Résoudre les équations trigonométriques sinx les plus simples. Résoudre des équations trigonométriques simples

16.10.2019

Exemples:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Comment résoudre des équations trigonométriques :

Toute équation trigonométrique doit être réduite à l'un des types suivants :

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

où \(t\) est une expression avec un x, \(a\) est un nombre. De telles équations trigonométriques sont appelées le plus simple. Ils peuvent être facilement résolus en utilisant () ou des formules spéciales :

Exemple . Résolvez l'équation trigonométrique \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\.
Solution:

Répondre: \(\left[ \begin(rassemblé)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(rassemblé)\right.\) \(k,n∈Z\)

Que signifie chaque symbole dans la formule racine ? équations trigonométriques regarder dans .

Attention! Les équations \(\sin⁡x=a\) et \(\cos⁡x=a\) n'ont pas de solutions si \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Parce que le sinus et le cosinus de tout x sont supérieurs ou égaux à \(-1\) et inférieurs ou égaux à \(1\) :

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Exemple . Résolvez l'équation \(\cos⁡x=-1,1\).
Solution: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Répondre : pas de solutions.

Exemple . Résolvez l'équation trigonométrique tg\(⁡x=1\).
Solution:

Résolvons l'équation en utilisant le cercle numérique. Pour ça:
1) Construisez un cercle)
2) Construire les axes \(x\) et \(y\) et l'axe tangent (il passe par le point \((0;1)\) parallèle à l'axe \(y\)).
3) Sur l'axe tangent, marquez le point \(1\).
4) Reliez ce point et l'origine des coordonnées - une ligne droite.
5) Marquez les points d’intersection de cette ligne et du cercle numérique.
6) Signons les valeurs de ces points : \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\)
7) Notons toutes les valeurs de ces points. Puisqu'elles sont situées à une distance d'exactement \(π\) les unes des autres, toutes les valeurs peuvent être écrites dans une seule formule :

Répondre: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Exemple . Résolvez l'équation trigonométrique \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Solution:

Utilisons à nouveau le cercle numérique.
1) Construire un cercle d'axes \(x\) et \(y\).
2) Sur l'axe cosinus (axe \(x\)), marquez \(0\).
3) Tracez une perpendiculaire à l’axe du cosinus passant par ce point.
4) Marquez les points d'intersection de la perpendiculaire et du cercle.
5) Signons les valeurs de ces points : \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\).
6) Nous notons la valeur totale de ces points et les assimilons au cosinus (à ce qu'il y a à l'intérieur du cosinus).

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)

8) Comme d’habitude, nous exprimerons \(x\) dans des équations.
N'oubliez pas de traiter les nombres avec \(π\), ainsi que \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), etc. Ce sont les mêmes chiffres que tous les autres. Pas de discrimination numérique !

\(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)
\(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\)
\(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Répondre: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Réduire les équations trigonométriques au plus simple est une tâche créative ; ici, vous devez utiliser à la fois des méthodes spéciales pour résoudre les équations :
- Méthode (la plus populaire dans l'examen d'État unifié).
- Méthode.
- Méthode des arguments auxiliaires.

Considérons un exemple de résolution de l'équation trigonométrique quadratique

Exemple . Résolvez l'équation trigonométrique \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Solution:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Faisons le remplacement \(t=\cos⁡x\).

	Notre équation est devenue typique. Vous pouvez le résoudre en utilisant .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Nous effectuons un remplacement inversé.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Nous résolvons la première équation en utilisant le cercle numérique. La deuxième équation n'a pas de solution car \(\cos⁡x∈[-1;1]\) et ne peut être égal à deux pour aucun x.
	Écrivons tous les chiffres qui se trouvent à ces points.

Répondre: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Un exemple de résolution d'une équation trigonométrique avec l'étude de l'ODZ :

Exemple (UTILISATION) . Résoudre l'équation trigonométrique \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Il y a une fraction et une cotangente – cela signifie que nous devons l’écrire. Permettez-moi de vous rappeler qu'une cotangente est en fait une fraction : ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Par conséquent, l'ODZ pour ctg\(x\) : \(\sin⁡x≠0\).
ODZ : ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Marquons les « non-solutions » sur le cercle numérique.

