Consideremos la función. Esta función se llama: integral en función del límite superior. Observemos varias propiedades de esta función.
Teorema 2.1. Si f(x) es una función integrable, entonces Ф(x) es continua en .
Prueba. Por propiedad 9 integral definida(teorema del valor medio) tenemos 
, de donde, en , obtenemos lo requerido.
Teorema 2.2. Si f(x) es una función continua en , entonces Ф’(x) = f(x) en .
Prueba. Por la propiedad 10 de la integral definida (segundo teorema del valor medio), tenemos 
Dónde Con– algún punto del segmento. Debido a la continuidad de la función f, obtenemos
Así, Ф(x) es una de las primitivas de la función f(x), por lo tanto, Ф(x) = F(x) + C, donde F(x) es otra primitiva de f(x). Además, dado que Ф(a) = 0, entonces 0 = F(a) + C, por lo tanto, C = -F(a) y por lo tanto Ф(x) = F(x) – F(a). Suponiendo x=b, obtenemos la fórmula de Newton-Leibniz
Ejemplos
1. 
Integración por partes en una integral definida
La integral definida conserva la fórmula de integración por partes. En este caso toma la forma
Ejemplo.
Cambiar variables en una integral definida
Una de las variantes de resultados sobre el cambio de variables en una integral definida es la siguiente.Teorema 2.3. Sea f(x) continua en el segmento y cumpla las condiciones:
1) φ(α) = a
2) φ(β) = segundo
3) la derivada φ’(t) se define en todas partes del intervalo [α, β]
4) para todo t de [α, β]
Entonces
Prueba. Si F(x) es antiderivada para f(x)dx entonces F(φ(t)) es antiderivada para Por lo tanto F(b) – F(a) = F(φ(β)) – F(φ(α)) . El teorema ha sido demostrado.
Comentario. Si rechazamos la continuidad de la función f(x) bajo las condiciones del Teorema 2.3, tenemos que exigir la monotonicidad de la función φ(t).
Ejemplo. Calcular la integral Pongamos Entonces dx = 2tdt y por tanto
Problema 1(sobre el cálculo del área de un trapezoide curvo).
En el sistema de coordenadas rectangular cartesiano xOy, se da una figura (ver figura) delimitada por el eje x, líneas rectas x = a, x = b (a por un trapecio curvilíneo. Se requiere calcular el área de un curvilíneo trapezoide.
Solución. La geometría nos da recetas para calcular las áreas de polígonos y algunas partes de un círculo (sector, segmento). Usando consideraciones geométricas, solo podemos encontrar un valor aproximado del área requerida, razonando de la siguiente manera.
Dividamos el segmento [a; b] (base de un trapecio curvo) en n partes iguales; esta partición se realiza utilizando los puntos x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Dibujemos líneas rectas a través de estos puntos paralelas al eje y. Luego, el trapezoide curvilíneo dado se dividirá en n partes, en n columnas estrechas. El área de todo el trapezoide es igual a la suma de las áreas de las columnas.
Consideremos la k-ésima columna por separado, es decir un trapecio curvo cuya base es un segmento. Reemplacémoslo con un rectángulo con la misma base y altura igual a f(x k) (ver figura). El área del rectángulo es igual a \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), donde \(\Delta x_k \) es la longitud del segmento; Es natural considerar el producto resultante como un valor aproximado del área de la k-ésima columna. 
Si ahora hacemos lo mismo con todas las demás columnas, llegaremos al siguiente resultado: el área S de un trapezoide curvilíneo dado es aproximadamente igual al área S n de una figura escalonada formada por n rectángulos (ver figura):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Aquí, en aras de la uniformidad de la notación, suponemos que a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - longitud del segmento, \(\Delta x_1 \) - longitud del segmento, etc.; en este caso, como acordamos anteriormente, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Entonces, \(S \approx S_n \), y esta igualdad aproximada es más precisa cuanto mayor es n.
