§ 87. Addition de fractions.
L’addition de fractions présente de nombreuses similitudes avec l’addition de nombres entiers. L'addition de fractions est une action consistant dans le fait que plusieurs nombres (termes) donnés sont combinés en un seul nombre (somme), contenant toutes les unités et fractions des unités des termes.
Nous considérerons successivement trois cas :
1. Addition de fractions ayant les mêmes dénominateurs.
2. Addition de fractions avec des dénominateurs différents.
3. Ajout de nombres mixtes.
1. Addition de fractions ayant les mêmes dénominateurs.
Prenons un exemple : 1/5 + 2/5.
Prenons le segment AB (Fig. 17), prenons-le comme un seul et divisons-le en 5 parties égales, alors la partie AC de ce segment sera égale à 1/5 du segment AB, et une partie du même segment CD sera égale à 2/5 AB.
D'après le dessin, il ressort clairement que si l'on prend le segment AD, il sera égal à 3/5 AB ; mais le segment AD est précisément la somme des segments AC et CD. On peut donc écrire :
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
En considérant ces termes et la somme résultante, on voit que le numérateur de la somme a été obtenu en additionnant les numérateurs des termes, et le dénominateur est resté inchangé.
De là, nous obtenons la règle suivante : Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le même dénominateur.
Regardons un exemple :
2. Addition de fractions avec des dénominateurs différents.
Additionnons les fractions : 3 / 4 + 3 / 8 Il faut d'abord les réduire au plus petit dénominateur commun:
Le lien intermédiaire 6/8 + 3/8 n'a pas pu être écrit ; nous l'avons écrit ici pour plus de clarté.
Ainsi, pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents, vous devez d'abord les réduire au plus petit dénominateur commun, additionner leurs numérateurs et étiqueter le dénominateur commun.
Considérons un exemple (nous écrirons des facteurs supplémentaires au-dessus des fractions correspondantes) :
3. Ajout de nombres mixtes.
Additionnons les nombres : 2 3/8 + 3 5/6.
Rassemblons d’abord les parties fractionnaires de nos nombres à un dénominateur commun et réécrivons-les à nouveau :
Maintenant, nous ajoutons les parties entières et fractionnaires séquentiellement :
§ 88. Soustraction de fractions.
La soustraction de fractions se définit de la même manière que la soustraction de nombres entiers. Il s'agit d'une action à l'aide de laquelle, étant donné la somme de deux termes et de l'un d'eux, un autre terme est trouvé. Considérons successivement trois cas :
1. Soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs.
2. Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents.
3. Soustraction de nombres fractionnaires.
1. Soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs.
Regardons un exemple :
13 / 15 - 4 / 15
Prenons le segment AB (Fig. 18), prenons-le comme une unité et divisons-le en 15 parties égales ; alors la partie AC de ce segment représentera 1/15 de AB, et la partie AD de ce même segment correspondra à 13/15 AB. Mettons de côté un autre segment ED égal à 4/15 AB.
Nous devons soustraire la fraction 4/15 de 13/15. Sur le dessin, cela signifie que le segment ED doit être soustrait du segment AD. En conséquence, le segment AE restera, soit 9/15 du segment AB. On peut donc écrire :
L'exemple que nous avons fait montre que le numérateur de la différence a été obtenu en soustrayant les numérateurs, mais le dénominateur est resté le même.
Par conséquent, pour soustraire des fractions ayant des dénominateurs similaires, vous devez soustraire le numérateur de la soustraction du numérateur de la fin inférieure et laisser le même dénominateur.
2. Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents.
Exemple. 3/4 - 5/8
Tout d’abord, réduisons ces fractions au plus petit dénominateur commun :
L'intermédiaire 6/8 - 5/8 est écrit ici pour plus de clarté, mais peut être ignoré plus tard.
Ainsi, pour soustraire une fraction d'une fraction, il faut d'abord les réduire au plus petit dénominateur commun, puis soustraire le numérateur du petit bout du numérateur du petit bout et signer le dénominateur commun sous leur différence.
Regardons un exemple :
3. Soustraction de nombres fractionnaires.
Exemple. 10 3/4 - 7 2/3.
Réduisons les parties fractionnaires du menuend et du sous-trahend au plus petit dénominateur commun :
Nous avons soustrait un tout à un tout et une fraction à une fraction. Mais il y a des cas où la partie fractionnaire de ce qui est soustrait est supérieure à la partie fractionnaire de ce qui est réduit. Dans de tels cas, vous devez prendre une unité de la partie entière du menu, la diviser en parties dans lesquelles la partie fractionnaire est exprimée et l'ajouter à la partie fractionnaire du menu. Et puis la soustraction s'effectuera de la même manière que dans l'exemple précédent :
§ 89. Multiplication des fractions.
Lors de l'étude de la multiplication de fractions, nous considérerons les questions suivantes :
1. Multiplier une fraction par un nombre entier.
2. Trouver la fraction d'un nombre donné.
3. Multiplier un nombre entier par une fraction.
4. Multiplier une fraction par une fraction.
5. Multiplication de nombres fractionnaires.
6. La notion d'intérêt.
7. Trouver le pourcentage d'un nombre donné. Considérons-les séquentiellement.
1. Multiplier une fraction par un nombre entier.
Multiplier une fraction par un nombre entier a la même signification que multiplier un nombre entier par un nombre entier. Multiplier une fraction (multiplicande) par un entier (facteur) signifie créer une somme de termes identiques, dans laquelle chaque terme est égal au multiplicande et le nombre de termes est égal au multiplicateur.
Cela signifie que si vous devez multiplier 1/9 par 7, cela peut être fait comme ceci :
Nous avons facilement obtenu le résultat, puisque l'action se réduisait à additionner des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Ainsi,
La considération de cette action montre que multiplier une fraction par un nombre entier équivaut à augmenter cette fraction d'autant de fois que le nombre d'unités contenues dans le nombre entier. Et comme augmenter une fraction s'obtient soit en augmentant son numérateur
ou en réduisant son dénominateur 
, alors nous pouvons soit multiplier le numérateur par un nombre entier, soit diviser le dénominateur par celui-ci, si une telle division est possible.
De là, nous obtenons la règle :
Pour multiplier une fraction par un nombre entier, vous multipliez le numérateur par ce nombre entier et laissez le dénominateur identique ou, si possible, divisez le dénominateur par ce nombre, en laissant le numérateur inchangé.
Lors de la multiplication, des abréviations sont possibles, par exemple :
2. Trouver la fraction d'un nombre donné. Il existe de nombreux problèmes dans lesquels vous devez trouver ou calculer une partie d’un nombre donné. La différence entre ces problèmes et d'autres est qu'ils donnent le nombre de certains objets ou unités de mesure et vous devez trouver une partie de ce nombre, qui est également indiquée ici par une certaine fraction. Pour faciliter la compréhension, nous donnerons d’abord des exemples de tels problèmes, puis présenterons une méthode pour les résoudre.
Tâche 1. J'avais 60 roubles ; J'ai dépensé 1/3 de cet argent pour acheter des livres. Combien ont coûté les livres ?
Tâche 2. Le train doit parcourir une distance entre les villes A et B égale à 300 km. Il a déjà parcouru les 2/3 de cette distance. Cela fait combien de kilomètres ?
Tâche 3. Il y a 400 maisons dans le village, dont les 3/4 sont en brique, le reste est en bois. Combien y a-t-il de maisons en briques au total ?
Ce sont là quelques-uns des nombreux problèmes que nous rencontrons concernant la recherche d’une partie d’un nombre donné. On les appelle généralement des problèmes pour trouver la fraction d’un nombre donné.
Solution au problème 1.À partir de 60 roubles. J'ai dépensé 1/3 en livres ; Cela signifie que pour connaître le coût des livres, il faut diviser le nombre 60 par 3 :
Résoudre le problème 2. Le problème c'est qu'il faut trouver les 2/3 des 300 km. Calculons d'abord 1/3 de 300 ; ceci s'obtient en divisant 300 km par 3 :
300 : 3 = 100 (soit 1/3 de 300).
Pour trouver les deux tiers de 300, vous devez doubler le quotient obtenu, c'est-à-dire multiplier par 2 :
100 x 2 = 200 (soit 2/3 de 300).
Résoudre le problème 3. Ici, vous devez déterminer le nombre de maisons en briques qui représentent 3/4 de 400. Trouvons d'abord 1/4 de 400,
400 : 4 = 100 (soit 1/4 de 400).
