Cet article est à propos de trouver le plus grand diviseur commun (PGCD) deux nombres ou plus. Tout d'abord, regardons l'algorithme d'Euclide ; il vous permet de trouver le pgcd de deux nombres. Après cela, nous nous concentrerons sur une méthode qui nous permet de calculer le pgcd des nombres comme le produit de leurs facteurs premiers communs. Ensuite, nous chercherons à trouver le plus grand diviseur commun de trois nombres ou plus, et donnerons également des exemples de calcul du pgcd de nombres négatifs.
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Algorithme euclidien pour trouver GCD
A noter que si l'on s'était tourné dès le début vers le tableau des nombres premiers, on aurait découvert que les nombres 661 et 113 sont des nombres premiers, d'où on pourrait immédiatement dire que leur plus grand diviseur commun est égal à 1.
Répondre:
PGCD(661, 113)=1 .
Trouver GCD en factorisant les nombres en facteurs premiers
Considérons une autre façon de trouver GCD. Le plus grand diviseur commun peut être trouvé en factorisant les nombres en facteurs premiers. Formulons une règle : Le pgcd de deux entiers positifs a et b est égal au produit de tous les facteurs premiers communs trouvés dans les factorisations premières des nombres a et b..
Donnons un exemple pour expliquer la règle permettant de trouver GCD. Connaissons les décompositions des nombres 220 et 600 en facteurs premiers, ils ont la forme 220=2·2·5·11 et 600=2·2·2·3·5·5. Les facteurs premiers communs impliqués dans la factorisation des nombres 220 et 600 sont 2, 2 et 5. Par conséquent, PGCD(220, 600)=2·2·5=20.
Ainsi, si nous factorisons les nombres a et b en facteurs premiers et trouvons le produit de tous leurs facteurs communs, alors nous trouverons le plus grand diviseur commun des nombres a et b.
Considérons un exemple de recherche de GCD selon la règle indiquée.
Exemple.
Trouvez le plus grand diviseur commun des nombres 72 et 96.
Solution.
Factorisons les nombres 72 et 96 en facteurs premiers : 
Autrement dit, 72=2·2·2·3·3 et 96=2·2·2·2·2·3. Les facteurs premiers courants sont 2, 2, 2 et 3. Ainsi, PGCD(72, 96)=2·2·2·3=24.
Répondre:
PGCD(72, 96)=24 .
En conclusion de ce paragraphe, nous notons que la validité de la règle ci-dessus pour trouver GCD découle de la propriété du plus grand commun diviseur, qui stipule que PGCD(m une 1 , m b 1)=m PGCD(une 1 , b 1), où m est un entier positif.
Trouver le pgcd de trois nombres ou plus
La recherche du plus grand diviseur commun de trois nombres ou plus peut être réduite à la recherche séquentielle du pgcd de deux nombres. Nous l'avons mentionné lors de l'étude des propriétés de GCD. Là nous avons formulé et prouvé le théorème : le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres a 1, a 2, …, a k égal au nombre d k , qui est trouvé en calculant séquentiellement GCD(a 1 , a 2)=d 2 , GCD(d 2 , a 3)=d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 , …, GCD(d k - 1 , une k)=d k .
Voyons à quoi ressemble le processus de recherche du pgcd de plusieurs nombres en regardant la solution de l'exemple.
Exemple.
Trouvez le plus grand commun diviseur de quatre nombres 78, 294, 570 et 36.
Solution.
Dans cet exemple, un 1 =78, un 2 =294, un 3 =570, un 4 =36.
Tout d'abord, à l'aide de l'algorithme euclidien, nous déterminons le plus grand diviseur commun d 2 des deux premiers nombres 78 et 294. En divisant, on obtient les égalités 294 = 78 3 + 60 ; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 et 18=6·3. Ainsi, d 2 =PGCD(78, 294)=6.
Maintenant calculons ré 3 =PGCD(d 2, une 3)=PGCD(6, 570). Appliquons à nouveau l'algorithme euclidien : 570=6·95, donc d 3 = PGCD(6, 570)=6.
Reste à calculer ré 4 =PGCD(d 3, une 4)=PGCD(6, 36). Puisque 36 est divisible par 6, alors d 4 = PGCD(6, 36) = 6.
Ainsi, le plus grand diviseur commun des quatre nombres donnés est d 4 =6, c'est-à-dire pgcd(78, 294, 570, 36)=6.
Répondre:
PGCD(78, 294, 570, 36)=6 .
La factorisation des nombres en facteurs premiers vous permet également de calculer le pgcd de trois nombres ou plus. Dans ce cas, le plus grand diviseur commun est le produit de tous les facteurs premiers communs des nombres donnés.
Exemple.
Calculez le pgcd des nombres de l'exemple précédent en utilisant leurs factorisations premières.
Solution.
Factorisons les nombres 78, 294, 570 et 36 en facteurs premiers, nous obtenons 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2 ·3· 3. Les facteurs premiers communs à ces quatre nombres sont les nombres 2 et 3. Ainsi, PGCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.
Le matériel présenté ci-dessous est une suite logique de la théorie de l'article intitulé LCM - moindre commun multiple, définition, exemples, lien entre LCM et GCD. Ici, nous parlerons de trouver le plus petit commun multiple (LCM), Et Attention particulière Concentrons-nous sur la résolution d'exemples. Tout d’abord, nous montrerons comment le LCM de deux nombres est calculé à l’aide du PGCD de ces nombres. Ensuite, nous verrons comment trouver le plus petit commun multiple en factorisant les nombres en facteurs premiers. Après cela, nous nous concentrerons sur la recherche du LCM de trois nombres ou plus, et ferons également attention au calcul du LCM des nombres négatifs.
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Calcul du plus petit commun multiple (LCM) via GCD
Une façon de trouver le multiple le plus petit commun est basée sur la relation entre LCM et GCD. Connexion existante entre LCM et GCD vous permet de calculer le plus petit commun multiple de deux entiers positifs en utilisant un plus grand commun diviseur connu. La formule correspondante est LCM(a, b)=ab:PGCD(a, b) . Examinons des exemples de recherche du LCM à l'aide de la formule donnée.
Exemple.
Trouvez le plus petit commun multiple de deux nombres 126 et 70.
Solution.
Dans cet exemple a=126 , b=70 . Utilisons la connexion entre LCM et GCD, exprimée par la formule LCM(a, b)=ab:PGCD(a, b). Autrement dit, nous devons d’abord trouver le plus grand diviseur commun des nombres 70 et 126, après quoi nous pouvons calculer le LCM de ces nombres à l’aide de la formule écrite.
Trouvons GCD(126, 70) en utilisant l'algorithme euclidien : 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, donc, GCD(126, 70)=14.
Nous trouvons maintenant le plus petit commun multiple requis : PGCD(126, 70)=126·70 :PGCD(126, 70)= 126·70:14=630.
Répondre:
LCM(126, 70)=630 .
Exemple.
À quoi est égal LCM(68, 34) ?
