1. Funciones trigonométricas son funciones elementales cuyo argumento es esquina. Al usar funciones trigonométricas describe la relación entre las partes y esquinas afiladas en un triángulo rectángulo. Los campos de aplicación de las funciones trigonométricas son extremadamente diversos. Por ejemplo, cualquier proceso periódico se puede representar como una suma de funciones trigonométricas (serie de Fourier). Estas funciones suelen aparecer al resolver ecuaciones diferenciales y funcionales.

2. Las funciones trigonométricas incluyen las siguientes 6 funciones: seno, coseno, tangente,cotangente, secante Y cosecante. Para cada una de estas funciones existe una función trigonométrica inversa.

3. Definición geométrica Las funciones trigonométricas se pueden ingresar cómodamente usando círculo unitario. La siguiente figura muestra un círculo con radio r=1. El punto M(x,y) está marcado en el círculo. El ángulo entre el vector de radio OM y la dirección positiva del eje Ox es igual a α.

4. Seno El ángulo α es la relación entre la ordenada y del punto M(x,y) y el radio r:
senα=y/r.
Como r=1, entonces el seno es igual a la ordenada del punto M(x,y).

5. Coseno El ángulo α es la relación entre la abscisa x del punto M(x,y) y el radio r:
cosα=x/r

6. Tangente El ángulo α es la relación entre la ordenada y de un punto M(x,y) y su abscisa x:
tanα=y/x,x≠0

7. Cotangente El ángulo α es la relación entre la abscisa x de un punto M(x,y) y su ordenada y:
cotα=x/y,y≠0

8. Secante El ángulo α es la relación entre el radio r y la abscisa x del punto M(x,y):
segundoα=r/x=1/x,x≠0

9. Cosecante El ángulo α es la relación entre el radio r y la ordenada y del punto M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. En el círculo unitario, las proyecciones x, y, los puntos M(x,y) y el radio r forman un triángulo rectángulo, en el que x,y son los catetos y r es la hipotenusa. Por lo tanto, las definiciones anteriores de funciones trigonométricas en el apéndice de triangulo rectángulo se formulan de la siguiente manera:
Seno El ángulo α es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
Coseno El ángulo α es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Tangente Se llama ángulo α al cateto opuesto al adyacente.
Cotangente El ángulo α se llama lado adyacente al lado opuesto.
Secante El ángulo α es la relación entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
Cosecante El ángulo α es la relación entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

11. Gráfica de la función seno
y=sinx, dominio de definición: x∈R, rango de valores: −1≤sinx≤1

12. Gráfica de la función coseno
y=cosx, dominio: x∈R, rango: −1≤cosx≤1

13. Gráfica de la función tangente
y=tanx, dominio: x∈R,x≠(2k+1)π/2, rango: −∞

14. Gráfica de la función cotangente
y=cotx, dominio: x∈R,x≠kπ, rango: −∞

15. Gráfica de la función secante
y=secx, dominio de definición: x∈R,x≠(2k+1)π/2, rango de valores: secx∈(−∞,−1]∪∪ – dijo Helen, volviéndose hacia ella.
“Oh, oui, [Oh, sí”,] respondió Natasha.

Durante el intermedio, olía a frío en el palco de Helen, la puerta se abrió y, agachándose y tratando de no atrapar a nadie, entró Anatole.
"Déjame presentarte a mi hermano", dijo Helen, moviendo nerviosamente sus ojos de Natasha a Anatole. Natasha volvió su bonita cabeza sobre su hombro desnudo hacia el apuesto hombre y sonrió. Anatole, que era tan guapo de cerca como de lejos, se sentó a su lado y le dijo que hacía tiempo que deseaba tener ese placer, desde el baile de Naryshkin, en el que experimentó el placer que no había sentido. olvidado, de verla. Kuragin era mucho más inteligente y sencillo con las mujeres que en la sociedad masculina. Habló con audacia y sencillez, y Natasha quedó extraña y gratamente impresionada por el hecho de que no solo no había nada tan terrible en este hombre del que tanto hablaban, sino que, por el contrario, tenía la actitud más ingenua, alegre y buena. -sonrisa natural.
Kuragin le preguntó sobre la impresión de la actuación y le contó cómo Semenova se cayó mientras jugaba en la última actuación.
“Sabe, condesa”, dijo, dirigiéndose de repente a ella como si fuera un viejo conocido, “estamos teniendo un carrusel de disfraces; Deberías participar: será muy divertido. Todos se reúnen en casa de los Karagin. Por favor ven, ¿verdad? - dijo.
Mientras decía esto, no apartaba sus ojos sonrientes del rostro, el cuello y los brazos desnudos de Natasha. Sin duda, Natasha sabía que él la admiraba. Ella estaba contenta con esto, pero por alguna razón su presencia la hacía sentir apretada y pesada. Cuando no lo miraba, sentía que él estaba mirando sus hombros, e involuntariamente interceptó su mirada para que él la mirara mejor a los ojos. Pero, mirándolo a los ojos, sintió con miedo que entre él y ella no había absolutamente ninguna barrera de modestia que siempre había sentido entre ella y otros hombres. Ella, sin saber cómo, al cabo de cinco minutos se sintió terriblemente cerca de este hombre. Cuando se dio la vuelta, tuvo miedo de que él le tomara la mano desnuda por detrás y le besara el cuello. Hablaron de las cosas más simples y ella sintió que eran cercanos, como nunca había estado con un hombre. Natasha miró a Helen y a su padre, como preguntándoles qué significaba eso; pero Helen estaba ocupada hablando con algún general y no respondía a su mirada, y la mirada de su padre no le decía nada más que lo que él siempre decía: “Es divertido, bueno, me alegro”.
En uno de los momentos de incómodo silencio, durante los cuales Anatole la miraba tranquila y persistentemente con sus ojos saltones, Natasha, para romper ese silencio, le preguntó si le gustaba Moscú. Natasha preguntó y se sonrojó. Constantemente le parecía que estaba haciendo algo indecente al hablar con él. Anatole sonrió, como animándola.
– Al principio no me gustó mucho, porque lo que hace agradable a una ciudad, ce sont les jolies femmes, [mujeres bonitas], ¿no? Bueno, ahora me gusta mucho”, dijo, mirándola significativamente. – ¿Irás al carrusel, condesa? “Ve”, dijo, y, extendiendo la mano hacia su ramo y bajando la voz, dijo: “Vous serez la plus jolie”. Venez, chere comtesse, et comme gage donnez moi cette fleur. [Serás la más bonita. Ve, querida condesa, y dame esta flor en prenda.]
Natasha no entendió lo que dijo, al igual que él mismo, pero sintió que había una intención indecente en sus incomprensibles palabras. Ella no supo qué decir y se dio la vuelta como si no hubiera escuchado lo que él dijo. Pero tan pronto como se giró, pensó que él estaba detrás de ella, muy cerca de ella.
“¿Qué es él ahora? ¿Está confundido? ¿Enojado? ¿Debería arreglar esto? se preguntó a sí misma. No pudo evitar mirar hacia atrás. Ella lo miró directamente a los ojos y su cercanía, confianza y la bondadosa ternura de su sonrisa la derrotaron. Ella sonrió igual que él, mirándolo directamente a los ojos. Y nuevamente sintió con horror que no había barrera entre él y ella.
El telón volvió a levantarse. Anatole salió del palco, tranquilo y alegre. Natasha regresó al palco de su padre, completamente sometida al mundo en el que se encontraba. Todo lo que sucedía frente a ella ya le parecía completamente natural; pero por eso todos sus pensamientos anteriores sobre el novio, sobre la princesa Marya, sobre la vida del pueblo nunca pasaron por su cabeza, como si todo eso hubiera ocurrido hace mucho, mucho tiempo.
En el cuarto acto había una especie de diablo que cantaba, agitando la mano hasta que le quitaron las tablas debajo de él y se sentó allí. Natasha solo vio esto desde el cuarto acto: algo la preocupaba y atormentaba, y la causa de esta emoción era Kuragin, a quien involuntariamente siguió con la mirada. Cuando salían del teatro, Anatole se acercó a ellos, llamó a su carruaje y los recogió. Mientras sentaba a Natasha, le estrechó la mano por encima del codo. Natasha, emocionada y roja, lo miró. Él la miró con los ojos brillantes y sonriendo con ternura.

