Résoudre des équations trigonométriques simples.
Résoudre des équations trigonométriques de tout niveau de complexité revient en fin de compte à résoudre les équations trigonométriques les plus simples. Et dans ce meilleure aide encore une fois, il s'agit d'un cercle trigonométrique.
Rappelons les définitions du cosinus et du sinus.
Le cosinus d'un angle est l'abscisse (c'est-à-dire la coordonnée le long de l'axe) d'un point sur cercle unitaire, correspondant à une rotation d'un angle donné.
Le sinus d'un angle est l'ordonnée (c'est-à-dire la coordonnée le long de l'axe) d'un point du cercle unité correspondant à une rotation d'un angle donné.
Direction positive du mouvement le long cercle trigonométrique Un mouvement dans le sens antihoraire est pris en compte. Une rotation de 0 degré (ou 0 radian) correspond à un point de coordonnées (1;0)
Nous utilisons ces définitions pour résoudre des équations trigonométriques simples.
1. Résolvez l'équation
Cette équation est satisfaite par toutes les valeurs de l'angle de rotation qui correspondent aux points du cercle dont l'ordonnée est égale à .
Marquons un point d'ordonnée sur l'axe des ordonnées :
Tracez une ligne horizontale parallèle à l'axe des x jusqu'à ce qu'elle croise le cercle. On obtient deux points situés sur le cercle et ayant une ordonnée. Ces points correspondent aux angles de rotation en et en radians :
Si l'on part du point correspondant à l'angle de rotation par radian, on fait un cercle complet, alors on arrivera à un point correspondant à l'angle de rotation par radian et ayant la même ordonnée. Autrement dit, cet angle de rotation satisfait également notre équation. Nous pouvons faire autant de révolutions « à vide » que nous le souhaitons, en revenant au même point, et toutes ces valeurs d'angle satisferont notre équation. Le nombre de tours « au ralenti » sera désigné par la lettre (ou). Puisque nous pouvons effectuer ces révolutions dans les sens positif et négatif, (ou) peut prendre n’importe quelle valeur entière.
Autrement dit, la première série de solutions à l’équation originale a la forme :
, , - ensemble d'entiers (1)
De même, la deuxième série de solutions a la forme :
, Où , . (2)
Comme vous l'avez peut-être deviné, cette série de solutions est basée sur le point du cercle correspondant à l'angle de rotation de .
Ces deux séries de solutions peuvent être combinées en une seule entrée :
Si nous prenons (c'est-à-dire pair) cette entrée, nous obtiendrons alors la première série de solutions.
Si nous prenons (c'est-à-dire impair) cette entrée, alors nous obtenons la deuxième série de solutions.
2. Résolvons maintenant l'équation
Puisqu'il s'agit de l'abscisse d'un point sur le cercle unité obtenu en tournant d'un angle, on marque le point avec l'abscisse sur l'axe :
Tracez une ligne verticale parallèle à l'axe jusqu'à ce qu'elle croise le cercle. Nous obtiendrons deux points situés sur un cercle et ayant une abscisse. Ces points correspondent aux angles de rotation en et en radians. Rappelons qu'en nous déplaçant dans le sens des aiguilles d'une montre, nous obtenons un angle de rotation négatif :
Écrivons deux séries de solutions :
,
,
(On arrive au point souhaité en partant du cercle complet principal, bien sûr.
Combinons ces deux séries en une seule entrée :
3. Résolvez l'équation
La tangente passe par le point de coordonnées (1,0) du cercle unité parallèle à l'axe OY
Marquons dessus un point avec une ordonnée égale à 1 (on recherche la tangente dont les angles sont égaux à 1) :
Relions ce point à l'origine des coordonnées par une ligne droite et marquons les points d'intersection de la ligne avec le cercle unité. Les points d'intersection de la droite et du cercle correspondent aux angles de rotation sur et :
Puisque les points correspondant aux angles de rotation qui satisfont notre équation se trouvent à une distance de radians les uns des autres, nous pouvons écrire la solution de cette façon :
4. Résolvez l'équation
La ligne des cotangentes passe par le point dont les coordonnées du cercle unité sont parallèles à l'axe.
