Ángulo inscrito, teoría del problema. ¡Amigos! En este artículo hablaremos de tareas para las que necesitas conocer las propiedades de un ángulo inscrito. Este es todo un grupo de tareas, están incluidas en el Examen Estatal Unificado. La mayoría de ellos se pueden solucionar de forma muy sencilla, en una sola acción.
Hay problemas más difíciles, pero no te presentarán mucha dificultad; necesitas conocer las propiedades de un ángulo inscrito; Poco a poco iremos analizando todos los prototipos de tareas, ¡te invito al blog!
Ahora la teoría necesaria. Recordemos qué es un ángulo central e inscrito, una cuerda, un arco, sobre el que descansan estos ángulos:
El ángulo central de una circunferencia es un ángulo plano convértice en su centro.
La parte de un círculo ubicada dentro de un ángulo plano.llamado arco de circunferencia.
La medida en grados de un arco de círculo se llama medida en grados.el ángulo central correspondiente.
Se dice que un ángulo está inscrito en una circunferencia si el vértice del ángulo se encuentraen un círculo, y los lados del ángulo cortan este círculo.
Un segmento que une dos puntos de una circunferencia se llamaacorde. La cuerda más grande pasa por el centro del círculo y se llamadiámetro.
Para resolver problemas que involucran ángulos inscritos en un círculo,necesitas conocer las siguientes propiedades:
1. El ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central, basado en el mismo arco.
2. Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son iguales.
3. Todos los ángulos inscritos que se basan en la misma cuerda y cuyos vértices se encuentran en el mismo lado de esta cuerda son iguales.
4. Cualquier par de ángulos basados en la misma cuerda, cuyos vértices se encuentran en lados opuestos de la cuerda, suman 180°.
Corolario: los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia suman 180 grados.
5. Todos los ángulos inscritos subtendidos por un diámetro son ángulos rectos.
En general, esta propiedad es consecuencia de la propiedad (1); este es su caso especial. Mirar - ángulo central es igual a 180 grados (y este ángulo desplegado no es más que un diámetro), lo que significa, según la primera propiedad, el ángulo inscrito C es igual a su mitad, es decir, 90 grados.
Conocer esta propiedad ayuda a resolver muchos problemas y, a menudo, permite evitar cálculos innecesarios. Habiéndolo dominado bien podrás resolver más de la mitad de los problemas de este tipo de forma oral. Dos conclusiones que se pueden sacar:
Corolario 1: si un triángulo está inscrito en un círculo y uno de sus lados coincide con el diámetro de este círculo, entonces el triángulo es rectángulo (vértice ángulo recto se encuentra en el círculo).
Corolario 2: el centro de lo descrito sobre triangulo rectángulo el círculo coincide con la mitad de su hipotenusa.
Muchos prototipos de problemas estereométricos también se resuelven utilizando esta propiedad y estas consecuencias. Recuerde el hecho en sí: si el diámetro de un círculo es el lado de un triángulo inscrito, entonces este triángulo es rectángulo (el ángulo opuesto al diámetro es de 90 grados). Todas las demás conclusiones y consecuencias las puedes sacar tú mismo; no es necesario que las enseñes.
Como regla general, la mitad de los problemas sobre un ángulo inscrito se dan con un boceto, pero sin símbolos. Para comprender el proceso de razonamiento al resolver problemas (a continuación en el artículo), se introducen notaciones para vértices (ángulos). No es necesario hacer esto en el Examen Estatal Unificado.Consideremos las tareas:
¿Cuál es el valor de un ángulo inscrito agudo subtendido por una cuerda igual al radio del círculo? Da tu respuesta en grados.
Construyamos un ángulo central para un ángulo inscrito dado y designemos los vértices:
Según la propiedad de un ángulo inscrito en una circunferencia:
El ángulo AOB es igual a 60 0, ya que el triángulo AOB es equilátero, y en triangulo equilatero todos los ángulos son iguales a 60 0. Los lados del triángulo son iguales, ya que la condición dice que la cuerda es igual al radio.
Por tanto, el ángulo inscrito ACB es igual a 30 0.
Respuesta: 30
Encuentre la cuerda sostenida por un ángulo de 30 0 inscrito en una circunferencia de radio 3.
Este es esencialmente el problema inverso (del anterior). Construyamos el ángulo central.
Es dos veces más grande que el inscrito, es decir, el ángulo AOB es igual a 60 0. De esto podemos concluir que el triángulo AOB es equilátero. Por tanto, la cuerda es igual al radio, es decir, tres.
