La factorisation des polynômes est une transformation d'identité, à la suite de laquelle un polynôme est transformé en produit de plusieurs facteurs - polynômes ou monômes.
Il existe plusieurs façons de factoriser des polynômes.
Méthode 1. Sortir le facteur commun des parenthèses.
Cette transformation est basée sur la loi distributive de multiplication : ac + bc = c(a + b). L'essence de la transformation est d'isoler le facteur commun des deux composantes considérées et de le « sortir » des parenthèses.
Factorisons le polynôme 28x 3 – 35x 4.
Solution.
1. Trouvez les éléments 28x 3 et 35x 4 diviseur commun. Pour 28 et 35 ce sera 7 ; pour x 3 et x 4 – x 3. En d’autres termes, notre facteur commun est 7x 3.
2. Nous représentons chacun des éléments comme un produit de facteurs, dont l'un
7x 3 : 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.
3. Nous retirons le facteur commun des parenthèses
7x 3 : 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).
Méthode 2. Utilisation de formules de multiplication abrégées. La « maîtrise » de l'utilisation de cette méthode consiste à remarquer l'une des formules de multiplication abrégées dans l'expression.
Factorisons le polynôme x 6 – 1.
Solution.
1. Nous pouvons appliquer la formule de la différence des carrés à cette expression. Pour ce faire, imaginez x 6 comme (x 3) 2 et 1 comme 1 2, c'est-à-dire 1. L'expression prendra la forme :
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).
2. Nous pouvons appliquer la formule de la somme et de la différence des cubes à l'expression résultante :
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Donc,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Méthode 3. Regroupement. La méthode de regroupement consiste à combiner les composantes d'un polynôme de manière à ce qu'il soit facile d'effectuer des opérations sur elles (addition, soustraction, soustraction d'un facteur commun).
Factorisons le polynôme x 3 – 3x 2 + 5x – 15.
Solution.
1. Regroupons ainsi les composants : le 1er avec le 2ème, et le 3ème avec le 4ème
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).
2. Dans l'expression résultante, on sort les facteurs communs entre parenthèses : x 2 dans le premier cas et 5 dans le second.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).
3. Nous retirons le facteur commun x – 3 entre parenthèses et obtenons :
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).
Donc,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).
Sécurisons le matériel.
Factoriser le polynôme a 2 – 7ab + 12b 2 .
Solution.
1. Représentons le monôme 7ab comme la somme 3ab + 4ab. L'expression prendra la forme :
une 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2. 
Ouvrons les parenthèses et obtenons :
une 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.
2. Regroupons ainsi les composantes du polynôme : 1er avec 2ème et 3ème avec 4ème. On a:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).
3. Sortons entre parenthèses les facteurs communs :
(une 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = une(une – 3b) – 4b(une – 3b).
4. Retirons le facteur commun (a – 3b) des parenthèses :
une(une – 3b) – 4b(une – 3b) = (une – 3b) ∙ (une – 4b).
Donc,
une 2 – 7ab + 12b 2 =
= une 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= une 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= une(une – 3b) – 4b(une – 3b) =
= (une – 3b) ∙ (une – 4b).
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La factorisation des polynômes est une transformation d'identité, à la suite de laquelle un polynôme est transformé en produit de plusieurs facteurs - polynômes ou monômes.
Il existe plusieurs façons de factoriser des polynômes.
Méthode 1. Sortir le facteur commun des parenthèses.
Cette transformation est basée sur la loi distributive de multiplication : ac + bc = c(a + b). L'essence de la transformation est d'isoler le facteur commun des deux composantes considérées et de le « sortir » des parenthèses.
Factorisons le polynôme 28x 3 – 35x 4.
Solution.
1. Trouvez un diviseur commun pour les éléments 28x3 et 35x4. Pour 28 et 35 ce sera 7 ; pour x 3 et x 4 – x 3. En d’autres termes, notre diviseur commun est 7x 3.
2. Nous représentons chacun des éléments comme un produit de facteurs, dont l'un
7x 3 : 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.
3. Nous retirons le facteur commun des parenthèses
7x 3 : 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).
Méthode 2. Utilisation de formules de multiplication abrégées. La « maîtrise » de l'utilisation de cette méthode consiste à remarquer l'une des formules de multiplication abrégées dans l'expression.
