Noskin Andrey Nikolaevich,
profesor de TI
categoría de calificación más alta,
Candidato de Ciencias Militares, Profesor Asociado
Liceo GBOU No. 1575, Moscú
Método de mapeo optimizado para resolver el problema 23 del Examen Estatal Unificado KIM en informática y TIC
Una de las tareas más difíciles del Examen Estatal Unificado KIM es el problema 23, en el que es necesario encontrar el número de conjuntos diferentes de valores de variables lógicas que satisfacen la condición especificada.
Esta tarea es quizás la más difícil del Examen Estatal Unificado KIM en informática y TIC. Como regla general, no más del 5% de los examinados lo afrontan (1).
Un porcentaje tan pequeño de estudiantes que completaron esta tarea se explica por lo siguiente:
- los estudiantes pueden confundir (olvidar) los signos de las operaciones lógicas;
- errores matemáticos en el proceso de realización de cálculos;
- errores de razonamiento al buscar una solución;
- errores en el proceso de simplificación de expresiones lógicas;
- Los profesores recomiendan resolver este problema después de completar todo el trabajo, ya que la probabilidad de
los errores son muy grandes y el “peso” de la tarea es sólo un punto principal.
Además, algunos profesores tienen dificultades para resolver este tipo de problemas y por ello intentan resolver problemas más sencillos con los niños.
Lo que también complica la situación es que en este bloque hay un gran número de varias tareas y es imposible elegir una solución modelo.
Para corregir esta situación, la comunidad docente está ultimando los dos principales métodos de resolución de problemas. de este tipo: solución utilizando cadenas de bits (2) y método de mapeo (3).
La necesidad de refinar (optimizar) estos métodos se debe al hecho de que las tareas cambian constantemente tanto en estructura como en el número de variables (solo un tipo de variables X, dos tipos de variables X e Y, tres tipos: X, Y , Z).
La dificultad para dominar estos métodos de resolución de problemas se confirma por el hecho de que en el sitio web de K.Yu. Polyakov existen 38 análisis de este tipo de problemas (4). Algunos análisis proporcionan más de un tipo de solución a un problema.
Últimamente en el examen estatal unificado KIM en informática hay problemas con dos tipos de variables X e Y.
He optimizado el método de visualización y animo a mis alumnos a utilizar el método mejorado.
Esto da resultados. El porcentaje de mis alumnos que afrontan esta tarea varía hasta el 43% de los que aprueban. Como regla general, cada año entre 25 y 33 personas de todos los grados 11 toman el examen estatal unificado de informática.
Antes de la llegada de tareas con dos tipos. método variable Los estudiantes utilizaron asignaciones con mucho éxito, pero después de la aparición de Y en la expresión lógica, comencé a notar que las respuestas de los niños ya no coincidían con las pruebas. Resultó que no tenían muy claro cómo crear una tabla de asignaciones con un nuevo tipo de variable. Entonces se me ocurrió que, por conveniencia, la expresión completa debería reducirse a un tipo de variable, como les conviene a los niños.
Daré esta técnica con más detalle. Por conveniencia, lo consideraré usando el ejemplo del sistema de expresiones lógicas dado en (4).
¿Cuántas soluciones diferentes tiene el sistema? ecuaciones lógicas
(x1 ^ y 1)=(¬x 2 V ¬
y 2
)
(x2 ^ y 2)= (¬
X 3
V ¬
y 3
)
...
(x5 ^ y 5)
= (¬
X 6
V ¬
y 6
)
Solución:
1. Del análisis del sistema de ecuaciones lógicas vemos que existen 6 variables X y 6 variables Ud.. Como cualquiera de estas variables puede tomar solo dos valores (0 y 1), reemplazamos estas variables con 12 variables del mismo tipo, por ejemplo Z.
2. Ahora reescribamos el sistema con nuevas variables del mismo tipo. La dificultad de la tarea será tomar notas cuidadosas al reemplazar variables.
(z 1 ^ z 2)=
(¬z 3V¬
z 4
)
(z 3 ^ 4)=
(¬
z 5
V¬
z 6
)
...
(z 9 ^ z 10)
=
(¬
z 11
V¬
z 12)
3. Construyamos una tabla en la que repasaremos todas las opciones. z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , dado que hay cuatro variables en la primera ecuación lógica, la tabla tendrá 16 filas (16=2 4); eliminar dichos valores de la tabla z 4 , para el cual la primera ecuación no tiene solución (números tachados).
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | |||
| 1 | 0 | ||
| 1 | |||
| 1 | 0 | 0 | |
| 1 | |||
| 1 | 0 | ||
| 1 | |||
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | |||
| 1 | 0 | ||
| 1 | |||
| 1 | 0 | 0 | |
| 1 | |||
| 1 | 0 | ||
| 1 |
4. Al analizar la tabla, creamos una regla para mostrar pares de variables (por ejemplo, un par z 1 z 2 =00 corresponde par z 3 z 4 = 11) .
5. Complete la tabla calculando el número de pares de variables para los cuales el sistema tiene solución. 
6. Suma todos los resultados: 9 + 9 + 9 + 27 = 54
7. Respuesta: 54.
La metodología optimizada anterior para resolver el problema 23 del Examen Estatal Unificado KIM permitió a los estudiantes recuperar la confianza y resolver con éxito este tipo de problemas.
Literatura:
1.FIPI. Pautas para profesores, elaborado a partir del análisis errores típicos participantes del Examen Estatal Unificado 2015 en CIENCIAS DE LA INFORMACIÓN y TIC. Modo de acceso: http://www.fipi.ru/sites/default/files/document/1442163533/informatika_i_ikt.pdf
2. K.Yu. Poliakov, M.A. Roitberg.Sistemas de ecuaciones lógicas: solución mediante cadenas de bits. Revista de Informática, No. 12, 2014, pág. 4-12. Editorial"Primero de septiembre", Moscú.3. E.A. Mironchik, Método de visualización. Revista Informática, N° 10, 2013, pág. 18-26. Editorial "Primero de Septiembre", Moscú.
Resolver sistemas de ecuaciones lógicas cambiando variables.
El método de sustitución de variables se utiliza si algunas variables se incluyen en las ecuaciones solo en forma de una expresión específica y nada más. Entonces esta expresión se puede denotar mediante una nueva variable.
Ejemplo 1.
¿Cuántos conjuntos diferentes de valores de las variables lógicas x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 existen que satisfacen todas las condiciones que se enumeran a continuación?
(x1 → x2) → (x3→ x4) = 1
(x3 → x4) → (x5 → x6) = 1
(x5 → x6) → (x7 → x8) = 1
No es necesario que la respuesta enumere todos los diferentes conjuntos de valores de las variables x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 para los que se satisface este sistema de igualdad. Como respuesta, debe indicar el número de dichos conjuntos.
