El área superficial de un cono (o simplemente la superficie de un cono) es igual a la suma de las áreas de la base y la superficie lateral.
El área de la superficie lateral del cono se calcula mediante la fórmula: S = πR yo, donde R es el radio de la base del cono, y yo- formando un cono.
Dado que el área de la base del cono es igual a πR 2 (como el área de un círculo), entonces el área superficie completa cono será igual a: πR 2 + πR yo= πR(R+ yo).
La obtención de la fórmula para el área de la superficie lateral de un cono se puede explicar mediante el siguiente razonamiento. Deje que el dibujo muestre el desarrollo de la superficie lateral de un cono. Dividamos el arco AB en posiblemente numero mayor partes iguales y conecte todos los puntos de división con el centro del arco y los vecinos entre sí mediante cuerdas.
Obtenemos una serie triangulos iguales. El área de cada triángulo es ah / 2 donde A- longitud de la base del triángulo, a h- su altura.
La suma de las áreas de todos los triángulos será: ah / 2 norte = anh / 2 donde norte- número de triángulos.
En gran número divisiones, la suma de las áreas de los triángulos se vuelve muy cercana al área del desarrollo, es decir, al área de la superficie lateral del cono. La suma de las bases de los triángulos, es decir. un, se acerca mucho a la longitud del arco AB, es decir, a la circunferencia de la base del cono. La altura de cada triángulo se acerca mucho al radio del arco, es decir, a la generatriz del cono.
Despreciando pequeñas diferencias en los tamaños de estas cantidades, obtenemos la fórmula para el área de la superficie lateral del cono (S):
S=C yo / 2, donde C es la circunferencia de la base del cono, yo- formando un cono.
Sabiendo que C = 2πR, donde R es el radio del círculo de la base del cono, obtenemos: S = πR yo.
Nota. En la fórmula S = C yo / 2 hay signo de igualdad exacta, no aproximada, aunque por el razonamiento anterior podríamos considerar que esta igualdad es aproximada. Pero en la escuela secundaria escuela secundaria se demuestra que la igualdad
S=C yo / 2 es exacto, no aproximado.
Teorema. La superficie lateral del cono es igual al producto de la circunferencia de la base por la mitad de la generatriz.
Escribamos en el cono (Fig.) algo pirámide correcta y denotar con letras r Y yo números que expresan las longitudes del perímetro de la base y la apotema de esta pirámide.
Entonces su superficie lateral quedará expresada por el producto 1/2 r yo .
Supongamos ahora que el número de lados del polígono inscrito en la base aumenta sin límite. Entonces el perímetro r tenderá al límite tomado como longitud C de la circunferencia base, y la apotema yo tendrá como límite la generatriz del cono (ya que ΔSAK se sigue que SA - SK
1 / 2 r yo, tenderá al límite de 1/2 C
L. Este límite se toma como el tamaño de la superficie lateral del cono. habiendo designado superficie lateral cono con la letra S, podemos escribir:
S = 1/2 taza L = C 1/2 litro
Consecuencias.
1) Dado que C = 2 π
R, entonces la superficie lateral del cono se expresa mediante la fórmula:
S = 1/2 2π R l= π RL
2) Obtenemos la superficie completa del cono si sumamos la superficie lateral al área de la base; por lo tanto, denotando la superficie completa por T, tendremos:
T= π RL+ π R2= π R(L+R)
Teorema. La superficie lateral de un cono truncado es igual al producto de la mitad de la suma de las longitudes de los círculos de las bases y del generador.
Escribamos en el cono truncado (Fig.) algunos regulares pirámide truncada y denotar con letras r, r 1 y yo números que expresan en unidades lineales idénticas las longitudes de los perímetros de las bases inferior y superior y la apotema de esta pirámide.
