Brevemente sobre lo principal.

Superficie (2019)

Área de superficie del prisma

¿Existe una fórmula general? No, en general, no. Solo necesitas buscar las áreas de las caras laterales y resumirlas.

La fórmula se puede escribir para prisma recto:

¿Dónde está el perímetro de la base?

Pero sigue siendo mucho más fácil sumar todas las áreas en cada caso concreto que memorizar fórmulas adicionales. Por ejemplo, calculemos la superficie total de un prisma hexagonal regular.

Todo caras laterales- rectángulos. Medio.

Esto ya se demostró al calcular el volumen.

Entonces obtenemos:

Área de superficie de la pirámide

La regla general también se aplica a la pirámide:

Ahora calculemos la superficie de las pirámides más populares.

Área de superficie de una pirámide triangular regular

Deje que el lado de la base sea igual y el borde lateral igual. Necesitamos encontrar y.

Recordemos ahora que

Ésta es el área de un triángulo regular.

Y recordemos cómo buscar esta zona. Usamos la fórmula del área:

Para nosotros " " es esto, y " " también es esto, eh.

Ahora encontrémoslo.

Usando la fórmula básica del área y el teorema de Pitágoras, encontramos

Atención: Si tienes un tetraedro regular (es decir), entonces la fórmula resulta así:

Área de superficie de una pirámide cuadrangular regular

Deje que el lado de la base sea igual y el borde lateral igual.

La base es un cuadrado, y por eso.

Queda por encontrar el área de la cara lateral.

Área de superficie de una pirámide hexagonal regular.

Deje que el lado de la base sea igual y el borde lateral.

¿Cómo encontrarlo? Un hexágono consta de exactamente seis triángulos regulares idénticos. Ya hemos buscado el área de un triángulo regular al calcular el área de la superficie de un triángulo regular. pirámide triangular, aquí usamos la fórmula encontrada.

Pues ya hemos buscado dos veces la zona de la cara lateral.

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El área de la superficie lateral de una pirámide arbitraria es igual a la suma de las áreas de sus caras laterales. Tiene sentido dar una fórmula especial para expresar esta área en el caso de una pirámide regular. Entonces, se nos dará una pirámide regular, en cuya base se encuentra un n-gón regular con lado igual a a. Sea h la altura de la cara lateral, también llamada apotema pirámides. El área de una cara lateral es igual a 1/2ah, y toda la superficie lateral de la pirámide tiene un área igual a n/2ha. Como na es el perímetro de la base de la pirámide, podemos escribir la fórmula encontrada. en la forma:

Superficie lateral de una pirámide regular es igual al producto de su apotema por la mitad del perímetro de la base.

Acerca de área superficie completa , luego simplemente sumamos el área de la base al lateral.

Esfera y esfera inscritas y circunscritas. Cabe señalar que el centro de la esfera inscrita en la pirámide se encuentra en la intersección de los planos bisectores de los ángulos diédricos internos de la pirámide. El centro de la esfera descrita cerca de la pirámide se encuentra en la intersección de planos que pasan por los puntos medios de los bordes de la pirámide y son perpendiculares a ellos.

Pirámide truncada. Si una pirámide es cortada por un plano paralelo a su base, entonces la parte encerrada entre el plano de corte y la base se llama pirámide truncada. La figura muestra una pirámide; descartando la parte que se encuentra por encima del plano de corte, obtenemos una pirámide truncada. Está claro que la pequeña pirámide descartada es homotética con respecto a la pirámide grande con el centro de homotecia en el vértice. Coeficiente de similitud igual a la proporción alturas: k=h 2 /h 1, o aristas laterales, u otras dimensiones lineales correspondientes de ambas pirámides. Sabemos que las áreas de figuras semejantes se relacionan como cuadrados de dimensiones lineales; entonces las áreas de las bases de ambas pirámides (es decir, el área de las bases de la pirámide truncada) están relacionadas como

Aquí S 1 es el área de la base inferior y S 2 es el área de la base superior de la pirámide truncada. Las superficies laterales de las pirámides están en la misma relación. Existe una regla similar para los volúmenes.

Volúmenes de cuerpos similares. están relacionados como cubos de sus dimensiones lineales; por ejemplo, los volúmenes de las pirámides se relacionan como el producto de sus alturas y el área de las bases, de donde se obtiene inmediatamente nuestra regla. Tiene absolutamente carácter general y se sigue directamente del hecho de que el volumen siempre tiene una dimensión de la tercera potencia de la longitud. Usando esta regla, derivamos una fórmula que expresa el volumen de una pirámide truncada a través de la altura y el área de las bases.

