Enseñanza de planimetría en un curso escolar. Ángulos con lados mutuamente paralelos, ángulos con lados mutuamente perpendiculares

26.09.2019

Normalmente, los ángulos se consideran con lados paralelos correspondientes o con lados perpendiculares correspondientes. Consideremos primero el primer caso.

Sean dados dos ángulos ABC y DEF. Sus lados son respectivamente paralelos: AB || DE y BC || E.F. Estos dos ángulos serán iguales o su suma será igual a 180°. En la siguiente figura, en el primer caso ∠ABC = ∠DEF, y en el segundo ∠ABC + ∠DEF = 180°.

La prueba de que esto es efectivamente así se reduce a lo siguiente.

Considere ángulos con lados correspondientemente paralelos, ubicados como en la primera figura. Al mismo tiempo, extendemos las rectas AB y EF hasta que se cruzan. Designemos el punto de intersección con la letra G. Además, para mayor claridad de la prueba posterior, el lado BC está extendido en la figura.

Dado que las rectas BC y EF son paralelas, si la recta AB corta a una de ellas, seguramente cortará a la otra. Es decir, la recta AB es secante de dos rectas paralelas. Como se sabe, en este caso los ángulos transversales de la secante son iguales, los ángulos unilaterales suman 180° y los ángulos correspondientes son iguales.

Es decir, no importa qué par de ángulos tomemos en los vértices B y G (un ángulo de uno, el otro del segundo), siempre obtendremos ángulos iguales o sumando 180°.

Sin embargo, las rectas AB y DE también son paralelas. Para ellos, la recta EF es secante. Esto significa que cualquier par de ángulos de los vértices G y E sumarán 180° o serán iguales entre sí. De ello se deduce que los pares de ángulos de los vértices B y E obedecerán esta regla.

Por ejemplo, considere los ángulos ∠ABC y ∠DEF. El ángulo ABC es igual al ángulo BGE, ya que estos ángulos corresponden a las líneas paralelas BC y EF. A su vez, el ángulo BGE es igual al ángulo DEF, ya que estos ángulos son correspondientes cuando AB y DE son paralelos. Así queda demostrado, ∠ABC y ∠DEF.

Ahora considere los ángulos ∠ABC y ∠DEG. El ángulo ABC es igual al ángulo BGE. Pero ∠BGE y ∠DEG son ángulos unilaterales con rectas paralelas (AB || DE) intersecadas por una transversal (EF). Como sabes, esos ángulos suman 180°. Si miramos el segundo caso de la primera figura, nos damos cuenta de que corresponde al par de ángulos ABC y DEG de la segunda figura.

entonces dos diferentes ángulos, cuyos lados son respectivamente paralelos, o iguales entre sí, o suman 180°. El teorema ha sido demostrado.

Cabe señalar un caso especial: cuando se giran las esquinas. En este caso, obviamente serán iguales entre sí.

Ahora considere ángulos con lados correspondientemente perpendiculares. Este caso parece más complicado porque posición relativa Los ángulos son más variados. La siguiente figura muestra tres ejemplos de cómo se pueden colocar esquinas con sus lados correspondientemente perpendiculares. Sin embargo, en cualquier caso, un lado del primer ángulo (o su extensión) es perpendicular a un lado del segundo ángulo, y el segundo lado del primer ángulo es perpendicular al segundo lado del segundo ángulo.

Consideremos uno de los casos. En este caso, dibujamos una bisectriz en una esquina y a través de un punto arbitrario de la misma trazamos perpendiculares a los lados de su ángulo.

Aquí hay ángulos ABC y DEF con lados respectivamente perpendiculares: AB ⊥ DE y BC ⊥ EF. En la bisectriz del ángulo ABC se toma el punto G, a través del cual se trazan las perpendiculares al mismo ángulo: GH ⊥ AB y GI ⊥ BC.

