Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lógicas. Lógicas. Funciones lógicas. Resolver ecuaciones

Métodos para resolver sistemas. ecuaciones lógicas

Kirgizova E.V., Nemkova A.E.

Instituto Pedagógico de Lesosibirsk –

sucursal de la Universidad Federal de Siberia, Rusia

La capacidad de pensar de manera coherente, razonar de manera convincente, formular hipótesis y refutar conclusiones negativas no se adquiere por sí sola; esta habilidad la desarrolla la ciencia de la lógica. La lógica es una ciencia que estudia métodos para establecer la verdad o falsedad de algunas afirmaciones sobre la base de la verdad o falsedad de otras afirmaciones.

Dominar los conceptos básicos de esta ciencia es imposible sin resolver problemas lógicos. La prueba del desarrollo de habilidades para aplicar los conocimientos en una nueva situación se realiza mediante aprobación. En particular, esta es la capacidad de decidir. problemas de logica. Las tareas B15 del Examen Estatal Unificado son tareas de mayor complejidad, ya que contienen sistemas de ecuaciones lógicas. Puedes elegir varias maneras resolución de sistemas de ecuaciones lógicas. Esto es reducción a una ecuación, construcción de una tabla de verdad, descomposición, solución secuencial de ecuaciones, etc.

Tarea:Resolver un sistema de ecuaciones lógicas:

Consideremos método de reducción a una ecuación . Este método implica transformar ecuaciones lógicas para que sus lados derechos sean iguales al valor de verdad (es decir, 1). Para hacer esto, use la operación de negación lógica. Luego, si las ecuaciones contienen operaciones lógicas complejas, las reemplazamos por operaciones básicas: “Y”, “O”, “NO”. El siguiente paso es combinar las ecuaciones en una sola, equivalente al sistema, usando la operación lógica “Y”. Después de esto, debes transformar la ecuación resultante basándose en las leyes del álgebra lógica y obtener una solución específica para el sistema.

Solución 1:Aplicar inversión a ambos lados de la primera ecuación:

Imaginemos la implicación a través de las operaciones básicas “O” y “NO”:

Dado que los lados izquierdos de las ecuaciones son iguales a 1, podemos combinarlos usando la operación "Y" en una ecuación que sea equivalente al sistema original:

Abrimos el primer paréntesis según la ley de De Morgan y transformamos el resultado obtenido:

La ecuación resultante tiene una solución: A = 0, B=0 y C=1.

El siguiente método es construir tablas de verdad . Dado que las cantidades lógicas tienen solo dos valores, simplemente puede revisar todas las opciones y encontrar entre ellas aquellas para las que se satisface un sistema de ecuaciones determinado. Es decir, construimos una tabla de verdad común para todas las ecuaciones del sistema y encontramos una recta con los valores requeridos.

Solución 2:Creemos una tabla de verdad para el sistema:

La línea para la cual se cumplen las condiciones de la tarea está resaltada en negrita. Entonces A =0, B =0 y C =1.

Forma descomposición . La idea es fijar el valor de una de las variables (igualarlo a 0 o 1) y así simplificar las ecuaciones. Luego puedes fijar el valor de la segunda variable, y así sucesivamente.

Solución 3: Dejar A = 0, entonces:

De la primera ecuación obtenemos B =0, y del segundo – C=1. Solución del sistema: A = 0, B = 0 y C = 1.

También puedes utilizar el método solución secuencial de ecuaciones , en cada paso agregando una variable al conjunto bajo consideración. Para ello es necesario transformar las ecuaciones de manera que las variables se ingresen en orden alfabético. A continuación, construimos un árbol de decisión y le agregamos variables secuencialmente.

La primera ecuación del sistema depende sólo de A y B, y la segunda ecuación de A y C. La variable A puede tomar 2 valores 0 y 1:

De la primera ecuación se deduce que , por lo tanto cuando A = 0 y obtenemos B = 0, y para A = 1 tenemos B = 1. Entonces, la primera ecuación tiene dos soluciones con respecto a las variables A y B.

Representemos la segunda ecuación, a partir de la cual determinamos los valores de C para cada opción. Cuando A = 1, la implicación no puede ser falsa, es decir, la segunda rama del árbol no tiene solución. En A = 0 tenemos la única solución C= 1 :

Así, obtuvimos la solución del sistema: A = 0, B = 0 y C = 1.

En el examen de informática, muy a menudo es necesario determinar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lógicas, sin encontrar las soluciones mismas, también existen ciertos métodos para ello; La forma principal de encontrar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lógicas es reemplazando variables. Primero, debe simplificar cada una de las ecuaciones tanto como sea posible según las leyes del álgebra lógica, y luego reemplazar las partes complejas de las ecuaciones con nuevas variables y determinar el número de soluciones. nuevo sistema. Luego, regrese al reemplazo y determine la cantidad de soluciones para él.

Tarea:¿Cuántas soluciones tiene la ecuación ( A → B ) + (C → D ) = 1? Donde A, B, C, D son variables lógicas.

Solución:Introduzcamos nuevas variables: X = A → B e Y = C → D . teniendo en cuenta nuevas ecuación variable se escribirá en la forma: X + Y = 1.

La disyunción es verdadera en tres casos: (0;1), (1;0) y (1;1), mientras que X y Y es una implicación, es decir, es verdadera en tres casos y falsa en uno. Por tanto, el caso (0;1) corresponderá a tres posibles combinaciones de parámetros. Caso (1;1) – corresponderá a nueve posibles combinaciones de parámetros de la ecuación original. Esto significa que el total de soluciones posibles ecuación dada 3+9=15.

La siguiente forma de determinar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lógicas es árbol binario. Veamos este método usando un ejemplo.

Tarea:¿Cuántas soluciones diferentes tiene el sistema de ecuaciones lógicas?

El sistema de ecuaciones dado es equivalente a la ecuación:

( X 1 → X 2 )*( X 2 → X 3 )*…*( xm -1 → xm) = 1.

pretendamos queX 1 – es cierto, entonces de la primera ecuación obtenemos queX 2 También es cierto, desde el segundo.X 3 =1, y así sucesivamente hasta xm= 1. Entonces el conjunto (1; 1;…; 1) de metro unidades es la solución del sistema. Déjalo ahoraX 1 =0, entonces de la primera ecuación tenemosX 2 =0 o X 2 =1.

