Localisation des racines du trinôme quadratique

26.09.2019

L’étude de nombreux modèles physiques et géométriques conduit souvent à résoudre des problèmes de paramètres. Certaines universités incluent également des équations, des inégalités et leurs systèmes dans les épreuves d'examen, qui sont souvent très complexes et nécessitent une approche de solution non standard. À l'école, c'est l'une des sections les plus difficiles. cours scolaire l'algèbre n'est couverte que dans quelques cours au choix ou par matières.
À mon avis, la méthode graphique fonctionnelle est pratique et d'une manière rapide résoudre des équations avec un paramètre.
Comme on le sait, en ce qui concerne les équations avec paramètres, il existe deux formulations du problème.

Résolvez l'équation (pour chaque valeur de paramètre, trouvez toutes les solutions de l'équation).
Trouvez toutes les valeurs du paramètre pour chacune desquelles les solutions de l'équation satisfont aux conditions données.

Dans cet article, nous considérons et étudions le problème du deuxième type en relation avec les racines trinôme quadratique, découverte qui se réduit à résoudre une équation quadratique.
L'auteur espère que ce travail aidera les enseignants à élaborer des cours et à préparer les étudiants à l'examen d'État unifié.

1. Qu'est-ce qu'un paramètre

Expression de la forme ah 2 + bx + c dans le cours d'algèbre scolaire, ils appellent le trinôme quadratique par rapport à X, Où un B, c reçoivent des nombres réels, et, un=/= 0. Les valeurs de la variable x auxquelles l'expression devient nulle sont appelées racines du trinôme carré. Pour trouver les racines d’un trinôme quadratique, vous devez résoudre l’équation quadratique ah 2 + bх + c = 0.
Rappelons les équations de base du cours d'algèbre scolaire hache + b = 0;
aх2 + bх + c = 0. Lors de la recherche de leurs racines, les valeurs des variables une, b, c, inclus dans l’équation sont considérés comme fixes et donnés. Les variables elles-mêmes sont appelées paramètres. Puisqu'il n'y a pas de définition du paramètre dans les manuels scolaires, je propose de prendre comme base la version la plus simple suivante.

Définition.Un paramètre est une variable indépendante dont la valeur dans le problème est considérée comme un nombre réel fixe ou arbitraire donné, ou un nombre appartenant à un ensemble prédéterminé.

2. Types et méthodes de base pour résoudre les problèmes avec les paramètres

Parmi les tâches paramétrées, on peut distinguer les principaux types de tâches suivants.

Équations qui doivent être résolues soit pour n'importe quelle valeur d'un ou plusieurs paramètres, soit pour des valeurs de paramètres appartenant à un ensemble prédéterminé. Par exemple. Résoudre des équations : hache = 1, (un - 2)x = un 2 – 4.
Équations pour lesquelles vous devez déterminer le nombre de solutions en fonction de la valeur du paramètre (paramètres). Par exemple. À quelles valeurs de paramètre un l'équation 4X 2 – 4hache + 1 = 0 a une seule racine ?
Équations pour lesquelles, pour les valeurs de paramètres requises, l'ensemble des solutions satisfait aux conditions spécifiées dans le domaine de définition.

Par exemple, recherchez les valeurs des paramètres auxquelles les racines de l'équation ( un - 2)X 2 – 2hache + a + 3 = 0 positif.
Les principales manières de résoudre des problèmes avec un paramètre : analytique et graphique.

Analytique- c'est une méthode dite solution directe, répétant les procédures standard pour trouver la réponse à des problèmes sans paramètre. Regardons un exemple d'une telle tâche.

Tâche n°1

A quelles valeurs du paramètre a l'équation est-elle X 2 – 2hache + un 2 – 1 = 0 a deux racines différentes appartenant à l'intervalle (1 ; 5) ?

