Quel est le dénominateur commun des fractions ? Réduire les fractions à un dénominateur commun

26.09.2019

Au départ, je voulais inclure des méthodes de conversion dénominateur commun dans la section « Addition et soustraction de fractions ». Mais il s'est avéré qu'il y avait tellement d'informations et leur importance est si grande (après tout, les fractions numériques ne sont pas les seules à avoir des dénominateurs communs) qu'il est préférable d'étudier cette question séparément.

Disons donc que nous avons deux fractions avec différents dénominateurs. Et nous voulons nous assurer que les dénominateurs deviennent les mêmes. La propriété fondamentale d'une fraction vient à la rescousse, qui, je vous le rappelle, ressemble à ceci :

Une fraction ne changera pas si son numérateur et son dénominateur sont multipliés par le même nombre autre que zéro.

Ainsi, si vous choisissez correctement les facteurs, les dénominateurs des fractions deviendront égaux - ce processus est appelé réduction à un dénominateur commun. Et les nombres requis, « égalisant » les dénominateurs, sont appelés facteurs supplémentaires.

Pourquoi devons-nous réduire les fractions à un dénominateur commun ? Voici quelques raisons :

Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs. Il n'existe pas d'autre moyen d'effectuer cette opération ;
Comparer des fractions. Parfois, la réduction à un dénominateur commun simplifie grandement cette tâche ;
Résoudre des problèmes impliquant des fractions et des pourcentages. Pourcentages sont, en fait, des expressions ordinaires contenant des fractions.

Il existe de nombreuses façons de trouver des nombres qui, une fois multipliés par eux, rendront les dénominateurs des fractions égaux. Nous n'en considérerons que trois - par ordre croissant de complexité et, en un sens, d'efficacité.

Multiplication entrecroisée

Le plus simple et manière fiable, ce qui garantit l'égalisation des dénominateurs. Nous agirons « à corps perdu » : nous multiplions la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction, et la seconde par le dénominateur de la première. En conséquence, les dénominateurs des deux fractions deviendront égaux au produit des dénominateurs d’origine. Regarde:

Comme facteurs supplémentaires, considérons les dénominateurs des fractions voisines. On a:

Oui, c'est aussi simple que cela. Si vous commencez tout juste à étudier les fractions, il est préférable de travailler en utilisant cette méthode - de cette façon, vous vous assurerez contre de nombreuses erreurs et serez assuré d'obtenir le résultat.

Le seul inconvénient de cette méthode est qu'il faut faire beaucoup de comptages, car les dénominateurs sont multipliés « encore et encore », et le résultat peut être très gros chiffres. C'est le prix à payer pour la fiabilité.

Méthode du diviseur commun

Cette technique permet de réduire considérablement les calculs, mais, malheureusement, elle est assez rarement utilisée. La méthode est la suivante :

Avant d’aller tout droit (c’est-à-dire en utilisant la méthode entrecroisée), jetez un œil aux dénominateurs. Peut-être que l'un d'eux (celui qui est le plus grand) est divisé en un autre.
Le nombre résultant de cette division sera un facteur supplémentaire pour la fraction ayant un plus petit dénominateur.
Dans ce cas, une fraction avec un grand dénominateur n'a pas besoin d'être multipliée par quoi que ce soit - c'est là que résident les économies. Dans le même temps, la probabilité d’erreur est considérablement réduite.

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 84 : 21 = 4 ; 72 : 12 = 6. Puisque dans les deux cas un dénominateur est divisé sans reste par l'autre, nous utilisons la méthode des facteurs communs. Nous avons:

Notez que la deuxième fraction n’a été multipliée par rien du tout. En fait, nous avons réduit de moitié la quantité de calcul !

D’ailleurs, je n’ai pas pris les fractions de cet exemple par hasard. Si cela vous intéresse, essayez de les compter en utilisant la méthode entrecroisée. Après réduction, les réponses seront les mêmes, mais il y aura beaucoup plus de travail.

C'est là toute la puissance de la méthode des diviseurs communs, mais, encore une fois, elle ne peut être utilisée que lorsque l'un des dénominateurs est divisible par l'autre sans reste. Ce qui arrive assez rarement.

Réduire les fractions au plus petit dénominateur commun, règles, exemples, solutions.

Cet article explique comment trouver le plus petit dénominateur commun Et comment réduire des fractions à un dénominateur commun.

Tout d'abord, les définitions du dénominateur commun des fractions et du plus petit dénominateur commun sont données, et il est montré comment trouver le dénominateur commun des fractions. Vous trouverez ci-dessous une règle pour réduire les fractions à un dénominateur commun et des exemples d'application de cette règle sont considérés. En conclusion, des exemples permettant de ramener trois fractions ou plus à un dénominateur commun sont discutés.

Qu’appelle-t-on réduire des fractions à un dénominateur commun ?

Si fractions communes ont des dénominateurs égaux, alors ces fractions sont dites réduit à un dénominateur commun.

