Cercle trigonométrique. Le guide complet (2019). Cercle trigonométrique. Significations de base des fonctions trigonométriques

Si vous connaissez déjà cercle trigonométrique , et que vous souhaitez juste vous rafraîchir la mémoire de certains éléments, ou que vous êtes complètement impatient, alors voilà :

Ici, nous analyserons tout en détail, étape par étape.

Le cercle trigonométrique n'est pas un luxe, mais une nécessité

Trigonométrie Beaucoup de gens l'associent à un fourré impénétrable. Soudain, il y a tellement de significations fonctions trigonométriques, tant de formules... Mais c'est comme si ça n'avait pas marché au début, et... par moments... un malentendu complet...

Il est très important de ne pas abandonner valeurs des fonctions trigonométriques, - disent-ils, vous pouvez toujours regarder l'éperon avec un tableau de valeurs.

Si vous regardez constamment un tableau avec des valeurs formules trigonométriques, débarrassons-nous de cette habitude !

Il va nous aider ! Vous travaillerez avec lui plusieurs fois, puis il apparaîtra dans votre tête. En quoi est-ce mieux qu'une table ? Oui, dans le tableau vous trouverez un nombre limité de valeurs, mais sur le cercle - TOUT !

Par exemple, disons en regardant tableau standard des valeurs des formules trigonométriques , pourquoi égal au sinus, disons 300 degrés, ou -45.

Pas question ?.. vous pouvez, bien sûr, vous connecter formules de réduction... Et en regardant le cercle trigonométrique, vous pouvez facilement répondre à de telles questions. Et vous saurez bientôt comment faire !

Et au moment de décider équations trigonométriques et les inégalités sans le cercle trigonométrique - nulle part.

Introduction au cercle trigonométrique

Allons-y dans l'ordre.

Tout d’abord, écrivons cette série de nombres :

Et maintenant ceci :

Et enfin celui-ci :

Bien sûr, il est clair qu’en fait, en première place se trouve , en deuxième place se trouve , et en dernière place se trouve . Autrement dit, nous serons plus intéressés par la chaîne.

Mais comme c'est devenu beau ! Si quelque chose arrive, nous restaurerons cette « échelle miracle ».

Et pourquoi en avons-nous besoin ?

Cette chaîne représente les principales valeurs du sinus et du cosinus au premier trimestre.

Traçons un cercle de rayon unité dans un système de coordonnées rectangulaires (c'est-à-dire que nous prenons n'importe quel rayon en longueur et déclarons que sa longueur est unité).

À partir de la poutre « 0-Start », nous posons les coins dans le sens de la flèche (voir figure).

On obtient les points correspondants sur le cercle. Ainsi, si nous projetons les points sur chacun des axes, alors nous obtiendrons exactement les valeurs​​de la chaîne ci-dessus.

Pourquoi est-ce, demandez-vous ?

N'analysons pas tout. Considérons principe, ce qui vous permettra de faire face à d'autres situations similaires.

Le triangle AOB est rectangulaire et contient . Et nous savons qu'en face de l'angle b se trouve une jambe de la moitié de la taille de l'hypoténuse (nous avons l'hypoténuse = le rayon du cercle, soit 1).

Cela signifie AB= (et donc OM=). Et selon le théorème de Pythagore

J'espère que quelque chose devient déjà clair ?

Donc le point B correspondra à la valeur, et le point M correspondra à la valeur

Pareil avec les autres valeurs du premier trimestre.

Comme vous l'avez compris, l'axe familier (bœuf) sera axe cosinus, et l'axe (oy) – axe des sinus . Plus tard.

À gauche de zéro le long de l'axe cosinus (en dessous de zéro le long de l'axe sinus), il y aura bien sûr valeurs négatives.

Le voici donc, le TOUT-PUISSANT, sans qui il n'y a nulle part en trigonométrie.

Mais nous parlerons de la façon d'utiliser le cercle trigonométrique.

Compter les angles sur un cercle trigonométrique.

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

C'est presque la même chose que dans la leçon précédente. Il y a des axes, un cercle, un angle, tout est en ordre. Ajout de numéros de quart (dans les coins du grand carré) - du premier au quatrième. Et si quelqu'un ne le sait pas ? Comme vous pouvez le constater, les quartiers (on les appelle aussi un beau mot"quadrants") sont numérotés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Ajout de valeurs d'angle sur les axes. Tout est clair, aucun problème.