Pour calculer les trois quarts de 400, il faut tripler le quotient résultant, c'est-à-dire multiplier par 3 :
100 x 3 = 300 (soit 3/4 de 400).
Sur la base de la solution à ces problèmes, nous pouvons déduire la règle suivante :
Pour trouver la valeur d'une fraction à partir d'un nombre donné, vous devez diviser ce nombre par le dénominateur de la fraction et multiplier le quotient obtenu par son numérateur.
3. Multiplier un nombre entier par une fraction.
Auparavant (§ 26), il a été établi que la multiplication d'entiers doit être comprise comme l'addition de termes identiques (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Dans ce paragraphe (point 1), il a été établi que multiplier une fraction par un nombre entier signifie trouver la somme des termes identiques égale à cette fraction.
Dans les deux cas, la multiplication consistait à trouver la somme de termes identiques.
Passons maintenant à la multiplication d'un nombre entier par une fraction. Ici nous rencontrerons par exemple la multiplication : 9 2 / 3. Il est clair que la définition précédente de la multiplication ne s’applique pas à ce cas. Cela ressort clairement du fait que nous ne pouvons pas remplacer une telle multiplication par l’addition de nombres égaux.
De ce fait, il va falloir donner une nouvelle définition de la multiplication, c'est-à-dire, en d'autres termes, répondre à la question de savoir ce qu'il faut entendre par multiplication par une fraction, comment il faut comprendre cette action.
La signification de multiplier un nombre entier par une fraction ressort clairement de la définition suivante : multiplier un entier (multiplicande) par une fraction (multiplicande) revient à trouver cette fraction du multiplicande.
À savoir, multiplier 9 par 2/3 signifie trouver 2/3 de neuf unités. Dans le paragraphe précédent, ces problèmes ont été résolus ; il est donc facile de comprendre que nous nous retrouverons avec 6.
Mais maintenant il y a une chose intéressante et question importante: pourquoi sont-ils comme ça à première vue ? diverses actions comment trouver la somme nombres égaux et trouver des fractions de nombres, en arithmétique, s'appelle le même mot « multiplication » ?
Cela se produit parce que l'action précédente (répéter plusieurs fois le nombre avec les termes) et la nouvelle action (trouver la fraction du nombre) donnent des réponses à des questions homogènes. Cela signifie que nous partons ici de la considération selon laquelle des questions ou des tâches homogènes sont résolues par la même action.
Pour comprendre cela, considérons le problème suivant : « 1 m de tissu coûte 50 roubles. Combien coûteront 4 m d’un tel tissu ?
Ce problème est résolu en multipliant le nombre de roubles (50) par le nombre de mètres (4), soit 50 x 4 = 200 (roubles).
Prenons le même problème, mais la quantité de tissu y sera exprimée sous forme de fraction : « 1 m de tissu coûte 50 roubles. Combien coûteront 3/4 m d’un tel tissu ?
Ce problème doit également être résolu en multipliant le nombre de roubles (50) par le nombre de mètres (3/4).
Vous pouvez modifier les chiffres plusieurs fois, sans changer le sens du problème, par exemple prendre 9/10 m ou 2 3/10 m, etc.
Étant donné que ces problèmes ont le même contenu et ne diffèrent que par les nombres, nous appelons les actions utilisées pour les résoudre par le même mot : multiplication.
Comment multiplier un nombre entier par une fraction ?
Reprenons les nombres rencontrés dans le dernier problème :
D'après la définition, il faut trouver 3/4 de 50. Trouvons d'abord 1/4 de 50, puis 3/4.
1/4 de 50 est 50/4 ;
Les 3/4 du nombre 50 sont .
Ainsi.
Considérons un autre exemple : 12 5 / 8 = ?
1/8 du nombre 12 est 12/8,
5/8 du nombre 12 est .
Ainsi,
De là, nous obtenons la règle :
Pour multiplier un nombre entier par une fraction, vous devez multiplier le nombre entier par le numérateur de la fraction et faire de ce produit le numérateur, et signer le dénominateur de cette fraction comme dénominateur.
Écrivons cette règle en utilisant des lettres :
Pour que cette règle soit bien claire, il faut rappeler qu’une fraction peut être considérée comme un quotient. Par conséquent, il est utile de comparer la règle trouvée avec la règle de multiplication d'un nombre par un quotient, qui a été énoncée au § 38.
Il est important de rappeler qu'avant d'effectuer une multiplication, vous devez faire (si possible) réductions, Par exemple:
4. Multiplier une fraction par une fraction. Multiplier une fraction par une fraction a la même signification que multiplier un nombre entier par une fraction, c'est-à-dire que lors de la multiplication d'une fraction par une fraction, vous devez trouver la fraction dans le facteur de la première fraction (le multiplicande).
À savoir, multiplier 3/4 par 1/2 (la moitié) signifie trouver la moitié de 3/4.
Comment multiplier une fraction par une fraction ?
Prenons un exemple : 3/4 multiplié par 5/7. Cela signifie que vous devez trouver 5/7 sur 3/4. Trouvons d'abord 1/7 de 3/4, puis 5/7
1/7 du nombre 3/4 s'exprimera ainsi :
5/7 les nombres 3/4 seront exprimés comme suit :
Ainsi,
Autre exemple : 5/8 multiplié par 4/9.
1/9 de 5/8 est ,
4/9 du nombre 5/8 est .
Ainsi, 
De ces exemples, on peut déduire la règle suivante :
Pour multiplier une fraction par une fraction, vous devez multiplier le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur, et faire du premier produit le numérateur et du deuxième produit le dénominateur du produit.
C'est la règle dans vue générale peut s'écrire ainsi :
Lors de la multiplication, il est nécessaire de faire (si possible) des réductions. Regardons des exemples :
5. Multiplication de nombres fractionnaires.Étant donné que les nombres fractionnaires peuvent facilement être remplacés par des fractions impropres, cette circonstance est généralement utilisée lors de la multiplication de nombres fractionnaires. Cela signifie que dans les cas où le multiplicande, ou le multiplicateur, ou les deux facteurs sont exprimés sous forme de nombres fractionnaires, ils sont remplacés par des fractions impropres. Multiplions, par exemple, les nombres fractionnaires : 2 1/2 et 3 1/5. Transformons chacun d'eux en une fraction impropre puis multiplions les fractions résultantes selon la règle de multiplication d'une fraction par une fraction :
Règle. Pour multiplier des nombres fractionnaires, vous devez d'abord les convertir en fractions impropres puis les multiplier selon la règle de multiplication de fractions par fractions.
Note. Si l'un des facteurs est un nombre entier, alors la multiplication peut être effectuée sur la base de la loi de distribution comme suit :
6. La notion d'intérêt. Lorsque nous résolvons des problèmes et effectuons divers calculs pratiques, nous utilisons toutes sortes de fractions. Mais il faut garder à l’esprit que de nombreuses quantités permettent non pas n’importe lesquelles, mais des divisions naturelles. Par exemple, vous pouvez prendre un centième (1/100) de rouble, ce sera un kopeck, deux centièmes font 2 kopecks, trois centièmes font 3 kopecks. Vous pouvez prendre 1/10 de rouble, ce sera "10 kopecks, ou une pièce de dix kopecks. Vous pouvez prendre un quart de rouble, c'est-à-dire 25 kopecks, un demi-rouble, c'est-à-dire 50 kopecks (cinquante kopecks). Mais ils ne prennent pratiquement pas, par exemple, 2/7 de rouble car le rouble n'est pas divisé en septièmes.
L'unité de poids, c'est-à-dire le kilogramme, permet principalement des divisions décimales, par exemple 1/10 kg ou 100 g. Et des fractions de kilogramme telles que 1/6, 1/11, 1/13 ne sont pas courantes.
En général, nos mesures (métriques) sont décimales et permettent des divisions décimales.
Cependant, il convient de noter qu'il est extrêmement utile et pratique dans une grande variété de cas d'utiliser la même méthode (uniforme) de subdivision des quantités. De nombreuses années d'expérience ont montré qu'une division aussi bien justifiée est la « centième » division. Considérons quelques exemples relatifs aux domaines les plus divers de la pratique humaine.
