L'article aborde les concepts de nombres premiers et composés. Les définitions de ces nombres sont données avec des exemples. Nous apportons la preuve que la quantité nombres premiers illimité et écrivez dans le tableau des nombres premiers en utilisant la méthode d'Eratosthène. Des preuves seront données pour déterminer si un nombre est premier ou composé.
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Nombres premiers et composés - Définitions et exemples
Les nombres premiers et composés sont classés comme entiers positifs. Ils doivent être supérieurs à un. Les diviseurs sont également divisés en simples et composites. Pour comprendre la notion de nombres composés, vous devez d'abord étudier les notions de diviseurs et de multiples.
Définition 1
Les nombres premiers sont des nombres entiers supérieurs à un et qui ont deux diviseurs positifs, c'est-à-dire eux-mêmes et 1.
Définition 2
Les nombres composés sont des nombres entiers supérieurs à un et comportant au moins trois diviseurs positifs.
Un n’est ni un nombre premier ni un nombre composé. Il n’a qu’un seul diviseur positif, il est donc différent de tous les autres nombres positifs. Tous les entiers positifs sont appelés nombres naturels, c'est-à-dire utilisés pour compter.
Définition 3
nombres premiers sont des nombres naturels qui n'ont que deux diviseurs positifs.
Définition 4
Nombre composé- Ce entier naturel, ayant plus de deux diviseurs positifs.
Tout nombre supérieur à 1 est premier ou composé. De la propriété de divisibilité, nous avons que 1 et le nombre a seront toujours diviseurs pour tout nombre a, c'est-à-dire qu'il sera divisible par lui-même et par 1. Donnons une définition des entiers.
Définition 5
Les nombres naturels qui ne sont pas premiers sont appelés nombres composés.
Nombres premiers : 2, 3, 11, 17, 131, 523. Ils ne sont divisibles que par eux-mêmes et 1. Nombres composés : 6, 63, 121, 6697. Autrement dit, le nombre 6 peut être décomposé en 2 et 3, et 63 en 1, 3, 7, 9, 21, 63 et 121 en 11, 11, c'est-à-dire que ses diviseurs seront 1, 11, 121. Le nombre 6697 se décompose en 37 et 181. Notez que les concepts de nombres premiers et de nombres premiers entre eux sont des concepts différents.
Pour faciliter l'utilisation des nombres premiers, vous devez utiliser un tableau :
Un tableau de tous les nombres naturels existants est irréaliste, car il y en a un nombre infini. Lorsque les nombres atteignent 10 000 ou 1 000 000 000, vous devriez alors envisager d’utiliser le tamis d’Ératosthène.
Considérons le théorème qui explique la dernière affirmation.
Théorème 1
Le plus petit diviseur positif autre que 1 d'un nombre naturel supérieur à un est un nombre premier.
Preuve 1
Supposons que a soit un nombre naturel supérieur à 1, b soit le plus petit diviseur non un de a. Il faut prouver que b est un nombre premier en utilisant la méthode des contradictions.
Supposons que b soit un nombre composé. De là, nous avons qu’il existe un diviseur pour b, qui est différent de 1 ainsi que de b. Un tel diviseur est noté b 1. Il faut que la condition 1< b 1 < b a été achevée.
De la condition, il ressort clairement que a est divisé par b, b est divisé par b 1, ce qui signifie que le concept de divisibilité s'exprime comme suit : a = bq et b = b 1 · q 1 , d'où a = b 1 · (q 1 · q) , où q et q1 sont des entiers. D'après la règle de multiplication des entiers, nous avons que le produit des entiers est un entier d'égalité de la forme a = b 1 · (q 1 · q) . On voit que b 1 est le diviseur du nombre a. Inégalité 1< b 1 < b Pas correspond, car on trouve que b est le plus petit diviseur positif et non-1 de a.
Théorème 2
Il existe un nombre infini de nombres premiers.
Preuve 2
Vraisemblablement, nous prenons un nombre fini d'entiers naturels n et les notons p 1, p 2,…, p n. Considérons la possibilité de trouver un nombre premier différent de ceux indiqués.
Prenons en considération le nombre p, qui est égal à p 1, p 2, ..., p n + 1. Il n'est pas égal à chacun des nombres correspondant aux nombres premiers de la forme p 1, p 2, ..., p n. Le nombre p est premier. Le théorème est alors considéré comme prouvé. S'il est composite, alors il faut prendre la notation p n + 1 et montrer que le diviseur ne coïncide avec aucun des p 1, p 2, ..., p n.
Si ce n'était pas le cas, alors, sur la base de la propriété de divisibilité du produit p 1, p 2, ..., p n , on trouve qu'il serait divisible par pn + 1. Notez que l'expression p n + 1 diviser le nombre p est égal à la somme p 1, p 2, ..., p n + 1. On obtient que l'expression p n + 1 Le deuxième terme de cette somme, qui vaut 1, doit être divisé, mais cela est impossible.
On voit que n’importe quel nombre premier peut être trouvé parmi n’importe quel nombre de nombres premiers donnés. Il s’ensuit qu’il existe une infinité de nombres premiers.
Comme il existe de nombreux nombres premiers, les tableaux se limitent aux nombres 100, 1 000, 10 000, etc.
Lors de l'élaboration d'un tableau de nombres premiers, vous devez tenir compte du fait qu'une telle tâche nécessite une vérification séquentielle des nombres, allant de 2 à 100. S'il n'y a pas de diviseur, il est enregistré dans le tableau ; s'il est composé, alors il n'est pas inscrit dans le tableau.
Regardons cela étape par étape.
Si vous commencez par le chiffre 2, alors il n'a que 2 diviseurs : 2 et 1, ce qui signifie qu'il peut être inscrit dans le tableau. Idem avec le chiffre 3. Le nombre 4 est composé ; il doit être décomposé en 2 et 2. Le nombre 5 est premier, ce qui signifie qu'il peut être enregistré dans le tableau. Faites cela jusqu'au nombre 100.
Cette méthode peu pratique et long. Vous pouvez créer une table, mais vous devrez dépenser un grand nombre de temps. Il est nécessaire d'utiliser des critères de divisibilité, ce qui accélérera le processus de recherche de diviseurs.
La méthode utilisant le tamis d'Eratosthène est considérée comme la plus pratique. Regardons les tableaux ci-dessous à titre d'exemple. Pour commencer, les nombres 2, 3, 4, ..., 50 sont écrits.
Vous devez maintenant rayer tous les nombres multiples de 2. Effectuez des barrés séquentiels. On obtient un tableau du type :
Nous passons à la barre des nombres multiples de 5. On a:
Rayez les nombres multiples de 7, 11. En fin de compte, le tableau ressemble à
Passons à la formulation du théorème.
Théorème 3
Le plus petit diviseur positif et différent de 1 du nombre de base a ne dépasse pas a, où a est la racine arithmétique du nombre donné.
Preuve 3
Doit être désigné b moindre diviseur numéro composé a. Il existe un entier q, où a = b · q, et nous avons que b ≤ q. Les inégalités de forme sont inacceptables b > q, parce que la condition n'est pas respectée. Les deux côtés de l'inégalité b ≤ q doivent être multipliés par tout nombre positif b différent de 1. Nous obtenons que b · b ≤ b · q, où b 2 ≤ a et b ≤ a.
D'après le théorème éprouvé, il ressort clairement que rayer des nombres dans le tableau conduit au fait qu'il faut commencer par un nombre égal à b 2 et satisfaisant l'inégalité b 2 ≤ a. Autrement dit, si vous rayez les nombres multiples de 2, alors le processus commence par 4, et les multiples de 3 par 9, et ainsi de suite jusqu'à 100.
La compilation d’un tel tableau à l’aide du théorème d’Eratosthène suggère que lorsque tous les nombres composés sont barrés, il restera des nombres premiers qui ne dépassent pas n. Dans l’exemple où n = 50, nous avons que n = 50. De là, nous obtenons que le tamis d'Eratosthène élimine tous les nombres composés qui n'ont pas de valeur. plus grande valeur racine de 50. La recherche de numéros se fait en barrant.
Avant de résoudre, vous devez savoir si le nombre est premier ou composé. Des critères de divisibilité sont souvent utilisés. Regardons cela dans l'exemple ci-dessous.
Exemple 1
Montrer que le nombre 898989898989898989 est composé.
Solution
La somme des chiffres d'un nombre donné est 9 8 + 9 9 = 9 17. Cela signifie que le nombre 9 · 17 est divisible par 9, sur la base du test de divisibilité par 9. Il s’ensuit qu’il est composite.
De tels signes ne sont pas capables de prouver la primeur d’un nombre. Si une vérification est nécessaire, d'autres mesures doivent être prises. La méthode la plus appropriée consiste à énumérer des nombres. Au cours du processus, des nombres premiers et composés peuvent être trouvés. Autrement dit, les chiffres ne doivent pas dépasser une valeur. Autrement dit, le nombre a doit être décomposé en facteurs premiers. si cela est satisfait, alors le nombre a peut être considéré comme premier.
Exemple 2
Déterminez le nombre composé ou premier 11723.
Solution
Vous devez maintenant trouver tous les diviseurs du nombre 11723. Besoin d'évaluer 11723 .
De là, nous voyons que 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 , et 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 moins de nombre 200 .
Pour une estimation plus précise du nombre 11723, il faut écrire l'expression 108 2 = 11 664, et 109 2 = 11 881 , Que 108 2 < 11 723 < 109 2 . Il s'ensuit que 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.
En développant, nous constatons que 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 sont tous des nombres premiers. L’ensemble de ce processus peut être représenté comme une division par colonne. Autrement dit, divisez 11723 par 19. Le nombre 19 est l'un de ses facteurs, puisqu'on obtient une division sans reste. Représentons la division sous forme de colonne :
Il s'ensuit que 11723 est un nombre composé, car en plus de lui-même et de 1, il possède un diviseur de 19.
Répondre: 11723 est un nombre composé.
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Vous trouverez ci-dessous un tableau de nombres premiers de 2 à 10 000 (1 229 pièces). Unité non incluse, désolé. Certains pensent que l'unité n'est pas incluse parce que... elle ne peut pas être là. " Un nombre premier est un nombre qui a deux diviseurs : un et le nombre lui-même."Et le nombre 1 n'a qu'un seul diviseur ; il ne s'applique ni aux nombres premiers ni aux nombres composés. (remarque judicieuse d'Olga 21/09/12) On rappelle cependant que les nombres premiers sont parfois saisis ainsi : " Un nombre premier est un nombre divisible par un et par lui-même."Dans ce cas, un est évidemment un nombre premier.
Tableau des nombres premiers de 2 à 1000. Le tableau des nombres premiers de 2 à 1000 est surligné en gris.
| 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 |
| 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 |
| 97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 | 127 | 131 | 137 | 139 | 149 | 151 |
| 157 | 163 | 167 | 173 | 179 | 181 | 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 |
| 227 | 229 | 233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 | 269 | 271 | 277 | 281 |
| 283 | 293 | 307 | 311 | 313 | 317 | 331 | 337 | 347 | 349 | 353 | 359 |
| 367 | 373 | 379 | 383 | 389 | 397 | 401 | 409 | 419 | 421 | 431 | 433 |
| 439 | 443 | 449 | 457 | 461 | 463 | 467 | 479 | 487 | 491 | 499 | 503 |
| 509 | 521 | 523 | 541 | 547 | 557 | 563 | 569 | 571 | 577 | 587 | 593 |
| 599 | 601 | 607 | 613 | 617 | 619 | 631 | 641 | 643 | 647 | 653 | 659 |
| 661 | 673 | 677 | 683 | 691 | 701 | 709 | 719 | 727 | 733 | 739 | 743 |
| 751 | 757 | 761 | 769 | 773 | 787 | 797 | 809 | 811 | 821 | 823 | 827 |
| 829 | 839 | 853 | 857 | 859 | 863 | 877 | 881 | 883 | 887 | 907 | 911 |
| 919 | 929 | 937 | 941 | 947 | 953 | 967 | 971 | 977 | 983 | 991 | 997 |
| 1009 | 1013 | 1019 | 1021 | 1031 | 1033 | 1039 | 1049 | 1051 | 1061 | 1063 | 1069 |
| 1087 | 1091 | 1093 | 1097 | 1103 | 1109 | 1117 | 1123 | 1129 | 1151 | 1153 | 1163 |
| 1171 | 1181 | 1187 | 1193 | 1201 | 1213 | 1217 | 1223 | 1229 | 1231 | 1237 | 1249 |
| 1259 | 1277 | 1279 | 1283 | 1289 | 1291 | 1297 | 1301 | 1303 | 1307 | 1319 | 1321 |
| 1327 | 1361 | 1367 | 1373 | 1381 | 1399 | 1409 | 1423 | 1427 | 1429 | 1433 | 1439 |
| 1447 | 1451 | 1453 | 1459 | 1471 | 1481 | 1483 | 1487 | 1489 | 1493 | 1499 | 1511 |
| 1523 | 1531 | 1543 | 1549 | 1553 | 1559 | 1567 | 1571 | 1579 | 1583 | 1597 | 1601 |
| 1607 | 1609 | 1613 | 1619 | 1621 | 1627 | 1637 | 1657 | 1663 | 1667 | 1669 | 1693 |
| 1697 | 1699 | 1709 | 1721 | 1723 | 1733 | 1741 | 1747 | 1753 | 1759 | 1777 | 1783 |
| 1787 | 1789 | 1801 | 1811 | 1823 | 1831 | 1847 | 1861 | 1867 | 1871 | 1873 | 1877 |
| 1879 | 1889 | 1901 | 1907 | 1913 | 1931 | 1933 | 1949 | 1951 | 1973 | 1979 | 1987 |
| 1993 | 1997 | 1999 | 2003 | 2011 | 2017 | 2027 | 2029 | 2039 | 2053 | 2063 | 2069 |
| 2081 | 2083 | 2087 | 2089 | 2099 | 2111 | 2113 | 2129 | 2131 | 2137 | 2141 | 2143 |
| 2153 | 2161 | 2179 | 2203 | 2207 | 2213 | 2221 | 2237 | 2239 | 2243 | 2251 | 2267 |
| 2269 | 2273 | 2281 | 2287 | 2293 | 2297 | 2309 | 2311 | 2333 | 2339 | 2341 | 2347 |
| 2351 | 2357 | 2371 | 2377 | 2381 | 2383 | 2389 | 2393 | 2399 | 2411 | 2417 | 2423 |
| 2437 | 2441 | 2447 | 2459 | 2467 | 2473 | 2477 | 2503 | 2521 | 2531 | 2539 | 2543 |
| 2549 | 2551 | 2557 | 2579 | 2591 | 2593 | 2609 | 2617 | 2621 | 2633 | 2647 | 2657 |
| 2659 | 2663 | 2671 | 2677 | 2683 | 2687 | 2689 | 2693 | 2699 | 2707 | 2711 | 2713 |
| 2719 | 2729 | 2731 | 2741 | 2749 | 2753 | 2767 | 2777 | 2789 | 2791 | 2797 | 2801 |
| 2803 | 2819 | 2833 | 2837 | 2843 | 2851 | 2857 | 2861 | 2879 | 2887 | 2897 | 2903 |
| 2909 | 2917 | 2927 | 2939 | 2953 | 2957 | 2963 | 2969 | 2971 | 2999 | 3001 | 3011 |
| 3019 | 3023 | 3037 | 3041 | 3049 | 3061 | 3067 | 3079 | 3083 | 3089 | 3109 | 3119 |
| 3121 | 3137 | 3163 | 3167 | 3169 | 3181 | 3187 | 3191 | 3203 | 3209 | 3217 | 3221 |
| 3229 | 3251 | 3253 | 3257 | 3259 | 3271 | 3299 | 3301 | 3307 | 3313 | 3319 | 3323 |
| 3329 | 3331 | 3343 | 3347 | 3359 | 3361 | 3371 | 3373 | 3389 | 3391 | 3407 | 3413 |
| 3433 | 3449 | 3457 | 3461 | 3463 | 3467 | 3469 | 3491 | 3499 | 3511 | 3517 | 3527 |
| 3529 | 3533 | 3539 | 3541 | 3547 | 3557 | 3559 | 3571 | 3581 | 3583 | 3593 | 3607 |
| 3613 | 3617 | 3623 | 3631 | 3637 | 3643 | 3659 | 3671 | 3673 | 3677 | 3691 | 3697 |
| 3701 | 3709 | 3719 | 3727 | 3733 | 3739 | 3761 | 3767 | 3769 | 3779 | 3793 | 3797 |
| 3803 | 3821 | 3823 | 3833 | 3847 | 3851 | 3853 | 3863 | 3877 | 3881 | 3889 | 3907 |
| 3911 | 3917 | 3919 | 3923 | 3929 | 3931 | 3943 | 3947 | 3967 | 3989 | 4001 | 4003 |
| 4007 | 4013 | 4019 | 4021 | 4027 | 4049 | 4051 | 4057 | 4073 | 4079 | 4091 | 4093 |
| 4099 | 4111 | 4127 | 4129 | 4133 | 4139 | 4153 | 4157 | 4159 | 4177 | 4201 | 4211 |
| 4217 | 4219 | 4229 | 4231 | 4241 | 4243 | 4253 | 4259 | 4261 | 4271 | 4273 | 4283 |
| 4289 | 4297 | 4327 | 4337 | 4339 | 4349 | 4357 | 4363 | 4373 | 4391 | 4397 | 4409 |
| 4421 | 4423 | 4441 | 4447 | 4451 | 4457 | 4463 | 4481 | 4483 | 4493 | 4507 | 4513 |
| 4517 | 4519 | 4523 | 4547 | 4549 | 4561 | 4567 | 4583 | 4591 | 4597 | 4603 | 4621 |
| 4637 | 4639 | 4643 | 4649 | 4651 | 4657 | 4663 | 4673 | 4679 | 4691 | 4703 | 4721 |
| 4723 | 4729 | 4733 | 4751 | 4759 | 4783 | 4787 | 4789 | 4793 | 4799 | 4801 | 4813 |
| 4817 | 4831 | 4861 | 4871 | 4877 | 4889 | 4903 | 4909 | 4919 | 4931 | 4933 | 4937 |
| 4943 | 4951 | 4957 | 4967 | 4969 | 4973 | 4987 | 4993 | 4999 | 5003 | 5009 | 5011 |
| 5021 | 5023 | 5039 | 5051 | 5059 | 5077 | 5081 | 5087 | 5099 | 5101 | 5107 | 5113 |
| 5119 | 5147 | 5153 | 5167 | 5171 | 5179 | 5189 | 5197 | 5209 | 5227 | 5231 | 5233 |
| 5237 | 5261 | 5273 | 5279 | 5281 | 5297 | 5303 | 5309 | 5323 | 5333 | 5347 | 5351 |
| 5381 | 5387 | 5393 | 5399 | 5407 | 5413 | 5417 | 5419 | 5431 | 5437 | 5441 | 5443 |
| 5449 | 5471 | 5477 | 5479 | 5483 | 5501 | 5503 | 5507 | 5519 | 5521 | 5527 | 5531 |
| 5557 | 5563 | 5569 | 5573 | 5581 | 5591 | 5623 | 5639 | 5641 | 5647 | 5651 | 5653 |
| 5657 | 5659 | 5669 | 5683 | 5689 | 5693 | 5701 | 5711 | 5717 | 5737 | 5741 | 5743 |
| 5749 | 5779 | 5783 | 5791 | 5801 | 5807 | 5813 | 5821 | 5827 | 5839 | 5843 | 5849 |
| 5851 | 5857 | 5861 | 5867 | 5869 | 5879 | 5881 | 5897 | 5903 | 5923 | 5927 | 5939 |
| 5953 | 5981 | 5987 | 6007 | 6011 | 6029 | 6037 | 6043 | 6047 | 6053 | 6067 | 6073 |
| 6079 | 6089 | 6091 | 6101 | 6113 | 6121 | 6131 | 6133 | 6143 | 6151 | 6163 | 6173 |
| 6197 | 6199 | 6203 | 6211 | 6217 | 6221 | 6229 | 6247 | 6257 | 6263 | 6269 | 6271 |
| 6277 | 6287 | 6299 | 6301 | 6311 | 6317 | 6323 | 6329 | 6337 | 6343 | 6353 | 6359 |
| 6361 | 6367 | 6373 | 6379 | 6389 | 6397 | 6421 | 6427 | 6449 | 6451 | 6469 | 6473 |
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Évaluation de l'article :
Dans cet article, nous explorerons nombres premiers et composés. Tout d’abord, nous donnerons des définitions des nombres premiers et composés, ainsi que des exemples. Nous prouverons ensuite qu’il existe une infinité de nombres premiers. Ensuite, nous rédigerons un tableau de nombres premiers et examinerons les méthodes permettant de compiler un tableau de nombres premiers, en accordant une attention particulière à la méthode appelée le tamis d'Ératosthène. En conclusion, nous soulignons les principaux points à prendre en compte pour prouver que numéro donné est simple ou composé.
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Nombres premiers et composés - Définitions et exemples
Les notions de nombres premiers et de nombres composés font référence à des nombres supérieurs à un. Ces entiers, en fonction du nombre de leurs diviseurs positifs, sont divisés en nombres premiers et composés. Alors pour comprendre définitions des nombres premiers et composés, vous devez bien comprendre ce que sont les diviseurs et les multiples.
Définition.
nombres premiers sont des entiers, de grandes unités, qui n'ont que deux diviseurs positifs, à savoir eux-mêmes et 1.
Définition.
Nombres composés sont des nombres entiers, grands, qui ont au moins trois diviseurs positifs.
Par ailleurs, notez que le chiffre 1 ne s'applique ni aux nombres premiers ni aux nombres composés. L’unité n’a qu’un seul diviseur positif, qui est le chiffre 1 lui-même. Cela distingue le nombre 1 de tous les autres entiers positifs possédant au moins deux diviseurs positifs.
Considérant que les entiers positifs sont , et qu’il n’y a qu’un seul diviseur positif, nous pouvons donner d’autres formulations des définitions énoncées des nombres premiers et composés.
Définition.
nombres premiers sont des nombres naturels qui n'ont que deux diviseurs positifs.
Définition.
Nombres composés sont des nombres naturels qui ont plus de deux diviseurs positifs.
Notez que tout entier positif supérieur à un est soit un nombre premier, soit un nombre composé. En d’autres termes, il n’existe pas un seul entier qui ne soit ni premier ni composé. Cela découle de la propriété de divisibilité, qui stipule que les nombres 1 et a sont toujours des diviseurs de tout entier a.
Sur la base des informations du paragraphe précédent, nous pouvons donner la définition suivante des nombres composés.
Définition.
Les nombres naturels qui ne sont pas premiers sont appelés composite.
Donne moi exemples de nombres premiers et composés.
Des exemples de nombres composés incluent 6, 63, 121 et 6 697. Cette affirmation mérite également d'être clarifiée. Le nombre 6, en plus des diviseurs positifs 1 et 6, possède également les diviseurs 2 et 3, puisque 6 = 2 3, donc 6 est véritablement un nombre composé. Les facteurs positifs de 63 sont les nombres 1, 3, 7, 9, 21 et 63. Le nombre 121 est égal au produit 11·11, donc ses diviseurs positifs sont 1, 11 et 121. Et le nombre 6 697 est composite, puisque ses diviseurs positifs, en plus de 1 et 6 697, sont aussi les nombres 37 et 181.
En conclusion de ce point, je voudrais également attirer l’attention sur le fait que les nombres premiers et les nombres premiers entre eux sont loin d’être la même chose.
Tableau des nombres premiers
Les nombres premiers, pour faciliter leur utilisation ultérieure, sont enregistrés dans un tableau appelé tableau des nombres premiers. Ci-dessous se trouve tableau des nombres premiers jusqu'à 1 000.
Se pose question logique: "Pourquoi n'a-t-on rempli le tableau des nombres premiers que jusqu'à 1 000, n'est-il pas possible de faire un tableau de tous les nombres premiers qui existent" ?
Répondons d'abord à la première partie de cette question. Pour la plupart des problèmes nécessitant l’utilisation de nombres premiers, des nombres premiers inférieurs à mille seront suffisants. Dans d'autres cas, vous devrez très probablement recourir à des techniques de résolution spéciales. Bien que nous puissions certainement créer un tableau de nombres premiers jusqu'à un entier positif fini arbitrairement grand, que ce soit 10 000 ou 1 000 000 000, dans le paragraphe suivant, nous parlerons des méthodes de création de tableaux de nombres premiers, en particulier, nous examinerons une méthode appelé.
Examinons maintenant la possibilité (ou plutôt l'impossibilité) de dresser un tableau de tous les nombres premiers existants. Nous ne pouvons pas dresser un tableau de tous les nombres premiers car il existe une infinité de nombres premiers. Le dernier énoncé est un théorème que nous démontrerons après le théorème auxiliaire suivant.
Théorème.
Le plus petit diviseur positif autre que 1 d'un nombre naturel supérieur à un est un nombre premier.
Preuve.
Laisser a est un nombre naturel supérieur à un et b est le plus petit diviseur positif de a différent de un. Montrons que b est un nombre premier par contradiction.
Supposons que b soit un nombre composé. Ensuite, il existe un diviseur du nombre b (notons-le b 1), qui est différent à la fois de 1 et de b. Si l'on tient également compte du fait que la valeur absolue du diviseur ne dépasse pas la valeur absolue du dividende (nous le savons grâce aux propriétés de divisibilité), alors la condition 1 doit être remplie
Puisque le nombre a est divisible par b selon la condition, et que l'on a dit que b est divisible par b 1, la notion de divisibilité permet de parler de l'existence d'entiers q et q 1 tels que a=b q et b=b 1 q 1 , d'où a= b 1 ·(q 1 ·q) . Il s'ensuit que le produit de deux entiers est un entier, alors l'égalité a=b 1 ·(q 1 ·q) indique que b 1 est un diviseur du nombre a. Compte tenu des inégalités ci-dessus 1
Nous pouvons maintenant prouver qu’il existe une infinité de nombres premiers.
Théorème.
Il existe un nombre infini de nombres premiers.
Preuve.
Supposons que ce ne soit pas le cas. Autrement dit, supposons qu'il n'y ait que n nombres premiers et que ces nombres premiers soient p 1, p 2, ..., p n. Montrons qu'on peut toujours trouver un nombre premier différent de ceux indiqués.
Considérons le nombre p égal à p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Il est clair que ce nombre est différent de chacun des nombres premiers p 1, p 2, ..., p n. Si le nombre p est premier, alors le théorème est prouvé. Si ce nombre est composé, alors en vertu du théorème précédent il existe un diviseur premier de ce nombre (on le note p n+1). Montrons que ce diviseur ne coïncide avec aucun des nombres p 1, p 2, ..., p n.
Si tel n'était pas le cas, alors, selon les propriétés de divisibilité, le produit p 1 ·p 2 ·…·p n serait divisé par p n+1. Mais le nombre p est aussi divisible par p n+1, égal à la somme p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Il s'ensuit que p n+1 doit diviser le deuxième terme de cette somme, qui est égal à un, mais cela est impossible.
Ainsi, il a été prouvé qu'il est toujours possible de trouver un nouveau nombre premier qui n'est inclus parmi aucun nombre de nombres premiers prédéterminés. Il existe donc une infinité de nombres premiers.
Ainsi, étant donné qu'il existe un nombre infini de nombres premiers, lors de l'élaboration de tableaux de nombres premiers, vous vous limitez toujours d'en haut à un nombre, généralement 100, 1 000, 10 000, etc.
Tamis d'Ératosthène
Nous allons maintenant discuter des façons de créer des tableaux de nombres premiers. Supposons que nous devions créer un tableau de nombres premiers jusqu'à 100.
La méthode la plus évidente pour résoudre ce problème consiste à vérifier séquentiellement sur les entiers positifs, commençant par 2 et se terminant par 100, la présence d'un diviseur positif supérieur à 1 et inférieur au nombre testé (d'après les propriétés de divisibilité que nous connaissons que la valeur absolue du diviseur n'excède pas la valeur absolue du dividende, non nulle). Si un tel diviseur n'est pas trouvé, alors le nombre testé est premier et il est inscrit dans la table des nombres premiers. Si un tel diviseur est trouvé, alors le nombre testé est composé ; il n'est PAS inscrit dans le tableau des nombres premiers. Après cela, la transition se produit vers le nombre suivant, dont la présence d'un diviseur est également vérifiée.
Décrivons les premières étapes.
Nous commençons par le chiffre 2. Le nombre 2 n'a pas de diviseurs positifs autres que 1 et 2. C'est donc simple, donc on l'inscrit dans le tableau des nombres premiers. Ici, il faut dire que 2 est le plus petit nombre premier. Passons au numéro 3. Son éventuel diviseur positif autre que 1 et 3 est le nombre 2. Mais 3 n'est pas divisible par 2, donc 3 est un nombre premier et doit également être inclus dans le tableau des nombres premiers. Passons au numéro 4. Ses diviseurs positifs, autres que 1 et 4, peuvent être les nombres 2 et 3, vérifions-les. Le nombre 4 est divisible par 2, donc 4 est un nombre composé et n'a pas besoin d'être inclus dans le tableau des nombres premiers. Veuillez noter que 4 est le plus petit nombre composé. Passons au numéro 5. On vérifie si au moins un des nombres 2, 3, 4 est son diviseur. Puisque 5 n’est pas divisible par 2, 3 ou 4, alors il est premier et doit être écrit dans le tableau des nombres premiers. Ensuite, il y a une transition vers les nombres 6, 7, et ainsi de suite jusqu'à 100.
Cette approche pour compiler un tableau de nombres premiers est loin d’être idéale. D'une manière ou d'une autre, il a le droit d'exister. Notez qu'avec cette méthode de construction d'un tableau d'entiers, vous pouvez utiliser des critères de divisibilité, ce qui accélérera légèrement le processus de recherche de diviseurs.
Il existe un moyen plus pratique de créer un tableau de nombres premiers, appelé. Le mot « tamis » présent dans le nom n'est pas accidentel, puisque les actions de cette méthode aident, pour ainsi dire, à « passer au crible » les nombres entiers et les grandes unités à travers le tamis d'Eratosthène afin de séparer les simples des composés.
Montrons le tamis d'Ératosthène en action lors de la compilation d'un tableau de nombres premiers jusqu'à 50.
Tout d'abord, notez les nombres 2, 3, 4, ..., 50 dans l'ordre.
Le premier nombre écrit, 2, est premier. Maintenant, à partir du numéro 2, nous nous déplaçons séquentiellement vers la droite de deux nombres et barrons ces nombres jusqu'à atteindre la fin du tableau des nombres en cours de compilation. Cela rayera tous les nombres multiples de deux.
Le premier chiffre qui n’est pas barré après 2 est 3. Ce nombre est premier. Maintenant, à partir du numéro 3, nous nous déplaçons systématiquement vers la droite de trois chiffres (en tenant compte des chiffres déjà barrés) et les biffons. Cela rayera tous les nombres multiples de trois.
Le premier chiffre qui n’est pas barré après 3 est 5. Ce nombre est premier. Maintenant, à partir du chiffre 5, nous nous déplaçons systématiquement vers la droite de 5 chiffres (nous prenons également en compte les chiffres barrés plus tôt) et les biffons. Cela rayera tous les nombres multiples de cinq.
Ensuite, on raye les nombres multiples de 7, puis multiples de 11, et ainsi de suite. Le processus se termine lorsqu’il n’y a plus de chiffres à rayer. Ci-dessous le tableau complété des nombres premiers jusqu'à 50, obtenu à l'aide du tamis d'Eratosthène. Tous les nombres non croisés sont premiers et tous les nombres barrés sont composés.
Formulons et prouvons également un théorème qui accélérera le processus d'élaboration d'un tableau de nombres premiers à l'aide du tamis d'Eratosthène.
Théorème.
Le plus petit diviseur positif d'un nombre composé a différent de un ne dépasse pas , où provient de a .
Preuve.
Notons par la lettre b le plus petit diviseur d'un nombre composé a différent de un (le nombre b est premier, comme il ressort du théorème démontré au tout début du paragraphe précédent). Alors il existe un entier q tel que a=b·q (ici q est un entier positif, qui découle des règles de multiplication des entiers), et (pour b>q la condition selon laquelle b est le plus petit diviseur de a est violée , puisque q est aussi un diviseur du nombre a en raison de l'égalité a=q·b ). En multipliant les deux côtés de l'inégalité par un positif et un entier supérieur à un (nous avons le droit de le faire), nous obtenons , d'où et .
Que nous donne le théorème prouvé concernant le tamis d'Ératosthène ?
Premièrement, la suppression des nombres composés multiples d'un nombre premier b doit commencer par un nombre égal à (cela découle de l'inégalité). Par exemple, barrer les nombres multiples de deux doit commencer par le chiffre 4, les multiples de trois par le chiffre 9, les multiples de cinq par le chiffre 25, et ainsi de suite.
Deuxièmement, l'établissement d'un tableau de nombres premiers jusqu'au nombre n à l'aide du tamis d'Ératosthène peut être considéré comme complet lorsque tous les nombres composés qui sont des multiples de nombres premiers ne dépassent pas . Dans notre exemple, n=50 (puisque nous faisons un tableau de nombres premiers jusqu'à 50) et, par conséquent, le tamis d'Ératosthène devrait éliminer tous les nombres composés qui sont des multiples des nombres premiers 2, 3, 5 et 7 qui font ne dépasse pas la racine carrée arithmétique de 50. C'est-à-dire que nous n'avons plus besoin de rechercher et de rayer des nombres multiples de nombres premiers 11, 13, 17, 19, 23 et ainsi de suite jusqu'à 47, puisqu'ils seront déjà barrés comme des multiples de nombres premiers plus petits 2 , 3, 5 et 7 .
Ce nombre est-il premier ou composé ?
Certaines tâches nécessitent de déterminer si un nombre donné est premier ou composé. De manière générale, cette tâche est loin d’être simple, notamment pour les nombres dont l’écriture est constituée d’un nombre important de caractères. Dans la plupart des cas, vous devez rechercher un moyen spécifique de résoudre le problème. Nous essaierons cependant d’orienter la réflexion pour des cas simples.
Bien entendu, vous pouvez essayer d’utiliser des tests de divisibilité pour prouver qu’un nombre donné est composé. Si, par exemple, un test de divisibilité montre qu'un nombre donné est divisible par un entier positif supérieur à un, alors le nombre original est composé.
Exemple.
Montrer que 898 989 898 989 898 989 est un nombre composé.
Solution.
La somme des chiffres de ce nombre est 9·8+9·9=9·17. Puisque le nombre égal à 9·17 est divisible par 9, alors par divisibilité par 9 on peut dire que le nombre original est également divisible par 9. Il est donc composite.
Un inconvénient majeur de cette approche est que les critères de divisibilité ne permettent pas de prouver le caractère premier d'un nombre. Par conséquent, lorsque vous testez un nombre pour voir s’il est premier ou composé, vous devez procéder différemment.
L’approche la plus logique consiste à essayer tous les diviseurs possibles d’un nombre donné. Si aucun des diviseurs possibles n’est un vrai diviseur d’un nombre donné, alors ce nombre sera premier, sinon il sera composé. Des théorèmes démontrés dans le paragraphe précédent, il résulte que les diviseurs d'un nombre donné a doivent être recherchés parmi les nombres premiers n'excédant pas . Ainsi, un nombre donné a peut être divisé séquentiellement par des nombres premiers (qui sont commodément tirés du tableau des nombres premiers), en essayant de trouver le diviseur du nombre a. Si un diviseur est trouvé, alors le nombre a est composé. Si parmi les nombres premiers n’excédant pas , il n’y a pas de diviseur du nombre a, alors le nombre a est premier.
Exemple.
Nombre 11 723 simple ou composé ?
Solution.
Découvrons jusqu'à quel nombre premier peuvent être les diviseurs du nombre 11 723. Pour ce faire, évaluons.
C'est assez évident que 
, puisque 200 2 =40 000, et 11 723<40 000
(при необходимости смотрите статью comparaison de chiffres). Ainsi, les facteurs premiers possibles de 11 723 sont inférieurs à 200. Cela rend déjà notre tâche beaucoup plus facile. Si nous ne le savions pas, nous devrions alors parcourir tous les nombres premiers non pas jusqu’à 200, mais jusqu’au nombre 11 723.
Si vous le souhaitez, vous pouvez évaluer plus précisément. Puisque 108 2 =11 664 et 109 2 =11 881, alors 108 2<11 723<109 2
, следовательно, 
. Ainsi, tout nombre premier inférieur à 109 est potentiellement un facteur premier du nombre donné 11 723.
Nous allons maintenant diviser séquentiellement le nombre 11 723 en nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71. , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Si le nombre 11 723 est divisé par l’un des nombres premiers écrits, alors il sera composé. S’il n’est divisible par aucun des nombres premiers écrits, alors le nombre original est premier.
Nous ne décrirons pas tout ce processus de division monotone et monotone. Disons tout de suite que 11 723