Trabajo de investigación
sobre el tema
"Métodos de solución ecuaciones cuadráticas »
Terminado:
grupo 8 clase "G"
Jefe de trabajo:
Benkovskaya María Mijailovna
Metas y objetivos del proyecto.
1. Mostrar que las matemáticas, como cualquier otra ciencia, tienen sus propios misterios sin resolver.
2. Enfatizar lo que diferencia a los matemáticos pensamiento innovador. ¡Y a veces el ingenio y la intuición de un buen matemático simplemente te sorprenden!
3. Demuestre que el mismo intento de resolver ecuaciones cuadráticas contribuyó al desarrollo de nuevos conceptos e ideas en matemáticas.
4. Aprenda a trabajar con diversas fuentes de información.
5. Continuar trabajo de investigacion en matemáticas
Etapas de la investigación
1. Historia del surgimiento de las ecuaciones cuadráticas.
2. Definición de ecuación cuadrática y sus tipos.
3. Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula discriminante.
4. Francois Viète y su teorema.
5. Propiedades de los coeficientes para encontrar rápidamente las raíces de una ecuación cuadrática.
6. Orientación práctica.
A través de ecuaciones, teoremas.
Resolví muchos problemas.
(Chaucer, poeta inglés, Edad Media.)
escenario. La historia del surgimiento de las ecuaciones cuadráticas.
La necesidad de resolver ecuaciones no solo de primer, sino también de segundo grado, incluso en la antigüedad, surgió de la necesidad de resolver problemas relacionados con la búsqueda de áreas de terrenos y movimientos de tierras de carácter militar, así como con el desarrollo de la astronomía y las propias matemáticas.
Los babilonios pudieron resolver ecuaciones cuadráticas alrededor del año 2000 a.C. La regla para resolver estas ecuaciones, establecida en los textos babilónicos, coincide esencialmente con las modernas, pero no se sabe cómo llegaron los babilonios a encontrar la regla. Casi todos los textos cuneiformes encontrados hasta ahora sólo proporcionan problemas con soluciones presentadas en forma de recetas, sin indicación de cómo fueron encontrados.
A pesar de alto nivel Durante el desarrollo del álgebra en Babilonia, los textos cuneiformes carecen del concepto de número negativo y de métodos generales para resolver ecuaciones cuadráticas.
La aritmética de Diofanto contiene una serie sistemática de problemas, acompañados de explicaciones y resueltos mediante la construcción de ecuaciones de varios grados, pero no contiene una presentación sistemática del álgebra.
Los problemas sobre ecuaciones cuadráticas ya se encuentran en los tratados astronómicos "Aryabhattiam", compilados en 499. El matemático y astrónomo indio Aryabhatta. Otro científico indio, Brahmagupta (siglo VII), describió regla general Resolver ecuaciones cuadráticas reducidas a unificada. forma canónica:
El tratado algebraico de Al-Khwarizmi ofrece una clasificación de ecuaciones lineales y cuadráticas. El autor enumera 6 tipos de ecuaciones. Para al-Khwarizmi, que no conocía los números negativos, los términos de cada ecuación son sumandos, no restables. Al mismo tiempo, las ecuaciones que no tienen soluciones positivas obviamente no se tienen en cuenta al resolver una ecuación cuadrática incompleta; al-Khorezmi, como todos los científicos hasta el siglo XVII, no tiene en cuenta la solución cero.
El tratado de Al-Khwarizmi es el primer libro que nos ha llegado y que establece sistemáticamente la clasificación de ecuaciones cuadráticas y fórmulas para su solución.
Las fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas inspiradas en al-Khwarizmi en Europa se establecieron por primera vez en el Libro del Ábaco, escrito en 1202 por el matemático italiano Leonardo Fibonacci. Esta voluminosa obra se distingue por su integridad y claridad de presentación. El autor desarrolló de forma independiente algunos métodos algebraicos nuevos para resolver problemas y fue el primero en Europa en abordar la introducción de números negativos. Su libro contribuyó a la difusión del conocimiento algebraico no sólo en Italia, sino también en Alemania, Francia y otros países europeos. Muchos problemas del "Libro del Ábaco" se transfirieron a casi todos los libros de texto europeos de los siglos XVI al XVII y parte del XVIII.
Regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducidas a una sola ecuación forma canónica 
para todas las combinaciones posibles de signos coeficientes b, c No fue formulado en Europa hasta 1544 por M. Stiefel.
Derivación de la fórmula para resolver una ecuación cuadrática en vista general Vietnam lo tiene, pero sólo reconoce raíces positivas. Los matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli estuvieron entre los primeros en el siglo XVI en tener en cuenta no solo las raíces positivas, sino también las negativas. Recién en el siglo XVII, gracias a los trabajos de Girrard, Descartes, Newton y otros científicos, se adoptó el método de resolución de ecuaciones cuadráticas. aspecto moderno.
RESULTA:
Ya en el año 499 se encontraron problemas relacionados con ecuaciones cuadráticas.
EN India antigua las competiciones públicas para resolver problemas difíciles eran comunes - OLIMPIADAS .
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Fecha de creación de la página: 2016-04-11
Cómo Diofanto compuso y resolvió ecuaciones cuadráticas. De ahí la ecuación: (10+x)(10 -x) =96 o: 100 - x2 =96 x2 - 4=0 (1) La solución x = -2 no existe para Diofanto, ya que las matemáticas griegas sólo conocían números positivos .
Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt="Ecuaciones cuadráticas en la India. ax2 + bx = c, a>0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}
Ecuaciones cuadráticas en al-Khorezmi. 1) “Los cuadrados son raíces iguales”, es decir, ax2 + c = bx. 2) “Los cuadrados son iguales a los números”, es decir, ax2 = c. 3) “Las raíces son iguales al número”, es decir, ax = c. 4) “Los cuadrados y los números son iguales a las raíces”, es decir, ax2 + c = bx. 5) “Los cuadrados y las raíces son iguales al número”, es decir, ax2 + bx = c. 6) “Las raíces y los números son iguales a los cuadrados”, es decir, bx + c = ax2.
Ecuaciones cuadráticas en Europa en los siglos XIII y XVII. x2 +bx = c, para todas las combinaciones posibles de signos de los coeficientes b, c fue formulado en Europa recién en 1544 por M. Stiefel.
Sobre el teorema de Vieta. "Si B + D multiplicado por A - A 2 es igual a BD, entonces A es igual a B y es igual a D". En el lenguaje del álgebra moderna, la formulación de Vieta anterior significa: si (a + b)x - x2 = ab, es decir, x2 - (a + b)x + ab = 0, entonces x1 = a, x2 = b.
Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. 1. MÉTODO: Factorizar el lado izquierdo de la ecuación. Resolvamos la ecuación x2 + 10 x - 24 = 0. Factoricemos el lado izquierdo: x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12) (x - 2). Por lo tanto, la ecuación se puede reescribir de la siguiente manera: (x + 12)(x - 2) = 0 Dado que el producto es cero, entonces al menos uno de sus factores es cero. Por lo tanto, el lado izquierdo de la ecuación se vuelve cero en x = 2, y también en x = - 12. Esto significa que los números 2 y - 12 son las raíces de la ecuación x2 + 10 x - 24 = 0.
2. MÉTODO: Método de extracción del cuadrado completo. Resolvamos la ecuación x2 + 6 x - 7 = 0. Seleccione en el lado izquierdo cuadrado perfecto. Para ello, escribimos la expresión x2 + 6 x de la siguiente forma: x2 + 6 x = x2 + 2 x 3. En la expresión resultante, el primer término es el cuadrado del número x, y el segundo es el doble producto de x por 3. Por lo tanto, para obtener un cuadrado completo, necesitas sumar 32, ya que x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2. Ahora transformamos el lado izquierdo de la ecuación x2 + 6 x - 7 = 0, sumando y restando 32. Tenemos: x2 + 6 x - 7 = x2 + 2 x 3 + 32 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3)2 - 16. Por lo tanto, ecuación dada se puede escribir de la siguiente manera: (x + 3)2 - 16 = 0, (x + 3)2 = 16. Por lo tanto, x + 3 - 4 = 0, x1 = 1, o x + 3 = -4, x2 = -7.