1. Le prix des livres a diminué de 12/100 par rapport au prix précédent.
Exemple. Le prix précédent du livre était de 10 roubles. Il a diminué de 1 rouble. 20 kopecks
2. Les caisses d'épargne versent aux déposants 2/100 du montant déposé pour l'épargne au cours de l'année.
Exemple. 500 roubles sont déposés à la caisse enregistreuse, le revenu de ce montant pour l'année est de 10 roubles.
3. Le nombre de diplômés d'une école était de 5/100 du nombre total d'étudiants.
EXEMPLE Il n'y avait que 1 200 élèves à l'école, dont 60 ont obtenu leur diplôme.
La centième partie d'un nombre s'appelle un pourcentage.
Le mot « pour cent » est emprunté au latin et sa racine « cent » signifie cent. Avec la préposition (pro centum), ce mot signifie « pour cent ». Le sens d'une telle expression découle du fait qu'initialement dans Rome antique les intérêts étaient l’argent que le débiteur payait au prêteur « pour chaque cent ». Le mot « cent » est entendu dans des mots si familiers : centner (cent kilogrammes), centimètre (disons centimètre).
Par exemple, au lieu de dire qu'au cours du mois dernier, l'usine a produit 1/100 de tous les produits qu'elle fabriquait était défectueux, nous dirons ceci : au cours du mois dernier, l'usine a produit 1 pour cent de défauts. Au lieu de dire : l'usine a produit 4/100 produits de plus que le plan établi, nous dirons : l'usine a dépassé le plan de 4 pour cent.
Les exemples ci-dessus peuvent être exprimés différemment :
1. Le prix des livres a diminué de 12 pour cent par rapport au prix précédent.
2. Les caisses d'épargne versent aux déposants 2 pour cent par an sur le montant déposé en épargne.
3. Le nombre de diplômés d'une école représentait 5 pour cent de tous les élèves.
Pour raccourcir la lettre, il est d'usage d'écrire le symbole % à la place du mot « pourcentage ».
Cependant, vous devez vous rappeler que dans les calculs, le signe % n'est généralement pas écrit ; il peut être écrit dans l'énoncé du problème et dans le résultat final. Lorsque vous effectuez des calculs, vous devez écrire une fraction avec un dénominateur de 100 au lieu d'un nombre entier avec ce symbole.
Vous devez pouvoir remplacer un entier avec l'icône indiquée par une fraction avec un dénominateur de 100 :
A l'inverse, il faut s'habituer à écrire un entier avec le symbole indiqué au lieu d'une fraction avec un dénominateur de 100 :
7. Trouver le pourcentage d'un nombre donné.
Tâche 1. L'école a reçu 200 mètres cubes. m de bois de chauffage, dont 30 % de bois de bouleau. Quelle quantité de bois de bouleau y avait-il ?
La signification de ce problème est que le bois de chauffage de bouleau ne représentait qu'une partie du bois de chauffage livré à l'école, et cette partie est exprimée dans la fraction 30/100. Cela signifie que nous avons pour tâche de trouver une fraction d'un nombre. Pour le résoudre, il faut multiplier 200 par 30/100 (les problèmes pour trouver la fraction d'un nombre se résolvent en multipliant le nombre par la fraction.).
Cela signifie que 30 % de 200 équivaut à 60.
La fraction 30/100 rencontrée dans ce problème peut être réduite de 10. Il serait possible de faire cette réduction dès le début ; la solution au problème n’aurait pas changé.
Tâche 2. Il y avait 300 enfants d'âges différents dans le camp. Les enfants de 11 ans représentaient 21 %, les enfants de 12 ans représentaient 61 % et enfin les enfants de 13 ans représentaient 18 %. Combien d’enfants de chaque âge y avait-il dans le camp ?
Dans ce problème, vous devez effectuer trois calculs, c'est-à-dire trouver séquentiellement le nombre d'enfants de 11 ans, puis de 12 ans et enfin de 13 ans.
Cela signifie qu'ici, vous devrez trouver la fraction du nombre trois fois. Faisons ceci :
1) Combien y avait-il d’enfants de 11 ans ?
2) Combien y avait-il d’enfants de 12 ans ?
3) Combien y avait-il d’enfants de 13 ans ?
Après avoir résolu le problème, il est utile d'additionner les nombres trouvés ; leur somme devrait être de 300 :
63 + 183 + 54 = 300
Il convient également de noter que la somme des pourcentages indiqués dans l'énoncé du problème est de 100 :
21% + 61% + 18% = 100%
Ceci suggère que nombre total les enfants du camp ont été pris en compte à 100%.
3 une d une h une 3. L'ouvrier recevait 1 200 roubles par mois. Sur ce montant, il a dépensé 65 % en nourriture, 6 % en appartements et en chauffage, 4 % en gaz, électricité et radio, 10 % en besoins culturels et 15 % en économies. Combien d'argent a été dépensé pour les besoins indiqués dans la tâche ?
Pour résoudre ce problème, vous devez trouver la fraction de 1 200 5 fois.
1) Combien d’argent a été dépensé en nourriture ? Le problème dit que cette dépense représente 65% du revenu total, soit 65/100 du nombre 1 200. Faisons le calcul :
2) Combien avez-vous payé pour un appartement avec chauffage ? En raisonnant de manière similaire au précédent, on arrive au calcul suivant :
3) Combien d’argent avez-vous payé pour le gaz, l’électricité et la radio ?
4) Combien d’argent a été dépensé pour les besoins culturels ?
5) Combien d’argent le travailleur a-t-il économisé ?
Pour vérifier, il est utile d’additionner les nombres trouvés dans ces 5 questions. Le montant devrait être de 1 200 roubles. Tous les revenus sont considérés comme 100 %, ce qui est facile à vérifier en additionnant les pourcentages indiqués dans l'énoncé du problème.
Nous avons résolu trois problèmes. Même si ces tâches concernaient diverses choses(livraison du bois de chauffage pour l'école, nombre d'enfants d'âges différents, dépenses de l'ouvrier), ils ont été résolus de la même manière. Cela s'est produit parce que dans tous les problèmes, il était nécessaire de trouver plusieurs pour cent des nombres donnés.
§ 90. Division des fractions.
En étudiant la division des fractions, nous considérerons les questions suivantes :
1. Divisez un entier par un entier.
2. Diviser une fraction par un nombre entier
3. Diviser un nombre entier par une fraction.
4. Diviser une fraction par une fraction.
5. Division de nombres fractionnaires.
6. Trouver un nombre à partir de sa fraction donnée.
7. Trouver un nombre par son pourcentage.
Considérons-les séquentiellement.
1. Divisez un entier par un entier.
Comme cela a été indiqué dans le département des nombres entiers, la division est l'action qui consiste dans le fait que, étant donné le produit de deux facteurs (dividende) et d'un de ces facteurs (diviseur), un autre facteur est trouvé.
Nous avons examiné la division d'un nombre entier par un nombre entier dans la section sur les nombres entiers. Nous y avons rencontré deux cas de division : division sans reste, ou « entièrement » (150 : 10 = 15), et division avec reste (100 : 9 = 11 et 1 reste). On peut donc dire que dans le domaine des entiers, la division exacte n'est pas toujours possible, car le dividende n'est pas toujours le produit du diviseur par l'entier. Après avoir introduit la multiplication par une fraction, on peut considérer tous les cas de division d'entiers possibles (seule la division par zéro est exclue).
Par exemple, diviser 7 par 12 signifie trouver un nombre dont le produit par 12 serait égal à 7. Un tel nombre est la fraction 7/12 car 7/12 12 = 7. Autre exemple : 14 : 25 = 14 / 25, car 14 / 25 25 = 14.
Ainsi, pour diviser un nombre entier par un nombre entier, il faut créer une fraction dont le numérateur est égal au dividende et le dénominateur est égal au diviseur.
2. Diviser une fraction par un nombre entier.
Divisez la fraction 6 / 7 par 3. D'après la définition de division donnée ci-dessus, nous avons ici le produit (6 / 7) et l'un des facteurs (3) ; vous devez trouver un deuxième facteur qui, multiplié par 3, donnerait ce travail 6/7. Évidemment, il devrait être trois fois plus petit que ce produit. Cela signifie que la tâche qui nous était assignée était de réduire la fraction 6/7 de 3 fois.
On sait déjà que la réduction d'une fraction peut se faire soit en diminuant son numérateur, soit en augmentant son dénominateur. On peut donc écrire :
DANS dans ce cas Le numérateur de 6 est divisible par 3, il doit donc être divisé par deux.