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Débarrassons-nous du dénominateur de l'équation en le multipliant par ctg\(x\). Nous pouvons le faire, puisque nous avons écrit ci-dessus que ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Appliquons la formule du double angle pour le sinus : \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Si vos mains se tendent pour diviser par le cosinus, retirez-les ! Vous pouvez diviser par une expression avec une variable si elle n'est définitivement pas égale à zéro (par exemple, celles-ci : \(x^2+1,5^x\)). Au lieu de cela, mettons \(\cos⁡x\) entre parenthèses.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	« Divisons » l’équation en deux.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Résolvons la première équation en utilisant le cercle numérique. Divisons la deuxième équation par \(2\) et déplaçons \(\sin⁡x\) vers la droite.

\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Les racines résultantes ne sont pas incluses dans l'ODZ. Par conséquent, nous ne les écrirons pas en réponse. La deuxième équation est typique. Divisons-le par \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) ne peut pas être une solution à l'équation car dans ce cas \(\cos⁡x=1\) ou \(\cos⁡ x=-1\)).
	Nous utilisons à nouveau un cercle.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Ces racines ne sont pas exclues par ODZ, vous pouvez donc les écrire dans la réponse.

Répondre: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Les équations trigonométriques ne sont pas un sujet facile. Ils sont trop diversifiés.) Par exemple, ceux-ci :

péché 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = lit bébé(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Etc...

Mais ces monstres trigonométriques (et tous les autres) ont deux caractéristiques communes et obligatoires. Premièrement - vous ne le croirez pas - il y a des fonctions trigonométriques dans les équations.) Deuxièmement : toutes les expressions avec x sont trouvées au sein de ces mêmes fonctions. Et seulement là ! Si X apparaît quelque part dehors, Par exemple, péché2x + 3x = 3, ce sera déjà une équation de type mixte. De telles équations nécessitent une approche individuelle. Nous ne les considérerons pas ici.

Nous ne résoudrons pas non plus les équations maléfiques dans cette leçon.) Ici, nous traiterons de les équations trigonométriques les plus simples. Pourquoi? Oui parce que la solution n'importe lequel Les équations trigonométriques se composent de deux étapes. Dans un premier temps, l’équation du mal est réduite à une simple équation grâce à diverses transformations. Dans la seconde, cette équation la plus simple est résolue. Pas d'autre chemin.

Donc, si vous rencontrez des problèmes lors de la deuxième étape, la première étape n’a pas beaucoup de sens.)

À quoi ressemblent les équations trigonométriques élémentaires ?

sinx = un

cosx = un

tgx = un

ctgx = un

Ici UN représente n'importe quel nombre. N'importe lequel.

À propos, à l'intérieur d'une fonction, il peut y avoir non pas un X pur, mais une sorte d'expression, comme :

cos(3x+π /3) = 1/2

etc. Cela complique la vie, mais n'affecte pas la méthode de résolution d'une équation trigonométrique.

Comment résoudre des équations trigonométriques ?

Les équations trigonométriques peuvent être résolues de deux manières. La première façon : utiliser la logique et le cercle trigonométrique. Nous examinerons ce chemin ici. La deuxième méthode – utiliser la mémoire et les formules – sera abordée dans la prochaine leçon.

La première méthode est claire, fiable et difficile à oublier.) Elle est idéale pour résoudre des équations trigonométriques, des inégalités et toutes sortes d'exemples délicats non standard. La logique est plus forte que la mémoire !)

Résoudre des équations à l'aide d'un cercle trigonométrique.

