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En este artículo se ha preparado para usted otra selección de problemas con el trapezoide. Las condiciones están de alguna manera relacionadas con su línea media. Tipos de tareas tomadas de banco abierto tareas tipicas. Si lo deseas, puedes actualizar tus conocimientos teóricos. El blog ya ha discutido tareas cuyas condiciones están relacionadas con, así como. Brevemente sobre la línea media:
La línea media del trapezoide conecta los puntos medios de los lados laterales. Es paralelo a las bases e igual a su mitad de la suma.
Antes de resolver problemas, veamos un ejemplo teórico.
Dado un trapezoide ABCD. La diagonal AC que corta a la línea media forma el punto K, la diagonal BD el punto L. Demuestre que el segmento KL es igual a la mitad de la diferencia de las bases.
Primero observemos el hecho de que la línea media de un trapezoide biseca cualquier segmento cuyos extremos se encuentren en sus bases. Esta conclusión se sugiere por sí sola. Imaginemos un segmento que une dos puntos de las bases; dividirá este trapezoide en otros dos. Resulta que un segmento paralelo a las bases del trapecio y que pasa por la mitad del lado pasará por la mitad del otro lado.
Esto también se basa en el teorema de Tales:
Si en una de dos líneas se colocan varios segmentos iguales uno tras otro y en sus extremos se dibujan líneas paralelas que cortan la segunda línea, entonces se cortarán segmentos iguales en la segunda línea.
Es decir, en en este caso K es el medio de AC y L es el medio de BD. Por lo tanto EK es la línea media del triángulo ABC, LF es la línea media del triángulo DCB. Según la propiedad de la línea media de un triángulo:
Ahora podemos expresar el segmento KL en términos de bases:
¡Probado!
Este ejemplo se da por una razón. En las tareas para solución independiente existe esa tarea. Sólo que no dice que el segmento que conecta los puntos medios de las diagonales esté en la línea media. Consideremos las tareas:
27819. Encuentra la línea media del trapezoide si sus bases son 30 y 16.
Calculamos usando la fórmula:
27820. La línea media del trapezoide es 28 y la base más pequeña es 18. Encuentra la base más grande del trapezoide.
Expresemos la base mayor:
De este modo:
27836. Una perpendicular caída desde el vértice de un ángulo obtuso hasta la base mayor de un trapezoide isósceles lo divide en partes que tienen longitudes 10 y 4. Encuentre la línea media de este trapezoide.
Para encontrar la línea media necesitas conocer las bases. La base AB es fácil de encontrar: 10+4=14. Busquemos DC.
Construyamos el segundo DF perpendicular:
Los segmentos AF, FE y EB serán iguales a 4, 6 y 4 respectivamente.
En un trapezoide isósceles, las perpendiculares descendidas hasta la base más grande lo dividen en tres segmentos. Dos de ellos, a los que les cortan las piernas. triangulos rectángulos, son iguales entre sí. El tercer segmento es igual a la base más pequeña, ya que al construir las alturas indicadas se forma un rectángulo, y en un rectángulo los lados opuestos son iguales. En esta tarea:
Por tanto, DC = 6. Calculamos:
27839. Las bases del trapezoide están en una proporción de 2:3 y la línea media es 5. Encuentra la base más pequeña.
Introduzcamos el coeficiente de proporcionalidad x. Entonces AB=3x, DC=2x. Podemos escribir:
Por tanto, la base más pequeña es 2∙2=4.
27840. El perímetro de un trapezoide isósceles es 80, su línea media es igual al lado lateral. Encuentra el lado del trapezoide.
Según la condición, podemos escribir:
Si denotamos la línea media por el valor x, obtenemos:
La segunda ecuación ya se puede escribir como:
27841. La línea media del trapezoide es 7 y una de sus bases es 4 mayor que la otra. Encuentra la base más grande del trapezoide.
Denotemos la base más pequeña (DC) como x, luego la más grande (AB) será igual a x+4. Podemos escribirlo
Descubrimos que la base más pequeña es cinco temprano, lo que significa que la base más grande es igual a 9.
27842. La línea media del trapezoide es 12. Una de las diagonales lo divide en dos segmentos, cuya diferencia es 2. Encuentra la base más grande del trapezoide.
Podemos encontrar fácilmente la base mayor del trapezoide si calculamos el segmento EO. Es la línea media del triángulo ADB y AB=2∙EO.
