Calculateur en ligne.
Isoler le carré d'un binôme et factoriser un trinôme carré.

Ce programme de mathématiques distingue un binôme carré d'un trinôme carré, c'est à dire. fait une transformation comme :
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) et factorise trinôme quadratique : \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

Ceux. les problèmes se résument à trouver les nombres \(p, q\) et \(n, m\)

Le programme donne non seulement la réponse au problème, mais affiche également le processus de résolution.

Ce programme peut être utile aux lycéens écoles secondaires en préparation pour essais et des examens, lors de la vérification des connaissances avant l'examen d'État unifié, permettant aux parents de contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre. Ou peut-être que cela vous coûte trop cher d’embaucher un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels ? Ou souhaitez-vous simplement le faire le plus rapidement possible ? devoirs

en mathématiques ou en algèbre ? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec des solutions détaillées.

De cette façon, vous pouvez organiser votre propre formation et/ou celle de vos jeunes frères ou sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine de la résolution de problèmes augmente.

Si vous n'êtes pas familier avec les règles de saisie d'un trinôme quadratique, nous vous recommandons de vous familiariser avec elles.

Règles de saisie d'un polynôme quadratique
N'importe quelle lettre latine peut servir de variable.

Par exemple : \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.
Les nombres peuvent être saisis sous forme de nombres entiers ou fractionnaires.

De plus, les nombres fractionnaires peuvent être saisis non seulement sous forme décimale, mais également sous forme de fraction ordinaire.
Règles de saisie des fractions décimales.
Dans les fractions décimales, la partie fractionnaire peut être séparée de la partie entière par un point ou une virgule. Par exemple, vous pouvez saisir décimales

comme ceci : 2,5x - 3,5x^2
Règles de saisie des fractions ordinaires.

Seul un nombre entier peut servir de numérateur, de dénominateur et de partie entière d’une fraction.

Le dénominateur ne peut pas être négatif. /
Lors de la saisie d'une fraction numérique, le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division : &
La partie entière est séparée de la fraction par le signe esperluette :
Entrée : 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2

Résultat : \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\) Lors de la saisie d'une expression tu peux utiliser des parenthèses
. Dans ce cas, lors de la résolution, l'expression introduite est d'abord simplifiée.

Par exemple : 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2) Exemple

Isoler le carré d'un binôme.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Répondre:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Factorisation.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\gauche(x^2+x-2 \droite) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Répondre:$$2x^2+2x-4 = 2 \gauche(x -1 \droite) \gauche(x +2 \droite) $$

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Un peu de théorie.

Isoler le carré d'un binôme d'un trinôme carré

Si le trinôme carré axe 2 +bx+c est représenté par a(x+p) 2 +q, où p et q sont des nombres réels, alors nous disons que de trinôme carré, le carré du binôme est mis en évidence.

Du trinôme 2x 2 +12x+14 on extrait le carré du binôme.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Pour ce faire, imaginez 6x comme un produit de 2*3*x, puis ajoutez et soustrayez 3 2. On a:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Que. Nous extraire le binôme carré du trinôme carré, et a montré que :
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Factorisation d'un trinôme quadratique

Si le trinôme carré axe 2 +bx+c est représenté sous la forme a(x+n)(x+m), où n et m sont des nombres réels, alors l'opération est dite effectuée factorisation d'un trinôme quadratique.

Montrons avec un exemple comment se fait cette transformation.

Factorisons le trinôme quadratique 2x 2 +4x-6.

Prenons le coefficient a entre parenthèses, c'est-à-dire 2 :
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Transformons l'expression entre parenthèses.
Pour ce faire, imaginez 2x comme la différence 3x-1x et -3 comme -1*3. On a:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Que. Nous factorisé le trinôme quadratique, et a montré que :
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

A noter que la factorisation d'un trinôme quadratique n'est possible que si l'équation quadratique correspondant à ce trinôme a des racines.
Ceux. dans notre cas, il est possible de factoriser le trinôme 2x 2 +4x-6 si l'équation quadratique 2x 2 +4x-6 =0 a des racines. Au cours du processus de factorisation, nous avons établi que l'équation 2x 2 + 4x-6 = 0 a deux racines 1 et -3, car avec ces valeurs, l'équation 2(x-1)(x+3)=0 se transforme en une vraie égalité.

