Le problème B9 donne le graphique d’une fonction ou d’une dérivée à partir de laquelle vous devez déterminer l’une des quantités suivantes :
- La valeur de la dérivée à un moment donné x 0,
- Points maximum ou minimum (points extremum),
- Intervalles de fonctions croissantes et décroissantes (intervalles de monotonie).
Les fonctions et dérivées présentées dans ce problème sont toujours continues, ce qui rend la solution beaucoup plus facile. Malgré le fait que la tâche appartient à la section de l'analyse mathématique, même les étudiants les plus faibles peuvent la réaliser, car aucune connaissance théorique approfondie n'est requise ici.
Pour trouver la valeur de la dérivée, des points extrêmes et des intervalles de monotonie, il existe des algorithmes simples et universels - ils seront tous discutés ci-dessous.
Lisez attentivement les conditions du problème B9 pour éviter de commettre des erreurs stupides : parfois vous tombez sur des textes assez longs, mais conditions importantes, qui influencent le cours de la décision, il y en a peu.
Calcul de la valeur dérivée. Méthode en deux points
Si le problème est donné un graphique d'une fonction f(x), tangente à ce graphique en un certain point x 0, et qu'il est nécessaire de trouver la valeur de la dérivée à ce point, l'algorithme suivant est appliqué :
- Trouvez deux points « adéquats » sur le graphique tangent : leurs coordonnées doivent être entières. Notons ces points comme A (x 1 ; y 1) et B (x 2 ; y 2). Notez correctement les coordonnées - c'est un point clé de la solution, et toute erreur ici entraînera une réponse incorrecte.
- Connaissant les coordonnées, il est facile de calculer l'incrément de l'argument Δx = x 2 − x 1 et l'incrément de la fonction Δy = y 2 − y 1 .
- Enfin, on retrouve la valeur de la dérivée D = Δy/Δx. En d'autres termes, vous devez diviser l'incrément de la fonction par l'incrément de l'argument - et ce sera la réponse.
Notons encore une fois : les points A et B doivent être recherchés précisément sur la tangente, et non sur le graphe de la fonction f(x), comme cela arrive souvent. La ligne tangente doit contenir au moins deux de ces points - sinon le problème ne sera pas formulé correctement.
Considérez les points A (−3 ; 2) et B (−1 ; 6) et trouvez les incréments :
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2 ; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Trouvons la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Tâche. La figure montre un graphique de la fonction y = f(x) et une tangente à celle-ci au point d'abscisse x 0. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x 0 .
Considérez les points A (0 ; 3) et B (3 ; 0), trouvez les incréments :
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3 ; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
On trouve maintenant la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Tâche. La figure montre un graphique de la fonction y = f(x) et une tangente à celle-ci au point d'abscisse x 0. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x 0 .
Considérez les points A (0 ; 2) et B (5 ; 2) et trouvez les incréments :
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5 ; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Reste à trouver la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
A partir du dernier exemple, on peut formuler une règle : si la tangente est parallèle à l'axe OX, la dérivée de la fonction au point de tangence est nulle. Dans ce cas, vous n’avez même pas besoin de compter quoi que ce soit : il suffit de regarder le graphique.
Calcul des points maximum et minimum
Parfois, au lieu d'un graphique d'une fonction, le problème B9 donne un graphique de la dérivée et nécessite de trouver le point maximum ou minimum de la fonction. Dans cette situation, la méthode en deux points est inutile, mais il existe un autre algorithme encore plus simple. Tout d'abord, définissons la terminologie :
- Le point x 0 est appelé le point maximum de la fonction f(x) si dans un certain voisinage de ce point l'inégalité suivante est vraie : f(x 0) ≥ f(x).
- Le point x 0 est appelé le point minimum de la fonction f(x) si dans un certain voisinage de ce point l'inégalité suivante est vraie : f(x 0) ≤ f(x).
Afin de trouver les points maximum et minimum sur le graphique dérivé, suivez simplement ces étapes :
- Redessinez le graphique dérivé en supprimant toutes les informations inutiles. Comme le montre la pratique, les données inutiles ne font qu'interférer avec la décision. Par conséquent, nous marquons les zéros de la dérivée sur l'axe des coordonnées - et c'est tout.
- Découvrez les signes de la dérivée sur les intervalles entre zéros. Si pour un point x 0 on sait que f'(x 0) ≠ 0, alors seules deux options sont possibles : f'(x 0) ≥ 0 ou f'(x 0) ≤ 0. Le signe de la dérivée est facile à déterminer à partir du dessin original : si le graphe dérivé se situe au-dessus de l'axe OX, alors f'(x) ≥ 0. Et vice versa, si le graphe dérivé se situe sous l'axe OX, alors f'(x) ≤ 0.
