- apotema- la altura de la cara lateral de una pirámide regular, que se dibuja desde su vértice (además, la apotema es la longitud de la perpendicular, que desciende desde el centro del polígono regular hasta uno de sus lados);
- caras laterales (ASB, BSC, CSD, DSA) - triángulos que se encuentran en el vértice;
- costillas laterales ( COMO , BS , C.S. , D.S. ) — lados comunes de las caras laterales;
- cima de la pirámide (t.S) - un punto que conecta las nervaduras laterales y que no se encuentra en el plano de la base;
- altura ( ENTONCES ) - un segmento perpendicular dibujado a través de la cima de la pirámide hasta el plano de su base (los extremos de dicho segmento serán la cima de la pirámide y la base de la perpendicular);
- sección diagonal de la pirámide- una sección de la pirámide que pasa por la cima y la diagonal de la base;
- base (ABCD) - un polígono que no pertenece al vértice de la pirámide.
Propiedades de la pirámide.
1. Cuando todos los bordes laterales sean del mismo tamaño, entonces:
- es fácil describir un círculo cerca de la base de la pirámide, y la cima de la pirámide se proyectará hacia el centro de este círculo;
- las nervaduras laterales forman ángulos iguales con el plano de la base;
- Además, lo contrario también es cierto, es decir. cuando las costillas laterales se forman con el plano de la base ángulos iguales, o cuando se puede describir un círculo cerca de la base de la pirámide y la cima de la pirámide se proyectará hacia el centro de este círculo, lo que significa que todos los bordes laterales de la pirámide son del mismo tamaño.
2. Cuando las caras laterales tienen un ángulo de inclinación con respecto al plano de la base del mismo valor, entonces:
- es fácil describir un círculo cerca de la base de la pirámide, y la cima de la pirámide se proyectará hacia el centro de este círculo;
- las alturas de las caras laterales son longitud igual;
- el área de la superficie lateral es igual a ½ producto del perímetro de la base por la altura de la cara lateral.
3. Se puede describir una esfera alrededor de una pirámide si en la base de la pirámide hay un polígono alrededor del cual se puede describir un círculo (condición necesaria y suficiente). El centro de la esfera será el punto de intersección de los planos que pasan por el centro de las aristas de la pirámide perpendiculares a ellas. De este teorema concluimos que tanto alrededor de cualquier triangular como alrededor de cualquier pirámide regular puede describir la esfera.
4. Una esfera se puede inscribir en una pirámide si los planos bisectores de los ángulos diédricos internos de la pirámide se cruzan en el primer punto (condición necesaria y suficiente). Este punto se convertirá en el centro de la esfera.
La pirámide más simple.
Según el número de ángulos, la base de la pirámide se divide en triangular, cuadrangular, etc.
Habrá una pirámide triangular, cuadrangular, y así sucesivamente, cuando la base de la pirámide es un triángulo, un cuadrilátero, etcétera. Una pirámide triangular es un tetraedro, un tetraedro. Cuadrangular - pentagonal y así sucesivamente.
Los estudiantes encuentran el concepto de pirámide mucho antes de estudiar geometría. La culpa la tienen las famosas grandes maravillas egipcias del mundo. Por eso, al empezar a estudiar este maravilloso poliedro, la mayoría de los estudiantes ya lo imaginan claramente. Todas las atracciones mencionadas anteriormente tienen la forma correcta. Qué ha pasado pirámide regular, y qué propiedades tiene se discutirán más a fondo.
Definición
Hay bastantes definiciones de pirámide. Desde la antigüedad ha sido muy popular.
Por ejemplo, Euclides lo definió como una figura corporal formada por planos que, partiendo de uno, convergen en un punto determinado.
Heron proporcionó una formulación más precisa. Insistió en que esa era la cifra que tiene una base y planos en en forma de triangulos, convergiendo en un punto.
Residencia en interpretación moderna, la pirámide se representa como un poliedro espacial que consta de un determinado k-gon y k figuras planas De forma triangular con un punto en común.
Veámoslo con más detalle, de qué elementos se compone:
- El k-gon se considera la base de la figura;
- Las formas trigonales sobresalen como los bordes de la parte lateral;
- la parte superior de donde se originan los elementos laterales se llama ápice;
- todos los segmentos que conectan un vértice se llaman aristas;
- si una línea recta se baja desde el vértice al plano de la figura en un ángulo de 90 grados, entonces su parte contenida en el espacio interno es la altura de la pirámide;
- en cualquier elemento lateral, se puede trazar una perpendicular, llamada apotema, al lado de nuestro poliedro.
El número de aristas se calcula usando la fórmula 2*k, donde k es el número de lados del k-gon. Cuántas caras tiene un poliedro como una pirámide se pueden determinar usando la expresión k+1.
¡Importante! Una pirámide de forma regular es una figura estereométrica cuyo plano base es un k-gon de lados iguales.
Propiedades básicas
Pirámide correcta tiene muchas propiedades, que son únicos para ella. Enumeremoslos:
- La base es una figura de la forma correcta.
- Las aristas de la pirámide que limitan los elementos laterales tienen valores numéricos iguales.
- Los elementos laterales son triángulos isósceles.
- La base de la altura de la figura cae en el centro del polígono, siendo a la vez el punto central del inscrito y circunscrito.
- Todas las nervaduras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en el mismo ángulo.
- Todas las superficies laterales tienen el mismo ángulo de inclinación con respecto a la base.
Gracias a todas las propiedades enumeradas, realizar cálculos de elementos es mucho más sencillo. Con base en las propiedades anteriores, prestamos atención a dos signos:
- En el caso de que el polígono encaje en un círculo, las caras laterales tendrán ángulos iguales con la base.
- Al describir un círculo alrededor de un polígono, todos los bordes de la pirámide que emanan del vértice tendrán longitudes iguales y ángulos iguales con la base.
La base es un cuadrado.
Pirámide cuadrangular regular - un poliedro cuya base es un cuadrado.
Tiene cuatro caras laterales, que son de apariencia isósceles.
Un cuadrado se representa en un plano, pero se basa en todas las propiedades de un cuadrilátero regular.