Respuesta: 3
El radio del círculo es 1. Encuentra la magnitud del ángulo obtuso inscrito subtendido por la cuerda igual a la raíz de dos. Da tu respuesta en grados.
Construyamos el ángulo central:
Conociendo el radio y la cuerda, podemos encontrar el ángulo central ASV. Esto se puede hacer usando el teorema del coseno. Conociendo el ángulo central, podemos encontrar fácilmente el ángulo inscrito ACB.
Teorema del coseno: cuadrar cualquier lado del triangulo igual a la suma cuadrados de los otros dos lados, sin duplicar el producto de estos lados por el coseno del ángulo entre ellos.
Por lo tanto, el segundo ángulo central es 360 0. – 90 0 = 270 0 .
El ángulo ACB, por la propiedad de un ángulo inscrito, es igual a la mitad del mismo, es decir, 135 grados.
Respuesta: 135
Encuentre la cuerda subtendida por un ángulo de 120 grados inscrito en un círculo de radio raíz de tres.
Conectemos los puntos A y B con el centro del círculo. Denotémoslo como O:
Conocemos el radio y el ángulo inscrito ASV. Podemos encontrar el ángulo central AOB (mayor de 180 grados), luego encontrar el ángulo AOB en el triángulo AOB. Y luego, usando el teorema del coseno, calcula AB.
Según la propiedad de un ángulo inscrito, el ángulo central AOB (que es mayor que 180 grados) será igual al doble del ángulo inscrito, es decir, 240 grados. Esto significa que el ángulo AOB en el triángulo AOB es igual a 360 0 – 240 0 = 120 0.
Según el teorema del coseno:
Respuesta:3
Encuentra el ángulo inscrito subtendido por un arco que es el 20% del círculo. Da tu respuesta en grados.
Según la propiedad del ángulo inscrito, tiene la mitad del tamaño del ángulo central basado en el mismo arco, en en este caso Estamos hablando del arco AB.
Se dice que el arco AB mide el 20 por ciento de la circunferencia. Esto significa que el ángulo central AOB también es el 20 por ciento de 360 0.*Un círculo es un ángulo de 360 grados. Medio,
Por tanto, el ángulo inscrito ACB es de 36 grados.
Respuesta: 36
Arco de círculo C.A., que no contiene un punto B, es de 200 grados. Y el arco de círculo BC, que no contiene un punto. A, es de 80 grados. Encuentra el ángulo inscrito ACB. Da tu respuesta en grados.
Para mayor claridad, designemos los arcos cuyas medidas angulares se dan. Arco correspondiente a 200 grados – azul, el arco correspondiente a 80 grados es rojo, la parte restante del círculo es amarillo.
Así, la medida en grados del arco AB (amarillo), y por tanto del ángulo central AOB es: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .
El ángulo inscrito ACB tiene la mitad del tamaño del ángulo central AOB, es decir, igual a 40 grados.
Respuesta: 40
¿Cuál es el ángulo inscrito subtendido por el diámetro del círculo? Da tu respuesta en grados.
Es necesario conocer la propiedad de un ángulo inscrito; comprenda cuándo y cómo utilizar el teorema del coseno, aprenda más sobre él.
¡Eso es todo! ¡Buena suerte para ti!
Atentamente, Alexander Krutitskikh
Profesora de matemáticas en la escuela de tercer grado:
- Niños, díganme, ¿cuánto es 6*6?
Los niños responden al unísono:
- ¡Setenta y seis!
- ¡Pues qué estáis diciendo, niños! Seis por seis serán treinta y seis… bueno, quizás otros 37, 38, 39… bueno, máximo 40… ¡pero setenta y seis no!
P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.
El ángulo ABC es un ángulo inscrito. Se apoya sobre el arco AC, encerrado entre sus lados (Fig. 330).
Teorema. Un ángulo inscrito se mide por la mitad del arco en el que se subtiende.
Esto debe entenderse de esta manera: un ángulo inscrito contiene tantos grados, minutos y segundos angulares como grados, minutos y segundos de arco contenidos en la mitad del arco sobre la que descansa.
Al demostrar este teorema se deben considerar tres casos.
Primer caso. El centro del círculo se encuentra en el lado del ángulo inscrito (Fig. 331).
Sea ∠ABC un ángulo inscrito y el centro del círculo O se encuentra en el lado BC. Se requiere demostrar que se mide mediante medio arco AC.
Conecte el punto A al centro del círculo. Obtenemos un \(\Delta\)AOB isósceles, en el que AO = OB, como los radios del mismo círculo. Por lo tanto, ∠A = ∠B.