- Nous vérifions à nouveau les zéros et les signes de la dérivée. Là où le signe passe de moins à plus, c'est le point minimum. A l’inverse, si le signe de la dérivée passe du plus au moins, c’est le point maximum. Le comptage se fait toujours de gauche à droite.
Ce schéma ne fonctionne que pour les fonctions continues – il n’y en a pas d’autres dans le problème B9.
Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−5; 5]. Trouvez le point minimum de la fonction f(x) sur ce segment.
Débarrassons-nous des informations inutiles et ne laissons que les limites [−5; 5] et les zéros de la dérivée x = −3 et x = 2,5. On note également les signes :
Évidemment, au point x = −3, le signe de la dérivée passe de moins à plus. C'est le point minimum.
Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−3; 7]. Trouvez le point maximum de la fonction f(x) sur ce segment.
Redessinons le graphique en ne laissant que les limites [−3; 7] et les zéros de la dérivée x = −1,7 et x = 5. Notons les signes de la dérivée sur le graphique résultant. Nous avons:
Évidemment, au point x = 5, le signe de la dérivée passe du plus au moins - c'est le point maximum.
Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−6; 4]. Trouver le nombre de points maximum de la fonction f(x) appartenant au segment [−4; 3].
Des conditions du problème il résulte qu'il suffit de considérer uniquement la partie du graphe limitée par le segment [−4 ; 3]. Par conséquent, nous construisons un nouveau graphe sur lequel nous marquons uniquement les frontières [−4 ; 3] et les zéros de la dérivée à l'intérieur. A savoir, les points x = −3,5 et x = 2. On obtient :
Sur ce graphique il n'y a qu'un seul point maximum x = 2. C'est à ce point que le signe de la dérivée passe du plus au moins.
Une petite note sur les points avec des coordonnées non entières. Par exemple, dans le dernier problème, le point x = −3,5 a été considéré, mais avec le même succès nous pouvons prendre x = −3,4. Si le problème est correctement rédigé, de tels changements ne devraient pas affecter la réponse, puisque les points « sans domicile fixe » ne participent pas directement à la résolution du problème. Bien entendu, cette astuce ne fonctionnera pas avec des points entiers.
Trouver des intervalles de fonctions croissantes et décroissantes
Dans un tel problème, comme les points maximum et minimum, il est proposé d'utiliser le graphe dérivé pour trouver les zones dans lesquelles la fonction elle-même augmente ou diminue. Tout d’abord, définissons ce que sont l’augmentation et la diminution :
- Une fonction f(x) est dite croissante sur un segment si pour deux points quelconques x 1 et x 2 de ce segment l'énoncé suivant est vrai : x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . En d’autres termes, plus la valeur de l’argument est grande, plus la valeur de la fonction est grande.
- Une fonction f(x) est appelée décroissante sur un segment si pour deux points quelconques x 1 et x 2 de ce segment l'énoncé suivant est vrai : x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Ceux. valeur plus élevée L’argument correspond à la plus petite valeur de la fonction.
Formulons des conditions suffisantes pour augmenter et diminuer :
- Pour qu'une fonction continue f(x) augmente sur le segment , il suffit que sa dérivée à l'intérieur du segment soit positive, c'est-à-dire f'(x) ≥ 0.
- Pour qu'une fonction continue f(x) décroisse sur le segment , il suffit que sa dérivée à l'intérieur du segment soit négative, c'est-à-dire f'(x) ≤ 0.
Acceptons ces déclarations sans preuves. Ainsi, nous obtenons un schéma pour trouver des intervalles d'augmentation et de diminution, qui est à bien des égards similaire à l'algorithme de calcul des points extremum :
- Supprimez toutes les informations inutiles. Dans le graphique original de la dérivée, nous nous intéressons principalement aux zéros de la fonction, nous ne les laisserons donc que.
- Marquez les signes de la dérivée aux intervalles entre les zéros. Où f'(x) ≥ 0, la fonction augmente, et où f'(x) ≤ 0, elle diminue. Si le problème impose des restrictions sur la variable x, nous les marquons en plus sur un nouveau graphique.
- Maintenant que l'on connaît le comportement de la fonction et les contraintes, il reste à calculer la quantité requise dans le problème.
Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−3; 7.5]. Trouver les intervalles de diminution de la fonction f(x). Dans votre réponse, indiquez la somme des entiers compris dans ces intervalles.
Comme d'habitude, redessinons le graphique et marquons les limites [−3 ; 7,5], ainsi que les zéros de la dérivée x = −1,5 et x = 5,3. Puis on note les signes de la dérivée. Nous avons:
Puisque la dérivée est négative sur l'intervalle (− 1,5), c'est l'intervalle de fonction décroissante. Il reste à additionner tous les entiers qui se trouvent à l'intérieur de cet intervalle :
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−10 ; 4]. Trouver les intervalles d'augmentation de la fonction f(x). Dans votre réponse, indiquez la longueur du plus grand d’entre eux.