Por ejemplo, si es necesario relacionar el lado de un cuadrado con su diagonal, entonces usa la siguiente fórmula: la diagonal es igual al producto del lado del cuadrado por la raíz cuadrada de dos.
Se basa en un triángulo regular.
Una pirámide triangular regular es un poliedro cuya base es un triágono regular.
Si la base es triangulo rectángulo, y los bordes laterales son iguales a los bordes de la base, entonces tal figura llamado tetraedro.
Todas las caras de un tetraedro son 3-gonos equiláteros. EN en este caso Es necesario conocer algunos puntos y no perder el tiempo en ellos a la hora de calcular:
- el ángulo de inclinación de las nervaduras con respecto a cualquier base es de 60 grados;
- el tamaño de todas las caras internas también es de 60 grados;
- cualquier rostro puede actuar como base;
- , dibujado dentro de la figura, estos son elementos iguales.
Secciones de un poliedro
En cualquier poliedro hay varios tipos de secciones departamento. A menudo, en un curso de geometría escolar se trabaja con dos:
- axial;
- paralelo a la base.
Una sección axial se obtiene cortando un poliedro con un plano que pasa por el vértice, las aristas laterales y el eje. En este caso, el eje es la altura extraída desde el vértice. El plano de corte está limitado por las líneas de intersección de todas las caras, lo que da como resultado un triángulo.
¡Atención! En una pirámide regular, la sección axial es un triángulo isósceles.
Si el plano de corte corre paralelo a la base, entonces el resultado es la segunda opción. En este caso tenemos una figura de sección similar a la base.
Por ejemplo, si hay un cuadrado en la base, entonces la sección paralela a la base también será un cuadrado, solo que de dimensiones más pequeñas.
Al resolver problemas bajo esta condición, utilizan signos y propiedades de similitud de figuras, basado en el teorema de Tales. En primer lugar, es necesario determinar el coeficiente de similitud.
Si el plano se traza paralelo a la base y corta parte superior poliedro, luego se obtiene una pirámide truncada regular en la parte inferior. Entonces se dice que las bases de un poliedro truncado son polígonos semejantes. En este caso, las caras laterales son trapecios isósceles. La sección axial también es isósceles.
Para determinar la altura de un poliedro truncado, es necesario dibujar la altura en la sección axial, es decir, en el trapezoide.
Áreas de superficie
Los principales problemas geométricos que hay que resolver en un curso de geometría escolar son Encontrar el área de la superficie y el volumen de una pirámide.
Hay dos tipos de valores de área de superficie:
- área de los elementos laterales;
- área de toda la superficie.
Por el propio nombre queda claro de qué estamos hablando. Superficie lateral Incluye sólo elementos laterales. De esto se deduce que para encontrarlo, simplemente es necesario sumar las áreas de los planos laterales, es decir, las áreas de 3 gónos isósceles. Intentemos derivar la fórmula para el área de los elementos laterales:
- El área de un 3-gón isósceles es Str=1/2(aL), donde a es el lado de la base, L es la apotema.
- El número de planos laterales depende del tipo de k-gon en la base. Por ejemplo, la correcta pirámide cuadrangular Tiene cuatro planos laterales. Por lo tanto, es necesario sumar las áreas de cuatro figuras Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. La expresión se simplifica de esta forma porque el valor es 4a = Rosn, donde Rosn es el perímetro de la base. Y la expresión 1/2*Rosn es su semiperímetro.
- Entonces, concluimos que el área de los elementos laterales de una pirámide regular es igual al producto del semiperímetro de la base por la apotema: Sside = Rosn * L.
Cuadrado superficie completa pirámide consta de la suma de las áreas de los planos laterales y la base: Sp.p. = Slado + Sbas.
En cuanto al área de la base, aquí se utiliza la fórmula según el tipo de polígono.
Volumen de una pirámide regular. igual al producto del área del plano base por la altura dividido por tres: V=1/3*Sbas*H, donde H es la altura del poliedro.
¿Qué es una pirámide regular en geometría?
Propiedades de una pirámide cuadrangular regular
Definición
Pirámide es un poliedro compuesto por un polígono \(A_1A_2...A_n\) y \(n\) triángulos con un vértice común \(P\) (que no se encuentra en el plano del polígono) y lados opuestos a él, coincidiendo con el lados del polígono.
Designación: \(PA_1A_2...A_n\) .
Ejemplo: pirámide pentagonal \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Triángulos \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), etc. son llamados caras laterales pirámides, segmentos \(PA_1, PA_2\), etc. – costillas laterales, polígono \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – base, punto \(P\) – arriba.
Altura Las pirámides son una perpendicular que desciende desde la cima de la pirámide hasta el plano de la base.
Una pirámide que tiene un triángulo en su base se llama tetraedro.
La pirámide se llama correcto, si su base es un polígono regular y se cumple una de las siguientes condiciones:
\((a)\) los bordes laterales de la pirámide son iguales;
\((b)\) la altura de la pirámide pasa por el centro del círculo circunscrito cerca de la base;
\((c)\) las nervaduras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en el mismo ángulo.
\((d)\) las caras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en el mismo ángulo.
tetraedro regular es una pirámide triangular cuyos lados son iguales triangulos equilateros.
Teorema
Las condiciones \((a), (b), (c), (d)\) son equivalentes.
Prueba
Encontremos la altura de la pirámide \(PH\) . Sea \(\alpha\) el plano de la base de la pirámide.
1) Demostremos que de \((a)\) se sigue \((b)\) . Sea \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Porque \(PH\perp \alpha\), entonces \(PH\) es perpendicular a cualquier línea que se encuentre en este plano, lo que significa que los triángulos son rectángulos. Esto significa que estos triángulos son iguales en el cateto común \(PH\) y la hipotenusa \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Esto significa \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Esto significa que los puntos \(A_1, A_2, ..., A_n\) están a la misma distancia del punto \(H\), por lo tanto, se encuentran en el mismo círculo con el radio \(A_1H\). Este círculo, por definición, está circunscrito al polígono \(A_1A_2...A_n\) .
2) Demostremos que \((b)\) implica \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rectangulares e iguales sobre dos patas. Esto significa que sus ángulos también son iguales, por lo tanto, \(\ángulo PA_1H=\ángulo PA_2H=...=\ángulo PA_nH\).
