En el curso de secundaria y escuela secundaria Los estudiantes estudiaron el tema "Fracciones". Sin embargo, este concepto es mucho más amplio que lo que se da en el proceso de aprendizaje. Hoy en día, el concepto de fracción se encuentra con bastante frecuencia y no todo el mundo puede calcular ninguna expresión, por ejemplo, multiplicar fracciones.
¿Qué es una fracción?
Históricamente, los números fraccionarios surgieron de la necesidad de medir. Como muestra la práctica, a menudo hay ejemplos de cómo determinar la longitud de un segmento y el volumen de un rectángulo rectangular.
Inicialmente, se presenta a los estudiantes el concepto de acción. Por ejemplo, si divides una sandía en 8 partes, cada persona recibirá un octavo de la sandía. Esta parte de ocho se llama acción.
Una acción igual a la mitad de cualquier valor se llama mitad; ⅓ - tercero; ¼ - un cuarto. Los registros de la forma 5/8, 4/5, 2/4 se llaman fracciones ordinarias. Una fracción común se divide en numerador y denominador. Entre ellos se encuentra la barra de fracciones, o barra de fracciones. La línea fraccionaria se puede dibujar como una línea horizontal u oblicua. EN en este caso representa el signo de división.
El denominador representa en cuántas partes iguales se divide la cantidad u objeto; y el numerador es cuántas acciones idénticas se toman. El numerador se escribe encima de la línea de fracción y el denominador debajo.
Lo más conveniente es mostrar fracciones ordinarias en un rayo de coordenadas. Si un solo segmento se divide en 4 partes iguales, cada parte se designa con una letra latina, entonces se puede obtener el resultado. ayuda visual. Entonces, el punto A muestra una participación igual a 1/4 de todo el segmento unitario, y el punto B marca 2/8 de un segmento dado.
Tipos de fracciones
Las fracciones pueden ser números ordinarios, decimales y mixtos. Además, las fracciones se pueden dividir en propias e impropias. Esta clasificación es más adecuada para fracciones ordinarias.
Una fracción propia es un número cuyo numerador es menor que el denominador. En consecuencia, una fracción impropia es un número cuyo numerador es mayor que su denominador. El segundo tipo suele escribirse como un número mixto. Esta expresión consta de un número entero y una parte fraccionaria. Por ejemplo, 1½. 1 es una parte entera, ½ es una parte fraccionaria. Sin embargo, si es necesario realizar algunas manipulaciones con la expresión (dividir o multiplicar fracciones, reducirlas o convertirlas), el número mixto se convierte en una fracción impropia.
Una expresión fraccionaria correcta siempre es menor que uno y una incorrecta siempre es mayor o igual a 1.
En cuanto a esta expresión, nos referimos a un registro en el que se representa cualquier número, cuyo denominador de expresión fraccionaria se puede expresar en términos de uno con varios ceros. Si la fracción es propia, entonces la parte entera en notación decimal será igual a cero.
Para escribir una fracción decimal, primero debes escribir la parte entera, separarla de la fracción usando una coma y luego escribir la expresión de la fracción. Hay que recordar que después del punto decimal, el numerador debe contener tantos caracteres digitales como ceros en el denominador.
Ejemplo. Expresa la fracción 7 21 / 1000 en notación decimal.
Algoritmo para convertir una fracción impropia a un número mixto y viceversa
Es incorrecto escribir una fracción impropia en la respuesta a un problema, por lo que es necesario convertirla a un número mixto:
- dividir el numerador por el denominador existente;
- V ejemplo específico cociente incompleto - entero;
- y el resto es el numerador de la parte fraccionaria, permaneciendo el denominador sin cambios.
Ejemplo. Convertir fracción impropia a número mixto: 47/5.
Solución. 47: 5. El cociente parcial es 9, el resto = 2. Entonces, 47/5 = 9 2/5.
A veces es necesario representar un número mixto como una fracción impropia. Entonces necesitas usar el siguiente algoritmo:
- la parte entera se multiplica por el denominador de la expresión fraccionaria;
- el producto resultante se suma al numerador;
- el resultado se escribe en el numerador, el denominador permanece sin cambios.
Ejemplo. Presentar el número en forma mixta como fracción impropia: 9 8 / 10.
Solución. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 es el numerador.
Respuesta: 98 / 10.
Multiplicar fracciones
Se pueden realizar varias operaciones algebraicas con fracciones ordinarias. Para multiplicar dos números, debes multiplicar el numerador por el numerador y el denominador por el denominador. Además, multiplicar fracciones con diferentes denominadores no es diferente de multiplicar fracciones con los mismos denominadores.