¿Qué tenemos? Se dice que la recta media es igual a 12 y la diferencia entre los segmentos EO y ОF es igual a 2. Podemos escribir dos ecuaciones y resolver el sistema:
Está claro que en este caso puedes seleccionar un par de números sin cálculos, estos son 5 y 7. Pero, sin embargo, resolvamos el sistema:
Entonces EO=12–5=7. Por lo tanto, la base más grande es igual a AB=2∙EO=14.
27844. En un trapezoide isósceles, las diagonales son perpendiculares. La altura del trapezoide es 12. Encuentra su línea media.
Observemos inmediatamente que la altura trazada a través del punto de intersección de las diagonales en un trapezoide isósceles se encuentra en el eje de simetría y divide el trapezoide en dos trapecios rectangulares iguales, es decir, las bases de esta altura se dividen por la mitad.
Parecería que para calcular la línea media hay que encontrar razones. Aquí surge un pequeño callejón sin salida... ¿Cómo, conociendo la altura, en este caso, calcular las bases? ¡De ninguna manera! Hay muchos trapecios de este tipo con una altura fija y diagonales que se cruzan en un ángulo de 90 grados. ¿Qué tengo que hacer?
Mira la fórmula para la línea media de un trapezoide. Después de todo, no necesitamos conocer las razones en sí mismas; basta con conocer su suma (o la mitad de su suma). Podemos hacer esto.
Como las diagonales se cortan en ángulo recto, se forman triángulos rectángulos isósceles con altura EF:
De lo anterior se deduce que FO=DF=FC y OE=AE=EB. Ahora anotemos a qué equivale la altura, expresada a través de los segmentos DF y AE:
Entonces la línea media es 12.
*En general, este es un problema, como comprenderás, de cálculo mental. Pero estoy seguro de que la explicación detallada proporcionada es necesaria. Y así... Si miras el dibujo (siempre que durante la construcción se observe el ángulo entre las diagonales), inmediatamente te llama la atención la igualdad FO=DF=FC y OE=AE=EB.
Los prototipos también incluyen tipos de tareas con trapecios. Está construido en una hoja de papel en una jaula y necesitas encontrar la línea media; el lado de la jaula suele ser igual a 1, pero puede tener un valor diferente.
27848. Encuentra la línea media del trapezoide. ABCD, si los lados de las celdas cuadradas son iguales a 1.
Es sencillo, calculamos las bases por celdas y usamos la fórmula: (2+4)/2=3
Si las bases se construyen en ángulo con respecto a la rejilla de la celda, entonces hay dos formas. ¡Por ejemplo!
Un cuadrilátero en el que sólo dos lados son paralelos se llama trapezoide.
Los lados paralelos de un trapezoide se llaman sus razones, y aquellos lados que no son paralelos se llaman lados. Si lados son iguales, entonces dicho trapezoide es isósceles. La distancia entre las bases se llama altura del trapezoide.
Trapezoide de línea media
La línea media es un segmento que conecta los puntos medios de los lados del trapezoide. La línea media del trapezoide es paralela a sus bases.
Teorema:
Si la línea recta que cruza el centro de un lado es paralela a las bases del trapezoide, entonces biseca el segundo lado del trapezoide.
Teorema:
La longitud de la línea media es igual a la media aritmética de las longitudes de sus bases.
MN || AB || corriente continuaAM = MD; BN=NC
MN línea media, AB y CD - bases, AD y BC - lados laterales
MN = (AB + DC)/2
Teorema:
La longitud de la línea media de un trapezoide es igual a la media aritmética de las longitudes de sus bases.
tarea principal: Demuestre que la línea media de un trapezoide biseca un segmento cuyos extremos se encuentran en el medio de las bases del trapezoide.
Línea media del triángulo
El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo se llama línea media del triángulo. Es paralelo al tercer lado y su longitud es igual a la mitad de la longitud del tercer lado.
Teorema: Si una línea que corta el punto medio de un lado de un triángulo es paralela al otro lado del triángulo, entonces biseca el tercer lado.
AM = MC y BN = NC =>
Aplicar las propiedades de la línea media de un triángulo y un trapezoide.
Dividir un segmento en un número determinado de partes iguales.
Tarea: Divida el segmento AB en 5 partes iguales.
