Comment trouver l'aire sous un graphique. Intégrale définie. Comment calculer l'aire d'une figure

16.10.2019

Dans la section précédente, consacrée à l'analyse de la signification géométrique d'une intégrale définie, nous avons reçu un certain nombre de formules pour calculer l'aire trapèze courbé:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x pour une fonction continue et non négative y = f (x) sur l'intervalle [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x pour une fonction continue et non positive y = f (x) sur l'intervalle [ a ; b ] .

Ces formules sont applicables pour résoudre concernant tâches simples. En réalité, nous serons souvent amenés à travailler avec des figures plus complexes. À cet égard, nous consacrerons cette section à une analyse des algorithmes de calcul de l'aire des figures limitées par des fonctions sous forme explicite, c'est-à-dire comme y = f(x) ou x = g(y).

Théorème

Soit les fonctions y = f 1 (x) et y = f 2 (x) définies et continues sur l'intervalle [ a ; b ] , et f 1 (x) ≤ f 2 (x) pour toute valeur x de [ a ; b ] . Ensuite, la formule de calcul de l'aire de la figure G, délimitée par les lignes x = a, x = b, y = f 1 (x) et y = f 2 (x) ressemblera à S (G) = ∫ un b f 2 (x) - f 1 (x) ré x .

Une formule similaire sera applicable pour l'aire d'une figure délimitée par les droites y = c, y = d, x = g 1 (y) et x = g 2 (y) : S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) ré y .

Preuve

Regardons trois cas pour lesquels la formule sera valable.

Dans le premier cas, compte tenu de la propriété d'additivité de l'aire, la somme des aires de la figure originale G et du trapèze curviligne G1 est égale à l'aire de la figure G2. Cela signifie que

Par conséquent, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Nous pouvons effectuer la dernière transition en utilisant la troisième propriété de l'intégrale définie.

Dans le second cas, l'égalité est vraie : S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) ré x

L'illustration graphique ressemblera à :

Si les deux fonctions sont non positives, on obtient : S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) ré x . L'illustration graphique ressemblera à :

Passons maintenant au cas général où y = f 1 (x) et y = f 2 (x) coupent l'axe O x.

Nous désignons les points d'intersection par x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Ces points divisent le segment [a; b ] en n parties x i - 1 ; x je, je = 1, 2, . . . , n, où α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Ainsi,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Nous pouvons effectuer la dernière transition en utilisant la cinquième propriété de l'intégrale définie.

Illustrons le cas général sur le graphique.

La formule S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x peut être considérée comme prouvée.

Passons maintenant à l'analyse d'exemples de calcul de l'aire des figures limitées par les lignes y = f (x) et x = g (y).

Nous commencerons notre examen de l’un des exemples en construisant un graphique. L'image nous permettra de représenter figures complexes comment combiner plus chiffres simples. Si la construction de graphiques et de figures dessus vous pose des difficultés, vous pouvez étudier la section sur les fonctions élémentaires de base, la transformation géométrique des graphiques de fonctions, ainsi que la construction de graphiques tout en étudiant une fonction.

Exemple 1

Il est nécessaire de déterminer l'aire de la figure, qui est limitée par la parabole y = - x 2 + 6 x - 5 et les droites y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Solution

Traçons les lignes sur le graphique dans le système de coordonnées cartésiennes.

Sur le segment [ 1 ; 4 ] le graphique de la parabole y = - x 2 + 6 x - 5 est situé au dessus de la droite y = - 1 3 x - 1 2. A cet égard, pour obtenir la réponse, nous utilisons la formule obtenue précédemment, ainsi que la méthode de calcul de l'intégrale définie à l'aide de la formule de Newton-Leibniz :

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Réponse : S(G) = 13

Regardons un exemple plus complexe.

Exemple 2

Il est nécessaire de calculer l'aire de la figure, qui est limitée par les lignes y = x + 2, y = x, x = 7.

Solution

DANS dans ce cas nous n’avons qu’une seule droite parallèle à l’axe des x. C'est x = 7. Cela nous oblige à trouver nous-mêmes la deuxième limite de l’intégration.