Solution.
Parce que 68 est divisible par 34, alors PGCD(68, 34)=34. Calculons maintenant le plus petit commun multiple : PGCD(68, 34)=68·34:PGCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Répondre:
LCM(68, 34)=68 .
Notez que l'exemple précédent correspond à la règle suivante pour trouver le LCM pour les entiers positifs a et b : si le nombre a est divisible par b, alors le plus petit commun multiple de ces nombres est a.
Trouver LCM en factorisant des nombres
Une autre façon de trouver le plus petit commun multiple consiste à factoriser les nombres en facteurs premiers. Si vous composez un produit à partir de tous les facteurs premiers de nombres donnés, puis excluez de ce produit tous les facteurs premiers communs présents dans les développements de nombres donnés, alors le produit résultant sera égal au plus petit commun multiple des nombres donnés. .
La règle énoncée pour trouver le LCM découle de l'égalité LCM(a, b)=ab:PGCD(a, b). En effet, le produit des nombres a et b est égal au produit de tous les facteurs impliqués dans le développement des nombres a et b. À son tour, GCD(a, b) est égal au produit de tous les facteurs premiers simultanément présents dans les développements des nombres a et b (comme décrit dans la section sur la recherche de GCD en utilisant le développement des nombres en facteurs premiers).
Donnons un exemple. Sachons que 75=3·5·5 et 210=2·3·5·7. Composons le produit à partir de tous les facteurs de ces développements : 2·3·3·5·5·5·7 . Maintenant de ce produit nous excluons tous les facteurs présents à la fois dans le développement du nombre 75 et dans le développement du nombre 210 (ces facteurs sont 3 et 5), alors le produit prendra la forme 2·3·5·5·7 . La valeur de ce produit est égale au plus petit commun multiple de 75 et 210, soit CNP(75, 210)= 2·3·5·5·7=1 050.
Exemple.
Factorisez les nombres 441 et 700 en facteurs premiers et trouvez le plus petit commun multiple de ces nombres.
Solution.
Factorisons les nombres 441 et 700 en facteurs premiers :
On obtient 441=3·3·7·7 et 700=2·2·5·5·7.
Créons maintenant un produit à partir de tous les facteurs impliqués dans le développement de ces nombres : 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Excluons de ce produit tous les facteurs qui sont simultanément présents dans les deux expansions (il n'y a qu'un seul de ces facteurs - c'est le nombre 7) : 2·2·3·3·5·5·7·7. Ainsi, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Répondre:
CNP(441, 700)= 44 100 .
La règle permettant de trouver le LCM en utilisant la factorisation des nombres en facteurs premiers peut être formulée un peu différemment. Si les facteurs manquants du développement du nombre b sont ajoutés aux facteurs du développement du nombre a, alors la valeur du produit résultant sera égale au plus petit commun multiple des nombres a et b..
Par exemple, prenons les mêmes nombres 75 et 210, leurs décompositions en facteurs premiers sont les suivantes : 75=3·5·5 et 210=2·3·5·7. Aux facteurs 3, 5 et 5 du développement du nombre 75 on ajoute les facteurs manquants 2 et 7 du développement du nombre 210, on obtient le produit 2·3·5·5·7 dont la valeur est égal à LCM(75, 210).
Exemple.
Trouvez le plus petit commun multiple de 84 et 648.
Solution.
On obtient d'abord les décompositions des nombres 84 et 648 en facteurs premiers. Ils ressemblent à 84=2·2·3·7 et 648=2·2·2·3·3·3·3. Aux facteurs 2, 2, 3 et 7 du développement du nombre 84 on ajoute les facteurs manquants 2, 3, 3 et 3 du développement du nombre 648, on obtient le produit 2 2 2 3 3 3 3 7, ce qui est égal à 4 536 . Ainsi, le plus petit commun multiple souhaité de 84 et 648 est 4 536.
Répondre:
LCM(84, 648)=4 536 .
Trouver le LCM de trois nombres ou plus
Le plus petit commun multiple de trois nombres ou plus peut être trouvé en trouvant séquentiellement le LCM de deux nombres. Rappelons le théorème correspondant, qui permet de trouver le LCM de trois nombres ou plus.
Théorème.
Soit des nombres entiers positifs a 1 , a 2 , …, a k, le plus petit commun multiple m k de ces nombres est trouvé en calculant séquentiellement m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Considérons l'application de ce théorème en utilisant l'exemple de la recherche du plus petit commun multiple de quatre nombres.
Exemple.
Trouvez le LCM de quatre nombres 140, 9, 54 et 250.
Solution.
Dans cet exemple, un 1 =140, un 2 =9, un 3 =54, un 4 =250.
On trouve d'abord m 2 = LOC(une 1, une 2) = LOC(140, 9). Pour ce faire, en utilisant l'algorithme euclidien, on détermine PGCD(140, 9), on a 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, donc, GCD(140, 9)=1 , d'où PGCD(140, 9)=140 9:PGCD(140, 9)= 140·9:1=1 260. C'est-à-dire m 2 =1 260.
Maintenant nous trouvons m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Calculons-le via PGCD(1 260, 54), que nous déterminons également à l'aide de l'algorithme euclidien : 1 260=54·23+18, 54=18·3. Alors pgcd(1,260, 54)=18, d'où pgcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. C'est-à-dire m 3 =3 780.
Il ne reste plus qu'à trouver m 4 = LOC(m 3, une 4) = LOC(3 780, 250). Pour ce faire, on trouve GCD(3,780, 250) en utilisant l'algorithme euclidien : 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Par conséquent, GCM(3,780, 250)=10, d’où GCM(3,780, 250)= 3 780 250 : PGCD(3 780, 250)= 3 780·250:10=94 500. C'est-à-dire m 4 =94 500.
Ainsi, le plus petit commun multiple des quatre nombres originaux est 94 500.
Répondre:
LCM(140, 9, 54, 250)=94 500.
Dans de nombreux cas, il est pratique de trouver le plus petit commun multiple de trois nombres ou plus en utilisant des factorisations premières des nombres donnés. Dans ce cas, vous devez respecter la règle suivante. Le plus petit commun multiple de plusieurs nombres est égal au produit qui se compose comme suit : les facteurs manquants du développement du deuxième nombre s'ajoutent à tous les facteurs du développement du premier nombre, les facteurs manquants du développement du premier nombre le troisième nombre est ajouté aux facteurs résultants, et ainsi de suite.
Examinons un exemple de recherche du multiple le plus petit commun à l'aide de la factorisation première.
Exemple.
Trouvez le plus petit commun multiple des cinq nombres 84, 6, 48, 7, 143.
Solution.
Tout d'abord, on obtient des décompositions de ces nombres en facteurs premiers : 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 est un nombre premier, il coïncide avec sa décomposition en facteurs premiers) et 143=11.13.