Prenons un autre exemple : 5 / 8 divisé par 2. Ici le numérateur 5 n'est pas divisible par 2, ce qui signifie qu'il faudra multiplier le dénominateur par ce nombre :
Sur cette base, une règle peut être établie : Pour diviser une fraction par un nombre entier, vous devez diviser le numérateur de la fraction par ce nombre entier.(si possible), en laissant le même dénominateur, ou multiplier le dénominateur de la fraction par ce nombre en laissant le même numérateur.
3. Diviser un nombre entier par une fraction.
Supposons qu'il soit nécessaire de diviser 5 par 1/2, c'est-à-dire de trouver un nombre qui, après multiplication par 1/2, donnera le produit 5. Évidemment, ce nombre doit être supérieur à 5, puisque 1/2 est une fraction propre. , et lors de la multiplication d'un nombre, le produit d'une fraction appropriée doit être inférieur au produit multiplié. Pour que cela soit plus clair, écrivons nos actions comme suit : 5 : 1 / 2 = X , ce qui signifie x 1 / 2 = 5.
Nous devons trouver un tel numéro X , qui, multiplié par 1/2, donnerait 5. Puisque multiplier un certain nombre par 1/2 signifie trouver la moitié de ce nombre, alors donc 1/2 du nombre inconnu X est égal à 5, et le nombre entier X deux fois plus, soit 5 2 = 10.
Donc 5 : 1 / 2 = 5 2 = 10
Vérifions : 
Regardons un autre exemple. Disons que vous voulez diviser 6 par 2/3. Essayons d'abord de trouver le résultat souhaité à l'aide du dessin (Fig. 19).
Figure 19
Traçons un segment AB égal à 6 unités et divisons chaque unité en 3 parties égales. Dans chaque unité, les trois tiers (3/3) de l'ensemble du segment AB sont 6 fois plus grands, soit e.18/3. À l'aide de petites parenthèses, nous connectons les 18 segments résultants de 2 ; Il n'y aura que 9 segments. Cela signifie que la fraction 2/3 est contenue dans 6 unités 9 fois, ou, en d'autres termes, la fraction 2/3 est 9 fois inférieure à 6 unités entières. Ainsi,
Comment obtenir ce résultat sans dessin en utilisant uniquement des calculs ? Raisons ainsi : il faut diviser 6 par 2/3, c'est-à-dire qu'il faut répondre à la question combien de fois 2/3 est contenu dans 6. Voyons d'abord : combien de fois 1/3 est contenu dans 6 ? Dans une unité entière il y en a 3 tiers, et dans 6 unités il y en a 6 fois plus, soit 18 tiers ; pour trouver ce nombre, nous devons multiplier 6 par 3. Cela signifie que 1/3 est contenu dans les unités b 18 fois, et 2/3 est contenu dans les unités b non pas 18 fois, mais deux fois moins, c'est-à-dire 18 : 2 = 9 . Par conséquent, en divisant 6 par 2/3, nous avons fait ce qui suit :
De là, nous obtenons la règle pour diviser un nombre entier par une fraction. Pour diviser un nombre entier par une fraction, vous devez multiplier ce nombre entier par le dénominateur de la fraction donnée et, en faisant de ce produit le numérateur, le diviser par le numérateur de la fraction donnée.
Écrivons la règle en utilisant des lettres :
Pour que cette règle soit bien claire, il faut rappeler qu’une fraction peut être considérée comme un quotient. Par conséquent, il est utile de comparer la règle trouvée avec la règle de division d'un nombre par un quotient, qui a été énoncée au § 38. A noter que la même formule y a été obtenue.
Lors de la division, des abréviations sont possibles, par exemple :
4. Diviser une fraction par une fraction.
Disons que nous devons diviser 3/4 par 3/8. Que signifiera le nombre résultant de la division ? Il répondra à la question combien de fois la fraction 3/8 est contenue dans la fraction 3/4. Pour comprendre ce problème, faisons un dessin (Fig. 20).
Prenons un segment AB, prenons-le comme un seul, divisons-le en 4 parties égales et marquons 3 de ces parties. Le segment AC sera égal aux 3/4 du segment AB. Divisons maintenant chacun des quatre segments originaux en deux, puis le segment AB sera divisé en 8 parties égales et chacune de ces parties sera égale à 1/8 du segment AB. Relions 3 de ces segments avec des arcs, alors chacun des segments AD et DC sera égal à 3/8 du segment AB. Le dessin montre qu'un segment égal à 3/8 est contenu dans un segment égal à 3/4 exactement 2 fois ; Cela signifie que le résultat de la division peut s’écrire comme suit :
3 / 4: 3 / 8 = 2
Regardons un autre exemple. Disons que nous devons diviser 15/16 par 3/32 :
On peut raisonner ainsi : il faut trouver un nombre qui, après multiplication par 3/32, donnera un produit égal à 15/16. Écrivons les calculs comme ceci :
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 numéro inconnu X sont 15/16
1/32 d'un nombre inconnu X est ,
32/32 numéros X se maquiller .
Ainsi,
Ainsi, pour diviser une fraction par une fraction, il faut multiplier le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde, multiplier le dénominateur de la première fraction par le numérateur de la seconde, et faire du premier produit le numérateur, et le second le dénominateur.
Écrivons la règle en utilisant des lettres :
Lors de la division, des abréviations sont possibles, par exemple :
5. Division de nombres fractionnaires.
Lors de la division de nombres fractionnaires, ils doivent d'abord être convertis en fractions impropres, puis les fractions résultantes doivent être divisées selon les règles de division des fractions. Regardons un exemple :
Convertissons les nombres fractionnaires en fractions impropres :
Maintenant divisons :
Ainsi, pour diviser des nombres fractionnaires, il faut les convertir en fractions impropres puis diviser en utilisant la règle de division des fractions.
6. Trouver un nombre à partir de sa fraction donnée.
Parmi les différents problèmes de fractions, il y a parfois ceux dans lesquels la valeur d'une fraction d'un nombre inconnu est donnée et vous devez trouver ce nombre. Ce type de problème sera l'inverse du problème de trouver la fraction d'un nombre donné ; là, un nombre était donné et il fallait trouver une fraction de ce nombre, ici une fraction d'un nombre était donnée et il fallait trouver ce nombre lui-même. Cette idée deviendra encore plus claire si l’on se tourne vers la résolution de ce type de problème.
Tâche 1. Le premier jour, les vitriers ont vitré 50 fenêtres, soit 1/3 de toutes les fenêtres de la maison construite. Combien de fenêtres y a-t-il dans cette maison ?
Solution. Le problème dit que 50 fenêtres vitrées représentent 1/3 de toutes les fenêtres de la maison, ce qui signifie qu'il y a 3 fois plus de fenêtres au total, soit
La maison avait 150 fenêtres.
Tâche 2. Le magasin a vendu 1 500 kg de farine, soit 3/8 du stock total de farine dont disposait le magasin. Quel était l'approvisionnement initial en farine du magasin ?
Solution. D'après les conditions du problème, il ressort clairement que 1.500 kg de farine vendus constituent les 3/8 du stock total ; Cela signifie que 1/8 de cette réserve sera 3 fois inférieure, c'est-à-dire pour la calculer il faut réduire 1500 de 3 fois :
1 500 : 3 = 500 (soit 1/8 de la réserve).
Évidemment, l’offre totale sera 8 fois plus importante. Ainsi,
500 8 = 4 000 (kg).
Le stock initial de farine du magasin était de 4 000 kg.
De l’examen de ce problème, on peut déduire la règle suivante.
Pour trouver un nombre à partir d'une valeur donnée de sa fraction, il suffit de diviser cette valeur par le numérateur de la fraction et de multiplier le résultat par le dénominateur de la fraction.
Nous avons résolu deux problèmes consistant à trouver un nombre étant donné sa fraction. De tels problèmes, comme le montre particulièrement clairement le dernier, sont résolus par deux actions : la division (quand une partie est trouvée) et la multiplication (quand le nombre entier est trouvé).
Cependant, après avoir appris la division des fractions, les problèmes ci-dessus peuvent être résolus en une seule action, à savoir : la division par fraction.
Par exemple, la dernière tâche peut être résolue en une seule action comme celle-ci :
À l'avenir, nous résoudrons les problèmes consistant à trouver un nombre à partir de sa fraction en une seule action : la division.