Construisons un graphique et traçons dessus les lignes données dans l'énoncé du problème.

Ayant le graphique sous les yeux, on peut facilement déterminer que la limite inférieure d'intégration sera l'abscisse du point d'intersection du graphique de la droite y = x et de la semi-parabole y = x + 2. Pour trouver l'abscisse on utilise les égalités :

y = x + 2 O DZ : x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Il s'avère que l'abscisse du point d'intersection est x = 2.

Nous attirons votre attention sur le fait que dans exemple général dans le dessin, les lignes y = x + 2, y = x se coupent au point (2 ; 2), de tels calculs détaillés peuvent donc sembler inutiles. Nous avons apporté ça ici solution détaillée seulement parce qu'il y en a plus cas difficiles la solution n'est peut-être pas si évidente. Cela signifie qu'il est toujours préférable de calculer analytiquement les coordonnées de l'intersection des lignes.

Sur l'intervalle [ 2 ; 7] le graphique de la fonction y = x est situé au dessus du graphique de la fonction y = x + 2. Appliquons la formule pour calculer la superficie :

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Réponse : S (G) = 59 6

Exemple 3

Il est nécessaire de calculer l'aire de la figure, qui est limitée par les graphiques des fonctions y = 1 x et y = - x 2 + 4 x - 2.

Solution

Traçons les lignes sur le graphique.

Définissons les limites de l'intégration. Pour ce faire, on détermine les coordonnées des points d'intersection des droites en assimilant les expressions 1 x et - x 2 + 4 x - 2. A condition que x ne soit pas nul, l'égalité 1 x = - x 2 + 4 x - 2 devient équivalente à l'équation du troisième degré - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 à coefficients entiers. Pour vous rafraîchir la mémoire de l'algorithme de résolution de telles équations, on peut se référer à la section « Résolution d'équations cubiques ».

La racine de cette équation est x = 1 : - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

En divisant l'expression - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 par le binôme x - 1, on obtient : - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Nous pouvons trouver les racines restantes de l'équation x 2 - 3 x - 1 = 0 :

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3 ; X 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Nous avons trouvé l'intervalle x ∈ 1 ; 3 + 13 2, dans lequel le chiffre G est contenu au-dessus de la ligne bleue et en dessous de la ligne rouge. Cela nous aide à déterminer l'aire de la figure :

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Réponse : S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Exemple 4

Il faut calculer l'aire de la figure, qui est limitée par les courbes y = x 3, y = - log 2 x + 1 et l'axe des abscisses.

Solution

Traçons toutes les lignes sur le graphique. Nous pouvons obtenir le graphique de la fonction y = - log 2 x + 1 à partir du graphique y = log 2 x si nous le positionnons symétriquement par rapport à l'axe des x et le déplaçons d'une unité. L'équation de l'axe des x est y = 0.

Marquons les points d'intersection des lignes.

Comme le montre la figure, les graphiques des fonctions y = x 3 et y = 0 se coupent au point (0 ; 0). Cela se produit parce que x = 0 est la seule racine réelle de l'équation x 3 = 0.

x = 2 est la seule racine de l'équation - log 2 x + 1 = 0, donc les graphiques des fonctions y = - log 2 x + 1 et y = 0 se coupent au point (2 ; 0).

x = 1 est la seule racine de l'équation x 3 = - log 2 x + 1 . À cet égard, les graphiques des fonctions y = x 3 et y = - log 2 x + 1 se coupent au point (1 ; 1). La dernière affirmation n'est peut-être pas évidente, mais l'équation x 3 = - log 2 x + 1 ne peut pas avoir plus d'une racine, puisque la fonction y = x 3 est strictement croissante et la fonction y = - log 2 x + 1 est strictement décroissante.

L'autre solution implique plusieurs options.

