Représentants de diverses civilisations : Egypte ancienne, Babylone antique, Grèce antique, Inde ancienne, Chine ancienne, Orient médiéval, l'Europe maîtrisait les méthodes de résolution équations quadratiques.
Pour la première fois, les mathématiciens de l’Égypte ancienne étaient capables de résoudre une équation quadratique. L'un des papyrus mathématiques contient le problème suivant :
"Trouvez les côtés d'un champ en forme de rectangle si son aire est de 12 et ses longueurs sont égales à sa largeur." « La longueur du champ est de 4 », précise le papyrus.
Des millénaires ont passé et les nombres négatifs sont entrés dans l'algèbre. En résolvant l'équation x²= 16, nous obtenons deux nombres : 4, –4.
Bien sûr, dans le problème égyptien on prendrait X = 4, puisque la longueur du corps ne peut être qu'une quantité positive.
Les sources qui nous sont parvenues indiquent que les scientifiques anciens disposaient de techniques générales pour résoudre des problèmes avec des quantités inconnues. La règle de résolution des équations quadratiques exposée dans les textes babyloniens est essentiellement la même que la règle moderne, mais on ne sait pas comment les Babyloniens « sont arrivés jusque-là ». Mais dans presque tous les papyrus et textes cunéiformes trouvés, seuls les problèmes avec solutions sont donnés. Les auteurs n’accompagnaient qu’occasionnellement leurs calculs numériques de commentaires étriqués tels que : « Regardez ! », « Faites ceci ! », « Vous avez trouvé le bon ! »
Le mathématicien grec Diophante a composé et résolu des équations quadratiques. Son Arithmétique ne contient pas une présentation systématique de l'algèbre, mais elle contient une série systématique de problèmes, accompagnés d'explications et résolus en construisant des équations de différents degrés.
Les problèmes de composition d'équations quadratiques se retrouvent déjà dans le traité d'astronomie « Aria-bhatiam », compilé en 499 par le mathématicien et astronome indien Aryabhatta.
Un autre scientifique indien, Brahmagupta (7e siècle), a décrit règle générale résoudre des équations quadratiques de la forme ax² + bx = c.
Dans l'Inde ancienne, les concours publics visant à résoudre des problèmes difficiles étaient courants. L'un des vieux livres indiens dit ce qui suit à propos de telles compétitions : « De même que le soleil éclipse les étoiles avec son éclat, ainsi homme instruitéclipser la gloire d’autrui dans les assemblées populaires en proposant et en résolvant des problèmes algébriques. Les problèmes étaient souvent présentés sous forme poétique.
C’est l’un des problèmes du célèbre mathématicien indien du XIIe siècle. Bhaskars :
Un troupeau de singes fringants
Après avoir mangé à ma guise, je me suis bien amusé.
La huitième partie jouait dans la clairière de la place.
Et douze sur les vignes... se mirent à sauter, à se suspendre...
Combien y avait-il de singes ?
Dis-moi, dans ce pack ?
La solution de Bhaskara montre qu'il savait que les racines des équations quadratiques sont à deux valeurs.
Les textes mathématiques chinois les plus anciens qui nous soient parvenus remontent à la fin du Ier siècle. Colombie-Britannique Au IIe siècle. Colombie-Britannique Mathématiques en neuf livres a été écrit. Plus tard, au VIIe siècle, il fut inclus dans la collection des « Dix traités classiques », qui fut étudiée pendant plusieurs siècles. Le traité « Mathématiques en neuf livres » explique comment extraire racine carrée en utilisant la formule du carré de la somme de deux nombres.
La méthode s'appelait « tian-yuan » (littéralement « élément céleste ») - c'est ainsi que les Chinois désignaient une quantité inconnue.
Le premier manuel de résolution de problèmes largement connu est l'œuvre du scientifique de Bagdad du IXe siècle. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Le mot «al-jabr» est devenu au fil du temps le mot bien connu «algèbre», et le travail d'al-Khorezmi lui-même est devenu le point de départ du développement de la science de la résolution des équations. Le traité algébrique d'Al-Khwarizmi donne une classification des équations linéaires et quadratiques. L'auteur dénombre six types d'équations, les exprimant ainsi :
-carrés égaux à des racines, c'est-à-dire ah ² = bх;
-carrés en nombre égal, c'est-à-dire ah ² = s;
-les racines sont égales au nombre, c'est-à-dire ax = c;
-les carrés et les nombres sont égaux aux racines, c'est-à-dire ah ²+ с = bх;
-les carrés et les racines sont égaux au nombre, c'est-à-dire ah ² + bх = с;
-les racines et les nombres sont égaux aux carrés, c'est-à-dire bx + c = hache ²;
Le traité d'Al-Khwarizmi est le premier livre qui nous soit parvenu, qui expose systématiquement la classification des équations quadratiques et donne des formules pour leur solution.