Sea una pirámide truncada con altura h y áreas de base S 1 y S 2. Si imaginamos que continúa pirámide completa, entonces el coeficiente de similitud entre la pirámide completa y la pirámide pequeña es fácil de encontrar como raíz de la relación S 2 /S 1 . La altura de una pirámide truncada se expresa como h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Ahora tenemos el volumen de una pirámide truncada (V 1 y V 2 denotan los volúmenes de las pirámides completa y pequeña)

fórmula para el volumen de una pirámide truncada

Derivemos la fórmula para el área S de la superficie lateral de una pirámide truncada regular a través de los perímetros P 1 y P 2 de las bases y la longitud de la apotema a. Razonamos exactamente de la misma manera que cuando derivamos la fórmula del volumen. Complementando la pirámide parte superior, tenemos P 2 = kP 1, S 2 =k 2 S 1, donde k es el coeficiente de similitud, P 1 y P 2 son los perímetros de las bases, y S 1 y S 2 son las áreas de las superficies laterales de toda la pirámide resultante y su parte superior, respectivamente. Para la superficie lateral encontramos (a 1 y a 2 son apotemas de las pirámides, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

fórmula para el área de la superficie lateral de una pirámide truncada regular

En esta lección:

• Problema 1. Encuentra la superficie total de la pirámide.
• Problema 2. Encuentra el área de la superficie lateral de una pirámide triangular regular.

Ver también materiales relacionados:
.

Nota . Si necesitas resolver un problema de geometría que no está aquí, escríbelo en el foro. En las tareas, en lugar del símbolo de "raíz cuadrada", se utiliza la función sqrt(), en la que sqrt es el símbolo raíz cuadrada, y la expresión radical se indica entre paréntesis. Para expresiones radicales simples, se puede utilizar el signo "√"..

Problema 1. Encuentra el área de superficie total de una pirámide regular.

La altura de la base de una pirámide triangular regular es de 3 cm y el ángulo entre la cara lateral y la base de la pirámide es de 45 grados.
Encuentra el área de superficie total de la pirámide.

Solución.

En la base de una pirámide triangular regular se encuentra triangulo equilatero.
Por tanto, para resolver el problema utilizaremos las propiedades de un triángulo regular:

Conocemos la altura del triángulo, de donde podemos encontrar su área.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

De donde el área de la base será igual a:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Para encontrar el área de la cara lateral, calculamos la altura KM. Según el problema, el ángulo OKM es de 45 grados.
De este modo:
OK / MK = cos 45
Usemos la tabla de valores de funciones trigonométricas y sustituyamos valores conocidos.

OK / MK = √2/2

Tengamos en cuenta que OK es igual al radio del círculo inscrito. Entonces
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Entonces
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

El área de la cara lateral es entonces igual a la mitad del producto de la altura por la base del triángulo.
Lado = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Por tanto, la superficie total de la pirámide será igual a
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Respuesta: 3√3 + 18/√6

Problema 2. Encuentra el área de la superficie lateral de una pirámide regular.

En una pirámide triangular regular la altura es de 10 cm y el lado de la base es de 16 cm. . Encuentra el área de la superficie lateral. .

Solución.

Como la base de una pirámide triangular regular es un triángulo equilátero, AO es el radio del círculo circunscrito alrededor de la base.
(Esto se desprende de)

Encontramos el radio de un círculo circunscrito alrededor de un triángulo equilátero a partir de sus propiedades.

De donde la longitud de las aristas de una pirámide triangular regular será igual a:
SOY 2 = MO 2 + AO 2
la altura de la pirámide se conoce por condición (10 cm), AO = 16√3/3
Soy 2 = 100 + 256/3
Soy = √(556/3)

Cada lado de la pirámide es un triángulo isósceles. Encontramos el área de un triángulo isósceles a partir de la primera fórmula que se presenta a continuación

S = 1/2 * 16 cuadrados((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 cuadrados((556/3) - 64)
S = 8 pies cuadrados (364/3)
S = 16 pies cuadrados (91/3)

Como las tres caras de una pirámide regular son iguales, el área de la superficie lateral será igual a
3S = 48√(91/3)

Respuesta: 48 √(91/3)

Problema 3. Encuentra la superficie total de una pirámide regular.

El lado de una pirámide triangular regular mide 3 cm y el ángulo entre la cara lateral y la base de la pirámide es de 45 grados. Encuentra el área de superficie total de la pirámide..

Solución.
Como la pirámide es regular, en su base hay un triángulo equilátero. Por lo tanto el área de la base es


Entonces = 9 * √3/4

Para encontrar el área de la cara lateral, calculamos la altura KM. Según el problema, el ángulo OKM es de 45 grados.
De este modo:
OK / MK = cos 45
aprovechemos

Al prepararse para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas, los estudiantes deben sistematizar sus conocimientos de álgebra y geometría. Me gustaría combinar toda la información conocida, por ejemplo, sobre cómo calcular el área de una pirámide. Además, partiendo de la base y los bordes laterales hasta toda la superficie. Si la situación con las caras laterales es clara, ya que son triángulos, entonces la base siempre es diferente.