Et une flèche verte est ajoutée. Avec un plus. Qu'est-ce que ça veut dire? Je vous rappelle que le côté fixe de l'angle Toujours cloué au demi-axe positif OX. Donc, si l’on fait pivoter le côté mobile de l’angle le long de la flèche avec un plus, c'est à dire. par ordre croissant des nombres de trimestres, l'angle sera considéré comme positif. A titre d'exemple, l'image montre un angle positif de +60°.

Si on met de côté les coins dans le sens inverse, dans le sens des aiguilles d'une montre, l'angle sera considéré comme négatif. Passez votre curseur sur l'image (ou touchez l'image sur votre tablette), vous verrez une flèche bleue avec un signe moins. C'est la direction de lecture d'un angle négatif. Par exemple, un angle négatif (- 60°) est affiché. Et vous verrez aussi comment les nombres sur les axes ont changé... Je les ai aussi convertis en angles négatifs. La numérotation des quadrants ne change pas.

C’est là que commencent généralement les premiers malentendus. Comment ça!? Et si un angle négatif sur un cercle coïncide avec un angle positif !? Et en général, il s'avère que la même position du côté mobile (ou point sur le cercle numérique) peut être appelée à la fois un angle négatif et un angle positif !?

Oui. Exactement. Disons qu'un angle positif de 90 degrés forme un cercle exactement le même position comme un angle négatif de moins 270 degrés. Un angle positif, par exemple +110° degrés, prend exactement le même position comme angle négatif -250°.

Aucun problème. Tout est correct.) Le choix du calcul d'angle positif ou négatif dépend des conditions de la tâche. Si la condition ne dit rien en texte clair sur le signe de l'angle, (comme "déterminer le plus petit positif angle", etc.), alors nous travaillons avec des valeurs qui nous conviennent.

L'exception (comment pourrions-nous vivre sans elles ?!) sont les inégalités trigonométriques, mais c'est là que nous maîtriserons cette astuce.

Et maintenant une question pour vous. Comment savais-je que la position de l’angle de 110° est la même que la position de l’angle de -250° ?
Permettez-moi de laisser entendre que cela est lié à une révolution complète. En 360°... Pas clair ? Ensuite, nous dessinons un cercle. Nous le dessinons nous-mêmes, sur papier. Marquer le coin environ 110°. ET nous pensons, combien de temps reste-t-il avant une révolution complète. Il ne restera que 250°...

J'ai compris? Et maintenant, attention ! Si les angles 110° et -250° occupent un cercle même situation, et alors ? Oui, les angles sont de 110° et -250° exactement le même sinus, cosinus, tangente et cotangente !
Ceux. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) et ainsi de suite. Maintenant, c'est vraiment important ! Et en soi, il existe de nombreuses tâches pour lesquelles vous devez simplifier les expressions et servir de base à la maîtrise ultérieure des formules de réduction et d'autres subtilités de la trigonométrie.

Bien sûr, j'ai pris 110° et -250° au hasard, à titre d'exemple uniquement. Toutes ces égalités fonctionnent pour tout angle occupant la même position sur le cercle. 60° et -300°, -75° et 285°, etc. Permettez-moi de noter tout de suite que les angles de ces paires sont différent. Mais ils ont des fonctions trigonométriques - le même.

Je pense que vous comprenez ce que sont les angles négatifs. C'est assez simple. Dans le sens inverse des aiguilles d'une montre - comptage positif. En chemin - négatif. Considérez l'angle positif ou négatif cela dépend de nous. De notre désir. Eh bien, et aussi de la tâche, bien sûr... J'espère que vous comprenez comment se déplacer dans les fonctions trigonométriques des angles négatifs aux angles positifs et inversement. Tracez un cercle, un angle approximatif, et voyez combien il manque pour effectuer un tour complet, c'est-à-dire jusqu'à 360°.

Angles supérieurs à 360°.