Entonces la superficie lateral de la pirámide inscrita es igual a 1/2 ( p+p 1) yo
Con un aumento ilimitado en el número de caras laterales de la pirámide inscrita, los perímetros r Y r 1 tiendo a los límites tomados como las longitudes C y C 1 de los círculos base, y la apotema yo tiene como límite el generador L de un cono truncado. En consecuencia, el tamaño de la superficie lateral de la pirámide inscrita tiende a un límite igual a (C + C 1) L. Este límite se toma como el tamaño de la superficie lateral del cono truncado. Denotando la superficie lateral del cono truncado con la letra S, tenemos:
S = 1/2 (C + C 1)L
Consecuencias.
1) Si R y R 1 significan los radios de los círculos de las bases inferior y superior, entonces la superficie lateral del cono truncado será:
S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R + R 1) L.
2) Si en el trapezoide OO 1 A 1 A (Fig.), de cuya rotación se obtiene un cono truncado, dibujamos línea media BC, entonces obtenemos:
BC = 1/2 (OA + O 1 A 1) = 1/2 (R + R 1),
R + R 1 = 2VS.
Por eso,
S=2 π antes de Cristo,
es decir. la superficie lateral de un cono truncado es igual al producto de la circunferencia de la sección media por la generatriz.
3) La superficie total T de un cono truncado se expresará de la siguiente manera:
T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)
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¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si estas interesado este trabajo, descargue la versión completa.
Tipo de lección: una lección sobre cómo aprender material nuevo utilizando elementos de un método de enseñanza de desarrollo basado en problemas.
Objetivos de la lección:
- educativo:
- familiarización con nuevos concepto matemático;
- formación de nuevos centros de formación;
- formación de habilidades prácticas para la resolución de problemas.
- desarrollo:
- desarrollo del pensamiento independiente de los estudiantes;
- desarrollo de habilidades discurso correcto escolares.
- educativo:
- desarrollando habilidades de trabajo en equipo.
Equipo de lección: tablero magnético, computadora, pantalla, proyector multimedia, modelo de cono, presentación de lecciones, folletos.
Objetivos de la lección (para estudiantes):
- familiarizarse con un nuevo concepto geométrico: el cono;
- derivar una fórmula para calcular el área de superficie de un cono;
- aprender a aplicar los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas prácticos.
Progreso de la lección
Etapa I. Organizativo.
Devolver cuadernos desde casa trabajo de prueba sobre el tema tratado.
Se invita a los estudiantes a descubrir el tema de la próxima lección resolviendo el rompecabezas. (diapositiva 1):
Figura 1.
Anunciar el tema y los objetivos de la lección a los estudiantes. (diapositiva 2).
Etapa II. Explicación de material nuevo.
1) Conferencia del profesor.
En el tablero hay una mesa con la imagen de un cono. Nuevo material Se explica acompañado del material del programa “Estereometría”. En la pantalla aparece una imagen tridimensional de un cono. El profesor da la definición de cono y habla de sus elementos. (diapositiva 3). Se dice que un cono es un cuerpo formado por la rotación de un triángulo rectángulo con respecto a un cateto. (diapositivas 4, 5). Aparece una imagen de un escaneo de la superficie lateral del cono. (diapositiva 6)
2) Trabajo práctico.
Actualización de conocimientos básicos: repita las fórmulas para calcular el área de un círculo, el área de un sector, la longitud de un círculo, la longitud de un arco de círculo. (diapositivas 7 a 10)
La clase se divide en grupos. Cada grupo recibe un escaneo de la superficie lateral del cono recortado en papel (un sector de un círculo con un número asignado). Los estudiantes toman las medidas necesarias y calculan el área del sector resultante. Las instrucciones para realizar el trabajo, preguntas (enunciados de problemas) aparecen en la pantalla. (diapositivas 11 a 14). Un representante de cada grupo anota los resultados de los cálculos en una tabla preparada en la pizarra. Los participantes de cada grupo pegan un modelo de cono a partir del patrón que tienen. (diapositiva 15)
3) Planteamiento y solución del problema.