Sucede que después de encontrar el resultado es necesario reducir la fracción. Es imperativo simplificar la expresión resultante tanto como sea posible. Por supuesto, no se puede decir que una fracción impropia en una respuesta sea un error, pero también es difícil llamarla respuesta correcta.
Ejemplo. Encuentra el producto de dos fracciones ordinarias: ½ y 20/18.
Como puede verse en el ejemplo, después de encontrar el producto, se obtuvo una notación fraccionaria reducible. Tanto el numerador como el denominador en este caso se dividen entre 4, y el resultado es la respuesta 5/9.
Multiplicar fracciones decimales
El producto de fracciones decimales es bastante diferente del producto de fracciones ordinarias en su principio. Entonces, multiplicar fracciones es la siguiente:
- se deben escribir dos fracciones decimales una debajo de la otra de modo que los dígitos más a la derecha estén uno debajo del otro;
- es necesario multiplicar los números escritos, a pesar de las comas, es decir, como números naturales;
- cuente el número de dígitos después del punto decimal en cada número;
- en el resultado obtenido después de la multiplicación, es necesario contar desde la derecha tantos símbolos digitales como los contenidos en la suma en ambos factores después del punto decimal, y poner un signo de separación;
- Si hay menos números en el producto, entonces debes escribir tantos ceros delante de ellos para cubrir este número, poner una coma y sumar la parte entera igual a cero.
Ejemplo. Calcula el producto de dos fracciones decimales: 2,25 y 3,6.
Solución.
Multiplicar fracciones mixtas
Para calcular el producto de dos fracciones mixtas, debes usar la regla para multiplicar fracciones:
- convertir números mixtos en fracciones impropias;
- encontrar el producto de los numeradores;
- encontrar el producto de denominadores;
- anota el resultado;
- simplifica la expresión tanto como sea posible.
Ejemplo. Encuentra el producto de 4½ y 6 2/5.
Multiplicar un número por una fracción (fracciones por un número)
Además de encontrar el producto de dos fracciones y números mixtos, hay tareas en las que debes multiplicar por una fracción.
Entonces, para encontrar el producto decimal y un número natural, necesitas:
- escriba el número debajo de la fracción de modo que los dígitos del extremo derecho queden uno encima del otro;
- busque el producto a pesar de la coma;
- en el resultado resultante, separe la parte entera de la parte fraccionaria usando una coma, contando desde la derecha el número de dígitos que se ubican después del punto decimal en la fracción.
multiplicar fracción común a un número, debes encontrar el producto del numerador y el factor natural. Si la respuesta produce una fracción que se puede reducir, se debe convertir.
Ejemplo. Calcula el producto de 5/8 y 12.
Solución. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Respuesta: 7 1 / 2.
Como puedes ver en el ejemplo anterior, fue necesario reducir el resultado resultante y convertir la expresión fraccionaria incorrecta en un número mixto.
La multiplicación de fracciones también implica encontrar el producto de un número mixto y un factor natural. Para multiplicar estos dos números, debes multiplicar toda la parte del factor mixto por el número, multiplicar el numerador por el mismo valor y dejar el denominador sin cambios. Si es necesario, es necesario simplificar el resultado tanto como sea posible.
Ejemplo. Encuentra el producto de 9 5/6 y 9.
Solución. 9 5/6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45/6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2.
Respuesta: 88 1 / 2.
Multiplicación por factores de 10, 100, 1000 o 0,1; 0,01; 0.001
La siguiente regla se desprende del párrafo anterior. Para multiplicar una fracción decimal por 10, 100, 1000, 10000, etc., debes mover el punto decimal hacia la derecha tantos dígitos como ceros haya después del uno en el factor.
Ejemplo 1. Calcula el producto de 0,065 y 1000.
Solución. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
Respuesta: 65.
Ejemplo 2. Encuentra el producto de 3,9 y 1000.
Solución. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.
Respuesta: 3900.
Si necesitas multiplicar un número natural por 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001, etc., debe mover la coma en el producto resultante hacia la izquierda tantos dígitos como ceros haya antes del uno. Si es necesario, antes número natural Se registra un número suficiente de ceros.
Ejemplo 1. Encuentra el producto de 56 y 0,01.
Solución. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Respuesta: 0,56.
Ejemplo 2. Calcula el producto de 4 y 0,001.
Solución. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Respuesta: 0,004.