Nous incluons la logique élémentaire et la capacité d'utiliser le cercle trigonométrique. Tu ne sais pas comment ? Par contre... Vous aurez du mal en trigonométrie...) Mais ce n'est pas grave. Jetez un oeil aux leçons "Cercle trigonométrique...... Qu'est-ce que c'est ?" et « Mesurer les angles sur un cercle trigonométrique ». Tout y est simple. Contrairement aux manuels...)

Oh, tu sais !? Et même maîtrisé « Travaux pratiques avec le cercle trigonométrique » !? Toutes nos félicitations. Ce sujet vous sera proche et compréhensible.) Ce qui est particulièrement agréable, c'est que le cercle trigonométrique ne se soucie pas de l'équation que vous résolvez. Sinus, cosinus, tangente, cotangente, tout est pareil pour lui. Il n’existe qu’un seul principe de solution.

Nous prenons donc n’importe quelle équation trigonométrique élémentaire. Au moins ça :

cosx = 0,5

Nous devons trouver X. Pour parler en langage humain, il faut trouver l'angle (x) dont le cosinus est 0,5.

Comment utilisions-nous le cercle auparavant ? Nous avons tracé un angle dessus. En degrés ou en radians. Et tout de suite scie fonctions trigonométriques de cet angle. Maintenant, faisons le contraire. Traçons un cosinus sur le cercle égal à 0,5 et immédiatement nous verrons coin. Il ne reste plus qu'à écrire la réponse.) Oui, oui !

Tracez un cercle et marquez le cosinus égal à 0,5. Sur l'axe cosinus, bien sûr. Comme ça:

Traçons maintenant l'angle que nous donne ce cosinus. Passez votre souris sur l'image (ou touchez l'image sur votre tablette), et tu verras ce coin même X.

Le cosinus de quel angle est 0,5 ?

x = π /3

parce que 60°= cos( π /3) = 0,5

Certaines personnes riront d'un air sceptique, oui... Par exemple, cela valait-il la peine de faire un cercle alors que tout est déjà clair... Vous pouvez, bien sûr, rire...) Mais le fait est que c'est une réponse erronée. Ou plutôt insuffisant. Les connaisseurs de cercles comprennent qu'il existe ici tout un tas d'autres angles qui donnent également un cosinus de 0,5.

Si vous tournez le côté mobile OA tour complet, le point A reviendra à sa position d'origine. Avec le même cosinus égal à 0,5. Ceux. l'angle va changer de 360° ou 2π radians, et cosinus - non. Le nouvel angle 60° + 360° = 420° sera également une solution à notre équation, car

Un nombre infini de tels tours complets peuvent être effectués... Et tous ces nouveaux angles seront des solutions à notre équation trigonométrique. Et ils doivent tous être écrits d’une manière ou d’une autre en réponse. Tous. Sinon, la décision ne compte pas, oui...)

Les mathématiques peuvent le faire de manière simple et élégante. Écrivez en une seule réponse courte ensemble infini les décisions. Voici à quoi cela ressemble pour notre équation :

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Je vais le déchiffrer. Écrivez toujours de manière significative C'est plus agréable que de dessiner bêtement des lettres mystérieuses, non ?)

π /3 - c'est le même coin que nous scie sur le cercle et déterminé selon la table des cosinus.

2π est une révolution complète en radians.

n - c'est le nombre de complets, c'est-à-dire entier tr/min Il est clair que n peut être égal à 0, ±1, ±2, ±3.... et ainsi de suite. Comme l'indique la courte entrée :

n ∈Z

n fait parti ( ∈ ) ensemble d'entiers ( Z ). D'ailleurs, au lieu de la lettre n les lettres peuvent très bien être utilisées k, m, t etc.

Cette notation signifie que vous pouvez prendre n'importe quel entier n . Au moins -3, au moins 0, au moins +55. Tout ce que vous voulez. Si vous remplacez ce nombre dans la réponse, vous obtiendrez un angle spécifique, qui sera certainement la solution à notre dure équation.)

