El concepto matemático de un segmento de rayo en línea recta. Las figuras geométricas más simples: punto, recta, segmento, rayo, línea quebrada.

28.09.2019

Un punto y una línea recta son las figuras geométricas básicas en un plano.

El antiguo científico griego Euclides dijo: “un punto” es algo que no tiene partes”. La palabra "punto" traducida del latín significa el resultado de un toque instantáneo, una inyección. Un punto es la base para construir cualquier figura geométrica.

Una línea recta o simplemente una línea recta es una línea a lo largo de la cual la distancia entre dos puntos es la más corta. Una línea recta es infinita y es imposible representarla entera y medirla.

Los puntos se indican con letras latinas mayúsculas A, B, C, D, E, etc., y las líneas rectas con las mismas letras, pero minúsculas a, b, c, d, e, etc. Una línea recta también se puede indicar con dos letras correspondientes a puntos que se encuentran sobre ella. Por ejemplo, la línea recta a puede designarse AB.

Podemos decir que los puntos AB se encuentran en la recta a o pertenecen a la recta a. Y podemos decir que la recta a pasa por los puntos A y B.

Protozoos formas geométricas en un plano es un segmento, un rayo, línea quebrada.

Un segmento es parte de una línea que consta de todos los puntos de esta línea, limitado por dos puntos seleccionados. Estos puntos son los extremos del segmento. Un segmento se indica indicando sus extremos.

Un rayo o media línea es parte de una línea que consta de todos los puntos de esta línea que se encuentran a un lado de un punto dado. Este punto se llama punto inicial de la media línea o comienzo del rayo. La viga tiene un punto de partida, pero no un final.

Las medias líneas o rayos se designan con dos letras latinas minúsculas: la inicial y cualquier otra letra correspondiente a un punto perteneciente a la media línea. En este caso, el punto de partida se sitúa en primer lugar.

Resulta que la línea recta es infinita: no tiene principio ni fin; un rayo tiene sólo un principio, pero no un final, pero un segmento tiene un principio y un final. Por tanto, sólo podemos medir un segmento.

Varios segmentos que están conectados secuencialmente entre sí de modo que los segmentos (vecinos) que tienen un punto común no se encuentran en la misma línea recta representan una línea discontinua.

Una línea discontinua puede estar cerrada o abierta. Si el final del último segmento coincide con el inicio del primero, tenemos una línea discontinua cerrada; si no, es una línea abierta.

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Durante la lección te familiarizarás con el concepto de plano, con las diversas figuras mínimas que existen en geometría, y estudiarás sus propiedades. Aprende qué es una recta, un segmento, un rayo, un ángulo, etc.

Representamos todas las figuras geométricas en una hoja de papel con un lápiz, en junta escolar tiza o marcador. A menudo, en verano dibujamos figuras sobre el asfalto con tiza o un guijarro blanco. Y siempre, antes de ponernos a dibujar lo que tenemos planeado, evaluamos si tenemos espacio suficiente. Y como rara vez conocemos las dimensiones exactas de nuestro futuro dibujo, siempre necesitamos ocupar espacio con un margen, y preferiblemente con un margen grande. Normalmente no tenemos miedo de quedarnos sin espacio para dibujar si el campo a dibujar es muchas veces más grande que el propio dibujo. Entonces hay suficiente asfalto en el patio para crear un campo de salto. hoja de cuaderno suficiente para dibujar dos segmentos que se cruzan en el medio.

En matemáticas, el campo en el que representamos todo es un plano (Fig. 1).

Arroz. 1. Avión

Ella tiene dos cualidades:

1. Puede representar cualquier figura de la que ya hayamos hablado o de la que volveremos a hablar.

2. No llegaremos al límite. Sus dimensiones se pueden considerar mucho mayores que las dimensiones de la imagen.

El hecho de que nunca lleguemos al borde del plano puede entenderse como la ausencia total de bordes. No necesitamos sus bordes, por lo que acordamos asumir que no existen (Fig. 2).

Arroz. 2. El avión es infinito

En este sentido, el plano es infinito en cualquier dirección.

Podemos pensar en ello como hoja grande papel, una gran superficie plana de asfalto o una enorme mesa de dibujo.