Solution

X 2 – 2hache + un 2 – 1 = 0.
Selon les conditions du problème, l’équation doit avoir deux racines différentes, et cela n’est possible qu’à la condition : D > 0.
On a : D = 4 un 2 – 2(UN 2 – 1) = 4. Comme on peut le voir, le discriminant ne dépend pas de a, donc l'équation a deux racines différentes pour toutes les valeurs du paramètre a. Trouvons les racines de l'équation : X 1 = UN + 1, X 2 = UN – 1
Les racines de l'équation doivent appartenir à l'intervalle (1 ; 5), c'est-à-dire
Alors, à 2 heures<UN < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)

Réponse : 2<UN < 4.
Cette approche pour résoudre les problèmes du type considéré est possible et rationnelle dans les cas où le discriminant de l'équation quadratique est « bon », c'est-à-dire est le carré exact de n'importe quel nombre ou expression, ou les racines de l'équation peuvent être trouvées en utilisant le théorème inverse de Vieta. Alors les racines ne représentent pas des expressions irrationnelles. Autrement, la résolution de problèmes de ce type implique des procédures assez complexes d’un point de vue technique. Et résoudre des inégalités irrationnelles nécessite de nouvelles connaissances de la part de l’étudiant.

Graphique- il s'agit d'une méthode dans laquelle des graphiques sont utilisés dans le plan de coordonnées (x; y) ou (x; a). La clarté et la beauté de cette solution aident à trouver un moyen rapide de résoudre le problème. Résolvons graphiquement le problème n°1.
Comme vous le savez grâce à un cours d'algèbre, les racines d'une équation quadratique (trinôme quadratique) sont les zéros de la fonction quadratique correspondante : Y = X 2 – 2Oh + UN 2 – 1. Le graphique de la fonction est une parabole, les branches sont dirigées vers le haut (le premier coefficient est 1). Un modèle géométrique répondant à toutes les exigences du problème ressemble à ceci.

Il ne reste plus qu'à « fixer » la parabole dans la position souhaitée en utilisant les conditions nécessaires.

Puisqu'une parabole a deux points d'intersection avec l'axe X, alors D > 0.
Le sommet de la parabole est entre les lignes verticales X= 1 et X= 5, donc l'abscisse du sommet de la parabole x o appartient à l'intervalle (1 ; 5), c'est-à-dire
1 <XÔ< 5.
Nous remarquons que à(1) > 0, à(5) > 0.

Ainsi, en passant du modèle géométrique du problème au modèle analytique, on obtient un système d'inégalités.

Réponse : 2<UN < 4.

Comme le montre l'exemple, une méthode graphique pour résoudre des problèmes du type considéré est possible dans le cas où les racines sont « mauvaises », c'est-à-dire contenir un paramètre sous le signe radical (dans ce cas, le discriminant de l'équation n'est pas un carré parfait).
Dans la deuxième méthode de résolution, nous avons travaillé avec les coefficients de l'équation et l'étendue de la fonction à = X 2 – 2Oh + UN 2 – 1.
Cette méthode de solution ne peut pas être qualifiée de uniquement graphique, car ici, nous devons résoudre un système d’inégalités. Cette méthode est plutôt combinée : fonctionnelle et graphique. De ces deux méthodes, cette dernière est non seulement élégante, mais aussi la plus importante, puisqu'elle montre la relation entre tous les types de modèles mathématiques : une description verbale du problème, un modèle géométrique - un graphique d'un trinôme quadratique, un modèle analytique modèle - une description d'un modèle géométrique par un système d'inégalités.
Nous avons donc considéré un problème dans lequel les racines d'un trinôme quadratique satisfont des conditions données dans le domaine de définition pour les valeurs de paramètres souhaitées.

Quelles autres conditions possibles les racines d’un trinôme quadratique peuvent-elles satisfaire pour les valeurs de paramètres souhaitées ?