3) Demostremos que \((c)\) implica \((a)\) .
Similar al primer punto, los triángulos \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rectangular y a lo largo de la pierna y esquina afilada. Esto significa que sus hipotenusas también son iguales, es decir, \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Demostremos que de \((b)\) se sigue \((d)\) .
Porque en un polígono regular, los centros de los círculos circunscritos e inscritos coinciden (en general, este punto se llama centro de un polígono regular), entonces \(H\) es el centro del círculo inscrito. Dibujemos perpendiculares desde el punto \(H\) a los lados de la base: \(HK_1, HK_2\), etc. Estos son los radios del círculo inscrito (por definición). Entonces, según el TTP (\(PH\) es una perpendicular al plano, \(HK_1, HK_2\), etc. son proyecciones, perpendicular a los lados) oblicuo \(PK_1, PK_2\), etc. perpendicular a los lados \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. respectivamente. Entonces, por definición \(\ángulo PK_1H, \ángulo PK_2H\) iguales a los ángulos entre las caras laterales y la base. Porque triángulos \(PK_1H, PK_2H, ...\) son iguales (como rectangulares en dos lados), entonces los ángulos \(\ángulo PK_1H, \ángulo PK_2H, ...\) son iguales.
5) Demostremos que \((d)\) implica \((b)\) .
Similar al cuarto punto, los triángulos \(PK_1H, PK_2H, ...\) son iguales (como rectangulares a lo largo del cateto y ángulo agudo), lo que significa que los segmentos \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) son igual. Esto significa, por definición, \(H\) es el centro de un círculo inscrito en la base. Pero porque Para polígonos regulares, los centros de los círculos inscritos y circunscritos coinciden, entonces \(H\) es el centro del círculo circunscrito. Chtd.
Consecuencia
Las caras laterales de una pirámide regular son triángulos isósceles iguales.
Definición
La altura de la cara lateral de una pirámide regular trazada desde su vértice se llama apotema.
Las apotemas de todas las caras laterales de una pirámide regular son iguales entre sí y también son medianas y bisectrices.
Notas importantes
1. La altura de una pirámide triangular regular cae en el punto de intersección de las alturas (o bisectrices o medianas) de la base (la base es un triángulo regular).
2. La altura de una pirámide cuadrangular regular cae en el punto de intersección de las diagonales de la base (la base es un cuadrado).
3. La altura de una pirámide hexagonal regular cae en el punto de intersección de las diagonales de la base (la base es un hexágono regular).
4. La altura de la pirámide es perpendicular a cualquier línea recta que se encuentre en la base.
Definición
La pirámide se llama rectangular, si uno de sus bordes laterales es perpendicular al plano de la base.
Notas importantes
1. En una pirámide rectangular, el borde perpendicular a la base es la altura de la pirámide. Es decir, \(SR\) es la altura.
2. Porque \(SR\) es perpendicular a cualquier línea desde la base, entonces \(\triángulo SRM, \triángulo SRP\)– triángulos rectángulos.
3. Triángulos \(\triángulo SRN, \triángulo SRK\)- también rectangular.
Es decir, cualquier triángulo formado por esta arista y la diagonal que sale del vértice de esta arista situada en la base será rectangular.
\[(\Large(\text(Volumen y superficie de la pirámide)))\]
Teorema
El volumen de la pirámide es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura de la pirámide: \
Consecuencias
Sea \(a\) el lado de la base, \(h\) la altura de la pirámide.
1. El volumen de una pirámide triangular regular es \(V_(\text(triángulo rectángulo.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. El volumen de una pirámide cuadrangular regular es \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).
3. El volumen de una pirámide hexagonal regular es \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. El volumen de un tetraedro regular es \(V_(\text(tetr. derecha))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Teorema
El área de la superficie lateral de una pirámide regular es igual a la mitad del producto del perímetro de la base por la apotema.
\[(\Grande(\text(Frustum)))\]
Definición
Considere una pirámide arbitraria \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Dibujemos por algún punto tumbado costilla lateral pirámide, el plano es paralelo a la base de la pirámide. Este plano dividirá la pirámide en dos poliedros, uno de los cuales es una pirámide (\(PB_1B_2...B_n\)), y el otro se llama pirámide truncada(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\)).
La pirámide truncada tiene dos bases: los polígonos \(A_1A_2...A_n\) y \(B_1B_2...B_n\) que son similares entre sí.
La altura de una pirámide truncada es una perpendicular trazada desde algún punto de la base superior al plano de la base inferior.
Notas importantes
1. Todas las caras laterales de una pirámide truncada son trapecios.
2. El segmento que conecta los centros de las bases de una pirámide truncada regular (es decir, una pirámide obtenida por sección transversal de una pirámide regular) es la altura.
Hipótesis: Creemos que la perfección de la forma de la pirámide se debe a las leyes matemáticas inherentes a su forma.
Objetivo: habiendo estudiado la pirámide como cuerpo geométrico, para explicar la perfección de su forma.
Tareas:
1. Dé una definición matemática de pirámide.
2. Estudiar la pirámide como cuerpo geométrico.
3. Comprender qué conocimientos matemáticos incorporaron los egipcios a sus pirámides.
Preguntas privadas:
1. ¿Qué es una pirámide como cuerpo geométrico?
2. ¿Cómo se puede explicar la forma única de la pirámide desde un punto de vista matemático?
3. ¿Qué explica las maravillas geométricas de la pirámide?
4. ¿Qué explica la perfección de la forma piramidal?
Definición de pirámide.
PIRÁMIDE (del griego pyramis, gen. Pyramidos): un poliedro cuya base es un polígono y el resto de las caras son triángulos que tienen un vértice común (dibujo). Según el número de vértices de la base, las pirámides se clasifican en triangulares, cuadrangulares, etc.
PIRÁMIDE - una estructura monumental que tiene la forma geométrica de una pirámide (a veces también escalonada o en forma de torre). Las pirámides son el nombre que se les da a las tumbas gigantes de los antiguos faraones egipcios del tercer y segundo milenio antes de Cristo. e., así como antiguos pedestales de templos americanos (en México, Guatemala, Honduras, Perú), asociados con cultos cosmológicos.