Débarrassons-nous des informations inutiles. Laissons seulement les frontières [−10 ; 4] et les zéros de la dérivée, qui étaient cette fois quatre : x = −8, x = −6, x = −3 et x = 2. Marquons les signes de la dérivée et obtenons l'image suivante :
Nous nous intéressons aux intervalles de fonction croissante, c'est-à-dire tel où f'(x) ≥ 0. Il existe deux de ces intervalles sur le graphique : (−8 ; −6) et (−3 ; 2). Calculons leurs longueurs :
l 1 = − 6 − (−8) = 2 ;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Puisque nous devons trouver la longueur du plus grand des intervalles, nous notons la valeur l 2 = 5 comme réponse.
(Fig. 1)
Figure 1. Graphique dérivé
Propriétés du graphique dérivé
- À intervalles croissants, la dérivée est positive. Si la dérivée en un certain point d'un certain intervalle a une valeur positive, alors le graphique de la fonction sur cet intervalle augmente.
- A intervalles décroissants, la dérivée est négative (avec un signe moins). Si la dérivée à un certain point d'un certain intervalle a une valeur négative, alors le graphique de la fonction diminue sur cet intervalle.
- La dérivée au point x est égale à la pente de la tangente tracée au graphique de la fonction au même point.
- Aux points maximum et minimum de la fonction, la dérivée est nulle. La tangente au graphique de la fonction en ce point est parallèle à l'axe OX.
Exemple 1
A l'aide du graphique (Fig. 2) de la dérivée, déterminez à quel point du segment [-3 ; 5] la fonction est maximale.
Figure 2. Graphique dérivé
Solution : Sur ce segment, la dérivée est négative, ce qui signifie que la fonction décroît de gauche à droite et que la plus grande valeur est du côté gauche au point -3.
Exemple 2
A l'aide du graphique (Fig. 3) de la dérivée, déterminez le nombre de points maximum sur le segment [-11 ; 3].
Figure 3. Graphique dérivé
Solution : Les points maximum correspondent aux points où le signe de la dérivée passe du positif au négatif. Sur cet intervalle, la fonction change de signe du plus au moins deux fois - au point -10 et au point -1. Cela signifie que le nombre maximum de points est de deux.
Exemple 3
A l'aide du graphique (Fig. 3) de la dérivée, déterminez le nombre de points minimum dans le segment [-11 ; -1].
Solution : Les points minimaux correspondent aux points où le signe de la dérivée passe du négatif au positif. Sur ce segment, un tel point n'est que de -7. Cela signifie que le nombre minimum de points sur un segment donné est de un.
Exemple 4
A l'aide du graphique (Fig. 3) de la dérivée, déterminez le nombre de points extremum.
Solution : Les points extrêmes sont à la fois les points minimum et maximum. Trouvons le nombre de points auxquels la dérivée change de signe.
Dérivée première Si la dérivée d'une fonction est positive (négative) dans un certain intervalle, alors la fonction dans cet intervalle augmente de manière monotone (diminue de manière monotone). Si la dérivée d'une fonction est positive (négative) dans un certain intervalle, alors la fonction augmente de manière monotone (diminue de manière monotone) dans cet intervalle. Plus loin
Définition Une courbe est dite convexe en un point si dans un certain voisinage de ce point elle se situe sous sa tangente en un point. Une courbe est dite convexe en un point si dans un certain voisinage de ce point elle se situe sous sa tangente en un point. Une courbe est dite concave en un point si dans un certain voisinage de ce point elle est située au-dessus de sa tangente en un point. Une courbe est dite concave en un point si dans un certain voisinage de ce point elle est située au-dessus de sa tangente en un point Suivant.
Signe de concavité et de convexité Si la dérivée seconde d'une fonction dans un intervalle donné est positive, alors la courbe est concave dans cet intervalle, et si elle est négative, elle est convexe dans cet intervalle. Si la dérivée seconde d'une fonction dans un intervalle donné est positive, alors la courbe est concave dans cet intervalle, et si elle est négative, elle est convexe dans cet intervalle. Définition
Plan pour étudier une fonction et construire son graphe 1. Trouver le domaine de définition de la fonction et déterminer les points de discontinuité, le cas échéant ; 1. Trouver le domaine de définition de la fonction et déterminer les points de discontinuité, le cas échéant ; déterminer si la fonction est paire ou impaire ; vérifier sa périodicité 2. Découvrez si la fonction est paire ou impaire ; vérifier sa périodicité 3. Déterminer les points d'intersection du graphe de fonction avec axes de coordonnées 3. Déterminer les points d'intersection du graphique de la fonction avec les axes de coordonnées 4. Trouver les points critiques du 1er type 4. Trouver les points critiques du 1er type 5. Déterminer les intervalles de monotonie et les extrema de la fonction 5. Déterminer les intervalles de monotonie et d'extrema de la fonction 6. Déterminer les intervalles de convexité et de concavité et trouver les points d'inflexion 6. Déterminer les intervalles de convexité et de concavité et trouver les points d'inflexion 7. À l'aide des résultats de l'étude, relier les points obtenus d'une courbe lisse 7. À l'aide des résultats de l'étude, reliez les points obtenus d'une courbe lisse Quitter
Montrant le lien entre le signe de la dérivée et la nature de la monotonie de la fonction.