Considere los triángulos BGH y BGI. Son rectangulares porque los ángulos H e I son ángulos rectos. En ellos, los ángulos en el vértice B son iguales, ya que BG es la bisectriz del ángulo ABC. Además, para los triángulos considerados, el lado BG es común y es la hipotenusa de cada uno de ellos. Como se sabe, los triángulos rectángulos son congruentes si sus hipotenusas y una de ellas son iguales. esquinas afiladas. Por tanto, ∆BGH = ∆BGI.

Dado que ∆BGH = ∆BGI, entonces ∠BGH = ∠BGI. Por tanto, el ángulo HGI no se puede representar como la suma de estos dos ángulos, sino como uno de ellos multiplicado por 2: ∠HGI = ∠BGH * 2.

El ángulo ABC se puede representar como la suma de dos ángulos: ∠ABC = ∠GBH + ∠GBI. Dado que los ángulos componentes son iguales entre sí (ya que están formados por una bisectriz), el ángulo ABC se puede representar como el producto de uno de ellos y el número 2: ∠ABC = ∠GBH * 2.

Los ángulos BGH y GBH son ángulos agudos. triangulo rectángulo, lo que significa que suman 90°. Veamos las igualdades resultantes:

∠BGH + ∠GBH = 90°
∠HGI = ∠BGH * 2
∠ABC = ∠GBH * 2

Agreguemos los dos últimos:

∠HGI + ∠ABC = ∠BGH * 2 + ∠GBH * 2

Saquemos el factor común de paréntesis:

∠HGI + ∠ABC = 2(∠BGH + ∠GBH)

Como la suma de los ángulos entre paréntesis es 90°, resulta que los ángulos HGI y ABC suman 180°:

∠ABC + ∠HGI = 2 * 90° = 180°

Entonces, hemos demostrado que la suma de los ángulos HGI y ABC es 180°. Ahora volvamos a mirar el dibujo y volvamos la mirada al ángulo con el que el ángulo ABC tiene lados correspondientemente perpendiculares. Este es el ángulo DEF.

Las rectas GI y EF son paralelas entre sí ya que ambas son perpendiculares a la misma recta BC. Y como sabes, las rectas que son perpendiculares a una misma recta son paralelas entre sí. Por la misma razón DE || GH.

Como se ha demostrado anteriormente, los ángulos con lados correspondientemente paralelos suman 180° o son iguales entre sí. Esto significa ∠DEF = ∠HGI o ∠DEF + ∠HGI = 180°.

Sin embargo, ∠ABC + ∠HGI = 180°. De esto se deduce que en el caso de lados correspondientemente perpendiculares, los ángulos son iguales o suman 180°.

Aunque en en este caso Nos limitamos a acreditar únicamente el importe. Pero si mentalmente extendemos el lado EF en la dirección opuesta, veremos un ángulo que es igual al ángulo ABC, y al mismo tiempo sus lados también son perpendiculares al ángulo ABC. La igualdad de tales ángulos se puede probar considerando ángulos con lados correspondientemente paralelos: ∠DEF y ∠HGI.