Cuando X 2 cierto, obtenemos que el resto de variables también lo son, es decir, el conjunto (0; 1; ...; 1) es una solución del sistema. EnX 2 =0 entendemos eso X 3 =0 o X 3 =, y así sucesivamente. Continuando con la última variable, encontramos que las soluciones de la ecuación son los siguientes conjuntos de variables ( metro +1 solución, en cada solución metro valores variables):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

Este enfoque queda bien ilustrado mediante la construcción de un árbol binario. El número de soluciones posibles es el número de ramas diferentes del árbol construido. Es fácil ver que es igual. metro +1.

En caso de dificultades para razonar y construir un árbol de decisión, puede buscar una solución utilizando tablas de verdad, para una o dos ecuaciones.

Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma:

Y creemos una tabla de verdad por separado para una ecuación:

Creemos una tabla de verdad para dos ecuaciones:

A continuación, puedes ver que una ecuación es verdadera en los siguientes tres casos: (0; 0), (0; 1), (1; 1). Un sistema de dos ecuaciones es verdadero en cuatro casos (0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 1), (1; 1; 1). En este caso, queda inmediatamente claro que existe una solución que consta únicamente de ceros y más metro soluciones en las que se agrega una unidad, comenzando con Ultima posicion hasta cubrir todas las plazas posibles. Se puede suponer, que decisión común tendrá la misma forma, pero para que este enfoque se convierta en una solución, se requiere prueba de que la suposición es correcta.

Para resumir todo lo anterior, me gustaría llamar su atención sobre el hecho de que no todos los métodos discutidos son universales. Al resolver cada sistema de ecuaciones lógicas, se deben tener en cuenta sus características, en función de las cuales se debe elegir el método de solución.

Literatura:

1. Problemas lógicos / O.B. Bogomolov – 2ª ed. – M.: BINOM. Laboratorio del Conocimiento, 2006. – 271 p.: enfermo.

2. Polyakov K.Yu. Sistemas de ecuaciones lógicas / Periódico educativo y metodológico para profesores de informática: Informática No. 14, 2011.

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M ∧ (N ∨ ¬N) = 0, donde J, K, L, M, N son variables lógicas?

Explicación.

La expresión (N ∨ ¬N) es cierta para cualquier N, por lo tanto

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M = 0.

Apliquemos la negación a ambos lados de la ecuación lógica y usemos la ley de De Morgan ¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B. Obtenemos ¬J ∨ K ∨ ¬L ∨ M = 1.

Una suma lógica es igual a 1 si al menos uno de sus enunciados constituyentes es igual a 1. Por lo tanto, la ecuación resultante se satisface con cualquier combinación de variables lógicas, excepto en el caso en que todas las cantidades incluidas en la ecuación sean iguales a 0. Cada una de las 4 variables pueden ser iguales a 1 o 0, por lo tanto todas las combinaciones posibles son 2·2·2·2 = 16. Por lo tanto, la ecuación tiene 16 −1 = 15 soluciones.

Resta señalar que las 15 soluciones encontradas corresponden a cualquiera de los dos valores posibles de la variable lógica N, por lo que la ecuación original tiene 30 soluciones.

Respuesta: 30

¿Cuántas soluciones diferentes tiene la ecuación?

((J → K) → (M ∧ N ∧ L)) ∧ ((J ∧ ¬K) → ¬ (M ∧ N ∧ L)) ∧ (M → J) = 1

¿Dónde J, K, L, M, N son variables lógicas?

No es necesario que la respuesta enumere todos los diferentes conjuntos de valores de J, K, L, M y N para los que se cumple esta igualdad. Como respuesta, debe indicar el número de dichos conjuntos.

Explicación.

Usamos las fórmulas A → B = ¬A ∨ B y ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B

Consideremos la primera subfórmula:

(J → K) → (M ∧ N ∧ L) = ¬(¬J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L)

Consideremos la segunda subfórmula.

(J ∧ ¬K) → ¬(M ∧ N ∧ L) = ¬(J ∧ ¬K) ∨ ¬(M ∧ N ∧ L) = (¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L

Consideremos la tercera subfórmula.

1) M → J = 1 por lo tanto,

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (1 ∧ N ∧ L) = ¬K ∨ N ∧ L;

(0 ∨ K) ∨ 0 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ ¬N ∨ ¬L;

Combinemos:

¬K ∨ N ∧ L ∧ K ∨ ¬N ∨ ¬L = 0 ∨ L ∨ 0 ∨ ¬L = L ∨ ¬L = 1 por lo tanto 4 soluciones.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = ¬K;

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (0 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L

Combinemos:

K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L ∧ ¬K = 1 ∨ ¬N ∨ ¬L por lo tanto 4 soluciones.

c) M = 0 J = 0.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (0 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = 0.

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (1 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L.

Respuesta: 4 + 4 = 8.

Respuesta: 8

¿Cuántas soluciones diferentes tiene la ecuación?

((K ∨ L) → (L ∧ M ∧ N)) = 0

¿Dónde K, L, M, N son variables lógicas? La respuesta no necesita enumerar todos los diferentes conjuntos de valores de K, L, M y N para los que se cumple esta igualdad. Como respuesta debe indicar el número de dichos conjuntos.

Explicación.

Reescribamos la ecuación usando una notación de operaciones más simple:

((K + L) → (L M N)) = 0

1) de la tabla de verdad de la operación “implicación” (ver el primer problema) se deduce que esta igualdad es verdadera si y solo si al mismo tiempo

K + L = 1 y L M N = 0

2) de la primera ecuación se deduce que al menos una de las variables, K o L, es igual a 1 (o ambas juntas); así que consideremos tres casos

3) si K = 1 y L = 0, entonces la segunda igualdad se satisface para cualquier M y N; como hay 4 combinaciones de dos variables booleanas (00, 01, 10 y 11), tenemos 4 soluciones diferentes

4) si K = 1 y L = 1, entonces la segunda igualdad es válida para M · N = 0; hay 3 combinaciones de este tipo (00, 01 y 10), tenemos 3 soluciones más

5) si K = 0, entonces L = 1 (de la primera ecuación); en este caso, la segunda igualdad se cumple cuando M · N = 0; hay 3 combinaciones de este tipo (00, 01 y 10), tenemos 3 soluciones más

6) en total obtenemos 4 + 3 + 3 = 10 soluciones.