3. MÉTODO: Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula. Multipliquemos ambos lados de la ecuación ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 por 4 a y secuencialmente tenemos: 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0, ((2 ax)2 + 2 ax b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 ax + b)2 = b 2 - 4 ac, 2 ax + b = ± √ b 2 - 4 ac, 2 ax = - b ± √ b 2 - 4 C.A,
4. MÉTODO: Resolución de ecuaciones utilizando el teorema de Vieta. Como se sabe, la ecuación cuadrática reducida tiene la forma x2 + px + c = 0. (1) Sus raíces satisfacen el teorema de Vieta, que para a = 1 tiene la forma x 1 x 2 = q, x 1 + x 2 = - pag a) x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 y x 2 = 1, ya que q = 2 > 0 y p = - 3 0 y p = 8 > 0. b) x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 y x 2 = 1, ya que q= - 5 0; x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 y x 2 = - 1, ya que q = - 9
5. MÉTODO: Resolver ecuaciones mediante el método de “lanzamiento”. Considere la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0. Multiplicando ambos lados por a, obtenemos la ecuación a 2 x2 + abx + ac = 0. Sea ax = y, de donde x = y/a; entonces llegamos a la ecuación y2 + by + ac = 0, que es equivalente a la dada. Encontramos sus raíces y1 e y2 usando el teorema de Vieta. Finalmente obtenemos x1 = y1/a y x1 = y2/a.
Ejemplo. Resolvamos la ecuación 2 x2 – 11 x + 15 = 0. Solución. "Lanzamos" el coeficiente 2 al término libre, como resultado obtenemos la ecuación y2 – 11 y + 30 = 0. Según el teorema de Vieta, y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2 Respuesta : 2, 5; 3. x 1 = 2. 5 x 2 = 3.
6. MÉTODO: Propiedades de los coeficientes de una ecuación cuadrática. A. Sea la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0. 1) Si a + b + c = 0 (es decir, la suma de los coeficientes es cero), entonces x1 = 1, x2 = c/A. Prueba. Dividiendo ambos lados de la ecuación por a ≠ 0, obtenemos la ecuación cuadrática reducida x 2 + b/a x + c/a = 0. Según el teorema de Vieta, x 1 + x 2 = - b/a, x 1 x 2 = 1 c/a. Por condición, a – b + c = 0, de donde b = a + c. Así, x 1 + x 2 = - a + b/a= -1 – c/a, x 1 x 2 = - 1 (- c/a), es decir, x1 = -1 y x2 = c/ a, que es lo que había que demostrar.
B. Si el segundo coeficiente b = 2 k – número par, entonces la fórmula para las raíces de B. La ecuación anterior x2 + px + q = 0 coincide con una ecuación general en la que a = 1, b = p y c = q. Por lo tanto, para la ecuación cuadrática reducida, la fórmula de la raíz es
7. MÉTODO: Solución gráfica de una ecuación cuadrática. Si en la ecuación x2 + px + q = 0 movemos el segundo y tercer término hacia el lado derecho, obtenemos x2 = - px - q. Construyamos gráficas de la dependencia y = x2 e y = - px - q.
Ejemplo 1) Resolvamos gráficamente la ecuación x2 - 3 x - 4 = 0 (Fig. 2). Solución. Escribamos la ecuación en la forma x2 = 3 x + 4. Construya una parábola y = x2 y una línea recta y = 3 x + 4. La línea recta y = 3 x + 4 se puede construir usando dos puntos M (0; 4) y N (3; 13). Respuesta: x1 = - 1; x2 = 4
8. MÉTODO: Resolver ecuaciones cuadráticas usando un compás y una regla. encontrar las raíces de un compás y una regla (Fig. 5). ecuaciones Entonces, según el teorema de la secante, tenemos OB OD = OA OC, de donde OC = OB OD/ OA = x1 x2/ 1 = c/a. ax2 + bx + c = 0 usando
Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="1) El radio del círculo es mayor que la ordenada del centro (AS > SK, o R > un +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.!}
9. MÉTODO: Resolución de ecuaciones cuadráticas mediante un nomograma. z 2 + pz + q = 0. La escala curvilínea del nomograma se construye de acuerdo con las fórmulas (Fig.11): Suponiendo OS = p, ED = q, OE = a (todo en cm), a partir de la similitud de triángulos SAN y CDF obtenemos la proporción
Ejemplos. 1) Para la ecuación z 2 - 9 z + 8 = 0, el nomograma da las raíces z 1 = 8, 0 y z 2 = 1, 0 (Fig. 12). 2) Usando un nomograma, resolvemos la ecuación 2 z 2 - 9 z + 2 = 0. Dividimos los coeficientes de esta ecuación por 2, obtenemos la ecuación z 2 - 4, 5 z + 1 = 0. El nomograma da raíces z 1 = 4 y z 2 = 0, 5. 3) Para la ecuación z 2 - 25 z + 66 = 0, los coeficientes p y q están fuera de la escala, realizamos la sustitución z = 5 t, obtenemos ecuación t 2 - 5 t + 2, 64 = 0, que resolvemos usando nomogramas y obtenemos t 1 = 0,6 y t 2 = 4, 4, de donde z 1 = 5 t 1 = 3, 0 y z 2 = 5 t 2 = 22, 0.