Solución:
Sea p un rayo aleatorio cuyo origen es el punto A y que no se encuentra en la recta AB. Reservamos secuencialmente 5 segmentos iguales en p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Conectamos A 5 con B y trazamos líneas a través de A 4, A 3, A 2 y A 1 que son paralelas a A 5 B. Se cruzan con AB respectivamente en los puntos B 4, B 3, B 2 y B 1. Estos puntos dividen el segmento AB en 5 partes iguales. De hecho, del trapecio BB 3 A 3 A 5 vemos que BB 4 = B 4 B 3. De la misma forma, del trapezoide B 4 B 2 A 2 A 4 obtenemos B 4 B 3 = B 3 B 2
Mientras que del trapezoide B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Luego de B 2 AA 2 se deduce que B 2 B 1 = B 1 A. En conclusión obtenemos:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Está claro que para dividir el segmento AB en otro número de partes iguales, necesitamos proyectar el mismo número de segmentos iguales sobre el rayo p. Y luego continúe de la manera descrita anteriormente.
Área de un trapezoide. ¡Saludos! En esta publicación veremos esta fórmula. ¿Por qué es exactamente así y cómo entenderla? Si hay comprensión, entonces no es necesario enseñarla. Si solo desea ver esta fórmula y con urgencia, puede desplazarse inmediatamente hacia abajo en la página))
Ahora en detalle y en orden.
Un trapezoide es un cuadrilátero, dos lados de este cuadrilátero son paralelos, los otros dos no. Las que no son paralelas son las bases del trapezoide. Los otros dos se llaman lados.
Si los lados son iguales, entonces el trapezoide se llama isósceles. Si uno de los lados es perpendicular a las bases, entonces dicho trapezoide se llama rectangular.
En su forma clásica, un trapezoide se representa de la siguiente manera: la base más grande está en la parte inferior, respectivamente, la más pequeña está en la parte superior. Pero nadie prohíbe representarla y viceversa. Aquí están los bocetos:
Siguiente concepto importante.
La línea media de un trapezoide es un segmento que conecta los puntos medios de los lados. La línea media es paralela a las bases del trapezoide e igual a su media suma.
Ahora profundicemos más. ¿Por qué es así?
Considere un trapezoide con bases. a y b y con la línea media yo, y realicemos algunas construcciones adicionales: dibuje líneas rectas a través de las bases y perpendiculares a través de los extremos de la línea media hasta que se crucen con las bases:
*Las designaciones de letras para vértices y otros puntos no se incluyen intencionalmente para evitar designaciones innecesarias.
Mira, los triángulos 1 y 2 son iguales según el segundo signo de igualdad de los triángulos, los triángulos 3 y 4 son iguales. De la igualdad de los triángulos se sigue la igualdad de los elementos, es decir, los catetos (están indicados en azul y rojo, respectivamente).
¡Ahora atención! Si "cortamos" mentalmente los segmentos azul y rojo de la base inferior, nos quedará un segmento (este es el lado del rectángulo) igual a la línea media. A continuación, si "pegamos" los segmentos cortados azul y rojo a la base superior del trapezoide, también obtendremos un segmento (este también es el lado del rectángulo) igual a la línea media del trapezoide.
¿Entiendo? Resulta que la suma de las bases será igual a las dos líneas medias del trapezoide:
Ver otra explicación
Hagamos lo siguiente: construyamos una línea recta que pase por la base inferior del trapezoide y una línea recta que pase por los puntos A y B:
Obtenemos los triángulos 1 y 2, son iguales en los lados y en los ángulos adyacentes (el segundo signo de igualdad de los triángulos). Esto significa que el segmento resultante (en el boceto está indicado en azul) es igual a la base superior del trapezoide.
Consideremos ahora el triángulo:
*La línea media de este trapezoide y la línea media del triángulo coinciden.
Se sabe que un triángulo es igual a la mitad de su base paralela a él, es decir:
Bien, lo descubrimos. Ahora sobre el área del trapezoide.
Fórmula del área trapezoidal:
Dicen: el área de un trapezoide es igual al producto de la mitad de la suma de sus bases y su altura.
Es decir, resulta que es igual al producto de la línea central por la altura:
Probablemente ya hayas notado que esto es obvio. Geométricamente, esto se puede expresar de esta manera: si mentalmente cortamos los triángulos 2 y 4 del trapezoide y los colocamos en los triángulos 1 y 3, respectivamente:
Entonces obtenemos un rectángulo de área. igual al área nuestro trapezoide. El área de este rectángulo será igual al producto de la línea central por la altura, es decir, podemos escribir:
Pero aquí, por supuesto, no se trata de escribir, sino de comprender.
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Eso es todo. ¡Buena suerte para ti!
Saludos cordiales, Alejandro.