Respuesta: 10

¿Cuántas soluciones diferentes tiene la ecuación?

(K ∧ L) ∨ (M ∧ N) = 1

Explicación.

La expresión es verdadera en tres casos, cuando (K ∧ L) y (M ∧ N) son iguales a 01, 11, 10, respectivamente.

1) "01" K ∧ L = 0; M ∧ N = 1, => M, N son iguales a 1, y K y L son cualquier cosa menos simultáneamente 1. Por lo tanto, hay 3 soluciones.

2) "11" K ∧ L = 1; M ∧ N = 1. => 1 solución.

3) "10" K ∧ L = 1; M ∧ N = 0. => 3 soluciones.

Respuesta: 7.

Respuesta: 7

¿Cuántas soluciones diferentes tiene la ecuación?

(X ∧ Y ∨ Z) ​​​​→ (Z ∨ P) = 0

¿Dónde X, Y, Z, P son variables lógicas? No es necesario que la respuesta enumere todos los diferentes conjuntos de valores para los que se cumple esta igualdad. Como respuesta, solo necesita indicar el número de dichos conjuntos.

Explicación.

(X ∧ Y ∨ Z) ​​​​→ (Z ∨ P) = 0 =>

¬(X ∧ Y ∨ Z) ​​​​∨ (Z ∨ P) = 0;

(¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

El OR lógico es falso sólo en un caso: cuando ambas expresiones son falsas.

Por eso,

(Z ∨ P) = 0 => Z = 0, P = 0.

¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z = 0 => ¬X ∨ ¬Y ∧ 1 = 0 =>

¬X ∨ ¬Y = 0 => X = 1; Y = 1.

Por lo tanto, sólo hay una solución para la ecuación.

Respuesta 1

¿Cuántas soluciones diferentes tiene la ecuación?

(K ∨ L) ∧ (M ∨ N) = 1

¿Dónde K, L, M, N son variables lógicas? No es necesario que la respuesta enumere todos los diferentes conjuntos de valores de K, L, M y N para los que se cumple esta igualdad. Como respuesta, solo necesita indicar el número de dichos conjuntos.

Explicación.

La Y lógica es verdadera sólo en un caso: cuando todas las expresiones son verdaderas.

K ∨ L = 1, METRO ∨ norte = 1.

Cada ecuación da 3 soluciones.

Considere la ecuación A ∧ B = 1 si tanto A como B aceptan valores verdaderos en tres casos cada uno, entonces en total la ecuación tiene 9 soluciones.

Por tanto la respuesta es 9.

Respuesta: 9

¿Cuántas soluciones diferentes tiene la ecuación?

((A → B)∧ C) ∨ (D ∧ ¬D)= 1,

¿Dónde A, B, C, D son variables lógicas?

No es necesario que la respuesta enumere todos los diferentes conjuntos de valores A, B, C, D para los que se cumple esta igualdad. Como respuesta, debe indicar el número de dichos conjuntos.

Explicación.

El "O" lógico es verdadero cuando al menos una de las afirmaciones es verdadera.

(D ∧ ¬D)= 0 para cualquier D.

Por eso,

(A → B)∧ C) = 1 => C = 1; A → B = 1 => ¬ A ∨ B = 1, lo que nos da 3 posibles soluciones para cada D.

(D ∧ ¬ D)= 0 para cualquier D, lo que nos da dos soluciones (para D = 1, D = 0).

Por lo tanto: soluciones totales 2*3 = 6.

Total de 6 soluciones.

Respuesta: 6

¿Cuántas soluciones diferentes tiene la ecuación?

(¬K ∨ ¬L ∨ ¬M) ∧ (L ∨ ¬M ∨ ¬N) = 0

¿Dónde K, L, M, N son variables lógicas? No es necesario que la respuesta enumere todos los diferentes conjuntos de valores de K, L, M y N para los que se cumple esta igualdad. Como respuesta, solo necesita indicar el número de dichos conjuntos.

Explicación.

Apliquemos la negación a ambos lados de la ecuación:

(K ∧ L ∧ M) ∨ (¬L ∧ M ∧ N) = 1

El OR lógico es verdadero en tres casos.

Opción 1.

K ∧ L ∧ M = 1, entonces K, L, M = 1 y ¬L ∧ M ∧ N = 0. N es arbitrario, es decir, 2 soluciones.

Opcion 2.

¬L ∧ M ∧ N = 1, entonces N, M = 1; L = 0, K cualquiera, es decir, 2 soluciones.

Por tanto la respuesta es 4.

Respuesta: 4

A, B y C son números enteros para los cuales la afirmación es verdadera.

¬ (A = B) ∧ ((A > B)→(B > C)) ∧ ((B > A)→(C > B)).

¿A qué es igual B si A = 45 y C = 43?

Explicación.

1) ¬(A = B); (A > B) → (B > C); (B > A)→(C > B);

2) estas declaraciones simples están conectadas por la operación ∧ (Y, conjunción), es decir, deben ejecutarse simultáneamente;

3) de ¬(A = B)=1 se sigue inmediatamente que A B;

4) supongamos que A > B, entonces de la segunda condición obtenemos 1→(B > C)=1; esta expresión puede ser verdadera si y sólo si B > C = 1;

5) por lo tanto tenemos A > B > C, sólo el número 44 corresponde a esta condición;

6) por si acaso, marquemos también la opción A 0 →(B > C)=1;

esta expresión es cierta para cualquier B; Ahora miramos la tercera condición y obtenemos

esta expresión puede ser verdadera si y sólo si C > B, y aquí tenemos una contradicción, porque no existe tal número B para el cual C > B > A.

Respuesta: 44.

Respuesta: 44

Construir una tabla de verdad para una función lógica.

X = (A ↔ B) ∨ ¬(A → (B ∨ C))

en la que la columna de valores del argumento A es la representación binaria del número 27, la columna de valores del argumento B es el número 77, la columna de valores del argumento C es el número 120. El número en la columna se escribe de arriba a abajo, desde el más significativo al menos significativo (incluido el conjunto cero). Convierta la representación binaria resultante de los valores de la función X al sistema numérico decimal.

Explicación.

Escribamos la ecuación usando notación más simple para operaciones:

1) esta es una expresión con tres variables, por lo que habrá líneas en la tabla de verdad; por lo tanto, la representación binaria de los números utilizados para construir las columnas A, B y C de la tabla debe constar de 8 dígitos.