Pour trouver le LCM de ces nombres, aux facteurs du premier nombre 84 (ils sont 2, 2, 3 et 7), il faut ajouter les facteurs manquants du développement du deuxième nombre 6. La décomposition du nombre 6 ne contient pas de facteurs manquants, puisque les 2 et 3 sont déjà présents dans la décomposition du premier nombre 84. Ensuite, aux facteurs 2, 2, 3 et 7, nous ajoutons les facteurs manquants 2 et 2 issus du développement du troisième nombre 48, nous obtenons un ensemble de facteurs 2, 2, 2, 2, 3 et 7. Il ne sera pas nécessaire d’ajouter des multiplicateurs à cet ensemble à l’étape suivante, puisque 7 y est déjà contenu. Enfin, aux facteurs 2, 2, 2, 2, 3 et 7 on ajoute les facteurs manquants 11 et 13 issus du développement du nombre 143. On obtient le produit 2·2·2·2·3·7·11·13, qui est égal à 48,048.
La recherche du plus grand diviseur commun de trois nombres ou plus peut être réduite à la recherche séquentielle du pgcd de deux nombres. Nous l'avons mentionné lors de l'étude des propriétés de GCD. Là nous avons formulé et prouvé le théorème : le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres une 1 , une 2 , …, une kégal au nombre n'importe quoi, qui est trouvé par calcul séquentiel PGCD(une 1 , une 2)=d 2, PGCD(d 2 , a 3)=d 3, PGCD(d 3 , a 4)=d 4, …,PGCD(d k-1 , a k)=d k.
Voyons à quoi ressemble le processus de recherche du pgcd de plusieurs nombres en regardant la solution de l'exemple.
Exemple.
Trouver le plus grand diviseur commun de quatre nombres 78 , 294 , 570 Et 36 .
Solution.
Dans cet exemple un 1 =78, une 2 =294, un 3 =570, un 4 =36.
Premièrement, en utilisant l'algorithme euclidien, nous déterminons le plus grand diviseur commun j 2 deux premiers chiffres 78 Et 294 . En divisant on obtient les égalités 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18·3+6 Et 18=6·3. Ainsi, d 2 =PGCD(78, 294)=6.
Maintenant calculons ré 3 =PGCD(d 2, une 3)=PGCD(6, 570). Utilisons à nouveau l'algorithme euclidien : 570=6·95, ainsi, d 3 =PGCD(6, 570)=6.
Reste à calculer ré 4 =PGCD(d 3, une 4)=PGCD(6, 36). Parce que 36 divisé par 6 , Que d 4 =PGCD(6, 36)=6.
Ainsi, le plus grand commun diviseur des quatre nombres donnés est ré4 =6, c'est, PGCD(78, 294, 570, 36)=6.
Répondre:
PGCD(78, 294, 570, 36)=6.
La factorisation des nombres en facteurs premiers vous permet également de calculer le pgcd de trois nombres ou plus. Dans ce cas, le plus grand diviseur commun est le produit de tous les facteurs premiers communs des nombres donnés.
Exemple.
Calculez le pgcd des nombres de l'exemple précédent en utilisant leurs factorisations premières.
Solution.
Décomposons les chiffres 78 , 294 , 570 Et 36 par facteurs premiers, on obtient 78=2·3·13,294=2·3·7·7, 570=2 3 5 19, 36=2·2·3·3. Les facteurs premiers communs aux quatre nombres donnés sont les nombres 2 Et 3 . Ainsi, PGCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.
Répondre:
PGCD(78, 294, 570, 36)=6.
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Trouver le pgcd de nombres négatifs
Si un, plusieurs ou tous les nombres dont on trouve le plus grand diviseur sont des nombres négatifs, alors leur pgcd est égal au plus grand commun diviseur des modules de ces nombres. Cela est dû au fait que les nombres opposés un Et −une ont les mêmes diviseurs, comme nous l'avons discuté lors de l'étude des propriétés de divisibilité.
Exemple.
Trouver le pgcd des entiers négatifs −231 Et −140 .
Solution.
La valeur absolue d'un nombre −231 équivaut à 231 , et le module du nombre −140 équivaut à 140 , Et PGCD(−231, −140)=PGCD(231, 140). L'algorithme euclidien nous donne les égalités suivantes : 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7 Et 42=7 6. Ainsi, PGCD(231, 140)=7. Alors le plus grand commun diviseur souhaité des nombres négatifs est −231 Et −140 équivaut à 7 .
Répondre:
PGCD(−231, −140)=7.
Exemple.
Déterminer le pgcd de trois nombres −585 , 81 Et −189 .
Solution.
Lors de la recherche du plus grand diviseur commun, les nombres négatifs peuvent être remplacés par leurs valeurs absolues, c'est-à-dire PGCD(−585, 81, −189)=PGCD(585, 81, 189). Extensions de numéros 585 , 81 Et 189 en facteurs premiers ont la forme 585=3·3·5·13, 81=3·3·3·3 Et 189=3·3·3·7. Les facteurs premiers communs de ces trois nombres sont 3 Et 3 . Alors PGCD(585, 81, 189)=3·3=9, ainsi, PGCD(−585, 81, −189)=9.
Répondre:
PGCD(−585, 81, −189)=9.
35. Racines d'un polynôme. Théorème de Bezout. (33 ans et plus)
36. Racines multiples, critère de multiplicité des racines.
Le plus grand nombre naturel par lequel les nombres a et b sont divisés sans reste est appelé plus grand diviseur commun ces chiffres. Notons PGCD(a, b).
Considérons trouver GCD en utilisant l'exemple de deux nombres naturels 18 et 60 :
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
324 , 111 Et 432
Factorisons les nombres en facteurs premiers :
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
111 = 3×37
432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
En barrant du premier nombre dont les facteurs ne sont pas dans les deuxième et troisième nombres, on obtient :
2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3
En conséquence, PGCD( 324 , 111 , 432 )=3
Trouver GCD à l'aide de l'algorithme euclidien
La deuxième façon de trouver le plus grand diviseur commun consiste à utiliser Algorithme euclidien. L'algorithme d'Euclide est le plus façon efficace découverte PGCD, en l'utilisant, vous devez constamment trouver le reste des nombres en division et appliquer formule de récidive.
Formule de récurrence pour PGCD, PGCD(a, b)=PGCD(b, a mod b), où a mod b est le reste de a divisé par b.
L'algorithme d'Euclide
Exemple Trouver le plus grand diviseur commun des nombres 7920 Et 594
Trouvons GCD( 7920 , 594 ) à l'aide de l'algorithme euclidien, nous calculerons le reste de la division à l'aide d'une calculatrice.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 – 3 × 198 = 0
En conséquence, nous obtenons GCD( 7920 , 594 ) = 198
Multiple moins commun
Pour trouver dénominateur commun lors de l'addition et de la soustraction de fractions avec différents dénominateurs il faut savoir et pouvoir calculer multiple moins commun(NOK).
Un multiple du nombre « a » est un nombre lui-même divisible par le nombre « a » sans reste.
