L’un des domaines mathématiques avec lesquels les élèves ont le plus de difficultés est la trigonométrie. Ce n'est pas surprenant : pour maîtriser librement ce domaine de connaissances, il faut une pensée spatiale, la capacité de trouver des sinus, des cosinus, des tangentes, des cotangentes à l'aide de formules, de simplifier des expressions et d'être capable d'utiliser le nombre pi dans calculs. De plus, vous devez être capable d'utiliser la trigonométrie pour prouver des théorèmes, ce qui nécessite soit une mémoire mathématique développée, soit la capacité de dériver des chaînes logiques complexes.

Origines de la trigonométrie

Se familiariser avec cette science doit commencer par la définition du sinus, du cosinus et de la tangente d'un angle, mais vous devez d'abord comprendre ce que fait la trigonométrie en général.

Historiquement, le principal objet d’étude dans cette branche de la science mathématique était les triangles rectangles. La présence d'un angle de 90 degrés permet d'effectuer diverses opérations permettant de déterminer les valeurs de tous les paramètres de la figure en question à l'aide de deux côtés et d'un angle ou de deux angles et d'un côté. Dans le passé, les gens ont remarqué ce modèle et ont commencé à l'utiliser activement dans la construction de bâtiments, la navigation, l'astronomie et même dans l'art.

Première étape

Au départ, les gens parlaient de la relation entre les angles et les côtés uniquement en utilisant l'exemple triangles rectangles. Ensuite, des formules spéciales ont été découvertes qui ont permis d'élargir les limites d'utilisation dans Vie courante cette branche des mathématiques.

L'étude de la trigonométrie à l'école commence aujourd'hui par les triangles rectangles, après quoi les élèves utilisent les connaissances acquises en physique et en résolvant des problèmes abstraits. équations trigonométriques, dont le travail commence au lycée.

Trigonométrie sphérique

Plus tard, lorsque la science a atteint le niveau de développement suivant, des formules avec sinus, cosinus, tangente, cotangente ont commencé à être utilisées en géométrie sphérique, où différentes règles s'appliquent, et la somme des angles dans un triangle est toujours supérieure à 180 degrés. Cette section n'est pas étudiée à l'école, mais il faut connaître son existence au moins parce que la surface de la terre, et la surface de toute autre planète est convexe, ce qui signifie que tout marquage de surface aura une « forme d’arc » dans l’espace tridimensionnel.

Prenez le globe et le fil. Attachez le fil à deux points quelconques du globe afin qu'il soit tendu. Attention, il a pris la forme d'un arc. La géométrie sphérique traite de telles formes, qui sont utilisées en géodésie, en astronomie et dans d'autres domaines théoriques et appliqués.

Triangle rectangle

Après avoir appris un peu les manières d'utiliser la trigonométrie, revenons à la trigonométrie de base afin de mieux comprendre ce que sont le sinus, le cosinus, la tangente, quels calculs peuvent être effectués avec leur aide et quelles formules utiliser.

La première étape consiste à comprendre les concepts liés à un triangle rectangle. Premièrement, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle de 90 degrés. C'est le plus long. On rappelle que selon le théorème de Pythagore, sa valeur numérique est égale à la racine de la somme des carrés des deux autres côtés.

Par exemple, si les deux côtés mesurent respectivement 3 et 4 centimètres, la longueur de l'hypoténuse sera de 5 centimètres. À propos, les anciens Égyptiens le savaient il y a environ quatre mille cinq cents ans.

Les deux côtés restants, qui forment un angle droit, sont appelés jambes. De plus, il faut se rappeler que la somme des angles d’un triangle dans un système de coordonnées rectangulaires est égale à 180 degrés.

Définition

Enfin, avec une bonne compréhension de la base géométrique, on peut se tourner vers la définition du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle.

Le sinus d'un angle est le rapport entre la jambe opposée (c'est-à-dire le côté opposé à l'angle souhaité) et l'hypoténuse. Le cosinus d'un angle est le rapport du côté adjacent à l'hypoténuse.

N'oubliez pas que ni le sinus ni le cosinus ne peuvent être supérieurs à un ! Pourquoi? Parce que l'hypoténuse est par défaut la plus longue, quelle que soit la longueur de la jambe, elle sera plus courte que l'hypoténuse, ce qui signifie que leur rapport sera toujours inférieur à un. Ainsi, si dans votre réponse à un problème vous obtenez un sinus ou un cosinus d'une valeur supérieure à 1, recherchez une erreur dans les calculs ou le raisonnement. Cette réponse est clairement incorrecte.