2) convertir los números 27, 77 y 120 al sistema binario, sumando inmediatamente hasta 8 dígitos de ceros al comienzo de los números

3) es poco probable que pueda escribir inmediatamente los valores de la función X para cada combinación, por lo que es conveniente agregar columnas adicionales a la tabla para calcular resultados intermedios (consulte la tabla a continuación)

4) complete las columnas de la tabla:

el valor es 1 solo en aquellas líneas donde A = B

el valor es 1 en aquellas líneas donde B o C = 1

el valor es 0 solo en aquellas líneas donde A = 1 y B + C = 0

el valor es el inverso de la columna anterior (0 se reemplaza por 1 y 1 se reemplaza por 0)

el resultado de X (última columna) es la suma lógica de las dos columnas y

5) para obtener la respuesta, escribe los bits de la columna X de arriba a abajo:

6) convierte este número al sistema decimal:

Respuesta: 171

¿Cuál es el mayor entero X para el cual la afirmación (10 (X+1)·(X+2)) es verdadera?

Explicación.

La ecuación es una operación de implicación entre dos relaciones:

1) Por supuesto, aquí puedes aplicar el mismo método que en el ejemplo 2208, pero necesitarás resolver ecuaciones cuadráticas(No quiero…);

2) Tenga en cuenta que por condición solo nos interesan los números enteros, por lo que podemos intentar transformar de alguna manera la expresión original, obteniendo una declaración equivalente ( valores exactos¡No nos interesan en absoluto las raíces!);

3) Considere la desigualdad: obviamente, puede ser un número positivo o negativo;

4) Es fácil comprobar que en el dominio la afirmación es verdadera para todos los números enteros , y en el dominio - para todos los números enteros (para no confundirse, es más conveniente utilizar desigualdades no estrictas y , en lugar de y );

5) Por tanto, para números enteros se puede sustituir por una expresión equivalente.

6) el dominio de verdad de una expresión es la unión de dos intervalos infinitos;

7) Consideremos ahora la segunda desigualdad: es obvio que también puede ser un número positivo o negativo;

8) En la región, la afirmación es verdadera para todos los números enteros, y en la región, para todos los números enteros, por lo tanto, para los números enteros se puede reemplazar por una expresión equivalente.

9) el dominio de verdad de la expresión es un intervalo cerrado;

10) La expresión dada es verdadera en todas partes, excepto en las áreas donde y ;

11) Tenga en cuenta que el valor ya no es adecuado, porque allí y , es decir, la implicación da 0;

12) Al sustituir 2, (10 (2+1) · (2+2)), o 0 → 0 que satisface la condición.

Entonces la respuesta es 2.

Respuesta: 2

¿Cuál es el mayor número entero X para el cual la afirmación es verdadera?

(50 (X+1)·(X+1))?

Explicación.

Apliquemos la transformación de implicación y transformemos la expresión:

(50 (X+1)·(X+1)) ⇔ ¬(X 2 > 50) ∨ ((X+1) 2) ∨ (|X+1|).

El OR lógico es verdadero cuando al menos una afirmación lógica es verdadera. Resueltas ambas desigualdades y teniendo en cuenta que vemos que el mayor número entero para el que se satisface al menos una de ellas es 7 (en la figura, la solución positiva de la segunda desigualdad se muestra en amarillo y la primera en azul).

Respuesta: 7

Indique los valores de las variables K, L, M, N, en los que la expresión lógica

(¬(M ∨ L) ∧ K) → (¬K ∧ ¬M ∨ N)

FALSO. Escribe la respuesta como una cadena de 4 caracteres: los valores de las variables K, L, M y N (en ese orden). Entonces, por ejemplo, la línea 1101 corresponde al hecho de que K=1, L=1, M=0, N=1.

Explicación.

Duplica la tarea 3584.

Respuesta: 1000

(¬K ∨ M) → (¬L ∨ M ∨ N)

Explicación.

Apliquemos la transformación de implicaciones:

(K ∧ ¬M) ∨ (¬L ∨ M ∨ N) = 0

Apliquemos la negación a ambos lados de la ecuación:

(¬K ∨ M) ∧ L ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

Transformemos:

(¬K ∧ L ∨ M ∧ L) ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

Por lo tanto, M = 0, N = 0, ahora considere (¬K ∧ L ∨ M ∧ L):

del hecho de que M = 0, N = 0 se deduce que M ∧ L = 0, entonces ¬K ∧ L = 1, es decir, K = 0, L = 1.

Respuesta: 0100

Especifique los valores de las variables K, L, M, N en los que la expresión lógica

(¬(M ∨ L) ∧ K) → ((¬K ∧ ¬M) ∨ N)

FALSO. Escribe tu respuesta como una cadena de cuatro caracteres: los valores de las variables K, L, M y N (en ese orden). Entonces, por ejemplo, la línea 1101 corresponde al hecho de que K=1, L=1, M=0, N=1.

Explicación.

Escribamos la ecuación usando una notación de operaciones más simple (la condición "la expresión es falsa" significa que es igual al cero lógico):

1) de la formulación de la condición se deduce que la expresión debe ser falsa solo para un conjunto de variables

2) de la tabla de verdad de la operación “implicación” se deduce que esta expresión es falsa si y sólo si al mismo tiempo

3) la primera igualdad (el producto lógico es igual a 1) se cumple si y sólo si y ; de esto se sigue (la suma lógica es igual a cero), lo cual sólo puede suceder cuando ; Así, ya hemos definido tres variables.

4) de la segunda condición, , para y obtenemos .

Duplica la tarea

Respuesta: 1000

Especifique los valores de las variables lógicas P, Q, S, T, en las que la expresión lógica

(P ∨ ¬Q) ∨ (Q → (S ∨ T)) es falso.

Escribe la respuesta como una cadena de cuatro caracteres: los valores de las variables P, Q, S, T (en ese orden).

Explicación.

(1) (P ∨ ¬Q) = 0

(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0

(1) (P ∨ ¬Q) = 0 => P = 0, Q = 1.

(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0 Apliquemos la transformación de implicación:

¬Q ∨ S ∨ T = 0 => S = 0, T = 0.