Ou, en d'autres termes, x = π /3 est la seule racine d'un ensemble infini. Pour obtenir toutes les autres racines, il suffit d’ajouter n’importe quel nombre de tours complets à π /3 ( n ) en radians. Ceux. 2π n radian.

Tous? Non. Je prolonge volontairement le plaisir. Pour mieux retenir.) Nous n’avons reçu qu’une partie des réponses à notre équation. J'écrirai cette première partie de la solution comme ceci :

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x1 - pas seulement une racine, mais toute une série de racines, écrites sous une forme abrégée.

Mais il y a aussi des angles qui donnent aussi un cosinus de 0,5 !

Revenons à notre image à partir de laquelle nous avons noté la réponse. Elle est là:

Passez votre souris sur l'image et nous voyons un autre angle qui donne également un cosinus de 0,5.À votre avis, à quoi est-ce égal ? Les triangles sont les mêmes... Oui ! Il est égal à l'angle X , seulement retardé dans le sens négatif. C'est le coin -X. Mais nous avons déjà calculé x. π /3 ou 60°. On peut donc écrire en toute sécurité :

x 2 = - π /3

Eh bien, bien sûr, nous additionnons tous les angles obtenus grâce à des tours complets :

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

C'est tout maintenant.) Sur le cercle trigonométrique nous scie(qui comprend, bien sûr)) Tous angles qui donnent un cosinus de 0,5. Et nous avons noté ces angles sous une forme mathématique courte. La réponse a abouti à deux séries infinies de racines :

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

C'est la bonne réponse.

Espoir, principe général de résolution d'équations trigonométriques utiliser un cercle est clair. Nous marquons le cosinus (sinus, tangente, cotangente) de l'équation donnée sur un cercle, dessinons les angles qui lui correspondent et notons la réponse. Bien sûr, nous devons déterminer dans quels coins nous nous trouvons scie sur le cercle. Parfois, ce n'est pas si évident. Eh bien, j'ai dit que la logique est requise ici.)

Par exemple, regardons une autre équation trigonométrique :

Veuillez noter que le nombre 0,5 n'est pas le seul nombre possible dans les équations !) C'est juste plus pratique pour moi de l'écrire que les racines et les fractions.

Nous travaillons selon le principe général. On trace un cercle, on marque (sur l'axe sinusoïdal, bien sûr !) 0,5. On dessine d'un coup tous les angles correspondant à ce sinus. On obtient cette image :

Parlons d'abord de l'angle X au premier trimestre. On rappelle la table des sinus et on détermine la valeur de cet angle. C'est simple :

x = π /6

Nous nous souvenons des tours complets et, en toute conscience, notons la première série de réponses :

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

La moitié du travail est fait. Mais maintenant nous devons déterminer deuxième virage.... C'est plus délicat que d'utiliser les cosinus, oui... Mais la logique nous sauvera ! Comment déterminer le deuxième angle à travers x ? Oui Facile ! Les triangles sur la photo sont les mêmes et le coin rouge X égal à l'angle X . Seulement, il est compté à partir de l'angle π dans le sens négatif. C'est pourquoi il est rouge.) Et pour la réponse, nous avons besoin d'un angle, mesuré correctement, à partir du demi-axe positif OX, c'est-à-dire sous un angle de 0 degré.

Nous passons le curseur sur le dessin et voyons tout. J'ai supprimé le premier coin pour ne pas compliquer le tableau. L'angle qui nous intéresse (dessiné en vert) sera égal à :

π-x

X, nous le savons /6 . Le deuxième angle sera donc :

π - π /6 = 5π /6

Encore une fois, nous nous souvenons de l'ajout de tours complets et notons la deuxième série de réponses :

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

C'est tout. Une réponse complète se compose de deux séries de racines :

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Les équations tangentes et cotangentes peuvent être facilement résolues en utilisant le même principe général pour résoudre les équations trigonométriques. Si, bien sûr, vous savez dessiner une tangente et une cotangente sur un cercle trigonométrique.