7. Trouver un nombre par son pourcentage.
Dans ces problèmes, vous devrez trouver un nombre connaissant quelques pour cent de ce nombre.
Tâche 1. Au début de cette année, j'ai reçu 60 roubles de la caisse d'épargne. un revenu provenant du montant que j'ai mis en épargne il y a un an. Combien d’argent ai-je mis dans la caisse d’épargne ? (Les caisses offrent aux déposants un rendement de 2 % par an.)
Le problème est que j’ai mis une certaine somme d’argent dans une caisse d’épargne et que j’y suis resté un an. Au bout d'un an, j'ai reçu d'elle 60 roubles. revenu, qui représente 2/100 de l'argent que j'ai déposé. Combien d’argent ai-je mis ?
Par conséquent, connaissant une partie de cet argent, exprimé de deux manières (en roubles et en fractions), nous devons trouver le montant total, encore inconnu. Il s’agit d’un problème ordinaire consistant à trouver un nombre étant donné sa fraction. Les problèmes suivants sont résolus par division :
Cela signifie que 3 000 roubles ont été déposés à la caisse d'épargne.
Tâche 2. Les pêcheurs ont rempli leur plan mensuel à 64 % en deux semaines, récoltant 512 tonnes de poisson. Quel était leur plan ?
D'après les conditions du problème, on sait que les pêcheurs ont réalisé une partie du plan. Cette part est égale à 512 tonnes, soit 64 % du plan. Nous ne savons pas combien de tonnes de poisson doivent être préparées selon le plan. Trouver ce numéro sera la solution au problème.
De tels problèmes sont résolus par division :
Cela signifie que selon le plan, 800 tonnes de poisson doivent être préparées.
Tâche 3. Le train allait de Riga à Moscou. Lorsqu'il a dépassé le 276ème kilomètre, l'un des passagers a demandé à un conducteur de passage quelle partie du trajet ils avaient déjà parcourue. Le conducteur a répondu : « Nous avons déjà parcouru 30 % du trajet. » Quelle est la distance entre Riga et Moscou ?
D'après les conditions problématiques, il ressort clairement que 30 % du trajet de Riga à Moscou fait 276 km. Il faut trouver toute la distance entre ces villes, c'est-à-dire, pour cette partie, trouver le tout :
§ 91. Nombres réciproques. Remplacer la division par la multiplication.
Prenons la fraction 2/3 et remplaçons le numérateur à la place du dénominateur, nous obtenons 3/2. Nous avons l'inverse de cette fraction.
Pour obtenir l'inverse d'une fraction donnée, il faut mettre son numérateur à la place du dénominateur, et le dénominateur à la place du numérateur. De cette façon, nous pouvons obtenir l’inverse de n’importe quelle fraction. Par exemple:
3/4, inversé 4/3 ; 5/6, inversé 6/5
Deux fractions qui ont la propriété que le numérateur de la première est le dénominateur de la seconde et que le dénominateur de la première est le numérateur de la seconde, sont appelées mutuellement inverses.
Réfléchissons maintenant à quelle fraction sera l'inverse de 1/2. Évidemment, ce sera 2/1, ou juste 2. En recherchant la fraction inverse de celle donnée, nous avons obtenu un nombre entier. Et ce cas n’est pas isolé ; au contraire, pour toutes les fractions de numérateur 1 (un), les réciproques seront des nombres entiers, par exemple :
1/3, revers 3 ; 1/5, revers 5
Puisqu'en trouvant des fractions réciproques, nous avons également rencontré des nombres entiers, dans ce qui suit nous ne parlerons pas de fractions réciproques, mais de nombres réciproques.
Voyons comment écrire l'inverse d'un entier. Pour les fractions, cela peut être résolu simplement : il faut mettre le dénominateur à la place du numérateur. De la même manière, vous pouvez obtenir le nombre inverse d'un entier, puisque tout entier peut avoir un dénominateur de 1. Cela signifie que le nombre inverse de 7 sera 1/7, car 7 = 7/1 ; pour le nombre 10 l'inverse sera 1/10, puisque 10 = 10/1
Cette idée peut s’exprimer différemment : l'inverse d'un nombre donné s'obtient en divisant un par numéro donné . Cette affirmation est vraie non seulement pour les nombres entiers, mais aussi pour les fractions. En fait, si nous devons écrire l'inverse de la fraction 5/9, alors nous pouvons prendre 1 et le diviser par 5/9, c'est-à-dire
Maintenant, soulignons une chose propriété nombres réciproques, qui nous seront utiles : le produit des nombres réciproques est égal à un. En fait:
En utilisant cette propriété, nous pouvons trouver des nombres réciproques de la manière suivante. Disons que nous devons trouver l'inverse de 8.
Notons-le par la lettre X , puis 8 X = 1, donc X = 1/8. Trouvons un autre nombre qui est l'inverse de 7/12 et désignons-le par la lettre X , puis le 12/07 X = 1, donc X = 1 : 7 / 12 ou X = 12 / 7 .
Nous avons introduit ici la notion de nombres réciproques afin de compléter légèrement les informations sur la division des fractions.
Lorsque nous divisons le nombre 6 par 3/5, nous procédons comme suit :
S'il vous plaît payer attention particulièreà l'expression et comparez-la avec celle donnée : .
Si l'on prend l'expression séparément, sans lien avec la précédente, alors il est impossible de résoudre la question de savoir d'où elle vient : de diviser 6 par 3/5 ou de multiplier 6 par 5/3. Dans les deux cas, la même chose se produit. On peut donc dire que la division d'un nombre par un autre peut être remplacée en multipliant le dividende par l'inverse du diviseur.
Les exemples que nous donnons ci-dessous confirment pleinement cette conclusion.
Contenu de la leçonAdditionner des fractions avec des dénominateurs similaires
Il existe deux types d'addition de fractions :
- Additionner des fractions avec des dénominateurs similaires
- Additionner des fractions avec différents dénominateurs
Tout d’abord, apprenons l’addition de fractions ayant les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé. Par exemple, ajoutons les fractions et . Additionnez les numérateurs et laissez le dénominateur inchangé :
Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en quatre parties. Si vous ajoutez une pizza à une pizza, vous obtenez une pizza :
Exemple 2. Ajoutez des fractions et .
La réponse s’est avérée être une fraction impropre. Lorsque la fin de la tâche arrive, il est d'usage de se débarrasser des fractions impropres. Pour vous débarrasser d’une fraction impropre, vous devez en sélectionner la totalité. Dans notre cas, la partie entière est facilement isolée - deux divisé par deux égale un :
Cet exemple peut être facilement compris si l’on pense à une pizza divisée en deux parties. Si vous ajoutez plus de pizza à la pizza, vous obtenez une pizza entière :
Exemple 3. Ajoutez des fractions et .
Encore une fois, nous additionnons les numérateurs et laissons le dénominateur inchangé :
Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en trois parties. Si vous ajoutez plus de pizza à la pizza, vous obtenez de la pizza :
Exemple 4. Trouver la valeur d'une expression 
Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Les numérateurs doivent être additionnés et le dénominateur laissé inchangé :
Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous ajoutez une pizza à une pizza et ajoutez plus de pizzas, vous obtenez 1 pizza entière et plus de pizzas.
Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à additionner des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Il suffit de comprendre les règles suivantes :
- Pour additionner des fractions avec le même dénominateur, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé ;
Additionner des fractions avec différents dénominateurs
Apprenons maintenant à additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Lors de l'addition de fractions, les dénominateurs des fractions doivent être les mêmes. Mais ils ne sont pas toujours les mêmes.
Par exemple, des fractions peuvent être additionnées car elles ont les mêmes dénominateurs.
Mais les fractions ne peuvent pas être additionnées immédiatement, puisque ces fractions différents dénominateurs. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).
Il existe plusieurs façons de réduire des fractions au même dénominateur. Aujourd'hui, nous n'en examinerons qu'une, car les autres méthodes peuvent sembler compliquées pour un débutant.
L'essence de cette méthode est que l'on recherche d'abord le LCM des dénominateurs des deux fractions. Le LCM est ensuite divisé par le dénominateur de la première fraction pour obtenir le premier facteur supplémentaire. Ils font de même avec la deuxième fraction : le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et un deuxième facteur supplémentaire est obtenu.
Les numérateurs et dénominateurs des fractions sont ensuite multipliés par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces actions, des fractions ayant des dénominateurs différents se transforment en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions.