Factorisons le polynôme x 6 – 1.
Solution.
1. Nous pouvons appliquer la formule de la différence des carrés à cette expression. Pour ce faire, imaginez x 6 comme (x 3) 2 et 1 comme 1 2, c'est-à-dire 1. L'expression prendra la forme :
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).
2. Nous pouvons appliquer la formule de la somme et de la différence des cubes à l'expression résultante :
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Donc,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Méthode 3. Regroupement. La méthode de regroupement consiste à combiner les composantes d'un polynôme de manière à ce qu'il soit facile d'effectuer des opérations sur elles (addition, soustraction, soustraction d'un facteur commun).
Factorisons le polynôme x 3 – 3x 2 + 5x – 15.
Solution.
1. Regroupons ainsi les composants : le 1er avec le 2ème, et le 3ème avec le 4ème
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).
2. Dans l'expression résultante, on sort les facteurs communs entre parenthèses : x 2 dans le premier cas et 5 dans le second.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).
3. Nous retirons le facteur commun x – 3 entre parenthèses et obtenons :
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).
Donc,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).
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Factoriser le polynôme a 2 – 7ab + 12b 2 .
Solution.
1. Représentons le monôme 7ab comme la somme 3ab + 4ab. L'expression prendra la forme :
une 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.
Ouvrons les parenthèses et obtenons :
une 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.
2. Regroupons ainsi les composantes du polynôme : 1er avec 2ème et 3ème avec 4ème. On a:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).
3. Sortons entre parenthèses les facteurs communs :
(une 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = une(une – 3b) – 4b(une – 3b).
4. Retirons le facteur commun (a – 3b) des parenthèses :
une(une – 3b) – 4b(une – 3b) = (une – 3b) ∙ (une – 4b).
Donc,
une 2 – 7ab + 12b 2 =
= une 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= une 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= une(une – 3b) – 4b(une – 3b) =
= (une – 3b) ∙ (une – 4b).
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Un polynôme est une expression constituée de la somme de monômes. Ces dernières sont le produit d'une constante (nombre) et de la racine (ou des racines) de l'expression à la puissance k. Dans ce cas, on parle d'un polynôme de degré k. Le développement d'un polynôme implique une transformation de l'expression dans laquelle les termes sont remplacés par des facteurs. Considérons les principaux moyens de réaliser ce type de transformation.
Méthode de développement d'un polynôme en isolant un facteur commun
Cette méthode est basée sur les lois de la loi de distribution. Donc, mn + mk = m * (n + k).
- Exemple: agrandir 7a 2 + 2uy et 2m 3 – 12m 2 + 4lm.
7a 2 + 2uy = y * (7a + 2u),
2m 3 – 12m 2 + 4lm = 2m(m 2 – 6m + 2l).
Cependant, le facteur qui est nécessairement présent dans chaque polynôme n'est pas toujours trouvé, donc cette méthode n'est pas universelle.
Méthode de développement polynomial basée sur des formules de multiplication abrégées
Les formules de multiplication abrégées sont valables pour les polynômes de n'importe quel degré. DANS vue générale L'expression de conversion ressemble à ceci :
u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), où k est un représentant de nombres naturels .
Les formules les plus souvent utilisées en pratique concernent les polynômes du deuxième et du troisième ordre :
u 2 – l 2 = (u – l)(u + l),
u 3 – l 3 = (u – l)(u 2 + ul + l 2),
u 3 + l 3 = (u + l)(u 2 – ul + l 2).
- Exemple: développer 25p 2 – 144b 2 et 64m 3 – 8l 3.
25p 2 – 144b 2 = (5p – 12b)(5p + 12b),
64m 3 – 8l 3 = (4m) 3 – (2l) 3 = (4m – 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m – 2l)(16m 2 + 8ml + 4l 2 ).
Méthode d'expansion polynomiale - regroupement des termes d'une expression
Cette méthode a d'une certaine manière quelque chose en commun avec la technique de dérivation du facteur commun, mais présente quelques différences. En particulier, avant d'isoler un facteur commun, il convient de regrouper les monômes. Le regroupement est basé sur les règles des lois combinatoires et commutatives.
Tous les monômes présentés dans l'expression sont divisés en groupes, dans chacun desquels sens général de telle sorte que le deuxième facteur sera le même dans tous les groupes. En général, cette méthode de décomposition peut être représentée par l'expression :
pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),
pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s).