Hay una cantidad infinita de formas geométricas y es absolutamente imposible estudiarlas todas. Pero la geometría funciona de manera muy parecida a un juego de construcción. Hay varios tipos de piezas básicas a partir de las cuales puedes construir todo lo demás, incluso cualquier edificio complejo.

Este principio se puede comparar con las palabras y las letras: conocemos todas las letras, pero no conocemos todas las palabras. Cuando encontramos una palabra desconocida, podemos leerla porque sabemos cómo se escriben las letras y cómo se pronuncian los sonidos correspondientes.

Lo mismo ocurre en matemáticas: hay muy pocas figuras geométricas básicas que tú y yo debamos conocer bien.

Consideremos un segmento (Fig. 3). Un segmento es línea más corta, conectando dos puntos.

Arroz. 3. Segmento

Continuamos el segmento en ambas direcciones hasta el infinito. Nosotros también seguiremos de frente.

¿Qué significa "heterosexual"? Consideremos los segmentos y (Fig. 4).

Arroz. 4. Segmentos y

Continuaremos en ambas direcciones. La línea superior es recta, pero la línea inferior no (Fig. 5).

Agreguemos un punto más a las líneas superior e inferior (Fig. 6). La parte de la línea superior entre los puntos y también es un segmento, pero la parte de la línea inferior entre los puntos y el segmento no lo es, ya que no conecta estos puntos a lo largo del camino más corto.

Arroz. 6. Continuación de líneas y

Una línea recta es una línea que continúa indefinidamente en ambas direcciones, cualquier parte de la cual, limitada por dos puntos, es un segmento.

Una línea recta es un tipo de línea y, como cualquier línea, una línea recta es una figura. Y, como ocurre con cualquier recta, un punto determinado pertenece a una recta determinada o no (Fig. 7).

Arroz. 7. Puntos y pertenecientes a una recta, y puntos y no pertenecientes a una recta

1. Una línea recta divide el plano en dos partes, en dos semiplanos. En la Figura 8, los puntos y se encuentran en el mismo semiplano, y y - en semiplanos diferentes.

Arroz. 8. Dos semiplanos

2. Siempre puedes trazar una línea recta que pase por dos puntos, y solo uno (Fig. 9).

Una línea recta, como cualquier línea, se puede marcar con una letra minúscula del alfabeto latino o una secuencia de puntos que se encuentran en ella. Para designar una línea que pasa por los puntos que se encuentran en ella, dos puntos son suficientes.

Extendiendo el segmento en ambas direcciones hasta el infinito, obtenemos una línea recta. Si también extendemos el segmento, pero solo en una dirección hasta el infinito, obtenemos una figura llamada rayo (Fig. 10). Este haz geométrico es muy similar a un haz de luz, por eso se llama así. Si tomas un puntero láser, el haz de luz comenzará en el puntero y llegará al infinito en línea recta.

Arroz. 10. Haz

El punto se llama comienzo del rayo. El rayo está indicado.

Si marca un punto en una línea recta, dividirá esta línea recta en dos rayos (Fig. 11). Ambos rayos se originan en el punto , pero se dirigen en direcciones diferentes. Estos dos rayos forman una línea recta y son sus mitades. Por lo tanto, el haz a menudo también se denomina "semidirecto".

Arroz. 11. Un punto divide una recta en dos rayos.

Considere la Figura 12.

Arroz. 12. Segmento, recta y rayo.

Averigüemos en qué se parecen y en qué se diferencian un segmento, una línea recta y un rayo:

El segmento y la viga se pueden completar fácilmente hasta formar una línea recta; para ello, es necesario extender el segmento en ambas direcciones y la viga en una dirección;

Siempre puedes seleccionar un segmento o rayo en una línea recta;

El punto divide la línea en dos rayos, en dos medias líneas;

Puntos y límite a un segmento recto;

Todas estas figuras: un segmento, un rayo, una recta son “líneas rectas”. Se diferencian por la presencia de extremos. Un segmento tiene dos, un rayo tiene uno y una línea recta no tiene ninguno. Otra forma de decirlo es ésta: tanto el rayo como el segmento son parte de una línea recta;

Sabemos que se puede medir la longitud de un segmento. Se pueden comparar dos segmentos para saber cuál es más largo;

La línea recta continúa indefinidamente en ambas direcciones, el rayo continúa en una dirección. Por esta razón, es imposible medir la longitud de una línea recta o de un haz, y también es imposible comparar la longitud de dos líneas rectas o dos haces. Todos son igualmente infinitos.