Option n°1

On peut imaginer la figure G comme la somme de deux trapèzes curvilignes situés au dessus de l'axe des x dont le premier est situé en dessous ligne médiane sur le segment x ∈ 0 ; 1, et le second est en dessous de la ligne rouge sur le segment x ∈ 1 ; 2. Cela signifie que l'aire sera égale à S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Option n°2

La figure G peut être représentée comme la différence de deux chiffres dont le premier est situé au-dessus de l'axe des x et en dessous de la ligne bleue sur le segment x ∈ 0 ; 2, et la seconde entre les lignes rouge et bleue sur le segment x ∈ 1 ; 2. Cela nous permet de trouver la zone comme suit :

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Dans ce cas, pour trouver l'aire vous devrez utiliser une formule de la forme S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. En fait, les lignes qui délimitent la figure peuvent être représentées comme des fonctions de l'argument y.

Résolvons les équations y = x 3 et - log 2 x + 1 par rapport à x :

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

On obtient la surface requise :

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Réponse : S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Exemple 5

Il est nécessaire de calculer l'aire de la figure, qui est limitée par les lignes y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Solution

Avec une ligne rouge on trace la droite définie par la fonction y = x. On trace la droite y = - 1 2 x + 4 en bleu, et la droite y = 2 3 x - 3 en noir.

Marquons les points d'intersection.

Trouvons les points d'intersection des graphiques des fonctions y = x et y = - 1 2 x + 4 :

x = - 1 2 x + 4 O DZ : x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Vérifier : x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 non La solution de l'équation x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 est la solution de l'équation ⇒ (4; 2) point d'intersection i y = x et y = - 1 2 x + 4

Trouvons le point d'intersection des graphiques des fonctions y = x et y = 2 3 x - 3 :

x = 2 3 x - 3 O DZ : x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Vérifier : x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 est la solution de l'équation ⇒ (9 ; 3) point a s y = x et y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Il n'y a pas de solution à l'équation

Trouvons le point d'intersection des droites y = - 1 2 x + 4 et y = 2 3 x - 3 :

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) point d'intersection y = - 1 2 x + 4 et y = 2 3 x - 3

Méthode n°1

Imaginons l'aire de la figure souhaitée comme la somme des aires des figures individuelles.

Alors l’aire de la figure est :

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Méthode n°2

L'aire de la figure originale peut être représentée comme la somme de deux autres figures.

Ensuite, nous résolvons l'équation de la droite par rapport à x, et seulement après cela, nous appliquons la formule pour calculer l'aire de la figure.

y = x ⇒ x = y 2 ligne rouge y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 ligne noire y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

La zone est donc :

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 ans + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 ans 2 - 7 4 ans 1 2 + - y 3 3 + 3 ans 2 4 + 9 2 ans 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Comme vous pouvez le constater, les valeurs sont les mêmes.

Réponse : S (G) = 11 3

Résultats

Pour trouver l'aire d'une figure limitée par des lignes données, nous devons construire des lignes sur un plan, trouver leurs points d'intersection et appliquer la formule pour trouver l'aire. Dans cette section, nous avons examiné les variantes de tâches les plus courantes.

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Nous commençons à considérer le processus réel de calcul de la double intégrale et à nous familiariser avec sa signification géométrique.

Double intégrale numériquement égal à la superficie figure plate (région d’intégration). Ce forme la plus simple intégrale double, lorsque la fonction de deux variables est égale à un : .

Considérons d'abord le problème dans vue générale. Maintenant, vous serez assez surpris de voir à quel point tout est simple ! Calculons l'aire d'une figure plate délimitée par des lignes. Pour être précis, nous supposons que sur le segment . L'aire de cette figure est numériquement égale à :

Décrivons la zone dans le dessin :

Choisissons la première façon de parcourir la zone :

Ainsi:

Et immédiatement important technique technique: les intégrales itérées peuvent être calculées séparément. D’abord l’intégrale intérieure, puis l’intégrale extérieure. Cette méthode Je le recommande vivement aux débutants dans le sujet.