¿Cómo encontrar el área de la base de la pirámide?

Puede ser absolutamente cualquier figura: desde un triángulo arbitrario hasta un n-gón. Y esta base, además de la diferencia en el número de ángulos, puede ser una figura regular o irregular. En las tareas del Examen Estatal Unificado que interesan a los escolares, solo hay tareas con cifras correctas en la base. Por tanto, hablaremos sólo de ellos.

Triángulo regular

Es decir, equilátero. Aquel en el que todos los lados son iguales y se designan con la letra “a”. En este caso, el área de la base de la pirámide se calcula mediante la fórmula:

S = (a 2 * √3) / 4.

Cuadrado

La fórmula para calcular su área es la más sencilla, aquí “a” es nuevamente el lado:

N-gon regular arbitrario

El lado de un polígono tiene la misma notación. Para el número de ángulos se utiliza la letra latina n.

S = (n*a 2) / (4*tg(180º/n)).

¿Qué hacer al calcular la superficie lateral y total?

Porque en la base se encuentra figura correcta, entonces todas las caras de la pirámide resultan iguales. Además, cada uno de ellos es un triángulo isósceles, ya que costillas laterales son iguales. Luego para calcular zona lateral pirámide, necesitarás una fórmula que consista en la suma de monomios idénticos. El número de términos está determinado por el número de lados de la base.

El área de un triángulo isósceles se calcula mediante la fórmula en la que se multiplica la mitad del producto de la base por la altura. Esta altura en la pirámide se llama apotema. Su designación es “A”. La fórmula general para el área de la superficie lateral es:

S = ½ P*A, donde P es el perímetro de la base de la pirámide.

Hay situaciones en las que no se conocen los lados de la base, pero se dan los bordes laterales (c) y el ángulo plano en su vértice (α). Luego necesitas usar la siguiente fórmula para calcular el área lateral de la pirámide:

S = n/2 * en 2 sen α .

Tarea número 1

Condición. Encuentra el área total de la pirámide si su base tiene un lado de 4 cm y la apotema tiene un valor de √3 cm.

Solución. Debes comenzar calculando el perímetro de la base. porque esto triangulo regular, entonces P = 3*4 = 12 cm Como se conoce la apotema, podemos calcular inmediatamente el área de toda la superficie lateral: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

Para el triángulo en la base, obtienes el siguiente valor de área: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Para determinar el área completa, necesitarás sumar los dos valores resultantes: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Respuesta. 10√3cm2.

Problema número 2

Condición. Hay una pirámide cuadrangular regular. La longitud del lado de la base es de 7 mm, el borde lateral es de 16 mm. Es necesario conocer su superficie.

Solución. Como el poliedro es cuadrangular y regular, su base es un cuadrado. Una vez que conozcas el área de la base y las caras laterales, podrás calcular el área de la pirámide. La fórmula para el cuadrado se da arriba. Y para las caras laterales, se conocen todos los lados del triángulo. Por lo tanto, puedes utilizar la fórmula de Heron para calcular sus áreas.

Los primeros cálculos son sencillos y conducen a la siguiente cifra: 49 mm 2. Para el segundo valor, necesitarás calcular el semiperímetro: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Ahora puedes calcular el área de un triángulo isósceles: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Solo hay cuatro de estos triángulos, por lo que al calcular el número final deberás multiplicarlo por 4.

Resulta: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.

Respuesta. El valor deseado es 267,576 mm 2.

Problema número 3

Condición. el correcto pirámide cuadrangular necesitas calcular el área. Se sabe que el lado del cuadrado mide 6 cm y la altura es 4 cm.

Solución. La forma más sencilla es utilizar la fórmula con el producto del perímetro y la apotema. El primer valor es fácil de encontrar. El segundo es un poco más complicado.

Tendremos que recordar el teorema de Pitágoras y considerar que está formado por la altura de la pirámide y la apotema, que es la hipotenusa. El segundo cateto es igual a la mitad del lado del cuadrado, ya que la altura del poliedro cae en su centro.

La apotema requerida (hipotenusa de un triángulo rectángulo) es igual a √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Ahora puedes calcular el valor requerido: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Respuesta. 96cm2.

Problema número 4

Condición. Dana lado correcto sus bases son de 22 mm, las nervaduras laterales son de 61 mm. ¿Cuál es el área de la superficie lateral de este poliedro?

Solución. El razonamiento que contiene es el mismo que el descrito en la tarea número 2. Sólo que allí se le dio una pirámide con un cuadrado en la base, y ahora es un hexágono.