Nombres multiples de 8 (c'est-à-dire que ces nombres sont divisibles par 8 sans reste) : ce sont les nombres 16, 24, 32...
Multiples de 9 : 18, 27, 36, 45…
Il existe une infinité de multiples d'un nombre donné a, contrairement aux diviseurs d'un même nombre. Il existe un nombre fini de diviseurs.
Le commun multiple de deux nombres naturels est un nombre divisible par ces deux nombres..
Multiple moins commun(LCM) de deux nombres naturels ou plus est le plus petit nombre naturel lui-même divisible par chacun de ces nombres.
Comment trouver un CNO
LCM peut être trouvé et écrit de deux manières.
La première façon de trouver le LOC
Cette méthode est généralement utilisée pour de petits nombres.
- Nous notons les multiples de chaque nombre sur une ligne jusqu'à ce que nous trouvions un multiple identique pour les deux nombres.
- Le multiple du nombre « a » est désigné par la lettre majuscule « K ».
Exemple. Trouvez LCM 6 et 8.
La deuxième façon de trouver le LOC
Cette méthode est pratique à utiliser pour trouver le LCM pour trois nombres ou plus.
Le nombre de facteurs identiques dans les décompositions de nombres peut être différent.
LCM(24, 60) = 2 2 3 5 2
Réponse : LCM (24, 60) = 120
Vous pouvez également formaliser la recherche du plus petit commun multiple (LCM) comme suit. Trouvons le LOC (12, 16, 24).
24 = 2 2 2 3
Comme le montre la décomposition des nombres, tous les facteurs de 12 sont inclus dans la décomposition de 24 (le plus grand des nombres), nous ajoutons donc un seul 2 de la décomposition du nombre 16 au LCM.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Réponse : LCM (12, 16, 24) = 48
Cas particuliers de recherche d'un CNO
Par exemple, LCM (60, 15) = 60
Puisque c'est réciproque nombres premiers n'ont pas de facteurs premiers communs, alors leur plus petit commun multiple est égal au produit de ces nombres.
Sur notre site Web, vous pouvez également utiliser une calculatrice spéciale pour trouver le multiple le plus commun en ligne afin de vérifier vos calculs.
Si un nombre naturel n’est divisible que par 1 et par lui-même, alors il est dit premier.
Tout nombre naturel est toujours divisible par 1 et par lui-même.
Le nombre 2 est le plus petit nombre premier. C'est le seul nombre premier pair, les autres nombres premiers sont impairs.
Il existe de nombreux nombres premiers, le premier d’entre eux étant le nombre 2. Cependant, il n’existe pas de dernier nombre premier. Dans la section « Pour étudier », vous pouvez télécharger un tableau de nombres premiers jusqu'à 997.
Mais de nombreux nombres naturels sont également divisibles par d’autres nombres naturels.
- le nombre 12 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12 ;
- Le nombre 36 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12, par 18, par 36.
- décomposer les diviseurs de nombres en facteurs premiers ;
Les nombres par lesquels le nombre est divisible par un tout (pour 12 ce sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12) sont appelés diviseurs du nombre.
Le diviseur d'un nombre naturel a est un nombre naturel qui divise numéro donné"a" sans reste.
Un nombre naturel qui possède plus de deux diviseurs est appelé composé.
Veuillez noter que les nombres 12 et 36 ont des facteurs communs. Ces nombres sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Le plus grand diviseur de ces nombres est 12.
Le diviseur commun de deux nombres donnés « a » et « b » est le nombre par lequel les deux nombres donnés « a » et « b » sont divisés sans reste.
Plus grand diviseur commun(PGCD) de deux nombres donnés « a » et « b » est le plus grand nombre, par lequel les deux nombres « a » et « b » sont divisés sans reste.
En bref, le plus grand diviseur commun des nombres « a » et « b » s’écrit comme suit ::
Exemple : pgcd (12 ; 36) = 12.
Les diviseurs de nombres dans l'enregistrement de solution sont désignés par la lettre majuscule « D ».
Les nombres 7 et 9 n’ont qu’un seul diviseur commun : le chiffre 1. Ces numéros sont appelés nombres premiers entre eux.
Nombres premiers entre eux- ce sont des nombres naturels qui n'ont qu'un seul diviseur commun : le nombre 1. Leur pgcd est 1.
Comment trouver le plus grand diviseur commun
Pour trouver le pgcd de deux nombres naturels ou plus, vous avez besoin de :
Il est pratique d'écrire des calculs à l'aide d'une barre verticale. À gauche de la ligne, nous notons d'abord le dividende, à droite le diviseur. Ensuite, dans la colonne de gauche, nous notons les valeurs des quotients.
Expliquons-le tout de suite avec un exemple. Factorisons les nombres 28 et 64 en facteurs premiers.
- Nous insistons sur les mêmes facteurs premiers dans les deux nombres.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Trouvez le produit de facteurs premiers identiques et notez la réponse ;
PGCD (28 ; 64) = 2 2 = 4
Réponse : PGCD (28 ; 64) = 4
Vous pouvez formaliser l'emplacement du GCD de deux manières : en colonne (comme fait ci-dessus) ou « en ligne ».
La première façon d'écrire GCD
Trouvez les pgcd 48 et 36.
PGCD (48 ; 36) = 2 2 3 = 12
La deuxième façon d'écrire pgcd
Écrivons maintenant la solution à la recherche GCD sur une ligne. Trouvez pgcd 10 et 15.
Sur notre site d'information, vous pouvez également utiliser l'assistant en ligne du Plus grand diviseur commun pour vérifier vos calculs.
Recherche du multiple le moins courant, méthodes, exemples de recherche du LCM.
Le matériel présenté ci-dessous est une suite logique de la théorie de l'article intitulé LCM - moindre commun multiple, définition, exemples, lien entre LCM et GCD. Ici, nous parlerons de trouver le plus petit commun multiple (LCM), et nous accorderons une attention particulière à la résolution d’exemples. Tout d’abord, nous montrerons comment le LCM de deux nombres est calculé à l’aide du PGCD de ces nombres. Ensuite, nous verrons comment trouver le plus petit commun multiple en factorisant les nombres en facteurs premiers. Après cela, nous nous concentrerons sur la recherche du LCM de trois nombres ou plus, et ferons également attention au calcul du LCM des nombres négatifs.
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Calcul du plus petit commun multiple (LCM) via GCD
Une façon de trouver le multiple le plus petit commun est basée sur la relation entre LCM et GCD. La connexion existante entre LCM et GCD nous permet de calculer le plus petit commun multiple de deux entiers positifs via un plus grand commun diviseur connu. La formule correspondante est LCM(a, b)=ab:PGCD(a, b). Examinons des exemples de recherche du LCM à l'aide de la formule donnée.
Trouvez le plus petit commun multiple de deux nombres 126 et 70.
Dans cet exemple a=126 , b=70 . Utilisons la connexion entre LCM et GCD, exprimée par la formule LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Autrement dit, nous devons d’abord trouver le plus grand diviseur commun des nombres 70 et 126, après quoi nous pouvons calculer le LCM de ces nombres à l’aide de la formule écrite.