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Développer des polynômes pour obtenir un produit peut parfois sembler déroutant. Mais ce n’est pas si difficile si vous comprenez le processus étape par étape. L'article décrit en détail comment factoriser un trinôme quadratique.

Beaucoup de gens ne comprennent pas comment factoriser un trinôme carré et pourquoi cela est fait. À première vue, cela peut sembler un exercice futile. Mais en mathématiques, rien n’est fait pour rien. La transformation est nécessaire pour simplifier l'expression et faciliter le calcul.

Un polynôme de la forme – ax²+bx+c, appelé trinôme quadratique. Le terme « a » doit être négatif ou positif. En pratique, cette expression est appelée équation quadratique. Par conséquent, ils le disent parfois différemment : comment développer une équation quadratique.

Intéressant! Un polynôme est appelé carré en raison de sa dans une large mesure- carré. Et un trinôme - à cause des 3 composantes.

Quelques autres types de polynômes :

• binôme linéaire (6x+8) ;
• quadrinôme cubique (x³+4x²-2x+9).

Factoriser un trinôme quadratique

Tout d'abord, l'expression est égale à zéro, puis vous devez trouver les valeurs des racines x1 et x2. Il se peut qu’il n’y ait pas de racines, qu’il y en ait une ou deux. La présence de racines est déterminée par le discriminant. Il faut connaître sa formule par cœur : D=b²-4ac.

Si le résultat D est négatif, il n’y a pas de racines. Si positif, il y a deux racines. Si le résultat est zéro, la racine est un. Les racines sont également calculées à l'aide de la formule.

Si, lors du calcul du discriminant, le résultat est nul, vous pouvez utiliser n'importe laquelle des formules. En pratique, la formule est simplement raccourcie : -b/2a.

Formules pour différentes significations les discriminants diffèrent.

Si D est positif :

Si D est nul :

Calculateurs en ligne

Sur Internet, il y a calculateur en ligne. Il peut être utilisé pour effectuer une factorisation. Certaines ressources offrent la possibilité de visualiser la solution étape par étape. De tels services aident à mieux comprendre le sujet, mais vous devez essayer de bien le comprendre.

Vidéo utile : Factorisation d'un trinôme quadratique

Exemples

Nous vous invitons à visionner exemples simples, comment factoriser une équation quadratique.

Exemple 1

Cela montre clairement que le résultat est deux x car D est positif. Ils doivent être remplacés dans la formule. Si les racines s'avèrent négatives, le signe dans la formule devient inverse.

Nous connaissons la formule de factorisation d'un trinôme quadratique : a(x-x1)(x-x2). On met les valeurs entre parenthèses : (x+3)(x+2/3). Il n’y a pas de nombre devant un terme dans une puissance. Cela veut dire qu'il y en a un là-bas, il descend.

Exemple 2

Cet exemple montre clairement comment résoudre une équation qui a une racine.

Nous substituons la valeur résultante :

Exemple 3

Donné : 5x²+3x+7

Tout d'abord, calculons le discriminant, comme dans les cas précédents.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Le discriminant est négatif, ce qui signifie qu’il n’y a pas de racines.

Après avoir reçu le résultat, vous devez ouvrir les parenthèses et vérifier le résultat. Le trinôme original devrait apparaître.

Solution alternative

Certaines personnes n’ont jamais pu se lier d’amitié avec le discriminateur. Il existe une autre façon de factoriser un trinôme quadratique. Pour plus de commodité, la méthode est présentée avec un exemple.

