La capacidad de calcular el volumen de figuras espaciales es importante a la hora de resolver una serie de problemas prácticos de geometría. Una de las figuras más comunes es la pirámide. En este artículo consideraremos pirámides completas y truncadas.

Pirámide como figura tridimensional.

Todo el mundo sabe acerca de pirámides egipcias, por lo que tiene una buena idea de de qué tipo de figura estaremos hablando. Sin embargo, las estructuras de piedra egipcias son sólo un caso especial de una gran clase de pirámides.

El objeto geométrico considerado en el caso general es una base poligonal, cada vértice del cual está conectado a un cierto punto en el espacio que no pertenece al plano de la base. Esta definición da como resultado una figura que consta de un n-gon yn triángulos.

Cualquier pirámide consta de n+1 caras, 2*n aristas y n+1 vértices. Como la figura en cuestión es un poliedro perfecto, el número de elementos marcados obedece a la igualdad de Euler:

2*norte = (norte+1) + (norte+1) - 2.

El polígono ubicado en la base da el nombre de la pirámide, por ejemplo, triangular, pentagonal, etc. En la foto de abajo se muestra un conjunto de pirámides con diferentes bases.

El punto en el que se conectan n triángulos de una figura se llama vértice de la pirámide. Si se baja una perpendicular desde allí hasta la base y la cruza en el centro geométrico, entonces dicha figura se llamará línea recta. Si no se cumple esta condición, se produce una pirámide inclinada.

Una figura recta cuya base está formada por un n-gón equilátero (equiangular) se llama regular.

Fórmula para el volumen de una pirámide.

Para calcular el volumen de la pirámide usaremos cálculo integral. Para ello, dividimos la figura cortando planos paralelos a la base en infinitas capas finas. La siguiente figura muestra una pirámide cuadrangular de altura h y longitud de lado L, en la que la capa delgada de la sección está marcada con un cuadrilátero.

El área de cada una de estas capas se puede calcular mediante la fórmula:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Aquí A 0 es el área de la base, z es el valor de la coordenada vertical. Se puede ver que si z = 0, entonces la fórmula da el valor A 0 .

Para obtener la fórmula del volumen de una pirámide, se debe calcular la integral sobre toda la altura de la figura, es decir:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Sustituyendo la dependencia A(z) y calculando la primitiva, llegamos a la expresión:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.

Hemos obtenido la fórmula para el volumen de una pirámide. Para encontrar el valor de V, simplemente multiplica la altura de la figura por el área de la base, y luego divide el resultado por tres.

Tenga en cuenta que la expresión resultante es válida para calcular el volumen de una pirámide de tipo arbitrario. Es decir, puede estar inclinado y su base puede ser un n-gón arbitrario.

y su volumen

La fórmula general para el volumen obtenida en el párrafo anterior se puede refinar en el caso de una pirámide con la razón correcta. El área de dicha base se calcula mediante la siguiente fórmula:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Aquí L es la longitud del lado de un polígono regular con n vértices. El símbolo pi es el número pi.

Sustituyendo la expresión de A 0 en la fórmula general, obtenemos el volumen pirámide regular:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Por ejemplo, para una pirámide triangular, esta fórmula da como resultado la siguiente expresión:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

por la derecha pirámide cuadrangular La fórmula del volumen toma la forma:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.

Para determinar los volúmenes de las pirámides regulares es necesario conocer el lado de su base y la altura de la figura.

Pirámide truncada

Supongamos que tomamos una pirámide arbitraria y cortamos parte de su superficie lateral que contiene el vértice. La figura restante se llama pirámide truncada. Ya consta de dos bases n-gonales y n trapecios que las conectan. Si el plano de corte era paralelo a la base de la figura, entonces se forma una pirámide truncada con bases paralelas similares. Es decir, las longitudes de los lados de uno de ellos se pueden obtener multiplicando las longitudes del otro por un determinado coeficiente k.

La figura superior muestra uno regular truncado. Se puede observar que su base superior, al igual que la inferior, está formada por un hexágono regular.