Dans les exemples ci-dessus, j'ai utilisé la valeur du tableau du sinus et du cosinus : 0,5. Ceux. une de ces significations que l'étudiant connaît doit. Maintenant, élargissons nos capacités pour toutes les autres valeurs. Décidez, alors décidez !)

Supposons donc que nous devions résoudre cette équation trigonométrique :

Il n’existe pas de telle valeur de cosinus dans les tableaux courts. Nous ignorons froidement ce terrible fait. Tracez un cercle, marquez 2/3 sur l'axe cosinus et tracez les angles correspondants. Nous obtenons cette image.

Regardons d'abord l'angle du premier trimestre. Si seulement nous savions à quoi x est égal, nous écririons immédiatement la réponse ! On ne sait pas... Échec !? Calme! Les mathématiques ne laissent pas leurs propres ennuis ! Elle a proposé des arcs cosinus pour ce cas. Ne sait pas? En vain. Découvrez-le, c'est beaucoup plus facile que vous ne le pensez. Il n'y a pas un seul sort délicat sur les « fonctions trigonométriques inverses » sur ce lien... C'est superflu dans ce sujet.

Si vous êtes au courant, dites-vous simplement : « X est un angle dont le cosinus est égal à 2/3. » Et immédiatement, uniquement par la définition de l'arc cosinus, on peut écrire :

Nous nous souvenons des révolutions supplémentaires et notons calmement la première série de racines de notre équation trigonométrique :

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

La deuxième série de racines du deuxième angle est écrite presque automatiquement. Tout est pareil, seul X (arccos 2/3) sera avec un moins :

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Et c'est tout! C'est la bonne réponse. Encore plus simple qu'avec les valeurs du tableau. Il n'est pas nécessaire de se souvenir de quoi que ce soit.) D'ailleurs, les plus attentifs remarqueront que cette image montre la solution à travers l'arc cosinus en substance, ce n'est pas différent de l'image de l'équation cosx = 0,5.

Exactement! Le principe général c’est justement ça ! J'ai délibérément dessiné deux images presque identiques. Le cercle nous montre l'angle X par son cosinus. Qu'il s'agisse d'un cosinus tabulaire ou non, tout le monde ne le sait pas. Quel type d'angle il s'agit, π /3, ou quel est l'arc cosinus - c'est à nous de décider.

Même chanson avec sinus. Par exemple:

Dessinez à nouveau un cercle, marquez le sinus égal à 1/3, dessinez les angles. Voici l'image que nous obtenons :

Et encore une fois, l'image est presque la même que pour l'équation sinx = 0,5. Encore une fois, nous repartons du corner au premier quart-temps. À quoi est égal X si son sinus est 1/3 ? Aucun problème!

Le premier paquet de racines est maintenant prêt :

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Parlons du deuxième angle. Dans l'exemple avec une valeur de tableau de 0,5, elle était égale à :

π-x

Ce sera exactement la même chose ici aussi ! Seul x est différent, arcsin 1/3. Et alors!? Vous pouvez écrire en toute sécurité le deuxième paquet de racines :

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

C'est une réponse tout à fait correcte. Même si cela ne semble pas très familier. Mais c'est clair, j'espère.)

C'est ainsi que les équations trigonométriques sont résolues à l'aide d'un cercle. Ce chemin est clair et compréhensible. C'est lui qui économise dans les équations trigonométriques avec sélection de racines sur un intervalle donné, dans les inégalités trigonométriques - elles sont généralement résolues presque toujours en cercle. Bref, dans toutes les tâches un peu plus difficiles que les tâches standards.

Appliquons les connaissances dans la pratique ?)

Résoudre des équations trigonométriques :

Tout d’abord, plus simple, directement issu de cette leçon.

Maintenant, c'est plus compliqué.

Indice : ici il faudra penser au cercle. Personnellement.)

Et maintenant, ils sont extérieurement simples... On les appelle aussi cas particuliers.

péché = 0

péché = 1

cosx = 0

cosx = -1

Astuce : ici, vous devez déterminer dans un cercle où se trouvent deux séries de réponses et où il y en a une... Et comment écrire une au lieu de deux séries de réponses. Oui, pour qu'aucune racine d'un nombre infini ne soit perdue !)