1) Calculons l'intégrale interne, et l'intégration s'effectue sur la variable « y » :

L'intégrale indéfinie est ici la plus simple, puis la formule banale de Newton-Leibniz est utilisée, à la seule différence que les limites de l'intégration ne sont pas des nombres, mais des fonctions. Tout d’abord, nous avons substitué la limite supérieure dans le « y » (fonction primitive), puis la limite inférieure

2) Le résultat obtenu au premier alinéa doit être substitué dans l'intégrale externe :

Une représentation plus compacte de l’ensemble de la solution ressemble à ceci :

La formule résultante - c'est exactement formule de travail pour calculer l'aire d'une figure plane en utilisant l'intégrale définie « ordinaire » ! Regardez la leçon Calcul de l'aire à l'aide d'une intégrale définie, elle est là à chaque pas !

C'est, problème de calcul de l'aire en utilisant une double intégrale pas très différent du problème de trouver l'aire en utilisant une intégrale définie ! En fait, c'est la même chose !

En conséquence, aucune difficulté ne devrait survenir ! Je ne regarderai pas beaucoup d’exemples, car vous avez en fait rencontré cette tâche à plusieurs reprises.

Exemple 9

Solution: Décrivons la zone dans le dessin :

Choisissons l'ordre suivant de parcours de la zone :

Ici et plus loin, je ne m'attarderai pas sur la façon de parcourir la zone, puisque des explications très détaillées ont été données dans le premier paragraphe.

Ainsi:

Comme je l'ai déjà noté, il est préférable pour les débutants de calculer les intégrales itérées séparément, et je m'en tiendrai à la même méthode :

1) Tout d’abord, en utilisant la formule de Newton-Leibniz, nous traitons de l’intégrale interne :

2) Le résultat obtenu à la première étape est substitué dans l'intégrale externe :

Le point 2 consiste en fait à trouver l'aire d'une figure plane à l'aide d'une intégrale définie.

Répondre:

C'est une tâche tellement stupide et naïve.

Un exemple intéressant pour une solution indépendante :

Exemple 10

À l'aide d'une intégrale double, calculez l'aire d'une figure plane délimitée par les droites , ,

Échantillon approximatif finalisation de la solution à la fin de la leçon.

Dans les exemples 9 à 10, il est beaucoup plus rentable d'utiliser la première méthode de parcours de la zone ; les lecteurs curieux peuvent d'ailleurs modifier l'ordre de parcours et calculer les zones en utilisant la deuxième méthode. Si vous ne faites pas d’erreur, vous obtiendrez naturellement les mêmes valeurs de superficie.

Mais dans certains cas, la deuxième méthode pour parcourir la zone est plus efficace, et à la fin du cours pour jeune nerd, regardons quelques autres exemples sur ce sujet :

Exemple 11

À l'aide d'une intégrale double, calculez l'aire d'une figure plane délimitée par des lignes,

Solution: Nous attendons avec impatience deux paraboles avec une bizarrerie qui se trouvent sur les côtés. Il n’y a pas lieu de sourire ; des choses similaires se produisent assez souvent dans plusieurs intégrales.

Quelle est la façon la plus simple de faire un dessin ?

Imaginons une parabole sous la forme de deux fonctions :
– la branche supérieure et – la branche inférieure.

De même, imaginez une parabole en forme de haut et de bas. branches.

Ensuite, le traçage ponctuel des règles graphiques, ce qui donne un chiffre aussi bizarre :

On calcule l'aire de la figure à l'aide de la double intégrale selon la formule :

Que se passe-t-il si nous choisissons la première méthode pour traverser la zone ? Dans un premier temps, cette zone devra être divisée en deux parties. Et deuxièmement, nous observerons ce triste tableau : . Les intégrales, bien sûr, ne sont pas d'un niveau extrêmement compliqué, mais... il y a un vieux dicton mathématique : ceux qui sont proches de leurs racines n'ont pas besoin de test.

Par conséquent, à partir du malentendu donné dans la condition, nous exprimons les fonctions inverses :

Fonctions inverses V dans cet exemple ont l'avantage de spécifier la parabole entière en même temps sans feuilles, glands, branches et racines.

Selon la deuxième méthode, le parcours de zone sera le suivant :

Ainsi:

Comme on dit, ressentez la différence.