Étant donné : x²+3x-10

Nous savons que nous devrions obtenir 2 parenthèses : (_)(_). Lorsque l'expression ressemble à ceci : x²+bx+c, au début de chaque parenthèse on met x : (x_)(x_). Les deux nombres restants sont le produit qui donne "c", c'est-à-dire dans ce cas -10. La seule façon de savoir de quels chiffres il s’agit est de les sélectionner. Les nombres substitués doivent correspondre au terme restant.

Par exemple, multiplier les nombres suivants donne -10 :

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Non.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Non.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Non.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Convient.

Cela signifie que la transformation de l'expression x2+3x-10 ressemble à ceci : (x-2)(x+5).

Important! Il faut faire attention à ne pas confondre les signes.

Développement d'un trinôme complexe

Si « a » est supérieur à un, les difficultés commencent. Mais tout n’est pas aussi difficile qu’il y paraît.

Pour factoriser, vous devez d’abord voir si quelque chose peut être factorisé.

Par exemple, étant donné l'expression : 3x²+9x-30. Ici, le chiffre 3 est retiré entre parenthèses :

3(x²+3x-10). Le résultat est le trinôme déjà bien connu. La réponse ressemble à ceci : 3(x-2)(x+5)

Comment décomposer si le terme qui est dans le carré est négatif ? DANS dans ce cas Le chiffre -1 est retiré entre parenthèses. Par exemple : -x²-10x-8. L'expression ressemblera alors à ceci :

Le schéma diffère peu du précédent. Il y a juste quelques nouveautés. Disons que l'expression est donnée : 2x²+7x+3. La réponse est également écrite entre 2 parenthèses qui doivent être remplies (_)(_). Dans la 2ème parenthèse est écrit x, et dans la 1ère ce qui reste. Cela ressemble à ceci : (2x_)(x_). Sinon, le schéma précédent est répété.

Le chiffre 3 est donné par les nombres :

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Nous résolvons des équations en substituant ces nombres. Convient dernière option. Cela signifie que la transformation de l'expression 2x²+7x+3 ressemble à ceci : (2x+1)(x+3).

Autres cas

Il n'est pas toujours possible de convertir une expression. Avec la deuxième méthode, il n’est pas nécessaire de résoudre l’équation. Mais la possibilité de transformer des termes en produit n'est vérifiée qu'à travers le discriminant.

Il vaut la peine de s'entraîner à résoudre des équations quadratiques afin qu'il n'y ait aucune difficulté lors de l'utilisation des formules.

Vidéo utile : factoriser un trinôme

Conclusion

Vous pouvez l'utiliser de n'importe quelle manière. Mais il vaut mieux pratiquer les deux jusqu’à ce qu’ils deviennent automatiques. En outre, apprendre à bien résoudre les équations quadratiques et à factoriser les polynômes est nécessaire pour ceux qui envisagent de lier leur vie aux mathématiques. Tous les sujets mathématiques suivants sont construits sur cela.

La factorisation des trinômes quadratiques est l'une des tâches scolaires auxquelles tout le monde est confronté tôt ou tard. Comment faire? Quelle est la formule pour factoriser un trinôme quadratique ? Voyons cela étape par étape à l'aide d'exemples.

Formule générale

La factorisation des trinômes carrés s'effectue en résolvant équation quadratique. Il s'agit d'un problème simple qui peut être résolu par plusieurs méthodes : en trouvant le discriminant, en utilisant le théorème de Vieta, il existe également une solution graphique. Les deux premières méthodes sont étudiées au lycée.

La formule générale ressemble à ceci :lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algorithme pour terminer la tâche

Pour factoriser des trinômes quadratiques, vous devez connaître le théorème de Vita, disposer d'un programme de solution, être capable de trouver une solution graphiquement ou rechercher les racines d'une équation du deuxième degré à l'aide de la formule discriminante. Si un trinôme quadratique est donné et qu’il doit être factorisé, l’algorithme est le suivant :

1) Égalisez l’expression originale à zéro pour obtenir une équation.

