La práctica del Examen Estatal Unificado y del Examen Estatal del año pasado muestra que los problemas de geometría causan dificultades a muchos escolares. Podrás afrontarlos fácilmente si memorizas todas las fórmulas necesarias y practicas la resolución de problemas.
En este artículo verás fórmulas para encontrar el área de un trapezoide, así como ejemplos de problemas con solución. Es posible que te encuentres con los mismos en los KIM durante los exámenes de certificación o en las Olimpiadas. Por lo tanto, trátelos con cuidado.
¿Qué necesitas saber sobre el trapezoide?
Para empezar recordemos que trapezoide Se llama cuadrilátero en el que dos lados opuestos, también llamados bases, son paralelos y los otros dos no.
En un trapezoide también se puede reducir la altura (perpendicular a la base). Realizado línea media- esta es una línea recta paralela a las bases e igual a la mitad de su suma. Así como diagonales que pueden cruzarse formando ángulos agudos y obtusos. O, en algunos casos, en ángulo recto. Además, si el trapezoide es isósceles, se puede inscribir en él un círculo. Y describe un círculo a su alrededor.
Fórmulas del área trapezoidal
Primero, veamos las fórmulas estándar para encontrar el área de un trapezoide. Consideraremos formas de calcular el área de trapecios isósceles y curvilíneos a continuación.
Entonces, imagina que tienes un trapezoide con bases a y b, en el que la altura h se reduce a la base más grande. Calcular el área de una figura en este caso es tan fácil como pelar peras. Sólo necesitas dividir la suma de las longitudes de las bases por dos y multiplicar el resultado por la altura: S = 1/2(a + b)*h.
Tomemos otro caso: supongamos que en un trapezoide, además de la altura, existe una recta media m. Conocemos la fórmula para encontrar la longitud de la línea media: m = 1/2(a + b). Por lo tanto, podemos simplificar legítimamente la fórmula para el área de un trapezoide a la siguiente forma: S = m*h. En otras palabras, para encontrar el área de un trapezoide, debes multiplicar la línea central por la altura.
Consideremos otra opción: el trapezoide contiene diagonales d 1 y d 2, que no se cruzan en ángulos rectos α. Para calcular el área de dicho trapezoide, debes dividir el producto de las diagonales por dos y multiplicar el resultado por el pecado del ángulo entre ellas: S= 1/2d 1 d 2 *senα.
Ahora considere la fórmula para encontrar el área de un trapezoide si no se sabe nada sobre él excepto las longitudes de todos sus lados: a, b, cy d. Es voluminoso y fórmula compleja, pero te será útil recordarlo, por si acaso: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
Por cierto, los ejemplos anteriores también son válidos para el caso en el que se necesita la fórmula para el área de un trapezoide rectangular. Este es un trapezoide, cuyo lado linda con las bases en ángulo recto.
trapezoide isósceles
trapezoide, lados que son iguales se llama isósceles. Consideraremos varias opciones para la fórmula del área de un trapezoide isósceles.
Primera opción: para el caso en que un círculo con radio r está inscrito dentro de un trapezoide isósceles y el lado y la forma de base más grande ángulo agudoα. Un círculo puede inscribirse en un trapecio siempre que la suma de las longitudes de sus bases sea igual a la suma de las longitudes de sus lados.
El área de un trapezoide isósceles se calcula de la siguiente manera: multiplica el cuadrado del radio del círculo inscrito por cuatro y divídelo todo por senα: S = 4r 2 /senα. Otra fórmula de área es un caso especial para la opción cuando el ángulo entre la base grande y el lado es 30 0: S = 8r2.
Segunda opción: esta vez tomamos un trapezoide isósceles, en el que además se dibujan las diagonales d 1 y d 2, así como la altura h. Si las diagonales de un trapezoide son mutuamente perpendiculares, la altura es la mitad de la suma de las bases: h = 1/2(a + b). Sabiendo esto, es fácil transformar la fórmula del área de un trapezoide que ya le resulta familiar a esta forma: S = h 2.
Fórmula para el área de un trapecio curvo
Comencemos por descubrir qué es un trapezoide curvo. Imagine un eje de coordenadas y una gráfica de una función f continua y no negativa que no cambia de signo dentro de un segmento determinado en el eje x. Un trapezoide curvilíneo está formado por la gráfica de la función y = f(x): en la parte superior, el eje x está en la parte inferior (segmento), y en los lados, líneas rectas trazadas entre los puntos a y b y la gráfica de la función.