1) On s'occupe de l'intégrale interne :

Nous substituons le résultat dans l'intégrale externe :

L'intégration sur la variable « y » ne devrait pas prêter à confusion ; s'il y avait une lettre « zy », ce serait formidable de l'intégrer. Bien que qui ait lu le deuxième paragraphe de la leçon Comment calculer le volume d'un corps de révolution, il n’éprouve plus la moindre gêne avec l’intégration selon la méthode « Y ».

Faites également attention à la première étape : l'intégrande est paire et l'intervalle d'intégration est symétrique par rapport à zéro. Par conséquent, le segment peut être réduit de moitié et le résultat peut être doublé. Cette technique commenté en détail dans la leçon Méthodes efficaces calculer une intégrale définie.

Que ajouter... Tous!

Répondre:

Pour tester votre technique d'intégration, vous pouvez essayer de calculer . La réponse devrait être exactement la même.

Exemple 12

À l'aide d'une intégrale double, calculez l'aire d'une figure plane délimitée par des lignes

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Il est intéressant de noter que si vous essayez d’utiliser la première méthode de parcours de la zone, la figure ne devra plus être divisée en deux, mais en trois parties ! Et, par conséquent, nous obtenons trois paires d’intégrales répétées. Cela arrive également.

La master class est terminée, et il est temps de passer au niveau grand maître - Comment calculer la double intégrale ? Exemples de solutions. Je vais essayer de ne pas être aussi maniaque dans le deuxième article =)

Je vous souhaite du succès !

Solutions et réponses :

Exemple 2 :Solution: Décrivons la zone sur le dessin :

Choisissons l'ordre suivant de parcours de la zone :

Ainsi:
Passons aux fonctions inverses :

Ainsi:
Répondre:

Exemple 4 :Solution: Passons aux fonctions directes :

Faisons le dessin :

Changeons l'ordre de traversée de la zone :

Répondre:

Problème 1(à propos du calcul de l'aire d'un trapèze courbe).

Dans le système de coordonnées rectangulaires cartésiennes xOy, une figure est donnée (voir figure) délimitée par l'axe des x, des droites x = a, x = b (un trapèze courbe. Il est nécessaire de calculer l'aire du trapèze courbe.
Solution. La géométrie nous donne des recettes pour calculer les aires de polygones et de certaines parties d'un cercle (secteur, segment). En utilisant des considérations géométriques, nous ne pouvons trouver qu'une valeur approximative de la surface recherchée, en raisonnant comme suit.

Divisons le segment [a; b] (base d'un trapèze courbe) en n parties égales ; cette partition est réalisée à l'aide des points x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Traçons des lignes droites passant par ces points parallèlement à l’axe y. Ensuite, le trapèze curviligne donné sera divisé en n parties, en n colonnes étroites. L'aire de l'ensemble du trapèze est égale à la somme des aires des colonnes.

Considérons la k-ème colonne séparément, c'est-à-dire un trapèze courbe dont la base est un segment. Remplaçons-le par un rectangle de même base et de même hauteur égale à f(x k) (voir figure). L'aire du rectangle est égale à $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, où $\Delta x_k $ est la longueur du segment ; Il est naturel de considérer le produit résultant comme une valeur approximative de l'aire de la kème colonne.

Si l'on fait maintenant de même avec toutes les autres colonnes, on arrivera au résultat suivant : l'aire S d'un trapèze curviligne donné est approximativement égale à l'aire S n d'une figure en escalier composée de n rectangles (voir figure) :
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Ici, par souci d'uniformité de notation, nous supposons que a = x 0, b = x n ; $\Delta x_0 $ - longueur du segment, $\Delta x_1 $ - longueur du segment, etc.; dans ce cas, comme nous l'avons convenu ci-dessus, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

