Cómo encontrar la superficie lateral de un cono. La superficie total del cono es igual a

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¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si estas interesado este trabajo, descargue la versión completa.

Tipo de lección: una lección sobre el aprendizaje de material nuevo utilizando elementos de un método de enseñanza de desarrollo basado en problemas.

Objetivos de la lección:

• educativo:
  • familiarización con nuevos concepto matemático;
  • formación de nuevos centros de formación;
  • formación de habilidades prácticas para la resolución de problemas.
• desarrollo:
  • desarrollo del pensamiento independiente de los estudiantes;
  • desarrollo de habilidades discurso correcto escolares.
• educativo:
  • desarrollando habilidades de trabajo en equipo.

Equipo de lección: tablero magnético, computadora, pantalla, proyector multimedia, modelo de cono, presentación de lecciones, folletos.

Objetivos de la lección (para estudiantes):

• familiarizarse con un nuevo concepto geométrico: el cono;
• derivar una fórmula para calcular el área de superficie de un cono;
• aprender a aplicar los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas prácticos.

Progreso de la lección

Etapa I. Organizativo.

Devolver cuadernos desde casa trabajo de prueba sobre el tema tratado.

Se invita a los estudiantes a descubrir el tema de la próxima lección resolviendo el rompecabezas. (diapositiva 1):

Figura 1.

Anunciar el tema y los objetivos de la lección a los estudiantes. (diapositiva 2).

Etapa II. Explicación de material nuevo.

1) Conferencia del profesor.

En el tablero hay una mesa con la imagen de un cono. Nuevo material Se explica acompañado del material del programa “Estereometría”. En la pantalla aparece una imagen tridimensional de un cono. El profesor da la definición de cono y habla de sus elementos. (diapositiva 3). Se dice que un cono es un cuerpo formado por la rotación de un triángulo rectángulo con respecto a un cateto. (diapositivas 4, 5). Aparece una imagen de un escaneo de la superficie lateral del cono. (diapositiva 6)

2) Trabajo práctico.

Actualización de conocimientos básicos: repita las fórmulas para calcular el área de un círculo, el área de un sector, la longitud de un círculo, la longitud de un arco de círculo. (diapositivas 7 a 10)

La clase se divide en grupos. Cada grupo recibe un escaneo de la superficie lateral del cono recortado en papel (un sector de un círculo con un número asignado). Los estudiantes toman las medidas necesarias y calculan el área del sector resultante. Las instrucciones para realizar el trabajo, preguntas (enunciados de problemas) aparecen en la pantalla. (diapositivas 11 a 14). Un representante de cada grupo anota los resultados de los cálculos en una tabla preparada en la pizarra. Los participantes de cada grupo pegan un modelo de cono a partir del patrón que tienen. (diapositiva 15)

3) Planteamiento y solución del problema.

¿Cómo calcular el área de la superficie lateral de un cono si solo se conoce el radio de la base y la longitud de la generatriz del cono? (diapositiva 16)

Cada grupo toma las medidas necesarias e intenta derivar una fórmula para calcular el área requerida utilizando los datos disponibles. Al realizar este trabajo, los estudiantes deben notar que la circunferencia de la base del cono es igual a la longitud del arco del sector: el desarrollo de la superficie lateral de este cono. (diapositivas 17 a 21) Usando las fórmulas necesarias, se deriva la fórmula deseada. Los argumentos de los estudiantes deberían verse así:

El radio de barrido del sector es igual a yo, medida en grados del arco – φ. El área del sector se calcula mediante la fórmula: la longitud del arco que limita este sector es igual al radio de la base del cono R. La longitud del círculo que se encuentra en la base del cono es C = 2πR . Tenga en cuenta que dado que el área de la superficie lateral del cono es igual al área de desarrollo de su superficie lateral, entonces

Entonces, el área de la superficie lateral del cono se calcula mediante la fórmula S DBO = πRl.