Trouvons GCD(126, 70) en utilisant l'algorithme euclidien : 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, donc, GCD(126, 70)=14.
Nous trouvons maintenant le plus petit commun multiple requis : LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
À quoi est égal LCM(68, 34) ?
Puisque 68 est divisible par 34, alors PGCD(68, 34)=34. Calculons maintenant le plus petit commun multiple : LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Notez que l'exemple précédent correspond à la règle suivante pour trouver le LCM pour les entiers positifs a et b : si a est divisible par b, alors le plus petit commun multiple de ces nombres est a.
Trouver LCM en factorisant des nombres
Une autre façon de trouver le plus petit commun multiple consiste à factoriser les nombres en facteurs premiers. Si vous composez un produit à partir de tous les facteurs premiers de nombres donnés, puis excluez de ce produit tous les facteurs premiers communs présents dans les développements de nombres donnés, alors le produit résultant sera égal au plus petit commun multiple des nombres donnés. .
La règle énoncée pour trouver le LCM découle de l'égalité LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . En effet, le produit des nombres a et b est égal au produit de tous les facteurs impliqués dans le développement des nombres a et b. À son tour, GCD(a, b) est égal au produit de tous les facteurs premiers simultanément présents dans les développements des nombres a et b (comme décrit dans la section sur la recherche de GCD en utilisant le développement des nombres en facteurs premiers).
Donnons un exemple. Sachons que 75=3·5·5 et 210=2·3·5·7. Composons le produit à partir de tous les facteurs de ces développements : 2·3·3·5·5·5·7 . Maintenant de ce produit nous excluons tous les facteurs présents à la fois dans le développement du nombre 75 et dans le développement du nombre 210 (ces facteurs sont 3 et 5), alors le produit prendra la forme 2·3·5·5·7 . La valeur de ce produit est égale au plus petit commun multiple des nombres 75 et 210, soit LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.
Factorisez les nombres 441 et 700 en facteurs premiers et trouvez le plus petit commun multiple de ces nombres.
Factorisons les nombres 441 et 700 en facteurs premiers : 
On obtient 441=3·3·7·7 et 700=2·2·5·5·7.
Créons maintenant un produit à partir de tous les facteurs impliqués dans le développement de ces nombres : 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Excluons de ce produit tous les facteurs qui sont simultanément présents dans les deux expansions (il n'y a qu'un seul de ces facteurs - c'est le nombre 7) : 2·2·3·3·5·5·7·7. Ainsi, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .
CNP(441, 700)= 44 100 .
La règle permettant de trouver le LCM en utilisant la factorisation des nombres en facteurs premiers peut être formulée un peu différemment. Si les facteurs manquants du développement du nombre b sont ajoutés aux facteurs du développement du nombre a, alors la valeur du produit résultant sera égale au plus petit commun multiple des nombres a et b.
Par exemple, prenons les mêmes nombres 75 et 210, leurs décompositions en facteurs premiers sont les suivantes : 75=3·5·5 et 210=2·3·5·7. Aux facteurs 3, 5 et 5 du développement du nombre 75 on ajoute les facteurs manquants 2 et 7 du développement du nombre 210, on obtient le produit 2·3·5·5·7 dont la valeur est égal à LCM(75, 210).
Trouvez le plus petit commun multiple de 84 et 648.
On obtient d'abord les décompositions des nombres 84 et 648 en facteurs premiers. Ils ressemblent à 84=2·2·3·7 et 648=2·2·2·3·3·3·3. Aux facteurs 2, 2, 3 et 7 du développement du nombre 84 on ajoute les facteurs manquants 2, 3, 3 et 3 du développement du nombre 648, on obtient le produit 2 2 2 3 3 3 3 7, ce qui est égal à 4 536 . Ainsi, le plus petit commun multiple souhaité de 84 et 648 est 4 536.
Trouver le LCM de trois nombres ou plus
Le plus petit commun multiple de trois nombres ou plus peut être trouvé en trouvant séquentiellement le LCM de deux nombres. Rappelons le théorème correspondant, qui permet de trouver le LCM de trois nombres ou plus.
Soit des nombres entiers positifs a 1 , a 2 , …, a k, le plus petit commun multiple m k de ces nombres est trouvé en calculant séquentiellement m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Considérons l'application de ce théorème en utilisant l'exemple de la recherche du plus petit commun multiple de quatre nombres.
Trouvez le LCM de quatre nombres 140, 9, 54 et 250.
Nous trouvons d’abord m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) . Pour ce faire, en utilisant l'algorithme euclidien, on détermine PGCD(140, 9), on a 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, par conséquent, PGCD(140, 9)=1, d'où LCM(140, 9)=140·9 : PGCD(140, 9)= 140·9:1=1 260. C'est-à-dire m 2 =1 260.
Nous trouvons maintenant m 3 = LCM(m 2 , a 3) = LCM(1 260, 54). Calculons-le via PGCD(1 260, 54), que nous déterminons également à l'aide de l'algorithme euclidien : 1 260=54·23+18, 54=18·3. Alors pgcd(1,260, 54)=18, d'où pgcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. C'est-à-dire m 3 =3 780.
Il reste à trouver m 4 = LCM(m 3 , a 4) = LCM(3 780, 250). Pour ce faire, on trouve GCD(3,780, 250) en utilisant l'algorithme euclidien : 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Par conséquent, PGCD(3 780, 250)=10, d’où PGCD(3 780, 250)= 3 780·250 : PGCD(3 780, 250)= 3 780·250 : 10=94 500. C'est-à-dire m 4 =94 500.
Ainsi, le plus petit commun multiple des quatre nombres originaux est 94 500.
LCM(140, 9, 54, 250)=94 500 .
Dans de nombreux cas, il est pratique de trouver le plus petit commun multiple de trois nombres ou plus en utilisant des factorisations premières des nombres donnés. Dans ce cas, vous devez respecter la règle suivante. Le plus petit commun multiple de plusieurs nombres est égal au produit qui se compose comme suit : les facteurs manquants du développement du deuxième nombre s'ajoutent à tous les facteurs du développement du premier nombre, les facteurs manquants du développement du premier nombre le troisième nombre est ajouté aux facteurs résultants, et ainsi de suite.
Examinons un exemple de recherche du multiple le plus petit commun à l'aide de la factorisation première.
Trouvez le plus petit commun multiple des cinq nombres 84, 6, 48, 7, 143.
Tout d'abord, on obtient des décompositions de ces nombres en facteurs premiers : 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 est un nombre premier, il coïncide avec sa décomposition en facteurs premiers) et 143=11.13.