Donc, $S \approx S_n $, et cette égalité approximative est d’autant plus précise que plus n est grand.
Par définition, on pense que l'aire requise d'un trapèze curviligne est égale à la limite de la séquence (S n) :
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problème 2(à propos de déplacer un point)
Se déplace en ligne droite point matériel. La dépendance de la vitesse au temps est exprimée par la formule v = v(t). Trouver le mouvement d'un point sur une période de temps [a; b].
Solution. Si le mouvement était uniforme, alors le problème serait résolu très simplement : s = vt, c'est-à-dire s = v(ba). Pour les mouvements inégaux, vous devez utiliser les mêmes idées sur lesquelles était basée la solution du problème précédent.
1) Divisez l'intervalle de temps [a; b] en n parties égales.
2) Considérons une période de temps et supposons que pendant cette période la vitesse était constante, la même qu'au temps t k. Nous supposons donc que v = v(t k).
3) Trouvons la valeur approximative du mouvement du point sur une période de temps, nous noterons cette valeur approximative par sk ;
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Trouver la valeur approximative du déplacement s :
$s \approx S_n $ où
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) Le déplacement recherché est égal à la limite de la séquence (S n) :
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Résumons. Les solutions à divers problèmes ont été réduites au même modèle mathématique. De nombreux problèmes issus de divers domaines scientifiques et technologiques conduisent au même modèle en cours de résolution. Cela signifie que ce modèle mathématique doit être spécialement étudié.

Le concept d'intégrale définie

Donnons une description mathématique du modèle qui a été construit dans les trois problèmes considérés pour la fonction y = f(x), continue (mais pas nécessairement non négative, comme cela était supposé dans les problèmes considérés) sur l'intervalle [a; b] :
1) diviser le segment [a; b] en n parties égales ;
2) faites la somme $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calculer $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Au cours d'une analyse mathématique, il a été prouvé que cette limite existe dans le cas d'une fonction continue (ou continue par morceaux). Ils l'appellent une certaine intégrale de la fonction y = f(x) sur le segment [a; b] et noté comme suit :
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Les nombres a et b sont appelés limites d'intégration (respectivement inférieure et supérieure).

Revenons aux tâches évoquées ci-dessus. La définition de la zone donnée dans le problème 1 peut maintenant être réécrite comme suit :
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
ici S est l'aire du trapèze courbe montré dans la figure ci-dessus. C'est signification géométrique intégrale définie.

La définition du déplacement s d'un point se déplaçant en ligne droite avec une vitesse v = v(t) sur la période de temps de t = a à t = b, donnée dans le problème 2, peut être réécrite comme suit :

Formule de Newton-Leibniz

Tout d'abord, répondons à la question : quel est le lien entre l'intégrale définie et la primitive ?

La réponse peut être trouvée dans le problème 2. D'une part, le déplacement s d'un point se déplaçant en ligne droite avec une vitesse v = v(t) sur la période de temps de t = a à t = b est calculé par la formule
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

D'un autre côté, la coordonnée d'un point en mouvement est une primitive de la vitesse - notons-la s(t) ; Cela signifie que le déplacement s est exprimé par la formule s = s(b) - s(a). En conséquence nous obtenons :
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
où s(t) est la primitive de v(t).

Le théorème suivant a été prouvé au cours d’une analyse mathématique.
Théorème. Si la fonction y = f(x) est continue sur l'intervalle [a; b], alors la formule est valide
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
où F(x) est la primitive de f(x).

La formule donnée est généralement appelée Formule de Newton-Leibniz en l'honneur du physicien anglais Isaac Newton (1643-1727) et du philosophe allemand Gottfried Leibniz (1646-1716), qui l'ont reçu indépendamment l'un de l'autre et presque simultanément.

En pratique, au lieu d'écrire F(b) - F(a), ils utilisent la notation $\left. F(x)\right|_a^b $ (on l'appelle parfois double remplacement) et, en conséquence, réécrivez la formule de Newton-Leibniz sous cette forme :
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

Lors du calcul d'une intégrale définie, recherchez d'abord la primitive, puis effectuez une double substitution.

Sur la base de la formule de Newton-Leibniz, nous pouvons obtenir deux propriétés de l'intégrale définie.

