Calculadora en línea.
Aislar el cuadrado de un binomio y factorizar un trinomio cuadrado.
Este programa de matemáticas distingue el binomio cuadrado del trinomio cuadrado, es decir. hace una transformación como: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) y factoriza trinomio cuadrático : \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)
Aquellos. los problemas se reducen a encontrar los números \(p, q\) y \(n, m\)
El programa no sólo da la respuesta al problema, sino que también muestra el proceso de solución.
Este programa puede ser útil para estudiantes de secundaria. escuelas secundarias en preparación para pruebas y exámenes, al evaluar conocimientos antes del Examen Estatal Unificado, para que los padres controlen la solución de muchos problemas de matemáticas y álgebra. ¿O tal vez le resulte demasiado caro contratar un tutor o comprar libros de texto nuevos? ¿O simplemente quieres hacerlo lo más rápido posible? tarea
¿En matemáticas o álgebra? En este caso, también puede utilizar nuestros programas con soluciones detalladas.
De esta forma, podrás realizar tu propia formación y/o la formación de tus hermanos o hermanas menores, mientras aumenta el nivel de formación en el campo de la resolución de problemas.
Si no está familiarizado con las reglas para ingresar un trinomio cuadrático, le recomendamos que se familiarice con ellas.
Reglas para ingresar un polinomio cuadrático
Cualquier letra latina puede actuar como variable.
Por ejemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.
Los números se pueden ingresar como números enteros o fraccionarios.
Además, los números fraccionarios se pueden ingresar no solo como decimal, sino también como fracción ordinaria.
Reglas para ingresar fracciones decimales.
En fracciones decimales, la parte fraccionaria se puede separar de la parte entera mediante un punto o una coma. Por ejemplo, puedes introducir decimales
así: 2,5x - 3,5x^2
Reglas para ingresar fracciones ordinarias.
Sólo un número entero puede actuar como numerador, denominador y parte entera de una fracción.
El denominador no puede ser negativo. /
Al ingresar una fracción numérica, el numerador se separa del denominador mediante un signo de división: &
La parte entera está separada de la fracción por el signo comercial:
Entrada: 3 y 1/3 - 5 y 6/5x +1/7x^2
Resultado: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\) Al ingresar una expresión puedes usar paréntesis
. En este caso, al resolver, primero se simplifica la expresión introducida.
Por ejemplo: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2) Ejemplo
Aislando el cuadrado de un binomio.$$ hacha^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Respuesta:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Factorización.$$ hacha^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\izquierda(x^2+x-2 \derecha) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \derecha) = $$ $$ 2 \izquierda(x -1 \derecha) \izquierda(x +2 \derecha) $$ Respuesta:$$2x^2+2x-4 = 2 \izquierda(x -1 \derecha) \izquierda(x +2 \derecha) $$
Se descubrió que algunos scripts necesarios para resolver este problema no estaban cargados y es posible que el programa no funcione.
Es posible que tengas habilitado AdBlock.
En este caso, desactívelo y actualice la página.
Para que aparezca la solución, debe habilitar JavaScript.
Aquí hay instrucciones sobre cómo habilitar JavaScript en su navegador.
Porque Hay mucha gente dispuesta a solucionar el problema, tu solicitud ha quedado en cola.
En unos segundos la solución aparecerá a continuación.
Espere por favor segundo...
Si usted Noté un error en la solución., entonces puedes escribir sobre esto en el formulario de comentarios.
no lo olvides indicar que tarea tu decides que entrar en los campos.
Nuestros juegos, rompecabezas, emuladores:
Un poco de teoría.
Aislar el cuadrado de un binomio de un trinomio cuadrado
Si el trinomio cuadrado ax 2 +bx+c se representa como a(x+p) 2 +q, donde p y q son números reales, entonces decimos que de trinomio cuadrado, se resalta el cuadrado del binomio.
Del trinomio 2x 2 +12x+14 extraemos el cuadrado del binomio.