Ainsi, les fractions 45/76 et 143/76 sont réduites à un dénominateur commun de 76, et les fractions 1/3, 3/3, 17/3 et 1 000/3 sont réduites à un dénominateur commun de 3.

Si les dénominateurs des fractions ne sont pas égaux, ces fractions peuvent toujours être réduites à un dénominateur commun en multipliant leur numérateur et leur dénominateur par certains facteurs supplémentaires.

Par exemple, les fractions ordinaires 2/5 et 7/4 à l'aide des facteurs supplémentaires 4 et 5, respectivement, sont réduites à un dénominateur commun 20. En effet, en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction 2/5 par 4, on obtient la fraction 8/20, et en multipliant les fractions du numérateur et du dénominateur 7/4 par 5, on arrive à la fraction 35/20 (voir amener les fractions à un nouveau dénominateur).

Nous pouvons maintenant dire ce que signifie réduire des fractions à un dénominateur commun. Réduire les fractions à un dénominateur commun- Il s'agit de la multiplication des numérateurs et des dénominateurs de fractions données par des facteurs supplémentaires tels que le résultat est des fractions avec les mêmes dénominateurs.

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Dénominateur commun, définition, exemples

Il est maintenant temps de définir le dénominateur commun des fractions.

En d’autres termes, le dénominateur commun d’un certain ensemble de fractions ordinaires est n’importe quel entier naturel, qui est divisible par tous les dénominateurs de ces fractions.

De la définition énoncée, il s'ensuit qu'un ensemble donné de fractions a une infinité de dénominateurs communs, puisqu'il existe un nombre infini de multiples communs de tous les dénominateurs de l'ensemble original de fractions.

Les multiples communs positifs de 4 et 6 sont 12, 24, 36, 48, ... Chacun de ces nombres est un dénominateur commun des fractions 1/4 et 5/6.

Pour consolider le matériel, considérons la solution de l’exemple suivant.

Les fractions 2/3, 23/6 et 7/12 peuvent-elles être réduites à un dénominateur commun de 150 ?

Pour répondre à la question posée, il faut savoir si le nombre 150 est un multiple commun des dénominateurs 3, 6 et 12. Pour ce faire, nous vérifierons si 150 est divisible par chacun de ces nombres (si nécessaire, voir la règles et exemples de division des nombres naturels, ainsi que les règles et exemples de division des nombres naturels avec un reste) : 150:3=50, 150:6=25, 150:12=12 (rest.

Ainsi, 150 n'est pas divisible par 12, donc 150 n'est pas un multiple commun de 3, 6 et 12. Par conséquent, le nombre 150 ne peut pas être un dénominateur commun des fractions originales.

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Plus petit dénominateur commun, comment le trouver ?

Dans l’ensemble des nombres qui sont les dénominateurs communs de fractions données, il existe un plus petit nombre naturel, appelé plus petit dénominateur commun.

Formulons la définition du plus petit dénominateur commun de ces fractions.

Reste à résoudre la question de savoir comment trouver le plus petit diviseur commun.

Puisque le plus petit commun multiple est le plus petit positif diviseur commun d'un ensemble de nombres donné, alors le LCM des dénominateurs des fractions données est le plus petit dénominateur commun des fractions données.

Ainsi, trouver le plus petit dénominateur commun des fractions revient à trouver le LCM des dénominateurs de ces fractions.

Regardons la solution de l'exemple.

Trouvez le plus petit dénominateur commun des fractions 3/10 et 277/28.

Les dénominateurs de ces fractions sont 10 et 28. Le plus petit dénominateur commun souhaité est le LCM des nombres 10 et 28. Dans notre cas, il est facile de trouver le LCM en décomposant les nombres en facteurs premiers: puisque 10=2·5, et 28=2·2·7, alors LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.

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Comment réduire des fractions à un dénominateur commun ? Règle, exemples, solutions

Les fractions communes aboutissent généralement à un plus petit dénominateur commun.

Nous allons maintenant écrire une règle qui explique comment réduire les fractions à leur plus petit dénominateur commun.

Règle pour réduire les fractions au plus petit dénominateur commun se compose de trois étapes :

Tout d’abord, trouvez le plus petit dénominateur commun des fractions.
Deuxièmement, un facteur supplémentaire est calculé pour chaque fraction en divisant le plus petit dénominateur commun par le dénominateur de chaque fraction.
Troisièmement, le numérateur et le dénominateur de chaque fraction sont multipliés par son facteur supplémentaire.

Appliquons la règle énoncée pour résoudre l’exemple suivant.

Réduisez les fractions 5/14 et 7/18 à leur plus petit dénominateur commun.

Effectuons toutes les étapes de l'algorithme de réduction des fractions au plus petit dénominateur commun.

Tout d'abord, on trouve le plus petit dénominateur commun, qui est égal au plus petit commun multiple des nombres 14 et 18. Puisque 14=2·7 et 18=2·3·3, alors LCM(14, 18)=2·3 ·3·7=126.

