmento [-11; 3].
Figura 3. Gráfico derivado
Solución: Los puntos máximos corresponden a los puntos donde el signo de la derivada cambia de positivo a negativo. En este intervalo, la función cambia de signo de más a menos dos veces: en el punto -10 y en el punto -1. Esto significa que el número máximo de puntos es dos.
Ejemplo 3
Usando el gráfico (Fig. 3) de la derivada, determine el número de puntos mínimos en el segmento [-11; -1].
Solución: Los puntos mínimos corresponden a los puntos donde el signo de la derivada cambia de negativo a positivo. En este segmento, ese punto es sólo -7. Esto significa que el número mínimo de puntos en un segmento determinado es uno.
Ejemplo 4
Usando la gráfica (Fig. 3) de la derivada, determine el número de puntos extremos.
Solución: Los puntos extremos son tanto el punto mínimo como el máximo. Encontremos el número de puntos en los que la derivada cambia de signo.
Primera derivada Si la derivada de una función es positiva (negativa) en un determinado intervalo, entonces la función en este intervalo aumenta monótonamente (disminuye monótonamente). Si la derivada de una función es positiva (negativa) en un intervalo determinado, entonces la función aumenta (disminuye monótonamente) monótonamente en este intervalo. Más
Definición Una curva se llama convexa en un punto si en alguna vecindad de este punto se ubica debajo de su tangente en un punto. Una curva se llama convexa en un punto si en alguna vecindad de este punto se ubica debajo de su tangente en un punto. Una curva se llama cóncava en un punto si en alguna vecindad de este punto se ubica por encima de su tangente en un punto. Una curva se llama cóncava en un punto si en alguna vecindad de este punto se ubica por encima de su tangente en un punto siguiente.
Signo de concavidad y convexidad Si la segunda derivada de una función en un intervalo dado es positiva, entonces la curva es cóncava en este intervalo, y si es negativa, es convexa en este intervalo. Si la segunda derivada de una función en un intervalo dado es positiva, entonces la curva es cóncava en este intervalo, y si es negativa, es convexa en este intervalo. Definición
Plan para estudiar una función y construir su gráfica 1. Encuentre el dominio de definición de la función y determine los puntos de discontinuidad, si los hay 1. Encuentre el dominio de definición de la función y determine los puntos de discontinuidad, si los hay; averiguar si la función es par o impar; comprobar su periodicidad 2. Averiguar si la función es par o impar; comprobar su periodicidad 3. Determinar los puntos de intersección de la gráfica de la función con ejes de coordenadas 3. Determinar los puntos de intersección de la gráfica de la función con los ejes de coordenadas 4. Encontrar puntos críticos de primer tipo 4. Encontrar puntos críticos de primer tipo 5. Determinar los intervalos de monotonicidad y extremos de la función 5. Determinar los intervalos de monotonicidad y extremos de la función 6. Determine los intervalos de convexidad y concavidad y encuentre los puntos de inflexión 6. Determine los intervalos de convexidad y concavidad y encuentre los puntos de inflexión 7. Usando los resultados del estudio, conecte los puntos obtenidos de a curva suave 7. Usando los resultados del estudio, conecte los puntos obtenidos de una curva suave Salir
Mostrando la conexión entre el signo de la derivada y la naturaleza de la monotonicidad de la función.
Tenga mucho cuidado con lo siguiente. ¡Mira, el horario de QUÉ te lo dan! Función o su derivada
Si se le da una gráfica de la derivada, entonces solo nos interesarán los signos y ceros de la función. ¡En principio no nos interesan “colinas” ni “huecos”!
Tarea 1.
La figura muestra una gráfica de una función definida en el intervalo. Determina el número de puntos enteros en los que la derivada de la función es negativa.
Solución:
En la figura, las áreas de función decreciente están resaltadas en color:
Estas regiones decrecientes de la función contienen 4 valores enteros.
Tarea 2.
La figura muestra una gráfica de una función definida en el intervalo. Encuentra el número de puntos en los que la tangente a la gráfica de la función es paralela o coincide con la recta.
Solución:
Una vez que la tangente a la gráfica de una función es paralela (o coincide) con una recta (o, que es lo mismo), teniendo pendiente , igual a cero, entonces la tangente tiene un coeficiente angular .
Esto a su vez significa que la tangente es paralela al eje, ya que la pendiente es la tangente del ángulo de inclinación de la tangente al eje.
Por lo tanto, encontramos puntos extremos (puntos máximo y mínimo) en la gráfica; es en estos puntos donde las funciones tangentes a la gráfica serán paralelas al eje.
Hay 4 de esos puntos.
Tarea 3.
La figura muestra una gráfica de la derivada de una función definida en el intervalo. Encuentra el número de puntos en los que la tangente a la gráfica de la función es paralela o coincide con la recta.
Solución:
Dado que la tangente a la gráfica de una función es paralela (o coincide) con una recta que tiene pendiente, entonces la tangente también tiene pendiente.
Esto a su vez significa que en los puntos de contacto.
Por lo tanto, nos fijamos en cuántos puntos de la gráfica tienen una ordenada igual a .
Como puede ver, hay cuatro puntos de este tipo.
Tarea 4.
La figura muestra una gráfica de una función definida en el intervalo. Encuentra el número de puntos en los que la derivada de la función es 0.
Solución:
La derivada es igual a cero en los puntos extremos. Tenemos 4 de ellos:
Tarea 5.
La figura muestra una gráfica de una función y once puntos en el eje x:. ¿En cuántos de estos puntos la derivada de la función es negativa?
Solución:
En intervalos de función decreciente, su derivada toma valores negativos. Y la función disminuye en puntos. Hay 4 de esos puntos.
Tarea 6.
La figura muestra una gráfica de una función definida en el intervalo. Encuentra la suma de los puntos extremos de la función.
Solución:
Puntos extremos– estos son los puntos máximos (-3, -1, 1) y puntos mínimos (-2, 0, 3).
Suma de puntos extremos: -3-1+1-2+0+3=-2.
Tarea 7.
La figura muestra una gráfica de la derivada de una función definida en el intervalo. Encuentra los intervalos de aumento de la función. En tu respuesta, indica la suma de puntos enteros incluidos en estos intervalos.
Solución:
La figura resalta los intervalos donde la derivada de la función no es negativa.
No hay puntos enteros en el intervalo creciente pequeño; en el intervalo creciente hay cuatro valores enteros: , y .
Su suma:
Tarea 8.
La figura muestra una gráfica de la derivada de una función definida en el intervalo. Encuentra los intervalos de aumento de la función. En tu respuesta indica la longitud del mayor de ellos.
Solución:
En la figura, todos los intervalos en los que la derivada es positiva están resaltados en color, lo que significa que la función misma aumenta en estos intervalos.
La longitud del mayor de ellos es 6.
Tarea 9.
La figura muestra una gráfica de la derivada de una función definida en el intervalo. ¿En qué punto del segmento adquiere mayor valor?
Solución:
Veamos cómo se comporta la gráfica sobre el segmento que es lo que nos interesa solo el signo de la derivada .
El signo de la derivada es menos, ya que la gráfica de este segmento está debajo del eje.