Por lo tanto, encontrar el producto de diferentes fracciones no debería causar dificultades, excepto quizás calcular el resultado; en este caso, simplemente no puede prescindir de una calculadora.
Multiplicar y dividir fracciones.
¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)
¡Esta operación es mucho mejor que la suma-resta! Porque es más fácil. Como recordatorio, para multiplicar una fracción por una fracción, debes multiplicar los numeradores (este será el numerador del resultado) y los denominadores (este será el denominador). Eso es:
Por ejemplo:
Todo es extremadamente simple. ¡Y por favor no busques un denominador común! No hay necesidad de él aquí...
Para dividir una fracción por una fracción, debes invertir segundo(¡Esto es importante!) fraccionarlos y multiplicarlos, es decir:
Por ejemplo:
Si te encuentras con multiplicaciones o divisiones con números enteros y fracciones, está bien. Al igual que con la suma, hacemos una fracción a partir de un número entero con uno en el denominador, ¡y adelante! Por ejemplo:
En la escuela secundaria, a menudo tienes que lidiar con fracciones de tres pisos (¡o incluso de cuatro pisos!). Por ejemplo:
¿Cómo puedo hacer que esta fracción parezca decente? ¡Sí, muy sencillo! Utilice división de dos puntos:
¡Pero no te olvides del orden de división! A diferencia de la multiplicación, ¡esto aquí es muy importante! Por supuesto, no confundiremos 4:2 o 2:4. Pero es fácil cometer un error en una fracción de tres pisos. Tenga en cuenta, por ejemplo:
En el primer caso (expresión de la izquierda):
En el segundo (expresión de la derecha):
¿Sientes la diferencia? 4 y 1/9!
¿Qué determina el orden de división? Ya sea con corchetes o (como aquí) con la longitud de las líneas horizontales. Desarrolla tu ojo. Y si no hay corchetes ni guiones, como:
luego divide y multiplica en orden, de izquierda a derecha!
Y otra técnica muy sencilla e importante. En acciones con títulos, ¡te será de gran utilidad! Dividamos uno por cualquier fracción, por ejemplo, por 13/15:
¡El tiro se ha volcado! Y esto siempre sucede. Al dividir 1 por cualquier fracción, el resultado es la misma fracción, sólo que al revés.
Eso es todo para operaciones con fracciones. La cosa es bastante sencilla, pero da errores de sobra. tenga en cuenta consejos prácticos¡Y habrá menos (errores)!
Consejos prácticos:
1. ¡Lo más importante cuando se trabaja con expresiones fraccionarias es la precisión y la atención! ¡Estas no son palabras generales, ni buenos deseos! ¡Esta es una necesidad extrema! Realice todos los cálculos del Examen Estatal Unificado como una tarea completa, enfocada y clara. Es mejor escribir dos líneas extra en un borrador que equivocarse al hacer cálculos mentales.
2. En ejemplos con diferentes tipos fracciones: vaya a fracciones ordinarias.
3. Reducimos todas las fracciones hasta que pare.
4. De varios pisos expresiones fraccionarias reduzca a los ordinarios usando la división entre dos puntos (¡tenga cuidado con el orden de división!).
5. Divide mentalmente una unidad por una fracción, simplemente dándole la vuelta a la fracción.
Estas son las tareas que definitivamente debes completar. Las respuestas se dan después de todas las tareas. Utilice los materiales sobre este tema y consejos prácticos. Calcula cuántos ejemplos pudiste resolver correctamente. ¡Bien a la primera! ¡Sin calculadora! Y sacar las conclusiones correctas...
Recuerde: la respuesta correcta es ¡Recibido por segunda (especialmente la tercera) vez no cuenta! Así de dura es la vida.
Entonces, resolver en modo examen ! Por cierto, esto ya es preparación para el Examen Estatal Unificado. Resolvemos el ejemplo, lo comprobamos, resolvemos el siguiente. Decidimos todo y volvimos a comprobar desde el principio hasta el último. y solo Entonces mira las respuestas.
Calcular:
¿Has decidido?
Estamos buscando respuestas que coincidan con las suyas. Las escribí deliberadamente en desorden, lejos de la tentación, por así decirlo... Aquí están, las respuestas, escritas con punto y coma.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Ahora sacamos conclusiones. Si todo salió bien, ¡me alegro por ti! ¡Los cálculos básicos con fracciones no son tu problema! Puedes hacer cosas más serias. Si no...
Entonces tienes uno de dos problemas. O ambas cosas a la vez.) Falta de conocimiento y (o) falta de atención. Pero... esto soluble problemas.