En primer lugar, el área de la base se calcula usando la fórmula anterior: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Ahora necesitas encontrar el semiperímetro de un triángulo isósceles, que es la cara lateral. (22+61*2):2 = 72 cm. Todo lo que queda es usar la fórmula de Heron para calcular el área de cada uno de esos triángulos, y luego multiplicarlo por seis y sumarlo al obtenido para la base.

Cálculos usando la fórmula de Heron: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Cálculos que darán la superficie lateral: 660 * 6 = 3960 cm 2. Queda por sumarlos para saber la superficie completa: 5217,47≈5217 cm 2.

Respuesta. La base mide 726√3 cm2, la superficie lateral mide 3960 cm2 y el área total mide 5217 cm2.

Área de superficie de la pirámide. En este artículo veremos los problemas con las pirámides regulares. Permítanme recordarles que una pirámide regular es una pirámide cuya base es un polígono regular, la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro de este polígono.

La cara lateral de dicha pirámide es un triángulo isósceles.La altura de este triángulo dibujado desde el vértice de una pirámide regular se llama apotema, SF - apotema:

En el tipo de problema que se presenta a continuación, necesitas encontrar el área de la superficie de toda la pirámide o el área de su superficie lateral. El blog ya ha discutido varios problemas con las pirámides regulares, donde se planteó la cuestión de encontrar elementos (altura, borde de la base, borde lateral).

EN Asignaciones del examen estatal unificado Como regla general, se consideran pirámides regulares triangulares, cuadrangulares y hexagonales. No he visto ningún problema con las pirámides pentagonales y heptagonales regulares.

La fórmula para el área de toda la superficie es simple: debes encontrar la suma del área de la base de la pirámide y el área de su superficie lateral:

Consideremos las tareas:

Los lados de la base de una pirámide cuadrangular regular son 72, los bordes laterales son 164. Encuentra el área de superficie de esta pirámide.

El área superficial de la pirámide es igual a la suma de las áreas de la superficie lateral y la base:

*La superficie lateral consta de cuatro triángulos de igual área. La base de la pirámide es un cuadrado.

Podemos calcular el área del lado de la pirámide usando:

Así, el área de superficie de la pirámide es:

Respuesta: 28224

Los lados de la base de una pirámide hexagonal regular son iguales a 22, los bordes laterales son iguales a 61. Encuentra el área de la superficie lateral de esta pirámide.

La base de una pirámide hexagonal regular es un hexágono regular.

El área de la superficie lateral de esta pirámide consta de seis áreas de triángulos iguales de lados 61,61 y 22:

Encontremos el área del triángulo usando la fórmula de Heron:

Por tanto, el área de la superficie lateral es:

Respuesta: 3240

*En los problemas presentados anteriormente, el área de la cara lateral se podría encontrar usando otra fórmula de triángulo, pero para ello es necesario calcular la apotema.

27155. Calcula el área de superficie de una pirámide cuadrangular regular cuyos lados de base son 6 y cuya altura es 4.

Para encontrar el área de la superficie de la pirámide, necesitamos saber el área de la base y el área de la superficie lateral:

El área de la base es 36 ya que es un cuadrado de lado 6.

La superficie lateral consta de cuatro caras, que son triangulos iguales. Para encontrar el área de dicho triángulo, necesitas saber su base y altura (apotema):

*El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la base por la altura trazada a esta base.

La base es conocida, es igual a seis. Encontremos la altura. consideremos triangulo rectángulo(está resaltado en amarillo):

Un cateto es igual a 4, ya que esta es la altura de la pirámide, el otro es igual a 3, ya que es igual a la mitad del borde de la base. Podemos encontrar la hipotenusa usando el teorema de Pitágoras:

Esto significa que el área de la superficie lateral de la pirámide es:

Así, la superficie de toda la pirámide es:

Respuesta: 96

27069. Los lados de la base de una pirámide cuadrangular regular son iguales a 10, los bordes laterales son iguales a 13. Encuentra el área de la superficie de esta pirámide.

27070. Los lados de la base de una pirámide hexagonal regular son iguales a 10, los bordes laterales son iguales a 13. Encuentra el área de la superficie lateral de esta pirámide.

También existen fórmulas para el área de la superficie lateral de una pirámide regular. En una pirámide regular, la base es una proyección ortogonal de la superficie lateral, por tanto:

PAG- perímetro de la base, yo- apotema de la pirámide

*Esta fórmula se basa en la fórmula del área de un triángulo.

Si quieres conocer más sobre cómo se derivan estas fórmulas, no te lo pierdas, sigue la publicación de artículos.Eso es todo. ¡Buena suerte para ti!

Atentamente, Alexander Krutitskikh.

P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.