Enfin, la tangente d’un angle est le rapport du côté opposé au côté adjacent. En divisant le sinus par le cosinus, on obtient le même résultat. Regardez : d'après la formule, on divise la longueur du côté par l'hypoténuse, puis on divise par la longueur du deuxième côté et on multiplie par l'hypoténuse. Ainsi, on obtient la même relation que dans la définition de la tangente.

La cotangente est donc le rapport du côté adjacent au coin au côté opposé. On obtient le même résultat en divisant un par la tangente.

Nous avons donc examiné les définitions de ce que sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente, et nous pouvons passer aux formules.

Les formules les plus simples

En trigonométrie, vous ne pouvez pas vous passer de formules - comment trouver le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente sans elles ? Mais c’est exactement ce qui est nécessaire pour résoudre des problèmes.

La première formule que vous devez connaître pour commencer à étudier la trigonométrie dit que la somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle est égale à un. Cette formule est une conséquence directe du théorème de Pythagore, mais elle permet de gagner du temps si l'on a besoin de connaître la taille de l'angle plutôt que son côté.

De nombreux élèves ne se souviennent pas de la deuxième formule, qui est également très populaire pour résoudre des problèmes scolaires : la somme de un et du carré de la tangente d'un angle est égale à un divisé par le carré du cosinus de l'angle. Regardez de plus près : c'est la même affirmation que dans la première formule, seuls les deux côtés de l'identité ont été divisés par le carré du cosinus. Il s’avère qu’une simple opération mathématique ne formule trigonométrique complètement méconnaissable. N'oubliez pas : savoir ce que sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente, les règles de conversion et plusieurs formules de base vous pouvez à tout moment retirer les sommes supplémentaires requises formules complexes sur une feuille de papier.

Formules pour les angles doubles et ajout d'arguments

Deux autres formules que vous devez apprendre sont liées aux valeurs du sinus et du cosinus pour la somme et la différence des angles. Ils sont présentés dans la figure ci-dessous. Veuillez noter que dans le premier cas, le sinus et le cosinus sont multipliés les deux fois, et dans le second, le produit par paire du sinus et du cosinus est ajouté.

Il existe également des formules associées aux arguments à double angle. Ils sont complètement dérivés des précédents - pour vous entraîner, essayez de les obtenir vous-même en prenant l'angle alpha égal à l'angle bêta.

Enfin, notez que les formules à double angle peuvent être réorganisées pour réduire la puissance du sinus, du cosinus et de la tangente alpha.

Théorèmes

Les deux principaux théorèmes de la trigonométrie de base sont le théorème du sinus et le théorème du cosinus. A l'aide de ces théorèmes, vous pouvez facilement comprendre comment trouver le sinus, le cosinus et la tangente, et donc l'aire de la figure, et la taille de chaque côté, etc.

Le théorème des sinus stipule que diviser la longueur de chaque côté d’un triangle par l’angle opposé donne le même nombre. De plus, ce nombre sera égal à deux rayons du cercle circonscrit, c'est-à-dire du cercle contenant tous les points d'un triangle donné.

Le théorème du cosinus généralise le théorème de Pythagore en le projetant sur n'importe quel triangle. Il s'avère que de la somme des carrés des deux côtés, soustrayez leur produit multiplié par le double cosinus de l'angle adjacent - la valeur résultante sera égale au carré du troisième côté. Ainsi, le théorème de Pythagore s’avère être un cas particulier du théorème du cosinus.

Erreurs d'inattention

Même en sachant ce que sont le sinus, le cosinus et la tangente, il est facile de se tromper en raison de la distraction ou d'une erreur dans les calculs les plus simples. Pour éviter de telles erreurs, examinons les plus courantes.