Dos rayos, que tienen su origen en el mismo punto, forman otra figura geométrica del conjunto principal: un ángulo. El punto al inicio de ambos rayos se llama vértice del ángulo. Los propios rayos se llaman lados del ángulo.

Entonces, un ángulo es una figura que consta de dos rayos que emanan de un punto (Fig. 13).

Arroz. 13. Ángulo

El ángulo se designa con una letra correspondiente a la designación del vértice. EN en este caso el ángulo se puede llamar ángulo (Fig. 14). Para que quede claro que estamos hablando de un ángulo, y no de un punto, antes de su nombre es necesario escribir la palabra "ángulo" o poner un signo de ángulo especial ("").

Arroz. 14. Ángulo

Si es difícil entender desde el vértice de qué ángulo estamos hablando, como en la Figura 15, utilice dos puntos más a ambos lados del ángulo.

Si simplemente nombras el ángulo en esta figura, no queda claro de qué estamos hablando exactamente, porque con el vértice en un punto vemos varios ángulos. Por lo tanto, agregaremos un punto a los lados del ángulo que necesitamos y denotaremos el ángulo como (Fig. 15).

Arroz. 15. Ángulo

Al designar, puede ir en la dirección opuesta, pero de modo que el vértice nuevamente termine en el medio de la notación.

Otra designación común es con una letra griega: alfa, beta, gamma, etc. (Fig. 16). En este caso, la letra suele escribirse dentro de la esquina (Fig. 17).

Arroz. 16. Alfabeto griego

Arroz. 17. El nombre del ángulo escrito dentro del ángulo.

Entonces, en la Figura 18, las designaciones , , son equivalentes y denotan el mismo ángulo.

Arroz. 18... - mismo ángulo

Dejemos que dos líneas rectas se crucen en un punto (Fig. 19). El punto divide cada línea en dos rayos, es decir, 4 rayos en total. Cada par de rayos marca un ángulo.

Arroz. 19. Recta y forma 4 vigas.

Por ejemplo, , , .

A través de dos puntos siempre puedes trazar una línea recta. ¿Es este el caso de los tres puntos?

En la Figura 20 puedes dibujar una línea recta que pase por tres puntos, pero en la Figura 21 no.

Arroz. 20. A través de tres puntos puedes trazar una línea recta.

Arroz. 21. No se puede trazar una línea recta que pase por tres puntos.

Se dice que tres puntos de la figura se encuentran en la misma línea recta. Esto se dice incluso si la línea recta en sí no está dibujada, simplemente implica que se puede dibujar. En el segundo caso, dicen que los puntos no se encuentran en la misma línea, lo que implica que es imposible trazar una línea que pase por los tres puntos.

Si conectamos secuencialmente primero el primer y segundo punto, luego el segundo y el tercero, la línea resultante se llama línea discontinua (Fig. 22). El nombre se deriva de su apariencia.

Arroz. 22. roto

De forma similar a una polilínea, puedes conectar cualquier cantidad de puntos. Los puntos , , , , se llaman vértices de la línea discontinua, los segmentos , , , se llaman eslabones de la línea discontinua.

Una línea discontinua está indicada por sus vértices.

Arroz. 23. roto

Si el último punto está conectado al primero, la línea discontinua resultante se llama cerrada (Fig. 24).

Arroz. 24. Polilínea cerrada

¿Con qué tipo de polilínea se puede construir? conjunto mínimo vértices y enlaces? Si hay dos puntos, entonces se pueden conectar mediante un segmento. Esto será lo más ejemplo sencillo Línea discontinua: dos vértices y un enlace que los conecta. Podemos decir que un segmento es una línea discontinua mínima.

Si se requiere que la línea discontinua esté cerrada, entonces la línea discontinua más simple será un triángulo. Si tomas dos puntos, entonces puedes conectar el último punto con el primero solo con el mismo segmento que ya existe. Es decir, la línea discontinua seguirá, como antes, abierta. Y si agregas un punto más que no se encuentra en la misma línea recta que los puntos y conectas todos los puntos con tres segmentos, obtienes un triángulo (Fig. 25).