\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)
Para hacer esto, imagina 6x como producto de 2*3*x, y luego suma y resta 3 2. Obtenemos:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$
Eso. Nosotros extraer el binomio cuadrado del trinomio cuadrado, y demostró que:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$
Factorizar un trinomio cuadrático
Si el trinomio cuadrado ax 2 +bx+c se representa en la forma a(x+n)(x+m), donde n y m son números reales, entonces se dice que la operación se ha realizado factorización de un trinomio cuadrático.
Demostremos con un ejemplo cómo se realiza esta transformación.
Factoricemos el trinomio cuadrático 2x 2 +4x-6.
Saquemos el coeficiente a de paréntesis, es decir 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)
Transformemos la expresión entre paréntesis.
Para hacer esto, imagine 2x como la diferencia 3x-1x y -3 como -1*3. Obtenemos:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$
Eso. Nosotros factorizó el trinomio cuadrático, y demostró que:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$
Tenga en cuenta que factorizar un trinomio cuadrático solo es posible cuando la ecuación cuadrática correspondiente a este trinomio tiene raíces.
Aquellos. en nuestro caso, es posible factorizar el trinomio 2x 2 +4x-6 si la ecuación cuadrática 2x 2 +4x-6 =0 tiene raíces. En el proceso de factorización establecimos que la ecuación 2x 2 + 4x-6 = 0 tiene dos raíces 1 y -3, porque con estos valores, la ecuación 2(x-1)(x+3)=0 se convierte en una verdadera igualdad.
Desarrollar polinomios para obtener un producto a veces puede parecer confuso. Pero no es tan difícil si entiendes el proceso paso a paso. El artículo describe en detalle cómo factorizar un trinomio cuadrático.
Mucha gente no entiende cómo factorizar un trinomio cuadrado y por qué se hace. Al principio puede parecer un ejercicio inútil. Pero en matemáticas nada se hace por nada. La transformación es necesaria para simplificar la expresión y facilitar el cálculo.
Un polinomio de la forma – ax²+bx+c, llamado trinomio cuadrático. El término "a" debe ser negativo o positivo. En la práctica, esta expresión se llama ecuación cuadrática. Por eso, a veces lo dicen de otra manera: cómo expandir una ecuación cuadrática.
¡Interesante! Un polinomio se llama cuadrado debido a su en gran medida- cuadrado. Y un trinomio, debido a los 3 componentes.
Algunos otros tipos de polinomios:
- binomio lineal (6x+8);
- cuadrinomio cúbico (x³+4x²-2x+9).
Factorizar un trinomio cuadrático
Primero, la expresión es igual a cero, luego necesitas encontrar los valores de las raíces x1 y x2. Puede que no haya raíces, puede que haya una o dos raíces. La presencia de raíces está determinada por el discriminante. Es necesario saber de memoria su fórmula: D=b²-4ac.
Si el resultado D es negativo, no hay raíces. Si es positivo, hay dos raíces. Si el resultado es cero, la raíz es uno. Las raíces también se calculan mediante la fórmula.
Si al calcular el discriminante el resultado es cero, puedes utilizar cualquiera de las fórmulas. En la práctica, la fórmula simplemente se abrevia: -b / 2a.
Fórmulas para diferentes significados los discriminantes difieren.
Si D es positivo:
Si D es cero:
Calculadoras en línea
En internet hay calculadora en línea. Se puede utilizar para realizar factorización. Algunos recursos brindan la oportunidad de ver la solución paso a paso. Estos servicios ayudan a comprender mejor el tema, pero es necesario intentar comprenderlo bien.
Vídeo útil: Factorizar un trinomio cuadrático
Ejemplos
Te invitamos a ver ejemplos simples, cómo factorizar una ecuación cuadrática.
Ejemplo 1
Esto muestra claramente que el resultado son dos x porque D es positivo. Deben sustituirse en la fórmula. Si las raíces resultan negativas, el signo en la fórmula cambia al contrario.
Conocemos la fórmula para factorizar un trinomio cuadrático: a(x-x1)(x-x2). Ponemos los valores entre paréntesis: (x+3)(x+2/3). No hay ningún número antes de un término en una potencia. Esto significa que hay uno ahí, baja.