Eh bien, très simple) :

péché = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Indice : ici, vous devez savoir ce que sont l'arc sinus et l'arc cosinus ? Qu'est-ce que l'arctangente, l'arccotangente ? Les définitions les plus simples. Mais vous n’avez pas besoin de mémoriser les valeurs du tableau !)

Les réponses sont, bien sûr, en désordre) :

x1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x2= π - arcsin0,3 + 2

Tout ne fonctionne pas ? Arrive. Relisez la leçon. Seulement pensivement(il y a un mot tellement dépassé...) Et suivez les liens. Les principaux liens concernent le cercle. Sans cela, la trigonométrie revient à traverser la route les yeux bandés. Parfois, ça marche.)

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Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

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En résolvant plusieurs problèmes mathématiques, en particulier ceux qui surviennent avant la 10e année, l'ordre des actions effectuées qui mèneront à l'objectif est clairement défini. De tels problèmes incluent, par exemple, les équations linéaires et quadratiques, les inégalités linéaires et quadratiques, les équations fractionnaires et les équations qui se réduisent aux équations quadratiques. Le principe pour résoudre avec succès chacun des problèmes mentionnés est le suivant : il est nécessaire d'établir quel type de problème est en cours de résolution, de se rappeler la séquence d'actions nécessaire qui mènera au résultat souhaité, c'est-à-dire répondez et suivez ces étapes.

Il est évident que le succès ou l'échec de la résolution d'un problème particulier dépend principalement de la manière dont le type d'équation à résoudre est correctement déterminé et de la manière dont la séquence de toutes les étapes de sa solution est correctement reproduite. Bien entendu, dans ce cas, il est nécessaire d’avoir les compétences nécessaires pour effectuer des transformations et des calculs identiques.

La situation est différente avec équations trigonométriques. Il n'est pas du tout difficile d'établir que l'équation est trigonométrique. Des difficultés surviennent lors de la détermination de la séquence d'actions qui mènerait à la bonne réponse.

Il est parfois difficile de déterminer son type à partir de l’apparence d’une équation. Et sans connaître le type d'équation, il est quasiment impossible de choisir la bonne parmi plusieurs dizaines de formules trigonométriques.

Pour résoudre une équation trigonométrique, vous devez essayer :

1. amener toutes les fonctions incluses dans l'équation aux « mêmes angles » ;
2. ramener l'équation à des « fonctions identiques » ;
3. factoriser le côté gauche de l'équation, etc.

Considérons méthodes de base pour résoudre des équations trigonométriques.

I. Réduction aux équations trigonométriques les plus simples

Diagramme de solutions

Étape 1. Exprimer une fonction trigonométrique en termes de composantes connues.

Étape 2. Trouvez l'argument de la fonction à l'aide des formules :

cosx = une ; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

péché x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

bronzage x = une; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Étape 3. Trouvez la variable inconnue.

Exemple.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Solution.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z ;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z ;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z ;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Réponse : ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Remplacement variable

Diagramme de solutions

Étape 1. Réduisez l’équation sous forme algébrique par rapport à l’une des fonctions trigonométriques.

Étape 2. Notons la fonction résultante par la variable t (si nécessaire, introduisez des restrictions sur t).

Étape 3.Écrivez et résolvez l’équation algébrique résultante.

Étape 4. Effectuez un remplacement inversé.

Étape 5. Résolvez l'équation trigonométrique la plus simple.

Exemple.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Solution.

1) 2(1 – péché 2 (x/2)) – 5 péché (x/2) – 5 = 0 ;

2 péché 2 (x/2) + 5 péché (x/2) + 3 = 0.

2) Soit sin (x/2) = t, où |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0 ;

t = 1 ou e = -3/2, ne satisfait pas à la condition |t| ≤ 1.