¿Cómo calcular el área de la superficie lateral de un cono si solo se conoce el radio de la base y la longitud de la generatriz del cono? (diapositiva 16)
Cada grupo toma las medidas necesarias e intenta derivar una fórmula para calcular el área requerida utilizando los datos disponibles. Al realizar este trabajo, los estudiantes deben notar que la circunferencia de la base del cono es igual a la longitud del arco del sector: el desarrollo de la superficie lateral de este cono. (diapositivas 17 a 21) Usando las fórmulas necesarias, se deriva la fórmula deseada. Los argumentos de los estudiantes deberían verse así:
El radio de barrido del sector es igual a yo, medida de grado arcos – φ. El área del sector se calcula mediante la fórmula: la longitud del arco que limita este sector es igual al radio de la base del cono R. La longitud del círculo que se encuentra en la base del cono es C = 2πR . Tenga en cuenta que dado que el área de la superficie lateral del cono es igual al área de desarrollo de su superficie lateral, entonces
Entonces, el área de la superficie lateral del cono se calcula mediante la fórmula S DBO = πRl.
Después de calcular el área de la superficie lateral del modelo de cono utilizando una fórmula derivada de forma independiente, un representante de cada grupo escribe el resultado de los cálculos en una tabla en la pizarra de acuerdo con los números del modelo. Los resultados del cálculo en cada línea deben ser iguales. En base a esto, el profesor determina la exactitud de las conclusiones de cada grupo. La tabla de resultados debería verse así:
|
Modelo No. |
yo tarea |
II tarea |
(125/3)π ~ 41,67π |
||
(425/9)π ~ 47,22π |
||
(539/9)π ~ 59,89π |
Parámetros del modelo:
- l=12cm, φ=120°
- l=10cm, φ=150°
- l=15cm, φ=120°
- l=10cm, φ=170°
- l=14cm, φ=110°
La aproximación de los cálculos está asociada a errores de medición.
Después de verificar los resultados, aparece en la pantalla el resultado de las fórmulas para las áreas de las superficies lateral y total del cono. (diapositivas 22 a 26), los estudiantes toman notas en cuadernos.
Etapa III. Consolidación del material estudiado.
1) A los estudiantes se les ofrece Problemas para solución oral sobre dibujos ya hechos.
Encuentra las áreas de las superficies completas de los conos que se muestran en las figuras. (diapositivas 27 a 32).
2) Pregunta:¿Son iguales las áreas de superficie de los conos que se forman al girar un triángulo rectángulo sobre lados diferentes? Los estudiantes proponen una hipótesis y la prueban. La hipótesis se prueba resolviendo problemas y escritos por el alumno en la pizarra.
Dado:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;
ВАА", АВВ" – cuerpos de rotación.
Encontrar: S PPK 1, S PPK 2.
Figura 5. (diapositiva 33)
Solución:
1) R=BC = un; S PPK 1 = S DBO 1 + S principal 1 = π una c + π una 2 = π una (a + c).
2) R=CA = segundo; S PPK 2 = S DBO 2 + S base 2 = π segundo c+π segundo 2 = π segundo (segundo + c).
Si S PPK 1 = S PPK 2, entonces a 2 +ac = b 2 + antes de Cristo, a 2 - b 2 + ac - antes de Cristo = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Porque a, b, c – números positivos (las longitudes de los lados del triángulo), la igualdad es verdadera sólo si un =b.
Conclusión: Las áreas de superficie de dos conos son iguales sólo si los lados del triángulo son iguales. (diapositiva 34)
3) Resolviendo el problema del libro de texto: No. 565.
Etapa IV. Resumiendo la lección.
Tarea: párrafos 55, 56; N° 548, N° 561. (diapositiva 35)
Anuncio de calificaciones asignadas.
Conclusiones durante la lección, repetición de la información principal recibida durante la lección.
Literatura (diapositiva 36)
- Geometría grados 10-11 – Atanasyan, V.F Butuzov, S.B. Kadomtsev et al., M., “Prosveshchenie”, 2008.
- “Acertijos y charadas matemáticas” - N.V. Udaltsova, biblioteca “Primero de septiembre”, serie “MATEMÁTICAS”, número 35, M., Chistye Prudy, 2010.
Sabemos qué es un cono, intentemos encontrar su superficie. ¿Por qué necesitas resolver tal problema? Por ejemplo, ¿necesita saber cuánta masa se necesita para hacer un cono de gofre? ¿O cuántos ladrillos se necesitan para hacer el techo de un castillo de ladrillos?