Pour trouver le LCM de ces nombres, aux facteurs du premier nombre 84 (ils sont 2, 2, 3 et 7), il faut ajouter les facteurs manquants du développement du deuxième nombre 6. La décomposition du nombre 6 ne contient pas de facteurs manquants, puisque les 2 et 3 sont déjà présents dans la décomposition du premier nombre 84. Ensuite, aux facteurs 2, 2, 3 et 7, nous ajoutons les facteurs manquants 2 et 2 issus du développement du troisième nombre 48, nous obtenons un ensemble de facteurs 2, 2, 2, 2, 3 et 7. Il ne sera pas nécessaire d’ajouter des multiplicateurs à cet ensemble à l’étape suivante, puisque 7 y est déjà contenu. Enfin, aux facteurs 2, 2, 2, 2, 3 et 7 on ajoute les facteurs manquants 11 et 13 issus du développement du nombre 143. On obtient le produit 2·2·2·2·3·7·11·13, qui est égal à 48,048.
Par conséquent, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48 048.
LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48 048 .
Trouver le plus petit commun multiple de nombres négatifs
Parfois, il existe des tâches dans lesquelles vous devez trouver le multiple le plus petit commun de nombres, parmi lesquels un, plusieurs ou tous les nombres sont négatifs. Dans ces cas, tous les nombres négatifs doivent être remplacés par leurs nombres opposés, puis le LCM des nombres positifs doit être trouvé. C'est ainsi que l'on trouve le LCM des nombres négatifs. Par exemple, LCM(54, −34) = LCM(54, 34) et LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Nous pouvons le faire parce que l’ensemble des multiples de a est le même que l’ensemble des multiples de −a (a et −a sont des nombres opposés). En effet, soit b un multiple de a, alors b est divisible par a, et le concept de divisibilité énonce l'existence d'un entier q tel que b=a·q. Mais l'égalité b=(−a)·(−q) sera également vraie, ce qui, en raison du même concept de divisibilité, signifie que b est divisible par −a, c'est-à-dire que b est un multiple de −a. L’inverse est également vrai : si b est un multiple de −a, alors b est également un multiple de a.
Trouvez le plus petit commun multiple des nombres négatifs −145 et −45.
Remplaçons les nombres négatifs −145 et −45 par leurs nombres opposés 145 et 45. Nous avons LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) . Après avoir déterminé GCD(145, 45)=5 (par exemple, en utilisant l'algorithme euclidien), nous calculons GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Ainsi, le plus petit commun multiple des entiers négatifs −145 et −45 est 1 305.
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Nous continuons à étudier la division. DANS Cette leçon nous examinerons des concepts tels que PGCD Et CNP.
PGCD est le plus grand diviseur commun.
CNP est le plus petit commun multiple.
Le sujet est assez ennuyeux, mais il faut absolument le comprendre. Sans comprendre ce sujet, vous ne pourrez pas travailler efficacement avec les fractions, qui constituent un véritable obstacle en mathématiques.
Plus grand diviseur commun
Définition. Le plus grand diviseur commun des nombres un Et b un Et b divisé sans reste.
Pour bien comprendre cette définition, substituons les variables un Et b deux nombres quelconques, par exemple, au lieu d'une variable un Remplaçons le nombre 12, et à la place de la variable b numéro 9. Essayons maintenant de lire cette définition :
Le plus grand diviseur commun des nombres 12 Et 9 est le plus grand nombre par lequel 12 Et 9 divisé sans reste.
D'après la définition, il est clair que nous parlons du diviseur commun des nombres 12 et 9, et ce diviseur est le plus grand de tous les diviseurs existants. Ce plus grand diviseur commun (PGCD) doit être trouvé.
Pour trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres, trois méthodes sont utilisées. La première méthode demande beaucoup de travail, mais elle permet de comprendre clairement l'essence du sujet et d'en ressentir tout le sens.
Les deuxième et troisième méthodes sont assez simples et permettent de retrouver rapidement un GCD. Nous examinerons les trois méthodes. Et c'est à vous de choisir lequel utiliser dans la pratique.
La première méthode consiste à trouver tous les diviseurs possibles de deux nombres et à choisir le plus grand. Regardons cette méthode exemple suivant: trouver le plus grand diviseur commun des nombres 12 et 9.
Tout d'abord, nous trouverons tous les diviseurs possibles du nombre 12. Pour ce faire, nous diviserons 12 par tous les diviseurs compris entre 1 et 12. Si le diviseur nous permet de diviser 12 sans reste, alors nous le mettrons en évidence dans bleu et donnez une explication appropriée entre parenthèses.
12: 1 = 12
(12 est divisé par 1 sans reste, ce qui signifie que 1 est un diviseur du nombre 12)
12: 2 = 6
(12 est divisé par 2 sans reste, ce qui signifie que 2 est un diviseur du nombre 12)
12: 3 = 4
(12 est divisé par 3 sans reste, ce qui signifie que 3 est un diviseur du nombre 12)
12: 4 = 3
(12 est divisé par 4 sans reste, ce qui signifie que 4 est un diviseur du nombre 12)
12 : 5 = 2 (2 restants)
(12 n'est pas divisé par 5 sans reste, ce qui signifie que 5 n'est pas un diviseur du nombre 12)
12: 6 = 2
(12 est divisé par 6 sans reste, ce qui signifie que 6 est un diviseur du nombre 12)
12 : 7 = 1 (5 restants)
(12 n'est pas divisé par 7 sans reste, ce qui signifie que 7 n'est pas un diviseur du nombre 12)
12 : 8 = 1 (4 restants)
(12 n'est pas divisé par 8 sans reste, ce qui signifie que 8 n'est pas un diviseur de 12)
12 : 9 = 1 (3 restes)
(12 n'est pas divisé par 9 sans reste, ce qui signifie que 9 n'est pas un diviseur du nombre 12)
12 : 10 = 1 (2 restants)
(12 n'est pas divisé par 10 sans reste, ce qui signifie que 10 n'est pas un diviseur du nombre 12)
12 : 11 = 1 (1 reste)
(12 n'est pas divisé par 11 sans reste, ce qui signifie que 11 n'est pas un diviseur de 12)
12: 12 = 1
(12 est divisé par 12 sans reste, ce qui signifie que 12 est un diviseur du nombre 12)
Trouvons maintenant les diviseurs du nombre 9. Pour cela, vérifions tous les diviseurs de 1 à 9
9: 1 = 9
(9 est divisé par 1 sans reste, ce qui signifie que 1 est un diviseur du nombre 9)
9 : 2 = 4 (1 reste)
(9 n'est pas divisé par 2 sans reste, ce qui signifie que 2 n'est pas un diviseur du nombre 9)
9: 3 = 3
(9 est divisé par 3 sans reste, ce qui signifie que 3 est un diviseur du nombre 9)
9 : 4 = 2 (1 reste)
(9 n'est pas divisé par 4 sans reste, ce qui signifie que 4 n'est pas un diviseur du nombre 9)
9 : 5 = 1 (4 restants)
(9 n'est pas divisé par 5 sans reste, ce qui signifie que 5 n'est pas un diviseur du nombre 9)
9 : 6 = 1 (3 restants)
(9 n'est pas divisé par 6 sans reste, ce qui signifie que 6 n'est pas un diviseur du nombre 9)
9 : 7 = 1 (2 restants)
(9 n'est pas divisé par 7 sans reste, ce qui signifie que 7 n'est pas un diviseur du nombre 9)
9 : 8 = 1 (1 reste)
(9 n'est pas divisé par 8 sans reste, ce qui signifie que 8 n'est pas un diviseur du nombre 9)
9: 9 = 1
(9 est divisé par 9 sans reste, ce qui signifie que 9 est un diviseur du nombre 9)
Écrivons maintenant les diviseurs des deux nombres. Les nombres surlignés en bleu sont des diviseurs. Écrivons-les :
En écrivant les diviseurs, vous pouvez immédiatement déterminer lequel est le plus grand et le plus courant.