Es posible que la palabra griega “pirámide” provenga de la expresión egipcia per-em-us, es decir, de un término que significa la altura de la pirámide. El destacado egiptólogo ruso V. Struve creía que el griego “puram...j” proviene del antiguo egipcio “p"-mr".
De la historia. Habiendo estudiado el material del libro de texto "Geometría" de los autores de Atanasyan. Butuzov y otros, aprendimos que: Un poliedro compuesto por un n-góno A1A2A3... An yn triángulos PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 se llama pirámide. El polígono A1A2A3...An es la base de la pirámide, y los triángulos PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 son las caras laterales de la pirámide, P es la cima de la pirámide, los segmentos PA1, PA2,..., PAn son los bordes laterales.
Sin embargo, esta definición de pirámide no siempre existió. Por ejemplo, el antiguo matemático griego, autor de tratados teóricos sobre matemáticas que nos han llegado, Euclides, define una pirámide como una figura sólida delimitada por planos que convergen de un plano a un punto.
Pero esta definición ya fue criticada en la antigüedad. Entonces Herón propuso la siguiente definición de pirámide: “Es una figura delimitada por triángulos que convergen en un punto y cuya base es un polígono”.
Nuestro grupo, después de comparar estas definiciones, llegó a la conclusión de que no tienen una formulación clara del concepto de "fundamento".
Examinamos estas definiciones y encontramos la definición de Adrien Marie Legendre, quien en 1794 en su obra “Elementos de geometría” define una pirámide de la siguiente manera: “Una pirámide es una figura sólida formada por triángulos que convergen en un punto y terminan en diferentes lados de una base plana”.
Nos parece que la última definición da una idea clara de la pirámide, ya que habla de que la base es plana. Otra definición de pirámide apareció en un libro de texto del siglo XIX: "una pirámide es un ángulo sólido intersecado por un plano".
Pirámide como cuerpo geométrico.
Eso. Una pirámide es un poliedro, una de cuyas caras (base) es un polígono, las caras restantes (lados) son triángulos que tienen un vértice común (el vértice de la pirámide).
La perpendicular trazada desde la cima de la pirámide al plano de la base se llama alturah pirámides.
Además de la pirámide arbitraria, hay pirámide correcta en cuya base hay un polígono regular y pirámide truncada.
En la figura hay una pirámide PABCD, ABCD es su base, PO es su altura.
Superficie total La pirámide es la suma de las áreas de todas sus caras.
Sfull = Sside + Smain, Dónde Lado– la suma de las áreas de las caras laterales.
Volumen de la pirámide se encuentra mediante la fórmula:
V=1/3Sbas. h, donde Sbas. - superficie base, h- altura.
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El apotema ST es la altura de la cara lateral de una pirámide regular.
El área de la cara lateral de una pirámide regular se expresa de la siguiente manera: Slado. =1/2P h, donde P es el perímetro de la base, h- altura de la cara lateral (apotema de una pirámide regular). Si la pirámide es intersecada por el plano A’B’C’D’, paralelo a la base, entonces:
1) las nervaduras laterales y la altura se dividen por este plano en partes proporcionales;
2) en sección se obtiene un polígono A’B’C’D’, similar a la base;
https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" ancho="287" alto="151">
Bases de una pirámide truncada– polígonos semejantes ABCD y A`B`C`D`, las caras laterales son trapecios.
Altura pirámide truncada: la distancia entre las bases.
Volumen truncado La pirámide se encuentra mediante la fórmula:
V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> El área de la superficie lateral de una pirámide truncada regular se expresa de la siguiente manera: Slado = ½(P+P') h, donde P y P’ son los perímetros de las bases, h- altura de la cara lateral (apotema de una pirámide truncada regular
Secciones de una pirámide.
Las secciones de una pirámide formadas por planos que pasan por su vértice son triángulos.
Una sección que pasa por dos aristas laterales no adyacentes de una pirámide se llama sección diagonal.
Si la sección pasa por un punto en el borde lateral y el lado de la base, entonces su trayectoria hasta el plano de la base de la pirámide será este lado.
Una sección que pasa por un punto que se encuentra en la cara de la pirámide y una sección determinada traza en el plano base, entonces la construcción se debe realizar de la siguiente manera:
· encontrar el punto de intersección del plano de una cara determinada y la traza de la sección de la pirámide y designarlo;
construir una línea recta que pase por punto dado y el punto de intersección resultante;
· repite estos pasos para las siguientes caras.
, que corresponde a la relación de los catetos de un triángulo rectángulo 4:3. Esta proporción de los catetos corresponde al conocido triángulo rectángulo de lados 3:4:5, que se llama triángulo “perfecto”, “sagrado” o “egipcio”. Según los historiadores, al triángulo "egipcio" se le dio un significado mágico. Plutarco escribió que los egipcios comparaban la naturaleza del universo con un triángulo “sagrado”; comparaban simbólicamente el cateto vertical con el marido, la base con la esposa y la hipotenusa con lo que nace de ambos.
Para un triángulo 3:4:5, la igualdad es verdadera: 32 + 42 = 52, que expresa el teorema de Pitágoras. ¿No fue este teorema el que quisieron perpetuar los sacerdotes egipcios cuando construyeron una pirámide basada en el triángulo 3:4:5? Es difícil encontrar un ejemplo más exitoso para ilustrar el teorema de Pitágoras, que los egipcios conocían mucho antes de su descubrimiento por Pitágoras.
Así, los brillantes creadores pirámides egipcias buscaron sorprender a los descendientes lejanos con la profundidad de sus conocimientos, y lo lograron eligiendo "dorado" como la "idea geométrica principal" para la pirámide de Keops. triangulo rectángulo, y para la pirámide de Kefrén, el triángulo "sagrado" o "egipcio".
Muy a menudo en sus investigaciones, los científicos utilizan las propiedades de las pirámides con proporciones áureas.
en matematicas diccionario enciclopédico Se da la siguiente definición de Sección Áurea - esta es una división armónica, división en razón extrema y media - dividiendo el segmento AB en dos partes de tal manera que su parte mayor AC sea el promedio proporcional entre todo el segmento AB y su parte más pequeña NE.