Después de calcular el área de la superficie lateral del modelo de cono utilizando una fórmula derivada de forma independiente, un representante de cada grupo escribe el resultado de los cálculos en una tabla en la pizarra de acuerdo con los números del modelo. Los resultados del cálculo en cada línea deben ser iguales. En base a esto, el profesor determina la exactitud de las conclusiones de cada grupo. La tabla de resultados debería verse así:

Parámetros del modelo:

1. l=12cm, φ=120°
2. l=10cm, φ=150°
3. l=15cm, φ=120°
4. l=10cm, φ=170°
5. l=14cm, φ=110°

La aproximación de los cálculos está asociada a errores de medición.

Después de verificar los resultados, aparece en la pantalla el resultado de las fórmulas para las áreas de las superficies lateral y total del cono. (diapositivas 22 a 26), los estudiantes toman notas en cuadernos.

Etapa III. Consolidación del material estudiado.

1) A los estudiantes se les ofrece Problemas para solución oral sobre dibujos ya hechos.

Encuentra las áreas de las superficies completas de los conos que se muestran en las figuras. (diapositivas 27 a 32).

2) Pregunta:¿Son iguales las áreas de las superficies de los conos que se forman al girar un triángulo rectángulo alrededor de diferentes catetos? Los estudiantes proponen una hipótesis y la prueban. La hipótesis se prueba resolviendo problemas y escritos por el alumno en la pizarra.

Dado:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

ВАА", АВВ" – cuerpos de rotación.

Encontrar: S PPK 1, S PPK 2.

Figura 5. (diapositiva 33)

Solución:

1) R=BC = un; S PPK 1 = S DBO 1 + S principal 1 = π una c + π una 2 = π una (a + c).

2) R=CA = segundo; S PPK 2 = S DBO 2 + S base 2 = π segundo c+π segundo 2 = π segundo (segundo + c).

Si S PPK 1 = S PPK 2, entonces a 2 +ac = b 2 + antes de Cristo, a 2 - b 2 + ac - antes de Cristo = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Porque a, b, c – números positivos (las longitudes de los lados del triángulo), la igualdad es verdadera sólo si un =b.

Conclusión: Las áreas de superficie de dos conos son iguales sólo si los lados del triángulo son iguales. (diapositiva 34)

3) Resolviendo el problema del libro de texto: No. 565.

Etapa IV. Resumiendo la lección.

Tarea: párrafos 55, 56; N° 548, N° 561. (diapositiva 35)

Anuncio de calificaciones asignadas.

Conclusiones durante la lección, repetición de la información principal recibida durante la lección.

Literatura (diapositiva 36)

1. Geometría grados 10-11 – Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev et al., M., “Prosveshchenie”, 2008.
2. “Acertijos y charadas matemáticas” - N.V. Udaltsova, biblioteca “Primero de septiembre”, serie “MATEMÁTICAS”, número 35, M., Chistye Prudy, 2010.

La geometría es una rama de las matemáticas que estudia las estructuras en el espacio y las relaciones entre ellas. A su vez, también consta de apartados, y uno de ellos es la estereometría. Se trata del estudio de las propiedades de figuras tridimensionales situadas en el espacio: cubo, pirámide, bola, cono, cilindro, etc.

Un cono es un cuerpo en el espacio euclidiano que está limitado por una superficie cónica y el plano en el que se encuentran los extremos de sus generadores. Su formación se produce durante la rotación de un triángulo rectángulo alrededor de cualquiera de sus catetos, por lo que pertenece a los cuerpos de revolución.

Componentes de un cono

Existen los siguientes tipos de conos: oblicuos (o inclinados) y rectos. Oblicuo es aquel cuyo eje no corta con el centro de su base en ángulo recto. Por esta razón, la altura en tal cono no coincide con el eje, ya que es un segmento que desciende desde la parte superior del cuerpo hasta el plano de su base en un ángulo de 90°.

Se llama recta al cono cuyo eje es perpendicular a su base. Eje y altura en este cuerpo geométrico coinciden debido al hecho de que el vértice en él está ubicado por encima del centro del diámetro de la base.

El cono consta de los siguientes elementos:

1. El círculo que es su base.
2. Superficie lateral.
3. Un punto que no se encuentra en el plano de la base, llamado vértice del cono.
4. Segmentos que conectan los puntos de la circunferencia de la base de un cuerpo geométrico y su vértice.