2) Donnez des termes similaires (si nécessaire).

3) Trouvez les racines en utilisant n’importe quelle méthode connue. La méthode graphique est mieux utilisée si l’on sait à l’avance que les racines sont des nombres entiers et de petits nombres. Il faut se rappeler que le nombre de racines est égal au degré maximum de l'équation, c'est-à-dire que l'équation quadratique a deux racines.

4) Remplacez la valeur X dans l’expression (1).

5) Écrivez la factorisation des trinômes quadratiques.

Exemples

La pratique permet de comprendre enfin comment cette tâche est réalisée. Les exemples suivants illustrent la factorisation d'un trinôme quadratique :

il faut développer l'expression :

Recourons à notre algorithme :

1)x2 -17x+32=0

2) les termes similaires sont réduits

3) en utilisant la formule de Vieta, il est difficile de trouver des racines à cet exemple, il vaut donc mieux utiliser l'expression pour le discriminant :

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Remplaçons les racines que nous avons trouvées dans la formule de base de la décomposition :

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Alors la réponse sera la suivante :

x2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)

Vérifions si les solutions trouvées par le discriminant correspondent aux formules de Vieta :

14,845 . 2,155=32

Pour ces racines, le théorème de Vieta est appliqué, elles ont été trouvées correctement, ce qui signifie que la factorisation que nous avons obtenue est également correcte.

De même, nous développons 12x 2 + 7x-6.

x1 =-7+(337)1/2

x2 =-7-(337)1/2

Dans le cas précédent, les solutions n'étaient pas des nombres entiers, mais des nombres réels, faciles à trouver si vous avez une calculatrice devant vous. Maintenant, regardons plus exemple complexe, dans lequel les racines seront complexes : facteur x 2 + 4x + 9. En utilisant la formule de Vieta, les racines ne peuvent pas être trouvées et le discriminant est négatif. Les racines seront sur le plan complexe.

D=-20

Sur cette base, nous obtenons les racines qui nous intéressent -4+2i*5 1/2 et -4-2i * 5 1/2 puisque (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

On obtient la décomposition souhaitée en substituant les racines dans la formule générale.

Autre exemple : il faut factoriser l'expression 23x 2 -14x+7.

Nous avons l'équation 23x2 -14x+7 =0

D=-448

Cela signifie que les racines sont 14+21.166i et 14-21.166i. La réponse sera :

23x2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21 166i ).

Donnons un exemple qui peut être résolu sans l'aide d'un discriminant.

Disons que nous devons développer l'équation quadratique x 2 -32x+255. Évidemment, il peut aussi être résolu à l’aide d’un discriminant, mais dans ce cas, il est plus rapide de trouver les racines.

x1 =15

x2 =17

Moyens x2-32x+255 =(x-15)(x-17).

Trinôme carré est appelé un trinôme de la forme a*x 2 +b*x+c, où a,b,c sont des nombres réels arbitraires et x est une variable. De plus, le nombre a ne doit pas être égal à zéro.

Les nombres a,b,c sont appelés coefficients. Le nombre a est appelé coefficient dominant, le nombre b est le coefficient de x et le nombre c est appelé terme libre.

Racine d'un trinôme carré a*x 2 +b*x+c est toute valeur de la variable x telle que le trinôme carré a*x 2 +b*x+c disparaît.

Afin de trouver les racines d’un trinôme quadratique, il est nécessaire de résoudre une équation quadratique de la forme a*x 2 +b*x+c=0.

Comment trouver les racines d'un trinôme quadratique

Pour résoudre ce problème, vous pouvez utiliser l'une des méthodes connues.

• 1 façon.

Trouver les racines d'un trinôme carré à l'aide de la formule.