Exemple 1. Additionnons les fractions et
Tout d’abord, on trouve le plus petit commun multiple des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 6.
LCM (2 et 3) = 6
Revenons maintenant aux fractions et . Tout d’abord, divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction et obtenez le premier facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6 et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 6 par 3, nous obtenons 2.
Le nombre 2 résultant est le premier multiplicateur supplémentaire. Nous l'écrivons jusqu'à la première fraction. Pour ce faire, tracez un petit trait oblique sur la fraction et notez le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :
On fait de même avec la deuxième fraction. Nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction et obtenons le deuxième facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Divisez 6 par 2, nous obtenons 3.
Le nombre 3 résultant est le deuxième multiplicateur supplémentaire. Nous l'écrivons jusqu'à la deuxième fraction. Encore une fois, nous traçons une petite ligne oblique sur la deuxième fraction et notons le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :
Maintenant, nous avons tout prêt pour l'ajout. Il reste à multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires :
Regardez attentivement où nous en sommes arrivés. Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions. Prenons cet exemple jusqu'au bout :
Ceci complète l’exemple. Il s'avère ajouter .
Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous ajoutez de la pizza à une pizza, vous obtenez une pizza entière et un autre sixième de pizza :
La réduction de fractions au même dénominateur (commun) peut également être représentée à l’aide d’une image. En réduisant les fractions et à un dénominateur commun, nous obtenons les fractions et . Ces deux fractions seront représentées par les mêmes morceaux de pizza. La seule différence sera que cette fois ils seront répartis en parts égales (réduites au même dénominateur).
Le premier dessin représente une fraction (quatre pièces sur six) et le deuxième dessin représente une fraction (trois pièces sur six). En ajoutant ces pièces, nous obtenons (sept pièces sur six). Cette fraction est impropre, nous en avons donc mis en évidence toute la partie. En conséquence, nous avons obtenu (une pizza entière et une autre sixième pizza).
Veuillez noter que nous avons décrit cet exemple trop détaillé. DANS établissements d'enseignement Il n’est pas habituel d’écrire avec autant de détails. Vous devez être capable de trouver rapidement le LCM des dénominateurs et des facteurs supplémentaires, ainsi que de multiplier rapidement les facteurs supplémentaires trouvés par vos numérateurs et dénominateurs. À l’école, il faudrait écrire cet exemple comme suit :
Mais il y a aussi un autre revers à la médaille. Si vous ne prenez pas de notes détaillées dès les premières étapes de l’étude des mathématiques, des questions de ce type commencent à apparaître. « D'où vient ce nombre ? », « Pourquoi les fractions se transforment-elles soudainement en fractions complètement différentes ? «.
Pour faciliter l'addition de fractions avec des dénominateurs différents, vous pouvez utiliser les instructions étape par étape suivantes :
- Trouver le LCM des dénominateurs des fractions ;
- Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un facteur supplémentaire pour chaque fraction ;
- Multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires ;
- Additionnez les fractions qui ont les mêmes dénominateurs ;
- Si la réponse s'avère être une fraction impropre, sélectionnez sa partie entière ;
Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression 
.
Utilisons les instructions données ci-dessus.
Étape 1. Trouver le LCM des dénominateurs des fractions
Trouvez le LCM des dénominateurs des deux fractions. Les dénominateurs des fractions sont les nombres 2, 3 et 4
Étape 2. Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un facteur supplémentaire pour chaque fraction
Divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 2. Divisez 12 par 2, nous obtenons 6. Nous avons le premier facteur supplémentaire 6. Nous l'écrivons au-dessus de la première fraction :
Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 4. Nous l'écrivons au-dessus de la deuxième fraction :
Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons au-dessus de la troisième fraction :
Étape 3. Multipliez les numérateurs et les dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires
On multiplie les numérateurs et les dénominateurs par leurs facteurs supplémentaires :
Étape 4. Additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs
Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs (communs). Il ne reste plus qu'à additionner ces fractions. Additionnez-le :
L'ajout ne tenait pas sur une seule ligne, nous avons donc déplacé l'expression restante vers la ligne suivante. Ceci est autorisé en mathématiques. Lorsqu'une expression ne tient pas sur une ligne, elle est déplacée sur la ligne suivante, et il faut mettre un signe égal (=) à la fin de la première ligne et au début nouvelle ligne. Le signe égal sur la deuxième ligne indique qu'il s'agit d'une continuation de l'expression qui figurait sur la première ligne.
Étape 5. Si la réponse s'avère être une fraction impropre, sélectionnez-en la partie entière
Notre réponse s’est avérée être une fraction impropre. Il faut en souligner toute une partie. Nous soulignons :
Nous avons reçu une réponse
Soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs
Il existe deux types de soustraction de fractions :
- Soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs
- Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents
Tout d’abord, apprenons à soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour en soustraire un autre à une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction, mais laisser le dénominateur inchangé.
Par exemple, trouvons la valeur de l'expression . Pour résoudre cet exemple, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé. Faisons ceci :
Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en quatre parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :
Exemple 2. Trouvez la valeur de l'expression.
Encore une fois, du numérateur de la première fraction, soustrayez le numérateur de la deuxième fraction et laissez le dénominateur inchangé :
Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en trois parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :
Exemple 3. Trouver la valeur d'une expression 
Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Du numérateur de la première fraction, vous devez soustraire les numérateurs des fractions restantes :
Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Il suffit de comprendre les règles suivantes :
- Pour en soustraire un autre à une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé ;
- Si la réponse s'avère être une fraction impropre, vous devez alors en souligner toute la partie.
Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents
Par exemple, vous pouvez soustraire une fraction d’une fraction car les fractions ont les mêmes dénominateurs. Mais vous ne pouvez pas soustraire une fraction d'une fraction, car ces fractions ont des dénominateurs différents. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).
Le dénominateur commun est trouvé en utilisant le même principe que celui que nous avons utilisé pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Tout d’abord, trouvez le LCM des dénominateurs des deux fractions. Ensuite, le LCM est divisé par le dénominateur de la première fraction et le premier facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit au-dessus de la première fraction. De même, le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et un deuxième facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit au-dessus de la deuxième fraction.
Les fractions sont ensuite multipliées par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces opérations, les fractions ayant des dénominateurs différents sont converties en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions.
Exemple 1. Trouvez le sens de l’expression :
Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc les réduire au même dénominateur (commun).
Nous trouvons d’abord le LCM des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 4. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 12.
LCM (3 et 4) = 12
Revenons maintenant aux fractions et
Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. Pour ce faire, divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12 et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Écrivez un quatre au-dessus de la première fraction :
On fait de même avec la deuxième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Écrivez un trois sur la deuxième fraction :
Nous sommes maintenant prêts pour la soustraction. Il reste à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :
Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Prenons cet exemple jusqu'au bout :
Nous avons reçu une réponse
Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous coupez une pizza dans une pizza, vous obtenez une pizza
Ceci est la version détaillée de la solution. Si nous étions à l’école, nous devrions résoudre cet exemple plus rapidement. Une telle solution ressemblerait à ceci :
La réduction de fractions à un dénominateur commun peut également être représentée à l’aide d’une image. En réduisant ces fractions à un dénominateur commun, nous obtenons les fractions et . Ces fractions seront représentées par les mêmes parts de pizza, mais cette fois elles seront divisées en parts égales (réduites au même dénominateur) :
La première image montre une fraction (huit pièces sur douze) et la deuxième image montre une fraction (trois pièces sur douze). En coupant trois morceaux sur huit morceaux, on obtient cinq morceaux sur douze. La fraction décrit ces cinq pièces.
Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression 
Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc d'abord les réduire au même dénominateur (commun).
Trouvons le LCM des dénominateurs de ces fractions.
Les dénominateurs des fractions sont les nombres 10, 3 et 5. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 30.
LCM(10, 3, 5) = 30
Nous trouvons maintenant des facteurs supplémentaires pour chaque fraction. Pour ce faire, divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction.
Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 10. Divisez 30 par 10, nous obtenons le premier facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons au-dessus de la première fraction :
Nous trouvons maintenant un facteur supplémentaire pour la deuxième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 30 par 3, nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 10. On l'écrit au dessus de la deuxième fraction :
Nous trouvons maintenant un facteur supplémentaire pour la troisième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. Le LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 5. Divisez 30 par 5, nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 6. On l'écrit au-dessus de la troisième fraction :
Maintenant, tout est prêt pour la soustraction. Il reste à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :
Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs (communs). Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Terminons cet exemple.