Marquons un point d'abscisse -1 sur la ligne des cotangentes :
Relions ce point à l'origine de la ligne droite et continuons-le jusqu'à ce qu'il coupe le cercle. Cette droite coupera le cercle en des points correspondant aux angles de rotation en et en radians :
Puisque ces points sont séparés les uns des autres par une distance égale à , alors décision commune On peut écrire cette équation comme ceci :
Dans les exemples donnés illustrant la solution des équations trigonométriques les plus simples, des valeurs tabulaires de fonctions trigonométriques ont été utilisées.
Cependant, si le côté droit de l’équation contient une valeur non tabulaire, alors nous substituons la valeur dans la solution générale de l’équation :
SOLUTIONS SPÉCIALES :
Marquons les points sur le cercle dont l'ordonnée est 0 :
Marquons un seul point sur le cercle dont l'ordonnée est 1 :
Marquons un seul point sur le cercle dont l'ordonnée est égale à -1 :
Puisqu'il est d'usage d'indiquer les valeurs les plus proches de zéro, on écrit la solution comme suit :
Marquons les points sur le cercle dont l'abscisse est égale à 0 :
5.
Marquons un seul point sur le cercle dont l'abscisse est égale à 1 :
Marquons un seul point sur le cercle dont l'abscisse est égale à -1 :
Et des exemples un peu plus complexes :
1.
Le sinus est égal à un si l'argument est égal à
L'argument de notre sinus est égal, nous obtenons donc :
Divisez les deux côtés de l'égalité par 3 :
Répondre:
2.
Le cosinus est nul si l'argument du cosinus est
L'argument de notre cosinus est égal à , on obtient donc :
Exprimons , pour ce faire on se déplace d'abord vers la droite avec le signe opposé :
Simplifions le côté droit :
Divisez les deux côtés par -2 :
Notez que le signe devant le terme ne change pas, puisque k peut prendre n'importe quelle valeur entière.
Répondre:
Et enfin, regardez le didacticiel vidéo « Sélection de racines dans une équation trigonométrique à l'aide de cercle trigonométrique"
Ceci conclut notre conversation sur la résolution d’équations trigonométriques simples. La prochaine fois, nous parlerons de la manière de décider.
Le maintien de votre vie privée est important pour nous. Pour cette raison, nous avons développé une politique de confidentialité qui décrit la manière dont nous utilisons et stockons vos informations. Veuillez consulter nos pratiques de confidentialité et faites-nous savoir si vous avez des questions.
Collecte et utilisation des informations personnelles
Les informations personnelles font référence aux données qui peuvent être utilisées pour identifier ou contacter une personne spécifique.
Il peut vous être demandé de fournir vos informations personnelles à tout moment lorsque vous nous contactez.
Vous trouverez ci-dessous quelques exemples des types d'informations personnelles que nous pouvons collecter et de la manière dont nous pouvons utiliser ces informations.
Quelles informations personnelles collectons-nous :
- Lorsque vous soumettez une candidature sur le site, nous pouvons collecter diverses informations, notamment votre nom, votre numéro de téléphone, votre adresse e-mail, etc.
Comment utilisons-nous vos informations personnelles:
- Les informations personnelles que nous collectons nous permettent de vous contacter avec des offres uniques, des promotions et d'autres événements et événements à venir.
- De temps en temps, nous pouvons utiliser vos informations personnelles pour envoyer des notifications et des communications importantes.
- Nous pouvons également utiliser les informations personnelles à des fins internes, telles que la réalisation d'audits, d'analyses de données et diverses recherches afin d'améliorer les services que nous fournissons et de vous fournir des recommandations concernant nos services.
- Si vous participez à un tirage au sort, un concours ou une promotion similaire, nous pouvons utiliser les informations que vous fournissez pour administrer ces programmes.
Divulgation d'informations à des tiers
Nous ne divulguons pas les informations reçues de votre part à des tiers.
Des exceptions:
- Si nécessaire, conformément à la loi, procédure judiciaire, dans le cadre de procédures judiciaires et/ou sur la base d'enquêtes publiques ou de demandes de organismes gouvernementaux sur le territoire de la Fédération de Russie - divulguez vos informations personnelles. Nous pouvons également divulguer des informations vous concernant si nous déterminons qu'une telle divulgation est nécessaire ou appropriée à des fins de sécurité, d'application de la loi ou à d'autres fins d'importance publique.
- En cas de réorganisation, de fusion ou de vente, nous pouvons transférer les informations personnelles que nous collectons au tiers successeur concerné.