Solo después de llegar a casa, Natasha pudo pensar claramente en todo lo que le había sucedido, y de repente, recordando al Príncipe Andrei, se horrorizó y, frente a todos en el té, al que todos se sentaron después del teatro, jadeó ruidosamente y salió corriendo. de la habitación, sonrojado. - "¡Dios mío! ¡Estoy muerto! se dijo a sí misma. ¿Cómo pude permitir que esto sucediera? ella pensó. Estuvo mucho tiempo sentada, cubriéndose el rostro sonrojado con las manos, tratando de darse cuenta clara de lo que le había pasado, y no podía entender lo que le había pasado, ni lo que sentía. Todo le parecía oscuro, confuso y aterrador. Allí, en esta enorme sala iluminada, donde Duport saltaba sobre tablas mojadas al son de la música, con las piernas desnudas y una chaqueta de lentejuelas, y chicas, y ancianos, y Helen, desnuda con una sonrisa tranquila y orgullosa, gritaba "bravo". con deleite: allí, bajo la sombra de esta Helena, allí todo era claro y sencillo; pero ahora sola, consigo misma, le resultaba incomprensible. - "¿Qué es esto? ¿Qué era ese miedo que sentía por él? ¿Qué es este remordimiento que siento ahora? ella pensó.
Por la noche, sola en la cama, Natasha podría contarle a la anciana condesa todo lo que pensaba. Sonia, lo sabía, con su mirada severa e integral, o no habría entendido nada o se habría horrorizado ante su confesión. Natasha, a solas consigo misma, intentó resolver lo que la atormentaba.
“¿Morí por amor al príncipe Andrei o no? se preguntó y con una sonrisa tranquilizadora se respondió: ¿Qué clase de tonta soy para preguntar esto? ¿Qué me pasó? Nada. No hice nada, no hice nada para causar esto. Nadie lo sabrá y nunca volveré a verlo, se dijo. Quedó claro que no había pasado nada, que no había nada de qué arrepentirse, que el príncipe Andrei podía amarme así. ¿Pero de qué tipo? ¡Oh Dios, Dios mío! ¿Por qué no está él aquí? Natasha se calmó por un momento, pero luego nuevamente un instinto le dijo que, aunque todo esto era cierto y no había sucedido nada, el instinto le decía que toda la antigua pureza de su amor por el príncipe Andrei había perecido. Y nuevamente en su imaginación repitió toda su conversación con Kuragin e imaginó el rostro, los gestos y la suave sonrisa de este hombre guapo y valiente, mientras él le estrechaba la mano.

Anatol Kuragin vivía en Moscú porque su padre lo expulsó de San Petersburgo, donde vivía más de veinte mil al año en dinero y la misma cantidad en deudas que los acreedores exigían a su padre.
El padre le anunció a su hijo que pagaba por última vez la mitad de sus deudas; pero sólo para ir a Moscú al puesto de ayudante del comandante en jefe que le consiguió y finalmente tratar de hacer una buena pareja allí. Le señaló a la princesa Marya y Julie Karagina.
Anatole estuvo de acuerdo y se fue a Moscú, donde se quedó con Pierre. Pierre aceptó a Anatole al principio de mala gana, pero luego se acostumbró a él, a veces lo acompañaba de juerga y, con el pretexto de un préstamo, le daba dinero.
Anatole, como bien dijo Shinshin de él, desde que llegó a Moscú, volvió locas a todas las damas de Moscú, sobre todo porque las descuidaba y evidentemente prefería a las gitanas y a las actrices francesas, con la cabeza de la cual, Mademoiselle Georges, como decían, estaba en relaciones íntimas. No se perdió ni una sola juerga con Danilov y otros alegres muchachos de Moscú, bebió toda la noche, bebiendo más que todos y asistió a todas las veladas y bailes de la alta sociedad. Hablaron de varias de sus intrigas con damas de Moscú y en los bailes cortejó a algunas. Pero no se acercaba a las chicas, especialmente a las novias ricas, que en su mayoría eran todas malas, especialmente desde que Anatole, a quien nadie conocía excepto sus amigos más cercanos, se había casado hacía dos años. Hace dos años, mientras su regimiento estaba destinado en Polonia, un terrateniente polaco pobre obligó a Anatole a casarse con su hija.
Anatole muy pronto abandonó a su esposa y, por el dinero que aceptó enviar a su suegro, negoció para sí el derecho a ser considerado un hombre soltero.
Anatole siempre estuvo satisfecho con su puesto, consigo mismo y con los demás. Estaba instintivamente convencido con todo su ser de que no podía vivir de manera diferente a como vivía y que nunca había hecho nada malo en su vida. No podía pensar en cómo sus acciones podrían afectar a los demás, ni en lo que podría resultar de tal o cual acción. Estaba convencido de que así como un pato fue creado de tal manera que debería vivir siempre en el agua, así él fue creado por Dios de tal manera que debería vivir con un ingreso de treinta mil y ocupar siempre la posición más alta en la sociedad. . Creía en esto con tanta firmeza que, mirándolo, otros se convencieron de ello y no le negaron ni el puesto más alto del mundo ni el dinero, que obviamente tomó prestado sin devolución de quienes conoció y de quienes lo conocieron.
No era un jugador, al menos nunca quiso ganar. No era vanidoso. No le importaba en absoluto lo que la gente pensara de él. Menos aún podría ser culpable de ambición. Se burló de su padre varias veces, arruinando su carrera y se rió de todos los honores. No era tacaño y no rechazaba a nadie que se lo pidiera. Lo único que amaba era la diversión y las mujeres, y como según sus conceptos no había nada innoble en esos gustos, y no podía pensar en lo que saldría de satisfacer sus gustos por otras personas, en su alma creía considerarse a sí mismo. una persona impecable, despreciaba sinceramente a los sinvergüenzas y a la gente mala y llevaba la cabeza en alto con la conciencia tranquila.
Los juerguistas, estos Magdalenas varones, tienen un sentido secreto de conciencia de inocencia, al igual que las Magdalenas, basado en la misma esperanza de perdón. “A ella todo le será perdonado, porque ella amó mucho, y todo le será perdonado a él, porque se divirtió mucho”.
Dólojov, que este año apareció de nuevo en Moscú después de su exilio y sus aventuras persas, y llevó una lujosa vida de juego y juerga, se hizo cercano a su antiguo camarada de San Petersburgo, Kuragin, y lo utilizó para sus propios fines.
Anatole amaba sinceramente a Dolokhov por su inteligencia y audacia. Dolokhov, que necesitaba el nombre, la nobleza y las conexiones de Anatoly Kuragin para atraer a los jóvenes ricos a su sociedad de juego, sin dejar que él sintiera esto, usó y se divirtió con Kuragin. Además del cálculo para el que necesitaba a Anatol, el proceso mismo de controlar la voluntad de otra persona era para Dolokhov un placer, un hábito y una necesidad.
Natasha causó una fuerte impresión en Kuragin. Durante la cena después del teatro, con las técnicas de un conocedor, examinó ante Dolokhov la dignidad de sus brazos, hombros, piernas y cabello, y anunció su decisión de arrastrarse tras ella. Lo que podría salir de este noviazgo: Anatole no podía pensar en ello ni saberlo, así como nunca supo qué saldría de cada una de sus acciones.
"Está bien, hermano, pero no sobre nosotros", le dijo Dolokhov.
“Le diré a mi hermana que la llame para cenar”, dijo Anatole. - ¿A?
- Será mejor que esperes hasta que se case...
“Sabes”, dijo Anatole, “j”adore les petites filles: [Adoro a las chicas:] - ahora se perderá.
"Ya te has enamorado de una pequeña niña", dijo Dolokhov, que sabía sobre el matrimonio de Anatole. - ¡Mirar!
- ¡Bueno, no puedes hacerlo dos veces! ¿A? – dijo Anatole riendo de buen humor.