La suite de l’exemple ne tiendra pas sur une seule ligne, nous déplaçons donc la suite sur la ligne suivante. N'oubliez pas le signe égal (=) sur la nouvelle ligne :
La réponse s'est avérée être une fraction régulière, et tout semble nous convenir, mais c'est trop encombrant et moche. Nous devrions faire plus simple. Que peut-on faire ? Vous pouvez raccourcir cette fraction.
Pour réduire une fraction, vous devez diviser son numérateur et son dénominateur par (PGCD) des nombres 20 et 30.
On retrouve donc le pgcd des nombres 20 et 30 :
Revenons maintenant à notre exemple et divisons le numérateur et le dénominateur de la fraction par le pgcd trouvé, c'est-à-dire par 10
Nous avons reçu une réponse
Multiplier une fraction par un nombre
Pour multiplier une fraction par un nombre, vous devez multiplier le numérateur de la fraction par ce nombre et laisser le dénominateur identique.
Exemple 1. Multipliez une fraction par le nombre 1.
Multipliez le numérateur de la fraction par le nombre 1
L'enregistrement peut être compris comme prenant la moitié d'une fois. Par exemple, si vous prenez des pizzas 1 fois, vous obtenez des pizzas
Grâce aux lois de la multiplication, nous savons que si le multiplicande et le facteur sont inversés, le produit ne changera pas. Si l’expression s’écrit , alors le produit sera toujours égal à . Encore une fois, la règle pour multiplier un nombre entier et une fraction fonctionne :
Cette notation peut être comprise comme prenant la moitié de un. Par exemple, s'il y a 1 pizza entière et qu'on en prend la moitié, alors on aura une pizza :
Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression
Multipliez le numérateur de la fraction par 4
La réponse était une fraction impropre. Soulignons toute cette partie :
L'expression peut être comprise comme prenant deux quarts 4 fois. Par exemple, si vous prenez 4 pizzas, vous obtiendrez deux pizzas entières
Et si on échange le multiplicande et le multiplicateur, on obtient l’expression . Elle sera également égale à 2. Cette expression peut être comprise comme prenant deux pizzas sur quatre pizzas entières :
Multiplier des fractions
Pour multiplier des fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs. Si la réponse s’avère être une fraction impropre, vous devez en souligner toute la partie.
Exemple 1. Trouvez la valeur de l'expression.
Nous avons reçu une réponse. Il est conseillé de réduire cette fraction. La fraction peut être réduite de 2. La solution finale prendra alors la forme suivante :
L'expression peut être comprise comme prenant une pizza sur une moitié de pizza. Disons que nous mangeons une demi-pizza :
Comment prélever les deux tiers de cette moitié ? Vous devez d’abord diviser cette moitié en trois parties égales :
Et prenez-en deux parmi ces trois pièces :
Nous ferons des pizzas. Rappelez-vous à quoi ressemble la pizza lorsqu'elle est divisée en trois parties :
Un morceau de cette pizza et les deux morceaux que nous avons pris auront les mêmes dimensions :
En d’autres termes, nous parlons d’une pizza de même taille. La valeur de l’expression est donc
Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression
Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction :
La réponse était une fraction impropre. Soulignons toute cette partie :
Exemple 3. Trouver la valeur d'une expression
Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction :
La réponse s'est avérée être une fraction régulière, mais ce serait bien si elle était raccourcie. Pour réduire cette fraction, il faut diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le plus grand diviseur commun(PGCD) numéros 105 et 450.
Trouvons donc le pgcd des nombres 105 et 450 :
Maintenant, nous divisons le numérateur et le dénominateur de notre réponse par le pgcd que nous avons maintenant trouvé, c'est-à-dire par 15
Représenter un nombre entier sous forme de fraction
Tout nombre entier peut être représenté sous forme de fraction. Par exemple, le chiffre 5 peut être représenté par . Cela ne changera pas le sens de cinq, puisque l'expression signifie « le nombre cinq divisé par un », et celui-ci, comme nous le savons, est égal à cinq :
Nombres réciproques
Maintenant, nous allons faire connaissance avec très sujet intéressant en mathématiques. C'est ce qu'on appelle des « numéros inversés ».
Définition. Inverser le numéroun est un nombre qui, multiplié parun en donne un.
Remplaçons dans cette définition la variable un numéro 5 et essayez de lire la définition :
Inverser le numéro 5 est un nombre qui, multiplié par 5 en donne un.
Est-il possible de trouver un nombre qui, multiplié par 5, donne un ? Il s'avère que c'est possible. Imaginons cinq sous forme de fraction :
Multipliez ensuite cette fraction par elle-même, échangez simplement le numérateur et le dénominateur. En d’autres termes, multiplions la fraction par elle-même, uniquement à l’envers :
Que se passera-t-il à la suite de cela ? Si nous continuons à résoudre cet exemple, nous obtenons un :
Cela signifie que l’inverse du nombre 5 est le nombre , puisque lorsque vous multipliez 5 par vous obtenez un.
L’inverse d’un nombre peut également être trouvé pour tout autre nombre entier.
Vous pouvez également trouver l’inverse de toute autre fraction. Pour ce faire, retournez-le simplement.
Diviser une fraction par un nombre
Disons que nous mangeons une demi-pizza :
Divisons-le également entre deux. Quelle quantité de pizza chaque personne recevra-t-elle ?
On constate qu'après avoir divisé la moitié de la pizza, on obtient deux morceaux égaux dont chacun constitue une pizza. Donc tout le monde aura une pizza.
La division des fractions se fait à l'aide d'inverses. Les nombres réciproques vous permettent de remplacer la division par la multiplication.
Pour diviser une fraction par un nombre, vous devez multiplier la fraction par l’inverse du diviseur.
En utilisant cette règle, nous écrirons la division de notre moitié de pizza en deux parties.
Vous devez donc diviser la fraction par le nombre 2. Ici, le dividende est la fraction et le diviseur est le nombre 2.
Pour diviser une fraction par le nombre 2, vous devez multiplier cette fraction par l'inverse du diviseur 2. L'inverse du diviseur 2 est la fraction. Il faut donc multiplier par
) et dénominateur par dénominateur (on obtient le dénominateur du produit).
Formule pour multiplier des fractions :
Par exemple:
Avant de commencer à multiplier les numérateurs et les dénominateurs, vous devez vérifier si la fraction peut être réduite. Si vous parvenez à réduire la fraction, il vous sera plus facile de faire d'autres calculs.
Diviser une fraction commune par une fraction.
Division de fractions impliquant des nombres naturels.
Ce n'est pas aussi effrayant qu'il y paraît. Comme dans le cas de l’addition, on convertit l’entier en une fraction avec un au dénominateur. Par exemple:
Multiplier des fractions mixtes.
Règles de multiplication des fractions (mixtes) :
- convertir des fractions mixtes en fractions impropres ;
- multiplier les numérateurs et les dénominateurs de fractions ;
- réduire la fraction;
- Si vous obtenez une fraction impropre, nous convertissons la fraction impropre en fraction mixte.
Faites attention! Multiplier fraction mixte en une autre fraction mixte, vous devez d'abord les convertir sous forme de fractions impropres, puis multiplier selon la règle de multiplication fractions ordinaires.
La deuxième façon de multiplier une fraction par un nombre naturel.
Il peut être plus pratique d'utiliser la deuxième méthode pour multiplier une fraction commune par un nombre.
Faites attention! Multiplier une fraction par nombre naturel Il faut diviser le dénominateur de la fraction par ce nombre, et laisser le numérateur inchangé.
D'après l'exemple donné ci-dessus, il est clair que cette option est plus pratique à utiliser lorsque le dénominateur d'une fraction est divisé sans reste par un nombre naturel.
Fractions à plusieurs étages.
Au lycée, on rencontre souvent des fractions de trois étages (ou plus). Exemple:
Pour ramener une telle fraction à sa forme habituelle, utilisez la division par 2 points :
Faites attention! Lors de la division de fractions, l’ordre de division est très important. Attention, il est facile de se tromper ici.