Professeur de la catégorie la plus élevée : Minaichenko N.S., gymnase n°24, Sébastopol

Leçon en 8e année : "Trinôme carré et ses racines"

Type de cours : leçon de nouvelles connaissances.

Le but de la leçon :

organiser des activités étudiantes pour consolider et développer les connaissances sur la décomposition d'un trinôme quadratique en facteurs linéaires et la réduction de fractions ;

développer des compétences dans l'application des connaissances de toutes les méthodes de factorisation : mise entre parenthèses, utilisation de formules de multiplication abrégées et méthodes de regroupement afin de préparer la réussite de l'examen d'algèbre ;

créer les conditions pour le développement de l'intérêt cognitif pour le sujet, la formation de la pensée logique et la maîtrise de soi lors de l'utilisation de la factorisation.

Équipement: projecteur multimédia, écran, présentation : « Racines du trinôme carré », mots croisés, test, polycopié.

Concepts de base . Factoriser un trinôme quadratique.

Activité indépendante des étudiants. Application du théorème à la factorisation d'un trinôme quadratique dans la résolution de problèmes.

Plan de cours

Résolution de problème.

Réponses aux questions des étudiants

IV. Test primaire d'acquisition de connaissances. Réflexion

Message du professeur.

Message étudiant

V. Devoirs

Écrire sur le tableau

Commentaire méthodique :

Ce sujet est fondamental dans la section « Transformations identiques d'expressions algébriques ». Par conséquent, il est important que les élèves soient automatiquement capables non seulement de voir les formules de factorisation dans des exemples, mais également de les appliquer à d'autres tâches : comme résoudre des équations, transformer des expressions, prouver des identités.

Ce sujet se concentre sur la factorisation d'un trinôme quadratique :

hache+ bx + c = une(x – x)(x – x),

où x et x – racines de l'équation quadratique ax + bx + c = 0.

Cela permet d'élargir le champ de vision de l'élève, de lui apprendre à penser dans une situation atypique, en utilisant la matière étudiée, c'est-à-dire en utilisant la formule de factorisation d'un trinôme quadratique :

capacité à réduire des fractions algébriques;

capacité à simplifier des expressions algébriques;

capacité à résoudre des équations;

capacité à prouver son identité.

Contenu principal de la leçon :

a) 3x + 5x – 2 ;

b) –x + 16x – 15 ;

c) x – 12x + 24 ;

d) –5x + 6x – 1.

№2. Réduisez la fraction :

№3. Simplifiez l'expression :

№4. Résolvez l'équation :

Pendant les cours :

I. Étape de mise à jour des connaissances.

Motivation pour les activités d'apprentissage.

a) de l'histoire :

b) mots croisés:

Échauffement et entraînement de l'esprit – mots croisés :

Horizontalement :

1) La racine du deuxième degré s’appelle…. (carré)

2) Valeurs de la variable pour lesquelles l'équation devient une vraie égalité (racines)

3) Une égalité contenant une inconnue s'appelle... (équation)

4) Scientifique indien, qui a posé la règle générale pour résoudre les équations quadratiques (Brahmagupta)

5) Les coefficients d'une équation quadratique sont... (nombres)

6) Scientifique grec ancien qui a inventé une méthode géométrique pour résoudre des équations (Euclide)

7) Théorème reliant les coefficients et les racines d'une équation quadratique (Vieta)

8) « discriminant », déterminant les racines d'une équation quadratique – c'est... (discriminant)

En plus:

Si D>0, combien de racines ? (deux)

Si D=0, combien de racines ? (un)

Si D<0, сколько корней? (нет действительных корней)

Sujet de cours horizontal et vertical : « Trinôme carré »

b) motivations :

Ce sujet est fondamental dans la section « Transformations identiques d'expressions algébriques ». Par conséquent, il est important que vous puissiez automatiquement non seulement voir les formules de factorisation dans des exemples, mais également les appliquer à d'autres tâches : telles que réduire des fractions, résoudre des équations, transformer des expressions, prouver des identités.

