Zone de figures d'avion en ligne. Intégrale définie. Comment calculer l'aire d'une figure

16.10.2019

Nous commençons à considérer le processus réel de calcul de la double intégrale et à nous familiariser avec sa signification géométrique.

Double intégrale numériquement égal à la superficie figure plate (région d’intégration). Ce forme la plus simple intégrale double, lorsque la fonction de deux variables est égale à un : .

Considérons d'abord le problème dans vue générale. Maintenant, vous serez assez surpris de voir à quel point tout est simple ! Calculons l'aire d'une figure plate délimitée par des lignes. Pour être précis, nous supposons que sur le segment . L'aire de cette figure est numériquement égale à :

Décrivons la zone dans le dessin :

Choisissons la première façon de parcourir la zone :

Ainsi:

Et immédiatement important technique technique: Les intégrales itérées peuvent être considérées séparément. D’abord l’intégrale intérieure, puis l’intégrale extérieure. Cette méthode Je le recommande vivement aux débutants dans le sujet.

1) Calculons l'intégrale interne, et l'intégration s'effectue sur la variable « y » :

L'intégrale indéfinie est ici la plus simple, puis la formule banale de Newton-Leibniz est utilisée, à la seule différence que les limites de l'intégration ne sont pas des nombres, mais des fonctions. Tout d’abord, nous avons substitué la limite supérieure dans le « y » (fonction primitive), puis la limite inférieure

2) Le résultat obtenu au premier alinéa doit être substitué dans l'intégrale externe :

Une représentation plus compacte de l’ensemble de la solution ressemble à ceci :

La formule résultante - c'est exactement formule de travail pour calculer l'aire d'une figure plane en utilisant l'intégrale définie « ordinaire » ! Voir la leçon Calculer une aire à l'aide d'une intégrale définie, elle est là à chaque étape !

C'est-à-dire le problème du calcul de l'aire à l'aide de la double intégrale pas très différent du problème de trouver l'aire en utilisant une intégrale définie !

En fait, c'est la même chose !

En conséquence, aucune difficulté ne devrait survenir ! Je ne regarderai pas beaucoup d’exemples, car vous avez en fait rencontré cette tâche à plusieurs reprises.

Exemple 9

Solution : Décrivons la zone dans le dessin :

Choisissons l'ordre suivant de parcours de la zone :

Ici et plus loin, je ne m'attarderai pas sur la façon de parcourir la zone, puisque des explications très détaillées ont été données dans le premier paragraphe.

Ainsi:

1) Tout d'abord, en utilisant la formule de Newton-Leibniz, nous traitons de l'intégrale interne :

2) Le résultat obtenu à la première étape est substitué dans l'intégrale externe :

Le point 2 consiste en fait à trouver l'aire d'une figure plane à l'aide d'une intégrale définie.

Répondre:

C'est une tâche tellement stupide et naïve.

Un exemple intéressant pour une solution indépendante :

Exemple 10

À l'aide d'une intégrale double, calculez l'aire d'une figure plane délimitée par les droites , ,

Échantillon approximatif finalisation de la solution à la fin de la leçon.

Dans les exemples 9 à 10, il est beaucoup plus rentable d'utiliser la première méthode de parcours de la zone ; les lecteurs curieux peuvent d'ailleurs modifier l'ordre de parcours et calculer les zones en utilisant la deuxième méthode. Si vous ne faites pas d’erreur, vous obtiendrez naturellement les mêmes valeurs de superficie.

Mais dans certains cas, la deuxième méthode pour parcourir la zone est plus efficace, et à la fin du cours pour jeune nerd, regardons quelques autres exemples sur ce sujet :

Exemple 11

À l'aide d'une intégrale double, calculez l'aire d'une figure plane délimitée par des lignes,

Solution : nous attendons avec impatience deux paraboles avec une bizarrerie qui se trouvent sur les côtés. Il n’y a pas lieu de sourire ; des choses similaires se produisent assez souvent dans plusieurs intégrales.

Quelle est la façon la plus simple de faire un dessin ?

Imaginons une parabole sous la forme de deux fonctions :
– la branche supérieure et – la branche inférieure.

De même, imaginez une parabole en forme de haut et de bas. branches.

Ensuite, le traçage ponctuel des règles graphiques, ce qui donne un chiffre aussi bizarre :

On calcule l'aire de la figure à l'aide de la double intégrale selon la formule :

Que se passe-t-il si nous choisissons la première méthode pour traverser la zone ? Dans un premier temps, cette zone devra être divisée en deux parties. Et deuxièmement, nous observerons ce triste tableau : . Les intégrales, bien sûr, ne sont pas d'un niveau extrêmement compliqué, mais... il y a un vieux dicton mathématique : ceux qui sont proches de leurs racines n'ont pas besoin de test.

Par conséquent, à partir du malentendu donné dans la condition, nous exprimons les fonctions inverses :

Fonctions inverses V dans cet exemple ont l'avantage de spécifier la parabole entière en même temps sans feuilles, glands, branches et racines.

Selon la deuxième méthode, le parcours de zone sera le suivant :

Ici et plus loin, je ne m'attarderai pas sur la façon de parcourir la zone, puisque des explications très détaillées ont été données dans le premier paragraphe.

Comme on dit, ressentez la différence.

1) On s'occupe de l'intégrale interne :

Nous substituons le résultat dans l'intégrale externe :

L'intégration sur la variable « y » ne devrait pas prêter à confusion ; s'il y avait une lettre « zy », ce serait formidable de l'intégrer. Cependant, quiconque a lu le deuxième paragraphe de la leçon Comment calculer le volume d'un corps de rotation n'éprouve plus la moindre gêne avec l'intégration par la méthode « Y ».

Faites également attention à la première étape : l'intégrande est paire et l'intervalle d'intégration est symétrique par rapport à zéro. Par conséquent, le segment peut être réduit de moitié et le résultat peut être doublé. Cette technique commenté en détail dans la leçon Méthodes efficaces calcul d'une intégrale définie.

Que ajouter…. Tous!

Répondre:

Pour tester votre technique d'intégration, vous pouvez essayer de calculer . La réponse devrait être exactement la même.

Exemple 12

À l'aide d'une intégrale double, calculez l'aire d'une figure plane délimitée par des lignes

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Il est intéressant de noter que si vous essayez d’utiliser la première méthode de parcours de la zone, la figure ne devra plus être divisée en deux, mais en trois parties ! Et, par conséquent, nous obtenons trois paires d’intégrales répétées. Des fois ça arrive.

La master class est terminée, il est temps de passer au niveau grand maître - Comment calculer une intégrale double ? Exemples de solutions. Je vais essayer de ne pas être aussi maniaque dans le deuxième article =)

Je te souhaite du succès!

Solutions et réponses :

Exemple 2 :Solution: Décrivons la zone sur le dessin :

Choisissons l'ordre suivant de parcours de la zone :

Ainsi:
Passons aux fonctions inverses :

Ainsi:
Répondre:

Exemple 4 :Solution: Passons aux fonctions directes :

Faisons le dessin :

Changeons l'ordre de traversée de la zone :

Répondre:

UN)

Solution.

Le premier et le plus important point de la décision est le dessin.

Faisons le dessin :

L'équation y=0 définit l'axe « x » ;

- x=-2 Et x=1- droit, parallèle à l'axe UO ;

- y=x 2 +2 - une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut, avec le sommet au point (0;2).

Commentaire. Pour construire une parabole, il suffit de trouver les points de son intersection avec axes de coordonnées, c'est à dire. en mettant x=0 trouver l'intersection avec l'axe UO et décider en conséquence équation quadratique, trouvez l'intersection avec l'axe Oh .

Le sommet d'une parabole peut être trouvé à l'aide des formules :

Vous pouvez également construire des lignes point par point.

Sur l'intervalle [-2;1] le graphique de la fonction y=x 2 +2 situé au dessus de l'axe Bœuf, C'est pourquoi:

Répondre: S=9 unités carrées

Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le dessin et de déterminer si la réponse est réelle. DANS dans ce cas"à l'œil nu", nous comptons le nombre de cellules dans le dessin - eh bien, il y en aura environ 9, cela semble être vrai. Il est tout à fait clair que si nous obtenons, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors il est évident qu'une erreur a été commise quelque part - 20 cellules ne rentrent évidemment pas dans le chiffre en question, au maximum une douzaine. Si la réponse est négative, cela signifie que la tâche a également été mal résolue.

Que faire si un trapèze courbe est situé sous l'axe Oh?

b) Calculer l'aire de la figure délimitée par les lignes y=-ex , x=1 et coordonner les axes.

Solution.

Faisons un dessin.

Si un trapèze courbe est entièrement situé sous l'axe Oh , alors son aire peut être trouvée à l'aide de la formule :

Répondre: S=(e-1) unités carrées" 1,72 unités carrées

Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches :

1) Si on vous demande de résoudre simplement une intégrale définie sans aucun signification géométrique, alors cela peut être négatif.

2) Si on vous demande de trouver l'aire d'une figure à l'aide d'une intégrale définie, alors l'aire est toujours positive ! C'est pourquoi le moins apparaît dans la formule qui vient d'être évoquée.

En pratique, la figure est le plus souvent située à la fois dans le demi-plan supérieur et inférieur.

c) Trouver l'aire d'une figure plate délimitée par des lignes y=2x-x 2, y=-x.

Solution.

Vous devez d’abord terminer le dessin. D'une manière générale, lors de la construction d'un dessin dans des problèmes de surface, nous nous intéressons surtout aux points d'intersection des lignes. Trouvons les points d'intersection de la parabole et droit Ceci peut être fait de deux façons. La première méthode est analytique.

On résout l'équation :

Cela signifie que la limite inférieure d'intégration une=0, limite supérieure d'intégration b=3 .

Nous construisons les lignes données : 1. Parabole - sommet au point (1;1) ; intersection d'axes Oh - points (0;0) et (0;2). 2. Ligne droite - bissectrice des 2e et 4e angles de coordonnées. Et maintenant Attention ! Si sur le segment [ un B] une fonction continue f(x) supérieur ou égal à une fonction continue g(x), alors l'aire de la figure correspondante peut être trouvée à l'aide de la formule : .

Et peu importe où se trouve la figure - au-dessus ou en dessous de l'axe, mais ce qui compte, c'est quel graphique est PLUS HAUT (par rapport à un autre graphique) et lequel est EN DESSOUS. Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au dessus de la droite, et il faut donc soustraire de

On peut construire des lignes point par point, et les limites de l’intégration deviennent claires « d’elles-mêmes ». Néanmoins, la méthode analytique de recherche des limites doit encore parfois être utilisée si, par exemple, le graphique est suffisamment grand ou si la construction détaillée n'a pas révélé les limites de l'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles).

La figure souhaitée est limitée par une parabole au-dessus et une droite en dessous.

Sur le segment , selon la formule correspondante :

Répondre: S=4,5 unités carrées

Intégrale définie. Comment calculer l'aire d'une figure

Passons maintenant aux applications du calcul intégral. Dans cette leçon, nous analyserons le problème typique et le plus courant : comment calculer l'aire d'une figure plane à l'aide d'une intégrale définie. Enfin, ceux qui recherchent un sens aux mathématiques supérieures puissent-ils le trouver. On ne sait jamais. Dans la vraie vie, vous devrez approximer un terrain de datcha à l'aide de fonctions élémentaires et trouver son aire à l'aide d'une intégrale définie.

Pour réussir à maîtriser la matière, vous devez :

1) Comprendre l'intégrale indéfinie au moins à un niveau intermédiaire. Ainsi, les nuls doivent d'abord se familiariser avec la leçon Non.

En fait, pour trouver l’aire d’une figure, vous n’avez pas besoin de beaucoup de connaissances sur l’intégrale indéfinie et définie. La tâche « calculer l'aire à l'aide d'une intégrale définie » implique toujours la construction d'un dessin, donc vos connaissances et compétences dans la construction de dessins seront une question beaucoup plus urgente. À cet égard, il est utile de se rafraîchir la mémoire des graphiques des fonctions élémentaires de base, et, au minimum, de pouvoir construire une droite, une parabole et une hyperbole. Cela peut être fait (pour beaucoup, c'est nécessaire) en utilisant matériel méthodologique et des articles sur les transformations géométriques des graphiques.

En fait, tout le monde est familier avec la tâche consistant à trouver l'aire à l'aide d'une intégrale définie depuis l'école, et nous n'irons pas beaucoup plus loin de programme scolaire. Cet article n'existait peut-être pas du tout, mais le fait est que le problème se produit dans 99 cas sur 100, lorsqu'un étudiant souffre d'une école détestée et maîtrise avec enthousiasme un cours de mathématiques supérieures.

Les supports de cet atelier sont présentés simplement, en détail et avec un minimum de théorie.

Commençons par un trapèze courbe.

Un trapèze courbe est une figure plate délimitée par un axe, des droites et le graphique d'une fonction continue sur un segment qui ne change pas de signe sur cet intervalle. Que ce chiffre soit situé pas moins Axe des x :

Alors l'aire du trapèze curviligne est numériquement égale à l'intégrale définie. Toute intégrale définie (qui existe) a une très bonne signification géométrique. Dans la leçon Intégrale définie. Exemples de solutions J'ai dit qu'une intégrale définie est un nombre. Et maintenant il est temps d'en dire un de plus fait utile. Du point de vue de la géométrie, l'intégrale définie est AREA.

C'est-à-dire qu'une certaine intégrale (si elle existe) correspond géométriquement à l'aire d'une certaine figure. Par exemple, considérons l'intégrale définie. L'intégrande définit une courbe sur le plan situé au dessus de l'axe (ceux qui le souhaitent peuvent faire un dessin), et l'intégrale définie elle-même est numériquement égale à l'aire du trapèze curviligne correspondant.

Exemple 1

Il s’agit d’une déclaration d’affectation typique. Le premier et le plus important point de la décision est le dessin. De plus, le dessin doit être construit CORRECTEMENT.

Lors de la construction d'un dessin, je recommande l'ordre suivant : d'abord, il est préférable de construire toutes les lignes droites (le cas échéant) et ensuite seulement – les paraboles, les hyperboles et les graphiques d'autres fonctions. Il est plus rentable de construire des graphiques de fonctions par points ; la technique de construction par points peut être trouvée dans matériel de référence Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires. Vous y trouverez également du matériel très utile pour notre leçon - comment construire rapidement une parabole.

Dans ce problème, la solution pourrait ressembler à ceci.
Dessinons le dessin (notez que l'équation définit l'axe) :

Je n’ombragerai pas le trapèze incurvé ; il est évident ici de quelle zone nous parlons. La solution continue ainsi :

Sur le segment, le graphique de la fonction est situé au dessus de l'axe, donc :

Répondre:

Qui a des difficultés à calculer l'intégrale définie et à appliquer la formule de Newton-Leibniz , reportez-vous à la conférence Definite Integral. Exemples de solutions.

Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le dessin et de déterminer si la réponse est réelle. Dans ce cas, nous comptons le nombre de cellules dans le dessin "à l'œil nu" - eh bien, il y en aura environ 9, cela semble être vrai. Il est tout à fait clair que si nous obtenons, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors il est évident qu'une erreur a été commise quelque part - 20 cellules ne rentrent évidemment pas dans le chiffre en question, au maximum une douzaine. Si la réponse est négative, cela signifie que la tâche a également été mal résolue.

Exemple 2

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes , et des axes

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Que faire si un trapèze courbe se situe sous l'axe ?

Exemple 3

Calculez l'aire de la figure délimitée par des lignes et des axes de coordonnées.

Solution : Faisons un dessin :

Si le trapèze courbe est situé sous l'axe (ou du moins pas plus haut axe donné), alors son aire peut être trouvée à l'aide de la formule :
Dans ce cas:

Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches :

1) Si on vous demande de résoudre simplement une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.

Dans la pratique, le plus souvent la figure est située à la fois dans le demi-plan supérieur et inférieur, et donc, des problèmes scolaires les plus simples, nous passons à des exemples plus significatifs.

Exemple 4

Trouver l'aire d'une figure plane délimitée par les lignes , .

Solution : Vous devez d’abord terminer le dessin. D'une manière générale, lors de la construction d'un dessin dans des problèmes de surface, nous nous intéressons surtout aux points d'intersection des lignes. Trouvons les points d'intersection de la parabole et de la droite. Ceci peut être fait de deux façons. La première méthode est analytique. On résout l'équation :

Cela signifie que la limite inférieure d'intégration est , la limite supérieure d'intégration est .
Il vaut mieux, si possible, ne pas utiliser cette méthode.

Il est beaucoup plus rentable et plus rapide de construire des lignes point par point, et les limites de l'intégration apparaissent « d'elles-mêmes ». La technique de construction ponctuelle de divers graphes est abordée en détail dans l'aide Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires. Néanmoins, la méthode analytique de recherche des limites doit encore parfois être utilisée si, par exemple, le graphique est suffisamment grand ou si la construction détaillée n'a pas révélé les limites de l'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles). Et nous considérerons également un tel exemple.

Revenons à notre tâche : il est plus rationnel de construire d'abord une ligne droite et ensuite seulement une parabole. Faisons le dessin :

Je répète que lors de la construction ponctuelle, les limites de l'intégration sont le plus souvent découvertes « automatiquement ».

Et maintenant la formule de travail : Si sur un segment une fonction continue est supérieure ou égale à une fonction continue, alors l'aire de la figure limitée par les graphiques de ces fonctions et lignes droites peut être trouvée à l'aide de la formule :

Ici, vous n'avez plus besoin de penser à l'endroit où se trouve la figure - au-dessus de l'axe ou en dessous de l'axe, et, grosso modo, il est important quel graphique est PLUS HAUT (par rapport à un autre graphique) et lequel est EN DESSOUS.

Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au dessus de la droite, et il faut donc soustraire de

La solution terminée pourrait ressembler à ceci :

La figure souhaitée est limitée par une parabole au-dessus et une droite en dessous.
Sur le segment, selon la formule correspondante :

Répondre:

En fait, la formule scolaire de l'aire d'un trapèze curviligne dans le demi-plan inférieur (voir exemple simple n°3) est un cas particulier de la formule . Puisque l'axe est spécifié par l'équation et que le graphique de la fonction est situé pas plus haut axes, alors

Et maintenant quelques exemples pour votre propre solution

Exemple 5

Exemple 6

Trouvez l'aire de la figure délimitée par les lignes , .

Lors de la résolution de problèmes impliquant le calcul d’une aire à l’aide d’une intégrale définie, un incident amusant se produit parfois. Le dessin a été fait correctement, les calculs étaient corrects, mais par négligence... la zone de la mauvaise figure a été trouvée, c'est exactement ainsi que votre humble serviteur s'est trompé à plusieurs reprises. Ici cas réel de la vie:

Exemple 7

Calculez l'aire de la figure délimitée par les lignes , , , .

Solution : Commençons par faire un dessin :

...Eh, le dessin est nul, mais tout semble lisible.

La figure dont nous devons trouver l'aire est ombrée en bleu (regardez attentivement la condition - comme la figure est limitée !). Mais dans la pratique, en raison de l'inattention, un « problème » survient souvent : il faut trouver l'aire d'une figure qui est ombrée vert!

Cet exemple est également utile dans la mesure où il calcule l'aire d'une figure en utilisant deux intégrales définies. Vraiment:

1) Sur le segment au-dessus de l'axe se trouve un graphique d'une ligne droite ;

2) Sur le segment au-dessus de l'axe se trouve un graphique d'hyperbole.

Il est bien évident que les zones peuvent (et doivent) être ajoutées, donc :

Répondre:

Passons à une autre tâche significative.

Exemple 8

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes,
Présentons les équations sous forme « scolaire » et faisons un dessin point par point :

D'après le dessin, il est clair que notre limite supérieure est « bonne » : .
Mais quelle est la limite inférieure ?! Il est clair que ce n’est pas un entier, mais qu’est-ce que c’est ? Peut être ? Mais où est la garantie que le dessin est réalisé avec une parfaite précision, il se pourrait bien que... Ou la racine. Et si nous avions mal construit le graphique ?

Dans de tels cas, vous devez consacrer plus de temps et clarifier analytiquement les limites de l'intégration.

Trouvons les points d'intersection d'une droite et d'une parabole.
Pour ce faire, nous résolvons l'équation :

,

Vraiment, .

La solution supplémentaire est triviale, l'essentiel est de ne pas se confondre dans les substitutions et les signes ; les calculs ici ne sont pas des plus simples ;

Sur le segment , selon la formule correspondante :

Répondre:

Eh bien, pour conclure la leçon, examinons deux tâches plus difficiles.

En conséquence, aucune difficulté ne devrait survenir ! Je ne regarderai pas beaucoup d’exemples, car vous avez en fait rencontré cette tâche à plusieurs reprises.

Calculer l'aire de la figure délimitée par les lignes , ,

Solution : Représentons cette figure dans le dessin.

Bon sang, j'ai oublié de signer le planning et, désolé, je ne voulais pas refaire la photo. Pas un jour de dessin, bref, aujourd'hui c'est le jour =)

Pour une construction point par point il faut savoir apparence les sinusoïdes (et en général il est utile de connaître les graphiques de toutes les fonctions élémentaires), ainsi que certaines valeurs sinusoïdales, on les retrouve dans le tableau trigonométrique. Dans certains cas (comme dans ce cas), il est possible de construire un dessin schématique sur lequel les graphiques et les limites d'intégration doivent être fondamentalement correctement affichés.

Il n'y a ici aucun problème avec les limites d'intégration ; elles découlent directement de la condition : « x » passe de zéro à « pi ». Prenons une autre décision :

Sur le segment, le graphique de la fonction est situé au dessus de l'axe, donc :

Passons maintenant aux applications du calcul intégral. Dans cette leçon, nous examinerons le problème typique et le plus courant du calcul de l'aire d'une figure plane à l'aide d'une intégrale définie. Enfin, que tous ceux qui cherchent un sens aux mathématiques supérieures le trouvent. On ne sait jamais. Dans la vraie vie, vous devrez approximer un terrain de datcha à l'aide de fonctions élémentaires et trouver son aire à l'aide d'une intégrale définie.

Pour réussir à maîtriser la matière, vous devez :

1) Comprendre l'intégrale indéfinie au moins à un niveau intermédiaire. Ainsi, les nuls devraient d’abord se familiariser avec la leçon de He.

2) Être capable d'appliquer la formule de Newton-Leibniz et de calculer l'intégrale définie. Vous pouvez établir des relations amicales chaleureuses avec des intégrales définies sur la page Intégrale définie. Exemples de solutions. La tâche « calculer l'aire à l'aide d'une intégrale définie » implique toujours la construction d'un dessin, donc vos connaissances et vos compétences en dessin seront également une question importante. Au minimum, vous devez être capable de construire une ligne droite, une parabole et une hyperbole.

Commençons par un trapèze courbe. Un trapèze courbe est une figure plate délimitée par le graphique d'une fonction oui = F(X), axe BŒUF et des lignes X = un; X = b.

L'aire d'un trapèze curviligne est numériquement égale à une intégrale définie

Toute intégrale définie (qui existe) a une très bonne signification géométrique. Dans la leçon Intégrale définie. Exemples de solutions, nous avons dit qu'une intégrale définie est un nombre. Et maintenant il est temps d’énoncer un autre fait utile. Du point de vue de la géométrie, l'intégrale définie est AREA. C'est-à-dire qu'une certaine intégrale (si elle existe) correspond géométriquement à l'aire d'une certaine figure. Considérons l'intégrale définie

Intégrande

définit une courbe sur le plan (elle peut être dessinée si vous le souhaitez), et l'intégrale définie elle-même est numériquement égale à l'aire du trapèze curviligne correspondant.

Exemple 1

, , , .

Il s’agit d’une déclaration d’affectation typique. Le point le plus important solutions - dessin. De plus, le dessin doit être construit CORRECTEMENT.

Lors de la construction d'un dessin, je recommande l'ordre suivant : d'abord, il est préférable de construire toutes les lignes droites (le cas échéant) et ensuite seulement – les paraboles, les hyperboles et les graphiques d'autres fonctions. La technique de construction ponctuelle peut être trouvée dans le matériel de référence Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires. Vous y trouverez également du matériel très utile pour notre leçon - comment construire rapidement une parabole.

Dans ce problème, la solution pourrait ressembler à ceci.

Faisons le dessin (notez que l'équation oui= 0 spécifie l'axe BŒUF):

Nous n'ombragerons pas le trapèze incurvé ; ici, il est évident de quelle zone nous parlons. La solution continue ainsi :

Sur le segment [-2; 1] graphique de fonction oui = X 2 + 2 situés au dessus de l'axe BŒUF, C'est pourquoi:

Répondre: .

Qui a des difficultés à calculer l'intégrale définie et à appliquer la formule de Newton-Leibniz

Reportez-vous à la conférence Definite Integral. Exemples de solutions. Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le dessin et de déterminer si la réponse est réelle. Dans ce cas, nous comptons le nombre de cellules dans le dessin "à l'œil nu" - eh bien, il y en aura environ 9, cela semble être vrai. Il est tout à fait clair que si nous obtenons, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors il est évident qu'une erreur a été commise quelque part - 20 cellules ne rentrent évidemment pas dans le chiffre en question, au maximum une douzaine. Si la réponse est négative, cela signifie que la tâche a également été mal résolue.

Exemple 2

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes xy = 4, X = 2, X= 4 et axe BŒUF.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Que faire si un trapèze courbe est situé sous l'axe BŒUF?

Exemple 3

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes oui = ex, X= 1 et coordonnées des axes.

Solution : Faisons un dessin :

Si un trapèze courbe est entièrement situé sous l'axe BŒUF, alors son aire peut être trouvée à l'aide de la formule :

Dans ce cas:

Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches :

1) Si on vous demande de résoudre simplement une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.

Exemple 4

Trouver l'aire d'une figure plane délimitée par des lignes oui = 2X – X 2 , oui = -X.

Solution : Vous devez d’abord faire un dessin. Lors de la construction d'un dessin dans des problèmes de surface, nous nous intéressons surtout aux points d'intersection des lignes. Trouvons les points d'intersection de la parabole oui = 2X – X 2 et droit oui = -X. Ceci peut être fait de deux façons. La première méthode est analytique. On résout l'équation :

Cela signifie que la limite inférieure d'intégration un= 0, limite supérieure d'intégration b= 3. Il est souvent plus rentable et plus rapide de construire des lignes point par point, et les limites de l’intégration apparaissent « d’elles-mêmes ». Néanmoins, la méthode analytique de recherche des limites doit encore parfois être utilisée si, par exemple, le graphique est suffisamment grand ou si la construction détaillée n'a pas révélé les limites de l'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles). Revenons à notre tâche : il est plus rationnel de construire d'abord une ligne droite et ensuite seulement une parabole. Faisons le dessin :

Répétons que dans la construction ponctuelle, les limites de l'intégration sont le plus souvent déterminées « automatiquement ».

Et maintenant la formule de travail :

Si sur le segment [ un; b] une fonction continue F(X) est supérieur ou égal à une fonction continue g(X), alors l'aire de la figure correspondante peut être trouvée à l'aide de la formule :

Ici, vous n'avez plus besoin de penser à l'endroit où se trouve la figure - au-dessus de l'axe ou en dessous de l'axe, mais ce qui est important est quel graphique est PLUS HAUT (par rapport à un autre graphique) et lequel est EN DESSOUS.

Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au dessus de la droite, et donc à partir de 2 X – X 2 doit être soustrait – X.

La solution terminée pourrait ressembler à ceci :

Le chiffre souhaité est limité par une parabole oui = 2X – X 2 en haut et droit oui = -X ci-dessous.

Sur le segment 2 X – X 2 ≥ -X. D'après la formule correspondante :

Répondre: .

En fait, la formule scolaire de l'aire d'un trapèze curviligne dans le demi-plan inférieur (voir exemple n°3) est un cas particulier de la formule

Parce que l'axe BŒUF donné par l'équation oui= 0, et le graphique de la fonction g(X) situé en dessous de l'axe BŒUF, Que

Et maintenant quelques exemples pour votre propre solution

Exemple 5

Exemple 6

Trouver l'aire d'une figure délimitée par des lignes

Lors de la résolution de problèmes impliquant le calcul d’une aire à l’aide d’une intégrale définie, un incident amusant se produit parfois. Le dessin a été réalisé correctement, les calculs étaient corrects, mais par négligence... la zone de la mauvaise figure a été trouvée.

Exemple 7

Faisons d'abord un dessin :

La figure dont nous devons trouver l'aire est ombrée en bleu (regardez attentivement la condition - comme la figure est limitée !). Mais dans la pratique, par inattention, les gens décident souvent qu'ils doivent trouver la zone de la figure qui est ombrée en vert !

Cet exemple est également utile car il calcule l'aire d'une figure en utilisant deux intégrales définies. Vraiment:

1) Sur le segment [-1; 1] au dessus de l'axe BŒUF le graphique est situé droit oui = X+1;

2) Sur un segment au dessus de l'axe BŒUF le graphique d'une hyperbole est localisé oui = (2/X).

Il est bien évident que les zones peuvent (et doivent) être ajoutées, donc :

Répondre:

Exemple 8

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes

Présentons les équations sous forme « scolaire »

et faites un dessin point par point :

D’après le dessin, il est clair que notre limite supérieure est « bonne » : b = 1.

Mais quelle est la limite inférieure ?! Il est clair que ce n’est pas un entier, mais qu’est-ce que c’est ?

Peut être, un=(-1/3) ? Mais où est la garantie que le dessin est réalisé avec une parfaite précision, il se pourrait bien que un=(-1/4). Et si nous avions mal construit le graphique ?

Dans de tels cas, vous devez consacrer plus de temps et clarifier analytiquement les limites de l'intégration.

Trouvons les points d'intersection des graphiques

Pour ce faire, nous résolvons l'équation :

Ainsi, un=(-1/3).

L’autre solution est triviale. L'essentiel est de ne pas se confondre dans les substitutions et les signes. Les calculs ici ne sont pas les plus simples. Sur le segment

, ,

selon la formule appropriée :

Répondre:

Pour conclure la leçon, examinons deux tâches plus difficiles.

En conséquence, aucune difficulté ne devrait survenir ! Je ne regarderai pas beaucoup d’exemples, car vous avez en fait rencontré cette tâche à plusieurs reprises.

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes

Solution : Représentons cette figure dans le dessin.

Pour construire un dessin point par point, il faut connaître l'apparence d'une sinusoïde. De manière générale, il est utile de connaître les graphiques de toutes les fonctions élémentaires, ainsi que certaines valeurs sinusoïdales. On les retrouve dans le tableau des valeurs fonctions trigonométriques. Dans certains cas (par exemple, dans ce cas), il est possible de construire un dessin schématique sur lequel les graphiques et les limites d'intégration doivent être fondamentalement correctement affichés.

Il n’y a ici aucun problème avec les limites de l’intégration ; elles découlent directement de la condition :

– « x » passe de zéro à « pi ». Prenons une autre décision :

Sur un segment, le graphique d'une fonction oui= péché 3 X situé au dessus de l'axe BŒUF, C'est pourquoi:

(1) Vous pouvez voir comment les sinus et les cosinus sont intégrés dans les puissances impaires dans la leçon Intégrales des fonctions trigonométriques. Nous pinçons un sinus.

(2) Nous utilisons l'identité trigonométrique principale sous la forme

(3) Changeons la variable t=cos X, alors : est situé au dessus de l'axe, donc :

Remarque : notez comment l'intégrale de la tangente au cube est prise ici ; un corollaire de l'identité trigonométrique de base est utilisé ;

Comment insérer des formules mathématiques sur un site internet ?

Si jamais vous avez besoin d'ajouter une ou deux formules mathématiques à une page Web, le moyen le plus simple de le faire est de suivre la description de l'article : les formules mathématiques sont facilement insérées sur le site sous la forme d'images générées automatiquement par Wolfram Alpha. . En plus de la simplicité, cette méthode universelle contribuera à améliorer la visibilité du site dans les moteurs de recherche. Cela fonctionne depuis longtemps (et je pense qu'il fonctionnera pour toujours), mais il est déjà moralement dépassé.

Si vous utilisez régulièrement des formules mathématiques sur votre site, je vous recommande d'utiliser MathJax - une bibliothèque JavaScript spéciale qui affiche la notation mathématique dans les navigateurs Web à l'aide du balisage MathML, LaTeX ou ASCIIMathML.

Il existe deux manières de commencer à utiliser MathJax : (1) en utilisant code simple vous pouvez connecter rapidement un script MathJax à votre site web, qui sera automatiquement chargé depuis un serveur distant au bon moment (liste des serveurs) ; (2) téléchargez le script MathJax depuis un serveur distant vers votre serveur et connectez-le à toutes les pages de votre site. La deuxième méthode - plus complexe et plus longue - accélérera le chargement des pages de votre site, et si le serveur MathJax parent devient temporairement indisponible pour une raison quelconque, cela n'affectera en rien votre propre site. Malgré ces avantages, j’ai choisi la première méthode car elle est plus simple, plus rapide et ne nécessite pas de compétences techniques. Suivez mon exemple, et en seulement 5 minutes vous pourrez utiliser toutes les fonctionnalités de MathJax sur votre site.

Vous pouvez connecter le script de la bibliothèque MathJax à partir d'un serveur distant en utilisant deux options de code extraites du site Web principal de MathJax ou de la page de documentation :

L'une de ces options de code doit être copiée et collée dans le code de votre page Web, de préférence entre les balises et/ou immédiatement après la balise. Selon la première option, MathJax se charge plus rapidement et ralentit moins la page. Mais la deuxième option surveille et charge automatiquement les dernières versions de MathJax. Si vous insérez le premier code, il devra être mis à jour périodiquement. Si vous insérez le deuxième code, les pages se chargeront plus lentement, mais vous n'aurez pas besoin de surveiller en permanence les mises à jour de MathJax.

Le moyen le plus simple de connecter MathJax est dans Blogger ou WordPress : dans le panneau de configuration du site, ajoutez un widget conçu pour insérer du code JavaScript tiers, copiez-y la première ou la deuxième version du code de téléchargement présenté ci-dessus et placez le widget plus près. au début du modèle (d'ailleurs, ce n'est pas du tout nécessaire, puisque le script MathJax est chargé de manière asynchrone). C'est tout. Apprenez maintenant la syntaxe de balisage de MathML, LaTeX et ASCIIMathML et vous êtes prêt à insérer des formules mathématiques dans les pages Web de votre site.

Toute fractale est construite selon une certaine règle, qui est appliquée systématiquement un nombre illimité de fois. Chacun de ces moments est appelé une itération.

L'algorithme itératif de construction d'une éponge de Menger est assez simple : le cube original de côté 1 est divisé par des plans parallèles à ses faces en 27 cubes égaux. Un cube central et 6 cubes adjacents le long des faces en sont retirés. Le résultat est un ensemble composé des 20 cubes plus petits restants. En faisant de même avec chacun de ces cubes, nous obtenons un ensemble composé de 400 cubes plus petits. En poursuivant ce processus sans fin, nous obtenons une éponge Menger.