Arroz. 25. Triángulo

Un triángulo es una línea discontinua cerrada con tres vértices. O incluso así: un triángulo es una línea discontinua cerrada mínima.

Los puntos , y son los vértices del triángulo. Los segmentos que los conectan, los eslabones de la línea discontinua, se llaman lados del triángulo.

Un triángulo se designa por sus vértices. Por ejemplo, . Antes de la designación, debe colocar la palabra "triángulo" o un símbolo de triángulo especial ("").

Un triángulo implica tres ángulos. De cada uno de los vértices emanan dos lados, es decir, los lados del triángulo son los lados de los ángulos (Fig. 26).

Arroz. 26. Ángulos de un triángulo

Por tanto, un triángulo tiene tres vértices (tres puntos y), tres lados (tres segmentos y).

Un punto y una línea recta son las figuras geométricas básicas en un plano.

Podemos decir que los puntos AB se encuentran en la recta a o pertenecen a la recta a. Y podemos decir que la recta a pasa por los puntos A y B.

Las figuras geométricas más simples en un plano son un segmento, un rayo, una línea discontinua.

Una línea discontinua puede estar cerrada o abierta. Si el final del último segmento coincide con el inicio del primero, tenemos una línea discontinua cerrada; si no, es una línea abierta.

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Un punto es un objeto abstracto que no tiene características de medición: ni altura, ni longitud, ni radio. En el marco de la tarea, sólo es importante su ubicación.

El punto se indica mediante un número o una letra latina mayúscula (mayúscula). Varios puntos - diferentes números o en diferentes letras para que puedan distinguirse

punto A, punto B, punto C

A B C

punto 1, punto 2, punto 3

1 2 3

Puede dibujar tres puntos “A” en una hoja de papel e invitar al niño a trazar una línea que pase por los dos puntos “A”. ¿Pero cómo entender a través de cuáles?

A A A

Una recta es un conjunto de puntos. Sólo se mide la longitud. No tiene ancho ni espesor.

Indicado por letras latinas minúsculas (pequeñas)

línea a, línea b, línea c

a b c

La línea puede ser
cerrado si su principio y fin están en el mismo punto,

abierto si su principio y final no están conectados

lineas cerradas

lineas abiertas

Saliste del apartamento, compraste pan en la tienda y regresaste al apartamento. ¿Qué línea obtuviste? Así es, cerrado. Has vuelto a tu punto de partida. Saliste del apartamento, compraste pan en la tienda, entraste a la entrada y empezaste a hablar con tu vecino. ¿Qué línea obtuviste? Abierto. No has regresado a tu punto de partida. Saliste del apartamento y compraste pan en la tienda. ¿Qué línea obtuviste? Abierto. No has regresado a tu punto de partida.
autointersección

sin autointersecciones

líneas que se cruzan entre sí

líneas sin autointersecciones
directo
roto

torcido

lineas rectas

líneas discontinuas

lineas curvas

Una línea recta es una línea que no es curva, no tiene principio ni fin, puede continuar infinitamente en ambas direcciones.

Incluso cuando es visible una pequeña sección de una línea recta, se supone que continúa indefinidamente en ambas direcciones.

Indicado por una letra latina minúscula (pequeña). O dos letras latinas mayúsculas (mayúsculas): puntos que se encuentran en una línea recta

línea recta un

a

recta AB

B A

directo puede ser
- se cruzan si tienen un punto común. Dos rectas sólo pueden cruzarse en un punto.
perpendiculares si se cruzan en ángulos rectos (90°).

Paralelos, si no se cruzan, no tienen punto común.

lineas paralelas

líneas que se cruzan

lineas perpendiculares

Un rayo es parte de una línea recta que tiene principio pero no final y puede continuar indefinidamente en una sola dirección;

El rayo de luz de la imagen tiene su punto de partida en el sol.

Sol

Un punto divide una línea recta en dos partes: dos rayos A A

La viga se designa con una letra latina minúscula (pequeña). O dos letras latinas mayúsculas (mayúsculas), donde la primera es el punto desde donde comienza el rayo y la segunda es el punto que se encuentra en el rayo.

línea recta un

rayo a

recta AB

haz AB

Los rayos coinciden si
ubicado en la misma línea,
empezar en un punto

dirigido en una dirección

Los rayos AB y AC coinciden.