Premièrement, vous ne devez pas convertir des fractions en décimales tant que vous n'avez pas obtenu le résultat final - vous pouvez laisser la réponse ainsi fraction commune, sauf indication contraire dans les conditions. Une telle transformation ne peut pas être qualifiée d’erreur, mais il ne faut pas oublier qu’à chaque étape du problème, de nouvelles racines peuvent apparaître qui, selon l’idée de l’auteur, devraient être réduites. Dans ce cas, vous perdrez votre temps en opérations mathématiques inutiles. Cela est particulièrement vrai pour les valeurs telles que la racine de trois ou la racine de deux, car elles se retrouvent dans les problèmes à chaque étape. Il en va de même pour arrondir les nombres « laids ».

De plus, notez que le théorème du cosinus s’applique à n’importe quel triangle, mais pas le théorème de Pythagore ! Si vous oubliez par erreur de soustraire deux fois le produit des côtés multiplié par le cosinus de l'angle qui les sépare, vous obtiendrez non seulement un résultat complètement faux, mais vous démontrerez également une incompréhension totale du sujet. C'est pire qu'une erreur d'inattention.

Troisièmement, ne confondez pas les valeurs des angles de 30 et 60 degrés pour les sinus, cosinus, tangentes, cotangentes. N'oubliez pas ces valeurs, car le sinus de 30 degrés est égal au cosinus de 60, et vice versa. Il est facile de les confondre, ce qui entraînera inévitablement un résultat erroné.

Application

De nombreux étudiants ne sont pas pressés de commencer à étudier la trigonométrie car ils n'en comprennent pas le sens pratique. Qu'est-ce que le sinus, le cosinus, la tangente pour un ingénieur ou un astronome ? Ce sont des concepts qui permettent de calculer la distance à des étoiles lointaines, de prédire la chute d'une météorite ou encore d'envoyer une sonde de recherche sur une autre planète. Sans eux, il est impossible de construire un bâtiment, de concevoir une voiture, de calculer la charge sur une surface ou la trajectoire d’un objet. Et ce ne sont là que les exemples les plus évidents ! Après tout, la trigonométrie, sous une forme ou une autre, est utilisée partout, de la musique à la médecine.

Enfin

Donc tu es sinus, cosinus, tangente. Vous pouvez les utiliser dans des calculs et résoudre avec succès des problèmes scolaires.

Tout l’intérêt de la trigonométrie réside dans le fait qu’en utilisant les paramètres connus d’un triangle, vous devez calculer les inconnues. Il y a six paramètres au total : longueur trois côtés et les tailles des trois angles. La seule différence entre les tâches réside dans le fait que différentes données d'entrée sont fournies.

Comment trouver le sinus, le cosinus et la tangente en fonction de longueurs connues jambes ou hypoténuse, vous le savez maintenant. Étant donné que ces termes ne signifient rien de plus qu'un rapport et qu'un rapport est une fraction, l'objectif principal d'un problème de trigonométrie est de trouver les racines d'une équation ordinaire ou d'un système d'équations. Et ici, les mathématiques scolaires régulières vous aideront.

Le sinus est l'une des fonctions trigonométriques de base, dont l'utilisation ne se limite pas à la seule géométrie. Les tableaux de calcul des fonctions trigonométriques, comme les calculatrices techniques, ne sont pas toujours à portée de main, et le calcul du sinus est parfois nécessaire pour résoudre divers problèmes. En général, le calcul du sinus aidera à consolider les compétences en dessin et la connaissance des identités trigonométriques.

Jeux avec règle et crayon

Une tâche simple : comment trouver le sinus d'un angle dessiné sur papier ? Pour résoudre, vous aurez besoin d'une règle ordinaire, d'un triangle (ou d'un compas) et d'un crayon. La façon la plus simple de calculer le sinus d'un angle consiste à diviser la branche éloignée d'un triangle à angle droit par le côté long - l'hypoténuse. Ainsi, vous devez d'abord compléter l'angle aigu jusqu'à la forme d'un triangle rectangle en traçant une ligne perpendiculaire à l'un des rayons à une distance arbitraire du sommet de l'angle. Nous devrons maintenir un angle d’exactement 90°, pour lequel nous avons besoin d’un triangle clérical.