Determinación algebraica de la sección áurea de un segmento AB = un se reduce a resolver la ecuación a: x = x: (a – x), de la cual x es aproximadamente igual a 0,62a. La razón x se puede expresar como fracciones 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, donde 2, 3, 5, 8, 13, 21 son números de Fibonacci.
La construcción geométrica de la sección áurea del segmento AB se realiza de la siguiente manera: en el punto B se restablece la perpendicular a AB, sobre él se traza el segmento BE = 1/2 AB, se conectan A y E, DE = Se despide BE y, finalmente, AC = AD, entonces se cumple la igualdad AB: CB = 2:3.
proporción áurea A menudo se utiliza en obras de arte, arquitectura y se encuentra en la naturaleza. Ejemplos vívidos Se encuentran la escultura de Apolo Belvedere, el Partenón. Durante la construcción del Partenón, se utilizó la relación entre la altura del edificio y su longitud y esta relación es 0,618. Los objetos que nos rodean también proporcionan ejemplos de la proporción áurea; por ejemplo, las encuadernaciones de muchos libros tienen una proporción ancho-largo cercana a 0,618. Considerando la disposición de las hojas en el tallo común de las plantas, se puede notar que entre cada dos pares de hojas el tercero se ubica en la Proporción Áurea (diapositivas). Cada uno de nosotros "lleva" la proporción áurea "en nuestras manos" con nosotros: esta es la proporción de las falanges de los dedos.
Gracias al descubrimiento de varios papiros matemáticos, los egiptólogos han aprendido algo sobre los sistemas de cálculo y medición del antiguo Egipto. Las tareas contenidas en ellos fueron resueltas por escribas. Uno de los más famosos es el Papiro Matemático de Rhind. Al estudiar estos problemas, los egiptólogos aprendieron cómo los antiguos egipcios manejaban las diversas cantidades que surgían al calcular medidas de peso, longitud y volumen, que a menudo implicaban fracciones, así como cómo manejaban los ángulos.
Los antiguos egipcios utilizaban un método para calcular ángulos basado en la relación entre la altura y la base de un triángulo rectángulo. Expresaban cualquier ángulo en el lenguaje de un gradiente. La pendiente de la pendiente se expresó como una relación de números enteros llamada "seced". En Matemáticas en la época de los faraones, Richard Pillins explica: “El segundo de una pirámide regular es la pendiente de cualquiera de las cuatro caras triangulares al plano de la base, medido por el enésimo número de unidades horizontales por una unidad vertical de elevación. Por tanto, esta unidad de medida es equivalente a nuestra cotangente moderna del ángulo de inclinación. Por lo tanto, la palabra egipcia "seced" está relacionada con nuestra palabra moderna"gradiente"".
La clave numérica de las pirámides radica en la relación entre su altura y su base. En términos prácticos, esta es la forma más sencilla de realizar las plantillas necesarias para comprobar constantemente el correcto ángulo de inclinación durante toda la construcción de la pirámide.
Los egiptólogos estarían felices de convencernos de que cada faraón anhelaba expresar su individualidad, de ahí las diferencias en los ángulos de inclinación de cada pirámide. Pero podría haber otra razón. Quizás todos querían encarnar diferentes asociaciones simbólicas, ocultas en diferentes proporciones. Sin embargo, el ángulo de la pirámide de Kefrén (basado en el triángulo (3:4:5) aparece en los tres problemas presentados por las pirámides en el Papiro Matemático de Rhind). De modo que esta actitud era bien conocida por los antiguos egipcios.
Para ser justos con los egiptólogos que afirman que los antiguos egipcios no conocían el triángulo 3:4:5, la longitud de la hipotenusa 5 nunca fue mencionada. Pero problemas de matematicas Las cuestiones relativas a las pirámides siempre se deciden basándose en el segundo ángulo: la relación entre la altura y la base. Como nunca se mencionó la longitud de la hipotenusa, se concluyó que los egipcios nunca calcularon la longitud del tercer lado.
Sin duda, los antiguos egipcios conocían las proporciones altura-base utilizadas en las pirámides de Giza. Es posible que estas relaciones para cada pirámide hayan sido elegidas arbitrariamente. Sin embargo, esto contradice la importancia otorgada al simbolismo numérico en todos los tipos de egipcio. bellas artes. Es muy probable que tales relaciones fueran significativas porque expresaban ideas religiosas específicas. En otras palabras, todo el complejo de Giza estaba subordinado a un diseño coherente diseñado para reflejar un determinado tema divino. Esto explicaría por qué los diseñadores eligieron diferentes ángulos La inclinación de las tres pirámides.
En El misterio de Orión, Bauval y Gilbert presentaron pruebas convincentes que vinculan las pirámides de Giza con la constelación de Orión, en particular con las estrellas del Cinturón de Orión. La misma constelación está presente en el mito de Isis y Osiris, y hay razones para creerlo. cada pirámide como representación de una de las tres deidades principales: Osiris, Isis y Horus.
MILAGROS "GEOMÉTRICOS".
Entre las grandiosas pirámides de Egipto, ocupa un lugar especial. Gran Pirámide del Faraón Keops (Khufu). Antes de comenzar a analizar la forma y el tamaño de la pirámide de Keops, conviene recordar qué sistema de medidas utilizaban los egipcios. Los egipcios tenían tres unidades de longitud: un "codo" (466 mm), que equivalía a siete "palmas" (66,5 mm), que, a su vez, equivalía a cuatro "dedos" (16,6 mm).
Analicemos las dimensiones de la pirámide de Keops (Fig.2), siguiendo los argumentos dados en el maravilloso libro del científico ucraniano Nikolai Vasyutinsky " proporción áurea" (1990).
La mayoría de los investigadores coinciden en que la longitud del lado de la base de la pirámide, por ejemplo, novia igual a l= 233,16 m Este valor corresponde casi exactamente a 500 “codos”. El cumplimiento total de 500 "codos" se producirá si la longitud del "codo" se considera igual a 0,4663 m.
