Dans cet article, nous allons jeter un regard complet. Les identités trigonométriques de base sont des égalités qui établissent une connexion entre le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle, et permettent de trouver l'une de ces fonctions trigonométriques à travers un autre connu.
Listons immédiatement les principales identités trigonométriques que nous analyserons dans cet article. Écrivons-les dans un tableau, et ci-dessous nous donnerons le résultat de ces formules et fournirons les explications nécessaires.
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Relation entre le sinus et le cosinus d'un angle
Parfois, ils ne parlent pas des principales identités trigonométriques énumérées dans le tableau ci-dessus, mais d'une seule. identité trigonométrique de base gentil 
. L'explication de ce fait est assez simple : les égalités sont obtenues à partir de l'identité trigonométrique principale après avoir divisé ses deux parties par et, respectivement, et les égalités 
Et 
découlent des définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente. Nous en parlerons plus en détail dans les paragraphes suivants.
C'est-à-dire que c'est l'égalité qui présente un intérêt particulier, à laquelle on a donné le nom d'identité trigonométrique principale.
Avant de prouver l'identité trigonométrique principale, donnons sa formulation : la somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle est identiquement égale à un. Maintenant, prouvons-le.
L'identité trigonométrique de base est très souvent utilisée lorsque conversion d'expressions trigonométriques. Il permet de remplacer la somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle par un. Non moins souvent, l'identité trigonométrique de base est utilisée dans l'ordre inverse : l'unité est remplacée par la somme des carrés du sinus et du cosinus de n'importe quel angle.
Tangente et cotangente par sinus et cosinus
Identités reliant la tangente et la cotangente au sinus et au cosinus d'un angle de vue et 
découlent immédiatement des définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente. En effet, par définition, le sinus est l'ordonnée de y, le cosinus est l'abscisse de x, la tangente est le rapport de l'ordonnée à l'abscisse, soit 
, et la cotangente est le rapport de l'abscisse à l'ordonnée, c'est-à-dire 
.
Grâce à une telle évidence des identités et La tangente et la cotangente sont souvent définies non pas par le rapport de l'abscisse et de l'ordonnée, mais par le rapport du sinus et du cosinus. Ainsi, la tangente d'un angle est le rapport du sinus au cosinus de cet angle, et la cotangente est le rapport du cosinus au sinus.
En conclusion de ce paragraphe, il convient de noter que les identités et avoir lieu pour tous les angles sous lesquels les fonctions trigonométriques qu'ils contiennent ont un sens. Donc la formule est valable pour tout autre que (sinon le dénominateur aura zéro, et nous n'avons pas défini la division par zéro), et la formule - pour tout , différent de , où z est quelconque .
Relation entre tangente et cotangente
Une identité trigonométrique encore plus évidente que les deux précédentes est l'identité reliant la tangente et la cotangente d'un angle de la forme . Il est clair que cela est valable pour tous les angles autres que , sinon la tangente ou la cotangente ne sont pas définies.
Preuve de la formule très simple. Par définition et d'où 
. La preuve aurait pu être réalisée un peu différemment. Depuis , Que 
.
Ainsi, la tangente et la cotangente du même angle sous lequel elles ont un sens sont .
Nous poursuivons notre conversation sur les formules les plus utilisées en trigonométrie. Les plus importantes d’entre elles sont les formules d’addition.
Définition 1
Les formules d'addition vous permettent d'exprimer des fonctions de différence ou de somme de deux angles à l'aide de fonctions trigonométriques de ces angles.
Pour commencer, nous donnerons liste complète formules d'addition, nous les prouverons ensuite et analyserons plusieurs exemples illustratifs.
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Formules d'addition de base en trigonométrie
Il existe huit formules de base : sinus de la somme et sinus de la différence de deux angles, cosinus de la somme et de la différence, tangentes et cotangentes de la somme et de la différence, respectivement. Vous trouverez ci-dessous leurs formulations et calculs standard.