10. MÉTODO: Método geométrico para la resolución de ecuaciones cuadráticas. Ejemplos. 1) Resolvamos la ecuación x2 + 10 x = 39. En el original, este problema está formulado de la siguiente manera: “El cuadrado y diez raíces son iguales a 39” (Fig. 15). Para el lado requerido x del cuadrado original obtenemos
y2 + 6 y - 16 = 0. La solución se muestra en la Fig. 16, donde y2 + 6 y = 16, o y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. Solución. Las expresiones y2 + 6 y + 9 y 16 + 9 representan geométricamente el mismo cuadrado, y la ecuación original y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 es la misma ecuación. De esto obtenemos que y + 3 = ± 5, o y1 = 2, y2 = - 8 (Fig. 16).
Kirill Kovalchuk
El proyecto "Ecuaciones cuadráticas a través de siglos y países" acerca a los estudiantes a los científicos matemáticos, cuyos descubrimientos son la base del progreso científico y tecnológico, desarrolla el interés por las matemáticas como materia basada en el conocimiento del material histórico, amplía los horizontes de los estudiantes y los estimula. actividad cognitiva y creatividad.
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Trabajo de proyecto de un estudiante de octavo grado de la Escuela Secundaria No. 17 de la Institución Educativa Municipal en el pueblo de Borisovka Kirill Kovalchuk Supervisor G.V.
Ecuaciones cuadráticas a través de siglos y países.
Objetivo del proyecto: familiarizar a los estudiantes con los científicos matemáticos, cuyos descubrimientos son la base del progreso científico y tecnológico. Mostrar la importancia de los trabajos de los científicos para el desarrollo de la geometría y la física.???????????? Demostrar la aplicación claramente descubrimientos científicos en la vida. Desarrollar el interés por las matemáticas como materia basada en la familiaridad con el material histórico. Ampliar los horizontes de los estudiantes, estimular su actividad cognitiva y creatividad.
La necesidad de resolver ecuaciones no solo de primer grado, sino también de segundo, surgió en la antigüedad por la necesidad de resolver problemas relacionados con la búsqueda de áreas de terrenos, con el desarrollo de la astronomía y las matemáticas. Las ecuaciones cuadráticas se pudieron resolver alrededor del año 2000 a.C. mi. Babilonios. Las reglas para resolver estas ecuaciones establecidas en los textos babilónicos son esencialmente las mismas que las modernas, pero estos textos carecen del concepto de número negativo y de métodos generales para resolver ecuaciones cuadráticas.
. (c. 365 - 300 aC) - matemático griego antiguo, autor de los primeros tratados teóricos sobre matemáticas que nos han llegado. Euclides o Euclides
Los comienzos de Euclides Donde el Nilo se fusiona con el mar, En la antigua tierra cálida de las pirámides vivió el matemático griego: el conocedor y sabio Euclides. Estudió geometría, enseñó geometría. Escribió una gran obra. El nombre de este libro es "Comienzos".