L'utilisation d'une boussole est un peu plus précise, mais prendra plus de temps. Sur l'un des rayons, vous devez marquer 2 points à une certaine distance, définir un rayon sur la boussole approximativement égal à la distance entre les points et tracer des demi-cercles avec des centres en ces points jusqu'à ce que les intersections de ces lignes soient obtenues. En reliant les points d'intersection de nos cercles entre eux, nous obtenons une stricte perpendiculaire au rayon de notre angle ; il ne reste plus qu'à prolonger la ligne jusqu'à ce qu'elle croise un autre rayon ;

Dans le triangle obtenu, vous devez utiliser une règle pour mesurer le côté opposé au coin et le côté long de l'un des rayons. Le rapport de la première dimension à la seconde sera la valeur souhaitée du sinus angle aigu.

Trouver le sinus pour un angle supérieur à 90°

Pour un angle obtus, la tâche n’est pas beaucoup plus difficile. Nous devons tracer un rayon partant du sommet dans la direction opposée à l'aide d'une règle pour former une ligne droite avec l'un des rayons de l'angle qui nous intéresse. L'angle aigu résultant doit être traité comme décrit ci-dessus ; les sinus des angles adjacents qui forment ensemble un angle inversé de 180° sont égaux.

Calcul du sinus à l'aide d'autres fonctions trigonométriques

De plus, le calcul du sinus est possible si les valeurs d'autres fonctions trigonométriques de l'angle ou au moins les longueurs des côtés du triangle sont connues. Les identités trigonométriques nous y aideront. Regardons des exemples courants.

Comment trouver le sinus avec un cosinus connu d'un angle ? La première identité trigonométrique, basée sur le théorème de Pythagore, stipule que la somme des carrés du sinus et du cosinus du même angle est égale à un.

Comment trouver le sinus avec une tangente connue à un angle ? La tangente est obtenue en divisant le côté éloigné par le côté proche ou en divisant le sinus par le cosinus. Ainsi, le sinus sera le produit du cosinus et de la tangente, et le carré du sinus sera le carré de ce produit. Nous remplaçons le cosinus carré par la différence entre l'unité et le sinus carré selon la première identité trigonométrique et, par de simples manipulations, nous réduisons l'équation au calcul du sinus carré par la tangente en conséquence, pour calculer le sinus, vous obtiendrez ; il faut extraire la racine du résultat obtenu.

Comment trouver le sinus avec une cotangente connue d'un angle ? La valeur de la cotangente peut être calculée en divisant la longueur de la jambe la plus proche de l'angle par la longueur de la jambe la plus éloignée, ainsi qu'en divisant le cosinus par le sinus, c'est-à-dire que la cotangente est une fonction inverse de la tangente relative au nombre 1. Pour calculer le sinus, vous pouvez calculer la tangente en utilisant la formule tg α = 1 / ctg α et utiliser la formule de la deuxième option. Vous pouvez également dériver une formule directe par analogie avec la tangente, qui ressemblera à ceci.

Comment trouver le sinus de trois côtés d'un triangle

Il existe une formule pour trouver la longueur du côté inconnu de n'importe quel triangle, pas seulement un triangle rectangle, à partir de deux côtés connus en utilisant la fonction trigonométrique du cosinus de l'angle opposé. Elle ressemble à ça.

Eh bien, le sinus peut alors être calculé à partir du cosinus selon les formules ci-dessus.

Niveau moyen

Triangle rectangle. Le guide illustré complet (2019)

TRIANGLE RECTANGLE. PREMIER NIVEAU.

Dans les problèmes, l'angle droit n'est pas du tout nécessaire - le coin inférieur gauche, vous devez donc apprendre à reconnaître un triangle rectangle sous cette forme,

et en cela

et en cela

Qu'est-ce qu'il y a de bien dans un triangle rectangle ? Eh bien... tout d'abord, il y a des spéciaux beaux noms pour ses côtés.

Attention au dessin !

Rappelez-vous et ne confondez pas : il y a deux jambes et il n'y a qu'une seule hypoténuse(un et unique, unique et le plus long) !

Eh bien, nous avons discuté des noms, maintenant la chose la plus importante : le théorème de Pythagore.

Théorème de Pythagore.

Ce théorème est la clé pour résoudre de nombreux problèmes impliquant un triangle rectangle. Cela a été prouvé par Pythagore à des temps tout à fait immémoriaux, et depuis lors, cela a apporté de nombreux avantages à ceux qui le connaissent. Et le meilleur, c’est que c’est simple.

Donc, Théorème de Pythagore:

Vous souvenez-vous de la blague : « Les pantalons pythagoriciens sont égaux de tous côtés ! » ?