Nous calculons maintenant des facteurs supplémentaires à l'aide desquels les fractions 5/14 et 7/18 seront réduites à un dénominateur de 126. Pour la fraction 5/14, le facteur supplémentaire est 126:14=9, et pour la fraction 7/ 18, le facteur supplémentaire est 126:18=7 .

Il reste à multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions 5/14 et 7/18 par des facteurs supplémentaires 9 et 7, respectivement.

Nous avons Et .

Ainsi, la réduction des fractions 5/14 et 7/18 au plus petit dénominateur commun est terminée.

Les fractions résultantes étaient 45/126 et 49/126.

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Réduire trois fractions ou plus au plus petit dénominateur commun

La règle du paragraphe précédent permet de réduire non seulement deux fractions, mais aussi trois fractions, et plus, au plus petit dénominateur commun.

Regardons l'exemple de solution.

Réduisez les quatre fractions communes 3/2, 5/6, 3/8 et 17/18 à leur plus petit dénominateur commun.

Le plus petit dénominateur commun de ces fractions est égal au plus petit commun multiple des nombres 2, 6, 8 et 18. Pour trouver le LCM(2, 6, 8, 18), nous utilisons les informations de la section Trouver le LCM de trois ou plusieurs numéros.

On obtient LCM(2, 6)=6, LCM(6, 8)=24, enfin LCM(24, 18)=72, donc LCM(2, 6, 8, 18)=72. Le plus petit dénominateur commun est donc 72.

Maintenant, nous calculons des facteurs supplémentaires. Pour la fraction 3/2 le facteur supplémentaire est 72:2=36, pour la fraction 5/6 il est 72:6=12, pour la fraction 3/8 le facteur supplémentaire est 72:8=9 et pour la fraction 17/18 c'est 72 :18=4.

Réduire les fractions à un dénominateur commun

Il reste une dernière étape pour réduire les fractions originales au plus petit dénominateur commun : .

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Dénominateur commun est un multiple commun positif de tous les dénominateurs de ces fractions.

Plus petit dénominateur commun- Ce le plus petit nombre, de tous les dénominateurs communs de ces fractions.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathématiques : manuel pour la 5e année. les établissements d'enseignement.
Vilenkin N.Ya. et d'autres. 6e année : manuel pour les établissements d'enseignement général.

Dénominateur commun des fractions communes

Si des fractions ordinaires ont les mêmes dénominateurs, alors ces fractions ont un dénominateur commun. Par exemple,

ils ont un dénominateur commun.

Dénominateur commun Il s'agit d'un nombre qui est le dénominateur de deux ou plusieurs fractions régulières.

Les fractions ayant des dénominateurs différents peuvent être réduites à un dénominateur commun.

Fournir des fractions avec un dénominateur commun

Fournir des fractions avec un dénominateur commun Le remplacement de ces fractions par des dénominateurs différents revient-il aux mêmes fractions avec les mêmes dénominateurs ?

Les fractions peuvent simplement être réduites à un dénominateur commun ou au plus petit dénominateur commun.

Plus petit dénominateur commun C'est le plus petit dénominateur commun de ces fractions.

Dénominateur commun des factions sur Internet

Pour donner aux fractions le plus petit dénominateur commun, il vous faut :

Si possible, effectuez une réduction de fraction.
Trouvez les plus petits catalogues communs de ces fractions. La CNP sera leur plus petit dénominateur commun.
Divisez le LCM par les dénominateurs de ces fractions. Cette mesure trouve un facteur supplémentaire pour chacune de ces fractions. Coefficient supplémentaire Est-ce un nombre qui nécessite de multiplier les membres d’une fraction pour la ramener à un dénominateur commun ?
Multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par facteur supplémentaire.

Exemple.

1) Trouvez les noms CNO de ces factions :

CNP(8, 12) = 24

2) Des facteurs supplémentaires ont été trouvés :

24 : 8 = 3 (pour ) et 24 : 12 = 2 (pour )

3) Multipliez les membres de chaque faction par un facteur supplémentaire :

La diminution du dénominateur commun peut s'écrire sous une forme plus courte en précisant un facteur supplémentaire en plus du compteur de chaque fraction (en haut à droite ou en haut à gauche) et en ne notant pas les calculs intermédiaires :

Le dénominateur commun peut être réduit plus facilement en multipliant les membres de la première fraction par la deuxième part immanente et les membres de la deuxième fraction par le dénominateur de la première.

Exemple. Obtenez le dénominateur commun des fractions et :

Le produit de leurs dénominateurs peut être considéré comme le dénominateur commun des fractions.

La réduction de fractions à un dénominateur commun est utilisée pour additionner, soustraire et comparer des fractions avec des dénominateurs différents.

Calculateur de réduction au dénominateur commun

Cette calculatrice vous aidera à réduire les fractions communes au plus petit dénominateur commun.