Aujourd'hui, nous allons nous concentrer sur la factorisation du trinôme quadratique :

II. Apprendre du nouveau matériel.

Sujet : Trinôme carré et ses racines.

La théorie générale des polynômes à plusieurs variables dépasse largement le cadre du cours scolaire. Nous nous limiterons donc à étudier les polynômes d’une variable réelle, et uniquement dans les cas les plus simples. Considérons des polynômes à une variable, réduits à la forme standard.

Racine d'un polynôme est la valeur d'une variable pour laquelle la valeur du polynôme est égale à zéro. Cela signifie que pour trouver les racines d'un polynôme, vous devez l'assimiler à zéro, c'est-à-dire résous l'équation.

Racine d'un polynôme du premier degré
facile à trouver
. Examen:
.

Les racines d’un trinôme quadratique peuvent être trouvées en résolvant l’équation :
.

En utilisant la formule des racines d’une équation quadratique, nous trouvons :

;

Théorème (sur la factorisation d'un trinôme quadratique ):

Si Et -racines d'un trinôme carré
, Où ≠ 0,

Que .

Preuve:

Effectuons les transformations suivantes du trinôme quadratique :

=
=
=

=
=

Depuis le discriminant
, on a:

=
=

Appliquons la formule de la différence des carrés entre parenthèses et obtenons :

=
=
,

parce que
;
. Le théorème a été prouvé.

La formule résultante est appelée la formulefactoriser un trinôme quadratique.

III. Formation de compétences et d'aptitudes.

№1. Factorisez le trinôme quadratique :

a) 3x + 5x – 2 ;

Solution:

Réponse : 3x+5x–2=3(x+2)(x-)=(x+2)(3x-1)

Sur le bureau:

b) –5x + 6x – 1 ;

En plus:

c) x – 12x + 24 ;

d) –x + 16x – 15.

№2. Réduisez la fraction :

UN)

№4. Résolvez l'équation :

IV. Test primaire d'acquisition de connaissances.

UN) Test.

Option 1.

1. Trouvez les racines du trinôme quadratique :2x 2 -9x-5

Répondre:

2. Quel polynôme doit être substitué aux points de suspension pour que l'égalité soit vraie :

b) Vérification mutuelle des options (réponses et les paramètres d'évaluation sont illustrés).

c) Réflexion.

V. Devoirs.

Vous pouvez trouver la racine d’un trinôme carré en utilisant le discriminant. De plus, pour le polynôme réduit du deuxième degré, le théorème de Vieta, basé sur le rapport des coefficients, s’applique.

Instructions

Les équations quadratiques sont un sujet assez étendu en algèbre scolaire. Le côté gauche d'une telle équation est un polynôme du deuxième degré de la forme A x² + B x + C, c'est-à-dire une expression de trois monômes de différents degrés de x inconnu. Pour trouver la racine d'un trinôme carré, vous devez calculer la valeur de x à laquelle cette expression est égale à zéro.
Pour résoudre une équation quadratique, vous devez trouver le discriminant. Sa formule est une conséquence de l'isolement du carré complet du polynôme et représente un certain rapport de ses coefficients : D = B² – 4 A C.
Le discriminant peut prendre diverses valeurs, notamment être négatif. Et si les plus jeunes écoliers peuvent dire avec soulagement qu'une telle équation n'a pas de racines, alors les lycéens sont déjà capables de les déterminer sur la base de la théorie des nombres complexes. Il peut donc y avoir trois options : Discriminant – un nombre positif. Alors les racines de l’équation sont égales : x1 = (-B + √D)/2 A ; x2 = (-B - √D)/2A ;
Le discriminant est passé à zéro. Théoriquement, dans ce cas, l'équation a également deux racines, mais en pratique elles sont identiques : x1 = x2 = -B/2 A ;
Le discriminant est inférieur à zéro. Une certaine valeur i² = -1 est introduite dans le calcul, ce qui permet d'écrire une solution complexe : x1 = (-B + i √|D|)/2 A ; x2 = (-B - je √|D|)/2 UNE.
La méthode discriminante est valable pour toute équation quadratique, mais il existe des situations où il est conseillé d'utiliser une méthode plus rapide, notamment pour les petits coefficients entiers. Cette méthode s'appelle le théorème de Vieta et consiste en une paire de relations entre les coefficients du trinôme réduit : x² + P x + Q
x1 + x2 = -P ;
x1 x2 = Q. Il ne reste plus qu'à trouver les racines.
Il convient de noter que l’équation peut être réduite à une forme similaire. Pour ce faire, il faut diviser tous les termes du trinôme par le coefficient de puissance la plus élevée A : A x² + B x + C |A
x² + B/A x + C/A
x1 + x2 = -B/A ;
x1 x2 = C/A.