Solución:
(x1 → x2) = y1; (x3 → x4) = y2; (x5 → x6) = y3; (x7 → x8) = y4.
Entonces podemos escribir el sistema en forma de una sola ecuación:
(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) = 1. La conjunción es 1 (verdadera) cuando cada operando toma el valor 1. Es decir cada una de las implicaciones debe ser cierta, y esto es válido para todos los valores excepto (1 → 0). Aquellos. en la tabla de valores de las variables y1, y2, y3, y4 uno no debe estar a la izquierda de cero:
Aquellos. las condiciones se cumplen para 5 conjuntos y1-y4.
Porque y1 = x1 → x2, entonces el valor y1 = 0 se logra en un único conjunto x1, x2: (1, 0), y el valor y1 = 1 – en tres conjuntos x1, x2: (0,0), (0 ,1), (1.1). Lo mismo ocurre con y2, y3, y4.
Dado que cada conjunto (x1,x2) de la variable y1 se combina con cada conjunto (x3,x4) de la variable y2, etc., los números de conjuntos de las variables x se multiplican:
|
Número de conjuntos por x1…x8 |
||||
Sumemos el número de conjuntos: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121.
Respuesta: 121
Ejemplo 2.
¿Cuántos conjuntos diferentes de valores de las variables lógicas x1, x2,... x9, y1, y2,... y9 hay que satisfacen todas las condiciones que se enumeran a continuación?
(¬ (x1 ≡ y1)) ≡ (x2 ≡ y2)
(¬ (x2 ≡ y2)) ≡ (x3 ≡ y3)
(¬ (x8 ≡ y8)) ≡ (x9 ≡ y9)
En respuesta No hay necesidad enumerar todos los diferentes conjuntos de valores de las variables x1, x2, ... x9, y1, y2, ... y9 para los cuales este sistema es igual Como respuesta, debe indicar el número de dichos conjuntos.
Solución:
Hagamos un cambio de variables:
(x1 ≡ y1) = z1, (x2 ≡ y2) = z2,…. ,(x9 ≡ y9) = z9
El sistema se puede escribir como una sola ecuación:
(¬ z1 ≡ z2) ∧ (¬ z2 ≡ z3) ∧ …..∧ (¬ z8 ≡ z9)
La equivalencia es verdadera sólo si ambos operandos son iguales. Hay dos conjuntos de soluciones para esta ecuación:
| z1 | z2 | z3 | z4 | z5 | z6 | z7 | z8 | z9 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Porque zi = (xi ≡ yi), entonces el valor zi = 0 corresponde a dos conjuntos (xi,yi): (0,1) y (1,0), y el valor zi = 1 corresponde a dos conjuntos (xi,yi ): (0,0) y (1,1).
Entonces el primer conjunto z1, z2,…, z9 corresponde a 2 9 conjuntos (x1,y1), (x2,y2),…, (x9,y9).
El mismo número corresponde al segundo conjunto z1, z2,…, z9. Entonces hay 2 9 +2 9 = 1024 conjuntos en total.
Respuesta: 1024
Resolver sistemas de ecuaciones lógicas determinando visualmente la recursividad.
Este método se utiliza si el sistema de ecuaciones es bastante simple y el orden de aumento del número de conjuntos al sumar variables es obvio.
Ejemplo 3.
¿Cuántas soluciones diferentes tiene el sistema de ecuaciones?
¬x9 ∨ x10 = 1,
¿Dónde x1, x2,… x10 son variables lógicas?
No es necesario que la respuesta enumere todos los diferentes conjuntos de valores x1, x2,... x10 para los que se satisface este sistema de igualdades. Como respuesta, debe indicar el número de dichos conjuntos.
Solución:
Resolvamos la primera ecuación. Una disyunción es igual a 1 si al menos uno de sus operandos es igual a 1. Es decir las soluciones son los conjuntos:
Para x1=0 existen dos valores de x2 (0 y 1), y para x1=1 solo existe un valor de x2 (1), de manera que el conjunto (x1,x2) es solución de la ecuación. Hay 3 juegos en total.
Sumemos la variable x3 y consideremos la segunda ecuación. Es similar al primero, lo que significa que para x2=0 existen dos valores de x3 (0 y 1), y para x2=1 solo existe un valor x3 (1), tal que el conjunto (x2 ,x3) es una solución de la ecuación. Hay 4 juegos en total.
Es fácil ver que al agregar otra variable, se agrega un conjunto. Aquellos. Fórmula recursiva para el número de conjuntos de (i+1) variables:
N i +1 = N i + 1. Luego, para diez variables obtenemos 11 conjuntos.
Respuesta: 11
Resolver sistemas de ecuaciones lógicas de varios tipos.
Ejemplo 4.
¿Cuántos conjuntos diferentes de valores de las variables lógicas x 1,..., x 4, y 1,..., y 4, z 1,..., z 4 hay que satisfacen todas las condiciones enumeradas a continuación? ?
(x 1 → x 2) ∧ (x 2 → x 3) ∧ (x 3 → x 4) = 1
(y 1 → y 2) ∧ (y 2 → y 3) ∧ (y 3 → y 4) = 1
(z 1 → z 2) ∧ (z 2 → z 3) ∧ (z 3 → z 4) = 1
x 4 ∧ y 4 ∧ z 4 = 0
En respuesta No hay necesidad enumere todos los diferentes conjuntos de valores de las variables x 1, ..., x 4, y 1, ..., y 4, z 1, ..., z 4 para los cuales se satisface el sistema de igualdades dado .
Como respuesta, debe indicar el número de dichos conjuntos.
Solución:
Tenga en cuenta que las tres ecuaciones del sistema son iguales en diferentes conjuntos independientes de variables.
Veamos la primera ecuación. Una conjunción es verdadera (igual a 1) sólo si todos sus operandos son verdaderos (igual a 1). La implicación es 1 en todas las tuplas excepto (1,0). Esto significa que la solución a la primera ecuación serán los siguientes conjuntos x1, x2, x3, x4, en los que 1 no está ubicado a la izquierda de 0 (5 conjuntos):
De manera similar, las soluciones de la segunda y tercera ecuaciones serán absolutamente los mismos conjuntos y1,…,y4 y z1,…, z4.
Ahora analicemos la cuarta ecuación del sistema: x 4 ∧ y 4 ∧ z 4 = 0. La solución serán todos los conjuntos x4, y4, z4 en los que al menos una de las variables sea igual a 0.
Aquellos. para x4 = 0, todos los conjuntos posibles (y4, z4) son adecuados, y para x4 = 1, son adecuados los conjuntos (y4, z4), en los que hay al menos un cero: (0, 0), (0,1 ), (1, 0).
|
Número de juegos |
||||
El número total de conjuntos es 25 + 4*9 = 25 + 36 = 61.
Respuesta: 61
Resolver sistemas de ecuaciones lógicas mediante la construcción de fórmulas recurrentes.