Entrez simplement deux fractions et cliquez.

5.4.5. Exemples de conversion de fractions au plus petit dénominateur commun

Le plus petit dénominateur commun des fractions continues est le plus petit dénominateur commun de ces fractions. ( voir section "Trouver le plus petit commun multiple" : 5.3.5. Trouvez le plus petit nombre de multiples (NOC) des nombres donnés).

Pour réduire la fraction du plus petit dénominateur commun, vous devez : 1) trouver le plus petit commun multiple des dénominateurs de ces fractions, et ce sera le plus petit dénominateur commun.

2) trouve un coefficient supplémentaire pour chacune des fractions, pour lequel un nouveau dénominateur est distribué avec le nom de chaque fraction. 3) multiplier le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par un facteur supplémentaire.

Exemples. Réduire les fractions suivantes au plus petit dénominateur commun.

On trouve le plus petit dénominateur commun à plusieurs chiffres : LCM (5 ; 4) = 20, puisque 20 est le plus petit nombre divisé par 5 et 4.

Pour la première partie, un coefficient supplémentaire de 4 (20 : 5 = 4). Pour la deuxième fraction il y a un coefficient supplémentaire de 5 (20 : 4 = 5). Multipliez le nombre et le dénominateur de la première fraction par 4, et le compteur et le dénominateur de la deuxième fraction par 5.

20 ).

Le plus petit dénominateur commun de ces fractions est le nombre 8, puisqu'il est divisible par 4 et en interne.

Pour la première fraction il n'y a pas de facteur supplémentaire (ou on peut dire qu'il est égal à un), le deuxième facteur est un facteur supplémentaire 2 (8 : 4 = 2). Multipliez le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par 2.

Calculateur en ligne. Fournir des fractions avec un dénominateur commun

Nous avons réduit ces fractions au plus petit dénominateur commun ( 8ème place).

Ces factions ne sont pas intolérables.

La première faction a été réduite de 4, et la deuxième faction a été réduite de 2. (Voir Exemples de réduction de factions communes : Plan du site → 5.4.2.

Exemples de réduction de fractions communes). Trouve CNO (16 ; 20) = 24· 5 = 16· 5 = 80. Un facteur supplémentaire pour la 1ère fraction est 5 (80 : 16 = 5). Un facteur supplémentaire pour la deuxième fraction est 4 (80 : 20 = 4).

On multiplie le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 5, et le compteur et le dénominateur de la deuxième fraction par 4. L'information fractionnaire a été donnée au plus petit dénominateur commun ( 80 ).

Trouvez le plus petit dénominateur commun des NOx (5 ; 6 et 15) = NOK (5 ; 6 et 15) = 30. Un facteur supplémentaire pour la première fraction est 6 (30 : 5 = 6), est un facteur supplémentaire dans la deuxième partie de 5 (30 : 6 = 5), est un facteur supplémentaire pour la troisième fraction 2 (30 : 15 = 2).

Le compte et le dénominateur de la première fraction sont multipliés par 6, le compte et le dénominateur de la deuxième fraction par 5 et le compte et le dénominateur de la troisième fraction par 2. Les données partielles ont reçu le plus petit dénominateur commun. 30 ).

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Plus petit dénominateur commun.

Quel est le plus petit dénominateur commun ?

Définition:
Plus petit dénominateur commun est le plus petit nombre positif multiple des dénominateurs de ces fractions.

Comment réduire au plus petit commun dénominateur ? Pour répondre à cette question, prenons un exemple :

Réduisez les fractions ayant des dénominateurs différents à leur plus petit dénominateur commun.

Solution:
Pour trouver le plus petit dénominateur commun, vous devez trouver le plus petit commun multiple (LCM) des dénominateurs de ces fractions.

La première fraction a un dénominateur de 20 ; factorisons-la en facteurs premiers.
20=2⋅5⋅2

Décomposons également le deuxième dénominateur de la fraction 14 en facteurs premiers.
14=7⋅2

CNP(14,20)= 2⋅5⋅2⋅7=140

Réponse : Le plus petit dénominateur commun serait 140.

Comment réduire une fraction à un dénominateur commun ?

Vous devez multiplier la première fraction \(\frac(1)(20)\) par 7 pour obtenir un dénominateur de 140.

\(\frac(1)(20)=\frac(1 \times 7)(20 \times 7)=\frac(7)(140)\)
Et multipliez la deuxième fraction par 10.

\(\frac(3)(14)=\frac(3 \times 10)(14 \times 10)=\frac(30)(140)\)

Règles ou algorithme pour réduire les fractions à un dénominateur commun.

Algorithme de réduction des fractions au plus petit dénominateur commun :

Vous devez factoriser les dénominateurs des fractions en facteurs premiers.
Nous devons trouver le plus petit commun multiple (LCM) pour les dénominateurs de ces fractions.
Réduisez les fractions à un dénominateur commun, c'est-à-dire multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par un facteur.