TEOREMA 1.Igualdad de ángulos con lados mutuamente perpendiculares:si y
ambos agudos o ambos obtusos y
,
, Eso
. TEOREMA 2. Propiedades de la línea media de un trapezoide:A) línea media el trapezoide es paralelo a las bases del trapezoide;B) la línea media es igual a la mitad de la suma de las bases del trapezoide;C) la línea media (y solo ella) biseca cualquier segmento encerrado entre las bases del trapezoide. Estas propiedades también son válidas para la línea media de un triángulo, si consideramos que el triángulo es un trapezoide "degenerado", una de cuyas bases tiene una longitud igual a cero. TEOREMA 3. En los puntos de intersección de medianas, bisectrices, altitudes de un triángulo:A) tres medianas de un triángulo se cruzan en un punto (se llama centro de gravedad del triángulo) y se dividen en este punto en una proporción de 2: 1, contando desde el vértice;B) tres bisectrices de un triángulo se cruzan en un punto;C) tres altitudes se cruzan en un punto (se llama ortocentro del triángulo).TEOREMA 4. Propiedad de la mediana en un triángulo rectángulo:En un triángulo rectángulo, la mediana trazada hasta la hipotenusa es igual a la mitad de ella. El teorema inverso también es cierto: Si en un triángulo una de las medianas es igual a la mitad del lado al que está dibujada, entonces este triángulo es rectángulo.TEOREMA 5. Propiedad de la bisectriz del ángulo interno de un triángulo:La bisectriz de un ángulo interno de un triángulo divide el lado al que se traza en partes proporcionales a los lados opuestos:
TEOREMA 6. Relaciones métricas en un triángulo rectángulo:SiaYb- piernas,do– hipotenusa,h- altura, Y - proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa, entonces: a)
; b)
; V)
; GRAMO)
; d)
TEOREMA 7. Determinación del tipo de triángulo en función de sus lados:Dejara, b, do– lados del triángulo, siendo c el lado más grande; Entonces:a) si
, entonces el triángulo es agudo;b) si
, entonces el triángulo es rectángulo;b) si
, entonces el triángulo es obtuso.TEOREMA 8. Relaciones métricas en un paralelogramo:La suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de todos sus lados:
. Al resolver problemas geométricos, a menudo es necesario establecer la igualdad de dos segmentos (o ángulos). indiquemos Tres formas principales de demostrar geométricamente la igualdad de dos segmentos: 1) considere los segmentos como lados de dos triángulos y demuestre que estos triángulos son iguales; 2) representar los segmentos como lados de un triángulo y demostrar que dicho triángulo es isósceles; 3 ) reemplazar el segmento A un segmento igual , y el segmento b – igual a él y demostrar la igualdad de los segmentos y . Tarea 1.Dos rectas mutuamente perpendiculares cortan los ladosAB, antes de Cristo, CD, ANUNCIOcuadradoABCDen puntosmi, F, k, lrespectivamente. demostrar queE.K. = Florida(ver figura para la tarea No. 1).R

Arroz. a la tarea número 1

Solución: 1. Usando el primero de los caminos anteriores para la igualdad de dos segmentos, dibujamos los segmentos
Y
- luego los segmentos que nos interesan E.K. Y Florida convertirse en lados de dos triángulos rectángulos EPK Y FML(ver figura para la tarea No. 1) . 2

Arroz. a la tarea número 1

Tenemos: PAQUETE = FM(más detalles: PAQUETE = ANUNCIO, ANUNCIO = AB, AB = FM, Medio,PAQUETE = FM), (como ángulos con lados mutuamente perpendiculares, Teorema 1). Esto significa (a lo largo de la pierna y el ángulo agudo). De la igualdad de los triángulos rectángulos se deduce que sus hipotenusas son iguales, es decir segmentos E.K. Y Florida. ■ Tenga en cuenta que al resolver problemas geométricos, a menudo hay que hacer construcciones adicionales, por ejemplo las siguientes: dibujar una línea recta paralela o perpendicular a una de las de la figura (como hicimos en la tarea 1); duplicando la mediana del triángulo para completar el triángulo en un paralelogramo (haremos esto en el Problema 2), dibujando una bisectriz auxiliar. Hay construcciones adicionales útiles relacionadas con el círculo. Tarea 2.Partes
iguala, b, do. Calcular la mediana , dibujado hacia el lado c.R

Arroz. al problema número 2

Solución: Duplicar la mediana completando
al paralelogramo ACVR, y aplicamos el Teorema 8 a este paralelogramo Obtenemos: , es decir.
, donde encontramos:
Tarea 3.Demuestre que en cualquier triángulo la suma de las medianas es mayor que ¾ del perímetro, pero menor que el perímetro.R
solución: 1. consideremos
(ver figura del problema 3) Tenemos:
;
. Porque AM + EM > CA, Eso
(1) PAG