Veuillez être extrêmement prudent sur les points suivants. Regardez, le planning de QUOI vous est donné ! Fonction ou son dérivé
Si on lui donne un graphique de la dérivée, alors nous nous intéresserons uniquement aux fonctions signes et zéros. En principe, les « collines » ou les « creux » ne nous intéressent pas !
Tache 1.
La figure montre un graphique d'une fonction définie sur l'intervalle. Déterminez le nombre de points entiers auxquels la dérivée de la fonction est négative.
Solution:
Sur la figure, les zones de fonction décroissante sont mises en évidence en couleur :
Ces régions décroissantes de la fonction contiennent 4 valeurs entières.
Tâche 2.
La figure montre un graphique d'une fonction définie sur l'intervalle. Trouvez le nombre de points auxquels la tangente au graphique de la fonction est parallèle ou coïncide avec la ligne.
Solution:
Une fois que la tangente au graphique d'une fonction est parallèle (ou coïncide) avec une droite (ou, ce qui revient au même), ayant pente , égal à zéro, alors la tangente a un coefficient angulaire .
Cela signifie à son tour que la tangente est parallèle à l'axe, puisque la pente est la tangente de l'angle d'inclinaison de la tangente à l'axe.
Par conséquent, nous trouvons des points extrêmes (points maximum et minimum) sur le graphique - c'est en ces points que les fonctions tangentes au graphique seront parallèles à l'axe.
Il y a 4 de ces points.
Tâche 3.
La figure montre un graphique de la dérivée d'une fonction définie sur l'intervalle. Trouvez le nombre de points auxquels la tangente au graphique de la fonction est parallèle ou coïncide avec la ligne.
Solution:
Puisque la tangente au graphique d’une fonction est parallèle (ou coïncide) avec une droite qui a une pente, alors la tangente a également une pente.
Cela signifie à son tour cela aux points de contact.
Par conséquent, nous regardons combien de points sur le graphique ont une ordonnée égale à .
Comme vous pouvez le constater, il existe quatre de ces points.
Tâche 4.
La figure montre un graphique d'une fonction définie sur l'intervalle. Trouvez le nombre de points auxquels la dérivée de la fonction est 0.
Solution:
La dérivée est égale à zéro aux points extrêmes. Nous en avons 4 :
Tâche 5.
La figure montre un graphique d'une fonction et onze points sur l'axe des x :. En combien de ces points la dérivée de la fonction est-elle négative ?
Solution:
Sur les intervalles de fonction décroissante, sa dérivée prend valeurs négatives. Et la fonction diminue par points. Il y a 4 de ces points.
Tâche 6.
La figure montre un graphique d'une fonction définie sur l'intervalle. Trouvez la somme des points extrêmes de la fonction.
Solution:
Points extrêmes– ce sont les points maximum (-3, -1, 1) et minimum (-2, 0, 3).
Somme des points extremum : -3-1+1-2+0+3=-2.
Tâche 7.
La figure montre un graphique de la dérivée d'une fonction définie sur l'intervalle. Trouvez les intervalles d'augmentation de la fonction. Dans votre réponse, indiquez la somme des points entiers compris dans ces intervalles.
Solution:
La figure met en évidence les intervalles où la dérivée de la fonction est non négative.
Il n'y a pas de points entiers sur le petit intervalle croissant ; sur l'intervalle croissant, il y a quatre valeurs entières : , , et .
Leur somme :
Tâche 8.
La figure montre un graphique de la dérivée d'une fonction définie sur l'intervalle. Trouvez les intervalles d'augmentation de la fonction. Dans votre réponse, indiquez la longueur du plus grand d’entre eux.
Solution:
Sur la figure, tous les intervalles sur lesquels la dérivée est positive sont surlignés en couleur, ce qui signifie que la fonction elle-même augmente sur ces intervalles.
La longueur du plus grand d'entre eux est de 6.
Tâche 9.
La figure montre un graphique de la dérivée d'une fonction définie sur l'intervalle. À quel moment du segment prend-il la plus grande valeur ?
Solution:
Voyons comment le graphique se comporte sur le segment, ce qui nous intéresse seulement le signe de la dérivée .
Le signe de la dérivée sur est moins, puisque le graphique sur ce segment est en dessous de l'axe.