Euclides siglo III a.C. Euclides resolvió ecuaciones cuadráticas utilizando un método geométrico. Aquí está uno de los problemas del antiguo tratado griego: “Hay una ciudad con una frontera en forma de cuadrado con un lado de tamaño desconocido, en el centro de cada lado hay una puerta. Hay un pilar a una distancia de 20bu (1bu=1,6 m) de la puerta norte. si vas de puerta sur 14b recto, luego gira hacia el oeste y sigue otro 1775b, puedes ver un pilar. La pregunta es: ¿de qué lado de la frontera de la ciudad? »
Para determinar el lado desconocido del cuadrado, obtenemos la ecuación cuadrática x ² +(k+l)x-2kd =0. EN en este caso la ecuación tiene la forma x ² +34x-71000=0, de donde x=250bu l x d k
Ecuaciones cuadráticas en la India También se encuentran problemas sobre ecuaciones cuadráticas en el tratado astronómico “Aryabhattiam”, compilado en 499 por el matemático y astrónomo indio Aryabhatta. Otro científico indio, Brahmagupta, estableció una regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducidas a una única forma canónica: ax ² +bx=c , a>0 En la antigua India, eran comunes los concursos públicos para resolver problemas difíciles. Uno de los antiguos libros indios dice lo siguiente sobre tales competiciones: “Así como el sol eclipsa las estrellas con su brillo, así hombre instruido eclipsar la gloria de otro en las asambleas populares proponiendo y resolviendo problemas algebraicos”.
Uno de los problemas del famoso matemático indio del siglo XII, Bhaskara. Una bandada de monos juguetones, después de haber comido hasta saciarse, se divirtió. La octava parte de ellos en la plaza me estaba divirtiendo en el claro. Y doce sobre las lianas... Comenzaron a saltar colgados... ¿Cuántos monos había, dime, en esta bandada?
Solución. () 2 +12 = x, x 2 - 64x +768 = 0, a = 1, b = -64, c = 768, entonces D = (-64) 2 -4 1 768 = 1024 > 0. X 1, 2 = , x 1 = 48, x 2 = 16. Respuesta: Había 16 o 48 monos. Resolvámoslo.
La fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática ha sido “redescubierta” varias veces. Una de las primeras derivaciones de esta fórmula que ha llegado hasta nuestros días pertenece al matemático indio Brahmagupta. El científico de Asia Central al-Khwarizmi, en su tratado “Kitab al-jerb wal-mukabala”, obtuvo esta fórmula mediante el método de aislamiento de un cuadrado completo.
¿Cómo resolvió al-Khorezmi esta ecuación? Escribió: “La regla es esta: duplica el número de raíces, x = 2x · 5 en este problema obtienes cinco, multiplica 5 por este igual, se convierte en veinticinco, 5 · 5 = 25 suma esto a treinta -nueve, 25 + 39 se convierte en sesenta y cuatro , 64 sacamos la raíz de esto, será ocho, 8 y restamos de esto la mitad del número de raíces, es decir, cinco, 8-5 quedarán tres - esto y 3 serán los raíz del cuadrado que estabas buscando." ¿Qué pasa con la segunda raíz? No se encontró la segunda raíz porque no se conocían los números negativos. x 2 +10 x = 39
Ecuaciones cuadráticas en Europa siglos XIII-XVII. Las fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas inspiradas en al-Khwarizmi en Europa se establecieron por primera vez en el “Libro del Ábaco”, escrito en 1202 por el matemático italiano Leonardo Fibonacci. Esta voluminosa obra, que refleja la influencia de las matemáticas tanto de los países islámicos como de Grecia antigua, se distingue tanto por su integridad como por su claridad de presentación. El autor desarrolló de forma independiente algunos nuevos soluciones algebraicas problemas y fue el primero en Europa en abordar la introducción de números negativos. Su libro contribuyó a la difusión del conocimiento algebraico no sólo en Italia, sino también en Alemania, Francia y otros países europeos. Muchos problemas del Libro del Ábaco se utilizaron en casi todos los libros de texto europeos de los siglos XVI y XVII. y parcialmente 18.