Por definición, se cree que el área requerida de un trapezoide curvilíneo es igual al límite de la secuencia (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Problema 2(sobre mover un punto)
Se mueve en línea recta punto material. La dependencia de la velocidad con el tiempo se expresa mediante la fórmula v = v(t). Encuentre el movimiento de un punto durante un período de tiempo [a; b].
Solución. Si el movimiento fuera uniforme, entonces el problema se resolvería de forma muy sencilla: s = vt, es decir s = v(b-a). Para movimientos desiguales, hay que utilizar las mismas ideas en las que se basó la solución al problema anterior.
1) Divida el intervalo de tiempo [a; b] en n partes iguales.
2) Considere un período de tiempo y suponga que durante este período la velocidad fue constante, igual que en el momento t k. Entonces suponemos que v = v(t k).
3) Encontremos el valor aproximado del movimiento del punto durante un período de tiempo. Denotaremos este valor aproximado como s k;
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Encuentre el valor aproximado del desplazamiento s:
\(s \aprox S_n \) donde
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) El desplazamiento requerido es igual al límite de la secuencia (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Resumamos. Las soluciones a varios problemas se redujeron al mismo modelo matemático. Muchos problemas de diversos campos de la ciencia y la tecnología conducen al mismo modelo en el proceso de solución. Esto significa que este modelo matemático debe ser estudiado especialmente.
El concepto de integral definida.
Demos una descripción matemática del modelo construido en los tres problemas considerados para la función y = f(x), continua (pero no necesariamente no negativa, como se supuso en los problemas considerados) en el intervalo [a; b]:
1) dividir el segmento [a; b] en n partes iguales;
2) hacer la suma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calcular $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
En el curso del análisis matemático se demostró que este límite existe en el caso de una función continua (o continua por partes). lo llaman cierta integral de la función y = f(x) sobre el segmento [a; b] y denotado de la siguiente manera:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Los números a y b se denominan límites de integración (inferior y superior, respectivamente).
Volvamos a las tareas comentadas anteriormente. La definición de área dada en el problema 1 ahora se puede reescribir de la siguiente manera:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
aquí S es el área del trapecio curvo que se muestra en la figura anterior. Esto es significado geométrico integral definida.
La definición del desplazamiento s de un punto que se mueve en línea recta con una velocidad v = v(t) durante el período de tiempo desde t = a hasta t = b, dada en el problema 2, se puede reescribir de la siguiente manera:
Fórmula de Newton-Leibniz
Primero, respondamos la pregunta: ¿cuál es la conexión entre la integral definida y la primitiva?
La respuesta se puede encontrar en el problema 2. Por un lado, el desplazamiento s de un punto que se mueve en línea recta con una velocidad v = v(t) durante el período de tiempo desde t = a hasta t = b se calcula mediante la formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Por otro lado, la coordenada de un punto en movimiento es una antiderivada de la velocidad; denotémosla s(t); Esto significa que el desplazamiento s se expresa mediante la fórmula s = s(b) - s(a). Como resultado obtenemos:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
donde s(t) es la antiderivada de v(t).
El siguiente teorema fue demostrado en el curso del análisis matemático.
Teorema. Si la función y = f(x) es continua en el intervalo [a; b], entonces la fórmula es válida
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
donde F(x) es la antiderivada de f(x).
La fórmula dada generalmente se llama Fórmula de Newton-Leibniz en honor al físico inglés Isaac Newton (1643-1727) y al filósofo alemán Gottfried Leibniz (1646-1716), quienes lo recibieron de forma independiente y casi simultáneamente.
En la práctica, en lugar de escribir F(b) - F(a), usan la notación \(\left. F(x)\right|_a^b \) (a veces se le llama doble sustitución) y, en consecuencia, reescribe la fórmula de Newton-Leibniz de esta forma:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)
Al calcular una integral definida, primero encuentre la primitiva y luego realice una doble sustitución.