Dénominateur commun à plusieurs fractions.

Comment trouver le dénominateur commun de plusieurs fractions ?

Regardons un exemple :
Trouver le plus petit dénominateur commun pour les fractions \(\frac(2)(11), \frac(1)(15), \frac(3)(22)\)

Solution:
Factorisons les dénominateurs 11, 15 et 22 en facteurs premiers.

Le nombre 11 est déjà un nombre simple en soi, il n’est donc pas nécessaire de le décrire.
Développons le nombre 15=5⋅3
Développons le nombre 22=11⋅2

Trouvez le plus petit commun multiple (LCM) des dénominateurs 11, 15 et 22.
LCM(11, 15, 22)=11⋅2⋅5⋅3=330

Nous avons trouvé le plus petit dénominateur commun à ces fractions. Ramenons maintenant ces fractions \(\frac(2)(11), \frac(1)(15), \frac(3)(22)\) à un dénominateur commun égal à 330.

\(\begin(aligner)
\frac(2)(11)=\frac(2 \times 30)(11 \times 30)=\frac(60)(330) \\\\
\frac(1)(15)=\frac(1 \times 22)(15 \times 22)=\frac(22)(330) \\\\
\frac(3)(22)=\frac(3 \times 15)(22 \times 15)=\frac(60)(330) \\\\
\fin(aligner)\)

Au départ, je voulais inclure des techniques de dénominateur commun dans la section Ajout et soustraction de fractions. Mais il s'est avéré qu'il y avait tellement d'informations et leur importance est si grande (après tout, les fractions numériques ne sont pas les seules à avoir des dénominateurs communs) qu'il est préférable d'étudier cette question séparément.

Supposons donc que nous ayons deux fractions avec des dénominateurs différents. Et nous voulons nous assurer que les dénominateurs deviennent les mêmes. La propriété fondamentale d'une fraction vient à la rescousse, qui, je vous le rappelle, ressemble à ceci :

Une fraction ne changera pas si son numérateur et son dénominateur sont multipliés par le même nombre autre que zéro.

Pourquoi devons-nous réduire les fractions à un dénominateur commun ? Voici quelques raisons :

Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs. Il n'existe pas d'autre moyen d'effectuer cette opération ;
Comparer des fractions. Parfois, la réduction à un dénominateur commun simplifie grandement cette tâche ;
Résoudre des problèmes impliquant des fractions et des pourcentages. Les pourcentages sont essentiellement des expressions ordinaires contenant des fractions.

Multiplication entrecroisée

La méthode la plus simple et la plus fiable, qui garantit l'égalisation des dénominateurs. Nous agirons « à corps perdu » : nous multiplions la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction, et la seconde par le dénominateur de la première. En conséquence, les dénominateurs des deux fractions deviendront égaux au produit des dénominateurs d’origine. Regarde:

Comme facteurs supplémentaires, considérons les dénominateurs des fractions voisines. On a:

Le seul inconvénient de cette méthode est qu'il faut compter beaucoup, car les dénominateurs sont multipliés « jusqu'au bout », et le résultat peut être de très grands nombres. C'est le prix à payer pour la fiabilité.

Méthode du diviseur commun

Cette technique permet de réduire considérablement les calculs, mais, malheureusement, elle est assez rarement utilisée. La méthode est la suivante :

Avant d’aller tout droit (c’est-à-dire en utilisant la méthode entrecroisée), jetez un œil aux dénominateurs. Peut-être que l'un d'eux (celui qui est le plus grand) est divisé en un autre.
Le nombre résultant de cette division sera un facteur supplémentaire pour la fraction ayant un plus petit dénominateur.
Dans ce cas, une fraction avec un grand dénominateur n'a pas besoin d'être multipliée par quoi que ce soit - c'est là que résident les économies. Dans le même temps, la probabilité d’erreur est considérablement réduite.

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 84 : 21 = 4 ; 72 : 12 = 6. Puisque dans les deux cas un dénominateur est divisé sans reste par l'autre, nous utilisons la méthode des facteurs communs. Nous avons:

Notez que la deuxième fraction n’a été multipliée par rien du tout. En fait, nous avons réduit de moitié la quantité de calcul !

Méthode multiple la moins courante

Lorsque nous réduisons des fractions à un dénominateur commun, nous essayons essentiellement de trouver un nombre divisible par chaque dénominateur. Ensuite, nous ramenons les dénominateurs des deux fractions à ce nombre.

Il existe de nombreux nombres de ce type, et le plus petit d'entre eux ne sera pas nécessairement égal au produit direct des dénominateurs des fractions originales, comme le suppose la méthode « entrecroisée ».

Par exemple, pour les dénominateurs 8 et 12, le nombre 24 convient tout à fait, puisque 24 : 8 = 3 ; 24 : 12 = 2. Ce nombre est beaucoup moins de produit 8 12 = 96.