Veuillez noter Par exemple:
En divisant un par n'importe quelle fraction, le résultat sera la même fraction, seulement inversée :
Conseils pratiques pour multiplier et diviser des fractions :
1. La chose la plus importante lorsque l’on travaille avec des expressions fractionnaires est la précision et l’attention. Effectuez tous les calculs avec soin et précision, de manière concentrée et claire. Il vaut mieux écrire quelques lignes supplémentaires dans son brouillon plutôt que de se perdre dans des calculs mentaux.
2. Dans les tâches avec différents types fractions - passez à la forme de fractions ordinaires.
3. Nous réduisons toutes les fractions jusqu'à ce qu'il ne soit plus possible de réduire.
4. À plusieurs étages expressions fractionnaires nous les mettons sous forme ordinaire, en utilisant la division en 2 points.
5. Divisez une unité par une fraction dans votre tête, en retournant simplement la fraction.
Dans cet article, nous verrons comment division de nombres fractionnaires. Tout d'abord, décrivons la règle de division des nombres fractionnaires et envisageons des solutions à l'aide d'exemples. Nous nous concentrerons ensuite sur la division d’un nombre fractionnaire par un nombre naturel et sur la division d’un nombre naturel par un nombre fractionnaire. En conclusion, voyons comment diviser un nombre fractionnaire par une fraction commune.
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Diviser un nombre fractionnaire par un nombre fractionnaire
Division de nombres fractionnaires peut être réduit à diviser des fractions ordinaires. Pour ce faire, il suffit de convertir les nombres fractionnaires en fractions impropres.
Écrivons-le règle pour diviser les nombres fractionnaires: pour diviser un nombre fractionnaire par un nombre fractionnaire, il faut :
- divisez les fractions ordinaires correspondantes.
Reste à regarder un exemple de division de nombres fractionnaires.
Exemple.
Quel est le résultat de la division d’un nombre fractionnaire par un nombre fractionnaire ?
Solution.
Pour réduire la division des nombres fractionnaires à la division des fractions ordinaires, on convertit les nombres fractionnaires en fractions impropres, on obtient 
Et 
.
Ainsi, 
. Utilisons maintenant la règle pour diviser les fractions ordinaires : 
. A ce stade, vous pouvez réduire la fraction : . Ceci termine la division des nombres fractionnaires.
Répondre:
.
Diviser un nombre fractionnaire par un nombre naturel
Diviser un nombre fractionnaire par un nombre naturel conduit à la division d’une fraction ordinaire par un nombre naturel. Pour ce faire, il suffit de convertir le nombre fractionnaire divisé en une fraction impropre.
Exemple.
Divisez le nombre fractionnaire par l'entier naturel 75.
Solution.
On passe d’abord d’un nombre fractionnaire à une fraction impropre : 
, Alors 
. Il reste à diviser la fraction ordinaire par un nombre naturel : 
. Après réduction, nous obtenons la fraction 1/20, qui est le quotient de la division d'un nombre fractionnaire par l'entier naturel 75.
Répondre:
Diviser un nombre naturel par un nombre fractionnaire
Diviser un nombre naturel par un nombre fractionnaire après avoir remplacé un nombre fractionnaire par une fraction impropre, cela se réduit à diviser un nombre naturel par une fraction commune. Pour plus de clarté, regardons la solution de l'exemple.
Exemple.
Divisez l'entier naturel 40 par un nombre fractionnaire.
Solution.
Tout d’abord, représentons le nombre fractionnaire comme une fraction impropre : 
.
Maintenant on peut passer à la division, on obtient . La fraction résultante est irréductible (voir fractions réductibles et irréductibles), mais impropre, nous devons donc en séparer la partie entière, nous avons . Ceci termine la division d'un nombre naturel par un nombre fractionnaire.
La dernière fois, nous avons appris à additionner et soustraire des fractions (voir la leçon « Additionner et soustraire des fractions »). La partie la plus difficile de ces actions consistait à amener les fractions à un dénominateur commun.
Il est maintenant temps de s'occuper de la multiplication et de la division. La bonne nouvelle est que ces opérations sont encore plus simples que l’addition et la soustraction. Tout d'abord, regardons cas le plus simple, lorsqu'il y a deux fractions positives sans partie entière séparée.
Pour multiplier deux fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs séparément. Le premier nombre sera le numérateur de la nouvelle fraction et le second sera le dénominateur.
Pour diviser deux fractions, vous devez multiplier la première fraction par la deuxième fraction « inversée ».
Désignation:
De la définition, il résulte que la division de fractions se réduit à la multiplication. Pour « retourner » une fraction, échangez simplement le numérateur et le dénominateur. Par conséquent, tout au long de la leçon, nous considérerons principalement la multiplication.
À la suite de la multiplication, une fraction réductible peut apparaître (et apparaît souvent) - elle doit bien sûr être réduite. Si après toutes les réductions la fraction s'avère incorrecte, la partie entière doit être mise en évidence. Mais ce qui n'arrivera certainement pas avec la multiplication, c'est la réduction à un dénominateur commun : pas de méthodes croisées, de plus grands facteurs et de plus petits multiples communs.
Par définition nous avons :
Multiplier des fractions par des parties entières et des fractions négatives
Si les fractions contiennent une partie entière, elles doivent être converties en fractions impropres - et ensuite seulement multipliées selon les schémas décrits ci-dessus.
S'il y a un moins au numérateur d'une fraction, au dénominateur ou devant celui-ci, il peut être retiré de la multiplication ou supprimé complètement selon les règles suivantes :
- Plus par moins donne moins ;
- Deux négatifs font un affirmatif.
Jusqu'à présent, ces règles n'étaient rencontrées que lors de l'addition et de la soustraction de fractions négatives, lorsqu'il fallait se débarrasser de la partie entière. Pour un ouvrage, ils peuvent être généralisés afin de « brûler » plusieurs inconvénients à la fois :
- On raye les négatifs par paires jusqu'à ce qu'ils disparaissent complètement. Dans des cas extrêmes, un moins peut survivre - celui pour lequel il n'y avait pas de correspondance ;
- S'il ne reste plus d'inconvénients, l'opération est terminée - vous pouvez commencer à multiplier. Si le dernier moins n’est pas barré parce qu’il n’y avait pas de paire, on le sort des limites de la multiplication. Le résultat est une fraction négative.
Tâche. Trouvez le sens de l’expression :
Nous convertissons toutes les fractions en fractions impropres, puis retirons les moins de la multiplication. On multiplie ce qui reste selon les règles habituelles. On obtient :
Permettez-moi de vous rappeler encore une fois que le moins qui apparaît devant une fraction avec une partie entière en surbrillance fait spécifiquement référence à la fraction entière, et pas seulement à sa partie entière (cela s'applique aux deux derniers exemples).
Faites également attention aux nombres négatifs : lors de la multiplication, ils sont mis entre parenthèses. Ceci est fait afin de séparer les moins des signes de multiplication et de rendre l'ensemble de la notation plus précise.
Réduire les fractions à la volée
La multiplication est une opération très laborieuse. Les nombres ici s'avèrent assez grands, et pour simplifier le problème, vous pouvez essayer de réduire davantage la fraction avant la multiplication. En effet, par essence, les numérateurs et les dénominateurs des fractions sont des facteurs ordinaires et, par conséquent, ils peuvent être réduits en utilisant la propriété fondamentale d'une fraction. Jetez un œil aux exemples :
Tâche. Trouvez le sens de l’expression :
Par définition nous avons :
Dans tous les exemples, les chiffres réduits et ce qui en reste sont marqués en rouge.
Attention : dans le premier cas, les multiplicateurs ont été complètement réduits. A leur place restent des unités qui, en général, n'ont pas besoin d'être écrites. Dans le deuxième exemple réduction complète Il n’a pas été possible d’y parvenir, mais le nombre total de calculs a encore diminué.
Cependant, n’utilisez jamais cette technique pour additionner et soustraire des fractions ! Oui, il existe parfois des chiffres similaires que vous souhaitez simplement réduire. Tiens, regarde :
Vous ne pouvez pas faire ça !
L'erreur est due au fait que lors de l'addition du numérateur d'une fraction, la somme apparaît, et non le produit des nombres. Par conséquent, il est impossible d’appliquer la propriété fondamentale d’une fraction, puisque cette propriété concerne spécifiquement la multiplication des nombres.
Il n'y a tout simplement aucune autre raison de réduire les fractions, donc la bonne décision la tâche précédente ressemble à ceci :
Bonne solution :
Comme vous pouvez le constater, la bonne réponse s’est avérée moins belle. En général, soyez prudent.