Ejemplo 2
Este ejemplo muestra claramente cómo resolver una ecuación que tiene una raíz.
Sustituimos el valor resultante:
Ejemplo 3
Dado: 5x²+3x+7
Primero, calculemos el discriminante, como en casos anteriores.
D=9-4*5*7=9-140= -131.
El discriminante es negativo, lo que significa que no hay raíces.
Después de recibir el resultado, debe abrir los corchetes y verificar el resultado. Debería aparecer el trinomio original.
Solución alternativa
Algunas personas nunca pudieron entablar amistad con el discriminador. Hay otra forma de factorizar un trinomio cuadrático. Por conveniencia, el método se muestra con un ejemplo.
Dado: x²+3x-10
Sabemos que deberíamos obtener 2 corchetes: (_)(_). Cuando la expresión queda así: x²+bx+c, al principio de cada paréntesis ponemos x: (x_)(x_). Los dos números restantes son el producto que da "c", es decir, en este caso -10. La única forma de saber qué números son estos es mediante selección. Los números sustituidos deben corresponder al término restante.
Por ejemplo, multiplicar los siguientes números da -10:
- -1, 10;
- -10, 1;
- -5, 2;
- -2, 5.
- (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. No.
- (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. No.
- (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. No.
- (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Encaja.
Esto significa que la transformación de la expresión x2+3x-10 se ve así: (x-2)(x+5).
¡Importante! Debes tener cuidado de no confundir las señales.
Expansión de un trinomio complejo
Si “a” es mayor que uno, comienzan las dificultades. Pero no todo es tan difícil como parece.
Para factorizar, primero debes ver si se puede factorizar algo.
Por ejemplo, dada la expresión: 3x²+9x-30. Aquí el número 3 está fuera de paréntesis:
3(x²+3x-10). El resultado es el ya conocido trinomio. La respuesta se ve así: 3(x-2)(x+5)
¿Cómo descomponer si el término que está en el cuadrado es negativo? EN en este caso El número -1 se elimina de paréntesis. Por ejemplo: -x²-10x-8. La expresión entonces se verá así:
El esquema difiere poco del anterior. Sólo hay algunas cosas nuevas. Digamos que se da la expresión: 2x²+7x+3. La respuesta también está escrita entre 2 corchetes que deben completarse (_)(_). En el segundo paréntesis se escribe x, y en el primero lo que queda. Se ve así: (2x_)(x_). En caso contrario se repite el esquema anterior.
El número 3 viene dado por los números:
- -1, -3;
- -3, -1;
- 3, 1;
- 1, 3.
Resolvemos ecuaciones sustituyendo estos números. Se adapta última opción. Esto significa que la transformación de la expresión 2x²+7x+3 se ve así: (2x+1)(x+3).
Otros casos
No siempre es posible convertir una expresión. Con el segundo método, no es necesario resolver la ecuación. Pero la posibilidad de transformar términos en un producto sólo se controla a través del discriminante.
Vale la pena practicar la resolución de ecuaciones cuadráticas para que no surjan dificultades al utilizar las fórmulas.
Vídeo útil: factorizar un trinomio
Conclusión
Puedes usarlo de cualquier manera. Pero es mejor practicar ambos hasta que se vuelvan automáticos. Además, aprender a resolver bien ecuaciones cuadráticas y factorizar polinomios es necesario para quienes planean conectar sus vidas con las matemáticas. Todos los siguientes temas matemáticos se basan en esto.
Factorizar trinomios cuadráticos es una de las tareas escolares a las que todo el mundo se enfrenta tarde o temprano. ¿Cómo hacerlo? ¿Cuál es la fórmula para factorizar un trinomio cuadrático? Averigüémoslo paso a paso usando ejemplos.
fórmula general
La factorización de trinomios cuadrados se realiza resolviendo ecuación cuadrática. Este es un problema simple que se puede resolver mediante varios métodos: al encontrar el discriminante usando el teorema de Vieta, también existe una solución gráfica. Los dos primeros métodos se estudian en la escuela secundaria.