Es imposible calcular el área de una figura tan no estándar utilizando los métodos anteriores. Aquí es necesario aplicar el análisis matemático y utilizar la integral. A saber: la fórmula de Newton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). En esta fórmula, F es la antiderivada de nuestra función en el segmento seleccionado. y el área trapecio curvo corresponde al incremento de la antiderivada en un segmento dado.
Problemas de muestra
Para que todas estas fórmulas sean más fáciles de entender en tu cabeza, aquí tienes algunos ejemplos de problemas para encontrar el área de un trapezoide. Lo mejor será que primero intente resolver los problemas usted mismo y solo luego compare la respuesta recibida con la solución ya preparada.
Tarea #1: Dado un trapezoide. Su base más grande mide 11 cm, la más pequeña mide 4 cm. El trapezoide tiene diagonales, una de 12 cm de largo y la segunda de 9 cm.
Solución: Construya un AMRS trapezoide. Dibuja una línea recta РХ a través del vértice P de modo que sea paralela a la diagonal MC y corte a la línea recta AC en el punto X. Obtendrás un triángulo APХ.
Consideraremos dos figuras obtenidas como resultado de estas manipulaciones: el triángulo APX y el paralelogramo CMRX.
Gracias al paralelogramo aprendemos que PX = MC = 12 cm y CX = MR = 4 cm. De donde podemos calcular el lado AX del triángulo ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
También podemos demostrar que el triángulo APX es rectángulo (para hacer esto, aplique el teorema de Pitágoras - AX 2 = AP 2 + PX 2). Y calcula su área: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.
A continuación tendrás que demostrar que los triángulos AMP y PCX tienen el mismo área. La base será la igualdad de las partes MR y CX (ya probada anteriormente). Y también las alturas que bajas en estos lados son iguales a la altura del trapezoide AMRS.
Todo esto te permitirá decir que S AMPC = S APX = 54 cm 2.
Tarea #2: Se da el trapezoide KRMS. En sus lados laterales se encuentran los puntos O y E, mientras que OE y KS son paralelos. También se sabe que las áreas de los trapecios ORME y OKSE están en la proporción 1:5. RM = a y KS = b. Necesitas encontrar OE.
Solución: Trazar una línea paralela a RK que pasa por el punto M y designar el punto de su intersección con OE como T. A es el punto de intersección de la línea trazada por el punto E paralela a RK con la base KS.
Introduzcamos una notación más: OE = x. Y también la altura h 1 para el triángulo TME y la altura h 2 para el triángulo AEC (puedes probar de forma independiente la similitud de estos triángulos).
Supondremos que b > a. Las áreas de los trapecios ORME y OKSE están en la proporción 1:5, lo que nos da derecho a crear la siguiente ecuación: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Transformemos y obtengamos: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
Como los triángulos TME y AEC son semejantes, tenemos h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Combinemos ambas entradas y obtengamos: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Por tanto, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Conclusión
La geometría no es la ciencia más fácil, pero ciertamente podrás afrontar las preguntas del examen. Basta con mostrar un poco de perseverancia en la preparación. Y, por supuesto, recuerda todas las fórmulas necesarias.
Intentamos recopilar todas las fórmulas para calcular el área de un trapecio en un solo lugar para que puedas usarlas cuando te prepares para los exámenes y revises el material.
Asegúrate de contarles a tus compañeros y amigos sobre este artículo. redes sociales. ¡Que haya más buenas notas en el Examen Estatal Unificado y en los Exámenes Estatales!
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Área de un trapezoide. ¡Saludos! En esta publicación veremos esta fórmula. ¿Por qué es exactamente así y cómo entenderla? Si hay comprensión, entonces no es necesario enseñarla. Si solo desea ver esta fórmula y con urgencia, puede desplazarse inmediatamente hacia abajo en la página))
Ahora en detalle y en orden.
Un trapezoide es un cuadrilátero, dos lados de este cuadrilátero son paralelos, los otros dos no. Las que no son paralelas son las bases del trapezoide. Los otros dos se llaman lados.