Propriété 1. Intégrale de la somme des fonctions égal à la somme intégrales :
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Propriété 2. Le facteur constant peut être soustrait du signe intégral :
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Calculer les aires de figures planes à l'aide d'une intégrale définie

En utilisant l'intégrale, vous pouvez calculer les aires non seulement des trapèzes curvilignes, mais aussi des figures plates. type complexe, par exemple celui montré sur la figure. La figure P est limitée par des droites x = a, x = b et des graphiques de fonctions continues y = f(x), y = g(x), et sur le segment [a; b] l'inégalité $g(x) \leq f(x) $ est vraie. Pour calculer l’aire S d’une telle figure, nous procéderons de la manière suivante :
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Ainsi, l'aire S d'une figure délimitée par des droites x = a, x = b et des graphiques de fonctions y = f(x), y = g(x), continues sur le segment et telles que pour tout x du segment [un; b] l'inégalité $g(x) \leq f(x) $ est satisfaite, calculée par la formule
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tableau des intégrales indéfinies (primitives) de certaines fonctions

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Dans cet article, vous apprendrez comment trouver l'aire d'une figure délimitée par des lignes à l'aide de calculs intégraux. Pour la première fois, nous rencontrons la formulation d'un tel problème au lycée, alors que nous venons de terminer l'étude des intégrales définies et qu'il est temps de commencer l'interprétation géométrique des connaissances acquises dans la pratique.

Alors, que faut-il pour résoudre avec succès le problème de la recherche de l'aire d'une figure à l'aide d'intégrales :

Capacité à réaliser des dessins compétents ;
Capacité à résoudre une intégrale définie en utilisant la formule bien connue de Newton-Leibniz ;
La capacité de « voir » une option de solution plus rentable - c'est-à-dire comprendre en quoi il sera plus pratique de réaliser l'intégration dans un cas ou un autre ? Le long de l'axe des x (OX) ou de l'axe des y (OY) ?
Eh bien, où serions-nous sans des calculs corrects ?) Cela implique de comprendre comment résoudre cet autre type d’intégrales et de corriger les calculs numériques.

Algorithme pour résoudre le problème du calcul de l'aire d'une figure délimitée par des lignes :

1. Nous construisons un dessin. Il est conseillé de le faire sur une feuille de papier à carreaux, à grande échelle. On signe le nom de cette fonction avec un crayon au dessus de chaque graphique. La signature des graphiques est effectuée uniquement pour faciliter les calculs ultérieurs. Après avoir reçu un graphique du chiffre souhaité, dans la plupart des cas, il sera immédiatement clair quelles limites d'intégration seront utilisées. Ainsi, nous résolvons le problème graphiquement. Cependant, il arrive que les valeurs des limites soient fractionnaires ou irrationnelles. Par conséquent, vous pouvez effectuer des calculs supplémentaires, passez à la deuxième étape.

2. Si les limites d'intégration ne sont pas explicitement précisées, alors nous trouvons les points d'intersection des graphiques entre eux et voyons si notre solution graphique coïncide avec la solution analytique.

3. Ensuite, vous devez analyser le dessin. Selon la façon dont les graphiques de fonctions sont disposés, il existe différentes approches pour trouver l'aire d'une figure. Considérons différents exemples sur la recherche de l'aire d'une figure à l'aide d'intégrales.

3.1. La version la plus classique et la plus simple du problème consiste à trouver l'aire d'un trapèze courbe. Qu'est-ce qu'un trapèze courbe ? Ce silhouette plate, limité par l'axe des x (y = 0), droit x = une, x = b et toute courbe continue sur l'intervalle de unà b. De plus, ce chiffre est non négatif et ne se situe pas en dessous de l'axe des x. Dans ce cas, l'aire du trapèze curviligne est numériquement égale à une certaine intégrale, calculée à l'aide de la formule de Newton-Leibniz :

Exemple 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Par quelles lignes la figure est-elle délimitée ? Nous avons une parabole y = x2 – 3x + 3, qui est situé au dessus de l'axe OH, c'est non négatif, car tous les points de cette parabole ont des valeurs positives. Ensuite, étant donné les lignes droites x = 1 Et x = 3, qui sont parallèles à l'axe Ampli-op, sont les lignes de démarcation de la figure à gauche et à droite. Bien y = 0, c'est aussi l'axe des x, qui limite la figure par le bas. La figure résultante est ombrée, comme le montre la figure de gauche. Dans ce cas, vous pouvez immédiatement commencer à résoudre le problème. Nous avons devant nous un exemple simple de trapèze courbe, que nous résolvons ensuite à l'aide de la formule de Newton-Leibniz.