Protection des informations personnelles
Nous prenons des précautions - notamment administratives, techniques et physiques - pour protéger vos informations personnelles contre la perte, le vol et l'utilisation abusive, ainsi que contre l'accès, la divulgation, l'altération et la destruction non autorisés.
Respecter votre vie privée au niveau de l'entreprise
Pour garantir la sécurité de vos informations personnelles, nous communiquons les normes de confidentialité et de sécurité à nos employés et appliquons strictement les pratiques de confidentialité.
Les équations trigonométriques les plus simples sont généralement résolues à l'aide de formules. Permettez-moi de vous rappeler que les équations trigonométriques les plus simples sont :
sinx = un
cosx = un
tgx = un
ctgx = un
x est l'angle à trouver,
a est n’importe quel nombre.
Et voici les formules avec lesquelles vous pouvez immédiatement écrire les solutions de ces équations les plus simples.
Pour le sinus :
Pour le cosinus :
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Pour la tangente :
x = arctan a + π n, n ∈ Z
Pour la cotangente :
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
En fait, c'est la partie théorique de la résolution des équations trigonométriques les plus simples. D'ailleurs, tout !) Rien du tout. Cependant, le nombre d’erreurs sur ce sujet est tout simplement hors du commun. Surtout si l'exemple s'écarte légèrement du modèle. Pourquoi?
Oui, parce que beaucoup de gens écrivent ces lettres, sans en comprendre du tout le sens ! Il écrit avec prudence, de peur que quelque chose n'arrive...) Il faut régler ce problème. Trigonométrie pour les gens, ou gens pour la trigonométrie, après tout !?)
Voyons ça ?
Un angle sera égal à arccos un, deuxième: -arccos a.
Et cela fonctionnera toujours ainsi. Pour toute UN.
Si vous ne me croyez pas, passez votre souris sur l'image ou touchez l'image sur votre tablette.) J'ai changé le numéro UN à quelque chose de négatif. Quoi qu'il en soit, nous avons un coin arccos un, deuxième: -arccos a.
Par conséquent, la réponse peut toujours s’écrire sous la forme de deux séries de racines :
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Combinons ces deux séries en une seule :
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Et c'est tout. Nous avons obtenu une formule générale pour résoudre l'équation trigonométrique la plus simple avec cosinus.
Si vous comprenez qu'il ne s'agit pas d'une sorte de sagesse superscientifique, mais juste une version abrégée de deux séries de réponses, Vous serez également capable de gérer les tâches « C ». Avec des inégalités, avec une sélection de racines dans un intervalle donné... Là, la réponse avec un plus/moins ne fonctionne pas. Mais si vous traitez la réponse de manière pragmatique et la divisez en deux réponses distinctes, tout sera résolu.) En fait, c’est pourquoi nous l’examinons. Quoi, comment et où.
Dans l'équation trigonométrique la plus simple
sinx = un
on obtient également deux séries de racines. Toujours. Et ces deux séries peuvent aussi être enregistrées en une seule ligne. Seule cette ligne sera plus délicate :
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Mais l’essence reste la même. Les mathématiciens ont simplement conçu une formule pour créer une entrée au lieu de deux pour une série de racines. C'est tout!
Vérifions les mathématiciens ? Et on ne sait jamais...)
Dans la leçon précédente, la solution (sans aucune formule) d'une équation trigonométrique avec sinus a été discutée en détail :
La réponse a abouti à deux séries de racines :
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Si nous résolvons la même équation en utilisant la formule, nous obtenons la réponse :
x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
En fait, c'est une réponse inachevée.) L'étudiant doit savoir que arcsin 0,5 = π /6. La réponse complète serait :
x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z
Ici, il se pose intérêt Demander. Répondre via x1 ; x2 (c'est la bonne réponse !) et par la solitude X (et c'est la bonne réponse !) - est-ce la même chose ou pas ? Nous le découvrirons maintenant.)
Nous remplaçons la réponse par x1 valeurs n =0; 1; 2 ; etc., on compte, on obtient une série de racines :
x 1 = π/6 ; 13π/6 ; 25π/6 et ainsi de suite.
Avec la même substitution en réponse avec x2 , on a:
x2 = 5π/6 ; 17π/6 ; 29π/6 et ainsi de suite.