- Exemple:étalé 14mn + 16ln – 49m – 56l.
14mn + 16ln – 49m – 56l = (14mn – 49m) + (16ln – 56l) = 7m * (2n – 7) + 8l * (2n – 7) = (7m + 8l)(2n – 7).
Méthode d'expansion polynomiale - former un carré parfait
Cette méthode est l’une des plus efficaces pour décomposer un polynôme. Au stade initial, il est nécessaire de déterminer des monômes qui peuvent être « réduits » au carré de la différence ou de la somme. Pour ce faire, utilisez l'une des relations :
(p – b) 2 = p 2 – 2pb + b 2,
- Exemple: développez l'expression u 4 + 4u 2 – 1.
Parmi ses monômes, sélectionnons les termes qui forment un carré complet : u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =
= (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 4 – 1 = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 5.
Complétez la transformation en utilisant les règles de multiplication abrégées : (u 2 + 2) 2 – 5 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).
Que. u 4 + 4u 2 – 1 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).
Pour factoriser, il faut simplifier les expressions. Cela est nécessaire pour pouvoir le réduire davantage. Le développement d’un polynôme a du sens lorsque son degré n’est pas inférieur à deux. Un polynôme du premier degré est dit linéaire.
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L'article couvrira tous les concepts de décomposition, base théorique et des méthodes de factorisation d'un polynôme.
Théorie
Théorème 1Quand tout polynôme de degré n, ayant la forme P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, sont représentés comme un produit avec un facteur constant avec le degré le plus élevé a n et n facteurs linéaires (x - x i), i = 1, 2, ..., n, puis P n (x) = une n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , où x i, i = 1, 2, …, n sont les racines du polynôme.
Le théorème est destiné aux racines de type complexe x i, i = 1, 2, …, n et aux coefficients complexes a k, k = 0, 1, 2, …, n. C'est la base de toute décomposition.
Lorsque les coefficients de la forme a k, k = 0, 1, 2,…, n sont des nombres réels, alors les racines complexes apparaîtront par paires conjuguées. Par exemple, les racines x 1 et x 2 sont liées à un polynôme de la forme P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 sont considérés comme des conjugués complexes, alors les autres racines sont réelles, d'où on obtient que le polynôme prend la forme P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, où x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
Commentaire
Les racines d’un polynôme peuvent être répétées. Considérons la preuve du théorème d'algèbre, conséquence du théorème de Bezout.
Théorème fondamental de l'algèbre
Théorème 2Tout polynôme de degré n possède au moins une racine.
Théorème de Bezout
Après avoir divisé un polynôme de la forme P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 sur (x - s), alors on obtient le reste, qui est égal au polynôme au point s, puis on obtient
P n x = un n x n + un n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , où Q n - 1 (x) est un polynôme de degré n - 1.
Corollaire au théorème de Bezout
Lorsque la racine du polynôme P n (x) est considérée comme s, alors P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + une 1 x + une 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Ce corollaire est suffisant pour décrire la solution.
Factoriser un trinôme quadratique
Un trinôme carré de la forme a x 2 + b x + c peut être factorisé en facteurs linéaires. alors nous obtenons que a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , où x 1 et x 2 sont des racines (complexes ou réelles).
Il ressort clairement de là que l’expansion elle-même se réduit à la solution équation quadratique ensuite.
Exemple 1
Factorisez le trinôme quadratique.
Solution
Il faut trouver les racines de l'équation 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Pour ce faire, vous devez trouver la valeur du discriminant à l'aide de la formule, nous obtenons alors D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. De là, nous avons ça
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
De là, nous obtenons que 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Pour effectuer la vérification, vous devez ouvrir les parenthèses. On obtient alors une expression de la forme :
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Après vérification, on arrive à l'expression originale. Autrement dit, nous pouvons conclure que la décomposition a été effectuée correctement.
Exemple 2
Factoriser le trinôme quadratique de la forme 3 x 2 - 7 x - 11 .
Solution
Nous constatons qu'il est nécessaire de calculer l'équation quadratique résultante de la forme 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Pour trouver les racines, vous devez déterminer la valeur du discriminant. Nous obtenons cela
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6
De là, nous obtenons que 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.