3.2. Dans le paragraphe 3.1 précédent, nous avons examiné le cas où un trapèze courbe est situé au-dessus de l'axe des x. Considérons maintenant le cas où les conditions du problème sont les mêmes, sauf que la fonction se situe sous l'axe des x. Un moins est ajouté à la formule standard de Newton-Leibniz. Nous examinerons ci-dessous comment résoudre un tel problème.

Exemple 2 . Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Dans cet exemple nous avons une parabole y = x2 + 6x + 2, qui provient de l'axe OH, droit x = -4, x = -1, y = 0. Ici y = 0 limite le chiffre souhaité par le haut. Direct x = -4 Et x = -1 ce sont les limites à l'intérieur desquelles l'intégrale définie sera calculée. Le principe de résolution du problème de la recherche de l'aire d'une figure coïncide presque complètement avec l'exemple numéro 1. La seule différence est que fonction donnée non positif, et toujours continu sur l'intervalle [-4; -1] . Comment ça, pas positif ? Comme le montre la figure, la figure qui se situe dans les x donnés a des coordonnées exclusivement « négatives », ce que nous devons voir et retenir lors de la résolution du problème. Nous recherchons l'aire de la figure à l'aide de la formule de Newton-Leibniz, uniquement avec un signe moins au début.

L'article n'est pas terminé.

Alors, que faut-il pour résoudre avec succès le problème de la recherche de l'aire d'une figure à l'aide d'intégrales :

Capacité à réaliser des dessins compétents ;
Capacité à résoudre une intégrale définie en utilisant la formule bien connue de Newton-Leibniz ;
La capacité de « voir » une option de solution plus rentable - c'est-à-dire comprendre en quoi il sera plus pratique de réaliser l'intégration dans un cas ou un autre ? Le long de l'axe des x (OX) ou de l'axe des y (OY) ?
Eh bien, où serions-nous sans des calculs corrects ?) Cela implique de comprendre comment résoudre cet autre type d’intégrales et de corriger les calculs numériques.

Algorithme pour résoudre le problème du calcul de l'aire d'une figure délimitée par des lignes :

3. Ensuite, vous devez analyser le dessin. Selon la façon dont les graphiques de fonctions sont disposés, il existe différentes approches pour trouver l'aire d'une figure. Examinons différents exemples de recherche de l'aire d'une figure à l'aide d'intégrales.

3.1. La version la plus classique et la plus simple du problème consiste à trouver l'aire d'un trapèze courbe. Qu'est-ce qu'un trapèze courbe ? Il s'agit d'une figure plate limitée par l'axe des x (y = 0), droit x = une, x = b et toute courbe continue sur l'intervalle de unà b. De plus, ce chiffre est non négatif et ne se situe pas en dessous de l'axe des x. Dans ce cas, l'aire du trapèze curviligne est numériquement égale à une certaine intégrale, calculée à l'aide de la formule de Newton-Leibniz :

Exemple 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Exemple 2 . Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Dans cet exemple nous avons une parabole y = x2 + 6x + 2, qui provient de l'axe OH, droit x = -4, x = -1, y = 0. Ici y = 0 limite le chiffre souhaité par le haut. Direct x = -4 Et x = -1 ce sont les limites à l'intérieur desquelles l'intégrale définie sera calculée. Le principe de résolution du problème de recherche de l'aire d'une figure coïncide presque complètement avec l'exemple numéro 1. La seule différence est que la fonction donnée n'est pas positive, et est également continue sur l'intervalle [-4; -1] . Comment ça, pas positif ? Comme le montre la figure, la figure qui se situe dans les x donnés a des coordonnées exclusivement « négatives », ce que nous devons voir et retenir lors de la résolution du problème. Nous recherchons l'aire de la figure à l'aide de la formule de Newton-Leibniz, uniquement avec un signe moins au début.

L'article n'est pas terminé.