∠AOC es externo al triángulo AOB, entonces ∠AOC = ∠A + ∠B, y como los ángulos A y B son iguales, entonces ∠B es 1/2 ∠AOC.
Pero ∠AOC se mide por el arco AC, por lo tanto ∠B se mide por la mitad del arco AC.
Por ejemplo, si \(\breve(AC)\) contiene 60°18', entonces ∠B contiene 30°9'.
Segundo caso. El centro del círculo se encuentra entre los lados del ángulo inscrito (Fig. 332).
Sea ∠ABD un ángulo inscrito. El centro del círculo O se encuentra entre sus lados. Necesitamos demostrar que ∠ABD se mide por la mitad del arco AD.
Para demostrar esto, dibujemos el diámetro BC. El ángulo ABD se divide en dos ángulos: ∠1 y ∠2.
∠1 se mide por medio arco AC, y ∠2 se mide por medio arco CD, por lo tanto, el ∠ABD completo se mide por 1 / 2 \(\breve(AC)\) + 1 / 2 \(\breve (CD)\), es decir, medio arco AD.
Por ejemplo, si \(\breve(AD)\) contiene 124°, entonces ∠B contiene 62°.
Tercer caso. El centro del círculo se encuentra fuera del ángulo inscrito (Fig. 333).
Sea ∠MAD un ángulo inscrito. El centro del círculo O está fuera de la esquina. Necesitamos demostrar que ∠MAD se mide por la mitad del arco MD.
Para demostrar esto, dibujemos el diámetro AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Pero ∠MAB mide 1/2 \(\breve(MB)\), y ∠DAB mide 1/2 \(\breve(DB)\).
Por lo tanto, ∠MAD mide 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), es decir, 1 / 2 \(\breve(MD)\).
Por ejemplo, si \(\breve(MD)\) contiene 48° 38", entonces ∠MAD contiene 24° 19' 8".
Consecuencias
1.
Todos los ángulos inscritos que subtienden al mismo arco son iguales entre sí, ya que se miden por la mitad del mismo arco.
(Figura 334, a).
2. Un ángulo inscrito subtendido por un diámetro es un ángulo recto, ya que subtiende medio círculo. Medio círculo contiene 180 grados de arco, lo que significa que el ángulo basado en el diámetro contiene 90 grados de arco (Fig. 334, b).
Muy a menudo, el proceso de preparación para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas comienza con una repetición de definiciones, fórmulas y teoremas básicos, incluido el tema "Ángulos centrales e inscritos en un círculo". Como regla general, esta sección de la planimetría se estudia en escuela secundaria. No es de extrañar que muchos estudiantes se enfrenten a la necesidad de repetir conceptos basicos y teoremas sobre el tema "Ángulo central de un círculo". Habiendo comprendido el algoritmo para resolver tales problemas, los escolares pueden contar con recibir puntuaciones competitivas basadas en los resultados de aprobar el examen estatal unificado.
¿Cómo prepararse de forma fácil y eficaz para aprobar el examen de certificación?
Al estudiar antes de aprobar el examen estatal unificado, muchos estudiantes de secundaria se enfrentan al problema de encontrar la información necesaria sobre el tema "Ángulos centrales e inscritos en un círculo". No siempre se tiene a mano un libro de texto escolar. Y buscar fórmulas en Internet a veces lleva mucho tiempo.
Nuestro equipo le ayudará a "mejorar" sus habilidades y mejorar sus conocimientos en una sección tan difícil de la geometría como la planimetría. portal educativo. "Shkolkovo" ofrece a los estudiantes de secundaria y a sus profesores una nueva forma de desarrollar el proceso de preparación para el examen estatal unificado. Todo el material básico es presentado por nuestros especialistas en la forma más accesible. Después de leer la información de la sección “Antecedentes teóricos”, los estudiantes aprenderán qué propiedades tiene el ángulo central de un círculo, cómo encontrar su valor, etc.
Luego, para consolidar los conocimientos adquiridos y practicar las habilidades, recomendamos realizar los ejercicios adecuados. Gran selección Las tareas para encontrar el valor de un ángulo inscrito en un círculo y otros parámetros se presentan en la sección "Catálogo". Para cada ejercicio, nuestros expertos escribieron una solución detallada e indicaron la respuesta correcta. La lista de tareas en el sitio se complementa y actualiza constantemente.