El método de construcción de fórmulas recurrentes se utiliza para resolver sistemas complejos en los que el orden de aumento del número de conjuntos no es obvio y construir un árbol es imposible debido a los volúmenes.
Ejemplo 5.
¿Cuántos conjuntos diferentes de valores de las variables lógicas x1, x2,... x7, y1, y2,... y7 hay que satisfacen todas las condiciones que se enumeran a continuación?
(x1 ∨ y1) ∧ ((x2 ∧ y2) → (x1 ∧ y1)) = 1
(x2 ∨ y2) ∧ ((x3 ∧ y3) → (x2 ∧ y2)) = 1
(x6 ∨ y6) ∧ ((x7 ∧ y7) → (x6 ∧ y6)) = 1
La respuesta no necesita enumerar todos los diferentes conjuntos de valores de las variables x1, x2,..., x7, y1, y2,..., y7 para los que se satisface este sistema de igualdad. Como respuesta, debe indicar el número de dichos conjuntos.
Solución:
Tenga en cuenta que las primeras seis ecuaciones del sistema son idénticas y difieren sólo en el conjunto de variables. Veamos la primera ecuación. Su solución serán los siguientes conjuntos de variables:
Denotemos:
número de tuplas (0,0) en las variables (x1,y1) hasta A 1,
número de tuplas (0,1) en las variables (x1,y1) hasta B 1,
número de tuplas (1,0) en las variables (x1,y1) hasta C 1,
el número de tuplas (1,1) en las variables (x1,y1) hasta D 1 .
número de tuplas (0,0) en variables (x2,y2) hasta A 2 ,
número de tuplas (0,1) en las variables (x2,y2) hasta B 2,
número de tuplas (1,0) en las variables (x2,y2) hasta C 2,
el número de tuplas (1,1) en las variables (x2,y2) hasta D 2 .
Del árbol de decisión vemos que
A 1 =0, B 1 =1, C 1 =1, D 1 =1.
Tenga en cuenta que el conjunto (0,0) de las variables (x2,y2) se obtiene de los conjuntos (0,1), (1,0) y (1,1) de las variables (x1,y1). Aquellos. A 2 =B 1 +C 1 +D 1.
El conjunto (0,1) de las variables (x2,y2) se obtiene a partir de los conjuntos (0,1), (1,0) y (1,1) de las variables (x1,y1). Aquellos. B 2 =B 1 +C 1 +D 1.
Argumentando de manera similar, observamos que C 2 =B 1 +C 1 +D 1. D2 = D1.
Así, obtenemos fórmulas recurrentes:
A yo+1 = B yo + C yo + D yo
B yo+1 = B yo + C yo + D yo
C i+1 = B i + C i + D i
D i+1 = A i +B i + C i + D i
hagamos una mesa
| Conjuntos | Designación. | Fórmula |
Número de juegos |
||||||
| yo=1 | yo=2 | yo=3 | yo=4 | yo=5 | yo=6 | yo=7 | |||
| (0,0) | yo | A i+1 =B i +C i +D i | 0 | 3 | 7 | 15 | 31 | 63 | 127 |
| (0,1) | B yo | B yo+1 =B yo +C yo +D yo | 1 | 3 | 7 | 15 | 31 | 63 | 127 |
| (1,0) | C yo | C i+1 =B i +C i +D i | 1 | 3 | 7 | 15 | 31 | 63 | 127 |
| (1,1) | yo | D yo+1 =D yo | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
La última ecuación (x7 ∨ y7) = 1 la satisfacen todos los conjuntos excepto aquellos en los que x7=0 e y7=0. En nuestra tabla, el número de estos conjuntos es A 7.
Entonces el número total de conjuntos es B 7 + C 7 + D 7 = 127+127+1 = 255
Respuesta: 255
Institución educativa presupuestaria municipal
"Promedio escuela comprensiva N° 18"
distrito urbano de la ciudad de Salavat de la República de Bashkortostán
Sistemas de ecuaciones lógicas.
en los problemas del examen estatal unificado en informática
Sección "Fundamentos del álgebra lógica" en Asignaciones del examen estatal unificado considerado uno de los más difíciles y peor resueltos. El porcentaje medio de tareas completadas sobre este tema es el más bajo y es del 43,2.
| Sección del curso | Porcentaje promedio de finalización por grupos de tareas |
| Codificar información y medir su cantidad. | |
| Modelado de información | |
| Sistemas numéricos | |
| Fundamentos del álgebra lógica | |
| Algoritmización y programación. | |
| Fundamentos de las tecnologías de la información y la comunicación. |
Basado en la especificación CMM 2018, este bloque incluye cuatro tareas niveles diferentes dificultades.
| № tareas | Verifiable elementos de contenido | Nivel de dificultad de la tarea |
| Capacidad para construir tablas de verdad y circuitos lógicos. | ||
| Posibilidad de buscar información en Internet. | ||
| Conocimiento de conceptos y leyes básicos. lógica matemática | ||
| Capacidad para construir y transformar expresiones lógicas. |
La tarea 23 tiene un nivel de dificultad alto, por lo que tiene el porcentaje de finalización más bajo. Entre los graduados preparados (81-100 puntos), el 49,8% completó la tarea, los moderadamente preparados (61-80 puntos) completaron el 13,7%, el grupo restante de estudiantes no completó esta tarea.
El éxito en la resolución de un sistema de ecuaciones lógicas depende del conocimiento de las leyes de la lógica y de la aplicación precisa de los métodos para resolver el sistema.
Consideremos resolver un sistema de ecuaciones lógicas usando el método de mapeo.
(23.154 Polyakov K.Yu.) ¿Cuántas soluciones diferentes tiene el sistema de ecuaciones?
((X1 y1 ) (X2 y2 )) (X1 X2 ) (y1 y2 ) =1
((X2 y2 ) (X3 y3 )) (X2 X3 ) (y2 y3 ) =1
((X7 y7 ) (X8 y8 )) (X7 X8 ) (y7 y8 ) =1
Dónde X1 , X2 ,…, X8, en1 ,y2 ,…,y8 - ¿variables lógicas? No es necesario que la respuesta enumere todos los diferentes conjuntos de valores de variables para los que se cumple esta igualdad. Como respuesta, debe indicar el número de dichos conjuntos.
Solución. Todas las ecuaciones incluidas en el sistema son del mismo tipo y cada ecuación incluye cuatro variables. Conociendo x1 e y1, podemos encontrar todos los valores posibles de x2 e y2 que satisfagan la primera ecuación. Razonando de manera similar, a partir de los x2 e y2 conocidos podemos encontrar x3, y3 que satisface la segunda ecuación. Es decir, conociendo el par (x1, y1) y determinando el valor del par (x2, y2), encontraremos el par (x3, y3), que, a su vez, conducirá al par (x4, y4). etcétera.