Maintenant, remplaçons les valeurs n (0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4...) dans la formule générale pour un seul X . C'est-à-dire que nous élevons moins un à la puissance zéro, puis à la première, à la seconde, etc. Eh bien, bien sûr, nous remplaçons 0 dans le deuxième terme ; 1; 2 3 ; 4, etc Et nous comptons. On obtient la série :
X = π/6 ; 5π/6 ; 13π/6 ; 17π/6 ; 25π/6 et ainsi de suite.
C'est tout ce que vous pouvez voir.) La formule générale nous donne exactement les mêmes résultats tout comme les deux réponses séparément. Juste tout à la fois, dans l'ordre. Les mathématiciens n'étaient pas dupes.)
Les formules de résolution d'équations trigonométriques avec tangente et cotangente peuvent également être vérifiées. Mais nous ne le ferons pas.) Ils sont déjà simples.
J'ai écrit toutes ces substitutions et vérifications spécifiquement. Il est important de comprendre une chose ici Chose simple: il existe des formules pour résoudre des équations trigonométriques élémentaires, juste un bref résumé des réponses. Pour cette brièveté, nous avons dû insérer plus/moins dans la solution cosinus et (-1) n dans la solution sinus.
Ces inserts ne gênent en rien les tâches où il suffit d'écrire la réponse à une équation élémentaire. Mais si vous avez besoin de résoudre une inégalité, ou si vous devez faire quelque chose avec la réponse : sélectionner des racines sur un intervalle, vérifier l'ODZ, etc., ces insertions peuvent facilement déstabiliser une personne.
Donc qu'est ce que je devrais faire? Oui, soit écrivez la réponse en deux séries, soit résolvez l'équation/inégalité à l'aide du cercle trigonométrique. Ensuite ces insertions disparaissent et la vie devient plus facile.)
Nous pouvons résumer.
Pour résoudre les équations trigonométriques les plus simples, il existe des formules de réponse toutes faites. Quatre pièces. Ils sont parfaits pour écrire instantanément la solution d’une équation. Par exemple, vous devez résoudre les équations :
sinx = 0,3
Facilement: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Aucun problème: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Facilement: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Un dernier: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cosx = 1,8
Si vous, brillant de connaissances, écrivez instantanément la réponse :
x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
alors tu brilles déjà, ceci... cela... d'une flaque d'eau.) Bonne réponse : il n'y a pas de solutions. Vous ne comprenez pas pourquoi ? Lisez ce qu'est l'arc cosinus. De plus, si sur le côté droit de l'équation d'origine se trouvent les valeurs tabulaires du sinus, du cosinus, de la tangente, de la cotangente, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 et ainsi de suite. - la réponse à travers les arches sera inachevée. Les arches doivent être converties en radians.
Et si vous rencontrez des inégalités, comme
alors la réponse est :
x πn, n ∈ Z
il y a de rares absurdités, oui...) Ici, vous devez résoudre en utilisant le cercle trigonométrique. Ce que nous ferons dans le sujet correspondant.
Pour ceux qui lisent héroïquement ces lignes. Je ne peux tout simplement pas m’empêcher d’apprécier vos efforts titanesques. Bonus pour vous.)
Prime:
Lorsqu'ils écrivent des formules dans une situation de combat alarmante, même les nerds chevronnés ne savent souvent pas où πn, Et où 2πn. Voici une astuce simple pour vous. Dans tout le monde des formules qui valent πn. Sauf pour la seule formule avec arc cosinus. Il est là 2πn. Deux panne. Mot-clé - deux. Dans cette même formule il y a deux signe au début. Plus et moins. Ici et là - deux.
Alors si tu écrivais deux signe avant l'arc cosinus, c'est plus facile de se rappeler ce qui va se passer à la fin deux panne. Et cela se produit aussi dans l'autre sens. La personne manquera le signe ± , arrive à la fin, écrit correctement deux Pien, et il reprendra ses esprits. Il y a quelque chose à venir deux signe! La personne reviendra au début et corrigera l’erreur ! Comme ça.)
Si vous aimez ce site...
Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)
Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)
Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.
En résolvant plusieurs problèmes mathématiques , en particulier ceux qui surviennent avant la 10e année, l'ordre des actions effectuées qui mèneront à l'objectif est clairement défini. De tels problèmes incluent, par exemple, les problèmes linéaires et équations du second degré, linéaire et inégalités quadratiques, les équations fractionnaires et les équations qui se réduisent au quadratique. Le principe pour résoudre avec succès chacun des problèmes mentionnés est le suivant : vous devez établir le type de problème que vous résolvez, vous rappeler la séquence d'actions nécessaire qui mènera au résultat souhaité, c'est-à-dire répondez et suivez ces étapes.