Francois Viète - el mayor matemático del siglo XVI
Antes de F. Vieta, la resolución de una ecuación cuadrática se realizaba según sus propias reglas en forma de argumentos y descripciones verbales muy largas, acciones bastante engorrosas. Ni siquiera podían escribir la ecuación en sí; esto requirió un proceso bastante largo y complejo. descripción verbal. Acuñó el término "coeficiente". Propuso que las cantidades requeridas se indicaran con vocales y los datos con consonantes. Gracias al simbolismo de Vieta, podemos escribir la ecuación cuadrática de la forma: ax 2 + bx + c =0. Teorema: La suma de las raíces de la ecuación cuadrática dada es igual al segundo coeficiente tomado con el signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre. A pesar de que este teorema se llama “teorema de Vieta”, ya lo conocía antes y sólo lo transformó a su forma moderna. A Vieta se le llama el "padre del álgebra".
La humanidad ha recorrido un largo camino desde la ignorancia hasta el conocimiento, reemplazando continuamente el conocimiento incompleto e imperfecto con conocimiento cada vez más completo y perfecto a lo largo del camino. Palabra final
nosotros viviendo en comienzos del XXI siglo, atrae la antigüedad. En nuestros antepasados, notamos en primer lugar lo que les falta desde un punto de vista moderno y, por lo general, no notamos lo que a nosotros mismos nos falta en comparación con ellos.
Tampoco nos olvidemos de ellos...
¡Gracias por su atención!
Representantes de diversas civilizaciones: Antiguo Egipto, Antigua Babilonia, Antigua Grecia, Antigua India, China antigua, Oriente medieval, Europa dominó técnicas para resolver ecuaciones cuadráticas.
Por primera vez, los matemáticos del Antiguo Egipto pudieron resolver una ecuación cuadrática. Uno de los papiros matemáticos contiene el siguiente problema:
"Encuentra los lados de un campo con forma de rectángulo si su área es 12 y su longitud es igual a su ancho". "La longitud del campo es 4", afirma el papiro.
Pasaron milenios, los números negativos entraron en el álgebra. Resolviendo la ecuación x²= 16, obtenemos dos números: 4, –4.
Por supuesto, en el problema egipcio tomaríamos X = 4, ya que la longitud del campo sólo puede ser una cantidad positiva.
Las fuentes que nos han llegado indican que los científicos antiguos tenían algunas técnicas generales para resolver problemas con cantidades desconocidas. La regla para resolver ecuaciones cuadráticas establecida en los textos babilónicos es esencialmente la misma que la moderna, pero no se sabe cómo los babilonios “llegaron tan lejos”. Pero en casi todos los papiros y textos cuneiformes encontrados sólo se dan problemas con soluciones. Los autores sólo ocasionalmente proporcionaron sus cálculos numéricos con comentarios breves como: “¡Mira!”, “¡Haz esto!”, “¡Encontraste el correcto!”
El matemático griego Diofanto compuso y resolvió ecuaciones cuadráticas. Su Aritmética no contiene una presentación sistemática del álgebra, pero sí una serie sistemática de problemas, acompañados de explicaciones y resueltos mediante la construcción de ecuaciones de varios grados.
Los problemas para componer ecuaciones cuadráticas ya se encuentran en el tratado astronómico "Aria-bhatiam", compilado en 499 por el matemático y astrónomo indio Aryabhatta.
Otro científico indio, Brahmagupta (siglo VII), describió la regla general para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma ax² + bx = c.
En la antigua India, eran comunes los concursos públicos para resolver problemas difíciles. Uno de los antiguos libros indios sobre tales competiciones dice lo siguiente: “Así como el sol eclipsa a las estrellas con su brillo, así un hombre erudito eclipsará la gloria de otro en asambleas públicas, proponiendo y resolviendo problemas algebraicos”. Los problemas se presentaban a menudo en forma poética.
Éste es uno de los problemas del famoso matemático indio del siglo XII. Bhaskars:
Una bandada de monos juguetones
Después de haber comido hasta saciarme, me divertí.
Los ocho que estaban en la plaza se estaban divirtiendo en el claro.
Y doce... comenzaron a saltar sobre las enredaderas, colgando...
¿Cuántos monos había?
Dime, ¿en este paquete?
La solución de Bhaskara muestra que sabía que las raíces de ecuaciones cuadráticas tienen dos valores.
Los textos matemáticos chinos más antiguos que nos han llegado se remontan a finales del siglo I. ANTES DE CRISTO En el siglo II. ANTES DE CRISTO Se escribió Matemáticas en nueve libros. Más tarde, en el siglo VII, se incluyó en la colección "Diez tratados clásicos", que fue estudiada durante muchos siglos. El tratado "Matemáticas en nueve libros" explica cómo extraer raíz cuadrada usando la fórmula para el cuadrado de la suma de dos números.