Encontremos todas las soluciones a la primera ecuación. Esto se puede hacer de dos maneras: construir una tabla de verdad, mediante el razonamiento y la aplicación de las leyes de la lógica.
Mesa de la verdad:
| x1 y 1 | x2 y 2 | (x1 y 1) (x2 y2) | (x1 x2) | (y 1 y2) | (x1 x2) (y 1 y2) | |||||
Construir una tabla de verdad requiere mucho trabajo y tiempo, por lo que utilizamos el segundo método: el razonamiento lógico. El producto es igual a 1 si y sólo si cada factor es igual a 1.
(X1 y1 ) (X2 y2 ))=1
(X1 X2 ) =1
(y1 y2 ) =1
Veamos la primera ecuación. La consecuencia es igual a 1 cuando 0 0, 0 1, 1 1, lo que significa (x1 y1)=0 para (01), (10), entonces el par (X2 y2 ) puede ser cualquiera (00), (01), (10), (11), y cuando (x1 y1) = 1, es decir (00) y (11) el par (x2 y2) = 1 toma el mismos valores (00) y (11). Excluyamos de esta solución aquellos pares para los cuales la segunda y tercera ecuaciones son falsas, es decir, x1=1, x2=0, y1=1, y2=0.
| (X1 , y1 ) | (X2 , y2 ) |
Número total de pares 1+1+1+22= 25
2) (23.160 Polyakov K.Yu.) ¿Cuántas soluciones diferentes tiene el sistema de ecuaciones lógicas?
(X 1 (X 2 y 2 )) (y 1 y 2 ) = 1
(X 2 (X 3 y 3 )) (y 2 y 3 ) = 1
...
( X 6 ( X 7 y 7 )) ( y 6 y 7 ) = 1
X 7 y 7 = 1
Solución. 1) Las ecuaciones son del mismo tipo, por lo que usando el razonamiento encontraremos todos los pares posibles (x1,y1), (x2,y2) de la primera ecuación.
(X1 (X2 y2 ))=1
(y1 y2 ) = 1
La solución a la segunda ecuación son los pares (00), (01), (11).
Encontremos soluciones a la primera ecuación. Si x1=0, entonces x2, y2 - cualquiera, si x1=1, entonces x2, y2 toma el valor (11).
Hagamos conexiones entre los pares (x1, y1) y (x2, y2).
| (X1 , y1 ) | (X2 , y2 ) |
Creemos una tabla para calcular el número de pares en cada etapa.
| 0 |
|||||||
Teniendo en cuenta las soluciones de la última ecuación. X 7 y 7 = 1, excluyamos el par (10). Encontramos numero total soluciones 1+7+0+34=42
3)(23.180) ¿Cuántas soluciones diferentes tiene un sistema de ecuaciones lógicas?
(X1 X2 ) (X3 X4 ) = 1
(X3 X4 ) (X5 X6 ) = 1
(X5 X6 ) (X7 X8 ) = 1
(X7 X8 ) (X9 X10 ) = 1
X1 X3 X5 X7 X9 = 1
Solución. 1) Las ecuaciones son del mismo tipo, por lo que usando el razonamiento encontraremos todos los pares posibles (x1,x2), (x3,x4) de la primera ecuación.
(X1 X2 ) (X3 X4 ) = 1
Excluimos de la solución los pares que en la secuencia dan 0 (1 0), estos son los pares (01, 00, 11) y (10).
Hagamos conexiones entre pares (x1,x2), (x3,x4)
Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lógicas.
Puedes resolver un sistema de ecuaciones lógicas, por ejemplo, usando una tabla de verdad (si el número de variables no es demasiado grande) o usando un árbol de decisión, habiendo simplificado primero cada ecuación.
1. Método de reemplazo de variables.
La introducción de nuevas variables permite simplificar el sistema de ecuaciones, reduciendo el número de incógnitas.Las nuevas variables deben ser independientes entre sí.. Luego de resolver el sistema simplificado, debemos volver a las variables originales.
Consideremos la aplicación de este método usando un ejemplo específico.
Ejemplo.
((X1 ≡ X2) ∧ (X3 ≡ X4)) ∨ (¬(X1 ≡ X2) ∧ ¬(X3 ≡ X4)) = 0
((X3 ≡ X4) ∧ (X5 ≡ X6)) ∨ (¬(X3 ≡ X4) ∧ ¬(X5 ≡ X6)) = 0
((X5 ≡ X6) ∧ (X7 ≡ X8)) ∨ (¬(X5 ≡ X6) ∧ ¬(X7 ≡ X8)) = 0
((X7 ≡ X8) ∧ (X9 ≡ X10)) ∨ (¬(X7 ≡ X8) ∧ ¬(X9 ≡ X10)) = 0
Solución:
Introduzcamos nuevas variables: A=(X1≡X2); B=(X3 ≡ X4); С=(X5 ≡ X6); D=(X7 ≡ X8); mi=(X9 ≡ X10).
(¡Atención! Cada una de las variables x1, x2, ..., x10 debe incluirse en sólo una de las nuevas variables A, B, C, D, E, es decir. las nuevas variables son independientes entre sí).
Entonces el sistema de ecuaciones quedará así:
(A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)=0
(B ∧ C) ∨ (¬B ∧ ¬C)=0
(C ∧ D) ∨ (¬C ∧ ¬D)=0
(D ∧ E) ∨ (¬D ∧ ¬E)=0
Construyamos un árbol de decisión para el sistema resultante:
Considere la ecuación A=0, es decir (X1≡ X2)=0. Tiene 2 raíces:
X1≡X2 |
||
En la misma tabla se puede ver que la ecuación A=1 también tiene 2 raíces. Organicemos el número de raíces en el árbol de decisión:
Para encontrar la cantidad de soluciones de una rama, debes multiplicar la cantidad de soluciones en cada nivel. La rama izquierda tiene 2⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=32 soluciones; la rama derecha también tiene 32 soluciones. Aquellos. todo el sistema tiene 32+32=64 soluciones.
Respuesta: 64.
2. Método de razonamiento.
La dificultad de resolver sistemas de ecuaciones lógicas radica en lo engorroso de un árbol de decisión completo. El método de razonamiento le permite no construir el árbol completo, sino comprender cuántas ramas tendrá. Veamos este método usando ejemplos específicos.
Ejemplo 1. ¿Cuántos conjuntos diferentes de valores de las variables lógicas x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 existen que satisfacen todas las condiciones que se enumeran a continuación?
(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1
(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1
x1\/y1 =1
No es necesario que la respuesta enumere todos los diferentes conjuntos de valores de las variables x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 para los que se satisface este sistema de igualdades. Como respuesta, debe indicar el número de dichos conjuntos.
Solución :
La primera y segunda ecuaciones contienen variables independientes que están relacionadas por la tercera condición. Construyamos un árbol de soluciones para la primera y segunda ecuaciones.