Par définition, le plus grand diviseur commun des nombres 12 et 9 est le nombre qui divise 12 et 9 sans reste. Le plus grand et commun diviseur des nombres 12 et 9 est le nombre 3.
Le nombre 12 et le nombre 9 sont tous deux divisibles par 3 sans reste :
Donc pgcd (12 et 9) = 3
La deuxième façon de trouver GCD
Examinons maintenant la deuxième méthode pour trouver le plus grand diviseur commun. L'essence cette méthode consiste à factoriser les deux nombres en facteurs premiers et à multiplier les nombres communs.
Exemple 1. Trouvez le pgcd des nombres 24 et 18
Tout d’abord, prenons en compte les deux nombres en facteurs premiers :
Multiplions maintenant leurs facteurs communs. Pour éviter toute confusion, les facteurs communs peuvent être soulignés.
On regarde le développement du nombre 24. Son premier facteur est 2. On cherche le même facteur dans le développement du nombre 18 et on voit qu'il est là aussi. Nous insistons sur les deux :
On regarde à nouveau l'expansion du nombre 24. Son deuxième facteur est également 2. On cherche le même facteur dans l'expansion du nombre 18 et on voit que pour la deuxième fois il n'est plus là. Ensuite, nous ne soulignons rien.
Les deux suivants dans l’expansion du nombre 24 sont également absents dans l’expansion du nombre 18.
Passons au dernier facteur dans l'expansion du nombre 24. Il s'agit du facteur 3. Nous recherchons le même facteur dans l'expansion du nombre 18 et voyons qu'il est là aussi. Nous insistons sur les deux trois :
Ainsi, les facteurs communs aux nombres 24 et 18 sont les facteurs 2 et 3. Pour obtenir GCD, ces facteurs doivent être multipliés :
Donc pgcd (24 et 18) = 6
La troisième façon de trouver GCD
Examinons maintenant la troisième façon de trouver le plus grand diviseur commun. L'essence de cette méthode est que les nombres à trouver pour le plus grand diviseur commun sont décomposés en facteurs premiers. Ensuite, à partir du développement du premier nombre, les facteurs qui ne sont pas inclus dans le développement du deuxième nombre sont barrés. Les nombres restants dans la première expansion sont multipliés et obtiennent GCD.
Par exemple, trouvons GCD pour les nombres 28 et 16 en utilisant cette méthode. Tout d’abord, nous décomposons ces nombres en facteurs premiers :
Nous avons obtenu deux extensions : et
Maintenant, de la décomposition du premier nombre, nous supprimerons les facteurs qui ne sont pas inclus dans la décomposition du deuxième nombre. L’expansion du deuxième nombre n’inclut pas sept. Rayons-le de la première extension :
Maintenant, nous multiplions les facteurs restants et obtenons GCD :
Le nombre 4 est le plus grand diviseur commun des nombres 28 et 16. Ces deux nombres sont divisibles par 4 sans reste :
Exemple 2. Trouver le pgcd des nombres 100 et 40
Factoriser le nombre 100
Factoriser le nombre 40
Nous avons deux extensions :
Maintenant, de la décomposition du premier nombre, nous supprimerons les facteurs qui ne sont pas inclus dans la décomposition du deuxième nombre. L'expansion du deuxième nombre n'inclut pas un cinq (il n'y a qu'un cinq). Rayons-le de la première extension
Multiplions les nombres restants :
Nous avons reçu la réponse 20. Cela signifie que le nombre 20 est le plus grand diviseur commun des nombres 100 et 40. Ces deux nombres sont divisibles par 20 sans reste :
PGCD (100 et 40) = 20.
Exemple 3. Trouvez le pgcd des nombres 72 et 128
Factoriser le nombre 72
Factoriser le nombre 128
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Maintenant, de la décomposition du premier nombre, nous supprimerons les facteurs qui ne sont pas inclus dans la décomposition du deuxième nombre. L'expansion du deuxième nombre n'inclut pas deux triolets (ils n'y sont pas du tout). Rayons-les de la première extension :
Nous avons reçu la réponse 8. Cela signifie que le nombre 8 est le plus grand diviseur commun des nombres 72 et 128. Ces deux nombres sont divisibles par 8 sans reste :
PGCD (72 et 128) = 8
Trouver GCD pour plusieurs nombres
Le plus grand diviseur commun peut être trouvé pour plusieurs nombres, pas seulement deux. Pour ce faire, on décompose les nombres à trouver pour le plus grand diviseur commun en facteurs premiers, puis on trouve le produit des facteurs premiers communs de ces nombres.
Par exemple, trouvons GCD pour les nombres 18, 24 et 36
Factorisons le nombre 18
Factorisons le nombre 24
Factorisons le nombre 36
Nous avons trois extensions :
Soulignons et soulignons maintenant les facteurs communs à ces chiffres. Des facteurs communs doivent apparaître dans les trois nombres :
On voit que les facteurs communs aux nombres 18, 24 et 36 sont les facteurs 2 et 3. En multipliant ces facteurs, on obtient le pgcd que l'on recherche :
Nous avons reçu la réponse 6. Cela signifie que le nombre 6 est le plus grand diviseur commun des nombres 18, 24 et 36. Ces trois nombres sont divisibles par 6 sans reste :
PGCD (18, 24 et 36) = 6
Exemple 2. Trouvez GCD pour les nombres 12, 24, 36 et 42
Factorisons chaque nombre en facteurs premiers. On trouve ensuite le produit des facteurs communs de ces nombres.
Factorisons le nombre 12
Factorisons le nombre 42
Nous avons quatre extensions :
Soulignons et soulignons maintenant les facteurs communs à ces chiffres. Des facteurs communs doivent apparaître dans les quatre nombres :
Nous voyons que les facteurs communs aux nombres 12, 24, 36 et 42 sont les facteurs de 2 et 3. En multipliant ces facteurs ensemble, nous obtenons le pgcd que nous recherchons :
Nous avons reçu la réponse 6. Cela signifie que le nombre 6 est le plus grand diviseur commun des nombres 12, 24, 36 et 42. Ces nombres sont divisibles par 6 sans reste :
PGCD (12, 24, 36 et 42) = 6
De la leçon précédente, nous savons que si un nombre est divisé par un autre sans reste, on l'appelle un multiple de ce nombre.
Il s'avère que plusieurs nombres peuvent avoir un multiple commun. Et maintenant nous allons nous intéresser au multiple de deux nombres, et il doit être le plus petit possible.
Définition. Le plus petit commun multiple (LCM) des nombres un Et b- un Et b un et numéro b.
La définition contient deux variables un Et b. Remplaçons ces variables par deux nombres quelconques. Par exemple, au lieu d'une variable un Remplaçons le chiffre 9, et à la place de la variable b Remplaçons le nombre 12. Essayons maintenant de lire la définition :
Le plus petit commun multiple (LCM) des nombres 9 Et 12 - Ce le plus petit nombre, qui est un multiple 9 Et 12 . En d’autres termes, il s’agit d’un si petit nombre divisible sans reste par le nombre 9 et par numéro 12 .
D'après la définition, il ressort clairement que le LCM est le plus petit nombre divisible par 9 et 12 sans reste. Ce LCM doit être trouvé.
Pour trouver le plus petit commun multiple (LCM), vous pouvez utiliser deux méthodes. La première façon est que vous puissiez écrire les premiers multiples de deux nombres, puis choisir parmi ces multiples un nombre qui sera commun aux nombres et petit. Appliquons cette méthode.
Tout d'abord, trouvons les premiers multiples du nombre 9. Pour trouver les multiples de 9, vous devez multiplier ce neuf un par un par des nombres de 1 à 9. Les réponses obtenues seront des multiples du nombre 9. Donc, Commençons. Nous soulignerons les multiples en rouge :
On trouve maintenant les multiples du nombre 12. Pour ce faire, on multiplie 12 un par un par tous les nombres de 1 à 12.
Mais de nombreux nombres naturels sont également divisibles par d’autres nombres naturels.
Par exemple:
Le nombre 12 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12 ;
Le nombre 36 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12, par 18, par 36.
Les nombres par lesquels le nombre est divisible par un tout (pour 12 ce sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12) sont appelés diviseurs de nombres. Diviseur d'un nombre naturel un- est un nombre naturel qui divise un nombre donné un sans laisser de trace. Un nombre naturel qui a plus de deux diviseurs s'appelle composite. Veuillez noter que les nombres 12 et 36 ont des facteurs communs. Ces nombres sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Le plus grand diviseur de ces nombres est 12.
Diviseur commun de deux nombres donnés un Et b- c'est le nombre par lequel les deux nombres donnés sont divisés sans reste un Et b. Diviseur commun de plusieurs nombres (PGCD) est un nombre qui sert de diviseur pour chacun d’eux.
En bref, le plus grand diviseur commun des nombres un Et bécris-le comme ceci :
Exemple: PGCD (12 ; 36) = 12.
Les diviseurs de nombres dans l'enregistrement de solution sont désignés par la lettre majuscule « D ».
Exemple:
PGCD (7 ; 9) = 1
Les nombres 7 et 9 n'ont qu'un seul diviseur commun : le chiffre 1. Ces nombres sont appelés mutuellement premierchi slami.
Nombres premiers entre eux- ce sont des nombres naturels qui n'ont qu'un seul diviseur commun - le nombre 1. Leur pgcd est 1.
Plus grand diviseur commun (PGCD), propriétés.
- Propriété de base : plus grand diviseur commun m Et n est divisible par n'importe quel diviseur commun de ces nombres. Exemple: Pour les nombres 12 et 18, le plus grand commun diviseur est 6 ; il est divisé par tous les diviseurs communs de ces nombres : 1, 2, 3, 6.
- Corollaire 1 : ensemble de diviseurs communs m Et n coïncide avec l'ensemble des diviseurs GCD ( m, n).
- Corollaire 2 : ensemble de multiples communs m Et n coïncide avec l'ensemble de plusieurs LCM ( m, n).
Cela signifie notamment que pour réduire une fraction à une forme irréductible, il faut diviser son numérateur et son dénominateur par leur pgcd.
- Le plus grand diviseur commun des nombres m Et n peut être défini comme le plus petit élément positif de l'ensemble de toutes leurs combinaisons linéaires :
et donc le représenter comme une combinaison linéaire de nombres m Et n:
Ce rapport est appelé La relation de Bezout, et les coefficients toi Et v — Coefficients de Bézout. Les coefficients de Bezout sont calculés efficacement par l'algorithme euclidien étendu. Cette affirmation se généralise aux ensembles de nombres naturels - sa signification est que le sous-groupe du groupe généré par l'ensemble est cyclique et généré par un élément : PGCD ( un 1 , un 2 , … , un).
Calculez le plus grand diviseur commun (PGCD).
Des moyens efficaces de calculer le pgcd de deux nombres sont Algorithme euclidien Et binairealgorithme. De plus, la valeur de pgcd ( m,n) peut être facilement calculé si le développement canonique des nombres est connu m Et n en facteurs premiers :
où sont des nombres premiers distincts, et et sont des entiers non négatifs (ils peuvent être des zéros si le premier correspondant n'est pas dans le développement). Puis PGCD ( m,n) et CNP ( m,n) sont exprimés par les formules :
S'il y a plus de deux nombres : , leur pgcd est trouvé à l'aide de l'algorithme suivant :
- c'est le GCD souhaité.
Aussi, afin de trouver plus grand diviseur commun, vous pouvez factoriser chacun des nombres donnés en facteurs premiers. Notez ensuite séparément uniquement les facteurs inclus dans tous les nombres donnés. Ensuite, nous multiplions les nombres écrits ensemble - le résultat de la multiplication est le plus grand diviseur commun .
Regardons étape par étape le calcul du plus grand diviseur commun :
1. Décomposez les diviseurs de nombres en facteurs premiers :
Il est pratique d'écrire des calculs à l'aide d'une barre verticale. À gauche de la ligne, nous notons d'abord le dividende, à droite le diviseur. Ensuite, dans la colonne de gauche, nous notons les valeurs des quotients. Expliquons-le tout de suite avec un exemple. Factorisons les nombres 28 et 64 en facteurs premiers.
2. Nous soulignons les mêmes facteurs premiers dans les deux nombres :
28 = 2 . 2 . 7
64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
3. Trouvez le produit de facteurs premiers identiques et notez la réponse :
pgcd (28 ; 64) = 2. 2 = 4
Réponse : PGCD (28 ; 64) = 4
Vous pouvez formaliser l'emplacement du GCD de deux manières : en colonne (comme fait ci-dessus) ou « en ligne ».
La première façon d'écrire GCD :
Trouvez les pgcd 48 et 36.
PGCD (48 ; 36) = 2. 2. 3 = 12
La deuxième façon d'écrire GCD :
Écrivons maintenant la solution à la recherche GCD sur une ligne. Trouvez pgcd 10 et 15.
D (10) = (1, 2, 5, 10)
D (15) = (1, 3, 5, 15)
D (10, 15) = (1, 5)