Al día siguiente del teatro, los Rostov no fueron a ninguna parte y nadie acudió a ellos. Marya Dmitrievna, ocultándole algo a Natasha, estaba hablando con su padre. Natasha supuso que estaban hablando del viejo príncipe e inventando algo, y esto la molestó y la ofendió. Esperó cada minuto al príncipe Andrei y dos veces ese día envió al conserje a Vzdvizhenka para averiguar si había llegado. Él no vino. Ahora era más difícil para ella que los primeros días de su llegada. A su impaciencia y tristeza por él se unieron el desagradable recuerdo de su encuentro con la princesa María y el viejo príncipe, y el miedo y la ansiedad, cuyo motivo desconocía. Le parecía que o él nunca vendría o que algo le sucedería antes de que él llegara. No podía, como antes, tranquila y continuamente, a solas consigo misma, pensar en él. Tan pronto como empezó a pensar en él, a su recuerdo se unió el recuerdo del viejo príncipe, de la princesa Marya y de la última actuación, y de Kuragin. Nuevamente se preguntó si era culpable, si su lealtad al príncipe Andrei ya había sido violada, y nuevamente se encontró recordando con el más mínimo detalle cada palabra, cada gesto, cada matiz de expresión en el rostro de este hombre, que sabía cómo despertar en ella algo incomprensible y un sentimiento terrible. A los ojos de su familia, Natasha parecía más animada que de costumbre, pero estaba lejos de estar tan tranquila y feliz como antes.
El domingo por la mañana, María Dmitrievna invitó a sus invitados a misa en su parroquia de la Asunción en Mogiltsy.
"No me gustan estas iglesias de moda", dijo, aparentemente orgullosa de su librepensamiento. - Sólo hay un Dios en todas partes. Nuestro sacerdote es maravilloso, sirve decentemente, es muy noble, al igual que el diácono. ¿Esto hace que sea tan sagrado que la gente cante conciertos en el coro? ¡No me gusta, es solo autocomplacencia!
A Marya Dmitrievna le encantaban los domingos y sabía celebrarlos. Su casa estuvo toda lavada y limpiada el sábado; La gente y ella no estaban trabajando, todos estaban vestidos para las fiestas y todos asistían a misa. Se añadía comida a la cena del maestro y a la gente se le daba vodka y ganso o cerdo asado. Pero en ningún lugar de toda la casa se notaba más la festividad que en el rostro ancho y severo de María Dmitrievna, que ese día asumió una inmutable expresión de solemnidad.
Cuando hubieron tomado café después de misa, en la sala de estar, descorrida, le informaron a María Dmitrievna que el carruaje estaba listo, y ella, con mirada severa, vestida con el chal ceremonial con el que hacía sus visitas, se levantó y anunció que iba a ver al príncipe Nikolai Andreevich Bolkonsky para explicarle lo de Natasha.
Después de que Marya Dmitrievna se fue, una modista de Madame Chalmet vino a Rostov y Natasha, después de cerrar la puerta de la habitación contigua a la sala de estar, muy satisfecha con el entretenimiento, comenzó a probarse vestidos nuevos. Mientras se ponía un corpiño de color crema agria todavía sin mangas e inclinaba la cabeza, mirando en el espejo cómo estaba sentada la espalda, escuchó en la sala los sonidos animados de la voz de su padre y otra voz femenina, que la hizo rubor. Era la voz de Helen. Antes de que Natasha tuviera tiempo de quitarse el corpiño que se estaba probando, se abrió la puerta y entró en la habitación la condesa Bezukhaya, radiante con una sonrisa bondadosa y afectuosa, con un vestido de terciopelo de cuello alto de color púrpura oscuro.
- ¡Ah, mamá delicia! [¡Oh, mi encantadora!] - le dijo a la sonrojada Natasha. - ¡Charmante! [¡Encantador!] No, esto no se parece a nada, mi querido conde”, le dijo a Ilya Andreich, que entró detrás de ella. – ¿Cómo vivir en Moscú y no viajar a ningún lado? ¡No, no te dejaré en paz! Esta tarde la señorita Georges está recitando y se reunirán algunas personas; y si no traes a tus bellezas, que son mejores que la señorita Georges, entonces no quiero conocerte. Mi marido se fue, se fue a Tver, de lo contrario lo habría enviado a buscarte. Asegúrate de venir, definitivamente, a las nueve. “Ella asintió con la cabeza hacia la sombrerera que conocía, quien se sentó respetuosamente ante ella y se sentó en una silla cerca del espejo, extendiendo pintorescamente los pliegues de su vestido de terciopelo. No dejaba de charlar afable y alegremente, admirando constantemente la belleza de Natasha. Examinó sus vestidos y los elogió, y se jactó de su nuevo vestido en gaz metallique [hecho de gas de color metálico], que recibió de París y aconsejó a Natasha que hiciera lo mismo.
"Sin embargo, todo te conviene, querida", dijo.
La sonrisa de placer nunca abandonó el rostro de Natasha. Se sentía feliz y floreciente ante los elogios de aquella querida condesa Bezujova, que antes le parecía una dama tan inaccesible e importante, y que ahora era tan amable con ella. Natasha se sintió alegre y casi enamorada de esta mujer tan hermosa y tan bondadosa. Helen, por su parte, admiraba sinceramente a Natasha y quería divertirla. Anatole le pidió que lo emparejara con Natasha, y para ello ella vino a los Rostov. La idea de tenderle una trampa a su hermano con Natasha le divertía.
A pesar de que anteriormente había estado enojada con Natasha por haberle quitado a Boris en San Petersburgo, ahora ni siquiera pensó en ello y con toda su alma, a su manera, le deseó lo mejor a Natasha. Al salir de Rostov, se llevó a su protegida a un lado.
- Ayer cenó conmigo mi hermano – nos moríamos de risa – no comió nada y suspiró por ti, preciosa. Il est fou, mais fou amoureux de vous, ma chere. [Se vuelve loco, pero se vuelve loco de amor por ti, querida.]
Natasha se sonrojó al escuchar estas palabras.
- ¡Cómo se sonroja, cómo se sonroja, ma delicieuse! [¡preciosa mía!] - dijo Helen. - Definitivamente ven. Si vous aimez quelqu"un, ma delicieuse, ce n"est pas une raison pour se cloitrer. Si meme vous etes promesa, je suis seguro que votre promis aurait deseo que vous alliez dans le monde en son absent plutot que de deperir d"ennui. [Sólo porque amas a alguien, querida, no deberías vivir como una monja. Incluso si eres novia, estoy segura de que tu novio preferiría que salieras a la sociedad en su ausencia que morir de aburrimiento.]
"Entonces ella sabe que soy una novia, entonces ella y su marido, con Pierre, con este hermoso Pierre", pensó Natasha, habló y se rió de ello. Así que no es nada”. Y nuevamente, bajo la influencia de Helena, lo que antes parecía terrible, parecía simple y natural. "Y ella es una gran dama, [una dama importante], tan dulce y obviamente me ama con todo su corazón", pensó Natasha. ¿Y por qué no divertirse? pensó Natasha, mirando a Helen con los ojos muy abiertos y sorprendidos.
María Dmitrievna volvió a cenar, silenciosa y seria, evidentemente derrotada por el viejo príncipe. Todavía estaba demasiado emocionada por la colisión para poder contar la historia con calma. A la pregunta del conde, ella respondió que todo estaba bien y que se lo diría mañana. Al enterarse de la visita de la condesa Bezujova y de su invitación a la velada, María Dmitrievna dijo:
“No me gusta salir con Bezukhova y no lo recomendaría; Bueno, si lo prometiste, vete, te distraerás”, añadió, volviéndose hacia Natasha.