Dessinons ces mêmes pantalons pythagoriciens et regardons-les.

Est-ce que ça ne ressemble pas à une sorte de short ? Eh bien, de quels côtés et où sont-ils égaux ? Pourquoi et d'où vient la blague ? Et cette plaisanterie est précisément liée au théorème de Pythagore, ou plus précisément à la façon dont Pythagore lui-même a formulé son théorème. Et il l'a formulé ainsi :

"Somme superficies de carrés, construit sur les jambes, est égal à surface carrée, construit sur l'hypoténuse."

Cela semble-t-il vraiment un peu différent ? Et ainsi, lorsque Pythagore a dessiné l’énoncé de son théorème, c’est exactement l’image qui en est ressortie.

Sur cette image, la somme des aires des petits carrés est égale à l'aire du grand carré. Et pour que les enfants se souviennent mieux que la somme des carrés des jambes est égale au carré de l'hypoténuse, quelqu'un d'esprit a inventé cette blague sur le pantalon pythagoricien.

Pourquoi formulons-nous maintenant le théorème de Pythagore ?

Pythagore a-t-il souffert et parlé de carrés ?

Vous voyez, dans les temps anciens, il n’y avait pas… d’algèbre ! Il n'y avait aucun signe, etc. Il n'y avait aucune inscription. Pouvez-vous imaginer à quel point il était terrible pour les pauvres anciens étudiants de se souvenir de tout avec des mots ??! Et nous pouvons nous réjouir d’avoir une formulation simple du théorème de Pythagore. Répétons-le encore pour mieux nous en souvenir :

Cela devrait être facile maintenant :

Carré de l'hypoténuse égal à la somme carrés de jambes.

Eh bien, le théorème le plus important sur les triangles rectangles a été discuté. Si vous êtes intéressé par la façon dont cela est prouvé, lisez les niveaux de théorie suivants, et passons maintenant à... forêt Noire... la trigonométrie ! Aux mots terribles sinus, cosinus, tangente et cotangente.

Sinus, cosinus, tangente, cotangente dans un triangle rectangle.

En fait, tout n'est pas si effrayant du tout. Bien entendu, la « vraie » définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente devrait être examinée dans l’article. Mais je n’en ai vraiment pas envie, n’est-ce pas ? On peut se réjouir : pour résoudre des problèmes concernant un triangle rectangle, vous pouvez simplement remplir les choses simples suivantes :

Pourquoi tout se passe-t-il au coin de la rue ? Où est le coin ? Pour comprendre cela, vous devez savoir comment les déclarations 1 à 4 sont écrites avec des mots. Regardez, comprenez et souvenez-vous !

1.
En fait, cela ressemble à ceci :

Et l'angle ? Y a-t-il une jambe opposée au coin, c’est-à-dire une jambe opposée (pour un angle) ? Bien sûr ! C'est une jambe !

Et l'angle ? Regarde attentivement. Quelle jambe est adjacente au coin ? Bien sûr, la jambe. Cela signifie que pour l'angle la jambe est adjacente, et

Maintenant, faites attention ! Regardez ce que nous avons :

Voyez comme c'est cool :

Passons maintenant à la tangente et à la cotangente.

Comment puis-je écrire cela avec des mots maintenant ? Quelle est la jambe par rapport à l’angle ? En face, bien sûr, il « se trouve » en face du coin. Et la jambe ? Adjacent au coin. Alors qu’avons-nous ?

Voyez-vous comment le numérateur et le dénominateur ont changé de place ?

Et maintenant les coins à nouveau et fait un échange :

Résumé

Écrivons brièvement tout ce que nous avons appris.

Théorème de Pythagore:

Le théorème principal sur les triangles rectangles est le théorème de Pythagore.

théorème de Pythagore

Au fait, vous souvenez-vous bien de ce que sont les jambes et l'hypoténuse ? Si ce n'est pas très bon, regardez l'image - rafraîchissez vos connaissances

Il est fort possible que vous ayez déjà utilisé le théorème de Pythagore à plusieurs reprises, mais vous êtes-vous déjà demandé pourquoi un tel théorème est vrai ? Comment puis-je le prouver ? Faisons comme les anciens Grecs. Dessinons un carré avec un côté.

Voyez avec quelle habileté nous avons divisé ses côtés en segments de longueurs et !