Si los lados son iguales, entonces el trapezoide se llama isósceles. Si uno de los lados es perpendicular a las bases, entonces dicho trapezoide se llama rectangular.
En su forma clásica, un trapecio se representa de la siguiente manera: la base más grande está en la parte inferior, respectivamente, la más pequeña está en la parte superior. Pero nadie prohíbe representarla y viceversa. Aquí están los bocetos:
Siguiente concepto importante.
La línea media de un trapezoide es un segmento que conecta los puntos medios de los lados. La línea media es paralela a las bases del trapezoide e igual a su media suma.
Ahora profundicemos más. ¿Por qué es así?
Considere un trapezoide con bases. a y b y con la línea media yo, y realicemos algunas construcciones adicionales: dibuje líneas rectas a través de las bases y perpendiculares a través de los extremos de la línea media hasta que se crucen con las bases:
*Las designaciones de letras para vértices y otros puntos no se incluyen intencionalmente para evitar designaciones innecesarias.
Mira, los triángulos 1 y 2 son iguales según el segundo signo de igualdad de los triángulos, los triángulos 3 y 4 son iguales. De la igualdad de los triángulos se sigue la igualdad de los elementos, es decir, los catetos (están indicados en azul y rojo, respectivamente).
¡Ahora atención! Si "cortamos" mentalmente los segmentos azul y rojo de la base inferior, nos quedará un segmento (este es el lado del rectángulo) igual a la línea media. A continuación, si "pegamos" los segmentos cortados azul y rojo a la base superior del trapezoide, también obtendremos un segmento (este también es el lado del rectángulo) igual a la línea media del trapezoide.
¿Entiendo? Resulta que la suma de las bases será igual a las dos líneas medias del trapezoide:
Ver otra explicación
Hagamos lo siguiente: construyamos una línea recta que pase por la base inferior del trapezoide y una línea recta que pase por los puntos A y B:
Obtenemos los triángulos 1 y 2, son iguales en los lados y en los ángulos adyacentes (el segundo signo de igualdad de los triángulos). Esto significa que el segmento resultante (en el boceto está indicado en azul) es igual a la base superior del trapezoide.
Consideremos ahora el triángulo:
*La línea media de este trapezoide y la línea media del triángulo coinciden.
Se sabe que un triángulo es igual a la mitad de su base paralela a él, es decir:
Bien, lo descubrimos. Ahora sobre el área del trapezoide.
Fórmula del área trapezoidal:
Dicen: el área de un trapezoide es igual al producto de la mitad de la suma de sus bases y su altura.
Es decir, resulta que es igual al producto de la línea central por la altura:
Probablemente ya hayas notado que esto es obvio. Geométricamente, esto se puede expresar de esta manera: si mentalmente cortamos los triángulos 2 y 4 del trapezoide y los colocamos en los triángulos 1 y 3, respectivamente:
Entonces obtenemos un rectángulo de área. igual al área nuestro trapezoide. El área de este rectángulo será igual al producto de la línea central por la altura, es decir, podemos escribir:
Pero aquí, por supuesto, no se trata de escribir, sino de comprender.
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Eso es todo. ¡Buena suerte para ti!
Saludos cordiales, Alejandro.
Instrucciones
Para que ambos métodos sean más comprensibles, podemos dar un par de ejemplos.
Ejemplo 1: la longitud de la línea media del trapezoide es de 10 cm, su área es de 100 cm². Para encontrar la altura de este trapezoide, debes hacer:
altura = 100/10 = 10 cm
Respuesta: la altura de este trapezoide es de 10 cm.
Ejemplo 2: el área del trapezoide es 100 cm², las longitudes de las bases son 8 cm y 12 cm. Para encontrar la altura de este trapezoide es necesario realizar la siguiente acción:
altura = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 cm
Respuesta: la altura de este trapezoide es de 20 cm.
tenga en cuenta
Hay varios tipos de trapecios:
Un trapezoide isósceles es un trapezoide cuyos lados son iguales entre sí.
Un trapezoide rectángulo es un trapecio cuyo ángulo interior mide 90 grados.
Vale la pena señalar que en un trapezoide rectangular la altura coincide con la longitud del lado cuando ángulo recto.