Todos estos segmentos son generadores del cono. Están inclinados hacia la base del cuerpo geométrico, y en el caso de un cono recto, sus proyecciones son iguales, ya que el vértice equidista de los puntos del círculo de la base. Así, podemos concluir que en un cono regular (recto) los generadores son iguales, es decir, tienen la misma longitud y forman los mismos ángulos con el eje (o altura) y la base.

Dado que en un cuerpo de revolución oblicuo (o inclinado) el vértice se desplaza con respecto al centro del plano base, los generadores en dicho cuerpo tienen diferentes longitudes y proyecciones, ya que cada uno de ellos está a una distancia diferente de dos puntos cualesquiera de el círculo de la base. Además, los ángulos entre ellos y la altura del cono también serán diferentes.

Longitud de generatrices en un cono recto.

Como se escribió anteriormente, la altura en un cuerpo de revolución geométrico recto es perpendicular al plano de la base. Así, la generatriz, la altura y el radio de la base crean un triángulo rectángulo en el cono.

Es decir, conociendo el radio de la base y la altura, usando la fórmula del teorema de Pitágoras, se puede calcular la longitud de la generatriz, que será igual a la suma de los cuadrados del radio de la base y la altura:

l 2 = r 2 + h 2 o l = √r 2 + h 2

donde l es el generador;

r - radio;

h - altura.

Generador en cono inclinado

Partiendo del hecho de que en un cono oblicuo o inclinado los generadores no tienen la misma longitud, no será posible calcularlos sin construcciones y cálculos adicionales.

En primer lugar, necesita conocer la altura, la longitud del eje y el radio de la base.

r 1 = √k 2 - h 2

donde r 1 es la parte del radio entre el eje y la altura;

k - longitud del eje;

h - altura.

Como resultado de sumar el radio (r) y su parte situada entre el eje y la altura (r 1), se puede conocer la generatriz completa del cono, su altura y parte del diámetro:

donde R es el cateto de un triángulo formado por la altura, el generador y parte del diámetro de la base;

r - radio de la base;

r 1 - parte del radio entre el eje y la altura.

Usando la misma fórmula del teorema de Pitágoras, puedes encontrar la longitud de la generatriz del cono:

l = √h 2 + R 2

o, sin calcular R por separado, combinar las dos fórmulas en una:

l = √h 2 + (r + r 1) 2.

Independientemente de si el cono es recto u oblicuo y cuáles son los datos de entrada, todos los métodos para encontrar la longitud de la generatriz siempre se reducen a un resultado: el uso del teorema de Pitágoras.

Sección de cono

Axial es un plano que pasa a lo largo de su eje o altura. En un cono recto, dicha sección es un triángulo isósceles, en el que la altura del triángulo es la altura del cuerpo, sus lados son los generadores y la base es el diámetro de la base. En un cuerpo geométrico equilátero, la sección axial es triangulo equilatero, ya que en este cono el diámetro de la base y los generadores son iguales.

El plano de la sección axial de un cono recto es el plano de su simetría. La razón de esto es que su parte superior se encuentra por encima del centro de su base, es decir, el plano de la sección axial divide el cono en dos partes idénticas.

Dado que la altura y el eje no coinciden en un cuerpo volumétrico inclinado, el plano de sección axial puede no incluir la altura. Si se pueden construir muchas secciones axiales en un cono de este tipo, ya que para esto solo se debe cumplir una condición: debe pasar solo a través del eje, entonces solo se puede dibujar la sección axial del plano al que pertenecerá la altura de este cono. , porque el número de condiciones aumenta y, como se sabe, dos rectas (juntas) pueden pertenecer a un solo plano.

Área seccional

La sección axial del cono mencionada anteriormente es un triángulo. En base a esto, su área se puede calcular usando la fórmula para el área de un triángulo:

S = 1/2 * d * h o S = 1/2 * 2r * h

donde S es el área de la sección transversal;

d - diámetro de la base;

r - radio;

h - altura.

En un cono oblicuo o inclinado, la sección transversal a lo largo del eje también es un triángulo, por lo que el área de la sección transversal se calcula de manera similar.

Volumen

Dado que un cono es una figura tridimensional en un espacio tridimensional, se puede calcular su volumen. El volumen de un cono es un número que caracteriza a este cuerpo en una unidad de volumen, es decir, en m3. El cálculo no depende de si es recto u oblicuo (oblicuo), ya que las fórmulas para estos dos tipos de cuerpos no difieren.