Respuesta: 0100

Especifique los valores de las variables K, L, M, N en los que la expresión lógica

(K → M) ∨ (L ∧ K) ∨ ¬norte

FALSO. Escribe tu respuesta como una cadena de cuatro caracteres: los valores de las variables K, L, M y N (en ese orden). Entonces, por ejemplo, la línea 1101 corresponde al hecho de que K=1, L=1, M=0, N=1.

Explicación.

El OR lógico es falso si y sólo si ambas afirmaciones son falsas.

(K → M) = 0, (L ∧ K) ∨ ¬N = 0.

Apliquemos la transformación de implicación para la primera expresión:

¬K ∨ M = 0 => K = 1, M = 0.

Considere la segunda expresión:

(L ∧ K) ∨ ¬N = 0 (ver el resultado de la primera expresión) => L ∨ ¬N = 0 => L = 0, N = 1.

Respuesta: 1001.

Respuesta: 1001

Especifique los valores de las variables K, L, M, N en los que la expresión lógica

(K → M) ∧ (K → ¬M) ∧ (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N))

verdadero. Escribe tu respuesta como una cadena de cuatro caracteres: los valores de las variables K, L, M y N (en ese orden). Entonces, por ejemplo, la línea 1101 corresponde al hecho de que K=1, L=1, M=0, N=1.

Explicación.

El "Y" lógico es verdadero si y sólo si ambas afirmaciones son verdaderas.

1) (K → M) = 1 Aplicar la transformación de implicación: ¬K ∨ M = 1

2) (K → ¬M) = 1 Aplicar la transformación de implicación: ¬K ∨ ¬M = 1

De ello se deduce que K = 0.

3) (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N)) = 1 Aplicamos la transformación de implicación: K ∨ (M ∧ ¬L ∧ N) = 1 de que K = 0 obtenemos:

M ∧ ¬L ∧ N = 1 => M = 1, L = 0, N = 1.

Respuesta: 0011

Se sabe que para los números enteros X, Y y Z se cumple la siguiente afirmación:

(Z ¿A qué equivale Z si X=25 e Y=48?

Explicación.

Después de sustituir los números, obtenemos que Z = 47.

Tenga en cuenta que esta declaración compleja consta de tres simples.

1) (Z 2) estas declaraciones simples están conectadas por la operación ∧ (Y, conjunción), es decir, deben ejecutarse simultáneamente.

3) de ¬(Z+1 24, y de ¬(Z+1 47.

4) de (Z Z Respuesta: 47.

Respuesta: 47

A, B y C son números enteros para los cuales se cumple la siguiente afirmación:

(C ¿Cuál es el valor de C si A=45 y B=18?

Explicación.

El "Y" lógico es verdadero si y sólo si ambas afirmaciones son verdaderas.

Sustituyamos los números en la expresión:

1) (C (C 2) ¬(C+1, C ≥ 44.

3) ¬(C+1, C≥ 17.

De 2) y 1) se deduce que C

Respuesta: 44

¬(A = B) ∧ ((B A)) ∧ ((A 2C))

¿Cuál es el valor de A si C = 8 y B = 18?

Explicación.

El "Y" lógico es verdadero si y sólo si ambas afirmaciones son verdaderas.

1) ¬(A = B) = 1, es decir, A ≠ 18 = 1.

2) ((B A)) Aplicar la transformación de implicación: (18 > A) ∨ (16 > A) = 1

3) (A 2C) Aplicar la transformación de implicación: (A > 18) ∨ (A > 16) = 1

De 2) y 3) se sigue que (18 > A) y (A > 16), ya que en caso contrario surge una contradicción: A = 17.

Respuesta: 17

A, B y C son números enteros para los cuales la afirmación es verdadera.

¬(A = B) ∧ ((A > B) → (C = B)) ∧ ((B > A) → (C = A))

¿Cuál es el valor de B si A = 45 y C = 18?

Explicación.

El "Y" lógico es verdadero sólo si todas las afirmaciones son verdaderas.

Sea una función lógica de n variables. La ecuación lógica se ve así:

La constante C tiene el valor 1 o 0.

Una ecuación lógica puede tener desde 0 hasta diferentes soluciones. Si C es igual a 1, entonces las soluciones son todos aquellos conjuntos de variables de la tabla de verdad para las cuales la función F toma el valor verdadero (1). Los conjuntos restantes son soluciones de la ecuación con C igual a cero. Siempre puedes considerar solo ecuaciones de la forma:

De hecho, déjese la ecuación:

En este caso, podemos ir a la ecuación equivalente:

Considere un sistema de k ecuaciones lógicas:

La solución de un sistema es un conjunto de variables en las que se satisfacen todas las ecuaciones del sistema. En términos de funciones lógicas, para obtener una solución a un sistema de ecuaciones lógicas, se debe encontrar un conjunto en el que la función lógica Ф sea verdadera, que represente la conjunción de las funciones originales:

Si el número de variables es pequeño, por ejemplo, menos de 5, entonces no es difícil construir una tabla de verdad para la función, que nos permita decir cuántas soluciones tiene el sistema y cuáles son los conjuntos que proporcionan soluciones.

En algunos Tareas del examen estatal unificado para encontrar soluciones a un sistema de ecuaciones lógicas, el número de variables llega a 10. Entonces construir una tabla de verdad se convierte en una tarea casi imposible. Resolver el problema requiere un enfoque diferente. Para un sistema arbitrario de ecuaciones no existen método general, a diferencia de la fuerza bruta, que permite solucionar este tipo de problemas.

En los problemas propuestos en el examen, la solución suele basarse en tener en cuenta las particularidades del sistema de ecuaciones. Repito, aparte de probar todas las opciones para un conjunto de variables, no existe una forma general de resolver el problema. La solución debe construirse en función de las características específicas del sistema. A menudo resulta útil realizar una simplificación preliminar de un sistema de ecuaciones utilizando leyes lógicas conocidas. Otro truco útil La solución a este problema es la siguiente. No nos interesan todos los conjuntos, sino sólo aquellos en los que la función tiene el valor 1. En lugar de construir mesa completa En verdad, construiremos su análogo: un árbol de decisión binario. Cada rama de este árbol corresponde a una solución y especifica un conjunto en el que la función tiene el valor 1. El número de ramas del árbol de decisión coincide con el número de soluciones del sistema de ecuaciones.

Explicaré qué es un árbol de decisión binario y cómo se construye utilizando ejemplos de varios problemas.