El conde Ilya Andreich llevó a sus hijas a ver a la condesa Bezukhova. Por la noche había bastante gente. Pero toda la sociedad le resultaba casi desconocida a Natasha. El conde Ilya Andreich observó con disgusto que toda esta sociedad estaba formada principalmente por hombres y mujeres, conocidos por su libertad de trato. La señorita Georges, rodeada de jóvenes, estaba en un rincón del salón. Había varios franceses, y entre ellos Metivier, que había sido su compañero de casa desde la llegada de Helene. El conde Ilya Andreich decidió no jugar a las cartas, no dejar a sus hijas y marcharse tan pronto como terminara la actuación de Georges.
Evidentemente, Anatole estaba en la puerta esperando a que entraran los Rostov. Inmediatamente saludó al conde, se acercó a Natasha y la siguió. Tan pronto como Natasha lo vio, como en el teatro, la invadió un sentimiento de vano placer de que le agradara y el miedo por la ausencia de barreras morales entre ella y él. Helen recibió con alegría a Natasha y admiró en voz alta su belleza y su vestimenta. Poco después de su llegada, la señorita Georges salió de la habitación para vestirse. En la sala comenzaron a acomodar sillas y a sentarse. Anatole le acercó una silla a Natasha y quiso sentarse a su lado, pero el conde, que no había quitado la vista de Natasha, se sentó a su lado. Anatole se sentó detrás.
M lle Georges, con los brazos desnudos, gruesos y con hoyuelos, vestida con un chal rojo sobre un hombro, salió al espacio vacío que le quedaba entre las sillas y se detuvo en una pose antinatural. Se escuchó un susurro entusiasta. M lle Georges miró al público con severidad y tristeza y comenzó a recitar algunos poemas en francés que trataban de su amor criminal por su hijo. En algunos lugares alzaba la voz, en otros susurraba, levantando solemnemente la cabeza, en otros se detenía y jadeaba, poniendo los ojos en blanco.
- ¡Adorable, divina, deliciosa! [¡Encantador, divino, maravilloso!] - se escuchó por todos lados. Natasha miró al gordo Georges, pero no escuchó nada, no vio y no entendió nada de lo que estaba sucediendo frente a ella; sólo volvió a sentir de manera completamente irrevocable en ese mundo extraño, loco, tan alejado del anterior, en ese mundo en el que era imposible saber qué era bueno, qué era malo, qué era razonable y qué era una locura. Anatole estaba sentado detrás de ella y ella, sintiendo su cercanía, esperó con miedo algo.
Después del primer monólogo, toda la concurrencia se levantó y rodeó a la señorita Georges, expresándole su alegría.
- ¡Qué buena es! - le dijo Natasha a su padre, quien, junto con otros, se levantó y avanzó entre la multitud hacia la actriz.
"No lo encuentro, mirándote", dijo Anatole, siguiendo a Natasha. Dijo esto en un momento en que sólo ella podía oírlo. "Eres encantadora... desde el momento en que te vi, no he parado..."
“Vamos, Natasha, vamos”, dijo el conde, regresando por su hija. - ¡Qué tan bien!
Natasha, sin decir nada, se acercó a su padre y lo miró con ojos interrogantes y sorprendidos.
Después de varias recepciones de recitación, M lle Georges se fue y la condesa Bezukhaya pidió compañía en el salón.
El Conde quería irse, pero Helena le rogó que no arruinara su baile improvisado. Los Rostov se quedaron. Anatole invitó a Natasha a un vals y durante el vals, estrechándole la cintura y la mano, le dijo que era ravissante [encantadora] y que la amaba. Durante la sesión ecológica, en la que volvió a bailar con Kuragin, cuando se quedaron solos, Anatole no le dijo nada y solo la miró. Natasha dudaba si había visto en sueños lo que él le decía durante el vals. Al final de la primera figura volvió a estrecharle la mano. Natasha levantó sus ojos asustados hacia él, pero en su mirada afectuosa y en su sonrisa había una expresión tan tierna y segura de sí misma que no pudo mirarlo y decirle lo que tenía que decirle. Ella bajó los ojos.
“No me digas esas cosas, estoy comprometida y amo a otra persona”, dijo rápidamente... “Ella lo miró. Anatole no se sintió avergonzado ni molesto por lo que dijo.
- No me hables de esto. ¿Qué me importa? - dijo. "Estoy diciendo que estoy locamente, locamente enamorado de ti". ¿Es mi culpa que seas increíble? Empecemos.
Natasha, animada y ansiosa, miraba a su alrededor con ojos muy abiertos y asustados y parecía más alegre que de costumbre. No recordaba casi nada de lo que pasó esa noche. Bailaron la Ecossaise y el Gros Vater, su padre la invitó a irse, ella pidió quedarse. Dondequiera que estuviera, sin importar con quién hablara, sentía su mirada sobre ella. Entonces recordó que le había pedido permiso a su padre para ir al camerino a arreglarse el vestido, que Helen la siguió, le contó, riendo, el amor de su hermano, y que en el pequeño salón del sofá se volvió a encontrar con Anatole, que Helen desapareció en alguna parte. Se quedaron solos y Anatole, tomándola de la mano, le dijo con voz suave:
- No puedo ir contigo, pero ¿realmente nunca te veré? Te amo con locura. ¿De verdad nunca?...” y él, cerrándole el paso, acercó su rostro al de ella.
Sus ojos brillantes, grandes y masculinos estaban tan cerca de los de ella que no vio nada más que esos ojos.
- ¡¿Natalia?! – susurró su voz inquisitivamente, y alguien le apretó dolorosamente las manos.
- ¡¿Natalia?!
“No entiendo nada, no tengo nada que decir”, decía su mirada.
Labios calientes presionaron los de ella y en ese mismo momento se sintió libre nuevamente, y el ruido de los pasos y el vestido de Helen se escuchó en la habitación. Natasha volvió a mirar a Helen, luego, roja y temblorosa, lo miró con miedo e interrogación y se dirigió a la puerta.
“Un mot, un seul, au nom de Dieu, [Una palabra, sólo una, por el amor de Dios”, dijo Anatole.
Ella se detuvo. Realmente necesitaba que él dijera esa palabra, que le explicaría lo que había pasado y a la que ella le respondería.
“Nathalie, un mot, un seul”, repetía, aparentemente sin saber qué decir, y lo repitió hasta que Helen se acercó a ellos.
Helen y Natasha volvieron a salir al salón. Sin quedarse a cenar, los Rostov se marcharon.
Al regresar a casa, Natasha no durmió en toda la noche: la atormentaba la pregunta insoluble de a quién amaba, si Anatole o el príncipe Andrei. Amaba al príncipe Andrei; recordaba claramente cuánto lo amaba. Pero ella también amaba a Anatole, eso era seguro. "De lo contrario, ¿cómo podría haber sucedido todo esto?" ella pensó. “Si después de eso, cuando me despedí de él, pude responder a su sonrisa con una sonrisa, si pude permitir que esto sucediera, entonces significa que me enamoré de él desde el primer minuto. Esto significa que es amable, noble y hermoso, y era imposible no amarlo. ¿Qué debo hacer cuando lo amo y amo a otro? se dijo a sí misma, sin encontrar respuestas a estas terribles preguntas.