Para representar un árbol de soluciones para un sistema de la primera y segunda ecuaciones, cada rama del primer árbol debe continuar con un árbol de variables. en . El árbol así construido tendrá 36 ramas. Algunas de estas ramas no satisfacen la tercera ecuación del sistema. Marquemos el número de ramas del árbol en el primer árbol."y" , que satisfacen la tercera ecuación:
Expliquemos: para satisfacer la tercera condición, cuando x1 = 0, debe ser y1 = 1, es decir, todas las ramas del árbol."X" , donde x1=0 puede continuar con una sola rama del árbol"y" . Y sólo por una rama del árbol"X" (derecha) todas las ramas del árbol encajan"y". De este modo, árbol completo Todo el sistema contiene 11 sucursales. Cada rama representa una solución del sistema de ecuaciones original. Esto significa que todo el sistema tiene 11 soluciones.
Respuesta: 11.
Ejemplo 2. ¿Cuántas soluciones diferentes tiene el sistema de ecuaciones?
(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ∧ X10) ∨ (¬X1 ∧ ¬ X10)= 1
(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ∧ X10) ∨ (¬X2 ∧ ¬ X10)= 1.
………………
(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ∧ X10) ∨ (¬X9 ∧ ¬ X10)= 1
(X1 ≡ X10) = 0
¿Dónde x1, x2,…, x10 son variables lógicas? No es necesario que la respuesta enumere todos los diferentes conjuntos de valores de variables para los que se cumple esta igualdad. Como respuesta, debe indicar el número de dichos conjuntos.
Solución : Simplifiquemos el sistema. Construyamos una tabla de verdad para parte de la primera ecuación:
X1∧X10 | ¬X1 ∧ ¬X10 | (X1 ∧ X10) ∨ (¬X1 ∧ ¬ X10) |
||
Presta atención a la última columna, coincide con el resultado de la acción. X1 ≡ X10.
X1≡X10 |
Después de la simplificación obtenemos:
(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ≡ X10)=1
(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ≡ X10)=1
(X3 ≡ X4) ∨ (X3 ≡ X10)=1
……
(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ≡ X10)=1
(X1 ≡ X10) = 0
Considere la última ecuación:(X1 ≡ X10) = 0, es decir x1 no debe coincidir con x10. Para que la primera ecuación sea igual a 1, la igualdad debe ser verdadera(X1 ≡ X2)=1, es decir x1 debe coincidir con x2.
Construyamos un árbol de soluciones para la primera ecuación:
Considere la segunda ecuación: para x10=1 y para x2=0 el soportedebe ser igual a 1 (es decir, x2 coincide con x3); para x10=0 y para x2=1 soporte(X2 ≡ X10)=0, lo que significa el soporte (X2 ≡ X3) debe ser igual a 1 (es decir, x2 coincide con x3):
Razonando de esta manera, construimos un árbol de decisión para todas las ecuaciones:
Por tanto, el sistema de ecuaciones tiene sólo 2 soluciones.
Respuesta: 2.
Ejemplo 3.
¿Cuántos conjuntos diferentes de valores de las variables lógicas x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4, z1, z2, z3, z4 existen que satisfacen todas las condiciones que se enumeran a continuación?
(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) = 1
(¬x1 /\ y1 /\ z1) \/ (x1 /\ ¬y1 /\ z1) \/ (x1 /\ y1 /\ ¬z1) = 1
(¬x2 /\ y2 /\ z2) \/ (x2 /\ ¬y2 /\ z2) \/ (x2 /\ y2 /\ ¬z2) = 1
(¬x3 /\ y3 /\ z3) \/ (x3 /\ ¬y3 /\ z3) \/ (x3 /\ y3 /\ ¬z3) = 1
(¬x4 /\ y4 /\ z4) \/ (x4 /\ ¬y4 /\ z4) \/ (x4 /\ y4 /\ ¬z4) = 1
Solución:
Construyamos un árbol de soluciones para la primera ecuación:
Considere la segunda ecuación:
- Cuando x1=0 : el segundo y tercer paréntesis serán iguales a 0; para que el primer paréntesis sea igual a 1, y1=1, z1=1 (es decir, en este caso, 1 solución)
- Cuando x1=1 : el primer paréntesis será igual a 0; segundo o el tercer paréntesis debe ser igual a 1; el segundo paréntesis será igual a 1 cuando y1=0 y z1=1; el tercer paréntesis será igual a 1 cuando y1=1 y z1=0 (es decir, en este caso, 2 soluciones).
Lo mismo ocurre con las ecuaciones restantes. Observemos el número resultante de soluciones para cada nodo del árbol:
Para saber el número de soluciones para cada rama, multiplique los números resultantes por separado para cada rama (de izquierda a derecha).
1 rama: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 solución
Rama 2: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 2 =2 soluciones
3ra rama: 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 2 =4 soluciones
4ta rama: 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 =8 soluciones
5ta rama: 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=16 soluciones
Sumemos los números resultantes: hay 31 soluciones en total.
Respuesta: 31.
3. Aumento natural del número de raíces.
En algunos sistemas, el número de raíces de la siguiente ecuación depende del número de raíces de la ecuación anterior.
Ejemplo 1. ¿Cuántos conjuntos diferentes de valores de las variables lógicas x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10 existen que satisfacen todas las condiciones que se enumeran a continuación?
¬(x1 ≡ x2) ∧ ((x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)) = 0
¬(x2 ≡ x3) ∧ ((x2 ∧ ¬x4) ∨ (¬x2 ∧ x4)) = 0
¬(x8 ≡ x9) ∧ ((x8 ∧ ¬x10) ∨ (¬x8 ∧ x10)) = 0
simplifiquemos primera ecuación:(x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)=x1 ⊕ x3=¬(x1 ≡ x3). Entonces el sistema tomará la forma:
¬(x1 ≡ x2) ∧ ¬(x1 ≡ x3) = 0
¬(x2 ≡ x3) ∧ ¬(x2 ≡ x4)= 0
¬(x8 ≡ x9) ∧ ¬(x8 ≡ x10) = 0
Etc.
Cada siguiente ecuación tiene 2 raíces más que la anterior.
4 ecuación tiene 12 raíces;
La ecuación 5 tiene 14 raíces.
La ecuación 8 tiene 20 raíces.
Respuesta: 20 raíces.
A veces el número de raíces crece según la ley de Fibonacci.
Resolver un sistema de ecuaciones lógicas requiere un enfoque creativo.
J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M ∧ (N ∨ ¬N) = 0, donde J, K, L, M, N son variables lógicas?
Explicación.
La expresión (N ∨ ¬N) es cierta para cualquier N, por lo tanto
J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M = 0.
Apliquemos la negación a ambos lados de la ecuación lógica y usemos la ley de De Morgan ¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B. Obtenemos ¬J ∨ K ∨ ¬L ∨ M = 1.