Il est évident que le succès ou l'échec de la résolution d'un problème particulier dépend principalement de la manière dont le type d'équation à résoudre est correctement déterminé et de la manière dont la séquence de toutes les étapes de sa solution est correctement reproduite. Bien entendu, dans ce cas, il est nécessaire d’avoir les compétences nécessaires pour effectuer des transformations et des calculs identiques.
La situation est différente avec équations trigonométriques. Il n'est pas du tout difficile d'établir que l'équation est trigonométrique. Des difficultés surviennent lors de la détermination de la séquence d'actions qui mènerait à la bonne réponse.
Par apparenceéquation, il est parfois difficile d’en déterminer le type. Et sans connaître le type d'équation, il est quasiment impossible de choisir la bonne parmi plusieurs dizaines de formules trigonométriques.
Pour résoudre une équation trigonométrique, vous devez essayer :
1. amener toutes les fonctions incluses dans l'équation aux « mêmes angles » ;
2. ramener l'équation à des « fonctions identiques » ;
3. factoriser le côté gauche de l'équation, etc.
Considérons méthodes de base pour résoudre des équations trigonométriques.
I. Réduction aux équations trigonométriques les plus simples
Diagramme de solutions
Étape 1. Exprimer une fonction trigonométrique en termes de composantes connues.
Étape 2. Trouvez l'argument de la fonction à l'aide des formules :
cosx = une ; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
péché x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
bronzage x = une; x = arctan a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Étape 3. Trouvez la variable inconnue.
Exemple.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Solution.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z ;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z ;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z ;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Réponse : ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Remplacement variable
Diagramme de solutions
Étape 1. Réduisez l’équation sous forme algébrique par rapport à l’une des fonctions trigonométriques.
Étape 2. Notons la fonction résultante par la variable t (si nécessaire, introduisez des restrictions sur t).
Étape 3.Écrivez et résolvez l’équation algébrique résultante.
Étape 4. Effectuez un remplacement inversé.
Étape 5. Résolvez l'équation trigonométrique la plus simple.
Exemple.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Solution.
1) 2(1 – péché 2 (x/2)) – 5 péché (x/2) – 5 = 0 ;
2 péché 2 (x/2) + 5 péché (x/2) + 3 = 0.
2) Soit sin (x/2) = t, où |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0 ;
t = 1 ou e = -3/2, ne satisfait pas à la condition |t| ≤ 1.
4) péché(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z ;
x = π + 4πn, n Є Z.
Réponse : x = π + 4πn, n Є Z.
III. Méthode de réduction de l'ordre des équations
Diagramme de solutions
Étape 1. Remplacer équation donnée linéaire, en utilisant les formules de réduction du degré :
péché 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x) ;
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x) ;
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Étape 2. Résolvez l'équation résultante en utilisant les méthodes I et II.
Exemple.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Solution.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4 ;
3/2 car 2x = 3/4 ;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z ;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Réponse : x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Équations homogènes
Diagramme de solutions
Étape 1. Réduisons cette équation à la forme
a) a sin x + b cos x = 0 (équation homogène du premier degré)
ou à la vue
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (équation homogène du deuxième degré).
Étape 2. Divisez les deux côtés de l'équation par
une) cosx ≠ 0 ;
b) cos 2 x ≠ 0 ;
et obtenez l'équation pour tan x :
a) un bronzage x + b = 0 ;
b) un bronzage 2 x + b arctan x + c = 0.
Étape 3. Résolvez l'équation en utilisant des méthodes connues.
Exemple.
5 péché 2 x + 3 péché x cos x – 4 = 0.
Solution.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0 ;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0 ;
péché 2 x + 3 péché x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3 tg x – 4 = 0.
3) Soit tg x = t, alors
t 2 + 3t – 4 = 0 ;
t = 1 ou t = -4, ce qui signifie
tg x = 1 ou tg x = -4.
D'après la première équation x = π/4 + πn, n Є Z ; de la deuxième équation x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Réponse : x = π/4 + πn, n Є Z ; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Méthode de transformation d'une équation à l'aide de formules trigonométriques
Diagramme de solutions
Étape 1. Utiliser toutes sortes de formules trigonométriques, réduisez cette équation à une équation résolue par les méthodes I, II, III, IV.