1. Le sinus de la somme de deux angles peut être obtenu comme suit :
On calcule le produit du sinus du premier angle et du cosinus du second ;
Multipliez le cosinus du premier angle par le sinus du premier ;
Additionnez les valeurs résultantes.
L'écriture graphique de la formule ressemble à ceci : sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
2. Le sinus de la différence est calculé presque de la même manière, seuls les produits résultants ne doivent pas être ajoutés, mais soustraits les uns aux autres. Ainsi, nous calculons les produits du sinus du premier angle et du cosinus du deuxième et du cosinus du premier angle et du sinus du second et trouvons leur différence. La formule s'écrit ainsi : sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β
3. Cosinus de la somme. Pour cela, on trouve les produits du cosinus du premier angle par le cosinus du deuxième et du sinus du premier angle par le sinus du second, respectivement, et on trouve leur différence : cos (α + β) = cos α · cos β - péché α · péché β
4. Cosinus de la différence : calculez les produits des sinus et des cosinus de ces angles, comme précédemment, et additionnez-les. Formule : cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Tangente de la somme. Cette formule est exprimée sous la forme d'une fraction dont le numérateur est la somme des tangentes des angles requis, et le dénominateur est une unité à laquelle est soustrait le produit des tangentes des angles souhaités. Tout ressort clairement de sa notation graphique : t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
6. Tangente de la différence. Nous calculons les valeurs de la différence et du produit des tangentes de ces angles et procédons de la même manière. Au dénominateur on ajoute à un, et non l'inverse : t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
7. Cotangente de la somme. Pour calculer à l'aide de cette formule, nous aurons besoin du produit et de la somme des cotangentes de ces angles, que nous procédons de la manière suivante : c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
8. Cotangente de la différence . La formule est similaire à la précédente, mais le numérateur et le dénominateur sont moins, pas plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.
Vous avez probablement remarqué que ces formules sont similaires par paires. En utilisant les signes ± (plus-moins) et ∓ (moins-plus), nous pouvons les regrouper pour faciliter l'enregistrement :
sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
En conséquence, nous avons une formule d'enregistrement pour la somme et la différence de chaque valeur, dans un cas seulement, nous prêtons attention au signe supérieur, dans l'autre cas, au signe inférieur.
Définition 2
Nous pouvons prendre n’importe quels angles α et β, et les formules d’addition pour le cosinus et le sinus fonctionneront pour eux. Si nous pouvons déterminer correctement les valeurs des tangentes et des cotangentes de ces angles, alors les formules d'addition pour la tangente et la cotangente seront également valables pour eux.
Comme la plupart des concepts d’algèbre, les formules d’addition peuvent être prouvées. La première formule que nous allons prouver est la formule de différence cosinus. Le reste des preuves peut alors en être facilement déduit.
Clarifions les concepts de base. Nous aurons besoin cercle unitaire. Cela fonctionnera si nous prenons un certain point A et faisons pivoter les angles α et β autour du centre (point O). Alors l'angle entre les vecteurs O A 1 → et O A → 2 sera égal à (α - β) + 2 π · z ou 2 π - (α - β) + 2 π · z (z est n'importe quel nombre entier). Les vecteurs résultants forment un angle égal à α - β ou 2 π - (α - β), ou il peut différer de ces valeurs d'un nombre entier de tours complets. Jetez un oeil à la photo :
Nous avons utilisé les formules de réduction et obtenu les résultats suivants :
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Résultat : le cosinus de l'angle entre les vecteurs O A 1 → et O A 2 → est égal au cosinus de l'angle α - β, donc cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).
Rappelons les définitions du sinus et du cosinus : le sinus est fonction de l'angle, égal au rapport la branche de l'angle opposé à l'hypoténuse, le cosinus est le sinus de l'angle complémentaire. Par conséquent, les points Un 1 Et Un 2 ont des coordonnées (cos α, sin α) et (cos β, sin β).