Problema 18

¿Cuántos conjuntos diferentes de valores de las variables lógicas x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 hay que satisfacen el sistema de dos ecuaciones?

Respuesta: El sistema tiene 36 soluciones diferentes.

Solución: El sistema de ecuaciones incluye dos ecuaciones. Encontremos el número de soluciones para la primera ecuación, dependiendo de 5 variables - . La primera ecuación puede a su vez considerarse como un sistema de 5 ecuaciones. Como se ha demostrado, el sistema de ecuaciones en realidad representa la conjunción de funciones lógicas. La afirmación inversa también es cierta: una conjunción de condiciones puede considerarse como un sistema de ecuaciones.

Construyamos un árbol de decisión para la implicación (): el primer término de la conjunción, que puede considerarse como la primera ecuación. Así es como se ve una representación gráfica de este árbol

El árbol consta de dos niveles según el número de variables de la ecuación. El primer nivel describe la primera variable. Dos ramas de este nivel reflejan los valores posibles de esta variable: 1 y 0. En el segundo nivel, las ramas del árbol reflejan solo aquellos valores posibles de la variable para los cuales la ecuación se evalúa como verdadera. Dado que la ecuación especifica una implicación, una rama en la que tiene el valor 1 requiere que en esta rama haya un valor de 1. Una rama en la que tiene el valor 0 genera dos ramas con valores iguales a 0 y 1. La estructura construida El árbol especifica tres soluciones, en las cuales la implicación toma el valor 1. En cada rama, se escribe un conjunto correspondiente de valores de variables, que dan una solución a la ecuación.

Estos conjuntos son: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))

Sigamos construyendo el árbol de decisión agregando la siguiente ecuación, la siguiente implicación. La especificidad de nuestro sistema de ecuaciones es que cada nueva ecuación del sistema utiliza una variable de la ecuación anterior, agregando una nueva variable. Dado que la variable ya tiene valores en el árbol, en todas las ramas donde la variable tiene un valor de 1, la variable también tendrá un valor de 1. Para tales ramas, la construcción del árbol continúa al siguiente nivel, pero no aparecen nuevas ramas. Una sola rama donde la variable tiene un valor de 0 se bifurcará en dos ramas donde la variable recibirá los valores 0 y 1. Así, cada adición de una nueva ecuación, dada su especificidad, suma una solución. Primera ecuación original:

tiene 6 soluciones. Esto es lo que parece árbol completo soluciones para esta ecuación:

La segunda ecuación de nuestro sistema es similar a la primera:

La única diferencia es que la ecuación usa Y variables. Esta ecuación también tiene 6 soluciones. Dado que cada solución variable se puede combinar con cada solución variable, entonces numero total Hay 36 soluciones.

Tenga en cuenta que el árbol de decisión construido proporciona no solo el número de soluciones (según el número de ramas), sino también las soluciones mismas escritas en cada rama del árbol.

Problema 19

¿Cuántos conjuntos diferentes de valores de las variables lógicas x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 existen que satisfacen todas las condiciones que se enumeran a continuación?

Esta tarea es una modificación de la tarea anterior. La diferencia es que se suma otra ecuación que relaciona las variables X e Y.

De la ecuación se deduce que cuando tiene un valor de 1 (existe una de esas soluciones), entonces tiene un valor de 1. Por lo tanto, hay un conjunto en el que y tiene valores de 1. Cuando es igual a 0, puede tienen cualquier valor, tanto 0 como 1. Por lo tanto, cada conjunto con , igual a 0, y hay 5 de esos conjuntos, corresponde a los 6 conjuntos con variables Y. Por lo tanto, el número total de soluciones es 31.

Problema 20

Solución: Recordando las equivalencias básicas, escribimos nuestra ecuación como:

La cadena cíclica de implicaciones significa que las variables son idénticas, por lo que nuestra ecuación es equivalente a la ecuación:

Esta ecuación tiene dos soluciones cuando todas son 1 o 0.

Problema 21

Cuantas soluciones tiene la ecuación:

Solución: Al igual que en el problema 20, pasamos de implicaciones cíclicas a identidades, reescribiendo la ecuación en la forma:

Construyamos un árbol de decisión para esta ecuación:

Problema 22

¿Cuántas soluciones tiene el siguiente sistema de ecuaciones?

Hay varias formas de resolver sistemas de ecuaciones lógicas. Esto es reducción a una ecuación, construcción de una tabla de verdad y descomposición.

Tarea: Resolver un sistema de ecuaciones lógicas:

Consideremos método de reducción a una ecuación . Este método implica transformar ecuaciones lógicas para que sus lados derechos sean iguales al valor de verdad (es decir, 1). Para hacer esto, use la operación de negación lógica. Luego, si las ecuaciones contienen operaciones lógicas complejas, las reemplazamos por operaciones básicas: “Y”, “O”, “NO”. El siguiente paso es combinar las ecuaciones en una sola, equivalente al sistema, usando la operación lógica “Y”. Después de esto, debes transformar la ecuación resultante basándose en las leyes del álgebra lógica y obtener una solución específica para el sistema.

Solución 1: Aplicar inversión a ambos lados de la primera ecuación:

Imaginemos la implicación a través de las operaciones básicas “O” y “NO”:

Dado que los lados izquierdos de las ecuaciones son iguales a 1, podemos combinarlos usando la operación "Y" en una ecuación que sea equivalente al sistema original:

Abrimos el primer paréntesis según la ley de De Morgan y transformamos el resultado obtenido:

La ecuación resultante tiene una solución: A =0, B=0 y C=1.

El siguiente método es construir tablas de verdad . Dado que las cantidades lógicas tienen solo dos valores, simplemente puede revisar todas las opciones y encontrar entre ellas aquellas para las que se satisface un sistema de ecuaciones determinado. Es decir, construimos una tabla de verdad común para todas las ecuaciones del sistema y encontramos una recta con los valores requeridos.

Solución 2: Creemos una tabla de verdad para el sistema:

La línea para la cual se cumplen las condiciones de la tarea está resaltada en negrita. Entonces A=0, B=0 y C=1.

Forma descomposición . La idea es fijar el valor de una de las variables (igualarlo a 0 o 1) y así simplificar las ecuaciones. Luego puedes fijar el valor de la segunda variable, y así sucesivamente.