Arroz. al problema número 3

Realizando razonamientos similares para los triángulos AMB y BMC, obtenemos:
(2)
(3) Sumando las desigualdades (1), (2), (3), obtenemos:
, t
.mi. Hemos demostrado que la suma de las medianas es mayor que ¾ del perímetro. 2. Dupliquemos la mediana BD, completando el triángulo en un paralelogramo (consulte la figura del problema 3). Luego de
obtenemos: B.K. < antes de Cristo + CK, aquellos.
(4) Asimismo:
(5)

Arroz. al problema número 3

(6) Sumando las desigualdades (4), (5), (6), obtenemos: , es decir la suma de las medianas es menor que el perímetro. ■ Tarea 4.Demuestre que en un triángulo rectángulo no isósceles la bisectriz ángulo recto biseca el ángulo entre la mediana y la altitud trazada desde el mismo vértice.R
solución: Sea ACB un triángulo rectángulo,

, CH – altura, CD – bisectriz, SM – mediana. Introduzcamos la siguiente notación: (ver figura del problema 4). 1.

como ángulos con lados mutuamente perpendiculares (). 2

Arroz. al problema número 4

Porque
(ver Teorema 4), entonces SM = MV, y luego de
concluimos que
Entonces, 3. Puesto que y (después de todo, CD es una bisectriz), eso es lo que había que demostrar. ■ Tarea 5.En un paralelogramo con ladosa YbSe dibujan bisectrices de ángulos internos (consulte la figura del problema 5). Encuentra las longitudes de las diagonales del cuadrilátero formado en la intersección de las bisectrices.Solución: 1 . AE – bisectriz
, BP – bisectriz
(ver figura). ya que en un paralelogramo
aquellos. entonces Esto significa que en el triángulo ABC la suma de los ángulos A y B es igual a 90 0, entonces el ángulo K es igual a 90 0, es decir, las bisectrices AE y BP son mutuamente perpendiculares. A
La perpendicularidad mutua de las bisectrices AE y DQ, BP y CF, CF y DQ está demostrada lógicamente. SALIDA: KLMN es un cuadrilátero con ángulos rectos, es decir rectángulo. Un rectángulo tiene diagonales iguales, por lo que basta con encontrar la longitud de una de ellas, por ejemplo KM. 2

Arroz. al problema número 5

consideremos
Tiene AK, tanto bisectriz como altura. Esto significa, en primer lugar, que el triángulo ABP es isósceles, es decir AB = AP = b, y, en segundo lugar, que el segmento AK es al mismo tiempo la mediana del triángulo ABP, es decir K – la mitad de la bisectriz BP. De manera similar se demuestra que M es el punto medio de la bisectriz DQ. 3. Consideremos el segmento KM. Biseca los segmentos BP y DQ. Pero la línea media de un paralelogramo (tenga en cuenta que un paralelogramo es un caso especial de trapezoide; si podemos hablar de la línea media de un trapezoide, entonces podemos hablar igualmente de la línea media de un paralelogramo, que tiene el mismo propiedades) pasa por los puntos K y M (ver teorema 2). Esto significa que KM es un segmento en la línea media y, por lo tanto,
.4. Porque
Y
, entonces KMDP es un paralelogramo y, por tanto,. Respuesta:
■ De hecho, en el proceso de resolución del problema (en las etapas 1 y 2), demostramos una propiedad bastante importante: las bisectrices de los ángulos adyacentes al lado de un trapezoide se cortan en ángulo recto en un punto que se encuentra en la línea media del trapezoide. Cabe señalar que el método principal para componer ecuaciones en problemas geométricos es métodoelemento de soporte, que es la siguiente: un mismo elemento (lado, ángulo, área, radio, etc.) se expresa mediante cantidades conocidas y desconocidas por dos de diferentes maneras y las expresiones resultantes se equiparan. Muy a menudo se elige una zona como elemento de referencia.figuras. Luego decimos que para construir la ecuación usamos método de área. Es necesario enseñar a los escolares a resolver problemas básicos, es decir aquellos. Los cuales se incluyen como componentes en muchas otras tareas. Se trata, por ejemplo, de problemas para encontrar los elementos básicos de un triángulo: mediana, altura, bisectriz, radios de círculos inscritos y circunscritos, área. z problema 6.En el triángulo ABC, los lados AB y BC son iguales y BH es la altura. Se toma un punto en el lado BC.DEntonces
(ver figura del problema 6). ¿En qué proporción está el segmento?ANUNCIOdivide la altura del VN?Solución: 1. Sea BD = a, entonces CD = 4 a, AB = 5a.2