Parlons des angles supérieurs à 360°. Existe-t-il de telles choses ? Il y en a, bien sûr. Comment les dessiner sur un cercle ? Aucun problème! Disons que nous devons comprendre dans quel quart va tomber un angle de 1000° ? Facilement! On fait un tour complet dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (l'angle qu'on nous a donné est positif !). Nous avons rembobiné à 360°. Eh bien, passons à autre chose ! Encore un tour, il fait déjà 720°. Combien en reste-t-il? 280°. Ce n'est pas suffisant pour faire un tour complet... Mais l'angle est supérieur à 270° - et c'est la frontière entre le troisième et le quatrième quart. Par conséquent, notre angle de 1000° tombe dans le quatrième quart. Tous.

Comme vous pouvez le constater, c'est assez simple. Permettez-moi de vous rappeler encore une fois que l'angle de 1000° et l'angle de 280°, que nous avons obtenus en écartant les tours complets « supplémentaires », sont, à proprement parler, différent coins. Mais les fonctions trigonométriques de ces angles exactement le même! Ceux. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280°, etc. Si j'étais un sinus, je ne remarquerais pas la différence entre ces deux angles...

Pourquoi tout cela est-il nécessaire ? Pourquoi devons-nous convertir les angles de l’un à l’autre ? Oui, tout cela pour la même chose.) Afin de simplifier les expressions. En effet, la simplification des expressions la tâche principale mathématiques scolaires. Eh bien, et en chemin, la tête est entraînée.)

Eh bien, pratiquons ?)

Nous répondons aux questions. Les simples d’abord.

1. Dans quel quart se situe l’angle de -325° ?

2. Dans quel quart se situe l’angle de 3 000° ?

3. Dans quel quart se situe l’angle -3000° ?

Il ya un problème? Ou de l'incertitude ? Accédez à la section 555, Pratique du cercle trigonométrique. Là, dans la première leçon de ce même " Travaux pratiques... " tout en détail... Dans tel des questions d'incertitude je ne devrais pas !

4. Quel signe a sin555° ?

5. Quel signe a tg555° ?

Avez-vous déterminé ? Super! Avez-vous des doutes ? Vous devez vous rendre à la section 555... À propos, vous y apprendrez à dessiner une tangente et une cotangente sur un cercle trigonométrique. Une chose très utile.

Et maintenant, les questions sont plus sophistiquées.

6. Réduisez l’expression sin777° au sinus du plus petit angle positif.

7. Réduisez l’expression cos777° au cosinus du plus grand angle négatif.

8. Réduisez l’expression cos(-777°) au cosinus du plus petit angle positif.

9. Réduisez l’expression sin777° au sinus du plus grand angle négatif.

Quoi, les questions 6 à 9 vous ont intrigué ? Habituez-vous-y, à l'examen d'État unifié, vous ne trouvez pas de telles formulations... Qu'il en soit ainsi, je vais le traduire. Seulement pour toi!

Les mots "amener une expression à..." visent à transformer l'expression pour que son sens n'a pas changé UN apparence modifié en fonction de la mission. Ainsi, dans les tâches 6 et 9, nous devons obtenir un sinus à l'intérieur duquel se trouve le plus petit angle positif. Tout le reste n'a pas d'importance.

Je donnerai les réponses dans l'ordre (en violation de nos règles). Mais que faire, il n’y a que deux panneaux, et il n’y a que quatre quarts… Vous n’aurez pas l’embarras du choix.

6. péché57°.

7. cos(-57°).

8. cos57°.

9. -péché(-57°)

Je suppose que les réponses aux questions 6 à 9 ont dérouté certaines personnes. En particulier -péché(-57°), vraiment ?) En effet, dans les règles élémentaires de calcul des angles, il y a place à l'erreur... C'est pourquoi j'ai dû faire une leçon : « Comment déterminer les signes des fonctions et donner des angles sur un cercle trigonométrique ? Dans la section 555. Les tâches 4 à 9 y sont couvertes. Bien trié, avec tous les pièges. Et ils sont ici.)

Dans la prochaine leçon, nous traiterons des mystérieux radians et du nombre « Pi ». Apprenons à convertir facilement et correctement les degrés en radians et vice versa. Et nous serons surpris de découvrir que ces informations de base sur le site déjà assez pour résoudre certains problèmes de trigonométrie personnalisés !

Si vous aimez ce site...

Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Le signe de la fonction trigonométrique dépend uniquement du quadrant de coordonnées dans lequel se trouve l'argument numérique. La dernière fois, nous avons appris à convertir des arguments d'une mesure en radian en mesure en degré (voir la leçon « Radian et mesure en degré d'un angle »), puis à déterminer ce même quart de coordonnées. Déterminons maintenant le signe du sinus, du cosinus et de la tangente.

Le sinus de l'angle α est l'ordonnée (coordonnée y) d'un point sur cercle trigonométrique, ce qui se produit lorsque le rayon tourne d'un angle α.

Le cosinus de l'angle α est l'abscisse (coordonnée x) d'un point sur un cercle trigonométrique, qui se produit lorsque le rayon tourne d'un angle α.

La tangente de l'angle α est le rapport du sinus au cosinus. Ou, ce qui revient au même, le rapport entre la coordonnée y et la coordonnée x.

Notation : sin α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .

Toutes ces définitions vous sont familières depuis l'algèbre du lycée. Cependant, nous ne nous intéressons pas aux définitions elles-mêmes, mais aux conséquences qui en découlent sur le cercle trigonométrique. Regarde:

La couleur bleue indique la direction positive de l'axe OY (axe des ordonnées), le rouge indique la direction positive de l'axe OX (axe des abscisses). Sur ce « radar », les signes des fonctions trigonométriques deviennent évidents. En particulier:

1. sin α > 0 si l'angle α se situe dans le quadrant de coordonnées I ou II. En effet, par définition, le sinus est une ordonnée (coordonnée y). Et la coordonnée y sera positive précisément dans les quartiers de coordonnées I et II ;
2. cos α > 0, si l'angle α se situe dans le 1er ou le 4ème quadrant de coordonnées. Parce que là seulement, la coordonnée x (alias abscisse) sera supérieure à zéro ;
3. tan α > 0 si l'angle α se situe dans le quadrant de coordonnées I ou III. Cela découle de la définition : après tout, tan α = y : x, il n'est donc positif que là où les signes de x et y coïncident. Cela se produit dans le premier quart de coordonnées (ici x > 0, y > 0) et le troisième quart de coordonnées (x< 0, y < 0).

Pour plus de clarté, notons les signes de chaque fonction trigonométrique - sinus, cosinus et tangente - sur des « radars » distincts. On obtient l'image suivante :

Remarque : dans mes discussions je n'ai jamais parlé de la quatrième fonction trigonométrique - cotangente. Le fait est que les signes cotangents coïncident avec les signes tangents - il n'y a pas de règles particulières là-bas.

Je propose maintenant de considérer des exemples similaires aux problèmes B11 du test Examen d'État unifié de mathématiques, qui a eu lieu le 27 septembre 2011. Après tout, La meilleure façon comprendre la théorie est la pratique. Il est conseillé d'avoir beaucoup de pratique. Bien entendu, les conditions des tâches ont été légèrement modifiées.

Tâche. Déterminer les signes des fonctions et expressions trigonométriques (les valeurs des fonctions elles-mêmes n'ont pas besoin d'être calculées) :

1. péché(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. tg(5π/3);
4. péché (3π/4) cos (5π/6) ;
5. cos (2π/3)tg (π/4) ;
6. péché (5π/6) cos (7π/4) ;
7. bronzage (3π/4) cos (5π/3) ;
8. ctg (4π/3) tg (π/6).

Le plan d'action est le suivant : nous convertissons d'abord tous les angles des mesures en radians en degrés (π → 180°), puis regardons dans quel quartier de coordonnées se trouve le nombre obtenu. Connaissant les quartiers, on peut facilement retrouver les panneaux - selon les règles qui viennent d'être décrites. Nous avons:

1. péché (3π/4) = péché (3 · 180°/4) = péché 135°. Puisque 135° ∈ , c'est un angle par rapport au quadrant de coordonnées II. Mais le sinus du deuxième trimestre est positif, donc sin (3π/4) > 0 ;
2. cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Parce que 210° ∈ , c'est l'angle par rapport au troisième quadrant de coordonnées, dans lequel tous les cosinus sont négatifs. Donc cos(7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Depuis 300° ∈ , nous sommes dans le IV quart, où la tangente prend des valeurs négatives. Donc tan (5π/3)< 0;
4. sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Parlons du sinus : parce que 135° ∈ , c'est le deuxième quart dans lequel les sinus sont positifs, c'est-à-dire sin (3π/4) > 0. Nous travaillons maintenant avec le cosinus : 150° ∈ - encore une fois le deuxième quart, les cosinus y sont négatifs. Donc cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. On regarde le cosinus : 120° ∈ est le quart de coordonnée II, donc cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый angle régulier en trigonométrie). La tangente y est positive, donc tan (π/4) > 0. On obtient à nouveau un produit dans lequel les facteurs ont des signes différents. Puisque « moins par plus donne moins », on a : cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. On travaille avec le sinus : depuis 150° ∈ , on parle du quart de coordonnées II, où les sinus sont positifs. Par conséquent, sin (5π/6) > 0. De même, 315° ∈ est le quart de coordonnée IV, les cosinus y sont positifs. Donc cos (7π/4) > 0. Nous avons obtenu le produit de deux nombres positifs – une telle expression est toujours positive. Nous concluons : sin (5π/6) cos (7π/4) > 0 ;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Mais l'angle 135° ∈ est le deuxième quart, c'est-à-dire tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Puisque « moins par plus donne un signe moins », nous avons : tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. On regarde l'argument cotangente : 240° ∈ est le quart de coordonnée III, donc ctg (4π/3) > 0. De même, pour la tangente on a : 30° ∈ est le quart de coordonnée I, c'est à dire l'angle le plus simple. Donc tan (π/6) > 0. Encore une fois, nous avons deux expressions positives – leur produit sera également positif. Donc cot (4π/3) tg (π/6) > 0.

En conclusion, regardons un peu plus tâches complexes. En plus de déterminer le signe de la fonction trigonométrique, vous devrez ici faire un peu de calcul - exactement comme cela se fait dans les problèmes réels B11. En principe, ce sont des problèmes presque réels qui apparaissent réellement lors de l'examen d'État unifié de mathématiques.

Tâche. Trouvez sin α si sin 2 α = 0,64 et α ∈ [π/2; π].

Puisque sin 2 α = 0,64, on a : sin α = ±0,8. Il ne reste plus qu'à décider : plus ou moins ? Par condition, l'angle α ∈ [π/2; π] est le quart de coordonnées II, où tous les sinus sont positifs. Par conséquent, sin α = 0,8 - l'incertitude avec les signes est éliminée.

Tâche. Trouvez cos α si cos 2 α = 0,04 et α ∈ [π; 3π/2].

Nous agissons de la même manière, c'est-à-dire extrait Racine carrée: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Par condition, l'angle α ∈ [π; 3π/2], c'est-à-dire Nous parlons du troisième quartier de coordonnées. Tous les cosinus y sont négatifs, donc cos α = −0,2.

Tâche. Trouvez sin α si sin 2 α = 0,25 et α ∈ .

On a : sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. On regarde à nouveau l'angle : α ∈ est le quart de coordonnée IV, dans lequel, comme on le sait, le sinus sera négatif. Ainsi, nous concluons : sin α = −0,5.

Tâche. Trouvez tan α si tan 2 α = 9 et α ∈ .

Tout est pareil, seulement pour la tangente. Extrayez la racine carrée : tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Mais selon la condition, l’angle α ∈ est le quart de la coordonnée I. Toutes les fonctions trigonométriques, incl. tangentes, il y en a des positifs, donc tan α = 3. C'est tout !

Données de référence pour la tangente (tg x) et la cotangente (ctg x). Définition géométrique, propriétés, graphiques, formules. Tableau des tangentes et cotangentes, dérivées, intégrales, développements en séries. Expressions via des variables complexes. Connexion avec les fonctions hyperboliques.

Définition géométrique

|BD|
- longueur de l'arc de cercle de centre au point A.

α est l'angle exprimé en radians. Tangente () bronzage α est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la jambe triangle rectangle

, égal au rapport de la longueur du côté opposé |BC| à la longueur de la jambe adjacente |AB| .) Cotangente (

ctg α

est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur de la branche adjacente |AB| à la longueur de la jambe opposée |BC| . Tangente

Où
.
;
;
.

n

- entier.

est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur de la branche adjacente |AB| à la longueur de la jambe opposée |BC| . Tangente

Dans la littérature occidentale, la tangente est notée comme suit :
.
Graphique de la fonction tangente, y = tan x
;
;
.