Solución 3: Sea A = 0, entonces:

De la primera ecuación obtenemos B = 0, y de la segunda, C = 1. Solución del sistema: A = 0, B = 0 y C = 1.

En el examen de informática, muy a menudo es necesario determinar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lógicas, sin encontrar las soluciones mismas, también existen ciertos métodos para ello; La forma principal de encontrar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lógicas esreemplazando variables. Primero, debe simplificar cada una de las ecuaciones tanto como sea posible según las leyes del álgebra lógica y luego reemplazar las partes complejas de las ecuaciones con nuevas variables y determinar el número de soluciones para el nuevo sistema. Luego, regrese al reemplazo y determine la cantidad de soluciones para él.

Tarea:¿Cuántas soluciones tiene la ecuación (A →B) + (C →D) = 1? Donde A, B, C, D son variables lógicas.

Solución: Introduzcamos nuevas variables: X = A →B e Y = C →D. Teniendo en cuenta las nuevas variables, la ecuación quedará escrita como: X + Y = 1.

La disyunción es verdadera en tres casos: (0;1), (1;0) y (1;1), mientras que X e Y son implicaciones, es decir, es verdadera en tres casos y falsa en uno. Por tanto, el caso (0;1) corresponderá a tres posibles combinaciones de parámetros. Caso (1;1) – corresponderá a nueve posibles combinaciones de parámetros de la ecuación original. Esto significa que el total de soluciones posibles a esta ecuación es 3+9=15.

La siguiente forma de determinar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lógicas es árbol binario. Veamos este método usando un ejemplo.

Tarea:¿Cuántas soluciones diferentes tiene el sistema de ecuaciones lógicas?

El sistema de ecuaciones dado es equivalente a la ecuación:

(X 1 → X 2 )*(X 2 → X 3 )*…*(xm -1 → xm) = 1.

pretendamos que X 1 – es cierto, entonces de la primera ecuación obtenemos que X 2 También es cierto, desde el segundo. X 3 =1, y así sucesivamente hasta xm= 1. Esto significa que el conjunto (1; 1;…; 1) de m unidades es una solución del sistema. Déjalo ahora X 1 =0, entonces de la primera ecuación tenemos X 2 =0 o X 2 =1.

Cuando X 2 cierto, obtenemos que el resto de variables también lo son, es decir, el conjunto (0; 1; ...; 1) es una solución del sistema. En X 2 =0 entendemos eso X 3 =0 o X 3 =, y así sucesivamente. Continuando con la última variable, encontramos que las soluciones de la ecuación son los siguientes conjuntos de variables (solución m +1, cada solución contiene m valores de las variables):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

Este enfoque queda bien ilustrado mediante la construcción de un árbol binario. El número de soluciones posibles es el número de ramas diferentes del árbol construido. Es fácil ver que es igual a m +1.

En caso de dificultades en el razonamiento. investigación y construcciónde soluciones con las que puedes buscar una solución usando tablas de verdad, para una o dos ecuaciones.

Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma:

Y creemos una tabla de verdad por separado para una ecuación:

Creemos una tabla de verdad para dos ecuaciones:

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lógicas.

Puedes resolver un sistema de ecuaciones lógicas, por ejemplo, usando una tabla de verdad (si el número de variables no es demasiado grande) o usando un árbol de decisión, habiendo simplificado primero cada ecuación.

1. Método de reemplazo de variables.

La introducción de nuevas variables permite simplificar el sistema de ecuaciones, reduciendo el número de incógnitas.Las nuevas variables deben ser independientes entre sí.. Luego de resolver el sistema simplificado, debemos volver a las variables originales.

Consideremos la aplicación de este método usando un ejemplo específico.

Ejemplo.

((X1 ≡ X2) ∧ (X3 ≡ X4)) ∨ (¬(X1 ≡ X2) ∧ ¬(X3 ≡ X4)) = 0

((X3 ≡ X4) ∧ (X5 ≡ X6)) ∨ (¬(X3 ≡ X4) ∧ ¬(X5 ≡ X6)) = 0

((X5 ≡ X6) ∧ (X7 ≡ X8)) ∨ (¬(X5 ≡ X6) ∧ ¬(X7 ≡ X8)) = 0

((X7 ≡ X8) ∧ (X9 ≡ X10)) ∨ (¬(X7 ≡ X8) ∧ ¬(X9 ≡ X10)) = 0

Solución:

Introduzcamos nuevas variables: A=(X1≡X2); B=(X3 ≡ X4); С=(X5 ≡ X6); D=(X7 ≡ X8); mi=(X9 ≡ X10).

(¡Atención! Cada una de las variables x1, x2, ..., x10 debe incluirse en sólo una de las nuevas variables A, B, C, D, E, es decir. las nuevas variables son independientes entre sí).

Entonces el sistema de ecuaciones quedará así:

(A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)=0

(B ∧ C) ∨ (¬B ∧ ¬C)=0

(C ∧ D) ∨ (¬C ∧ ¬D)=0

(D ∧ E) ∨ (¬D ∧ ¬E)=0

Construyamos un árbol de decisión para el sistema resultante:

Considere la ecuación A=0, es decir (X1≡ X2)=0. Tiene 2 raíces:

En la misma tabla se puede ver que la ecuación A=1 también tiene 2 raíces. Organicemos el número de raíces en el árbol de decisión:

Para encontrar la cantidad de soluciones de una rama, debes multiplicar la cantidad de soluciones en cada nivel. La rama izquierda tiene 2⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=32 soluciones; la rama derecha también tiene 32 soluciones. Aquellos. todo el sistema tiene 32+32=64 soluciones.

Respuesta: 64.

2. Método de razonamiento.

La dificultad de resolver sistemas de ecuaciones lógicas radica en lo engorroso de un árbol de decisión completo. El método de razonamiento le permite no construir el árbol completo, sino comprender cuántas ramas tendrá. Veamos este método usando ejemplos específicos.

Ejemplo 1. ¿Cuántos conjuntos diferentes de valores de las variables lógicas x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 existen que satisfacen todas las condiciones que se enumeran a continuación?

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1

(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1

x1\/y1 =1

No es necesario que la respuesta enumere todos los diferentes conjuntos de valores de las variables x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 para los que se satisface este sistema de igualdades. Como respuesta, debe indicar el número de dichos conjuntos.

Solución :

La primera y segunda ecuaciones contienen variables independientes que están relacionadas por la tercera condición. Construyamos un árbol de soluciones para la primera y segunda ecuaciones.