Altura de la pirámide ( h) los investigadores estiman de diversas formas entre 146,6 y 148,2 m y dependiendo de la altura aceptada de la pirámide, todas sus proporciones cambian. elementos geométricos. ¿Cuál es el motivo de las diferencias en las estimaciones de la altura de la pirámide? El caso es que, en sentido estricto, la pirámide de Keops está truncada. Su plataforma superior hoy mide aproximadamente 10 ´ 10 m, pero hace un siglo medía 6 ´ 6 m. Obviamente la cima de la pirámide fue desmantelada, y no corresponde a la original.
Al evaluar la altura de la pirámide, es necesario tener en cuenta un factor físico como el "calado" de la estructura. Para mucho tiempo Bajo la influencia de una presión colosal (que alcanzó las 500 toneladas por 1 m2 de la superficie inferior), la altura de la pirámide disminuyó en comparación con su altura original.
¿Cuál era la altura original de la pirámide? Esta altura se puede recrear encontrando la "idea geométrica" básica de la pirámide.
Figura 2.
En 1837, el coronel inglés G. Wise midió el ángulo de inclinación de las caras de la pirámide: resultó ser igual a= 51°51". Este valor todavía es reconocido por la mayoría de los investigadores hoy en día. El valor del ángulo indicado corresponde a la tangente (tg a), igual a 1,27306. Este valor corresponde a la relación entre la altura de la pirámide. C.A. a la mitad de su base C.B.(Fig.2), es decir C.A. / C.B. = h / (l / 2) = 2h / l.
¡Y aquí los investigadores se llevaron una gran sorpresa!.png" width="25" height="24">= 1.272 Comparando este valor con el valor tg a= 1,27306, vemos que estos valores están muy próximos entre sí. Si tomamos el ángulo a= 51°50", es decir, redúzcalo sólo en un minuto de arco, entonces el valor a será igual a 1.272, es decir, coincidirá con el valor. Cabe señalar que en 1840 G. Wise repitió sus mediciones y aclaró que el valor del ángulo a=51°50".
Estas mediciones llevaron a los investigadores a la siguiente hipótesis muy interesante: el triángulo ACB de la pirámide de Keops se basó en la relación AC / C.B. = = 1,272!
Consideremos ahora el triángulo rectángulo. abecedario, en el que la proporción de las piernas C.A. / C.B.= (Figura 2). Si ahora las longitudes de los lados del rectángulo abecedario designar por incógnita, y, z, y también tener en cuenta que la relación y/incógnita= , entonces de acuerdo con el teorema de Pitágoras, la longitud z se puede calcular usando la fórmula:
si aceptamos incógnita = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" ancho="143" alto="27">
Figura 3. Triángulo rectángulo "dorado".
Un triángulo rectángulo cuyos lados están relacionados como t:triángulo rectángulo dorado.
Entonces, si tomamos como base la hipótesis de que la principal "idea geométrica" de la pirámide de Keops es un triángulo rectángulo "dorado", entonces desde aquí podemos calcular fácilmente la altura "de diseño" de la pirámide de Keops. Es igual a:
Alto = (L/2)´ = 148,28 m.
Deduzcamos ahora algunas otras relaciones para la pirámide de Keops, que se derivan de la hipótesis "áurea". En particular, encontraremos la relación entre el área exterior de la pirámide y el área de su base. Para hacer esto, tomamos la longitud de la pierna. C.B. por unidad, es decir: C.B.= 1. Pero entonces la longitud del lado de la base de la pirámide novia= 2, y el área de la base EFGH será igual SEFGH = 4.
Calculemos ahora el área de la cara lateral de la pirámide de Keops. DAKOTA DEL SUR. porque la altura AB triángulo AEF igual a t, entonces el área de la cara lateral será igual a DAKOTA DEL SUR = t. Entonces el área total de las cuatro caras laterales de la pirámide será igual a 4 t, ¡y la relación entre el área exterior total de la pirámide y el área de la base será igual a la proporción áurea! Esto es todo - El principal misterio geométrico de la pirámide de Keops.!
Al grupo " maravillas geométricas"La pirámide de Keops puede atribuirse a propiedades reales y ficticias de las relaciones entre las diferentes dimensiones de la pirámide.
Por regla general, se obtienen en busca de determinadas “constantes”, en particular, el número “pi” (número de Ludolfo), igual a 3,14159...; jardines logaritmos naturales"e" (número de Neper), igual a 2,71828...; el número "F", el número de la "sección áurea", igual a, por ejemplo, 0,618... etc.
Se puede nombrar, por ejemplo: 1) Propiedad de Heródoto: (Altura)2 = 0,5 art. básico x Apotema; 2) Propiedad de V. Precio: Altura: 0,5 art. base = Raíz cuadrada de "F"; 3) Propiedad de M. Eist: Perímetro de la base: 2 Altura = "Pi"; en una interpretación diferente: 2 cucharadas. básico : Altura = "Pi"; 4) Propiedad de G. Borde: Radio del círculo inscrito: 0,5 art. básico = "F"; 5) Propiedad de K. Kleppisch: (Art. main.)2: 2(Art. main. x Apothema) = (Art. main. W. Apothema) = 2(Art. main. x Apothem) : ((2 art. . principal X Apotema) + (v. principal)2). Etcétera. Puedes encontrar muchas propiedades de este tipo, especialmente si conectas dos pirámides adyacentes. Por ejemplo, como "Propiedades de A. Arefyev" se puede mencionar que la diferencia en los volúmenes de la pirámide de Keops y la pirámide de Khafre es igual al doble del volumen de la pirámide de Mikerin...
Muchas disposiciones interesantes, en particular sobre la construcción de pirámides según la "proporción áurea", se encuentran en los libros de D. Hambidge "Simetría dinámica en la arquitectura" y M. Gick "Estética de la proporción en la naturaleza y el arte". Recordemos que la “proporción áurea” es la división de un segmento en una proporción tal que la parte A sea tantas veces mayor que la parte B, cuantas veces A sea menor que todo el segmento A + B. La proporción A/B es igual al número “F” == 1.618. El uso de la “proporción áurea” está indicado no solo en pirámides individuales, sino también en todo el complejo de pirámides de Giza.