Maintenant, connectons les points marqués

Ici, nous avons cependant noté autre chose, mais vous regardez vous-même le dessin et vous demandez pourquoi il en est ainsi.

Quelle est l'aire du plus grand carré ? Droite, . Qu'en est-il d'une zone plus petite ? Certainement, . La superficie totale des quatre coins demeure. Imaginez que nous les prenions deux à la fois et que nous les appuyions l'un contre l'autre avec leurs hypoténuses. Ce qui s'est passé? Deux rectangles. Cela signifie que la surface des « coupes » est égale.

Rassemblons tout cela maintenant.

Transformons :

Nous avons donc visité Pythagore et prouvé son théorème d'une manière ancienne.

Triangle rectangle et trigonométrie

Pour un triangle rectangle, les relations suivantes sont vraies :

Le sinus d'un angle aigu est égal au rapport du côté opposé à l'hypoténuse

Le cosinus d'un angle aigu est égal au rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse.

La tangente d'un angle aigu est égale au rapport du côté opposé au côté adjacent.

La cotangente d’un angle aigu est égale au rapport du côté adjacent au côté opposé.

Et encore une fois tout cela sous forme de tablette :

C'est très confortable !

Signes d'égalité des triangles rectangles

I. Des deux côtés

II. Par jambe et hypoténuse

III. Par hypoténuse et angle aigu

IV. Le long de la jambe et de l'angle aigu

un)

b)

Attention! Il est très important ici que les jambes soient « appropriées ». Par exemple, si cela se passe comme ceci :

ALORS LES TRIANGLES NE SONT PAS ÉGAUX, malgré le fait qu'ils ont un angle aigu identique.

Besoin de dans les deux triangles, la jambe était adjacente, ou dans les deux triangles, elle était opposée.

Avez-vous remarqué à quel point les signes d'égalité des triangles rectangles diffèrent des signes habituels d'égalité des triangles ? Regardez le sujet « et faites attention au fait que pour l'égalité des triangles « ordinaires », trois de leurs éléments doivent être égaux : deux côtés et l'angle qui les sépare, deux angles et le côté qui les sépare, ou trois côtés. Mais pour l'égalité des triangles rectangles, seuls deux éléments correspondants suffisent. Super, non ?

La situation est à peu près la même avec les signes de similitude des triangles rectangles.

Signes de similitude des triangles rectangles

I. Selon un angle aigu

II. Des deux côtés

III. Par jambe et hypoténuse

Médiane dans un triangle rectangle

Pourquoi cela est-il ainsi?

Au lieu d’un triangle rectangle, considérons un rectangle entier.

Traçons une diagonale et considérons un point - le point d'intersection des diagonales. Que sait-on des diagonales d’un rectangle ?

Et qu’est-ce qui en découle ?

Il s'est donc avéré que

1. - médiane :

Souvenez-vous de ce fait ! Aide beaucoup !

Ce qui est encore plus surprenant, c’est que le contraire soit également vrai.

A quoi bon tirer du fait que la médiane tirée de l'hypoténuse soit égale à la moitié de l'hypoténuse ? Regardons la photo

Regarde attentivement. Nous avons : , c'est-à-dire que les distances entre le point et les trois sommets du triangle se sont avérées égales. Mais il n'y a qu'un seul point dans le triangle, dont les distances des trois sommets du triangle sont égales, et c'est le CENTRE DU CERCLE. Alors, qu'est-ce-qu'il s'est passé?

Alors commençons par ce « en plus… ».

Regardons et.

Mais les triangles semblables ont tous des angles égaux !

On peut dire la même chose de et

Maintenant, dessinons-le ensemble :

Quel bénéfice peut-on tirer de cette « triple » similarité ?

Eh bien, par exemple - deux formules pour la hauteur d'un triangle rectangle.

Écrivons les relations des parties correspondantes :

Pour trouver la hauteur, nous résolvons la proportion et obtenons la première formule "Hauteur dans un triangle rectangle":

Alors, appliquons la similarité : .

Ce qui va se passer maintenant?

Encore une fois, nous résolvons la proportion et obtenons la deuxième formule :

Vous devez très bien vous souvenir de ces deux formules et utiliser celle qui est la plus pratique. Écrivons-les à nouveau

Théorème de Pythagore:

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des pattes : .