Cotangente

Dans la littérature occidentale, la cotangente est notée comme suit :

Les notations suivantes sont également acceptées :

Graphique de la fonction cotangente, y = ctg x Propriétés de la tangente et de la cotangente Périodicité Fonctions y = tgx

et y =

ctg x

sont périodiques de période π.

Parité à la longueur de la jambe opposée |BC| . Les fonctions tangente et cotangente sont impaires.

	Zones de définition et de valeurs, croissantes, décroissantes Propriétés de la tangente et de la cotangente	Zones de définition et de valeurs, croissantes, décroissantes Fonctions y =
Les fonctions tangente et cotangente sont continues dans leur domaine de définition (voir preuve de continuité). Les principales propriétés de la tangente et de la cotangente sont présentées dans le tableau (
- entier).	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
y=		-
Portée et continuité	-
Plage de valeurs	-	-
En augmentant 0
Descendant 0	Zones de définition et de valeurs, croissantes, décroissantes 0	-

Extrêmes

Des zéros, y =

; ;
; ;
;

Intercepter les points avec l'axe des ordonnées, x =

Formules

Expressions utilisant le sinus et le cosinus

Formules pour la tangente et la cotangente à partir de la somme et de la différence

Ce tableau présente les valeurs des tangentes et des cotangentes pour certaines valeurs de l'argument.

Expressions utilisant des nombres complexes

Expressions via des fonctions hyperboliques

;
;

Dérivés

; .

.
Dérivée du nième ordre par rapport à la variable x de la fonction :
.
Dériver des formules pour la tangente > > > ; pour cotangente > > >

Intégrales

Extensions de série

Pour obtenir le développement de la tangente en puissances de x, il faut prendre plusieurs termes du développement en série de puissance pour les fonctions péché x Et parce que x et divisez ces polynômes les uns par les autres, .

Cela produit les formules suivantes.

À .
à . Où Bn
;
;
- Les nombres de Bernoulli. Ils sont déterminés soit à partir de la relation de récurrence :
Où .

Ou selon la formule de Laplace :

Fonctions inverses Fonctions inverses

à la tangente et à la cotangente sont respectivement arctangente et arccotangente.

Arctangente, arctg à la longueur de la jambe opposée |BC| . Tangente

, Où

Arctangente, arctg à la longueur de la jambe opposée |BC| . Tangente

Arccotangente, arcctg
Les références:
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.

G. Korn, Manuel de mathématiques pour les scientifiques et les ingénieurs, 2012. Permet d'établir un certain nombre de résultats caractéristiques - propriétés du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente

. Dans cet article, nous examinerons trois propriétés principales. Le premier d'entre eux indique les signes du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente de l'angle α en fonction de l'angle dont le quart de coordonnée est α. Nous considérerons ensuite la propriété de périodicité, qui établit l'invariance des valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente de l'angle α lorsque cet angle change d'un nombre entier de tours. La troisième propriété exprime la relation entre les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente des angles opposés α et −α.

Si vous êtes intéressé par les propriétés des fonctions sinus, cosinus, tangente et cotangente, alors vous pouvez les étudier dans la section correspondante de l'article.

Navigation dans les pages.

Signes de sinus, cosinus, tangente et cotangente par quarts

Ci-dessous dans ce paragraphe, l'expression « angle du quart de coordonnées I, II, III et IV » apparaîtra. Expliquons quels sont ces angles.

Prenons un cercle unité, marquons dessus le point de départ A(1, 0) et faisons-le pivoter autour du point O d'un angle α, et nous supposerons que nous arriverons au point A 1 (x, y). Ils disent ça l'angle α est l'angle du quadrant de coordonnées I, II, III, IV

Pour plus de clarté, voici une illustration graphique. Les dessins ci-dessous montrent des angles de rotation de 30, −210, 585 et −45 degrés, qui sont respectivement les angles des quarts de coordonnées I, II, III et IV.

Angles 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … les degrés n’appartiennent à aucun des quartiers de coordonnées.

Voyons maintenant quels signes ont les valeurs de sinus, cosinus, tangente et cotangente de l'angle de rotation α, en fonction de l'angle du quadrant α.

Pour le sinus et le cosinus, c’est facile à faire.