4) péché(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z ;

x = π + 4πn, n Є Z.

Réponse : x = π + 4πn, n Є Z.

III. Méthode de réduction de l'ordre des équations

Diagramme de solutions

Étape 1. Remplacez cette équation par une équation linéaire, en utilisant la formule de réduction du degré :

péché 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x) ;

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x) ;

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Étape 2. Résolvez l'équation résultante en utilisant les méthodes I et II.

Exemple.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Solution.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4 ;

3/2 car 2x = 3/4 ;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z ;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Réponse : x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Équations homogènes

Diagramme de solutions

Étape 1. Réduisons cette équation à la forme

a) a sin x + b cos x = 0 (équation homogène du premier degré)

ou à la vue

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (équation homogène du deuxième degré).

Étape 2. Divisez les deux côtés de l'équation par

une) cosx ≠ 0 ;

b) cos 2 x ≠ 0 ;

et obtenez l'équation pour tan x :

a) un bronzage x + b = 0 ;

b) un bronzage 2 x + b arctan x + c = 0.

Étape 3. Résolvez l'équation en utilisant des méthodes connues.

Exemple.

5 péché 2 x + 3 péché x cos x – 4 = 0.

Solution.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0 ;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0 ;

péché 2 x + 3 péché x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3 tg x – 4 = 0.

3) Soit tg x = t, alors

t 2 + 3t – 4 = 0 ;

t = 1 ou t = -4, ce qui signifie

tg x = 1 ou tg x = -4.

D'après la première équation x = π/4 + πn, n Є Z ; de la deuxième équation x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Réponse : x = π/4 + πn, n Є Z ; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Méthode de transformation d'une équation à l'aide de formules trigonométriques

Diagramme de solutions

Étape 1. En utilisant toutes les formules trigonométriques possibles, réduisez cette équation à une équation résolue par les méthodes I, II, III, IV.

Étape 2. Résolvez l'équation résultante en utilisant des méthodes connues.

Exemple.

péché x + péché 2x + péché 3x = 0.

Solution.

1) (péché x + péché 3x) + péché 2x = 0 ;

2 péché 2x cos x + péché 2x = 0.

2) péché 2x (2cos x + 1) = 0 ;

péché 2x = 0 ou 2cos x + 1 = 0 ;

D'après la première équation 2x = π/2 + πn, n Є Z ; de la deuxième équation cos x = -1/2.

Nous avons x = π/4 + πn/2, n Є Z ; à partir de la deuxième équation x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

En conséquence, x = π/4 + πn/2, n Є Z ; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Réponse : x = π/4 + πn/2, n Є Z ; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

La capacité et l'habileté à résoudre des équations trigonométriques sont très important, leur développement nécessite un effort important, tant de la part de l’élève que de la part de l’enseignant.

De nombreux problèmes de stéréométrie, de physique, etc. sont associés à la solution d'équations trigonométriques. Le processus de résolution de ces problèmes incarne de nombreuses connaissances et compétences acquises en étudiant les éléments de la trigonométrie.

Les équations trigonométriques occupent une place importante dans le processus d’apprentissage des mathématiques et du développement personnel en général.

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Résoudre des équations trigonométriques simples.

Résoudre des équations trigonométriques de tout niveau de complexité revient en fin de compte à résoudre les équations trigonométriques les plus simples. Et en cela, le cercle trigonométrique s'avère encore une fois être le meilleur assistant.

Rappelons les définitions du cosinus et du sinus.

Le cosinus d'un angle est l'abscisse (c'est-à-dire la coordonnée le long de l'axe) d'un point du cercle unité correspondant à une rotation d'un angle donné.

Le sinus d'un angle est l'ordonnée (c'est-à-dire la coordonnée le long de l'axe) d'un point du cercle unité correspondant à une rotation d'un angle donné.

Le sens positif du mouvement sur le cercle trigonométrique est dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Une rotation de 0 degré (ou 0 radian) correspond à un point de coordonnées (1;0)

Nous utilisons ces définitions pour résoudre des équations trigonométriques simples.