Puedes dibujar un círculo alrededor de un trapezoide o encajarlo dentro de una figura determinada. Puedes inscribir un círculo sólo si la suma de sus bases es igual a la suma de sus lados opuestos. Un círculo sólo puede describirse alrededor de un trapezoide isósceles.
Un paralelogramo es un caso especial de trapezoide, porque la definición de trapezoide no contradice de ninguna manera la definición de paralelogramo. Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos entre sí. Para un trapezoide, la definición se refiere sólo a un par de sus lados. Por tanto, cualquier paralelogramo también es un trapezoide. La afirmación inversa no es cierta.
Fuentes:
- cómo encontrar el área de una fórmula trapezoide
Consejo 2: Cómo encontrar la altura de un trapezoide si se conoce el área
Un trapezoide es un cuadrilátero en el que dos de sus cuatro lados son paralelos entre sí. Lados paralelos son las bases de esto, los otros dos son los lados de esto trapecios. Encontrar altura trapecios, si se sabe cuadrado, será muy fácil.
Instrucciones
Necesitas descubrir cómo calcular cuadrado original trapecios. Existen varias fórmulas para esto, dependiendo de los datos iniciales: S = ((a+b)*h)/2, donde a y b son bases trapecios, y h es su altura (Altura trapecios- perpendicular, bajado desde una base trapecios a otro);
S = m*h, donde m es la línea trapecios(La línea media es un segmento con bases trapecios y conectando los puntos medios de sus lados).
Para hacerlo más claro, se pueden considerar problemas similares: Ejemplo 1: Dado un trapezoide con cuadrado 68 cm², cuya línea media es de 8 cm, necesitas encontrar altura dado trapecios. Para resolver este problema, es necesario utilizar la fórmula derivada anteriormente:
h = 68/8 = 8,5 cm Respuesta: altura de este trapecios es 8,5 cmEjemplo 2: Sea y trapecios cuadrado es igual a 120 cm², la longitud de las bases de este trapecios 8 cm y 12 cm respectivamente, necesitas encontrar altura este trapecios. Para hacer esto, aplique una de las fórmulas derivadas:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmRespuesta: altura dada trapecios igual a 12cm
Vídeo sobre el tema.
tenga en cuenta
Cualquier trapezoide tiene varias propiedades:
La línea media de un trapezoide es igual a la mitad de la suma de sus bases;
El segmento que une las diagonales de un trapezoide es igual a la mitad de la diferencia de sus bases;
Si se traza una línea recta a través de los puntos medios de las bases, entonces cruzará el punto de intersección de las diagonales del trapezoide;
Se puede inscribir una circunferencia en un trapezoide si la suma de las bases del trapezoide es igual a la suma de sus lados.
Utilice estas propiedades al resolver problemas.
Consejo 3: Cómo encontrar el área de un trapecio si se conocen las bases
Por definición geométrica Un trapezoide es un cuadrilátero que tiene solo un par de lados paralelos. Estos lados son de ella razones. Distancia entre razones llamado altura trapecios. Encontrar cuadrado trapecios posible usando fórmulas geométricas.
Instrucciones
Mida las bases y trapecios ABCD. Generalmente se dan en tareas. Dejar entrar en este ejemplo tareas fundación AD (a) trapecios será igual a 10 cm, base BC (b) - 6 cm, altura trapecios BK (h) - 8 cm Usa formas geométricas para encontrar el área. trapecios, si se conocen las longitudes de sus bases y sus alturas - S= 1/2 (a+b)*h, donde: - a - el tamaño de la base AD trapecios ABCD, - b - el valor de la base BC, - h - el valor de la altura BK.
La práctica del Examen Estatal Unificado y del Examen Estatal del año pasado muestra que los problemas de geometría causan dificultades a muchos escolares. Podrás afrontarlos fácilmente si memorizas todas las fórmulas necesarias y practicas la resolución de problemas.
En este artículo verás fórmulas para encontrar el área de un trapezoide, así como ejemplos de problemas con solución. Es posible que te encuentres con los mismos en los KIM durante los exámenes de certificación o en las Olimpiadas. Por lo tanto, trátelos con cuidado.
¿Qué necesitas saber sobre el trapezoide?
Para empezar recordemos que trapezoide Se llama cuadrilátero en el que dos lados opuestos, también llamados bases, son paralelos y los otros dos no.