Arroz. al problema número 6

Dibujemos un segmento
(ver figura del problema 6) Dado que NK es la línea media del triángulo ACD DK = KC = 2 a .3. Considere el triángulo VNK. Tenemos: BD = a,NS = 2 a Y
. Según el teorema de Tales
Pero
Eso significa
■ Si un problema requiere encontrar la razón de cualquier número de cantidades, entonces, como regla general, el problema se resuelve utilizando el método de parámetro auxiliar. Esto significa que al comienzo de la resolución del problema declaramos alguna cantidad lineal conocida, denotándola, por ejemplo, con la letra A, y luego expresarlo a través de A aquellas cantidades cuya relación se requiere encontrar. Cuando se construye la relación requerida, el parámetro auxiliar A se está reduciendo. Así es exactamente como actuamos en el problema. . Nuestro consejo: al resolver problemas en los que es necesario encontrar la proporción de cantidades (en particular, en problemas de determinar un ángulo; después de todo, como regla general, al calcular un ángulo estamos hablando de encontrar su función trigonométrica, es decir. sobre la razón de los lados de un triángulo rectángulo), se debe enseñar a los estudiantes a resaltar la introducción de un parámetro auxiliar como la primera etapa de la resolución. El método del parámetro auxiliar también se utiliza en problemas donde figura geométrica determinado hasta la similitud. Tarea 7.Un rectángulo está inscrito en un triángulo con lados iguales a 10, 17 y 21 cm de modo que sus dos vértices estén en un lado del triángulo y los otros dos vértices estén en los otros dos lados del triángulo. Calcula los lados del rectángulo si se sabe que su perímetro es de 22,5 cm.R
decisión . 1. En primer lugar, determinemos el tipo de triángulo. Tenemos: 10 2 = 100; 17 2 = 289; 21 2 = 441. Como 21 2 > 10 2 + 17 2, el triángulo tiene un ángulo obtuso (ver Teorema 7), lo que significa que un rectángulo sólo puede inscribirse en él de una manera: colocando sus dos vértices en el mayor. lado del triángulo ABC (ver figura del problema 7), donde AC = 21 cm, AB = 10 cm, BC = 17 cm 2.

Para ángulos con lados correspondientemente paralelos, son válidas las siguientes proposiciones:

1. Si los lados a y b de un ángulo son respectivamente paralelos a los lados a y b de otro ángulo y tienen las mismas direcciones que ellos, entonces los ángulos son iguales.

2. Si, bajo la misma condición de paralelismo, los lados a y b se ajustan en oposición a los lados a y b, entonces los ángulos también son iguales.

3. Si, finalmente, los lados a y son paralelos y tienen direcciones idénticas, y los lados son paralelos y tienen direcciones opuestas, entonces los ángulos se complementan hasta que se invierten.

Prueba. Probemos la primera de estas proposiciones. Sean los lados de los ángulos paralelos e igualmente dirigidos (Fig. 191). Conectemos los vértices de las esquinas con una línea recta.

En este caso, son posibles dos casos: la línea recta pasa por dentro de las esquinas o por fuera de estas esquinas (Fig. 191, b). En ambos casos la prueba es obvia: así, en el primer caso

pero ¿de dónde lo sacamos? En el segundo caso tenemos

y el resultado se sigue nuevamente de las igualdades

Dejamos las pruebas de las Proposiciones 2 y 3 al lector. Podemos decir que si los lados de los ángulos son respectivamente paralelos, entonces los ángulos son iguales o suman el ángulo opuesto.