La mañana llegó con sus preocupaciones y bullicio. Todos se levantaron, se pusieron en movimiento, empezaron a hablar, volvieron las modistas, salió María Dmitrievna y pidió té. Natasha, con los ojos muy abiertos, como si quisiera interceptar a cualquiera que la mirara, miraba inquieta a todos a su alrededor y trataba de parecer la misma de siempre.
Después del desayuno, María Dmitrievna (era su mejor momento), sentándose en su silla, llamó a Natasha y al viejo conde.
"Bueno, amigos míos, ahora que he pensado en todo el asunto y este es mi consejo para ustedes", comenzó. – Ayer, como sabéis, estuve con el príncipe Nicolás; Bueno, hablé con él... Decidió gritar. ¡No puedes gritarme! ¡Le canté todo!
- ¿Qué es él? - preguntó el conde.
- ¿Qué es él? loco... no quiere oír; Bueno, qué puedo decir, y así atormentamos a la pobre niña”, dijo María Dmitrievna. “Y mi consejo para usted es que termine todo y regrese a su casa en Otradnoye... y espere allí...
- ¡Oh, no! – gritó Natasha.
“No, vámonos”, dijo María Dmitrievna. - Y espera ahí. "Si el novio viene aquí ahora, no habrá pelea, pero aquí hablará de todo a solas con el anciano y luego vendrá a verte".
Ilya Andreich aprobó esta propuesta y comprendió inmediatamente su razonabilidad. Si el anciano cede, será mejor que venga a verle más tarde a Moscú o a las Montañas Calvas; de lo contrario, casarse contra su voluntad sólo será posible en Otradnoye.
“Y la verdad verdadera”, dijo. “Lamento haber ido hacia él y llevármela”, dijo el viejo conde.
- No, ¿por qué arrepentirse? Habiendo estado aquí, era imposible no presentar sus respetos. Bueno, si él no quiere, es asunto suyo”, dijo María Dmitrievna, buscando algo en su bolso. - Sí, y la dote está lista, ¿qué más tienes que esperar? y lo que no esté listo, te lo envío. Aunque lo siento por ti, es mejor ir con Dios. “Habiendo encontrado lo que buscaba en el bolso, se lo entregó a Natasha. Era una carta de la princesa Marya. - Te escribe. ¡Cómo sufre, pobrecita! Tiene miedo de que pienses que no te ama.
"Sí, ella no me ama", dijo Natasha.
"Tonterías, no hables", gritó María Dmitrievna.
- No confiaré en nadie; "Sé que él no me ama", dijo Natasha con valentía, tomando la carta, y su rostro expresaba una determinación seca y enojada, lo que hizo que Marya Dmitrievna la mirara más de cerca y frunciera el ceño.
“No respondas así, madre”, dijo. – Lo que digo es verdad. Escribe tu respuesta.
Natasha no respondió y fue a su habitación para leer la carta de la princesa María.
La princesa María escribió que estaba desesperada por el malentendido que había ocurrido entre ellos. Cualesquiera que sean los sentimientos de su padre, escribió la princesa Marya, le pidió a Natasha que creyera que no podía evitar amarla como la elegida por su hermano, por cuya felicidad estaba dispuesta a sacrificarlo todo.
“Sin embargo”, escribió, “no creas que mi padre tenía mala disposición contigo. Es un anciano enfermo que necesita ser excusado; pero es bondadoso, generoso y amará a quien haga feliz a su hijo”. La princesa Marya pidió además que Natasha fijara una hora en la que podría volver a verla.
Después de leer la carta, Natasha se sentó en el escritorio para escribir una respuesta: “Chere princesse”, [Querida princesa], escribió rápida, mecánicamente y se detuvo. “¿Qué podría escribir a continuación después de todo lo que pasó ayer? Sí, sí, pasó todo esto y ahora todo es diferente”, pensó, sentándose ante la carta que había comenzado. “¿Debería rechazarlo? ¿Es realmente necesario? ¡Esto es terrible!”... Y para no tener estos terribles pensamientos, fue hacia Sonya y juntas comenzaron a ordenar los patrones.
Después de cenar, Natasha fue a su habitación y tomó nuevamente la carta de la princesa María. - “¿Realmente todo terminó? ella pensó. ¡Todo esto realmente sucedió tan rápido y destruyó todo lo que había antes! Recordó con todas sus fuerzas anteriores su amor por el príncipe Andrei y al mismo tiempo sintió que amaba a Kuragin. Se imaginó vívidamente a sí misma como la esposa del príncipe Andrei, imaginó la imagen de la felicidad con él tantas veces repetida en su imaginación y, al mismo tiempo, sonrojada de emoción, imaginó todos los detalles de su encuentro de ayer con Anatole.
“¿Por qué no podrían estar juntos? A veces, en completo eclipse, pensó. Sólo entonces sería completamente feliz, pero ahora tengo que elegir y sin ninguno de los dos no puedo ser feliz. Una cosa, pensó, es igualmente imposible decir lo que estaba destinado al príncipe Andrei o ocultarlo. Y con esto no se estropea nada. ¿Pero es realmente posible separarse para siempre de esta felicidad del amor del príncipe Andrei, con la que viví durante tanto tiempo?
“Jovencita”, dijo la niña en un susurro con una mirada misteriosa, entrando a la habitación. - Una persona me dijo que lo contara. La niña le entregó la carta. "Sólo por el amor de Dios", seguía diciendo la niña, cuando Natasha, sin pensar, rompió el sello con un movimiento mecánico y leyó la carta de amor de Anatole, de la cual ella, sin entender una palabra, solo entendió una cosa: que esta carta era de él, de aquel hombre a quien ella ama. “Sí, ella ama, de lo contrario, ¿cómo pudo pasar lo que pasó? ¿Podría haber una carta de amor de él en su mano?

¿Examen estatal unificado para 4? ¿No estallarás de felicidad?

La pregunta, como dicen, es interesante... ¡Es posible, es posible aprobar con un 4! Y al mismo tiempo no reventar... La condición principal es hacer ejercicio con regularidad. Aquí está la preparación básica para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas. Con todos los secretos y misterios del Examen Estatal Unificado, sobre los cuales no leerá en los libros de texto... Estudie esta sección, resuelva más tareas de diversas fuentes, ¡y todo saldrá bien! Se supone que la sección básica "¡A C es suficiente para ti!" no te causa ningún problema. Pero si de repente… Sigue los enlaces, ¡no seas perezoso!

Y comenzaremos con un tema grande y terrible.

Trigonometría

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)

Este tema causa muchos problemas a los estudiantes. Se considera uno de los más graves. ¿Qué son el seno y el coseno? ¿Qué son la tangente y la cotangente? ¿Qué es un círculo numérico? En cuanto haces estas preguntas inofensivas, la persona palidece e intenta desviar la conversación... Pero es en vano. Estos son conceptos simples. Y este tema no es más difícil que otros. Solo necesita comprender claramente las respuestas a estas preguntas desde el principio. Esto es muy importante. Si lo entiendes, te gustará la trigonometría. Entonces,

¿Qué son el seno y el coseno? ¿Qué son la tangente y la cotangente?

Empecemos por la antigüedad. No te preocupes, repasaremos los 20 siglos de trigonometría en unos 15 minutos y, sin darnos cuenta, repetiremos un trozo de geometría de octavo grado.