Le plus petit nombre divisible par chacun des dénominateurs est appelé leur plus petit commun multiple (LCM).

Notation : Le plus petit commun multiple de a et b est noté LCM(a ; b) . Par exemple, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8 ; 12) = 24 .

Si vous parvenez à trouver un tel nombre, le nombre total de calculs sera minime. Regarde les exemples:

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 234 = 117 2 ; 351 = 117 3. Les facteurs 2 et 3 sont premiers entre eux (n'ont pas de facteur commun autre que 1) et le facteur 117 est commun. Donc LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

De même, 15 = 5 3 ; 20 = 5 · 4. Les facteurs 3 et 4 sont premiers entre eux et le facteur 5 est commun. Donc LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Ramenons maintenant les fractions aux dénominateurs communs :

Remarquez à quel point il était utile de factoriser les dénominateurs d'origine :

Ayant découvert des facteurs identiques, nous sommes immédiatement arrivés au plus petit commun multiple, ce qui, d'une manière générale, est un problème non trivial ;
À partir du développement obtenu, vous pouvez découvrir quels facteurs sont « manquants » dans chaque fraction. Par exemple, 234 · 3 = 702, donc pour la première fraction le facteur supplémentaire est 3.

Pour apprécier la différence que fait la méthode multiple la moins courante, essayez de calculer ces mêmes exemples en utilisant la méthode croisée. Bien sûr, sans calculatrice. Je pense qu'après cela, les commentaires seront inutiles.

Ne pensez pas qu'il n'y aura pas de fractions aussi complexes dans les exemples réels. Ils se rencontrent tout le temps, et les tâches ci-dessus ne sont pas la limite !

Le seul problème est de savoir comment trouver ce même NOC. Parfois, tout est trouvé en quelques secondes, littéralement « à l'œil nu », mais en général, il s'agit d'une tâche informatique complexe qui nécessite une considération distincte. Nous n’en parlerons pas ici.

Cet article explique comment trouver le plus petit dénominateur commun Et comment réduire des fractions à un dénominateur commun. Tout d'abord, les définitions du dénominateur commun des fractions et du plus petit dénominateur commun sont données, et il est montré comment trouver le dénominateur commun des fractions. Vous trouverez ci-dessous une règle pour réduire les fractions à un dénominateur commun et des exemples d'application de cette règle sont considérés. En conclusion, des exemples permettant de ramener trois fractions ou plus à un dénominateur commun sont discutés.

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Qu’appelle-t-on réduire des fractions à un dénominateur commun ?

Dénominateur commun, définition, exemples

Il est maintenant temps de définir le dénominateur commun des fractions.

En d'autres termes, le dénominateur commun d'un certain ensemble de fractions ordinaires est tout nombre naturel divisible par tous les dénominateurs de ces fractions.

Déterminer le dénominateur commun des fractions permet de trouver les dénominateurs communs de fractions données. Supposons, par exemple, que les fractions 1/4 et 5/6 aient pour dénominateurs 4 et 6, respectivement. Les multiples communs positifs des nombres 4 et 6 sont les nombres 12, 24, 36, 48, ... N'importe lequel de ces nombres est un dénominateur commun des fractions 1/4 et 5/6.

Pour consolider le matériel, considérons la solution de l’exemple suivant.

Exemple.

Les fractions 2/3, 23/6 et 7/12 peuvent-elles être réduites à un dénominateur commun de 150 ?

Solution.

Pour répondre à cette question, nous devons savoir si le nombre 150 est un multiple commun des dénominateurs 3, 6 et 12. Pour cela, vérifions si 150 est divisible par chacun de ces nombres (si nécessaire, voir règles et exemples de division des nombres naturels, et règles et exemples de division de nombres naturels avec un reste) : 150:3=50, 150:6=25, 150:12=12 (6 restants).

Donc, 150 n'est pas divisible également par 12, donc 150 n'est pas un multiple commun de 3, 6 et 12. Le nombre 150 ne peut donc pas être le dénominateur commun des fractions originales.

Répondre:

C'est interdit.

Plus petit dénominateur commun, comment le trouver ?

Dans l’ensemble des nombres qui sont les dénominateurs communs de fractions données, il y a le plus petit nombre naturel, que l’on appelle le plus petit dénominateur commun. Formulons la définition du plus petit dénominateur commun de ces fractions.

Définition.

Plus petit dénominateur commun est le plus petit nombre de tous les dénominateurs communs de ces fractions.

Reste à résoudre la question de savoir comment trouver le plus petit diviseur commun.

Puisqu'il s'agit du diviseur commun le moins positif d'un ensemble de nombres donné, le LCM des dénominateurs des fractions données représente le plus petit dénominateur commun des fractions données.

Ainsi, trouver le plus petit dénominateur commun des fractions revient aux dénominateurs de ces fractions. Regardons la solution de l'exemple.

Exemple.

Trouvez le plus petit dénominateur commun des fractions 3/10 et 277/28.

Solution.