Lo más curioso, sin embargo, es que una misma pirámide de Keops simplemente “no puede” contener tantas propiedades maravillosas. Tomando una determinada propiedad una por una, se puede “ajustar”, pero no todas encajan a la vez, no coinciden, se contradicen entre sí. Por lo tanto, si, por ejemplo, al verificar todas las propiedades, inicialmente tomamos el mismo lado de la base de la pirámide (233 m), entonces las alturas de las pirámides con diferentes propiedades también serán diferentes. En otras palabras, existe una determinada "familia" de pirámides que son aparentemente similares a Keops, pero tienen propiedades diferentes. Tenga en cuenta que no hay nada particularmente milagroso en las propiedades "geométricas"; muchas cosas surgen de forma puramente automática, de las propiedades de la figura misma. Un “milagro” sólo debería considerarse algo que era claramente imposible para los antiguos egipcios. Esto, en particular, incluye los milagros "cósmicos", en los que las medidas de la pirámide de Keops o del complejo piramidal de Giza se comparan con algunas medidas astronómicas y se indican números "pares": un millón de veces menos, mil millones de veces menos, y pronto. Consideremos algunas relaciones "cósmicas".
Una de las afirmaciones es: “si divides el lado de la base de la pirámide por la duración exacta del año, obtienes exactamente 10 millonésimas del eje de la Tierra”. Calcula: dividimos 233 entre 365, obtenemos 0,638. El radio de la Tierra es 6378 km.
Otra afirmación es en realidad la contraria a la anterior. F. Noetling señaló que si utilizamos el "codo egipcio" que él mismo inventó, entonces el lado de la pirámide corresponderá a "la duración más precisa del año solar, expresada a la milmillonésima de día más cercana": 365.540. 903.777.
Declaración de P. Smith: "La altura de la pirámide es exactamente una milmillonésima parte de la distancia de la Tierra al Sol". Aunque la altura habitualmente tomada es de 146,6 m, Smith la consideró 148,2 m. Según las mediciones de radar modernas, el semieje mayor de la órbita terrestre es 149.597.870 + 1,6 km. Ésta es la distancia media de la Tierra al Sol, pero en el perihelio es 5.000.000 de kilómetros menos que en el afelio.
Una última declaración interesante:
“¿Cómo podemos explicar que las masas de las pirámides de Keops, Khafre y Mykerinus se relacionan entre sí, como las masas de los planetas Tierra, Venus y Marte?” Calculemos. Las masas de las tres pirámides son: Kefrén - 0,835; Keops: 1.000; Mikerin - 0,0915. Las proporciones de las masas de los tres planetas: Venus - 0,815; Tierra: 1.000; Marte - 0,108.
Entonces, a pesar del escepticismo, notamos la conocida armonía en la construcción de las afirmaciones: 1) la altura de la pirámide, como una línea que “va al espacio”, corresponde a la distancia de la Tierra al Sol; 2) el lado de la base de la pirámide más cercano “al sustrato”, es decir, a la Tierra, es responsable del radio terrestre y de la circulación terrestre; 3) los volúmenes de la pirámide (léase - masas) corresponden a la relación de las masas de los planetas más cercanos a la Tierra. Un “cifrado” similar se puede encontrar, por ejemplo, en el lenguaje de las abejas analizado por Karl von Frisch. Sin embargo, por el momento nos abstendremos de comentar este asunto.
FORMA DE PIRÁMIDE
La famosa forma tetraédrica de las pirámides no surgió de inmediato. Los escitas hicieron entierros en forma de colinas de tierra: montículos. Los egipcios construyeron "colinas" de piedra: pirámides. Esto ocurrió por primera vez después de la unificación del Alto y el Bajo Egipto, en el siglo 28 a. C., cuando el fundador de la Tercera Dinastía, el faraón Zoser (Zoser), se enfrentó a la tarea de fortalecer la unidad del país.
Y aquí, según los historiadores, un papel importante en el fortalecimiento. gobierno central interpretado por el “nuevo concepto de deificación” del rey. Aunque los entierros reales se distinguían por un mayor esplendor, en principio no se diferenciaban de las tumbas de los nobles de la corte, eran las mismas estructuras: mastabas. Sobre la cámara con el sarcófago que contenía la momia se vertió una colina rectangular de pequeñas piedras, donde luego se colocó un pequeño edificio hecho de grandes bloques de piedra: una “mastaba” (en árabe, “banco”). El faraón Zoser erigió la primera pirámide en el lugar de la mastaba de su predecesor, Sanakht. Era escalonado y era una etapa de transición visible de una forma arquitectónica a otra, de una mastaba a una pirámide.
De esta manera, el sabio y arquitecto Imhotep, que luego fue considerado un mago e identificado por los griegos con el dios Asclepio, “crió” al faraón. Era como si se erigieran seis mastabas seguidas. Además, la primera pirámide ocupaba un área de 1125 x 115 metros, con una altura estimada de 66 metros (según los estándares egipcios, 1000 "palmas"). Al principio, el arquitecto planeó construir una mastaba, pero no alargada, sino de planta cuadrada. Posteriormente se amplió, pero como la extensión se hizo más baja, parecía que había dos escalones.
Esta situación no satisfizo al arquitecto, y en la plataforma superior de la enorme mastaba plana, Imhotep colocó tres más, disminuyendo gradualmente hacia la cima. La tumba estaba ubicada debajo de la pirámide.
Se conocen varias pirámides escalonadas más, pero luego los constructores pasaron a construir pirámides tetraédricas que nos resultan más familiares. ¿Por qué, sin embargo, no triangular o, digamos, octogonal? Una respuesta indirecta la da el hecho de que casi todas las pirámides están perfectamente orientadas según los cuatro puntos cardinales y, por tanto, tienen cuatro lados. Además, la pirámide era una “casa”, el armazón de una cámara funeraria cuadrangular.
Pero ¿qué determinaba el ángulo de inclinación de las caras? En el libro “El principio de proporciones” se dedica un capítulo entero a esto: “Lo que pudo determinar los ángulos de inclinación de las pirámides”. En particular, se indica que “la imagen hacia la que gravitan las grandes pirámides Reino antiguo- un triángulo con un ángulo recto en el vértice.