Par définition, le sinus de l'angle α est l'ordonnée du point A 1. Évidemment, dans les quartiers de coordonnées I et II, il est positif, et dans les quartiers III et IV, il est négatif. Ainsi, le sinus de l'angle α a un signe plus dans les 1er et 2ème quarts, et un signe moins dans les 3ème et 6ème quarts.

A son tour, le cosinus de l'angle α est l'abscisse du point A 1. Dans les trimestres I et IV, il est positif et dans les trimestres II et III, il est négatif. Par conséquent, les valeurs du cosinus de l'angle α dans les quartiers I et IV sont positives, et dans les quartiers II et III elles sont négatives.

Pour déterminer les signes des quarts de tangente et de cotangente, il faut se souvenir de leurs définitions : la tangente est le rapport de l'ordonnée du point A 1 à l'abscisse, et la cotangente est le rapport de l'abscisse du point A 1 à l'ordonnée. Puis à partir de règles pour diviser les nombres avec le même et différents signes il s'ensuit que tangente et cotangente ont un signe plus lorsque les signes des abscisses et des ordonnées du point A 1 sont identiques, et ont un signe moins lorsque les signes des abscisses et des ordonnées du point A 1 sont différents. Par conséquent, la tangente et la cotangente de l'angle ont un signe + dans les quartiers de coordonnées I et III, et un signe moins dans les quartiers II et IV.

En effet, par exemple, au premier quart l'abscisse x et l'ordonnée y du point A 1 sont positives, alors le quotient x/y et le quotient y/x sont positifs, donc la tangente et la cotangente ont des signes +. Et au deuxième trimestre, l'abscisse x est négative et l'ordonnée y est positive, donc x/y et y/x sont négatifs, donc la tangente et la cotangente ont un signe moins.

Passons à la propriété suivante du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente.

Propriété de périodicité

Nous allons maintenant examiner la propriété peut-être la plus évidente du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente d’un angle. C'est la suivante : lorsque l'angle change d'un nombre entier de tours complets, les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente de cet angle ne changent pas.

C'est compréhensible : lorsque l'angle change d'un nombre entier de tours, on passera toujours du point de départ A au point A 1 sur le cercle unité, donc les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente restent inchangées, puisque les coordonnées du point A 1 sont inchangées.

À l'aide de formules, la propriété considérée du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente peut s'écrire comme suit : sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+ 2·π· z)=tgα, ctg(α+2·π·z)=ctgα, où α est l'angle de rotation en radians, z est quelconque, dont la valeur absolue indique le nombre de tours complets par lesquels le l'angle α change et le signe du nombre z indique la direction du virage.

Si l'angle de rotation α est spécifié en degrés, alors les formules indiquées seront réécrites comme sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360°·z)=ctgα .

Donnons des exemples d'utilisation de cette propriété. Par exemple, , parce que , UN . Voici un autre exemple : ou .

Cette propriété, ainsi que les formules de réduction, sont très souvent utilisées lors du calcul des valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente des « grands » angles.

La propriété considérée du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente est parfois appelée propriété de périodicité.

Propriétés des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes d'angles opposés

Soit A 1 le point obtenu en faisant tourner le point initial A(1, 0) autour du point O d'un angle α, et le point A 2 le résultat de la rotation du point A d'un angle −α, opposé à l'angle α.

La propriété des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes d'angles opposés repose sur un fait assez évident : les points A 1 et A 2 mentionnés ci-dessus soit coïncident (at) soit sont situés symétriquement par rapport à l'axe Ox. Autrement dit, si le point A 1 a des coordonnées (x, y), alors le point A 2 aura des coordonnées (x, −y). À partir de là, en utilisant les définitions de sinus, cosinus, tangente et cotangente, nous écrivons les égalités et .
En les comparant, nous arrivons aux relations entre sinus, cosinus, tangentes et cotangentes d'angles opposés α et −α de la forme.
C'est la propriété considérée sous forme de formules.

Donnons des exemples d'utilisation de cette propriété. Par exemple, les égalités et .

Il ne reste plus qu'à noter que la propriété des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes d'angles opposés, comme la propriété précédente, est souvent utilisée lors du calcul des valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente, et permet d'éviter complètement les valeurs négatives. angles.

Bibliographie.

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