Étape 2. Résolvez l'équation résultante en utilisant des méthodes connues.
Exemple.
péché x + péché 2x + péché 3x = 0.
Solution.
1) (péché x + péché 3x) + péché 2x = 0 ;
2 péché 2x cos x + péché 2x = 0.
2) péché 2x (2cos x + 1) = 0 ;
péché 2x = 0 ou 2cos x + 1 = 0 ;
D'après la première équation 2x = π/2 + πn, n Є Z ; de la deuxième équation cos x = -1/2.
Nous avons x = π/4 + πn/2, n Є Z ; à partir de la deuxième équation x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
En conséquence, x = π/4 + πn/2, n Є Z ; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Réponse : x = π/4 + πn/2, n Є Z ; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
La capacité et l'habileté à résoudre des équations trigonométriques sont très 
important, leur développement nécessite un effort important, tant de la part de l’élève que de la part de l’enseignant.
De nombreux problèmes de stéréométrie, de physique, etc. sont associés à la solution d'équations trigonométriques. Le processus de résolution de ces problèmes incarne de nombreuses connaissances et compétences acquises en étudiant les éléments de la trigonométrie.
Les équations trigonométriques occupent une place importante dans le processus d’apprentissage des mathématiques et du développement personnel en général.
Vous avez encore des questions ? Vous ne savez pas comment résoudre des équations trigonométriques ?
Pour obtenir l'aide d'un tuteur, inscrivez-vous.
Le premier cours est gratuit !
site Web, lors de la copie totale ou partielle du matériel, un lien vers la source est requis.
Informations de référence sur les fonctions trigonométriques sinus (sin x) et cosinus (cos x). Définition géométrique, propriétés, graphiques, formules. Tableau des sinus et cosinus, dérivées, intégrales, développements en séries, sécantes, cosécantes. Expressions via des variables complexes. Connexion avec les fonctions hyperboliques.
Définition géométrique du sinus et du cosinus
|BD|- longueur de l'arc de cercle dont le centre est en un point UN.
α
- angle exprimé en radians.
Définition
Sinus (sin α) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la jambe triangle rectangle, égal au rapport longueur du côté opposé |BC| à la longueur de l'hypoténuse |AC|.
Cosinus (cos α) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur de la branche adjacente |AB| à la longueur de l'hypoténuse |AC|.
Notations acceptées
;
;
.
;
;
.
Graphique de la fonction sinus, y = sin x
Graphique de la fonction cosinus, y = cos x
Propriétés du sinus et du cosinus
Périodicité
Fonctions y = péché x et y = parce que x périodique avec période 2π.
Parité
La fonction sinusoïdale est étrange. La fonction cosinus est paire.
Domaine de définition et valeurs, extrema, augmentation, diminution
Les fonctions sinus et cosinus sont continues dans leur domaine de définition, c'est-à-dire pour tout x (voir preuve de continuité). Leurs principales propriétés sont présentées dans le tableau (n - entier).
| y = péché x | y = parce que x | |
| Portée et continuité | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Plage de valeurs | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| En augmentant | ||
| Descendant | ||
| Maxima, y = 1 | ||
| Minima, y = - 1 | ||
| Des zéros, y = 0 | ||
| Intercepter les points avec l'axe des ordonnées, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Formules de base
Somme des carrés du sinus et du cosinus
Formules pour le sinus et le cosinus à partir de la somme et de la différence
;
;
Formules pour le produit des sinus et des cosinus
Formules de somme et de différence
Exprimer le sinus par le cosinus
;
;
;
.
Exprimer le cosinus par le sinus
;
;
;
.
Expression par tangente
; .
Quand nous avons:
;
.
À :
;
.
Tableau des sinus et cosinus, tangentes et cotangentes
Ce tableau montre les valeurs des sinus et des cosinus pour certaines valeurs de l'argument. 
Expressions via des variables complexes
;
La formule d'Euler
{ -∞ < x < +∞ }
Sécant, cosécant
Fonctions inverses
Fonctions inverses au sinus et au cosinus sont respectivement l'arc sinus et l'arc cosinus.
Arc sinus, arc sinus
Arccosinus, arccos
Les références:
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.