El método se llamaba "tian-yuan" (literalmente "elemento celestial"); así es como los chinos designaban una cantidad desconocida.
El primer manual para la resolución de problemas que se hizo ampliamente conocido fue obra del científico de Bagdad del siglo IX. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. La palabra "al-jabr" con el tiempo se convirtió en la conocida palabra "álgebra", y el trabajo de al-Khorezmi se convirtió en el punto de partida en el desarrollo de la ciencia de la resolución de ecuaciones. El tratado algebraico de Al-Khwarizmi ofrece una clasificación de ecuaciones lineales y cuadráticas. El autor cuenta seis tipos de ecuaciones, expresándolas de la siguiente manera:
-cuadrados de raíces iguales, es decir, ah ² = bх;
-cuadrados igual número, es decir, ah ² = s;
-las raíces son iguales al número, es decir, ax = c;
-los cuadrados y los números son iguales a las raíces, es decir, ah ²+ с = bх;
-los cuadrados y las raíces son iguales al número, es decir, ah ² + bх = с;
-las raices y los numeros son iguales a los cuadrados, es decir, bx + c = ax ²;
El tratado de Al-Khwarizmi es el primer libro que nos ha llegado y que establece sistemáticamente la clasificación de las ecuaciones cuadráticas y proporciona fórmulas para su solución.
Las fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas inspiradas en al-Khwarizmi en Europa se establecieron por primera vez en el Libro del Ábaco, escrito en 1202 por el matemático italiano Leonardo Fibonacci. El autor desarrolló de forma independiente algunos nuevos ejemplos algebraicos resolviendo problemas y fue el primero en Europa en introducir números negativos. Su libro contribuyó a la difusión del conocimiento algebraico no sólo en Italia, sino también en Alemania, Francia y otros países europeos. Muchos problemas del "Libro del Ábaco" se incluyeron en casi todos los libros de texto europeos de los siglos XVI y XVII. y parte del siglo XVIII.
Regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducidas a una única forma canónica x ² + bх = с, para todas las combinaciones posibles de signos de los coeficientes by с fue formulado en Europa recién en 1544 por M. Stiefel.
Vieta tiene una derivación general de la fórmula para resolver una ecuación cuadrática, pero también reconoció solo raíces positivas. Los matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli estuvieron entre los primeros en el siglo XVI. Además de las raíces positivas y negativas, se tienen en cuenta. Sólo en el siglo XVII, gracias a los trabajos de Girard, Descartes, Newton y otros científicos, el método de resolución de ecuaciones cuadráticas adquirió su forma moderna.
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presentación, añadido el 20/09/2015
Revisión del desarrollo de las matemáticas europeas en los siglos XVII-XVIII. Desarrollo desigual de la ciencia europea. Geometría analítica. Creación de análisis matemático. La escuela científica de Leibniz. Características generales La ciencia en el siglo XVIII. Direcciones de desarrollo de las matemáticas.
presentación, añadido el 20/09/2015
El período del nacimiento de las matemáticas (antes de los siglos VII-V a. C.). La época de las matemáticas de cantidades constantes (siglos VII-V a.C. – siglos XVII d.C.). Matemáticas de variables (siglos XVII-XIX). Período moderno de desarrollo de las matemáticas. Características de las matemáticas informáticas.
presentación, añadido el 20/09/2015
Los logros de los antiguos matemáticos griegos que vivieron entre el siglo VI a.C. y siglo V d.C. Características del período inicial de desarrollo de las matemáticas. El papel de la escuela pitagórica en el desarrollo de las matemáticas: Platón, Eudoxo, Zenón, Demócrito, Euclides, Arquímedes, Apolonio.
prueba, agregada el 17/09/2010
Historia del desarrollo de las matemáticas como ciencia. El período de las matemáticas elementales. El período de creación de las matemáticas de cantidades variables. Creación de geometría analítica, cálculo diferencial e integral. Desarrollo de las matemáticas en Rusia en los siglos XVIII y XIX.