Exemple 3
Factorisez le polynôme 2 x 2 + 1.
Solution
Nous devons maintenant résoudre l’équation quadratique 2 x 2 + 1 = 0 et trouver ses racines. Nous obtenons cela
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 je x 2 = - 1 2 = - 1 2 je
Ces racines sont appelées conjuguées complexes, ce qui signifie que l'expansion elle-même peut être représentée comme 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Exemple 4
Décomposez le trinôme quadratique x 2 + 1 3 x + 1 .
Solution
Vous devez d’abord résoudre une équation quadratique de la forme x 2 + 1 3 x + 1 = 0 et trouver ses racines.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 je 2 = - 1 + 35 · je 6 = - 1 6 + 35 6 · je x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · je 2 = - 1 - 35 · je 6 = - 1 6 - 35 6 · je
Après avoir obtenu les racines, nous écrivons
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 je x - - 1 6 - 35 6 je = = x + 1 6 - 35 6 je x + 1 6 + 35 6 je
Commentaire
Si la valeur discriminante est négative, alors les polynômes resteront des polynômes du second ordre. Il s'ensuit que nous ne les développerons pas en facteurs linéaires.
Méthodes de factorisation d'un polynôme de degré supérieur à deux
Lors de la décomposition, une méthode universelle est supposée. La plupart des cas reposent sur un corollaire du théorème de Bezout. Pour ce faire, vous devez sélectionner la valeur de la racine x 1 et réduire son degré en divisant par un polynôme par 1 en divisant par (x - x 1). Le polynôme résultant doit trouver la racine x 2, et le processus de recherche est cyclique jusqu'à ce que nous obtenions un développement complet.
Si la racine n'est pas trouvée, alors d'autres méthodes de factorisation sont utilisées : regroupement, termes supplémentaires. Ce sujet consiste à résoudre des équations avec diplômes supérieurs et des coefficients entiers.
Sortir le facteur commun des parenthèses
Considérons le cas où le terme libre est égal à zéro, alors la forme du polynôme devient P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + un 1x.
On peut voir que la racine d'un tel polynôme sera égale à x 1 = 0, alors le polynôme peut être représenté par l'expression P n (x) = an x n + an - 1 x n - 1 +. . . + une 1 x = = x (une n x n - 1 + une n - 1 x n - 2 + . . . + une 1)
Cette méthode est considérée comme prenant le facteur commun hors parenthèses.
Exemple 5
Factorisez le polynôme du troisième degré 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Solution
Nous voyons que x 1 = 0 est la racine du polynôme donné, nous pouvons alors supprimer x des parenthèses de l'expression entière. On a:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Passons à la recherche des racines du trinôme carré 4 x 2 + 8 x - 1. Trouvons le discriminant et les racines :
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Il s'ensuit alors que
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Pour commencer, prenons en considération une méthode de décomposition contenant des coefficients entiers de la forme P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, où le coefficient du degré le plus élevé est 1.
Lorsqu’un polynôme a des racines entières, elles sont alors considérées comme diviseurs du terme libre.
Exemple 6
Développez l'expression f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Solution
Voyons s'il existe des racines complètes. Il est nécessaire d'écrire les diviseurs du nombre - 18. Nous obtenons cela ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Il s’ensuit que ce polynôme a des racines entières. Vous pouvez vérifier en utilisant le schéma de Horner. C'est très pratique et permet d'obtenir rapidement les coefficients de dilatation d'un polynôme :
Il s'ensuit que x = 2 et x = - 3 sont les racines du polynôme d'origine, qui peut être représenté comme un produit de la forme :
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
On procède au développement d'un trinôme quadratique de la forme x 2 + 2 x + 3.
Puisque le discriminant est négatif, cela signifie qu’il n’y a pas de véritables racines.
Répondre: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Commentaire
Il est permis d'utiliser la sélection de racines et la division d'un polynôme par un polynôme au lieu du schéma de Horner. Passons à la considération du développement d'un polynôme contenant des coefficients entiers de la forme P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , dont le plus élevé est égal à un.
Ce cas se produit pour les fractions rationnelles.