Signes d'égalité des triangles rectangles :

• sur deux côtés :
• par jambe et hypoténuse : ou
• le long de la jambe et de l'angle aigu adjacent : ou
• le long de la jambe et l'angle aigu opposé : ou
• par hypoténuse et angle aigu : ou.

Signes de similitude des triangles rectangles :

• un coin aigu : ou
• de la proportionnalité de deux jambes :
• de la proportionnalité de la jambe et de l'hypoténuse : ou.

Sinus, cosinus, tangente, cotangente dans un triangle rectangle

• Le sinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse :
• Le cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :
• La tangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport du côté opposé au côté adjacent :
• La cotangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport du côté adjacent au côté opposé : .

Hauteur d'un triangle rectangle : ou.

Dans un triangle rectangle, la médiane tirée du sommet angle droit, égal à la moitié de l'hypoténuse : .

Aire d'un triangle rectangle :

• via les jambes :

Données de référence pour la tangente (tg x) et la cotangente (ctg x). Définition géométrique, propriétés, graphiques, formules. Tableau des tangentes et cotangentes, dérivées, intégrales, développements en séries. Expressions via des variables complexes. Connexion avec les fonctions hyperboliques.

Définition géométrique

|BD| - longueur de l'arc de cercle de centre au point A.
α est l'angle exprimé en radians.

Tangente ( bronzage α) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur de la branche opposée |BC| à la longueur de la jambe adjacente |AB| .

Cotangente ( ctg α) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur de la branche adjacente |AB| à la longueur de la jambe opposée |BC| .

Tangente

Où n- entier.

Dans la littérature occidentale, la tangente est notée comme suit :
.
;
;
.

Graphique de la fonction tangente, y = tan x

Cotangente

Où n- entier.

Dans la littérature occidentale, la cotangente est notée comme suit :
.
Les notations suivantes sont également acceptées :
;
;
.

Graphique de la fonction cotangente, y = ctg x

Propriétés de la tangente et de la cotangente

Périodicité

Fonctions y = tgx et y = ctg x sont périodiques de période π.

Parité

Les fonctions tangente et cotangente sont impaires.

Zones de définition et de valeurs, croissantes, décroissantes

Les fonctions tangente et cotangente sont continues dans leur domaine de définition (voir preuve de continuité). Les principales propriétés de la tangente et de la cotangente sont présentées dans le tableau ( n- entier).

	y = tgx	y = ctg x
Portée et continuité
Plage de valeurs	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
En augmentant		-
Descendant	-
Extrêmes	-	-
Des zéros, y = 0
Intercepter les points avec l'axe des ordonnées, x = 0	y = 0	-

Formules

Expressions utilisant le sinus et le cosinus

; ;
; ;
;

Formules pour la tangente et la cotangente à partir de la somme et de la différence

Les formules restantes sont faciles à obtenir, par exemple

Produit de tangentes

Formule pour la somme et la différence des tangentes

Ce tableau présente les valeurs des tangentes et des cotangentes pour certaines valeurs de l'argument.

Expressions utilisant des nombres complexes

Expressions via des fonctions hyperboliques

;
;

Dérivés

; .

.
Dérivée du nième ordre par rapport à la variable x de la fonction :
.
Dériver des formules pour la tangente > > > ; pour cotangente > > >

Intégrales

Extensions de série

Pour obtenir le développement de la tangente en puissances de x, il faut prendre plusieurs termes du développement en série de puissance pour les fonctions péché x Et parce que x et divisez ces polynômes les uns par les autres, . Cela produit les formules suivantes.

À .

à .
Où Bn- Les nombres de Bernoulli. Ils sont déterminés soit à partir de la relation de récurrence :
;
;
Où .
Ou selon la formule de Laplace :

Fonctions inverses

Fonctions inversesà la tangente et à la cotangente sont respectivement arctangente et arccotangente.

Arctangente, arctg

, Où n- entier.

Arccotangente, arcctg

, Où n- entier.

Les références:
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.
G. Korn, Manuel de mathématiques pour les scientifiques et les ingénieurs, 2012.

Nous commencerons notre étude de la trigonométrie par le triangle rectangle. Définissons ce que sont le sinus et le cosinus, ainsi que la tangente et la cotangente d'un angle aigu. Ce sont les bases de la trigonométrie.