En un trapezoide también se puede reducir la altura (perpendicular a la base). Se dibuja la línea media: es una línea recta paralela a las bases e igual a la mitad de su suma. Así como diagonales que pueden cruzarse formando ángulos agudos y obtusos. O, en algunos casos, en ángulo recto. Además, si el trapezoide es isósceles, se puede inscribir en él un círculo. Y describe un círculo a su alrededor.
Fórmulas del área trapezoidal
Primero, veamos las fórmulas estándar para encontrar el área de un trapezoide. Consideraremos formas de calcular el área de trapecios isósceles y curvilíneos a continuación.
Entonces, imagina que tienes un trapezoide con bases a y b, en el que la altura h se reduce a la base más grande. Calcular el área de una figura en este caso es tan fácil como pelar peras. Sólo necesitas dividir la suma de las longitudes de las bases por dos y multiplicar el resultado por la altura: S = 1/2(a + b)*h.
Tomemos otro caso: supongamos que en un trapezoide, además de la altura, existe una recta media m. Conocemos la fórmula para encontrar la longitud de la línea media: m = 1/2(a + b). Por lo tanto, podemos simplificar legítimamente la fórmula para el área de un trapezoide a la siguiente forma: S = m*h. En otras palabras, para encontrar el área de un trapezoide, debes multiplicar la línea central por la altura.
Consideremos otra opción: el trapezoide contiene diagonales d 1 y d 2, que no se cruzan en ángulos rectos α. Para calcular el área de dicho trapezoide, debes dividir el producto de las diagonales por dos y multiplicar el resultado por el pecado del ángulo entre ellas: S= 1/2d 1 d 2 *senα.
Ahora considere la fórmula para encontrar el área de un trapezoide si no se sabe nada sobre él excepto las longitudes de todos sus lados: a, b, cy d. Esta es una fórmula engorrosa y compleja, pero te será útil recordarla por si acaso: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
Por cierto, los ejemplos anteriores también son válidos para el caso en el que se necesita la fórmula para el área de un trapezoide rectangular. Este es un trapezoide, cuyo lado linda con las bases en ángulo recto.
trapezoide isósceles
Un trapezoide cuyos lados son iguales se llama isósceles. Consideraremos varias opciones para la fórmula del área de un trapezoide isósceles.
Primera opción: para el caso en que un círculo con radio r está inscrito dentro de un trapezoide isósceles y el lado y la base más grande forman un ángulo agudo α. Un círculo puede inscribirse en un trapecio siempre que la suma de las longitudes de sus bases sea igual a la suma de las longitudes de sus lados.
El área de un trapezoide isósceles se calcula de la siguiente manera: multiplica el cuadrado del radio del círculo inscrito por cuatro y divídelo todo por senα: S = 4r 2 /senα. Otra fórmula de área es un caso especial para la opción cuando el ángulo entre la base grande y el lado es 30 0: S = 8r2.
Segunda opción: esta vez tomamos un trapezoide isósceles, en el que además se dibujan las diagonales d 1 y d 2, así como la altura h. Si las diagonales de un trapezoide son mutuamente perpendiculares, la altura es la mitad de la suma de las bases: h = 1/2(a + b). Sabiendo esto, es fácil transformar la fórmula del área de un trapezoide que ya le resulta familiar a esta forma: S = h 2.
Fórmula para el área de un trapecio curvo
Comencemos por descubrir qué es un trapezoide curvo. Imagine un eje de coordenadas y una gráfica de una función f continua y no negativa que no cambia de signo dentro de un segmento determinado en el eje x. Un trapezoide curvilíneo está formado por la gráfica de la función y = f(x): en la parte superior, el eje x está en la parte inferior (segmento), y en los lados, líneas rectas trazadas entre los puntos a y b y la gráfica de la función.
Es imposible calcular el área de una figura tan no estándar utilizando los métodos anteriores. Aquí es necesario aplicar el análisis matemático y utilizar la integral. A saber: la fórmula de Newton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). En esta fórmula, F es la antiderivada de nuestra función en el segmento seleccionado. Y el área de un trapezoide curvilíneo corresponde al incremento de la primitiva en un segmento dado.