Como se dijo anteriormente, la formación de un cono rectángulo se produce debido a la rotación de un triángulo rectángulo a lo largo de uno de sus catetos. Un cono inclinado u oblicuo se forma de manera diferente, ya que su altura se aleja del centro del plano de la base del cuerpo. Sin embargo, tales diferencias en la estructura no afectan el método para calcular su volumen.

Cálculo de volumen

Cualquier cono se parece a esto:

V = 1/3 * π * h * r 2

donde V es el volumen del cono;

h - altura;

r - radio;

π es una constante igual a 3,14.

Para calcular la altura de un cuerpo es necesario conocer el radio de la base y la longitud de su generatriz. Dado que el radio, la altura y el generador se combinan en un triángulo rectángulo, la altura se puede calcular usando la fórmula del teorema de Pitágoras (a 2 + b 2 = c 2 o en nuestro caso h 2 + r 2 = l 2, donde l es el generador). La altura se calculará sacando la raíz cuadrada de la diferencia entre los cuadrados de la hipotenusa y el otro cateto:

un = √c 2 - segundo 2

Es decir, la altura del cono será igual al valor obtenido tras sacar la raíz cuadrada de la diferencia entre el cuadrado de la longitud de la generatriz y el cuadrado del radio de la base:

h = √l 2 - r 2

Calculando la altura con este método y conociendo el radio de su base, puedes calcular el volumen del cono. El generador juega un papel importante en este caso, ya que sirve como elemento auxiliar en los cálculos.

De manera similar, si se conoce la altura de un cuerpo y la longitud de su generatriz, se puede encontrar el radio de su base extrayendo raíz cuadrada de la diferencia entre el cuadrado del generador y el cuadrado de la altura:

r = √l 2 - h 2

Luego, usando la misma fórmula anterior, calcula el volumen del cono.

Volumen de un cono inclinado

Dado que la fórmula para el volumen de un cono es la misma para todos los tipos de cuerpos de rotación, la diferencia en su cálculo es la búsqueda de la altura.

Para saber la altura de un cono inclinado, los datos de entrada deben incluir la longitud de la generatriz, el radio de la base y la distancia entre el centro de la base y la intersección de la altura del cuerpo con el plano. de su base. Sabiendo esto, podrás calcular fácilmente qué parte del diámetro de la base será la base de un triángulo rectángulo (formado por la altura, la generatriz y el plano de la base). Luego, utilizando nuevamente el teorema de Pitágoras, calcula la altura del cono y, posteriormente, su volumen.

Hoy te contamos cómo encontrar la generatriz de un cono, lo que suele ser necesario en los problemas de geometría escolares.

El concepto de generatriz de cono.

Un cono rectángulo es una figura que se obtiene girando un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. La base del cono forma un círculo. La sección vertical del cono es un triángulo, la sección horizontal es un círculo. La altura de un cono es el segmento que conecta la parte superior del cono con el centro de la base. La generatriz de un cono es un segmento que conecta el vértice del cono con cualquier punto de la recta del círculo base.

Dado que un cono se forma girando un triángulo rectángulo, resulta que el primer cateto de dicho triángulo es la altura, el segundo es el radio del círculo en la base y la hipotenusa es la generatriz del cono. No es difícil adivinar que el teorema de Pitágoras es útil para calcular la longitud del generador. Y ahora más sobre cómo encontrar la longitud de la generatriz del cono.

Encontrar el generador

La forma más sencilla de entender cómo encontrar un generador es en ejemplo específico. Supongamos que se dan las siguientes condiciones del problema: la altura es de 9 cm, el diámetro del círculo base es de 18 cm. Es necesario encontrar una generatriz.

Entonces, la altura del cono (9 cm) es uno de los catetos del triángulo rectángulo con la ayuda del cual se formó este cono. El segundo cateto será el radio del círculo base. El radio es la mitad del diámetro. Así, dividimos el diámetro que nos dieron por la mitad y obtenemos la longitud del radio: 18:2 = 9. El radio es 9.