La fórmula que se puede derivar usando cálculo integral similar a la anterior es:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Donde A 0 y A 1 son las áreas de las bases inferior (grande) y superior (pequeña), respectivamente. La variable h denota la altura de la pirámide truncada.

Volumen de la pirámide de Keops

Es interesante resolver el problema de determinar el volumen que contiene en su interior la mayor pirámide egipcia.

En 1984, los egiptólogos británicos Mark Lehner y Jon Goodman establecieron las dimensiones exactas de la pirámide de Keops. Su altura original era de 146,50 metros (actualmente unos 137 metros). La longitud media de cada uno de los cuatro lados de la estructura fue de 230.363 metros. La base de la pirámide es cuadrada con gran precisión.

Usemos las cifras dadas para determinar el volumen de este gigante de piedra. Dado que la pirámide es cuadrangular regular, entonces la fórmula es válida para ella:

Sustituyendo los números obtenemos:

V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.

El volumen de la pirámide de Keops es de casi 2,6 millones de m3. A modo de comparación, observamos que la piscina olímpica tiene un volumen de 2,5 mil m 3. Es decir, para llenar toda la pirámide de Keops, ¡necesitarás más de 1000 grupos de este tipo!

Pirámide. Pirámide truncada

Pirámide es un poliedro, una de cuyas caras es un polígono ( base ), y todas las demás caras son triángulos con un vértice común ( caras laterales ) (Figura 15). La pirámide se llama correcto , si su base es un polígono regular y la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro de la base (Fig. 16). Una pirámide triangular con todas las aristas iguales se llama tetraedro .

costilla lateral de una pirámide es el lado de la cara lateral que no pertenece a la base Altura pirámide es la distancia desde su cima hasta el plano de la base. Todas las aristas laterales de una pirámide regular son iguales entre sí, todas las caras laterales son triángulos isósceles iguales. La altura de la cara lateral de una pirámide regular trazada desde el vértice se llama apotema . sección diagonal Se llama sección de una pirámide a un plano que pasa por dos aristas laterales que no pertenecen a la misma cara.

Superficie lateral La pirámide es la suma de las áreas de todas las caras laterales. Área superficie completa se llama suma de las áreas de todas las caras laterales y la base.

Teoremas

1. Si en una pirámide todos los bordes laterales están igualmente inclinados con respecto al plano de la base, entonces la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo circunscrito cerca de la base.

2. Si en una pirámide todas las aristas laterales tienen longitudes iguales, luego la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo circunscrito cerca de la base.

3. Si todas las caras de una pirámide están igualmente inclinadas con respecto al plano de la base, entonces la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro de un círculo inscrito en la base.

Para calcular el volumen de una pirámide arbitraria, la fórmula correcta es:

Dónde V- volumen;

base S– superficie de base;

h– altura de la pirámide.

Para una pirámide regular, las siguientes fórmulas son correctas:

Dónde pag– perímetro de la base;

Ja– apotema;

h- altura;

S lleno

lado S

base S– superficie de base;

V– volumen de una pirámide regular.

Pirámide truncada Se llama la parte de la pirámide encerrada entre la base y un plano de corte paralelo a la base de la pirámide (Fig. 17). Pirámide truncada regular es la parte de una pirámide regular encerrada entre la base y un plano cortante paralelo a la base de la pirámide.

Razones pirámide truncada - polígonos similares. Caras laterales – trapecios. Altura de una pirámide truncada es la distancia entre sus bases. Diagonal una pirámide truncada es un segmento que conecta sus vértices que no se encuentran en la misma cara. sección diagonal Es una sección de una pirámide truncada por un plano que pasa por dos aristas laterales que no pertenecen a la misma cara.

Para una pirámide truncada son válidas las siguientes fórmulas:

(4)

Dónde S 1 , S 2 – áreas de las bases superior e inferior;

S lleno– superficie total;

lado S– superficie lateral;

h- altura;

V– volumen de una pirámide truncada.