Problemas de muestra
Para que todas estas fórmulas sean más fáciles de entender en tu cabeza, aquí tienes algunos ejemplos de problemas para encontrar el área de un trapezoide. Lo mejor será que primero intente resolver los problemas usted mismo y solo luego compare la respuesta recibida con la solución ya preparada.
Tarea #1: Dado un trapezoide. Su base más grande mide 11 cm, la más pequeña mide 4 cm. El trapezoide tiene diagonales, una de 12 cm de largo y la segunda de 9 cm.
Solución: Construya un AMRS trapezoide. Dibuja una línea recta РХ a través del vértice P de modo que sea paralela a la diagonal MC y corte a la línea recta AC en el punto X. Obtendrás un triángulo APХ.
Consideraremos dos figuras obtenidas como resultado de estas manipulaciones: el triángulo APX y el paralelogramo CMRX.
Gracias al paralelogramo aprendemos que PX = MC = 12 cm y CX = MR = 4 cm. De donde podemos calcular el lado AX del triángulo ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
También podemos demostrar que el triángulo APX es rectángulo (para hacer esto, aplique el teorema de Pitágoras - AX 2 = AP 2 + PX 2). Y calcula su área: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.
A continuación tendrás que demostrar que los triángulos AMP y PCX tienen el mismo área. La base será la igualdad de las partes MR y CX (ya probada anteriormente). Y también las alturas que bajas en estos lados son iguales a la altura del trapezoide AMRS.
Todo esto te permitirá decir que S AMPC = S APX = 54 cm 2.
Tarea #2: Se da el trapezoide KRMS. En sus lados laterales se encuentran los puntos O y E, mientras que OE y KS son paralelos. También se sabe que las áreas de los trapecios ORME y OKSE están en la proporción 1:5. RM = a y KS = b. Necesitas encontrar OE.
Solución: Trazar una línea paralela a RK que pasa por el punto M y designar el punto de su intersección con OE como T. A es el punto de intersección de la línea trazada por el punto E paralela a RK con la base KS.
Introduzcamos una notación más: OE = x. Y también la altura h 1 para el triángulo TME y la altura h 2 para el triángulo AEC (puedes probar de forma independiente la similitud de estos triángulos).
Supondremos que b > a. Las áreas de los trapecios ORME y OKSE están en la proporción 1:5, lo que nos da derecho a crear la siguiente ecuación: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Transformemos y obtengamos: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
Como los triángulos TME y AEC son semejantes, tenemos h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Combinemos ambas entradas y obtengamos: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Por tanto, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Conclusión
La geometría no es la ciencia más fácil, pero ciertamente podrás afrontar las preguntas del examen. Basta con mostrar un poco de perseverancia en la preparación. Y, por supuesto, recuerda todas las fórmulas necesarias.
Intentamos recopilar todas las fórmulas para calcular el área de un trapecio en un solo lugar para que puedas usarlas cuando te prepares para los exámenes y revises el material.
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El trapecio de muchos lados... Puede ser arbitrario, isósceles o rectangular. Y en cada caso necesitas saber cómo encontrar el área de un trapezoide. Por supuesto, la forma más sencilla es recordar las fórmulas básicas. Pero a veces es más fácil utilizar uno que se deriva teniendo en cuenta todas las características de una determinada figura geométrica.
Algunas palabras sobre el trapezoide y sus elementos.
Cualquier cuadrilátero cuyos dos lados sean paralelos se puede llamar trapezoide. En general no son iguales y se llaman bases. El más grande es el inferior y el otro es el superior.
Los otros dos lados resultan laterales. En un trapezoide arbitrario tienen longitudes diferentes. Si son iguales, entonces la figura se vuelve isósceles.
Si de repente el ángulo entre cualquier lado y la base resulta ser igual a 90 grados, entonces el trapezoide es rectangular.
Todas estas características pueden ayudar a resolver el problema de cómo encontrar el área de un trapezoide.
Entre los elementos de la figura que pueden resultar indispensables a la hora de resolver problemas, podemos destacar los siguientes:
- altura, es decir, un segmento perpendicular a ambas bases;
- la línea media, que tiene en sus extremos los puntos medios de los lados laterales.
¿Qué fórmula se puede utilizar para calcular el área si se conocen la base y la altura?