Evidentemente, son iguales si ambos son simultáneamente agudos o ambos obtusos, y su suma es igual si uno de ellos es agudo y el otro obtuso.

Los ángulos con lados correspondientemente perpendiculares son iguales o complementarios entre sí hasta un ángulo recto.

Prueba. Sea a algún ángulo (Fig. 192), y O sea el vértice del ángulo formado por rectas, por tanto, sea cualquiera de los cuatro ángulos formados por estas dos rectas; Giremos el ángulo (es decir, ambos lados) alrededor de su vértice O en ángulo recto; obtenemos un ángulo igual a él, pero cuyos lados son perpendiculares a los lados del ángulo girado indicado en la Fig. 192 a través de Son paralelas a las rectas que forman un ángulo dado a. Por lo tanto, los ángulos significan que los ángulos son iguales o forman un ángulo inverso en total.

Un ángulo es la parte de un plano delimitado por dos rayos que emanan de un punto. Los rayos que limitan el ángulo se llaman lados del ángulo.

El punto de donde emergen los rayos se llama vértice del ángulo. Esquema de designación de esquinas.

Veamos el ejemplo del ángulo que se muestra en la Figura 1.

El ángulo que se muestra en la Figura 1 se puede designar de tres formas:

Los ángulos se llaman ángulos iguales si se pueden combinar. Si la intersección de dos líneas produce cuatro angulos iguales , entonces esos ángulos se llaman ángulos rectos (Fig. 2). Las rectas que se cruzan y forman ángulos rectos se llaman.

lineas perpendiculares Si a través de un punto A, que no se encuentra en una línea l, se traza una línea perpendicular a la línea l y que cruza la línea l hasta el punto B, entonces dicen que desde el punto B perpendicular AB se deja caer sobre la línea l (Figura 3). El punto B se llama.

base de la perpendicular AB Nota. La longitud del segmento AB se llama.

distancia del punto A a la recta lÁngulo de 1° (un grado) llamado el ángulo que forma una nonagésima parte

ángulo recto. Un ángulo k veces mayor que un ángulo de 1° se llama ángulo de.

k° (k grados)

Los ángulos también se miden en radianes. Puede leer sobre radianes en la sección de nuestro libro de referencia “Medición de ángulos. Grados y radianes".

Tabla 1 - Tipos de ángulos según el valor en grados	Dibujo	tipos de ángulos
	Propiedades de las esquinas	Ángulo recto
	un angulo recto mide 90°	Ángulo agudo
	Ángulo agudo inferior a 90°	Ángulo obtuso
	Ángulo obtuso mayor de 90° pero menor de 180°	ángulo recto
		El ángulo de rotación es de 180°.
	Este ángulo es mayor que 180° pero menor que 360°.	Ángulo completo
	El ángulo completo es 360°	Ángulo igual a cero

Propiedades de las esquinas

este angulo es 0°

Propiedad:

un angulo recto mide 90°

este angulo es 0°

un angulo recto mide 90°

Ángulo agudo inferior a 90°

este angulo es 0°

Ángulo agudo inferior a 90°

Ángulo obtuso mayor de 90° pero menor de 180°

este angulo es 0°

Ángulo obtuso mayor de 90° pero menor de 180°

El ángulo de rotación es de 180°.

este angulo es 0°

Ángulo mayor que recto

Este ángulo es mayor que 180° pero menor que 360°.

este angulo es 0°

Este ángulo es mayor que 180° pero menor que 360°.