Una suma lógica es igual a 1 si al menos uno de sus enunciados constituyentes es igual a 1. Por lo tanto, la ecuación resultante se satisface con cualquier combinación de variables lógicas, excepto en el caso en que todas las cantidades incluidas en la ecuación sean iguales a 0. Cada una de las 4 variables pueden ser iguales a 1 o 0, por lo tanto todas las combinaciones posibles son 2·2·2·2 = 16. Por lo tanto, la ecuación tiene 16 −1 = 15 soluciones.
Resta señalar que las 15 soluciones encontradas corresponden a cualquiera de los dos valores posibles de la variable lógica N, por lo que la ecuación original tiene 30 soluciones.
Respuesta: 30
¿Cuántas soluciones diferentes tiene la ecuación?
((J → K) → (M ∧ N ∧ L)) ∧ ((J ∧ ¬K) → ¬ (M ∧ N ∧ L)) ∧ (M → J) = 1
¿Dónde J, K, L, M, N son variables lógicas?
No es necesario que la respuesta enumere todos los diferentes conjuntos de valores de J, K, L, M y N para los que se cumple esta igualdad. Como respuesta, debe indicar el número de dichos conjuntos.
Explicación.
Usamos las fórmulas A → B = ¬A ∨ B y ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B
Consideremos la primera subfórmula:
(J → K) → (M ∧ N ∧ L) = ¬(¬J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L)
Consideremos la segunda subfórmula.
(J ∧ ¬K) → ¬(M ∧ N ∧ L) = ¬(J ∧ ¬K) ∨ ¬(M ∧ N ∧ L) = (¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L
Consideremos la tercera subfórmula.
1) M → J = 1 por lo tanto,
(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (1 ∧ N ∧ L) = ¬K ∨ N ∧ L;
(0 ∨ K) ∨ 0 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ ¬N ∨ ¬L;
Combinemos:
¬K ∨ N ∧ L ∧ K ∨ ¬N ∨ ¬L = 0 ∨ L ∨ 0 ∨ ¬L = L ∨ ¬L = 1 por lo tanto 4 soluciones.
(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = ¬K;
(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (0 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L
Combinemos:
K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L ∧ ¬K = 1 ∨ ¬N ∨ ¬L por lo tanto 4 soluciones.
c) M = 0 J = 0.
(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (0 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = 0.
(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (1 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L.
Respuesta: 4 + 4 = 8.
Respuesta: 8
¿Cuántas soluciones diferentes tiene la ecuación?
((K ∨ L) → (L ∧ M ∧ N)) = 0
¿Dónde K, L, M, N son variables lógicas? La respuesta no necesita enumerar todos los diferentes conjuntos de valores de K, L, M y N para los que se cumple esta igualdad. Como respuesta debe indicar el número de dichos conjuntos.
Explicación.
Reescribamos la ecuación usando una notación más simple para operaciones:
((K + L) → (L M N)) = 0
1) de la tabla de verdad de la operación “implicación” (ver el primer problema) se deduce que esta igualdad es verdadera si y solo si al mismo tiempo
K + L = 1 y L M N = 0
2) de la primera ecuación se deduce que al menos una de las variables, K o L, es igual a 1 (o ambas juntas); así que consideremos tres casos
3) si K = 1 y L = 0, entonces la segunda igualdad se cumple para cualquier M y N; como hay 4 combinaciones de dos variables booleanas (00, 01, 10 y 11), tenemos 4 soluciones diferentes
4) si K = 1 y L = 1, entonces la segunda igualdad es válida para M · N = 0; hay 3 combinaciones de este tipo (00, 01 y 10), tenemos 3 soluciones más
5) si K = 0, entonces L = 1 (de la primera ecuación); en este caso, la segunda igualdad se cumple cuando M · N = 0; hay 3 de estas combinaciones (00, 01 y 10), tenemos 3 soluciones más
6) en total obtenemos 4 + 3 + 3 = 10 soluciones.
Respuesta: 10
¿Cuántas soluciones diferentes tiene la ecuación?
(K ∧ L) ∨ (M ∧ N) = 1
Explicación.
La expresión es verdadera en tres casos, cuando (K ∧ L) y (M ∧ N) son iguales a 01, 11, 10, respectivamente.
1) "01" K ∧ L = 0; M ∧ N = 1, => M, N son iguales a 1, y K y L son cualquier cosa menos simultáneamente 1. Por lo tanto, hay 3 soluciones.
2) "11" K ∧ L = 1; M ∧ N = 1. => 1 solución.
3) "10" K ∧ L = 1; M ∧ N = 0. => 3 soluciones.
Respuesta: 7.
Respuesta: 7
¿Cuántas soluciones diferentes tiene la ecuación?
(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0
¿Dónde X, Y, Z, P son variables lógicas? No es necesario que la respuesta enumere todos los diferentes conjuntos de valores para los que se cumple esta igualdad. Como respuesta, solo necesita indicar el número de dichos conjuntos.
Explicación.
(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0 =>
¬(X ∧ Y ∨ Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;
(¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;
El OR lógico es falso sólo en un caso: cuando ambas expresiones son falsas.
Por eso,
(Z ∨ P) = 0 => Z = 0, P = 0.
¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z = 0 => ¬X ∨ ¬Y ∧ 1 = 0 =>
¬X ∨ ¬Y = 0 => X = 1; Y = 1.
Por lo tanto, sólo hay una solución para la ecuación.
Respuesta 1
¿Cuántas soluciones diferentes tiene la ecuación?
(K ∨ L) ∧ (M ∨ N) = 1
¿Dónde K, L, M, N son variables lógicas? No es necesario que la respuesta enumere todos los diferentes conjuntos de valores de K, L, M y N para los que se cumple esta igualdad. Como respuesta, solo necesita indicar el número de dichos conjuntos.
Explicación.
La And lógica es verdadera sólo en un caso: cuando todas las expresiones son verdaderas.
K ∨ L = 1, METRO ∨ norte = 1.
Cada ecuación da 3 soluciones.
Considere la ecuación A ∧ B = 1 si tanto A como B aceptan valores verdaderos en tres casos cada uno, entonces en total la ecuación tiene 9 soluciones.
Por tanto la respuesta es 9.
Respuesta: 9
¿Cuántas soluciones diferentes tiene la ecuación?
((A → B)∧ C) ∨ (D ∧ ¬D)= 1,
¿Dónde A, B, C, D son variables lógicas?
No es necesario que la respuesta enumere todos los diferentes conjuntos de valores A, B, C, D para los que se cumple esta igualdad. Como respuesta, debe indicar el número de dichos conjuntos.
Explicación.
El "O" lógico es verdadero cuando al menos una de las afirmaciones es verdadera.
(D ∧ ¬D)= 0 para cualquier D.