Basándonos en la fórmula de Newton-Leibniz, podemos obtener dos propiedades de la integral definida.
Propiedad 1. Integral de la suma de funciones. igual a la suma integrales:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Propiedad 2. El factor constante se puede sacar del signo integral:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Calcular las áreas de figuras planas usando una integral definida.
Usando la integral, puedes calcular las áreas no solo de trapecios curvilíneos, sino también de figuras planas. tipo complejo, por ejemplo el que se muestra en la figura. La figura P está limitada por las rectas x = a, x = b y gráficas de funciones continuas y = f(x), y = g(x), y en el segmento [a; b] la desigualdad \(g(x) \leq f(x) \) se cumple. Para calcular el área S de dicha figura procederemos de la siguiente manera:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Entonces, el área S de una figura delimitada por rectas x = a, x = b y gráficas de funciones y = f(x), y = g(x), continuas en el segmento y tales que para cualquier x del segmento [a; b] se satisface la desigualdad \(g(x) \leq f(x) \), calculada mediante la fórmula
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Tabla de integrales indefinidas (antiderivadas) de algunas funciones
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C\;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C$$Fórmula de Newton-Leibniz
Teorema principal de análisis. o Fórmula de Newton-Leibniz da una relación entre dos operaciones: tomar una integral definida y calcular la primitiva
Formulación
Considere la integral de la función. y = F(incógnita) que van desde numero constante a hasta el numero incógnita, que consideraremos variable. Escribamos la integral de la siguiente forma:
este tipo integral se llama integral con un límite superior variable. Usando el teorema del valor medio en una integral definida, es fácil demostrar que esta función continua y diferenciable. Y también la derivada de una función dada en el punto x es igual a la propia función integrable. De esto se deduce que cualquier función continua tiene una primitiva en forma de cuadratura: . Y dado que la clase de funciones antiderivadas de la función f difiere en una constante, es fácil demostrar que: la integral definida de la función f es igual a la diferencia en los valores de las antiderivadas en los puntos by a
Fundación Wikimedia.
- 2010.
- Fórmula de probabilidad total
Fórmula de Rayleigh-Jeans
Vea qué es la “fórmula de Newton-Leibniz” en otros diccionarios: Fórmula de Newton-Leibniz
- El teorema principal de análisis o fórmula de Leibniz de Newton da la relación entre dos operaciones: tomar una integral definida y calcular la primitiva Formulación Consideremos la integral de la función y = f(x) en el rango de un número constante a a.. ...Wikipedia Fórmula de incremento finito
- Este término tiene otros significados, ver Teorema de Lagrange. La fórmula del incremento finito o teorema del valor medio de Lagrange establece que si una función es continua en un intervalo y... Wikipedia Fórmula de Stokes
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Enciclopedia Matemática FÓRMULA DE NEWTON-LEIBNITZ - la fórmula básica del cálculo integral. Expresa la conexión entre una integral definida de una función f(x) y cualquiera de sus primitivas F(x) ...
Gran diccionario enciclopédico- Este término tiene otros significados, consulte la Lista de objetos que llevan el nombre de Leibniz. Este término tiene otros significados, consulte Fórmula de Leibniz (significados). La fórmula de Leibniz en cálculo integral es la regla... ... Wikipedia
Fórmula de Newton-Leibniz- Fórmula de Newton Leibniz, la fórmula básica del cálculo integral. Expresa la conexión entre la integral definida de la función f(x) y cualquiera de sus antiderivadas F(x). . * * * FÓRMULA DE NEWTON LEIBNITZ FÓRMULA DE NEWTON LEIBNITZ, fórmula básica... ... Diccionario enciclopédico
Fórmula rectangular
fórmula trapezoidal- Integral definida como el área de una figura Integración numérica ( nombre historico: cuadratura) cálculo del valor de una determinada integral (generalmente aproximada), basado en el hecho de que el valor de la integral es numéricamente igual al área ... ... Wikipedia
teorema de newton- La fórmula de Leibniz de Newton o el teorema fundamental de análisis da la relación entre dos operaciones: tomar una integral definida y calcular la antiderivada. Si es continuo en un segmento y cualquier primitiva del mismo en este segmento tiene... Wikipedia
Sea alguna función continua f en un determinado segmento del eje Ox. Supongamos que esta función no cambia de signo en todo el segmento.