Esta expresión se da como básica porque la mayoría de las veces uno puede reconocer estas cantidades incluso cuando no se dan explícitamente. Entonces, para entender cómo encontrar el área de un trapezoide, necesitarás sumar ambas bases y dividirlas por dos. Luego multiplique el valor resultante por el valor de altura.
Si denotamos las bases con las letras a 1 y a 2, la altura con n, entonces la fórmula para el área se verá así:
S = ((a 1 + a 2)/2)*n.
Fórmula para calcular el área si se dan su altura y línea central.
Si observa detenidamente la fórmula anterior, es fácil notar que contiene claramente el valor de la línea media. Es decir, la suma de las bases dividida por dos. Dejemos que la línea media se designe con la letra l, entonces la fórmula para el área queda:
S = l * norte.
Habilidad para encontrar áreas usando diagonales.
Este método ayudará si se conoce el ángulo que forman. Supongamos que las diagonales están designadas con las letras d 1 y d 2, y los ángulos entre ellas son α y β. Entonces la fórmula de cómo encontrar el área de un trapezoide se escribirá de la siguiente manera:
S = ((d 1 * d 2)/2) * pecado α.
Puedes reemplazar fácilmente α con β en esta expresión. El resultado no cambiará.
¿Cómo saber el área si se conocen todos los lados de la figura?
También hay situaciones en las que se conocen exactamente los lados de esta figura. Esta fórmula es engorrosa y difícil de recordar. Pero es posible. Dejemos que los lados tengan la designación: a 1 y a 2, la base a 1 es mayor que a 2. Entonces la fórmula del área tomará la siguiente forma:
S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (en 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + en 1 2 - en 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2 ).
Métodos para calcular el área de un trapecio isósceles.
La primera se debe a que en él se puede inscribir un círculo. Y, conociendo su radio (se denota con la letra r), así como el ángulo en la base - γ, puede utilizar la siguiente fórmula:
S = (4 * r 2) / pecado γ.
La última fórmula general, que se basa en el conocimiento de todos los lados de la figura, se simplificará significativamente debido a que los lados tienen el mismo significado:
S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (en 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).
Métodos para calcular el área de un trapezoide rectangular.
Está claro que cualquiera de los anteriores será adecuado para cualquier figura. Pero a veces es útil conocer una característica de dicho trapezoide. Consiste en que la diferencia entre los cuadrados de las longitudes de las diagonales es igual a la diferencia formada por los cuadrados de las bases.
A menudo se olvidan las fórmulas de un trapezoide, mientras se recuerdan las expresiones de las áreas de un rectángulo y un triángulo. Entonces puedes usar un método simple. Divide el trapezoide en dos formas, si es rectangular, o en tres. Uno definitivamente será un rectángulo y el segundo, o los dos restantes, serán triángulos. Después de calcular las áreas de estas figuras solo queda sumarlas.
Esta es una forma bastante sencilla de encontrar el área de un trapezoide rectangular.
¿Qué pasa si se conocen las coordenadas de los vértices del trapezoide?
En este caso, necesitarás utilizar una expresión que te permita determinar la distancia entre puntos. Se puede aplicar tres veces: para conocer ambas bases y una altura. Y luego simplemente aplique la primera fórmula, que se describe un poco más arriba.
Para ilustrar este método, se puede dar el siguiente ejemplo. Dados vértices con coordenadas A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Necesitas averiguar el área de la figura.
Antes de encontrar el área del trapezoide, debes calcular las longitudes de las bases a partir de las coordenadas. Necesitará la siguiente fórmula:
longitud del segmento = √((diferencia de las primeras coordenadas de los puntos) 2 + (diferencia de las segundas coordenadas de los puntos) 2 ).
La base superior se designa AB, lo que significa que su longitud será igual a √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3. La inferior es CD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.
Ahora necesitas dibujar la altura desde la parte superior hasta la base. Sea su comienzo en el punto A. El final del segmento estará en la base inferior en el punto de coordenadas (5; 1), sea el punto H. La longitud del segmento AN será igual a √((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.
Solo queda sustituir los valores resultantes en la fórmula del área de un trapezoide:
S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.
El problema se resolvió sin unidades de medida, porque no se especificó la escala de la cuadrícula de coordenadas. Puede ser un milímetro o un metro.