Nous obtenons ce qui suit :
O A 1 → = (cos α, sin α) et O A 2 → = (cos β, sin β)
Si ce n'est pas clair, regardez les coordonnées des points situés au début et à la fin des vecteurs.
Les longueurs des vecteurs sont égales à 1, car Nous avons un cercle unitaire.
Regardons ça maintenant produit scalaire vecteurs O A 1 → et O A 2 → . En coordonnées, cela ressemble à ceci :
(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β
De là on peut déduire l’égalité :
cos (α - β) = cos α cos β + péché α péché β
Ainsi, la formule de différence cosinus est prouvée.
Nous allons maintenant prouver la formule suivante : le cosinus de la somme. C'est plus facile car nous pouvons utiliser les calculs précédents. Prenons la représentation α + β = α - (- β) . Nous avons:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
C'est la preuve de la formule de la somme des cosinus. La dernière ligne utilise la propriété du sinus et du cosinus des angles opposés.
La formule du sinus d’une somme peut être dérivée de la formule du cosinus d’une différence. Prenons pour cela la formule de réduction :
de la forme sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Donc
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = péché α cos β + cos α péché β
Et voici la preuve de la formule sinusoïdale de différence :
sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Notez l'utilisation des propriétés sinus et cosinus des angles opposés dans le dernier calcul.
Ensuite, nous avons besoin de preuves de formules d’addition pour la tangente et la cotangente. Rappelons les définitions de base (la tangente est le rapport du sinus au cosinus, et la cotangente est vice versa) et reprenons les formules déjà dérivées à l'avance. Nous l'avons créé:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
Nous avons une fraction complexe. Ensuite, nous devons diviser son numérateur et son dénominateur par cos α · cos β, étant donné que cos α ≠ 0 et cos β ≠ 0, nous obtenons :
péché α · cos β + cos α · péché β cos α · cos β cos α · cos β - péché α · péché β cos α · cos β = péché α · cos β cos α · cos β + cos α · péché β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - péché α · péché β cos α · cos β
Maintenant, nous réduisons les fractions et obtenons la formule suivante : sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Nous avons t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. C'est la preuve de la formule d'addition tangente.
La prochaine formule que nous prouverons est la formule de la tangente de la différence. Tout est clairement montré dans les calculs :
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Les formules pour la cotangente sont prouvées de la même manière :
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - péché α · péché β péché α · péché β péché α · cos β + cos α · péché β péché α · péché β = cos α · cos β péché α · péché β - 1 péché α · cos β péché α · péché β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Plus loin:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β
Cosinus de la somme et de la différence de deux angles
Dans cette section, les deux formules suivantes seront démontrées :
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)
Le cosinus de la somme (différence) de deux angles est égal au produit des cosinus de ces angles moins (plus) le produit des sinus de ces angles.
Il nous sera plus pratique de commencer par la preuve de la formule (2). Pour simplifier la présentation, supposons d’abord que les angles α Et β satisfaire aux conditions suivantes :
1) chacun de ces angles est non négatif et inférieur 2π:
0 < α <2π, 0< β < 2π;
2) α > β .
Soit la partie positive de l'axe 0x le côté de départ commun des angles α Et β .
Nous désignons les extrémités de ces angles par 0A et 0B, respectivement. Évidemment l'angle α - β peut être considéré comme l'angle dont le faisceau 0B doit être tourné autour du point 0 dans le sens inverse des aiguilles d'une montre pour que sa direction coïncide avec la direction du faisceau 0A.
Sur les rayons 0A et 0B on marque les points M et N, situés à une distance de 1 de l'origine des coordonnées 0, de sorte que 0M = 0N = 1.
Dans le système de coordonnées x0y, le point M a des coordonnées ( cos α, péché α), et le point N est les coordonnées ( cos β, péché β). Le carré de la distance qui les sépare est donc :
d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +
+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .
Dans nos calculs, nous avons utilisé l'identité
péché 2 φ + cos 2 φ = 1.
Considérons maintenant un autre système de coordonnées B0C, qui est obtenu en faisant pivoter les axes 0x et 0y autour du point 0 dans le sens inverse des aiguilles d'une montre d'un angle. β .
Dans ce système de coordonnées, le point M a des coordonnées (cos ( α - β ), péché ( α - β )), et le point N est de coordonnées (1,0). Le carré de la distance qui les sépare est donc :
d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +
+ péché 2 (α - β) = 2 .
Mais la distance entre les points M et N ne dépend pas du système de coordonnées par rapport auquel nous considérons ces points. C'est pourquoi
j 1 2 = j 2 2
2 (1 - cos α cos β - péché α péché β) = 2 .
C'est là que suit la formule (2).
Rappelons maintenant ces deux restrictions que nous avons imposées pour simplifier la présentation sur les angles α Et β .
L'exigence que chacun des coins α Et β n’était pas négatif, pas vraiment significatif. Après tout, à n’importe lequel de ces angles, vous pouvez ajouter un angle multiple de 2, ce qui n’affectera pas la validité de la formule (2). De la même manière, à chacun de ces angles on peut soustraire un angle qui est un multiple de 2π. On peut donc supposer que 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.
La condition s'avère également insignifiante α > β . En effet, si α < β , Que β >α ; donc, étant donné la parité de la fonction parce que X , on a:
cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,
ce qui coïncide essentiellement avec la formule (2). Donc la formule
cos (α - β) = cos α cos β + péché α péché β
vrai sous tous les angles α Et β . En particulier, en y remplaçant β sur - β et étant donné que la fonction parce queX est pair, et la fonction péchéX bizarre, on obtient :
cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =
= cos α cos β - péché α péché β,
ce qui prouve la formule (1).
Ainsi, les formules (1) et (2) sont prouvées.
Exemples.
1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =
2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =
Des exercices
1 . Calculer sans utiliser tables trigonométriques:
a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43° ;
b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42° ;
c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74° ;
d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97° ;
e) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8 ;
e) péché 3π / 5 péché 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .
2.Simplifiez les expressions :
un). parce que( α + π/3 ) + cos(π/3 - α ) .
b). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + péché (36° + α ) péché ( α - 24°).
V). péché(π/4 - α ) péché (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )
d) cos2 α + tg α péché 2 α .
3 . Calculer :
un) cos(α - β), Si
cosα = - 2 / 5 , péché β = - 5 / 13 ;
90°< α < 180°, 180° < β < 270°;
b) parce que ( α + π / 6), si cos α = 0,6;
3π/2< α < 2π.
4 . Trouver cos(α + β) et parce que (α - β) , si l'on sait que le péché α = 7 / 25, car β = - 5 / 13 et les deux angles ( α Et β ) se terminent au même trimestre.
5 .Calculer:
UN). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]
b). cos [ arcsin 1 / 3 - arccos (- 2 / 3)] .
V). cos [ arctan 1 / 2 + arccos (- 2) ]
Les formules de somme et de différence des sinus et cosinus pour deux angles α et β permettent de passer de la somme de ces angles au produit des angles α + β 2 et α - β 2. Notons tout de suite qu'il ne faut pas confondre les formules de somme et de différence des sinus et cosinus avec les formules de sinus et cosinus de la somme et de la différence. Ci-dessous, nous répertorions ces formules, donnons leurs dérivations et montrons des exemples d'application pour des problèmes spécifiques.
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Formules pour la somme et la différence des sinus et des cosinus
Écrivons à quoi ressemblent les formules de somme et de différence pour les sinus et les cosinus
Formules de somme et de différence pour les sinus
péché α + péché β = 2 péché α + β 2 cos α - β 2 péché α - péché β = 2 péché α - β 2 cos α + β 2
Formules de somme et de différence pour les cosinus
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β -α2
Ces formules sont valables pour tous les angles α et β. Les angles α + β 2 et α - β 2 sont appelés respectivement demi-somme et demi-différence des angles alpha et bêta. Donnons la formulation pour chaque formule.