Para una pirámide truncada regular la fórmula es correcta:

Dónde pag 1 , pag 2 – perímetros de las bases;

Ja– apotema de una pirámide truncada regular.

Ejemplo 1. en la derecha pirámide triangular el ángulo diédrico en la base es de 60º. Encuentra la tangente del ángulo de inclinación. costilla lateral al plano base.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 18).

La pirámide es correcta, es decir, en la base. triangulo equilatero y todas las caras laterales son triángulos isósceles iguales. El ángulo diédrico en la base es el ángulo de inclinación de la cara lateral de la pirámide con respecto al plano de la base. El ángulo lineal es el ángulo. a entre dos perpendiculares: etc. La cima de la pirámide se proyecta en el centro del triángulo (el centro de la circunferencia circunscrita y del círculo inscrito del triángulo). abecedario). El ángulo de inclinación del borde lateral (por ejemplo SB) es el ángulo entre el propio borde y su proyección sobre el plano de la base. para la costilla SB este ángulo será el ángulo SBD. Para encontrar la tangente necesitas conocer los catetos. ENTONCES Y TRANSMISIÓN EXTERIOR.. Sea la longitud del segmento BD es igual a 3 A. Punto ACERCA DE segmento BD se divide en partes: y de encontramos ENTONCES: De encontramos:

Respuesta:

Ejemplo 2. Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular truncada regular si las diagonales de sus bases son iguales a cm y cm, y su altura es de 4 cm.

Solución. Para encontrar el volumen de una pirámide truncada usamos la fórmula (4). Para encontrar el área de las bases, debes encontrar los lados de los cuadrados de las bases, conociendo sus diagonales. Los lados de las bases son iguales a 2 cm y 8 cm, respectivamente. Esto significa que las áreas de las bases y Sustituyendo todos los datos en la fórmula, calculamos el volumen de la pirámide truncada:

Respuesta: 112cm3.

Ejemplo 3. Encuentre el área de la cara lateral de una pirámide truncada triangular regular, cuyos lados de las bases miden 10 cm y 4 cm, y la altura de la pirámide es de 2 cm.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 19).

La cara lateral de esta pirámide es un trapezoide isósceles. Para calcular el área de un trapecio, necesitas saber la base y la altura. Las bases se dan según el estado, sólo se desconoce la altura. La encontraremos de donde A 1 mi perpendicular a un punto A 1 en el plano de la base inferior, A 1 D– perpendicular desde A 1 por C.A.. A 1 mi= 2 cm, ya que esta es la altura de la pirámide. para encontrar Delaware Hagamos un dibujo adicional que muestre la vista superior (Fig. 20). Punto ACERCA DE– proyección de los centros de las bases superior e inferior. desde (ver Fig. 20) y Por otro lado DE ACUERDO– radio inscrito en el círculo y om– radio inscrito en un círculo:

MK = DE.

Según el teorema de Pitágoras de

Área de la cara lateral:

Respuesta:

Ejemplo 4. En la base de la pirámide se encuentra un trapezoide isósceles, cuyas bases A Y b (a> b). Cada borde lateral forma un ángulo igual al plano de la base de la pirámide j. Encuentra el área de superficie total de la pirámide.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 21). Superficie total de la pirámide SABCD igual a la suma de las áreas y el área del trapezoide ABCD.

Usemos la afirmación de que si todas las caras de la pirámide están igualmente inclinadas con respecto al plano de la base, entonces el vértice se proyecta hacia el centro del círculo inscrito en la base. Punto ACERCA DE– proyección de vértice S en la base de la pirámide. Triángulo CÉSPED es la proyección ortogonal del triángulo CDS al plano de la base. Por el teorema del área de proyección ortogonal figura plana obtenemos:

De la misma manera significa Así, el problema se redujo a encontrar el área del trapezoide. ABCD. Dibujemos un trapecio ABCD por separado (Fig. 22). Punto ACERCA DE– el centro de un círculo inscrito en un trapezoide.

Dado que un círculo puede inscribirse en un trapezoide, entonces o Del teorema de Pitágoras tenemos

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