Rappelons que angle droit est un angle égal à 90 degrés. En d’autres termes, un demi-angle tourné.

Angle vif- moins de 90 degrés.

Angle obtus- supérieur à 90 degrés. Par rapport à un tel angle, « obtus » n'est pas une insulte, mais un terme mathématique :-)

Traçons un triangle rectangle. Un angle droit est généralement noté . Veuillez noter que le côté opposé au coin est indiqué par la même lettre, seulement en petite. Ainsi, le côté opposé à l'angle A est désigné .

L'angle est désigné par la lettre grecque correspondante.

Hypoténuse d'un triangle rectangle est le côté opposé à l'angle droit.

Jambes- les côtés opposés aux angles aigus.

La jambe située à l'opposé de l'angle s'appelle opposé(par rapport à l'angle). L'autre jambe, qui se trouve sur l'un des côtés de l'angle, s'appelle adjacent.

Sinus L'angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse :

Cosinus angle aigu dans un triangle rectangle - le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :

Tangente angle aigu dans un triangle rectangle - le rapport du côté opposé au côté adjacent :

Autre définition (équivalente) : la tangente d'un angle aigu est le rapport du sinus de l'angle à son cosinus :

Cotangente angle aigu dans un triangle rectangle - le rapport du côté adjacent au côté opposé (ou, ce qui revient au même, le rapport du cosinus au sinus) :

Notez les relations de base pour le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente ci-dessous. Ils nous seront utiles pour résoudre des problèmes.

Prouvons-en quelques-uns.

D'accord, nous avons donné des définitions et des formules écrites. Mais pourquoi avons-nous encore besoin de sinus, cosinus, tangente et cotangente ?

Nous savons que la somme des angles de n'importe quel triangle est égale à.

Nous connaissons la relation entre des soirées triangle rectangle. C'est le théorème de Pythagore : .

Il s'avère qu'en connaissant deux angles dans un triangle, vous pouvez trouver le troisième. Connaissant les deux côtés d’un triangle rectangle, vous pouvez trouver le troisième. Cela signifie que les angles ont leur propre rapport et que les côtés ont le leur. Mais que faire si dans un triangle rectangle vous connaissez un angle (sauf l'angle droit) et un côté, mais que vous devez trouver les autres côtés ?

C’est ce que les gens rencontraient autrefois lorsqu’ils dressaient des cartes de la région et du ciel étoilé. Après tout, il n’est pas toujours possible de mesurer directement tous les côtés d’un triangle.

Sinus, cosinus et tangente - on les appelle aussi fonctions d'angle trigonométrique- donner des relations entre des soirées Et coins Triangle. Connaissant l'angle, vous pouvez retrouver toutes ses fonctions trigonométriques à l'aide de tableaux spéciaux. Et connaissant les sinus, cosinus et tangentes des angles d’un triangle et d’un de ses côtés, vous pouvez trouver le reste.

Nous dresserons également un tableau des valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente pour les « bons » angles de à.

Veuillez noter les deux tirets rouges dans le tableau. Aux valeurs d'angle appropriées, la tangente et la cotangente n'existent pas.

Examinons plusieurs problèmes de trigonométrie de la banque de tâches FIPI.

1. Dans un triangle, l’angle est , . Trouver .

Le problème est résolu en quatre secondes.

Parce que le , .

2. Dans un triangle, l'angle est , , . Trouver .

Trouvons-le en utilisant le théorème de Pythagore.

Le problème est résolu.

Souvent, dans les problèmes, il y a des triangles avec des angles et ou avec des angles et. Retenez par cœur les ratios de base pour eux !

Pour un triangle avec des angles et la branche opposée à l'angle en est égale à la moitié de l'hypoténuse.

Un triangle avec des angles et est isocèle. Dans celui-ci, l'hypoténuse est plusieurs fois plus grande que la jambe.

Nous avons examiné des problèmes pour résoudre des triangles rectangles, c'est-à-dire trouver des côtés ou des angles inconnus. Mais ce n'est pas tout! DANS Options d'examen d'État unifié en mathématiques, il existe de nombreux problèmes impliquant le sinus, le cosinus, la tangente ou la cotangente de l'angle externe d'un triangle. Plus d’informations à ce sujet dans le prochain article.