Définitions des formules pour les sommes et les différences de sinus et de cosinus
Somme des sinus de deux angles est égal au double du produit du sinus de la demi-somme de ces angles et du cosinus de la demi-différence.
Différence des sinus de deux angles est égal au double du produit du sinus de la demi-différence de ces angles et du cosinus de la demi-somme.
Somme des cosinus de deux angles est égal au double du produit du cosinus de la demi-somme et du cosinus de la demi-différence de ces angles.
Différence des cosinus de deux angleségal au double du produit du sinus de la demi-somme et du cosinus de la demi-différence de ces angles, pris avec un signe négatif.
Dériver des formules pour la somme et la différence des sinus et des cosinus
Pour dériver des formules pour la somme et la différence du sinus et du cosinus de deux angles, des formules d'addition sont utilisées. Listons-les ci-dessous
péché (α + β) = péché α · cos β + cos α · péché β péché (α - β) = péché α · cos β - cos α · péché β cos (α + β) = cos α · cos β - péché α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Imaginons également les angles eux-mêmes comme une somme de demi-sommes et de demi-différences.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Nous procédons directement à la dérivation des formules de somme et de différence pour sin et cos.
Dérivation de la formule de la somme des sinus
Dans la somme sin α + sin β, nous remplaçons α et β par les expressions pour ces angles données ci-dessus. On a
péché α + péché β = péché α + β 2 + α - β 2 + péché α + β 2 - α - β 2
Nous appliquons maintenant la formule d'addition à la première expression et à la seconde - la formule du sinus des différences d'angle (voir les formules ci-dessus)
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 péché α - β 2 péché α + β 2 + α - β 2 + péché α + β 2 - α - β 2 = péché α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Ouvrez les parenthèses, ajoutez des termes similaires et obtenez la formule souhaitée
péché α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 péché α - β 2 + péché α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 péché α - β 2 = = 2 péché α + β 2 cos α - β 2
Les étapes pour dériver les formules restantes sont similaires.
Dérivation de la formule de la différence des sinus
péché α - péché β = péché α + β 2 + α - β 2 - péché α + β 2 - α - β 2 péché α + β 2 + α - β 2 - péché α + β 2 - α - β 2 = péché α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 péché α - β 2 - péché α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 péché α - β 2 = = 2 péché α - β 2 cos α + β 2
Dérivation de la formule de la somme des cosinus
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - péché α + β 2 péché α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + péché α + β 2 péché α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2
Dérivation de la formule de la différence des cosinus
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - péché α + β 2 péché α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + péché α + β 2 péché α - β 2 = = - 2 péché α + β 2 péché α - β 2
Exemples de résolution de problèmes pratiques
Tout d'abord, vérifions l'une des formules en y substituant des valeurs d'angle spécifiques. Soit α = π 2, β = π 6. Calculons la valeur de la somme des sinus de ces angles. Tout d'abord, nous utiliserons le tableau des valeurs de base des fonctions trigonométriques, puis nous appliquerons la formule de la somme des sinus.
Exemple 1. Vérification de la formule de la somme des sinus de deux angles
α = π 2, β = π 6 péché π 2 + péché π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 péché π 2 + péché π 6 = 2 péché π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 péché π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Considérons maintenant le cas où les valeurs d'angle diffèrent des valeurs de base présentées dans le tableau. Soit α = 165°, β = 75°. Calculons la différence entre les sinus de ces angles.