Para representar un árbol de soluciones para un sistema de la primera y segunda ecuaciones, cada rama del primer árbol debe continuar con un árbol de variables. en . El árbol así construido tendrá 36 ramas. Algunas de estas ramas no satisfacen la tercera ecuación del sistema. Marquemos el número de ramas del árbol en el primer árbol."y" , que satisfacen la tercera ecuación:

Expliquemos: para satisfacer la tercera condición, cuando x1=0 debe haber y1=1, es decir, todas las ramas del árbol."X" , donde x1=0 puede continuar con una sola rama del árbol"y" . Y sólo por una rama del árbol"X" (derecha) todas las ramas del árbol encajan"y". Así, el árbol completo de todo el sistema contiene 11 ramas. Cada rama representa una solución del sistema de ecuaciones original. Esto significa que todo el sistema tiene 11 soluciones.

Respuesta: 11.

Ejemplo 2. ¿Cuántas soluciones diferentes tiene el sistema de ecuaciones?

(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ∧ X10) ∨ (¬X1 ∧ ¬ X10)= 1

(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ∧ X10) ∨ (¬X2 ∧ ¬ X10)= 1.

………………

(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ∧ X10) ∨ (¬X9 ∧ ¬ X10)= 1

(X1 ≡ X10) = 0

¿Dónde x1, x2,…, x10 son variables lógicas? No es necesario que la respuesta enumere todos los diferentes conjuntos de valores de variables para los que se cumple esta igualdad. Como respuesta, debe indicar el número de dichos conjuntos.

Solución : Simplifiquemos el sistema. Construyamos una tabla de verdad para parte de la primera ecuación:

Presta atención a la última columna, coincide con el resultado de la acción. X1 ≡ X10.

Después de la simplificación obtenemos:

(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ≡ X10)=1

(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ≡ X10)=1

(X3 ≡ X4) ∨ (X3 ≡ X10)=1

……

(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ≡ X10)=1

(X1 ≡ X10) = 0

Considere la última ecuación:(X1 ≡ X10) = 0, es decir x1 no debe coincidir con x10. Para que la primera ecuación sea igual a 1, la igualdad debe ser verdadera(X1 ≡ X2)=1, es decir x1 debe coincidir con x2.

Construyamos un árbol de soluciones para la primera ecuación:

Considere la segunda ecuación: para x10=1 y para x2=0 el soportedebe ser igual a 1 (es decir, x2 coincide con x3); para x10=0 y para x2=1 soporte(X2 ≡ X10)=0, lo que significa el soporte (X2 ≡ X3) debe ser igual a 1 (es decir, x2 coincide con x3):

Razonando de esta manera, construimos un árbol de decisión para todas las ecuaciones:

Por tanto, el sistema de ecuaciones tiene sólo 2 soluciones.

Respuesta: 2.

Ejemplo 3.

¿Cuántos conjuntos diferentes de valores de las variables lógicas x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4, z1, z2, z3, z4 existen que satisfacen todas las condiciones que se enumeran a continuación?

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) = 1

(¬x1 /\ y1 /\ z1) \/ (x1 /\ ¬y1 /\ z1) \/ (x1 /\ y1 /\ ¬z1) = 1

(¬x2 /\ y2 /\ z2) \/ (x2 /\ ¬y2 /\ z2) \/ (x2 /\ y2 /\ ¬z2) = 1

(¬x3 /\ y3 /\ z3) \/ (x3 /\ ¬y3 /\ z3) \/ (x3 /\ y3 /\ ¬z3) = 1

(¬x4 /\ y4 /\ z4) \/ (x4 /\ ¬y4 /\ z4) \/ (x4 /\ y4 /\ ¬z4) = 1

Solución:

Construyamos un árbol de soluciones para la primera ecuación:

Considere la segunda ecuación:

• Cuando x1=0 : el segundo y tercer paréntesis serán iguales a 0; para que el primer paréntesis sea igual a 1, y1=1, z1=1 (es decir, en este caso, 1 solución)
• Cuando x1=1 : el primer paréntesis será igual a 0; segundo o el tercer paréntesis debe ser igual a 1; el segundo paréntesis será igual a 1 cuando y1=0 y z1=1; el tercer paréntesis será igual a 1 cuando y1=1 y z1=0 (es decir, en este caso, 2 soluciones).

Lo mismo ocurre con las ecuaciones restantes. Observemos el número resultante de soluciones para cada nodo del árbol:

Para saber el número de soluciones para cada rama, multiplique los números resultantes por separado para cada rama (de izquierda a derecha).

1 rama: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 solución

Rama 2: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 2 =2 soluciones

3ra rama: 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 2 =4 soluciones

4ta rama: 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 =8 soluciones

5ta rama: 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=16 soluciones

Sumemos los números resultantes: hay 31 soluciones en total.

Respuesta: 31.

3. Aumento natural del número de raíces.

En algunos sistemas, el número de raíces de la siguiente ecuación depende del número de raíces de la ecuación anterior.

Ejemplo 1. ¿Cuántos conjuntos diferentes de valores de las variables lógicas x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10 existen que satisfacen todas las condiciones que se enumeran a continuación?

¬(x1 ≡ x2) ∧ ((x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)) = 0

¬(x2 ≡ x3) ∧ ((x2 ∧ ¬x4) ∨ (¬x2 ∧ x4)) = 0

¬(x8 ≡ x9) ∧ ((x8 ∧ ¬x10) ∨ (¬x8 ∧ x10)) = 0

simplifiquemos primera ecuación:(x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)=x1 ⊕ x3=¬(x1 ≡ x3). Entonces el sistema tomará la forma:

¬(x1 ≡ x2) ∧ ¬(x1 ≡ x3) = 0

¬(x2 ≡ x3) ∧ ¬(x2 ≡ x4)= 0

¬(x8 ≡ x9) ∧ ¬(x8 ≡ x10) = 0

Etc.

Cada siguiente ecuación tiene 2 raíces más que la anterior.

4 ecuación tiene 12 raíces;

La ecuación 5 tiene 14 raíces.

La ecuación 8 tiene 20 raíces.

Respuesta: 20 raíces.

A veces el número de raíces crece según la ley de Fibonacci.

Resolver un sistema de ecuaciones lógicas requiere un enfoque creativo.