El ángulo completo es 360°

este angulo es 0°

El ángulo completo es 360°

este angulo es 0°

Tabla 1 - Tipos de ángulos según el valor en grados	Dibujo	tipos de ángulos
	Tabla 2 - Tipos de ángulos según la ubicación de los lados	ángulos verticales
	Los ángulos verticales son iguales.	Ángulos adyacentes
		La suma de los ángulos adyacentes es 180°.
		Los ángulos con lados respectivamente paralelos son iguales si ambos son agudos o ambos son obtusos.
		La suma de los ángulos de lados correspondientemente paralelos es igual a 180°, si uno de ellos es agudo y el otro obtuso.
		Los ángulos con lados respectivamente perpendiculares son iguales si ambos son agudos o ambos son obtusos.

Tabla 2 - Tipos de ángulos según la ubicación de los lados

La suma de los ángulos con lados correspondientemente perpendiculares es igual a 180°, si uno de ellos es agudo y el otro obtuso.

Propiedad de los ángulos verticales:

Los ángulos verticales son iguales.

Los ángulos verticales son iguales.

Propiedad de los ángulos adyacentes:

Ángulos con lados correspondientemente paralelos

Los ángulos con lados respectivamente paralelos son iguales si ambos son agudos o ambos son obtusos.

Propiedad de ángulos con lados correspondientemente paralelos:

La suma de los ángulos de lados correspondientemente paralelos es igual a 180°, si uno de ellos es agudo y el otro obtuso.

Ángulos con lados correspondientemente perpendiculares

Los ángulos con lados respectivamente perpendiculares son iguales si ambos son agudos o ambos son obtusos.

Propiedad de los ángulos con lados correspondientemente perpendiculares:

La suma de los ángulos con lados correspondientemente perpendiculares es igual a 180°, si uno de ellos es agudo y el otro obtuso.

Definición . La bisectriz de un ángulo es el rayo que biseca el ángulo.

Tarea . Demuestre que las bisectrices de ángulos adyacentes son perpendiculares.

Solución . Considere la Figura 4.

En esta figura, los ángulos AOB y BOC son adyacentes y los rayos OE y OD son bisectrices de estos ángulos. Desde

2α + 2β = 180°.

Q.E.D.

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53.Ángulos (ángulos internos) de un triángulo. Se llaman tres ángulos, cada uno de los cuales está formado por tres rayos que salen de los vértices del triángulo y pasan por los otros dos vértices.

54. Teorema de la suma de los ángulos del triángulo. La suma de los ángulos de un triángulo es 180°.

55. Esquina exterior de un triángulo es un ángulo adyacente a algún ángulo de este triángulo.

56. Esquina exterior triángulo igual a la suma dos ángulos de un triángulo que no son adyacentes a él.

57. Si las tres esquinas triángulo picante, entonces el triángulo se llama de ángulo agudo.

58. Si una de las esquinas triángulo desafilado, entonces el triángulo se llama de ángulo obtuso.

59. Si una de las esquinas triángulo directo, entonces el triángulo se llama rectangular.

60. El lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa(Palabra griega gyipotenusa - "contraer"), y dos lados que forman un ángulo recto - piernas(Palabra latina katetos - "plomada") .

61. Teorema sobre las relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo. en un triangulo el ángulo mayor es opuesto al lado mayor, y de vuelta, El lado mayor se encuentra opuesto al ángulo mayor.

62. En un triángulo rectángulo La hipotenusa es más larga que el cateto.

porque El lado mayor siempre está opuesto al ángulo mayor.

Signos de un triángulo isósceles.

si en un triangulo dos ángulos son iguales, entonces es isósceles;

si en un triangulo la bisectriz es la mediana o la altura,
entonces este triángulo es isósceles;

si en un triangulo la mediana es la bisectriz o la altura, Eso

este triángulo es isósceles;

si en un triangulo la altura es mediana o bisectriz,

entonces este triángulo es isósceles.

64. Teorema. Desigualdad triangular. La longitud de cada lado de un triángulo es mayor que la diferencia y menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados.:

Propiedades de los ángulos de un triángulo rectángulo.

La suma de dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 90°.

A + B = 90°