Ahora es muy fácil encontrar la generatriz del cono. Como es la hipotenusa, el cuadrado de su longitud será igual a la suma cuadrados de los catetos, es decir, la suma de los cuadrados del radio y la altura. Entonces, el cuadrado de la longitud del generador = 64 (el cuadrado de la longitud del radio) + 64 (el cuadrado de la longitud de la altura) = 64x2 = 128. Ahora sacamos la raíz cuadrada de 128. Como Como resultado, obtenemos ocho raíces de dos. Esta será la generatriz del cono.

Como puede ver, esto no tiene nada de complicado. Por ejemplo, tomamos condiciones simples tareas, sin embargo curso escolar pueden ser más complejos. Recuerda que para calcular la longitud de la generatriz necesitas averiguar el radio del círculo y la altura del cono. Conociendo estos datos, es fácil encontrar la longitud de la generatriz.

Sabemos qué es un cono, intentemos encontrar su superficie. ¿Por qué necesitas resolver tal problema? Por ejemplo, ¿necesita saber cuánta masa se necesita para hacer un cono de gofre? ¿O cuántos ladrillos se necesitan para hacer el techo de un castillo de ladrillos?

Simplemente no se puede medir el área de la superficie lateral de un cono. Pero imaginemos el mismo cuerno envuelto en tela. Para encontrar el área de un trozo de tela, debes cortarlo y colocarlo sobre la mesa. Funcionará figura plana, podemos encontrar su área.

Arroz. 1. Sección de un cono a lo largo de la generatriz.

Hagamos lo mismo con el cono. Vamos a "cortarlo" superficie lateral a lo largo de cualquier generatriz, por ejemplo (ver Fig. 1).

Ahora "desenrollemos" la superficie lateral en un plano. Obtenemos un sector. El centro de este sector es el vértice del cono, el radio del sector es igual a la generatriz del cono y la longitud de su arco coincide con la circunferencia de la base del cono. Este sector se denomina desarrollo de la superficie lateral del cono (ver Fig. 2).

Arroz. 2. Desarrollo de la superficie lateral.

Arroz. 3. Medición de ángulos en radianes

Intentemos encontrar el área del sector utilizando los datos disponibles. Primero, introduzcamos la notación: sea el ángulo en el vértice del sector en radianes (ver Fig. 3).

A menudo tendremos que lidiar con el ángulo en la parte superior del barrido en los problemas. Por ahora, intentemos responder a la pregunta: ¿este ángulo no puede llegar a tener más de 360 ​​grados? Es decir, ¿no resultaría que el barrido se superpondría? Por supuesto que no. Demostremos esto matemáticamente. Deje que el escaneo se "superponga" sobre sí mismo. Esto significa que la longitud del arco de barrido es mayor que la longitud del círculo de radio. Pero, como ya se mencionó, la longitud del arco de barrido es la longitud del círculo de radio. Y el radio de la base del cono, por supuesto, es menor que la generatriz, por ejemplo, porque el cateto de un triángulo rectángulo es menor que la hipotenusa.

Entonces recordemos dos fórmulas del curso de planimetría: longitud de arco. Área sectorial: .

En nuestro caso, el papel lo juega el generador. , y la longitud del arco es igual a la circunferencia de la base del cono, es decir. Tenemos:

Finalmente obtenemos: .

Junto con el área de la superficie lateral, también se puede encontrar el área superficie completa. Para ello, suma el área de la base al área de la superficie lateral. Pero la base es un círculo de radio, cuya área según la fórmula es igual a .

Finalmente tenemos: , donde es el radio de la base del cilindro, es la generatriz.

Resolvamos un par de problemas usando las fórmulas dadas.

Arroz. 4. Ángulo requerido

Ejemplo 1. El desarrollo de la superficie lateral del cono es un sector con un ángulo en el vértice. Encuentre este ángulo si la altura del cono es de 4 cm y el radio de la base es de 3 cm (ver Fig. 4).

Arroz. 5. triangulo rectángulo, formando un cono

Por la primera acción, según el teorema de Pitágoras, encontramos el generador: 5 cm (ver Fig. 5). A continuación sabemos que .

Ejemplo 2. El área de la sección transversal axial del cono es igual a , la altura es igual a . Encuentre el área de superficie total (ver Fig. 6).