La fórmula general se ve así:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)
Algoritmo para completar la tarea.
Para factorizar trinomios cuadráticos es necesario conocer el teorema de Vita, tener a mano un programa de solución, poder encontrar una solución gráficamente o buscar las raíces de una ecuación de segundo grado usando la fórmula discriminante. Si se da un trinomio cuadrático y es necesario factorizarlo, el algoritmo es el siguiente:
1) Iguala la expresión original a cero para obtener una ecuación.
2) Dar términos similares (si es necesario).
3) Encuentra las raíces usando cualquier método conocido. El método gráfico se utiliza mejor si se sabe de antemano que las raíces son números enteros y pequeños. Hay que recordar que el número de raíces es igual al grado máximo de la ecuación, es decir, la ecuación cuadrática tiene dos raíces.
4) Sustituir el valor incógnita en la expresión (1).
5) Escribe la factorización de trinomios cuadráticos.
Ejemplos
La práctica le permite comprender finalmente cómo se realiza esta tarea. Los siguientes ejemplos ilustran la factorización de un trinomio cuadrático:
es necesario ampliar la expresión:
Recurramos a nuestro algoritmo:
1) x 2-17x+32=0
2) los términos similares se reducen
3) usando la fórmula de Vieta, es difícil encontrar raíces para este ejemplo, por lo que es mejor usar la expresión para el discriminante:
D=289-128=161=(12,69) 2
4) Sustituyamos las raíces que encontramos en la fórmula básica de descomposición:
(x-2.155) * (x-14.845)
5) Entonces la respuesta será así:
x 2 -17x+32=(x-2.155)(x-14.845)
Comprobemos si las soluciones encontradas por el discriminante corresponden a las fórmulas de Vieta:
14,845 . 2,155=32
Para estas raíces se aplica el teorema de Vieta, se encontraron correctamente, por lo que la factorización que obtuvimos también es correcta.
Expandamos de manera similar 12x 2 + 7x-6.
x 1 =-7+(337) 1/2
x2=-7-(337)1/2
En el caso anterior, las soluciones no eran números enteros, sino números reales, que son fáciles de encontrar si tienes una calculadora delante. Ahora veamos más ejemplo complejo, en el que las raíces serán complejas: factor x 2 + 4x + 9. Usando la fórmula de Vieta, no se pueden encontrar las raíces y el discriminante es negativo. Las raíces estarán en el plano complejo.
D=-20
En base a esto obtenemos las raíces que nos interesan -4+2i*5 1/2 y -4-2i * 5 1/2 ya que (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .
Obtenemos la descomposición deseada sustituyendo las raíces en la fórmula general.
Otro ejemplo: necesitas factorizar la expresión 23x 2 -14x+7.
tenemos la ecuacion 23x 2-14x+7 =0
D=-448
Esto significa que las raíces son 14+21.166i y 14-21.166i. La respuesta será:
23x 2-14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(INCÓGNITA- 14+21,166i ).
Pongamos un ejemplo que se puede resolver sin la ayuda de un discriminante.
Digamos que necesitamos expandir la ecuación cuadrática x 2 -32x+255. Evidentemente también se puede resolver utilizando un discriminante, pero en este caso es más rápido encontrar las raíces.
x1=15
x2=17
Medio x2 -32x+255 =(x-15)(x-17).
Trinomio cuadrado se llama trinomio de la forma a*x 2 +b*x+c, donde a,b,c son algunos números reales arbitrarios y x es una variable. Además, el número a no debe ser igual a cero.
Los números a,b,c se llaman coeficientes. El número a se llama coeficiente principal, el número b es el coeficiente de x y el número c se llama término libre.
Raíz de un trinomio cuadrado a*x 2 +b*x+c es cualquier valor de la variable x tal que el trinomio cuadrado a*x 2 +b*x+c desaparece.
Para encontrar las raíces de un trinomio cuadrático, es necesario resolver una ecuación cuadrática de la forma a*x 2 +b*x+c=0.
Cómo encontrar las raíces de un trinomio cuadrático
Para solucionar esto, puedes utilizar uno de los métodos conocidos.