Problemas de muestra
No 1. Condición. Se conoce el ángulo entre las diagonales de un trapecio arbitrario y es igual a 30 grados. La diagonal más pequeña mide 3 dm y la segunda es 2 veces mayor. Es necesario calcular el área del trapezoide.
Solución. Primero necesitas averiguar la longitud de la segunda diagonal, porque sin ella no será posible calcular la respuesta. No es difícil calcularlo, 3 * 2 = 6 (dm).
Ahora necesitas usar la fórmula apropiada para el área:
S = ((3 * 6) / 2) * sen 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). El problema está resuelto.
Respuesta: El área del trapezoide es de 4,5 dm2.
No 2. Condición. En el trapezoide ABCD, las bases son los segmentos AD y BC. El punto E es el centro del lado SD. Desde allí se traza una perpendicular a la recta AB, el final de este segmento se designa con la letra H. Se sabe que las longitudes AB y EH son iguales a 5 y 4 cm, respectivamente. Es necesario calcular el área. del trapezoide.
Solución. Primero necesitas hacer un dibujo. Dado que el valor de la perpendicular es menor que el lado hacia el que se dibuja, el trapezoide se alargará ligeramente hacia arriba. Entonces EH estará dentro de la figura.
Para ver claramente el progreso en la solución del problema, será necesario realizar construcciones adicionales. Es decir, dibuja una línea recta que sea paralela al lado AB. Los puntos de intersección de esta recta con AD son P, y con la continuación de BC son X. La figura resultante VHRA es un paralelogramo. Además, su área es igual a la requerida. Esto se debe al hecho de que los triángulos que se obtuvieron durante la construcción adicional son iguales. Esto se desprende de la igualdad del lado y dos ángulos adyacentes a él, uno vertical y el otro transversal.
Puedes encontrar el área de un paralelogramo usando una fórmula que contiene el producto del lado y la altura que se baja sobre él.
Por tanto, el área del trapezoide es 5 * 4 = 20 cm 2.
Respuesta: S = 20 cm2.
No 3. Condición. Los elementos de un trapezoide isósceles tienen los siguientes valores: base inferior - 14 cm, superior - 4 cm, ángulo agudo - 45º. Necesitas calcular su área.
Solución. Designemos la base más pequeña como BC. La altura extraída del punto B se llamará VH. Como el ángulo es de 45º, el triángulo ABH será rectangular e isósceles. Entonces AN=VN. Además, AN es muy fácil de encontrar. Es igual a la mitad de la diferencia de bases. Es decir (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).
Se conocen las bases, se calculan las alturas. Puede utilizar la primera fórmula, que se analizó aquí para un trapezoide arbitrario.
S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).
Respuesta: El área requerida es 45 cm 2.
No 4. Condición. Existe un trapezoide arbitrario ABCD. Los puntos O y E se toman en sus lados laterales, de modo que OE es paralelo a la base de AD. El área del trapecio AOED es cinco veces mayor que la del OVSE. Calcule el valor OE si se conocen las longitudes de las bases.
Solución. Será necesario trazar dos rectas AB paralelas: la primera que pasa por el punto C, su intersección con OE es el punto T; el segundo por E y el punto de intersección con AD será M.
Sea la desconocida OE=x. La altura del trapezoide más pequeño OVSE es n 1, el AOED más grande es n 2.
Como las áreas de estos dos trapecios están relacionadas de 1 a 5, podemos escribir la siguiente igualdad:
(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2
norte 1 / norte 2 = (x + un 1) / (5 (x + un 2)).
Las alturas y los lados de los triángulos son proporcionales por construcción. Por tanto, podemos escribir una igualdad más:
n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a 1 - x).
En las dos últimas entradas del lado izquierdo hay valores iguales, lo que significa que podemos escribir que (x + a 1) / (5(x + a 2)) es igual a (x - a 2) / (a 1-x).
Aquí se requieren una serie de transformaciones. Primero multiplica en forma transversal. Aparecerán paréntesis para indicar la diferencia de cuadrados, luego de aplicar esta fórmula obtendrás una breve ecuación.
En él debes abrir los corchetes y mover todos los términos con la “x” desconocida a lado izquierdo y luego saca la raíz cuadrada.
Respuesta: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).