Simplemente no se puede medir el área de la superficie lateral de un cono. Pero imaginemos el mismo cuerno envuelto en tela. Para encontrar el área de un trozo de tela, debes cortarlo y colocarlo sobre la mesa. Funcionará figura plana, podemos encontrar su área.
Arroz. 1. Sección de un cono a lo largo de la generatriz.
Hagamos lo mismo con el cono. "Cortemos" su superficie lateral a lo largo de cualquier generatriz, por ejemplo (ver Fig. 1).
Ahora "desenrollemos" la superficie lateral en un plano. Obtenemos un sector. El centro de este sector es el vértice del cono, el radio del sector es igual a la generatriz del cono y la longitud de su arco coincide con la circunferencia de la base del cono. Este sector se denomina desarrollo de la superficie lateral del cono (ver Fig. 2).
Arroz. 2. Desarrollo de la superficie lateral.
Arroz. 3. Medición de ángulos en radianes
Intentemos encontrar el área del sector utilizando los datos disponibles. Primero, introduzcamos la notación: sea el ángulo en el vértice del sector en radianes (ver Fig. 3).
A menudo tendremos que lidiar con el ángulo en la parte superior del barrido en los problemas. Por ahora, intentemos responder a la pregunta: ¿este ángulo no puede llegar a tener más de 360 grados? Es decir, ¿no resultaría que el barrido se superpondría? Por supuesto que no. Demostremos esto matemáticamente. Deje que el escaneo se "superponga" sobre sí mismo. Esto significa que la longitud del arco de barrido es mayor que la longitud del círculo de radio. Pero, como ya se mencionó, la longitud del arco de barrido es la longitud del círculo de radio. Y el radio de la base del cono, por supuesto, es menor que la generatriz, por ejemplo, porque el cateto de un triángulo rectángulo es menor que la hipotenusa.
Entonces recordemos dos fórmulas del curso de planimetría: longitud de arco. Área sectorial: .
En nuestro caso, el papel lo juega el generador. , y la longitud del arco es igual a la circunferencia de la base del cono, es decir. Tenemos:
Finalmente obtenemos: .
Además de la superficie lateral, también se puede encontrar la superficie total. Para ello, suma el área de la base al área de la superficie lateral. Pero la base es un círculo de radio, cuya área según la fórmula es igual a .
Finalmente tenemos: , donde es el radio de la base del cilindro, es la generatriz.
Resolvamos un par de problemas usando las fórmulas dadas.
Arroz. 4. Ángulo requerido
Ejemplo 1. El desarrollo de la superficie lateral del cono es un sector con un ángulo en el vértice. Encuentre este ángulo si la altura del cono es de 4 cm y el radio de la base es de 3 cm (ver Fig. 4).
Arroz. 5. triangulo rectángulo, formando un cono
Por la primera acción, según el teorema de Pitágoras, encontramos el generador: 5 cm (ver Fig. 5). A continuación sabemos que .
Ejemplo 2. El área de la sección transversal axial del cono es igual a , la altura es igual a . Encuentre el área de superficie total (ver Fig. 6).
Los cuerpos de rotación que se estudian en la escuela son el cilindro, el cono y la bola.
Si en un problema del Examen Estatal Unificado de matemáticas necesitas calcular el volumen de un cono o el área de una esfera, considérate afortunado.
Aplicar fórmulas para volumen y área de superficie de un cilindro, cono y esfera. Todos ellos están en nuestra mesa. Aprender de memoria. Aquí comienza el conocimiento de la estereometría.
A veces es bueno dibujar la vista desde arriba. O, como en este problema, desde abajo.
2. ¿Cuántas veces se describe el volumen de un cono alrededor de la dirección correcta? pirámide cuadrangular, es mayor que el volumen del cono inscrito en esta pirámide?
Es simple: dibuja la vista desde abajo. Vemos que el radio del círculo mayor es veces mayor que el radio del círculo más pequeño. Las alturas de ambos conos son las mismas. Por tanto, el volumen del cono más grande será el doble.