Los estudiantes de secundaria pueden prepararse para el Examen Estatal Unificado practicando ejercicios, por ejemplo, encontrar la magnitud de un ángulo central y la longitud de un arco de círculo, en línea, desde cualquier región de Rusia.
Si es necesario, la tarea completada se puede guardar en la sección "Favoritos" para volver a ella más tarde y analizar una vez más el principio de su solución.
ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro de la circunferencia.
ángulo inscrito- un ángulo cuyo vértice se encuentra en un círculo y cuyos lados lo cortan.
La figura muestra los ángulos centrales e inscritos, así como sus propiedades más importantes.
Entonces, la magnitud del ángulo central es igual a la magnitud angular del arco sobre el que descansa. Esto significa que un ángulo central de 90 grados descansará sobre un arco igual a 90°, es decir, un círculo. El ángulo central, igual a 60°, descansa sobre un arco de 60 grados, es decir, sobre la sexta parte del círculo.
La magnitud del ángulo inscrito es dos veces menor que el ángulo central basado en el mismo arco..
Además, para resolver problemas necesitaremos el concepto de “acorde”.
Ángulos centrales iguales subtienden cuerdas iguales.
1. ¿Cuál es el ángulo inscrito subtendido por el diámetro del círculo? Da tu respuesta en grados.
Un ángulo inscrito subtendido por un diámetro es un ángulo recto.
2. El ángulo central es 36° mayor que el ángulo agudo inscrito subtendido por el mismo arco circular. Encuentra el ángulo inscrito. Da tu respuesta en grados.
Sea el ángulo central igual a x y el ángulo inscrito subtendido por el mismo arco sea igual a y.
Sabemos que x = 2y.
Por tanto 2y = 36 + y,
y = 36.
3. El radio del círculo es igual a 1. Calcula el valor del ángulo obtuso inscrito subtendido por la cuerda, igual a . Da tu respuesta en grados.
Sea la cuerda AB igual a . El ángulo obtuso inscrito subtendido por esta cuerda se denotará por α.
En el triángulo AOB, los lados AO y OB son iguales a 1, el lado AB es igual a . Ya nos hemos encontrado con triángulos de este tipo. Obviamente, el triángulo AOB es rectangular e isósceles, es decir, el ángulo AOB mide 90°.
Entonces el arco ACB es igual a 90° y el arco AKB es igual a 360° - 90° = 270°.
El ángulo inscrito α descansa sobre el arco AKB y es igual a la mitad del valor angular de este arco, es decir, 135°.
Respuesta: 135.
4. La cuerda AB divide el círculo en dos partes, cuyos valores de grados están en la proporción 5:7. ¿En qué ángulo es visible esta cuerda desde el punto C, que pertenece al arco más pequeño del círculo? Da tu respuesta en grados.
Lo principal en esta tarea es el correcto dibujo y comprensión de las condiciones. ¿Cómo entiendes la pregunta: "¿En qué ángulo es visible la cuerda desde el punto C?"
Imagina que estás sentado en el punto C y necesitas ver todo lo que sucede en el acorde AB. Es como si el acorde AB fuera una pantalla de cine :-)
Obviamente, necesitas encontrar el ángulo ACB.
La suma de los dos arcos en que la cuerda AB divide la circunferencia es igual a 360°, es decir
5x + 7x = 360°
Por tanto x = 30°, y entonces el ángulo inscrito ACB descansa sobre un arco igual a 210°.
La magnitud del ángulo inscrito es igual a la mitad de la magnitud angular del arco sobre el que descansa, lo que significa que el ángulo ACB es igual a 105°.
Instrucciones
Si se conoce el radio (R) del círculo y la longitud del arco (L) correspondiente al ángulo central deseado (θ), se puede calcular tanto en grados como en radianes. El total se determina mediante la fórmula 2*π*R y corresponde a un ángulo central de 360° o dos números Pi, si se utilizan radianes en lugar de grados. Por lo tanto, partimos de la proporción 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. Exprese a partir de él el ángulo central en radianes θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R o grados θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π * R) y calcular utilizando la fórmula resultante.
A partir de la longitud de la cuerda (m) que conecta los puntos que determinan el ángulo central (θ), también se puede calcular su valor si se conoce el radio (R) del círculo. Para ello, consideremos un triángulo formado por dos radios y . Este es un triángulo isósceles, todo el mundo lo sabe, pero hay que encontrar el ángulo opuesto a la base. Seno de su mitad igual a la proporción la longitud de la base (la cuerda) al doble de la longitud del lado (el radio). Por lo tanto, utilice la función seno inversa para los cálculos: arcoseno: θ = 2*arcoseno(½*m/R).