Exemple 2. Application de la formule de la différence des sinus
α = 165°, β = 75° sin α - sin β = sin 165° - sin 75° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165° - sin 75° 2 cos 165° + sin 75° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
À l'aide des formules de somme et de différence des sinus et des cosinus, vous pouvez passer de la somme ou de la différence au produit de fonctions trigonométriques. Ces formules sont souvent appelées formules permettant de passer d'une somme à un produit. Les formules pour la somme et la différence des sinus et des cosinus sont largement utilisées pour résoudre équations trigonométriques et lors de la conversion d'expressions trigonométriques.
Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée
Données de référence pour la tangente (tg x) et la cotangente (ctg x). Définition géométrique, propriétés, graphiques, formules. Tableau des tangentes et cotangentes, dérivées, intégrales, développements en séries. Expressions via des variables complexes. Connexion avec les fonctions hyperboliques.
Définition géométrique
|BD|
- longueur de l'arc de cercle de centre au point A.
α est l'angle exprimé en radians. Tangente () bronzage α - Ce fonction trigonométrique , en fonction de l'angle α entre l'hypoténuse et la jambe triangle rectangle
, égal au rapport de la longueur du côté opposé |BC| à la longueur de la jambe adjacente |AB| .) Cotangente (
ctg α
est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur de la branche adjacente |AB| à la longueur de la jambe opposée |BC| . Tangente
Où
.
;
;
.
n
- entier.
est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur de la branche adjacente |AB| à la longueur de la jambe opposée |BC| . Tangente
Dans la littérature occidentale, la tangente est notée comme suit :
.
Graphique de la fonction tangente, y = tan x
;
;
.
Cotangente
Dans la littérature occidentale, la cotangente est notée comme suit :
Les notations suivantes sont également acceptées :
Graphique de la fonction cotangente, y = ctg x Propriétés de la tangente et de la cotangente Périodicité Fonctions y = tgx
et y =
ctg x
sont périodiques de période π.
Parité à la longueur de la jambe opposée |BC| . Les fonctions tangente et cotangente sont impaires.
| Zones de définition et de valeurs, croissantes, décroissantes Propriétés de la tangente et de la cotangente | Zones de définition et de valeurs, croissantes, décroissantes Fonctions y = | |
| Les fonctions tangente et cotangente sont continues dans leur domaine de définition (voir preuve de continuité). Les principales propriétés de la tangente et de la cotangente sont présentées dans le tableau ( | ||
| - entier). | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| y = | - | |
| Portée et continuité | - | |
| Plage de valeurs | - | - |
| En augmentant 0 | ||
| Descendant 0 | Zones de définition et de valeurs, croissantes, décroissantes 0 | - |
Extrêmes
Des zéros, y =
;
;
;
;
;
Intercepter les points avec l'axe des ordonnées, x =
Formules
Expressions utilisant le sinus et le cosinus
Formules pour la tangente et la cotangente à partir de la somme et de la différence
Les formules restantes sont faciles à obtenir, par exemple 
Produit de tangentes
Formule pour la somme et la différence des tangentes
;
;
Ce tableau présente les valeurs des tangentes et des cotangentes pour certaines valeurs de l'argument.
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Expressions utilisant des nombres complexes
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Expressions via des fonctions hyperboliques
Dérivés
Dérivée du nième ordre par rapport à la variable x de la fonction :
Pour obtenir le développement de la tangente en puissances de x, il faut prendre plusieurs termes du développement en série de puissance pour les fonctions péché x Et parce que x et divisez ces polynômes les uns par les autres, .
Cela produit les formules suivantes.
À .
à . Où Bn
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- Les nombres de Bernoulli. Ils sont déterminés soit à partir de la relation de récurrence :
Où . 
Ou selon la formule de Laplace :
Fonctions inverses Fonctions inverses
à la tangente et à la cotangente sont respectivement arctangente et arccotangente.
Arctangente, arctg à la longueur de la jambe opposée |BC| . Tangente
, Où
Arctangente, arctg à la longueur de la jambe opposée |BC| . Tangente
Arccotangente, arcctg
Les références:
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.