Les dénominateurs de ces fractions sont 10 et 28. Le plus petit dénominateur commun souhaité est le LCM des nombres 10 et 28. Dans notre cas c'est simple : puisque 10=2·5, et 28=2·2·7, alors LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.

Répondre:

140 .

Comment réduire des fractions à un dénominateur commun ? Règle, exemples, solutions

Les fractions communes aboutissent généralement à un plus petit dénominateur commun. Nous allons maintenant écrire une règle qui explique comment réduire les fractions à leur plus petit dénominateur commun.

Règle pour réduire les fractions au plus petit dénominateur commun se compose de trois étapes :

Tout d’abord, trouvez le plus petit dénominateur commun des fractions.
Deuxièmement, un facteur supplémentaire est calculé pour chaque fraction en divisant le plus petit dénominateur commun par le dénominateur de chaque fraction.
Troisièmement, le numérateur et le dénominateur de chaque fraction sont multipliés par son facteur supplémentaire.

Appliquons la règle énoncée pour résoudre l’exemple suivant.

Exemple.

Réduisez les fractions 5/14 et 7/18 à leur plus petit dénominateur commun.

Solution.

Effectuons toutes les étapes de l'algorithme de réduction des fractions au plus petit dénominateur commun.

On trouve d’abord le plus petit dénominateur commun, qui est égal au plus petit commun multiple des nombres 14 et 18. Puisque 14=2·7 et 18=2·3·3, alors LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.

Nous calculons maintenant des facteurs supplémentaires à l'aide desquels les fractions 5/14 et 7/18 seront réduites au dénominateur 126. Pour la fraction 5/14, le facteur supplémentaire est 126:14=9, et pour la fraction 7/18, le facteur supplémentaire est 126:18=7.

Il reste à multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions 5/14 et 7/18 par des facteurs supplémentaires de 9 et 7, respectivement. Nous avons et .

Ainsi, la réduction des fractions 5/14 et 7/18 au plus petit dénominateur commun est terminée. Les fractions résultantes étaient 45/126 et 49/126.

Cette méthode a du sens si le degré du polynôme n'est pas inférieur à deux. Dans ce cas, le facteur commun peut être non seulement un binôme du premier degré, mais également des degrés supérieurs.

Pour trouver un point commun facteur En termes de polynôme, il est nécessaire d'effectuer un certain nombre de transformations. Le binôme ou monôme le plus simple pouvant être retiré des parenthèses sera l'une des racines du polynôme. Évidemment, dans le cas où un polynôme n'a pas de terme libre, il y aura une inconnue au premier degré - le polynôme, égal à 0.

Il est plus difficile de trouver un facteur commun lorsque le terme libre n'est pas égal à zéro. Des méthodes de sélection ou de regroupement simple sont alors applicables. Par exemple, supposons que toutes les racines du polynôme soient rationnelles et que tous les coefficients du polynôme soient des entiers : y^4 + 3 y³ – y² – 9 y – 18.

Notez tous les diviseurs entiers du terme libre. Si un polynôme a racines rationnelles, alors ils sont parmi eux. À la suite de la sélection, les racines 2 et -3 sont obtenues. Cela signifie que les facteurs communs de ce polynôme seront les binômes (y - 2) et (y + 3).

La méthode de factorisation courante est l'une des composantes de la factorisation. La méthode décrite ci-dessus est applicable si le coefficient du degré le plus élevé est 1. Si ce n'est pas le cas, il faut d'abord effectuer une série de transformations. Par exemple : 2 ans³ + 19 ans² + 41 ans + 15.

Faites une substitution de la forme t = 2³·y³. Pour cela, multipliez tous les coefficients du polynôme par 4 : 2³·y³ + 19·2²·y² + 82·2·y + 60. Après remplacement : t³ + 19·t² + 82·t + 60. Maintenant, à trouver le facteur commun, nous appliquons la méthode ci-dessus.

En plus, méthode efficace Trouver un facteur commun concerne les éléments d'un polynôme. C'est particulièrement utile lorsque la première méthode ne fonctionne pas, c'est-à-dire le polynôme n'a pas racines rationnelles. Toutefois, les regroupements ne sont pas toujours évidents. Par exemple : Le polynôme y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 n'a pas de racines entières.

Utiliser le regroupement : y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 = y^4 + 4 y³ – 2 y² + y² – 8 y – 2 = (y^4 – 2 y²) + ( 4 y³ – 8 y) + y² – 2 = (y² - 2)*(y² + 4 y + 1). Le facteur commun des éléments de ce polynôme est (y² - 2).

La multiplication et la division, tout comme l’addition et la soustraction, sont des opérations arithmétiques de base. Sans apprendre à résoudre des exemples de multiplication et de division, une personne rencontrera de nombreuses difficultés non seulement lors de l'étude de sections plus complexes des mathématiques, mais même dans les affaires quotidiennes les plus ordinaires. La multiplication et la division sont étroitement liées, et les composantes inconnues des exemples et des problèmes impliquant l'une de ces opérations sont calculées à l'aide de l'autre opération. Dans le même temps, il est nécessaire de comprendre clairement que lors de la résolution d'exemples, les objets que vous divisez ou multipliez ne font absolument aucune différence.