El ángulo central se puede especificar en fracciones de revolución o desde un ángulo girado. Por ejemplo, si necesitas encontrar el ángulo central correspondiente a un cuarto de revolución completa, divide 360° entre cuatro: θ = 360°/4 = 90°. El mismo valor en radianes debería ser 2*π/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57. El ángulo desplegado es igual a media revolución completa, por lo tanto, por ejemplo, el ángulo central correspondiente a un cuarto del mismo será la mitad de los valores calculados anteriormente tanto en grados como en radianes.
La inversa del seno se llama función trigonométrica. arcoseno. Puede tomar valores dentro de la mitad del número Pi, tanto positivos como negativos. lado negativo cuando se mide en radianes. Cuando se miden en grados, estos valores estarán respectivamente en el rango de -90° a +90°.
Instrucciones
No es necesario calcular algunos valores "redondos"; Por ejemplo: - si el argumento de la función es cero, entonces el arcoseno de la misma también es cero; - de 1/2 es igual a 30° o 1/6 Pi, si se mide - el arcoseno de -1/2 es -30°; o -1/ 6 del número Pi en - el arcoseno de 1 es igual a 90° o 1/2 del número Pi en radianes - el arcoseno de -1 es igual a -90° o -1/2 de; el número Pi en radianes;
Para medir los valores de esta función a partir de otros argumentos, la forma más sencilla es utilizar una calculadora estándar de Windows, si tiene una a mano. Para comenzar, abra el menú principal con el botón "Inicio" (o presionando la tecla WIN), vaya a la sección "Todos los programas", luego a la subsección "Accesorios" y haga clic en "Calculadora".
Cambie la interfaz de la calculadora al modo operativo que le permite calcular funciones trigonométricas. Para ello, abra la sección “Ver” en su menú y seleccione “Ingeniería” o “Científico” (según el sistema operativo utilizado).
Introduzca el valor del argumento a partir del cual se debe calcular el arcotangente. Esto se puede hacer haciendo clic en los botones de la interfaz de la calculadora con el mouse, presionando las teclas o copiando el valor (CTRL + C) y luego pegándolo (CTRL + V) en el campo de entrada de la calculadora.
Seleccione las unidades de medida en las que necesita obtener el resultado del cálculo de la función. Debajo del campo de entrada hay tres opciones, entre las cuales debe seleccionar (haciendo clic con el mouse) una: radianes o rads.
Marque la casilla que invierte las funciones indicadas en los botones de la interfaz de la calculadora. Al lado hay una breve inscripción Inv.
Haga clic en el botón pecado. La calculadora invertirá la función asociada a ella, realizará el cálculo y le presentará el resultado en las unidades especificadas.
Vídeo sobre el tema.
Uno de los problemas geométricos comunes es calcular el área de un segmento circular: la parte del círculo delimitada por una cuerda y la cuerda correspondiente por un arco de círculo.
El área de un segmento circular es igual a la diferencia entre el área del sector circular correspondiente y el área del triángulo formado por los radios del sector correspondiente al segmento y la cuerda que limita el segmento.
Ejemplo 1
La longitud de la cuerda que subtiende el círculo es igual al valor a. medida de grado el arco correspondiente a la cuerda es de 60°. Encuentra el área del segmento circular.
Solución
Un triángulo formado por dos radios y una cuerda es isósceles, por lo que la altura trazada desde el vértice del ángulo central hasta el lado del triángulo formado por la cuerda será también la bisectriz del ángulo central, dividiéndolo por la mitad, y la mediana, dividiendo la cuerda por la mitad. Sabiendo que el seno del ángulo es igual a la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, podemos calcular el radio:
Seno 30°= a/2:R = 1/2;
Sc = πR²/360°*60° = πa²/6
El área del triángulo correspondiente al sector se calcula de la siguiente manera:
S▲=1/2*ah, donde h es la altura trazada desde el vértice del ángulo central hasta la cuerda. Según el teorema de Pitágoras h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.
En consecuencia, S▲=√3/4*a².
El área del segmento, calculada como Sreg = Sc - S▲, es igual a:
Sreg = πa²/6 - √3/4*a²
Al sustituir el valor de a por un valor numérico, puede calcular fácilmente el valor numérico del área del segmento.
Ejemplo 2
El radio del círculo es igual a a. La medida en grados del arco correspondiente al segmento es 60°. Encuentra el área del segmento circular.
Solución:
Área del sector correspondiente ángulo dado se puede calcular usando la siguiente fórmula: