Considérons la fonction. Cette fonction est appelée : intégrale en fonction de la limite supérieure. Notons plusieurs propriétés de cette fonction.
Théorème 2.1. Si f(x) est une fonction intégrable, alors Ф(x) est continue sur .
Preuve. Par propriété 9 Intégrale définie(théorème de la valeur moyenne) nous avons 
, d'où, à , on obtient le requis.
Théorème 2.2. Si f(x) est une fonction continue sur , alors Ф’(x) = f(x) sur .
Preuve. Par la propriété 10 de l'intégrale définie (théorème de la seconde valeur moyenne), on a 
Où Avec– un point du segment. Du fait de la continuité de la fonction f, on obtient
Ainsi, Ф(x) est l'une des primitives de la fonction f(x), donc Ф(x) = F(x) + C, où F(x) est une autre primitive de f(x). De plus, puisque Ф(a) = 0, alors 0 = F(a) + C, donc C = -F(a) et donc Ф(x) = F(x) – F(a). En supposant x=b, on obtient la formule de Newton-Leibniz
Exemples
1. 
Intégration par parties dans une intégrale définie
L'intégrale définie préserve la formule d'intégration par parties. Dans ce cas, cela prend la forme
Exemple.
Changer les variables dans une intégrale définie
Une des variantes des résultats sur le changement de variables dans une intégrale définie est la suivante.Théorème 2.3. Soit f(x) continue sur le segment et satisfasse aux conditions :
1) φ(α) = une
2) φ(β) = b
3) la dérivée φ’(t) est définie partout sur l’intervalle [α, β]
4) pour tout t de [α, β]
Alors
Preuve. Si F(x) est primitive pour f(x)dx alors F(φ(t)) est primitive pour Donc F(b) – F(a) = F(φ(β)) – F(φ(α)) . Le théorème a été prouvé.
Commentaire. Si l'on rejette la continuité de la fonction f(x) dans les conditions du théorème 2.3, il faut exiger la monotonie de la fonction φ(t).
Exemple. Calculer l'intégrale Posons Alors dx = 2tdt et donc
Problème 1(à propos du calcul de l'aire d'un trapèze courbe).
Dans le système de coordonnées rectangulaires cartésiennes xOy, une figure est donnée (voir figure) délimitée par l'axe des x, des droites x = a, x = b (un trapèze courbe. Il est nécessaire de calculer l'aire du trapèze courbe.
Solution. La géométrie nous donne des recettes pour calculer les aires de polygones et de certaines parties d'un cercle (secteur, segment). En utilisant des considérations géométriques, nous ne pouvons trouver qu'une valeur approximative de la surface recherchée, en raisonnant comme suit.
Divisons le segment [a; b] (base d'un trapèze courbe) en n parties égales ; cette partition est réalisée à l'aide des points x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Traçons des lignes droites passant par ces points parallèlement à l’axe y. Ensuite, le trapèze curviligne donné sera divisé en n parties, en n colonnes étroites. L'aire de l'ensemble du trapèze est égale à la somme des aires des colonnes.
Considérons la k-ième colonne séparément, c'est-à-dire un trapèze courbe dont la base est un segment. Remplaçons-le par un rectangle de même base et de hauteur égale à f(x k) (voir figure). L'aire du rectangle est égale à \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), où \(\Delta x_k \) est la longueur du segment ; Il est naturel de considérer le produit résultant comme une valeur approximative de l'aire de la kème colonne. 
Si l'on fait maintenant de même avec toutes les autres colonnes, on arrivera au résultat suivant : l'aire S d'un trapèze curviligne donné est approximativement égale à l'aire S n d'une figure en escalier composée de n rectangles (voir figure) :
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Ici, par souci d'uniformité de notation, nous supposons que a = x 0, b = x n ; \(\Delta x_0 \) - longueur du segment, \(\Delta x_1 \) - longueur du segment, etc.; dans ce cas, comme nous l'avons convenu ci-dessus, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Donc, \(S \approx S_n \), et cette égalité approximative est d’autant plus précise que n est grand.
Par définition, on pense que l'aire requise d'un trapèze curviligne est égale à la limite de la séquence (S n) :
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Problème 2(à propos de déplacer un point)
Se déplace en ligne droite point matériel. La dépendance de la vitesse au temps est exprimée par la formule v = v(t). Trouver le mouvement d'un point sur une période de temps [a; b].
Solution. Si le mouvement était uniforme, alors le problème serait résolu très simplement : s = vt, c'est-à-dire s = v(ba). Pour les mouvements inégaux, vous devez utiliser les mêmes idées sur lesquelles était basée la solution du problème précédent.
1) Divisez l'intervalle de temps [a; b] en n parties égales.
2) Considérons une période de temps et supposons que pendant cette période la vitesse était constante, la même qu'au temps t k. Nous supposons donc que v = v(t k).
3) Trouvons la valeur approximative du mouvement du point sur une période de temps, nous noterons cette valeur approximative par sk ;
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Trouver la valeur approximative du déplacement s :
\(s \approx S_n \) où
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Le déplacement recherché est égal à la limite de la séquence (S n) :
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Résumons. Les solutions à divers problèmes ont été réduites au même modèle mathématique. De nombreux problèmes issus de divers domaines scientifiques et technologiques conduisent au même modèle en cours de résolution. Cela signifie que ce modèle mathématique doit être spécialement étudié.
Le concept d'intégrale définie
Donnons une description mathématique du modèle qui a été construit dans les trois problèmes considérés pour la fonction y = f(x), continue (mais pas nécessairement non négative, comme cela était supposé dans les problèmes considérés) sur l'intervalle [a; b] :
1) diviser le segment [a; b] en n parties égales ;
2) faites la somme $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calculer $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
Au cours d'une analyse mathématique, il a été prouvé que cette limite existe dans le cas d'une fonction continue (ou continue par morceaux). Il est appelé une certaine intégrale de la fonction y = f(x) sur le segment [a; b] et noté comme suit :
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Les nombres a et b sont appelés limites d'intégration (respectivement inférieure et supérieure).
Revenons aux tâches évoquées ci-dessus. La définition de la zone donnée dans le problème 1 peut maintenant être réécrite comme suit :
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
ici S est l'aire du trapèze curviligne représenté dans la figure ci-dessus. C'est signification géométrique Intégrale définie.
La définition du déplacement s d'un point se déplaçant en ligne droite avec une vitesse v = v(t) sur la période de temps de t = a à t = b, donnée dans le problème 2, peut être réécrite comme suit :
Formule de Newton-Leibniz
Tout d'abord, répondons à la question : quel est le lien entre l'intégrale définie et la primitive ?
La réponse peut être trouvée dans le problème 2. D'une part, le déplacement s d'un point se déplaçant en ligne droite avec une vitesse v = v(t) sur la période de temps de t = a à t = b est calculé par la formule
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
D'un autre côté, la coordonnée d'un point en mouvement est une primitive de la vitesse - notons-la s(t) ; Cela signifie que le déplacement s est exprimé par la formule s = s(b) - s(a). En conséquence nous obtenons :
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
où s(t) est la primitive de v(t).
Le théorème suivant a été prouvé au cours d’une analyse mathématique.
Théorème. Si la fonction y = f(x) est continue sur l'intervalle [a; b], alors la formule est valide
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
où F(x) est la primitive de f(x).
La formule donnée est généralement appelée Formule de Newton-Leibniz en l'honneur du physicien anglais Isaac Newton (1643-1727) et du philosophe allemand Gottfried Leibniz (1646-1716), qui l'ont reçu indépendamment l'un de l'autre et presque simultanément.
En pratique, au lieu d'écrire F(b) - F(a), ils utilisent la notation \(\left. F(x)\right|_a^b \) (on l'appelle parfois double remplacement) et, en conséquence, réécrivez la formule de Newton-Leibniz sous cette forme :
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)
Lors du calcul d'une intégrale définie, recherchez d'abord la primitive, puis effectuez une double substitution.
Sur la base de la formule de Newton-Leibniz, nous pouvons obtenir deux propriétés de l'intégrale définie.
Propriété 1. Intégrale de la somme des fonctions égal à la somme intégrales :
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Propriété 2. Le facteur constant peut être soustrait du signe intégral :
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Calculer les aires de figures planes à l'aide d'une intégrale définie
En utilisant l'intégrale, vous pouvez calculer les aires non seulement des trapèzes curvilignes, mais aussi des figures plates. type complexe, par exemple celui montré sur la figure. La figure P est limitée par des droites x = a, x = b et des graphiques de fonctions continues y = f(x), y = g(x), et sur le segment [a; b] l'inégalité \(g(x) \leq f(x) \) est vraie. Pour calculer l’aire S d’une telle figure, nous procéderons de la manière suivante :
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Ainsi, l'aire S d'une figure délimitée par des droites x = a, x = b et des graphiques de fonctions y = f(x), y = g(x), continues sur le segment et telles que pour tout x du segment [un; b] l'inégalité \(g(x) \leq f(x) \) est satisfaite, calculée par la formule
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Tableau des intégrales indéfinies (primitives) de certaines fonctions
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$Formule de Newton-Leibniz
Théorème principal de l'analyse ou Formule de Newton-Leibniz donne une relation entre deux opérations : prendre une intégrale définie et calculer la primitive
Formulation
Considérons l'intégrale de la fonction oui = F(X) allant de nombre constant un jusqu'au numéro X, que nous considérerons comme variable. Écrivons l'intégrale sous la forme suivante :
Ce type L'intégrale est appelée intégrale avec une limite supérieure variable. En utilisant le théorème de la valeur moyenne dans une intégrale définie, il est facile de montrer que cette fonction continu et différenciable. Et aussi la dérivée d'une fonction donnée au point x est égale à la fonction intégrable elle-même. Il s'ensuit que toute fonction continue a une primitive sous forme de quadrature : . Et puisque la classe des fonctions primitives de la fonction f diffère par une constante, il est facile de montrer que : l'intégrale définie de la fonction f est égale à la différence des valeurs des primitives aux points b et a
Fondation Wikimédia. 2010.
- Formule de probabilité totale
- Formule Rayleigh-Jeans
Voyez ce qu'est la « formule de Newton-Leibniz » dans d'autres dictionnaires :
Formule de Newton-Leibniz- Le théorème principal de l'analyse ou formule de Leibniz de Newton donne la relation entre deux opérations : prendre une intégrale définie et calculer la primitive Formulation Considérons l'intégrale de la fonction y = f(x) dans l'intervalle d'un nombre constant a à.. . ... Wikipédia
Formule d'incrément fini- Ce terme a d’autres significations, voir le théorème de Lagrange. La formule d'incrément fini ou théorème de la valeur moyenne de Lagrange stipule que si une fonction est continue sur un intervalle et... Wikipédia
Formule de Stokes- Le théorème de Stokes est l'un des principaux théorèmes de géométrie différentielle et d'analyse mathématique sur l'intégration des formes différentielles, qui généralise plusieurs théorèmes d'analyse. Nommé d'après JG Stokes. Table des matières 1 Formulation générale 2… … Wikipédia
NEWTON - FORMULE LEIBNITZ- une formule exprimant la valeur d'une intégrale définie de fonction donnée f le long d'un segment sous la forme de la différence de valeurs aux extrémités d'un segment de toute primitive F de cette fonction Nommé d'après I. Newton et G. Leibniz, car la règle est... ... Encyclopédie mathématique
FORMULE NEWTON-LEIBNITZ- la formule de base du calcul intégral. Exprime le lien entre une intégrale définie d'une fonction f(x) et l'une de ses primitives F(x) ... Grand dictionnaire encyclopédique
Formule de Leibniz- Ce terme a d'autres significations, voir Liste des objets portant le nom de Leibniz. Ce terme a d'autres significations, voir Formule de Leibniz (significations). La formule de Leibniz en calcul intégral est la règle... ... Wikipédia
Formule de Newton-Leibniz- Formule de Newton Leibniz, formule de base du calcul intégral. Exprime le lien entre l'intégrale définie de la fonction f(x) et l'une de ses primitives F(x). . * * * FORMULE NEWTON LEIBNITZ FORMULE NEWTON LEIBNITZ, formule de base... ... Dictionnaire encyclopédique
Formule rectangulaire
Formule trapézoïdale- Intégrale définie comme l'aire d'une figure Intégration numérique ( nom historique: quadrature) calcul de la valeur d'une certaine intégrale (généralement approximative), basé sur le fait que la valeur de l'intégrale est numériquement égale à l'aire ... ... Wikipedia
Théorème de Newton- La formule de Leibniz de Newton ou théorème fondamental de l'analyse donne la relation entre deux opérations : prendre une intégrale définie et calculer la primitive. S'il est continu sur un segment et que toute primitive de celui-ci sur ce segment a... Wikipédia
Soit une fonction continue f sur un certain segment de l'axe Ox. Supposons que cette fonction ne change pas de signe sur tout le segment.
Si f est une fonction continue et non négative sur un certain segment, et F en est une primitive sur ce segment, alors l'aire du trapèze curviligne S est égale à l'incrément de la primitive sur ce segment.
Ce théorème peut s'écrire ainsi :
S = F(b) - F(a)
L'intégrale de la fonction f(x) de a à b sera égale à S. Ici et plus loin, pour désigner l'intégrale définie d'une fonction f(x), avec les limites d'intégration de a à b, nous utiliserons l'intégrale notation suivante (a;b)∫f(x). Vous trouverez ci-dessous un exemple de ce à quoi cela ressemblera.
Formule de Newton-Leibniz
Cela signifie que nous pouvons assimiler ces deux résultats. On obtient : (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), à condition que F soit une primitive de la fonction f sur . Cette formule s'appelle Formules de Newton-Leibniz. Ce sera vrai pour toute fonction continue f sur un intervalle.
La formule de Newton-Leibniz est utilisée pour calculer les intégrales. Regardons quelques exemples :
Exemple 1: calculer l'intégrale. Trouvez la primitive de la fonction intégrande x 2 . L'une des primitives sera la fonction (x 3)/3.
Nous utilisons maintenant la formule de Newton-Leibniz :
(-1;2)∫x 2 dx = (2 3)/3 - ((-1) 3)/3 = 3
Réponse : (-1;2)∫x 2 dx = 3.
Exemple 2: calculer l'intégrale (0;pi)∫sin(x)dx.
Trouvez la primitive de la fonction intégrale sin(x). L'une des primitives sera la fonction -cos(x). Utilisons la formule de Newton-Leibniz :
(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.
Réponse : (0;pi)∫sin(x)dx=2
Parfois, pour simplifier et faciliter l'enregistrement, l'incrément de la fonction F sur le segment (F(b)-F(a)) s'écrit comme suit :
En utilisant cette notation pour l'incrément, la formule de Newton-Leibniz peut être réécrite comme suit :
Comme indiqué ci-dessus, il s'agit simplement d'une abréviation désignant la facilité d'enregistrement ; cet enregistrement n'affecte rien d'autre. Cette notation et la formule (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) seront équivalentes.
Par une intégrale définie à partir d'une fonction continue F(X) sur le segment final [ un, b] (où ) est l'incrément de certaines de ses primitives sur ce segment. (En général, la compréhension sera sensiblement plus facile si vous répétez le sujet de l'intégrale indéfinie) Dans ce cas, la notation est utilisée
Comme on peut le voir dans les graphiques ci-dessous (l'incrément de la fonction primitive est indiqué par ), une intégrale définie peut être un nombre positif ou négatif(Il est calculé comme la différence entre la valeur de la primitive dans la limite supérieure et sa valeur dans la limite inférieure, c'est-à-dire comme F(b) - F(un)).
Nombres un Et b sont appelés respectivement limites inférieure et supérieure d'intégration et le segment [ un, b] – segment d’intégration.
Ainsi, si F(X) – une fonction primitive pour F(X), alors, selon la définition,
(38)
L'égalité (38) s'appelle Formule de Newton-Leibniz . Différence F(b) – F(un) s'écrit brièvement comme suit :
Nous écrirons donc la formule de Newton-Leibniz comme ceci :
(39)
Montrons que l'intégrale définie ne dépend pas de la primitive de l'intégrande prise lors de son calcul. Laisser F(X) et F( X) sont des primitives arbitraires de l'intégrande. Puisqu’il s’agit de primitives de même fonction, elles diffèrent par un terme constant : Ф( X) = F(X) + C. C'est pourquoi
Cela établit que sur le segment [ un, b] incréments de toutes les primitives de la fonction F(X) correspondre.
Ainsi, pour calculer une intégrale définie, il est nécessaire de trouver n'importe quelle primitive de l'intégrande, c'est-à-dire Vous devez d’abord trouver l’intégrale indéfinie. Constante AVEC exclus des calculs ultérieurs. Ensuite, la formule de Newton-Leibniz est appliquée : la valeur de la limite supérieure est substituée dans la fonction primitive b , plus loin - la valeur de la limite inférieure un et la différence est calculée F(b) - F(a) . Le nombre résultant sera une intégrale définie..
À un = b par définition accepté
Exemple 1.
Solution. Tout d'abord, trouvons l'intégrale indéfinie :
Application de la formule de Newton-Leibniz à la primitive
(à AVEC= 0), on obtient
Cependant, lors du calcul d'une intégrale définie, il est préférable de ne pas trouver la primitive séparément, mais d'écrire immédiatement l'intégrale sous la forme (39).
Exemple 2. Calculer l'intégrale définie
Solution. Utiliser la formule
Propriétés de l'intégrale définie
Théorème 2.La valeur de l'intégrale définie ne dépend pas de la désignation de la variable d'intégration, c'est à dire.
(40)
Laisser F(X) – primitive pour F(X). Pour F(t) la primitive est la même fonction F(t), dans lequel la variable indépendante est uniquement désignée différemment. Ainsi,
Basé sur la formule (39), la dernière égalité signifie l'égalité des intégrales
Théorème 3.Le facteur constant peut être soustrait du signe de l'intégrale définie, c'est à dire.
(41)
Théorème 4.L'intégrale définie d'une somme algébrique d'un nombre fini de fonctions est égale à la somme algébrique des intégrales définies de ces fonctions, c'est à dire.
(42)
Théorème 5.Si un segment d'intégration est divisé en parties, alors l'intégrale définie sur tout le segment est égale à la somme des intégrales définies sur ses parties, c'est à dire. Si
(43)
Théorème 6.Lors du réaménagement des limites d'intégration, la valeur absolue de l'intégrale définie ne change pas, mais seul son signe change, c'est à dire.
(44)
Théorème 7(théorème de la valeur moyenne). Une intégrale définie est égale au produit de la longueur du segment d'intégration et de la valeur de l'intégrande à un moment donné à l'intérieur de celui-ci., c'est à dire.
(45)
Théorème 8.Si la limite supérieure de l'intégration est supérieure à la limite inférieure et que l'intégrande est non négative (positive), alors l'intégrale définie est également non négative (positive), c'est-à-dire Si
Théorème 9.Si la limite supérieure de l'intégration est supérieure à la limite inférieure et que les fonctions sont continues, alors l'inégalité
peut être intégré terme par terme, c'est à dire.
(46)
Les propriétés de l'intégrale définie permettent de simplifier le calcul direct des intégrales.
Exemple 5. Calculer l'intégrale définie
En utilisant les théorèmes 4 et 3, et en trouvant les primitives - intégrales de table (7) et (6), on obtient
Intégrale définie avec limite supérieure variable
Laisser F(X) – continu sur le segment [ un, b] fonction, et F(X) est sa primitive. Considérons l'intégrale définie
(47)
et à travers t la variable d'intégration est désignée pour ne pas la confondre avec la borne supérieure. Quand ça change X l'intégrale définie (47) change également, c'est-à-dire c'est fonction de la limite supérieure d'intégration X, que nous désignons par F(X), c'est à dire.
(48)
Montrons que la fonction F(X) est une primitive de F(X) = F(t). En effet, différencier F(X), on a
parce que F(X) – primitive pour F(X), UN F(un) est une valeur constante.
Fonction F(X) – l’une des primitives infinies de F(X), à savoir celui qui X = un va à zéro. Cet énoncé est obtenu si dans l'égalité (48) on met X = un et utilisez le théorème 1 du paragraphe précédent.
Calcul d'intégrales définies par la méthode d'intégration par parties et la méthode de changement de variable
où, par définition, F(X) – primitive pour F(X). Si on change la variable dans l'intégrande
alors, d'après la formule (16), on peut écrire
Dans cette expression
fonction primitive pour
En fait, son dérivé, selon règle de différenciation des fonctions complexes, est égal
Soit α et β les valeurs de la variable t, pour lequel la fonction
prend les valeurs en conséquence un Et b, c'est à dire.
Mais, selon la formule de Newton-Leibniz, la différence F(b) – F(un) Il y a