Si f es una función continua y no negativa en un segmento determinado, y F es una primitiva de ella en este segmento, entonces el área del trapecio curvilíneo S es igual al incremento de la primitiva en este segmento.
Este teorema se puede escribir de la siguiente manera:
S = F(b) - F(a)
La integral de la función f(x) de a a b será igual a S. Aquí y además, para denotar la integral definida de alguna función f(x), con los límites de integración de a a b, usaremos la siguiente notación (a;b)∫f( x). A continuación se muestra un ejemplo de cómo se verá.
Fórmula de Newton-Leibniz
Esto significa que podemos equiparar estos dos resultados. Obtenemos: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), siempre que F sea una antiderivada de la función f en . Esta fórmula se llama Fórmulas de Newton-Leibniz. Será cierto para cualquier función continua f en un intervalo.
La fórmula de Newton-Leibniz se utiliza para calcular integrales. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1: calcula la integral. Encuentra la primitiva de la función integrando x 2. Una de las antiderivadas será la función (x 3)/3.
Ahora usamos la fórmula de Newton-Leibniz:
(-1;2)∫x 2 dx = (2 3)/3 - ((-1) 3)/3 = 3
Respuesta: (-1;2)∫x 2 dx = 3.
Ejemplo 2: calcula la integral (0;pi)∫sen(x)dx.
Encuentra la primitiva de la función integrando sin(x). Una de las antiderivadas será la función -cos(x). Usemos la fórmula de Newton-Leibniz:
(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.
Respuesta: (0;pi)∫sin(x)dx=2
A veces, para simplificar y facilitar la grabación, el incremento de la función F en el segmento (F(b)-F(a)) se escribe de la siguiente manera:
Usando esta notación para el incremento, la fórmula de Newton-Leibniz se puede reescribir de la siguiente manera:
Como se señaló anteriormente, esto es sólo una abreviatura de facilidad de grabación; esta grabación no afecta nada más. Esta notación y la fórmula (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) serán equivalentes.
Por una integral definida de una función continua F(incógnita) en el segmento final [ a, b] (donde ) es el incremento de algunas de sus antiderivadas en este segmento. (En general, la comprensión será notablemente más fácil si repites el tema de la integral indefinida) En este caso, se utiliza la notación
Como se puede ver en los gráficos siguientes (el incremento de la función antiderivada se indica con ), una integral definida puede ser un número positivo o negativo(Se calcula como la diferencia entre el valor de la antiderivada en el límite superior y su valor en el límite inferior, es decir, como F(b) - F(a)).
Números a Y b se denominan límites inferior y superior de integración, respectivamente, y el segmento [ a, b] – segmento de integración.
Así, si F(incógnita) – alguna función antiderivada para F(incógnita), entonces, según la definición,
(38)
La igualdad (38) se llama Fórmula de Newton-Leibniz . Diferencia F(b) – F(a) se escribe brevemente de la siguiente manera:
Por tanto, escribiremos la fórmula de Newton-Leibniz así:
(39)
Demostremos que la integral definida no depende de qué antiderivada del integrando se tome al calcularla. Dejar F(incógnita) y F( incógnita) son antiderivadas arbitrarias del integrando. Como son antiderivadas de la misma función, se diferencian por un término constante: Ф( incógnita) = F(incógnita) + do. Es por eso
Esto establece que en el segmento [ a, b] incrementos de todas las antiderivadas de la función F(incógnita) fósforo.