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La última vez aprendimos a sumar y restar fracciones (ver lección " Sumar y restar fracciones"). El momento más difícil de aquellas acciones fue reducir fracciones a denominador común.
Ahora es el momento de abordar la multiplicación y la división. La buena noticia es que estas operaciones son incluso más sencillas que la suma y la resta. Primero, veamos caso más simple, cuando existen dos fracciones positivas sin parte entera separada.
Para multiplicar dos fracciones, debes multiplicar sus numeradores y denominadores por separado. El primer número será el numerador de la nueva fracción y el segundo será el denominador.
Para dividir dos fracciones, debes multiplicar la primera fracción por la segunda fracción "invertida".
Designación:
De la definición se deduce que dividir fracciones se reduce a multiplicación. Para "voltear" una fracción, simplemente intercambie el numerador y el denominador. Por lo tanto, a lo largo de la lección consideraremos principalmente la multiplicación.
Como resultado de la multiplicación, puede surgir (y a menudo surge) una fracción reducible; por supuesto, debe reducirse. Si después de todas las reducciones la fracción resulta ser incorrecta, se debe resaltar la parte completa. Pero lo que definitivamente no sucederá con la multiplicación es la reducción a un denominador común: sin métodos entrecruzados, con mayores factores y mínimos múltiplos comunes.
Por definición tenemos:
Multiplicar fracciones con partes enteras y fracciones negativas
Si las fracciones contienen una parte entera, deben convertirse en impropias y solo luego multiplicarse de acuerdo con los esquemas descritos anteriormente.
Si hay un menos en el numerador de una fracción, en el denominador o delante de él, se puede sacar de la multiplicación o eliminarlo por completo de acuerdo con las siguientes reglas:
- Más por menos da menos;
- Dos negativos hacen una afirmativa.
Hasta ahora, estas reglas sólo se encontraban al sumar y restar fracciones negativas, cuando era necesario deshacerse de la parte entera. Para una obra, se pueden generalizar para “quemar” varias desventajas a la vez:
- Los negativos tachamos de dos en dos hasta que desaparezcan por completo. En casos extremos, puede sobrevivir un menos: aquel para el que no había pareja;
- Si no quedan inconvenientes, la operación se completa; puede comenzar a multiplicar. Si el último menos no se tacha porque no tenía par, lo sacamos de los límites de la multiplicación. El resultado es una fracción negativa.
Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
Convertimos todas las fracciones a impropias y luego quitamos los menos de la multiplicación. Multiplicamos lo que queda según las reglas habituales. Obtenemos:
Permítanme recordarles una vez más que el menos que aparece delante de una fracción con la parte entera resaltada se refiere específicamente a la fracción entera, y no solo a su parte entera (esto se aplica a los dos últimos ejemplos).
También preste atención a los números negativos: al multiplicarlos, se incluyen entre paréntesis. Esto se hace para separar los signos negativos de los signos de multiplicación y hacer que toda la notación sea más precisa.
Reducir fracciones sobre la marcha
La multiplicación es una operación que requiere mucha mano de obra. Los números aquí resultan ser bastante grandes y, para simplificar el problema, puedes intentar reducir aún más la fracción. antes de la multiplicación. De hecho, en esencia, los numeradores y denominadores de fracciones son factores ordinarios y, por lo tanto, se pueden reducir utilizando la propiedad básica de una fracción. Echa un vistazo a los ejemplos:
Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
Por definición tenemos:
En todos los ejemplos, los números que se han reducido y lo que queda de ellos están marcados en rojo.
Tenga en cuenta: en el primer caso, los multiplicadores se redujeron por completo. En su lugar quedan unidades que, por lo general, no es necesario escribir. En el segundo ejemplo reducción completa No fue posible lograr esto, pero la cantidad total de cálculos aún disminuyó.
Sin embargo, ¡nunca utilices esta técnica al sumar y restar fracciones! Sí, a veces hay números similares que simplemente deseas reducir. Aquí mira:
¡No puedes hacer eso!
El error ocurre porque al sumar, el numerador de una fracción produce una suma, no un producto de números. En consecuencia, es imposible aplicar la propiedad básica de una fracción, ya que esta propiedad trata específicamente de la multiplicación de números.
Simplemente no hay otras razones para reducir fracciones, por lo que la decisión correcta la tarea anterior se ve así:
Solución correcta:
Como puede ver, la respuesta correcta resultó no ser tan hermosa. En general, ten cuidado.