Dibujemos un triángulo rectángulo con lados. a, b, c y ángulo incógnita. Aquí lo tienes.

Déjame recordarte que los lados que forman un ángulo recto se llaman catetos. a y c- piernas. Hay dos de ellos. El lado restante se llama hipotenusa. Con– hipotenusa.

Triángulo y triángulo, ¡piensa! ¿Qué hacer con eso? ¡Pero los antiguos sabían qué hacer! Repitamos sus acciones. midamos el lado V. En la figura, las celdas están dibujadas especialmente, como ocurre en las tareas del Examen Estatal Unificado. V Lado igual a cuatro celdas. DE ACUERDO. midamos el lado A.

Tres celdas. Ahora dividamos la longitud del lado. A V por longitud de lado Ahora dividamos la longitud del lado.. O, como también dicen, tomemos la actitud V. A= 3/4.

AV V Por el contrario, puedes dividir igual a cuatro celdas. DE ACUERDO. midamos el lado en V Obtenemos 4/3. Poder dividir por Con. Con Hipotenusa Es imposible contar por celdas, pero es igual a 5. Obtenemos alta calidad

= 4/5. En resumen, puedes dividir las longitudes de los lados entre sí y obtener algunos números.

¿Así que lo que? ¿Cuál es el objetivo de esta interesante actividad? Ninguno todavía. Un ejercicio inútil, para decirlo sin rodeos.) Ahora hagamos esto. Ampliemos el triángulo. Extendamos los lados en y con incógnita, pero para que el triángulo siga siendo rectangular. Esquina , por supuesto, no cambia. Para ver esto, coloque el mouse sobre la imagen o tóquela (si tiene una tableta). Partes a, b y c se convertirá en m, n, k

y, por supuesto, las longitudes de los lados cambiarán.

¡Pero su relación no lo es! A Actitud A era: = 3/4, se convirtió Minnesota = 6/8 = 3/4. Las relaciones de otras partes relevantes también son no cambiará . Puedes cambiar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo como quieras, aumentar, disminuir, – sin cambiar el ángulo x la relación entre las partes relevantes no cambiará

¡Pero esto ya es muy importante! Las proporciones de los lados de un triángulo rectángulo no dependen de ninguna manera de las longitudes de los lados (en el mismo ángulo). Esto es tan importante que la relación entre las partes se ha ganado un nombre especial. Sus nombres, por así decirlo.) Nos reunimos.

¿Cuál es el seno del ángulo x? ? Esta es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa:

senx = a/c

¿Cuál es el coseno del ángulo x? ? Esta es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

Conosx= alta calidad

¿Qué es la tangente x? ? Esta es la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente:

tgx =A

¿Cuál es la cotangente del ángulo x? ? Esta es la razón del lado adyacente al opuesto:

ctgx = v/a

Es muy sencillo. Seno, coseno, tangente y cotangente son algunos números. Sin dimensiones. Sólo números. Cada ángulo tiene el suyo.

¿Por qué repito todo de forma tan aburrida? Entonces ¿qué es esto? necesito recordar. Es importante recordar. La memorización se puede hacer más fácil. ¿Te resulta familiar la frase “Empecemos desde lejos…”? Así que empieza desde lejos.

Seno El ángulo es una razón. distante desde el ángulo del cateto hasta la hipotenusa. Coseno– la relación entre el vecino y la hipotenusa.

Tangente El ángulo es una razón. distante desde el ángulo de la pierna hasta el cercano. Cotangente- viceversa.

Es más fácil, ¿verdad?

Bueno, si recuerdas que en tangente y cotangente solo hay catetos, y en seno y coseno aparece la hipotenusa, entonces todo será bastante simple.

Toda esta gloriosa familia: seno, coseno, tangente y cotangente también se llama funciones trigonométricas.

Y ahora una cuestión a considerar.

¿Por qué decimos seno, coseno, tangente y cotangente? ¿esquina? Estamos hablando de la relación entre las partes, como... ¿Qué tiene que ver con eso? ¿esquina?

Miremos la segunda imagen. Exactamente igual que el primero.

Pase el mouse sobre la imagen. cambié el ángulo incógnita. Lo incrementé de x a x.¡Todas las relaciones han cambiado! Actitud A era 3/4, y la proporción correspondiente televisor se convirtió en 6/4.

¡Y todas las demás relaciones se volvieron diferentes!

Por lo tanto, las proporciones de los lados no dependen de ninguna manera de sus longitudes (en un ángulo x), ¡sino que dependen marcadamente de este mismo ángulo! Y sólo de él. Por lo tanto, los términos seno, coseno, tangente y cotangente se refieren a esquina. El ángulo aquí es el principal.

Debe quedar claro que el ángulo está indisolublemente ligado a sus funciones trigonométricas. Cada ángulo tiene su propio seno y coseno. Y casi todo el mundo tiene su propia tangente y cotangente. Esto es importante. Se cree que si nos dan un ángulo, entonces su seno, coseno, tangente y cotangente. sabemos ! Y viceversa. Dado un seno, o cualquier otra función trigonométrica, significa que conocemos el ángulo.

Existen tablas especiales donde para cada ángulo se describen sus funciones trigonométricas. Se llaman mesas Bradis. Fueron compilados hace mucho tiempo. Cuando aún no había calculadoras ni ordenadores...

Por supuesto, es imposible memorizar las funciones trigonométricas de todos los ángulos. Es necesario que los conozcas sólo desde algunos ángulos; hablaremos de esto más adelante. Pero el hechizo Conozco un ángulo, lo que significa que conozco sus funciones trigonométricas” - siempre funciona!

Entonces repetimos una pieza de geometría del octavo grado. ¿Lo necesitamos para el Examen Estatal Unificado? Necesario. Aquí hay un problema típico del Examen Estatal Unificado. Para solucionar este problema, basta con el octavo grado. Imagen dada:

Todo. No hay más datos. Necesitamos encontrar la longitud del costado del avión.

Las celdas no ayudan mucho, el triángulo está de algún modo mal colocado... Supongo que a propósito... De la información se desprende la longitud de la hipotenusa. 8 celdas. Por alguna razón, se dio el ángulo.

Aquí es donde debes recordar inmediatamente sobre la trigonometría. Hay un ángulo, lo que significa que conocemos todas sus funciones trigonométricas. ¿Cuál de las cuatro funciones debemos utilizar? A ver, ¿qué sabemos? Conocemos la hipotenusa y el ángulo, pero necesitamos encontrar adyacente catéter a esta esquina! ¡Está claro que hay que poner en acción el coseno! Aquí vamos. Simplemente escribimos, según la definición de coseno (la razón adyacente cateto a hipotenusa):

cosC = BC/8

El ángulo C mide 60 grados, su coseno es 1/2. ¡Necesitas saber esto, sin tablas! Entonces:

1/2 = BC/8

Ecuación lineal elemental. Desconocido - Sol. Los que se hayan olvidado de cómo resolver ecuaciones, miren el enlace, el resto resuelven:

antes de Cristo = 4

Cuando los antiguos se dieron cuenta de que cada ángulo tiene su propio conjunto de funciones trigonométricas, tuvieron una pregunta razonable. ¿Están el seno, el coseno, la tangente y la cotangente relacionados de alguna manera entre sí?¿Entonces conociendo la función de un ángulo, puedes encontrar las otras? ¿Sin calcular el ángulo en sí?

Estaban tan inquietos...)

Relación entre funciones trigonométricas de un ángulo.