1. Trouvez la valeur du discriminant en utilisant la formule D =b 2 -4*a*c.

2. En fonction de la valeur du discriminant, calculez les racines à l'aide des formules :

Si D > 0, alors le trinôme carré a deux racines.

x = -b±√D / 2*a

Si D< 0, alors le trinôme carré a une racine.

Si le discriminant est négatif, alors le trinôme quadratique n’a pas de racine.

• Méthode 2.

Trouver les racines d'un trinôme carré en isolant carré complet. Regardons l'exemple du trinôme quadratique donné. Une équation quadratique réduite dont le coefficient dominant est égal à un.

Trouvons les racines du trinôme quadratique x 2 +2*x-3. Pour ce faire, on résout l'équation quadratique suivante : x 2 +2*x-3=0 ;

Transformons cette équation :

Sur le côté gauche de l'équation il y a un polynôme x 2 +2*x, pour le représenter comme un carré de la somme il faut qu'il y ait un autre coefficient égal à 1. Ajoutez et soustrayez 1 à cette expression, nous obtenons :

(x2 +2*x+1) -1=3

Que peut-on représenter entre parenthèses comme le carré d'un binôme

Cette équation se décompose en deux cas : soit x+1=2 soit x+1=-2.

Dans le premier cas, on obtient la réponse x=1, et dans le second, x=-3.

Réponse : x=1, x=-3.

À la suite des transformations, nous devons obtenir le carré du binôme du côté gauche et un certain nombre du côté droit. Le côté droit ne doit pas contenir de variable.

Vous pouvez trouver la racine d’un trinôme carré en utilisant le discriminant. De plus, pour le polynôme réduit du deuxième degré, le théorème de Vieta, basé sur le rapport des coefficients, s’applique.

Instructions

• Les équations quadratiques sont un sujet assez étendu en algèbre scolaire. Le côté gauche d'une telle équation est un polynôme du deuxième degré de la forme A x² + B x + C, c'est-à-dire une expression de trois monômes de différents degrés de x inconnu. Pour trouver la racine d'un trinôme carré, vous devez calculer la valeur de x à laquelle cette expression est égale à zéro.
• Pour résoudre une équation quadratique, vous devez trouver le discriminant. Sa formule est une conséquence de l'isolement du carré complet du polynôme et représente un certain rapport de ses coefficients : D = B² – 4 A C.
• Le discriminant peut prendre différentes significations, y compris être négatif. Et si les plus jeunes écoliers peuvent dire avec soulagement qu'une telle équation n'a pas de racines, alors les lycéens sont déjà capables de les déterminer sur la base de la théorie des nombres complexes. Il peut donc y avoir trois options : Discriminant – un nombre positif. Alors les racines de l’équation sont égales : x1 = (-B + √D)/2 A ; x2 = (-B - √D)/2A ;
  Le discriminant est passé à zéro. Théoriquement, dans ce cas, l'équation a également deux racines, mais en pratique elles sont identiques : x1 = x2 = -B/2 A ;
  Le discriminant est inférieur à zéro. Une certaine valeur i² = -1 est introduite dans le calcul, ce qui permet d'écrire solution globale: x1 = (-B + je √|D|)/2 UNE ; x2 = (-B - je √|D|)/2 UNE.
• La méthode discriminante est valable pour toute équation quadratique, mais il existe des situations où il est conseillé d'utiliser plus façon rapide, en particulier pour les petits coefficients entiers. Cette méthode s'appelle le théorème de Vieta et consiste en une paire de relations entre les coefficients du trinôme réduit : x² + P x + Q
  x1 + x2 = -P ;
  x1 x2 = Q. Il ne reste plus qu'à trouver les racines.
• Il convient de noter que l’équation peut être réduite à une forme similaire. Pour ce faire, il faut diviser tous les termes du trinôme par le coefficient de puissance la plus élevée A : A x² + B x + C |A
  x² + B/A x + C/A
  x1 + x2 = -B/A ;
  x1 x2 = C/A.