Los rayos CB y CA coinciden.

Un segmento es una parte de una línea que está limitada por dos puntos, es decir, tiene un principio y un final, lo que significa que se puede medir su longitud. La longitud de un segmento es la distancia entre sus puntos inicial y final.

A través de un punto puedes dibujar cualquier número de líneas, incluidas las rectas.

A través de dos puntos: un número ilimitado de curvas, pero solo una línea recta.

rectas curvas que pasan por dos puntos

B A

a

recta AB

Se “cortó” un trozo de la línea recta y quedó un segmento. En el ejemplo anterior puedes ver que su longitud es la distancia más corta entre dos puntos.

✂ B A ✂

Un segmento se indica con dos letras latinas mayúsculas (mayúsculas), donde la primera es el punto en el que comienza el segmento y la segunda es el punto en el que termina el segmento.

recta AB

segmento AB

Problema: ¿dónde está la recta, el rayo, el segmento, la curva?

Una línea discontinua es una línea que consta de segmentos conectados consecutivamente que no forman un ángulo de 180°.

Un segmento largo se “dividió” en varios cortos

Los eslabones de una línea discontinua (similar a los eslabones de una cadena) son los segmentos que forman la línea discontinua. Los enlaces adyacentes son enlaces en los que el final de un enlace es el comienzo de otro. Los enlaces adyacentes no deben estar en la misma línea recta.

Los vértices de una línea discontinua (similar a las cimas de las montañas) son el punto desde el que comienza la línea discontinua, los puntos en los que se conectan los segmentos que forman la línea discontinua y el punto en el que termina la línea discontinua.

Una línea discontinua se designa enumerando todos sus vértices.

línea discontinua ABCDE

vértice de la polilínea A, vértice de la polilínea B, vértice de la polilínea C, vértice de la polilínea D, vértice de la polilínea E

enlace roto AB, enlace roto BC, enlace roto CD, enlace roto DE

El enlace AB y el enlace BC son adyacentes.

El enlace BC y el enlace CD son adyacentes.

el enlace CD y el enlace DE son adyacentes

A B C D E 64 62 127 52

La longitud de una línea discontinua es la suma de las longitudes de sus eslabones: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305 Tarea:¿Qué línea discontinua es más larga? , A cual tiene mas vértices

? La primera línea tiene todos los eslabones de la misma longitud, es decir, 13 cm. La segunda línea tiene todos los eslabones de la misma longitud, es decir, 49 cm. La tercera línea tiene todos los eslabones de la misma longitud, es decir, 41 cm.

Un polígono es una polilínea cerrada.

Los lados del polígono (las expresiones te ayudarán a recordar: “ve en las cuatro direcciones”, “corre hacia la casa”, “¿en qué lado de la mesa te sentarás?”) son los eslabones de una línea discontinua. Los lados adyacentes de un polígono son enlaces adyacentes de una línea discontinua.

Los vértices de un polígono son los vértices de una línea quebrada. Los vértices adyacentes son los extremos de un lado del polígono.

polilínea cerrada sin autointersección, ABCDEF

polígono ABCDEF

vértice del polígono A, vértice del polígono B, vértice del polígono C, vértice del polígono D, vértice del polígono E, vértice del polígono F

el vértice A y el vértice B son adyacentes

el vértice B y el vértice C son adyacentes

el vértice C y el vértice D son adyacentes

el vértice D y el vértice E son adyacentes

el vértice E y el vértice F son adyacentes

el vértice F y el vértice A son adyacentes

lado del polígono AB, lado del polígono BC, lado del polígono CD, lado del polígono DE, lado del polígono EF

El lado AB y el lado BC son adyacentes.

El lado BC y el lado CD son adyacentes.

El lado CD y el lado DE son adyacentes

El lado DE y el lado EF son adyacentes.

El lado EF y el lado FA son adyacentes.

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

El perímetro de un polígono es la longitud de la línea discontinua: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Un polígono con tres vértices se llama triángulo, con cuatro, cuadrilátero, con cinco, pentágono, etc.