Por supuesto, el seno, el coseno, la tangente y la cotangente del mismo ángulo están relacionados entre sí. Cualquier conexión entre expresiones está dada en matemáticas mediante fórmulas. En trigonometría hay una cantidad colosal de fórmulas. Pero aquí veremos los más básicos. Estas fórmulas se llaman: Identidades trigonométricas básicas. Aquí están:

Es necesario conocer estas fórmulas a fondo. Sin ellos, generalmente no hay nada que hacer en trigonometría. De estas identidades básicas se derivan tres identidades auxiliares más:

Te advierto de inmediato que las últimas tres fórmulas se te olvidan rápidamente. Por alguna razón). Por supuesto, puede derivar estas fórmulas a partir de las tres primeras. Pero, en tiempos difíciles... Ya lo entiendes.)

En problemas estándar, como los siguientes, hay una manera de evitar estas fórmulas olvidables. Y reducir drásticamente los errores por olvido, y también en los cálculos. Esta práctica se encuentra en la Sección 555, lección "Relaciones entre funciones trigonométricas del mismo ángulo".

¿En qué tareas y cómo se utilizan las identidades trigonométricas básicas? La tarea más popular es encontrar alguna función angular si se da otra. En el Examen Estatal Unificado, esta tarea está presente de año en año). Por ejemplo:

Encuentra el valor de senx si x es un ángulo agudo y cosx=0,8.

La tarea es casi elemental. Buscamos una fórmula que contenga seno y coseno. Aquí está la fórmula:

pecado 2 x + cos 2 x = 1

Sustituimos aquí un valor conocido, es decir, 0,8 en lugar del coseno:

pecado 2 x + 0,8 2 = 1

Bueno, contamos como siempre:

pecado 2 x + 0,64 = 1

pecado 2 x = 1 - 0,64

Eso es prácticamente todo. Hemos calculado el cuadrado del seno, solo queda extraer la raíz cuadrada y ¡la respuesta está lista! La raíz de 0,36 es 0,6.

La tarea es casi elemental. Pero la palabra “casi” no está ahí por una razón... El hecho es que la respuesta sinx= - 0,6 también es adecuada... (-0,6) 2 también será 0,36.

Hay dos respuestas diferentes. Y necesitas uno. La segunda es incorrecta. ¿¡Cómo ser!? Sí, como siempre.) Lea la tarea con atención. Por alguna razón dice:... si x es un ángulo agudo... Y en las tareas cada palabra tiene un significado, sí... Esta frase es información adicional para la solución.

Un ángulo agudo es un ángulo menor de 90°. Y en esos rincones Todo funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente con cotangente) positivo. Aquellos. Simplemente descartamos aquí la respuesta negativa. Tenemos el derecho.

En realidad, los alumnos de octavo grado no necesitan tales sutilezas. Sólo funcionan con triángulos rectángulos, donde las esquinas sólo pueden ser agudas. Y no saben, felices, que existen tanto ángulos negativos como ángulos de 1000°... Y todos estos ángulos terribles tienen sus propias funciones trigonométricas, tanto más como menos...

Pero para los estudiantes de secundaria, sin tener en cuenta la señal, de ninguna manera. Mucho conocimiento multiplica los dolores, sí...) Y para la solución correcta, necesariamente hay información adicional en la tarea (si es necesario). Por ejemplo, puede venir dado por la siguiente entrada:

O de alguna otra manera. Verá en los ejemplos a continuación). Para resolver tales ejemplos necesita saber ¿En qué cuarto cae el ángulo x dado y qué signo tiene la función trigonométrica deseada en este cuarto?

Estos conceptos básicos de trigonometría se analizan en las lecciones sobre qué es un círculo trigonométrico, la medida de los ángulos en este círculo y la medida en radianes de un ángulo. A veces es necesario conocer la tabla de senos, cosenos de tangentes y cotangentes.

Entonces, observemos lo más importante:

Consejos prácticos:

1. Recuerda las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente. Será muy útil.

2. Entendemos claramente: el seno, el coseno, la tangente y la cotangente están estrechamente relacionados con los ángulos. Sabemos una cosa, lo que significa que sabemos otra.

3. Entendemos claramente: el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo están relacionados entre sí mediante identidades trigonométricas básicas. Conocemos una función, lo que significa que podemos (si tenemos la información adicional necesaria) calcular todas las demás.

Ahora decidamos, como siempre. Primero, tareas en el ámbito del octavo grado. Pero los estudiantes de secundaria también pueden hacerlo...)

1. Calcule el valor de tgA si ctgA = 0,4.

2. β es un ángulo en un triángulo rectángulo. Encuentra el valor de tanβ si sinβ = 12/13.

3. Determina el seno del ángulo agudo x si tgх = 4/3.

4. Encuentra el significado de la expresión:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Encuentra el significado de la expresión:

(1-cosx)(1+cosx), si senx = 0,3

Respuestas (separadas por punto y coma, en desorden):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

¿Funcionó? ¡Excelente! Los estudiantes de octavo grado ya pueden obtener sus A).

¿No salió todo bien? ¿Las tareas 2 y 3 de alguna manera no son muy buenas...? ¡Ningún problema! Existe una hermosa técnica para tales tareas. ¡Todo se puede resolver prácticamente sin fórmulas! Y, por tanto, sin errores. Esta técnica se describe en la lección: “Relaciones entre funciones trigonométricas de un ángulo” en la Sección 555. Allí también se tratan todas las demás tareas.

Eran problemas como el Examen Estatal Unificado, pero en una versión simplificada. Examen estatal unificado - ligero). Y ahora casi las mismas tareas, pero en un formato completo. Para estudiantes de secundaria sobrecargados de conocimientos.)

6. Encuentre el valor de tanβ si sinβ = 12/13, y

7. Determine senх si tgх = 4/3 y x pertenece al intervalo (- 540°; - 450°).

8. Encuentre el valor de la expresión sinβ cosβ si ctgβ = 1.

Respuestas (en desorden):

0,8; 0,5; -2,4.

Aquí en el problema 6 el ángulo no se especifica muy claramente... ¡Pero en el problema 8 no se especifica en absoluto! Esto es a propósito). Se toma información adicional no solo de la tarea, sino también del líder). Pero si usted lo decide, ¡se garantiza una tarea correcta!

¿Y si no lo has decidido? Hmm... Bueno, la Sección 555 ayudará aquí. Allí se describen en detalle las soluciones a todas estas tareas, es difícil no entenderlas.

Esta lección proporciona una comprensión muy limitada de las funciones trigonométricas. Dentro del octavo grado. Y los mayores todavía tienen preguntas...

Por ejemplo, si el ángulo incógnita(mira la segunda imagen de esta página) - ¡¿Hazlo estúpido?! ¡El triángulo se desmoronará por completo! Entonces, ¿qué debemos hacer? No habrá cateto, ni hipotenusa... El seno ha desaparecido...

Si los antiguos no hubieran encontrado una salida a esta situación, ahora no tendríamos teléfonos móviles, televisión ni electricidad. ¡Sí, sí! La base teórica para todas estas cosas sin funciones trigonométricas es cero sin palo. Pero los antiguos no decepcionaron. Cómo salieron se verá en la siguiente lección.

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Definiciones

Las definiciones de funciones trigonométricas se dan utilizando el círculo trigonométrico, que se entiende como un círculo de radio unitario con centro en el origen.

Consideremos dos radios de este círculo: estacionario (donde está el punto) y en movimiento (donde está el punto). Deje que el radio móvil forme un ángulo con el fijo.

El número igual a la ordenada del extremo de un radio unitario que forma un ángulo con un radio fijo se llama seno del ángulo : .

El número igual a la abscisa del extremo de un radio unitario que forma un ángulo con un radio fijo se llama coseno del ángulo : .