Exemple 7
Factoriser f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Solution
Il faut remplacer la variable y = 2 x, il faut passer à un polynôme à coefficients égaux à 1 au plus haut degré. Vous devez commencer par multiplier l’expression par 4. Nous obtenons cela
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Lorsque la fonction résultante de la forme g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 a des racines entières, alors leur emplacement se trouve parmi les diviseurs du terme libre. L'entrée ressemblera à :
±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60
Passons au calcul de la fonction g (y) en ces points afin d'obtenir zéro comme résultat. Nous obtenons cela
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Nous constatons que y = - 5 est la racine d'une équation de la forme y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, ce qui signifie que x = y 2 = - 5 2 est la racine de la fonction d'origine.
Exemple 8
Il faut diviser avec une colonne 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 par x + 5 2.
Solution
Écrivons-le et obtenons :
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
La vérification des diviseurs prendra beaucoup de temps, il est donc plus rentable de factoriser le trinôme quadratique résultant de la forme x 2 + 7 x + 3. En égalisant à zéro, nous trouvons le discriminant.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Il s'ensuit que
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Techniques artificielles pour factoriser un polynôme
Les racines rationnelles ne sont pas inhérentes à tous les polynômes. Pour ce faire, vous devez utiliser des méthodes spéciales pour trouver des facteurs. Mais tous les polynômes ne peuvent pas être développés ou représentés comme un produit.
Méthode de regroupement
Il existe des cas où vous pouvez regrouper les termes d'un polynôme pour trouver un facteur commun et le mettre entre parenthèses.
Exemple 9
Factorisez le polynôme x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Solution
Étant donné que les coefficients sont des nombres entiers, les racines peuvent probablement également être des nombres entiers. Pour vérifier, prenez les valeurs 1, - 1, 2 et - 2 afin de calculer la valeur du polynôme en ces points. Nous obtenons cela
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
Cela montre qu’il n’y a pas de racines ; il est nécessaire d’utiliser une autre méthode d’expansion et de solution.
Il faut regrouper :
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Après avoir regroupé le polynôme d'origine, il faut le représenter comme le produit de deux trinômes carrés. Pour ce faire, nous devons factoriser. nous comprenons cela
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Commentaire
La simplicité du regroupement ne signifie pas que le choix des termes soit assez facile. Il n’existe pas de méthode de résolution spécifique, il est donc nécessaire d’utiliser des théorèmes et des règles spéciales.
Exemple 10
Factoriser le polynôme x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .
Solution
Le polynôme donné n’a pas de racines entières. Les termes doivent être regroupés. Nous obtenons cela
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Après factorisation on obtient ça
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Utiliser des formules de multiplication abrégées et le binôme de Newton pour factoriser un polynôme
Souvent, l’apparence n’indique pas clairement quelle méthode doit être utilisée lors de la décomposition. Une fois les transformations effectuées, vous pouvez construire une droite constituée du triangle de Pascal, sinon on les appelle le binôme de Newton.
Exemple 11
Factorisez le polynôme x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Solution
Il est nécessaire de convertir l'expression sous la forme
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
La séquence des coefficients de la somme entre parenthèses est indiquée par l'expression x + 1 4 .
Cela signifie que nous avons x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.
Après avoir appliqué la différence des carrés, on obtient
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Considérez l’expression qui se trouve entre la deuxième parenthèse. Il est clair qu’il n’y a pas de chevaliers là-bas, nous devrions donc réappliquer la formule de la différence des carrés. On obtient une expression de la forme
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Exemple 12
Factoriser x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Solution
Commençons par transformer l'expression. Nous obtenons cela
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Il faut appliquer la formule de multiplication abrégée de la différence des cubes. On a:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x2 + x2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Une méthode pour remplacer une variable lors de la factorisation d'un polynôme
Lors du remplacement d'une variable, le degré est réduit et le polynôme est pris en compte.
Exemple 13
Factoriser le polynôme de la forme x 6 + 5 x 3 + 6 .
Solution
D'après la condition, il est clair qu'il faut faire le remplacement y = x 3. On a:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Les racines de l'équation quadratique résultante sont y = - 2 et y = - 3, alors
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Il faut appliquer la formule de multiplication abrégée de la somme des cubes. On obtient des expressions de la forme :
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Autrement dit, nous avons obtenu la décomposition souhaitée.
Les cas évoqués ci-dessus aideront à considérer et à factoriser un polynôme de différentes manières.
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