Otro punto importante. Recuerda que en los problemas de la parte B Opciones del examen estatal unificado en matemáticas la respuesta se escribe como un número entero o finito decimal. Por lo tanto, no debería haber ninguno en su respuesta en la parte B. ¡Tampoco es necesario sustituir el valor aproximado del número! ¡Definitivamente debe encogerse! Es por ello que en algunos problemas la tarea se formula, por ejemplo, de la siguiente manera: "Encontrar el área de la superficie lateral del cilindro dividida por".
¿Dónde más se utilizan las fórmulas para el volumen y la superficie de los cuerpos de revolución? Por supuesto, en el problema C2 (16). También te lo contamos.
Aquí hay problemas con los conos, la condición está relacionada con su superficie. En particular, en algunos problemas se trata de cambiar el área al aumentar (disminuir) la altura del cono o el radio de su base. Teoría para la resolución de problemas en . Consideremos las siguientes tareas:
27135. La circunferencia de la base del cono es 3, el generador es 2. Calcula el área de la superficie lateral del cono.
El área de la superficie lateral del cono es igual a:
Sustituyendo los datos:
75697. ¿Cuántas veces aumentará el área de la superficie lateral del cono si su generatriz aumenta 36 veces y el radio de la base sigue siendo el mismo?
Área de superficie lateral del cono:
La generatriz aumenta 36 veces. El radio sigue siendo el mismo, lo que significa que la circunferencia de la base no ha cambiado.
Esto significa que el área de la superficie lateral del cono modificado tendrá la forma:
Por tanto, aumentará 36 veces.
*La relación es sencilla, por lo que este problema se puede resolver fácilmente de forma oral.
27137. ¿Cuántas veces disminuirá el área de la superficie lateral del cono si el radio de su base se reduce 1,5 veces?
El área de la superficie lateral del cono es igual a:
El radio disminuye 1,5 veces, es decir:
Se encontró que la superficie lateral disminuyó 1,5 veces.
27159. La altura del cono es 6, el generador es 10. Calcula el área de su superficie total dividida por Pi.
Superficie de cono lleno:
Necesitas encontrar el radio:
Se conocen la altura y la generatriz, utilizando el teorema de Pitágoras calculamos el radio:
De este modo:
Divide el resultado por Pi y escribe la respuesta.
76299. La superficie total del cono es 108. Se traza una sección paralela a la base del cono, dividiendo la altura por la mitad. Encuentra el área de superficie total del cono cortado.
La sección pasa por la mitad de la altura paralela a la base. Esto significa que el radio de la base y la generatriz del cono cortado será 2 veces menor que el radio y la generatriz del cono original. Anotemos el área de superficie del cono cortado:
Encontramos que será 4 veces menor que la superficie del original, es decir, 108:4 = 27.
*Dado que el cono original y el cortado son cuerpos similares, también fue posible utilizar la propiedad de similitud:
27167. El radio de la base del cono es 3 y la altura es 4. Calcula el área de superficie total del cono dividida por Pi.
Fórmula para la superficie total de un cono:
Se conoce el radio, es necesario encontrar la generatriz. 
Según el teorema de Pitágoras:
De este modo:
Divide el resultado por Pi y escribe la respuesta.
Tarea. El área de la superficie lateral del cono es cuatro veces el área de la base. encontrar algo igual al coseno el ángulo entre la generatriz del cono y el plano de la base.
El área de la base del cono es: 
Es decir, el coseno será igual a:
Respuesta: 0,25
Decide por ti mismo:
27136. ¿Cuántas veces aumentará el área de la superficie lateral del cono si su generatriz aumenta 3 veces?
27160. El área de la superficie lateral del cono es el doble del área de la base. Encuentra el ángulo entre la generatriz del cono y el plano de la base. Da tu respuesta en grados. .
27161. La superficie total del cono es 12. Se traza una sección paralela a la base del cono, dividiendo la altura por la mitad. Encuentra el área de superficie total del cono cortado.
Eso es todo. ¡Buena suerte para ti!
Saludos cordiales, Alejandro.
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