Le sujet « Le trinôme carré et ses racines » est étudié dans le cours d'algèbre de 9e année. Comme toute autre leçon de mathématiques, une leçon sur ce sujet nécessite des outils et des méthodes pédagogiques particulières. La visibilité est nécessaire. Cela inclut cette leçon vidéo, spécialement conçue pour faciliter le travail de l’enseignant.

Cette leçon dure 6:36 minutes. Pendant ce temps, l'auteur parvient à couvrir complètement le sujet. L'enseignant n'aura qu'à sélectionner des tâches sur le sujet pour renforcer la matière.

La leçon commence par montrer des exemples de polynômes à une variable. Ensuite, la définition de la racine du polynôme apparaît à l'écran. Cette définition est étayée par un exemple où il faut trouver les racines d'un polynôme. Après avoir résolu l'équation, l'auteur obtient les racines du polynôme.

Ce qui suit est une remarque selon laquelle les trinômes quadratiques incluent également les polynômes du deuxième degré dans lesquels le deuxième, le troisième ou les deux coefficients, à l'exception du premier, sont égaux à zéro. Cette information est étayée par un exemple où le coefficient libre est nul.

L'auteur explique ensuite comment trouver les racines d'un trinôme quadratique. Pour ce faire, vous devez résoudre une équation quadratique. Et l'auteur propose de vérifier cela à l'aide d'un exemple où un trinôme quadratique est donné. Il faut retrouver ses racines. La solution est construite sur la base de la solution de l’équation quadratique obtenue à partir du trinôme quadratique donné. La solution est écrite à l’écran de manière détaillée, claire et compréhensible. En résolvant cet exemple, l'auteur se souvient comment résoudre une équation quadratique, écrit les formules et obtient le résultat. La réponse est enregistrée sur l'écran.

L’auteur a expliqué comment trouver les racines d’un trinôme carré à partir d’un exemple. Lorsque les élèves en comprennent l’essentiel, ils peuvent passer à des points plus généraux, ce que fait l’auteur. Par conséquent, il résume davantage tout ce qui précède. En termes généraux, en langage mathématique, l'auteur écrit la règle pour trouver les racines d'un trinôme carré.

Ce qui suit est une remarque selon laquelle dans certains problèmes, il est plus pratique d'écrire le trinôme quadratique un peu différemment. Cette entrée est affichée à l'écran. Autrement dit, il s'avère qu'à partir d'un trinôme carré, on peut extraire un binôme carré. Il est proposé de considérer une telle transformation avec un exemple. La solution à cet exemple est affichée à l'écran. Comme dans l’exemple précédent, la solution est construite en détail avec toutes les explications nécessaires. L'auteur considère ensuite un problème qui utilise les informations qui viennent d'être données. Il s’agit d’un problème de preuve géométrique. La solution contient une illustration sous forme de dessin. La solution au problème est décrite en détail et clairement.

Ceci conclut la leçon. Mais l’enseignant peut sélectionner des tâches en fonction des capacités des élèves qui correspondront au sujet proposé.