1. Résolvez l'équation

Cette équation est satisfaite par toutes les valeurs de l'angle de rotation qui correspondent aux points du cercle dont l'ordonnée est égale à .

Marquons un point d'ordonnée sur l'axe des ordonnées :

Tracez une ligne horizontale parallèle à l'axe des x jusqu'à ce qu'elle croise le cercle. On obtient deux points situés sur le cercle et ayant une ordonnée. Ces points correspondent aux angles de rotation en et en radians :

Si l'on part du point correspondant à l'angle de rotation par radian, on fait un cercle complet, alors on arrivera à un point correspondant à l'angle de rotation par radian et ayant la même ordonnée. Autrement dit, cet angle de rotation satisfait également notre équation. Nous pouvons faire autant de révolutions « à vide » que nous le souhaitons, en revenant au même point, et toutes ces valeurs d'angle satisferont notre équation. Le nombre de tours « au ralenti » sera désigné par la lettre (ou). Puisque nous pouvons effectuer ces révolutions dans les sens positif et négatif, (ou) peut prendre n’importe quelle valeur entière.

Autrement dit, la première série de solutions à l’équation originale a la forme :

, , - ensemble d'entiers (1)

De même, la deuxième série de solutions a la forme :

, Où , . (2)

Comme vous l'avez peut-être deviné, cette série de solutions est basée sur le point du cercle correspondant à l'angle de rotation de .

Ces deux séries de solutions peuvent être combinées en une seule entrée :

Si nous prenons (c'est-à-dire pair) cette entrée, nous obtiendrons alors la première série de solutions.

Si nous prenons (c'est-à-dire impair) cette entrée, alors nous obtenons la deuxième série de solutions.

2. Résolvons maintenant l'équation

Puisqu'il s'agit de l'abscisse d'un point sur le cercle unité obtenu en tournant d'un angle, on marque le point avec l'abscisse sur l'axe :

Tracez une ligne verticale parallèle à l'axe jusqu'à ce qu'elle croise le cercle. Nous obtiendrons deux points situés sur un cercle et ayant une abscisse. Ces points correspondent aux angles de rotation en et en radians. Rappelons qu'en nous déplaçant dans le sens des aiguilles d'une montre, nous obtenons un angle de rotation négatif :

Écrivons deux séries de solutions :

(On arrive au point souhaité en partant du cercle complet principal, bien sûr.

Combinons ces deux séries en une seule entrée :

3. Résolvez l'équation

La tangente passe par le point de coordonnées (1,0) du cercle unité parallèle à l'axe OY

Marquons dessus un point avec une ordonnée égale à 1 (on recherche la tangente dont les angles sont égaux à 1) :

Relions ce point à l'origine des coordonnées par une ligne droite et marquons les points d'intersection de la ligne avec le cercle unité. Les points d'intersection de la droite et du cercle correspondent aux angles de rotation sur et :

Puisque les points correspondant aux angles de rotation qui satisfont notre équation se trouvent à une distance de radians les uns des autres, nous pouvons écrire la solution de cette façon :

4. Résolvez l'équation

La ligne des cotangentes passe par le point dont les coordonnées du cercle unité sont parallèles à l'axe.

Marquons un point d'abscisse -1 sur la ligne des cotangentes :

Relions ce point à l'origine de la ligne droite et continuons-le jusqu'à ce qu'il coupe le cercle. Cette droite coupera le cercle en des points correspondant aux angles de rotation en et en radians :

Puisque ces points sont séparés les uns des autres par une distance égale à , on peut écrire la solution générale de cette équation comme suit :

Dans les exemples donnés illustrant la solution des équations trigonométriques les plus simples, des valeurs tabulaires de fonctions trigonométriques ont été utilisées.

Cependant, si le côté droit de l’équation contient une valeur non tabulaire, alors nous substituons la valeur dans la solution générale de l’équation :