En el espacio es un semioctaedro: una pirámide en la que las aristas y los lados de la base son iguales, las aristas son triángulos equiláteros." Ciertas consideraciones sobre este tema se dan en los libros de Hambidge, Gick y otros.
¿Cuál es la ventaja del ángulo semioctaedro? Según descripciones de arqueólogos e historiadores, algunas pirámides colapsaron por su propio peso. Lo que se necesitaba era un “ángulo de durabilidad”, un ángulo que fuera el más confiable desde el punto de vista energético. De manera puramente empírica, este ángulo se puede tomar desde el ángulo del vértice de un montón de arena seca que se desmorona. Pero para obtener datos precisos, es necesario utilizar un modelo. Tomando cuatro bolas firmemente fijadas, es necesario colocarles una quinta y medir los ángulos de inclinación. Sin embargo, aquí puedes cometer un error, por lo que un cálculo teórico te ayudará: debes conectar los centros de las bolas con líneas (mentalmente). La base será un cuadrado con un lado igual al doble del radio. El cuadrado será solo la base de la pirámide, cuya longitud de sus aristas también será igual al doble del radio.
Por lo tanto, un empaquetado compacto de bolas como 1:4 nos dará un semioctaedro regular.
Sin embargo, ¿por qué muchas pirámides, que gravitan hacia una forma similar, no la conservan? Probablemente las pirámides estén envejeciendo. Al contrario del famoso dicho:
"Todo en el mundo tiene miedo al tiempo, y el tiempo tiene miedo a las pirámides", los edificios de las pirámides deben envejecer, en ellas pueden y deben ocurrir no solo procesos de erosión externa, sino también procesos de "contracción" interna, de los cuales las pirámides pueden volverse más bajas. La contracción también es posible porque, como lo revela el trabajo de D. Davidovits, los antiguos egipcios utilizaban la tecnología de fabricar bloques a partir de virutas de cal, es decir, de "hormigón". Precisamente procesos similares podrían explicar el motivo de la destrucción de la pirámide de Medum, situada a 50 km al sur de El Cairo. Tiene 4600 años, las dimensiones de la base son 146 x 146 m, la altura es 118 m. “¿Por qué está tan desfigurado?”, pregunta V. Zamarovsky. “Las referencias habituales a los efectos destructivos del tiempo y al “uso de la piedra para otras construcciones” no son adecuadas aquí.
Al fin y al cabo, la mayoría de sus bloques y losas de revestimiento permanecen en su lugar hasta el día de hoy, en ruinas a sus pies". Como veremos, una serie de disposiciones incluso nos hacen pensar que la famosa pirámide de Keops también "se marchitó". En cualquier caso, en todas las imágenes antiguas las pirámides son puntiagudas...
La forma de las pirámides también podría haber sido generada por imitación: algunas muestras naturales, “perfección milagrosa”, digamos, algunos cristales en forma de octaedro.
Cristales similares podrían ser cristales de diamante y oro. Característica gran número signos "superpuestos" para conceptos como Faraón, Sol, Oro, Diamante. En todas partes: noble, brillante (brillante), grandioso, impecable, etc. Las similitudes no son accidentales.
El culto solar, como se sabe, formaba una parte importante de la religión Antiguo Egipto. “No importa cómo traduzcamos el nombre de la mayor de las pirámides”, señala uno de ayudas modernas- “El firmamento de Keops” o “El firmamento de Keops”, significaba que el rey es el sol”. Si Keops, en el brillo de su poder, se imaginaba a sí mismo como el segundo sol, entonces su hijo Djedef-Ra se convirtió en. el primero de los reyes egipcios en llamarse a sí mismo “el hijo de Ra", es decir, el hijo del Sol. El Sol, entre casi todos los pueblos, estaba simbolizado por el “metal solar”, el oro. “Un gran disco de luz brillante oro”: así llamaban los egipcios a nuestro luz. Los egipcios conocían perfectamente el oro, conocían sus formas nativas, donde los cristales de oro pueden aparecer en forma de octaedros.
La “piedra del sol”, el diamante, también es interesante aquí como “muestra de formas”. El nombre del diamante proviene precisamente del mundo árabe, "almas", el más duro, el más duro, el indestructible. Los antiguos egipcios conocían bastante bien el diamante y sus propiedades. Según algunos autores, incluso utilizaban tubos de bronce con cortadores de diamante para perforar.
Actualmente el principal proveedor de diamantes es Sudáfrica, pero África occidental también es rica en diamantes. El territorio de la República de Malí incluso se llama "Tierra del Diamante". Mientras tanto, es en el territorio de Malí donde viven los Dogon, en quienes los partidarios de la hipótesis de la paleo-visita depositan muchas esperanzas (ver más abajo). Los diamantes no pudieron ser el motivo de los contactos de los antiguos egipcios con esta región. Sin embargo, de una forma u otra, es posible que precisamente al copiar los octaedros de diamantes y cristales de oro, los antiguos egipcios deificaran a los faraones, “indestructibles” como el diamante y “brillantes” como el oro, los hijos del Sol, sólo comparables. a las más maravillosas creaciones de la naturaleza.
Conclusión:
Habiendo estudiado la pirámide como cuerpo geométrico, conociendo sus elementos y propiedades, estábamos convencidos de la validez de la opinión sobre la belleza de la forma de la pirámide.
Como resultado de nuestra investigación, llegamos a la conclusión de que los egipcios, habiendo recopilado el conocimiento matemático más valioso, lo plasmaron en una pirámide. Por tanto, la pirámide es verdaderamente la creación más perfecta de la naturaleza y el hombre.
LISTA DE REFERENCIAS UTILIZADAS
"Geometría: libro de texto. para 7 – 9 grados. educación general instituciones\, etc. - 9ª ed. - M.: Educación, 1999
Historia de las matemáticas en la escuela, M: “Prosveshchenie”, 1982.
Geometría 10-11 grados, M: “Ilustración”, 2000
Peter Tompkins “Secretos de la Gran Pirámide de Keops”, M: “Tsentropoligraf”, 2005.
recursos de internet
http://veka-i-mig. *****/
http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm
http://www. *****/enc/54373.html