Por tanto, para calcular una integral definida, es necesario encontrar cualquier antiderivada del integrando, es decir Primero necesitas encontrar la integral indefinida. Constante CON excluidos de los cálculos posteriores. Luego se aplica la fórmula de Newton-Leibniz: el valor del límite superior se sustituye en la función antiderivada b , además - el valor del límite inferior a y se calcula la diferencia F(b) - F(a) . El número resultante será una integral definida..
En a = b por definición aceptado
Ejemplo 1.
Solución. Primero, encontremos la integral indefinida:
Aplicando la fórmula de Newton-Leibniz a la antiderivada
(en CON= 0), obtenemos
Sin embargo, al calcular una integral definida, es mejor no encontrar la primitiva por separado, sino escribir inmediatamente la integral en la forma (39).
Ejemplo 2. Calcular integral definida
Solución. Usando fórmula
Propiedades de la integral definida
Teorema 2.El valor de la integral definida no depende de la designación de la variable de integración., es decir.
(40)
Dejar F(incógnita) – antiderivada para F(incógnita). Para F(t) la antiderivada es la misma función F(t), en el que la variable independiente sólo se designa de forma diferente. Por eso,
Según la fórmula (39), la última igualdad significa la igualdad de las integrales.
Teorema 3.El factor constante se puede sacar del signo de la integral definida., es decir.
(41)
Teorema 4.La integral definida de una suma algebraica de un número finito de funciones es igual a la suma algebraica de integrales definidas de estas funciones, es decir.
(42)
Teorema 5.Si un segmento de integración se divide en partes, entonces la integral definida sobre todo el segmento es igual a la suma de las integrales definidas sobre sus partes, es decir. Si
(43)
Teorema 6.Al reorganizar los límites de integración, el valor absoluto de la integral definida no cambia, solo cambia su signo., es decir.
(44)
Teorema 7(teorema del valor medio). Una integral definida es igual al producto de la longitud del segmento de integración por el valor del integrando en algún punto dentro de él., es decir.
(45)
Teorema 8.Si el límite superior de integración es mayor que el inferior y el integrando no es negativo (positivo), entonces la integral definida también es no negativa (positiva), es decir Si
Teorema 9.Si el límite superior de integración es mayor que el inferior y las funciones y son continuas, entonces la desigualdad
se puede integrar término por término, es decir.
(46)
Las propiedades de la integral definida permiten simplificar el cálculo directo de integrales.
Ejemplo 5. Calcular integral definida
Usando los teoremas 4 y 3, y al encontrar antiderivadas - integrales de tabla (7) y (6), obtenemos
Integral definida con límite superior variable
Dejar F(incógnita) – continua en el segmento [ a, b] función, y F(incógnita) es su antiderivada. Considere la integral definida
(47)
y a través de t la variable de integración se designa para no confundirla con el límite superior. Al cambiar incógnita la integral definida (47) también cambia, es decir es una función del límite superior de integración incógnita, que denotamos por F(incógnita), es decir.
(48)
Demostremos que la función F(incógnita) es una antiderivada de F(incógnita) = F(t). En efecto, diferenciando F(incógnita), obtenemos
porque F(incógnita) – antiderivada para F(incógnita), A F(a) es un valor constante.
Función F(incógnita) – una del número infinito de antiderivadas para F(incógnita), es decir, el que incógnita = a va a cero. Esta afirmación se obtiene si en igualdad (48) ponemos incógnita = a y utilice el Teorema 1 del párrafo anterior.
Cálculo de integrales definidas por el método de integración por partes y el método de cambio de variable
donde, por definición, F(incógnita) – antiderivada para F(incógnita). Si cambiamos la variable en el integrando
entonces, de acuerdo con la fórmula (16), podemos escribir
en esta expresión
función antiderivada para
De hecho, su derivada, según regla de diferenciación de funciones complejas, es igual
Sean α y β los valores de la variable t, para lo cual la función
toma valores en consecuencia a Y b, es decir.
Pero, según la fórmula de Newton-Leibniz, la diferencia F(b) – F(a) Hay