- 1 vía.
Encontrar las raíces de un trinomio cuadrado usando la fórmula.
1. Encuentre el valor del discriminante usando la fórmula D =b 2 -4*a*c.
2. Dependiendo del valor del discriminante, calcule las raíces mediante las fórmulas:
Si D > 0, entonces el trinomio cuadrado tiene dos raíces.
x = -b±√D / 2*a
Si D< 0, entonces el trinomio cuadrado tiene una raíz.
Si el discriminante es negativo, entonces el trinomio cuadrático no tiene raíces.
- Método 2.
Encontrar las raíces de un trinomio cuadrático aislando cuadrado lleno. Veamos el ejemplo del trinomio cuadrático dado. Una ecuación cuadrática reducida cuyo coeficiente principal es igual a uno.
Encontremos las raíces del trinomio cuadrático x 2 +2*x-3. Para ello, resolvemos la siguiente ecuación cuadrática: x 2 +2*x-3=0;
Transformemos esta ecuación:
En el lado izquierdo de la ecuación hay un polinomio x 2 +2*x, para poder representarlo como un cuadrado de la suma necesitamos que haya otro coeficiente igual a 1. Sumando y restando 1 a esta expresión, obtenemos :
(x 2 +2*x+1) -1=3
Lo que se puede representar entre paréntesis como el cuadrado de un binomio
Esta ecuación se divide en dos casos: x+1=2 o x+1=-2.
En el primer caso obtenemos la respuesta x=1, y en el segundo, x=-3.
Respuesta: x=1, x=-3.
Como resultado de las transformaciones, necesitamos obtener el cuadrado del binomio en el lado izquierdo y un cierto número en el lado derecho. El lado derecho no debe contener una variable.
Puedes encontrar la raíz de un trinomio cuadrado usando el discriminante. Además, para el polinomio reducido de segundo grado se aplica el teorema de Vieta, basado en la relación de los coeficientes.
Instrucciones
- Las ecuaciones cuadráticas son un tema bastante extenso en el álgebra escolar. El lado izquierdo de dicha ecuación es un polinomio de segundo grado de la forma A x² + B x + C, es decir una expresión de tres monomios de distintos grados de x desconocida. Para encontrar la raíz de un trinomio cuadrado, debes calcular el valor de x en el que esta expresión es igual a cero.
- Para resolver una ecuación cuadrática, necesitas encontrar el discriminante. Su fórmula es consecuencia de aislar el cuadrado completo del polinomio y representa una determinada proporción de sus coeficientes: D = B² – 4 A C.
- El discriminante puede tomar diferentes significados, incluso ser negativo. Y si los escolares más jóvenes pueden decir con alivio que tal ecuación no tiene raíces, entonces los estudiantes de secundaria ya pueden determinarlas basándose en la teoría de los números complejos. Así, puede haber tres opciones: Discriminante – un número positivo. Entonces las raíces de la ecuación son iguales: x1 = (-B + √D)/2 A; x2 = (-B - √D)/2 A;
El discriminante fue a cero. Teóricamente, en este caso la ecuación también tiene dos raíces, pero prácticamente son iguales: x1 = x2 = -B/2 A;
El discriminante es menor que cero. Se introduce en el cálculo un determinado valor i² = -1, que nos permite escribir solución integral: x1 = (-B + i √|D|)/2 A; x2 = (-B - i √|D|)/2 A. - El método discriminante es válido para cualquier ecuación cuadrática, pero hay situaciones en las que es recomendable utilizar más manera rápida, especialmente para coeficientes enteros pequeños. Este método se llama teorema de Vieta y consta de un par de relaciones entre los coeficientes del trinomio reducido: x² + P x + Q
x1 + x2 = -P;
x1 x2 = Q. Sólo queda encontrar las raíces. - Cabe señalar que la ecuación se puede reducir a una forma similar. Para hacer esto, debes dividir todos los términos del trinomio por el coeficiente de la potencia más alta A: A x² + B x + C |A
x² + B/A x + C/A
x1 + x2 = -B/A;
x1 x2 = C/A.