Tu auras besoin de

- table de multiplication;
- une calculatrice ou une feuille de papier et un crayon.

Instructions

Notez l'exemple dont vous avez besoin. Étiquetez l’inconnu facteur comme un X. Un exemple pourrait ressembler à ceci : a*x=b. Au lieu du facteur a et du produit b dans l'exemple, il peut y avoir n'importe quel nombre ou. Rappelez-vous le principe de base de la multiplication : changer la place des facteurs ne change pas le produit. Tellement inconnu facteur x peut être placé absolument n’importe où.

Pour trouver l'inconnu facteur dans un exemple où il n'y a que deux facteurs, il suffit de diviser le produit par le connu facteur. Autrement dit, cela se fait comme suit : x=b/a. Si vous avez du mal à opérer avec des quantités abstraites, essayez d’imaginer ce problème sous forme d’objets concrets. Vous, vous n’avez que des pommes et combien vous en mangerez, mais vous ne savez pas combien de pommes tout le monde aura. Par exemple, vous avez 5 membres de la famille et il y a 15 pommes. Désignez x le nombre de pommes destinées à chacun. L’équation ressemblera alors à ceci : 5(pommes)*x=15(pommes). Inconnu facteur se trouve de la même manière que dans l'équation avec des lettres, c'est-à-dire diviser 15 pommes entre cinq membres de la famille, au final il s'avère que chacun d'eux a mangé 3 pommes.

De la même manière l'inconnu est trouvé facteur avec le nombre de facteurs. Par exemple, l'exemple ressemble à a*b*c*x*=d. En théorie, trouvez avec facteur c'est possible de la même manière que dans l'exemple suivant : x=d/a*b*c. Mais l’équation peut être réduite à plus vue simple, désignant le produit de facteurs connus avec une autre lettre - par exemple, m. Trouvez à quoi m est égal en multipliant nombres a,b et c : m=a*b*c. Ensuite, l'exemple entier peut être représenté par m*x=d, et la quantité inconnue sera égale à x=d/m.

Si connu facteur et le produit sont des fractions, l'exemple est résolu exactement de la même manière que pour . Mais dans ce cas, vous devez vous souvenir des actions. Lors de la multiplication de fractions, leurs numérateurs et dénominateurs sont multipliés. Lors de la division de fractions, le numérateur du dividende est multiplié par le dénominateur du diviseur et le dénominateur du dividende est multiplié par le numérateur du diviseur. Autrement dit, dans ce cas, l'exemple ressemblera à ceci : a/b*x=c/d. Afin de trouver une quantité inconnue, vous devez diviser le produit par le connu facteur. Autrement dit, x=a/b:c/d =a*d/b*c.

Vidéo sur le sujet

note

Lors de la résolution d'exemples avec des fractions, la fraction d'un facteur connu peut simplement être inversée et l'action effectuée sous la forme d'une multiplication de fractions.

Un polynôme est la somme de monômes. Un monôme est le produit de plusieurs facteurs, qui sont un chiffre ou une lettre. Degré inconnu est le nombre de fois où il est multiplié par lui-même.

Instructions

Merci de le fournir si ce n'est pas déjà fait. Les monômes similaires sont des monômes du même type, c'est-à-dire des monômes avec les mêmes inconnues du même degré.

Prenons, par exemple, le polynôme 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y². Ce polynôme a deux inconnues : x et y.

Connectez des monômes similaires. Les monômes avec la deuxième puissance de y et la troisième puissance de x prendront la forme y²*x³, et les monômes avec la quatrième puissance de y s'annuleront. Il s'avère que y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³.

Prenez y comme principale lettre inconnue. Trouvez le degré maximum pour y inconnu. Il s'agit d'un monôme y²*x³ et, par conséquent, du degré 2.

Tirer une conclusion. Degré polynôme 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y² dans x est égal à trois, et dans y est égal à deux.

Trouver le diplôme polynôme√x+5*y par y. Il est égal au degré maximum de y, c'est-à-dire un.

Trouver le diplôme polynôme√x+5*y dans x. L'inconnu x est localisé, ce qui signifie que son degré sera une fraction. Puisque la racine est une racine carrée, la puissance de x est 1/2.

Tirer une conclusion. Pour polynôme√x+5*y la puissance x est 1/2 et la puissance y est 1.

Vidéo sur le sujet

Simplification expressions algébriques requis dans de nombreux domaines des mathématiques, y compris la résolution d'équations diplômes supérieurs, différenciation et intégration. Plusieurs méthodes sont utilisées, dont la factorisation. Pour appliquer cette méthode, vous devez trouver et faire un général facteur derrière supports.