Por eso,
(A → B)∧ C) = 1 => C = 1; A → B = 1 => ¬ A ∨ B = 1, lo que nos da 3 posibles soluciones para cada D.
(D ∧ ¬ D)= 0 para cualquier D, lo que nos da dos soluciones (para D = 1, D = 0).
Por lo tanto: soluciones totales 2*3 = 6.
Total de 6 soluciones.
Respuesta: 6
¿Cuántas soluciones diferentes tiene la ecuación?
(¬K ∨ ¬L ∨ ¬M) ∧ (L ∨ ¬M ∨ ¬N) = 0
¿Dónde K, L, M, N son variables lógicas? No es necesario que la respuesta enumere todos los diferentes conjuntos de valores de K, L, M y N para los que se cumple esta igualdad. Como respuesta, solo necesita indicar el número de dichos conjuntos.
Explicación.
Apliquemos la negación a ambos lados de la ecuación:
(K ∧ L ∧ M) ∨ (¬L ∧ M ∧ N) = 1
El OR lógico es verdadero en tres casos.
Opción 1.
K ∧ L ∧ M = 1, entonces K, L, M = 1 y ¬L ∧ M ∧ N = 0. N es arbitrario, es decir, 2 soluciones.
Opcion 2.
¬L ∧ M ∧ N = 1, entonces N, M = 1; L = 0, K cualquiera, es decir, 2 soluciones.
Por tanto la respuesta es 4.
Respuesta: 4
A, B y C son números enteros para los cuales la afirmación es verdadera.
¬ (A = B) ∧ ((A > B)→(B > C)) ∧ ((B > A)→(C > B)).
¿A qué es igual B si A = 45 y C = 43?
Explicación.
1) ¬(A = B); (A > B) → (B > C); (B > A)→(C > B);
2) estas declaraciones simples están conectadas por la operación ∧ (Y, conjunción), es decir, deben ejecutarse simultáneamente;
3) de ¬(A = B)=1 se sigue inmediatamente que A B;
4) supongamos que A > B, entonces de la segunda condición obtenemos 1→(B > C)=1; esta expresión puede ser verdadera si y sólo si B > C = 1;
5) por lo tanto tenemos A > B > C, sólo el número 44 corresponde a esta condición;
6) por si acaso, marquemos también la opción A 0 →(B > C)=1;
esta expresión es cierta para cualquier B; Ahora mira la tercera condición que obtenemos.
esta expresión puede ser verdadera si y sólo si C > B, y aquí tenemos una contradicción, porque no existe tal número B para el cual C > B > A.
Respuesta: 44.
Respuesta: 44
Construir una tabla de verdad para una función lógica.
X = (A ↔ B) ∨ ¬(A → (B ∨ C))
en la que la columna de valores del argumento A es la representación binaria del número 27, la columna de valores del argumento B es el número 77, la columna de valores del argumento C es el número 120. El número en la columna se escribe de arriba a abajo, desde el más significativo al menos significativo (incluido el conjunto cero). Convierta la representación binaria resultante de los valores de la función X al sistema numérico decimal.
Explicación.
Escribamos la ecuación usando notación más simple para operaciones:
1) esta es una expresión con tres variables, por lo que habrá líneas en la tabla de verdad; por lo tanto, la representación binaria de los números utilizados para construir las columnas A, B y C de la tabla debe constar de 8 dígitos.
2) convertir los números 27, 77 y 120 al sistema binario, sumando inmediatamente hasta 8 dígitos de ceros al comienzo de los números
3) es poco probable que pueda escribir inmediatamente los valores de la función X para cada combinación, por lo que es conveniente agregar columnas adicionales a la tabla para calcular resultados intermedios (consulte la tabla a continuación)
| A | EN | CON | X|
| 0 | 0 | ||
| 0 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 1 | 0 | |
| 1 | 0 | 0 | |
| 1 | 1 | 0 |
4) complete las columnas de la tabla:
| A | EN | CON | X | ||||
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
el valor es 1 solo en aquellas líneas donde A = B
el valor es 1 en aquellas líneas donde B o C = 1
el valor es 0 solo en aquellas líneas donde A = 1 y B + C = 0
el valor es el inverso de la columna anterior (0 se reemplaza por 1 y 1 se reemplaza por 0)
el resultado de X (última columna) es la suma lógica de las dos columnas y
5) para obtener la respuesta, escribe los bits de la columna X de arriba a abajo:
6) convierte este número al sistema decimal:
Respuesta: 171
¿Cuál es el mayor entero X para el cual la afirmación (10 (X+1)·(X+2)) es verdadera?
Explicación.
La ecuación es una operación de implicación entre dos relaciones:
1) Por supuesto, aquí puedes aplicar el mismo método que en el ejemplo 2208, pero necesitarás resolver ecuaciones cuadráticas(No quiero…);
2) Tenga en cuenta que por condición solo nos interesan los números enteros, por lo que podemos intentar transformar de alguna manera la expresión original, obteniendo una declaración equivalente ( valores exactos¡No nos interesan en absoluto las raíces!);
3) Considere la desigualdad: obviamente, puede ser un número positivo o negativo;
4) Es fácil comprobar que en el dominio la afirmación es verdadera para todos los números enteros , y en el dominio - para todos los números enteros (para no confundirse, es más conveniente utilizar desigualdades no estrictas y , en lugar de y );
5) Por tanto, para números enteros se puede sustituir por una expresión equivalente.
6) el dominio de verdad de una expresión es la unión de dos intervalos infinitos;
7) Consideremos ahora la segunda desigualdad: es obvio que también puede ser un número positivo o negativo;
8) En el dominio la afirmación es verdadera para todos los números enteros , y en el dominio - para todos los números enteros , por lo tanto, para los números enteros se puede reemplazar por una expresión equivalente
9) el dominio de verdad de la expresión es un intervalo cerrado;
10) La expresión dada es verdadera en todas partes, excepto en las áreas donde y ;
11) Tenga en cuenta que el valor ya no es adecuado, porque allí y , es decir, la implicación da 0;
12) Al sustituir 2, (10 (2+1) · (2+2)), o 0 → 0 que satisface la condición.
Entonces la respuesta es 2.
Respuesta: 2
¿Cuál es el mayor entero X para el cual la afirmación es verdadera?
(50 (X+1)·(X+1))?
Explicación.
Apliquemos la transformación de implicación y transformemos la expresión:
(50 (X+1)·(X+1)) ⇔ ¬(X 2 > 50) ∨ ((X+1) 2) ∨ (|X+1|).
El OR lógico es verdadero cuando al menos una afirmación lógica es verdadera. Resueltas ambas desigualdades y teniendo en cuenta que vemos que el mayor número entero para el que se satisface al menos una de ellas es 7 (en la figura, la solución positiva de la segunda desigualdad se muestra en amarillo y la primera en azul).