Cette leçon vidéo peut être utilisée comme explication de nouveau matériel dans les cours d'algèbre. Il est parfait pour que les étudiants se préparent de manière indépendante à la leçon.

Trouver les racines d'un trinôme quadratique

Objectifs: introduire le concept de trinôme quadratique et ses racines ; développer la capacité de trouver les racines d'un trinôme carré.

Pendant les cours

I. Moment organisationnel.

II. Travail oral.

Lequel des nombres : –2 ; -1; 1; 2 – sont les racines des équations ?

une) 8 X+ 16 = 0 ; V) X 2 + 3X – 4 = 0;

b) 5 X 2 – 5 = 0 ; G) X 3 – 3X – 2 = 0.

III. Explication du nouveau matériel.

L'explication du nouveau matériel doit être effectuée selon le schéma suivant :

1) Introduire la notion de racine d'un polynôme.

2) Présenter le concept de trinôme quadratique et ses racines.

3) Analyser la question du nombre possible de racines d'un trinôme carré.

La question de l’isolation du carré d’un binôme d’un trinôme carré sera mieux abordée dans la leçon suivante.

A chaque étape de l'explication d'une nouvelle matière, il est nécessaire de proposer aux étudiants une tâche orale pour tester leur compréhension des principaux points de la théorie.

Tâche 1. Lequel des nombres : –1 ; 1; ; 0 – sont les racines du polynôme X 4 + 2X 2 – 3?

Devoir 2. Lesquels des polynômes suivants sont des trinômes quadratiques ?

1) 2X 2 + 5X – 1; 6) X 2 – X – ;

2) 2X – ; 7) 3 – 4X + X 2 ;

3) 4X 2 + 2X + X 3 ; 8) X + 4X 2 ;

4) 3X 2 – ; 9) + 3X – 6;

5) 5X 2 – 3X; 10) 7X 2 .

Quels trinômes quadratiques ont la racine 0 ?

Tâche 3. Un trinôme carré peut-il avoir trois racines ? Pourquoi? Combien de racines possède un trinôme carré ? X 2 + X – 5?

IV. Formation de compétences et d'aptitudes.

Des exercices:

1. № 55, № 56, № 58.

2. N° 59 (a, c, d), n° 60 (a, c).

Dans cette tâche, vous n’avez pas besoin de rechercher les racines des trinômes quadratiques. Il suffit de trouver leur discriminant et de répondre à la question posée.

une) 5 X 2 – 8X + 3 = 0;

D 1 = 16 – 15 = 1;

D 1 0, ce qui signifie que ce trinôme quadratique a deux racines.

b) 9 X 2 + 6X + 1 = 0;

D 1 = 9 – 9 = 0;

D 1 = 0, ce qui signifie que le trinôme carré a une racine.

à 7 heures X 2 + 6X – 2 = 0;

7X 2 – 6X + 2 = 0;

D 1 = 9 – 14 = –5;

S'il reste du temps, vous pouvez faire le n°63.

Solution

Laisser hache 2 + bx + c est un trinôme quadratique donné. Parce que le un+ b +
+c= 0, alors l'une des racines de ce trinôme est égale à 1. D'après le théorème de Vieta, la deuxième racine est égale à . Selon l'état, Avec = 4UN, donc la racine seconde de ce trinôme quadratique est égale à
.

RÉPONSE : 1 et 4.

V. Résumé de la leçon.

Questions fréquemment posées:

– Quelle est la racine d’un polynôme ?

– Quel polynôme est appelé trinôme quadratique ?

– Comment trouver les racines d’un trinôme quadratique ?

– Quel est le discriminant d’un trinôme quadratique ?

– Combien de racines un trinôme carré peut-il avoir ? De quoi cela dépend ?

Devoirs: N° 57, n° 59 (b, d, f), n° 60 (b, d), n° 62.