Así, el punto que es el final del radio en movimiento que forma un ángulo tiene coordenadas.

tangente del ángulo La razón entre el seno de este ángulo y su coseno se llama: , .

Cotangente del ángulo La relación entre el coseno de este ángulo y su seno se llama: , .

Significado geométrico de las funciones trigonométricas.

El significado geométrico del seno y el coseno en un círculo trigonométrico se desprende claramente de la definición: esta es la abscisa y la ordenada del punto de intersección del radio en movimiento, que forma un ángulo con el radio fijo, y el círculo trigonométrico. Eso es, .

Consideremos ahora el significado geométrico de tangente y cotangente. Los triángulos son semejantes en tres ángulos (,), entonces la relación se cumple. Por otro lado, en, por tanto.

También similar en tres ángulos (,), entonces la relación se cumple. Por otro lado, en, por tanto.

Teniendo en cuenta el significado geométrico de tangente y cotangente, se introduce el concepto de eje tangente y eje cotangente.

Los ejes tangentes son ejes, uno de los cuales toca el círculo trigonométrico en un punto y se dirige hacia arriba, el segundo toca el círculo en un punto y se dirige hacia abajo.

Los ejes cotangentes son ejes, uno de los cuales toca el círculo trigonométrico en un punto y se dirige hacia la derecha, el segundo toca el círculo en un punto y se dirige hacia la izquierda.

Propiedades de funciones trigonométricas

Veamos algunas propiedades básicas de las funciones trigonométricas. Otras propiedades se analizarán en la sección sobre gráficas de funciones trigonométricas.

Dominio y rango de valores.

Como se mencionó anteriormente, el seno y el coseno existen para cualquier ángulo, es decir el dominio de definición de estas funciones es el conjunto de los números reales. Por definición, la tangente no existe para los ángulos y la cotangente no existe para los ángulos.

Dado que el seno y el coseno son la ordenada y la abscisa de un punto en un círculo trigonométrico, sus valores se encuentran en el medio. El rango de valores de tangente y cotangente es el conjunto de números reales (esto es fácil de ver al observar los ejes de tangentes y cotangentes).

par/impar

Consideremos las funciones trigonométricas de dos ángulos (que corresponde al radio de movimiento) y (que corresponde al radio de movimiento). Porque eso significa que el punto tiene coordenadas. Por lo tanto, es decir el seno es una función impar; , es decir. coseno - función par; , es decir. la tangente es impar; , es decir. La cotangente también es impar.

Intervalos de constancia de signos.

Los signos de funciones trigonométricas para varios cuartos de coordenadas se derivan de la definición de estas funciones. Cabe señalar que como la tangente y la cotangente son razones de seno y coseno, son positivas cuando el seno y el coseno del ángulo tienen el mismo signo y negativas cuando son diferentes.

Periodicidad

La periodicidad del seno y el coseno se basa en el hecho de que los ángulos que difieren en un número entero de revoluciones completas corresponden a la misma posición relativa de los rayos en movimiento y estacionarios. En consecuencia, las coordenadas del punto de intersección del haz en movimiento y el círculo trigonométrico serán las mismas para ángulos que difieren en un número entero de revoluciones completas. Por tanto, el período del seno y el coseno es y, dónde.

Obviamente, este es también el período de la tangente y la cotangente. ¿Pero existe un plazo más corto para estas funciones? Demostremos que el período más pequeño para tangente y cotangente es.

Considere dos ángulos y. Sobre el significado geométrico de tangente y cotangente. Los lados y ángulos adyacentes de los triángulos son iguales y, por tanto, sus lados son iguales, lo que significa y. Del mismo modo, puedes demostrar dónde. Por tanto, el período de tangente y cotangente es.

Funciones trigonométricas de ángulos fundamentales.

Fórmulas de trigonometría

Para resolver con éxito problemas trigonométricos, debes conocer numerosas fórmulas trigonométricas. Sin embargo, no es necesario memorizar todas las fórmulas. Sólo necesitas saber de memoria las más básicas y poder derivar el resto de fórmulas si es necesario.

Identidad trigonométrica básica y consecuencias de ella.

Todas las funciones trigonométricas de un ángulo arbitrario están interconectadas, es decir Conociendo una función siempre podrás encontrar el resto. Esta conexión viene dada por las fórmulas analizadas en esta sección.

Teorema 1 (Identidad trigonométrica básica). Para cualquiera la identidad es verdadera.

La demostración consiste en aplicar el teorema de Pitágoras para un triángulo rectángulo con catetos e hipotenusa.

Un teorema más general también es cierto.

Teorema 2. Para que dos números se tomen como coseno y seno de un mismo ángulo real, es necesario y suficiente que la suma de sus cuadrados sea igual a uno:

Consideremos las consecuencias de la identidad trigonométrica principal.

Expresemos seno mediante coseno y coseno mediante seno:

En esta fórmula, el signo más o menos delante de la raíz se elige según el cuadrante en el que se encuentra el ángulo.

Sustituyendo las fórmulas obtenidas anteriormente en las fórmulas que definen tangente y cotangente, obtenemos:

Dividiendo la identidad trigonométrica principal término a término por o obtenemos, respectivamente:

Estas relaciones se pueden reescribir como:

Las siguientes fórmulas dan la relación entre tangente y cotangente. Dado que en y en, entonces se cumple la igualdad:

Fórmulas de reducción

Usando fórmulas de reducción, puedes expresar los valores de funciones trigonométricas de ángulos arbitrarios a través de los valores de funciones de ángulos agudos. Todas las fórmulas de reducción se pueden generalizar utilizando la siguiente regla.

Cualquier función trigonométrica de un ángulo es igual en valor absoluto a la misma función del ángulo si el número es par, y a la cofunción del ángulo si el número es impar. Además, si la función del ángulo es positiva, cuando es un ángulo positivo agudo, entonces los signos de ambas funciones son iguales; si es negativa, entonces son diferentes;

Fórmulas de suma y diferencia de ángulos.

Teorema 3 . Para cualquier real y son válidas las siguientes fórmulas:

La demostración de las fórmulas restantes se basa en las fórmulas de reducción y funciones trigonométricas pares/impares.

Q.E.D.

Teorema 4. Para cualquier real y tal que

1. , las siguientes fórmulas son válidas

2. , las siguientes fórmulas son válidas

Prueba. Por definición de tangente

La última transformación se obtiene dividiendo el numerador y denominador de esta fracción por.

Lo mismo ocurre con la cotangente (el numerador y el denominador en este caso se dividen por):

Q.E.D.

Se debe prestar atención al hecho de que los lados derecho e izquierdo de las últimas igualdades tienen diferentes rangos de valores aceptables. Por lo tanto, el uso de estas fórmulas sin restricciones sobre los posibles valores de los ángulos puede generar resultados incorrectos.

Fórmulas de ángulos dobles y medios.

Las fórmulas de ángulos dobles le permiten expresar funciones trigonométricas de un ángulo arbitrario en términos de funciones de un ángulo que es la mitad del ángulo original. Estas fórmulas son consecuencias de las fórmulas para la suma de dos ángulos, si los ponemos iguales entre sí.

La última fórmula se puede transformar usando la identidad trigonométrica básica:

Así, para el coseno de un ángulo doble existen tres fórmulas:

Cabe señalar que esta fórmula es válida sólo cuando

La última fórmula es válida para, .

De manera similar a las funciones de doble ángulo, se pueden obtener funciones de triple ángulo. Aquí estas fórmulas se dan sin prueba:

Las fórmulas de medio ángulo son consecuencias de las fórmulas de doble ángulo y nos permiten expresar las funciones trigonométricas de un determinado ángulo en términos de funciones de un ángulo que es el doble del original.