Respuesta: 7
Especifique los valores de las variables K, L, M, N, en los que la expresión lógica
(¬(M ∨ L) ∧ K) → (¬K ∧ ¬M ∨ N)
FALSO. Escribe la respuesta como una cadena de 4 caracteres: los valores de las variables K, L, M y N (en ese orden). Entonces, por ejemplo, la línea 1101 corresponde al hecho de que K=1, L=1, M=0, N=1.
Explicación.
Duplica la tarea 3584.
Respuesta: 1000
(¬K ∨ M) → (¬L ∨ M ∨ N)
Explicación.
Apliquemos la transformación de implicaciones:
(K ∧ ¬M) ∨ (¬L ∨ M ∨ N) = 0
Apliquemos la negación a ambos lados de la ecuación:
(¬K ∨ M) ∧ L ∧ ¬M ∧ ¬N = 1
Convirtamos:
(¬K ∧ L ∨ M ∧ L) ∧ ¬M ∧ ¬N = 1
Por lo tanto, M = 0, N = 0, ahora considere (¬K ∧ L ∨ M ∧ L):
del hecho de que M = 0, N = 0 se sigue que M ∧ L = 0, entonces ¬K ∧ L = 1, es decir, K = 0, L = 1.
Respuesta: 0100
Especifique los valores de las variables K, L, M, N en los que la expresión lógica
(¬(M ∨ L) ∧ K) → ((¬K ∧ ¬M) ∨ N)
FALSO. Escribe tu respuesta como una cadena de cuatro caracteres: los valores de las variables K, L, M y N (en ese orden). Entonces, por ejemplo, la línea 1101 corresponde al hecho de que K=1, L=1, M=0, N=1.
Explicación.
Escribamos la ecuación usando una notación de operaciones más simple (la condición "la expresión es falsa" significa que es igual al cero lógico):
1) de la formulación de la condición se deduce que la expresión debe ser falsa solo para un conjunto de variables
2) de la tabla de verdad de la operación “implicación” se deduce que esta expresión es falsa si y sólo si al mismo tiempo
3) la primera igualdad (el producto lógico es igual a 1) se cumple si y sólo si y ; de esto se sigue (la suma lógica es igual a cero), lo cual sólo puede suceder cuando ; Así, ya hemos definido tres variables.
4) de la segunda condición, , para y obtenemos .
Duplica la tarea
Respuesta: 1000
Especifique los valores de las variables lógicas P, Q, S, T, en las que la expresión lógica
(P ∨ ¬Q) ∨ (Q → (S ∨ T)) es falsa.
Escribe la respuesta como una cadena de cuatro caracteres: los valores de las variables P, Q, S, T (en ese orden).
Explicación.
(1) (P ∨ ¬Q) = 0
(2) (Q → (S ∨ T)) = 0
(1) (P ∨ ¬Q) = 0 => P = 0, Q = 1.
(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0 Apliquemos la transformación de implicación:
¬Q ∨ S ∨ T = 0 => S = 0, T = 0.
Respuesta: 0100
Especifique los valores de las variables K, L, M, N en los que la expresión lógica
(K → M) ∨ (L ∧ K) ∨ ¬N
FALSO. Escribe tu respuesta como una cadena de cuatro caracteres: los valores de las variables K, L, M y N (en ese orden). Entonces, por ejemplo, la línea 1101 corresponde al hecho de que K=1, L=1, M=0, N=1.
Explicación.
El OR lógico es falso si y sólo si ambas afirmaciones son falsas.
(K → M) = 0, (L ∧ K) ∨ ¬N = 0.
Apliquemos la transformación de implicación para la primera expresión:
¬K ∨ M = 0 => K = 1, M = 0.
Considere la segunda expresión:
(L ∧ K) ∨ ¬N = 0 (ver el resultado de la primera expresión) => L ∨ ¬N = 0 => L = 0, N = 1.
Respuesta: 1001.
Respuesta: 1001
Especifique los valores de las variables K, L, M, N en los que la expresión lógica
(K → M) ∧ (K → ¬M) ∧ (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N))
verdadero. Escribe tu respuesta como una cadena de cuatro caracteres: los valores de las variables K, L, M y N (en ese orden). Entonces, por ejemplo, la línea 1101 corresponde al hecho de que K=1, L=1, M=0, N=1.
Explicación.
El "Y" lógico es verdadero si y sólo si ambas afirmaciones son verdaderas.
1) (K → M) = 1 Aplicar la transformación de implicación: ¬K ∨ M = 1
2) (K → ¬M) = 1 Aplicar la transformación de implicación: ¬K ∨ ¬M = 1
De ello se deduce que K = 0.
3) (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N)) = 1 Aplicamos la transformación de implicación: K ∨ (M ∧ ¬L ∧ N) = 1 de que K = 0 obtenemos:
M ∧ ¬L ∧ N = 1 => M = 1, L = 0, N = 1.
Respuesta: 0011
Se sabe que para los números enteros X, Y y Z se cumple la siguiente afirmación:
(Z ¿A qué equivale Z si X=25 e Y=48?
Explicación.
Después de sustituir los números, obtenemos que Z = 47.
Tenga en cuenta que esta declaración compleja consta de tres simples.
1) (Z 2) estas declaraciones simples están conectadas por la operación ∧ (Y, conjunción), es decir, deben ejecutarse simultáneamente.
3) de ¬(Z+1 24, y de ¬(Z+1 47.
4) de (Z Z Respuesta: 47.
Respuesta: 47
A, B y C son números enteros para los cuales se cumple la siguiente afirmación:
(C ¿Cuál es el valor de C si A=45 y B=18?
Explicación.
El "Y" lógico es verdadero si y sólo si ambas afirmaciones son verdaderas.
Sustituyamos los números en la expresión:
1) (C (C 2) ¬(C+1, C ≥ 44.
3) ¬(C+1, C≥ 17.
De 2) y 1) se deduce que C
Respuesta: 44
¬(A = B) ∧ ((B A)) ∧ ((A 2C))
¿Cuál es el valor de A si C = 8 y B = 18?
Explicación.
El "Y" lógico es verdadero si y sólo si ambas afirmaciones son verdaderas.
1) ¬(A = B) = 1, es decir, A ≠ 18 = 1.
2) ((B A)) Aplicar la transformación de implicación: (18 > A) ∨ (16 > A) = 1
3) (A 2C) Aplicar la transformación de implicación: (A > 18) ∨ (A > 16) = 1
De 2) y 3) se sigue que (18 > A) y (A > 16), ya que en caso contrario surge una contradicción: A = 17.
Respuesta: 17
A, B y C son números enteros para los cuales la afirmación es verdadera.
¬(A = B) ∧ ((A > B) → (C = B)) ∧ ((B > A) → (C = A))
¿Cuál es el valor de B si A = 45 y C = 18?
Explicación.
El "Y" lógico es verdadero sólo si todas las afirmaciones son verdaderas.