Les formules de résolution d'équations quadratiques inspirées d'al-Khwarizmi en Europe ont été présentées pour la première fois dans le Livre de l'Abacus, écrit en 1202 par le mathématicien italien Leonardo Fibonacci. L'auteur a développé indépendamment de nouveaux exemples algébriques résoudre des problèmes et a été le premier en Europe à introduire des nombres négatifs. Son livre a contribué à la diffusion des connaissances algébriques non seulement en Italie, mais aussi en Allemagne, en France et dans d'autres pays européens. De nombreux problèmes du « Livre du Boulier » ont été inclus dans presque tous les manuels européens des XVIe et XVIIe siècles. et en partie du XVIIIe siècle.
Règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduites à une seule équation forme canonique X ² + bх = с, pour toutes les combinaisons possibles de signes des coefficients b et с n'a été formulé en Europe qu'en 1544 par M. Stiefel.
Dérivation de la formule pour résoudre une équation quadratique en vue générale Le Viet l'a, mais il n'a également reconnu que des racines positives. Les mathématiciens italiens Tartaglia, Cardano, Bombelli furent parmi les premiers au XVIe siècle. En plus des racines positives et négatives, elles sont prises en compte. Ce n'est qu'au XVIIe siècle, grâce aux travaux de Girard, Descartes, Newton et d'autres scientifiques, que la méthode de résolution des équations quadratiques a pris sa forme moderne.
Ministère de l'Éducation de la Fédération de Russie
Établissement d'enseignement municipal
"École secondaire n°22"
Équations quadratiques et d'ordre supérieur
Complété:
Elèves de 8e classe "B"
Kuznetsov Evgeniy et Rudi Alexey
Superviseur:
Zenina Alevtina Dmitrievna
professeur de mathématiques
Introduction
1.1 Équations dans l'ancienne Babylone
1.2 Équations arabes
1.3 Équations en Inde
Chapitre 2. Théorie des équations quadratiques et des équations d'ordre supérieur
2.1 Notions de base
2.2 Formules pour coefficient pair en x
2.3 Théorème de Vieta
2.4 Équations quadratiques de nature particulière
2.5 Théorème de Vieta pour les polynômes (équations) diplômes supérieurs
2.6 Équations réductibles au quadratique (biquadratique)
2.7 Etude des équations biquadratiques
2.8 Formules Cordano
2.9 Équations symétriques du troisième degré
2.10 Équations réciproques
2.11 Circuit Horner
Conclusion
Liste de la littérature utilisée
Annexe 1
Annexe 2
Annexe 3
Introduction
Équations dans cours scolaire les algèbres occupent place de premier plan. Plus de temps est consacré à leur étude qu’à tout autre sujet. En effet, les équations ont non seulement une signification théorique importante, mais servent également à des fins purement pratiques. Le nombre écrasant de problèmes concernant les formes spatiales et les relations quantitatives monde réel se résume à une décision différents typeséquations. En maîtrisant les moyens de les résoudre, nous trouvons des réponses à diverses questions issues de la science et de la technologie (transports, agriculture, industrie, communications, etc.).
Dans ce résumé, je voudrais afficher des formules et des méthodes de résolution différentes équations. A cet effet, des équations sont données qui ne sont pas étudiées dans programme scolaire. Il s'agit principalement d'équations de nature particulière et d'équations de degrés supérieurs. Pour développer ce sujet, des preuves de ces formules sont données.
Objectifs de notre essai :
Améliorer les compétences en résolution d’équations
Développer de nouvelles façons de résoudre des équations
Apprenez de nouvelles façons et formules pour résoudre ces équations.
L'objet d'étude est l'algèbre élémentaire. L'objet d'étude est les équations. Le choix de ce sujet s'est basé sur le fait que les équations sont incluses à la fois dans le programme élémentaire et dans chaque année suivante. écoles secondaires, lycées, collèges. De nombreux problèmes géométriques, problèmes de physique, de chimie et de biologie sont résolus à l'aide d'équations. Les équations ont été résolues il y a vingt-cinq siècles. Ils sont encore créés aujourd'hui - à la fois pour être utilisés dans le processus éducatif et pour les concours dans les universités, pour les olympiades du plus haut niveau.
Chapitre 1. Histoire des équations quadratiques et des équations d'ordre supérieur
1.1 Équations dans l'ancienne Babylone
L'algèbre est née de la résolution de divers problèmes à l'aide d'équations. Généralement, les problèmes nécessitent de trouver une ou plusieurs inconnues, tout en connaissant les résultats de certaines actions effectuées sur les quantités souhaitées et données. De tels problèmes se résument à résoudre une ou un système de plusieurs équations, à trouver celles requises à l'aide d'opérations algébriques sur des quantités données. L'algèbre étudie les propriétés générales des opérations sur les quantités.
Certaines techniques algébriques permettant de résoudre des équations linéaires et quadratiques étaient connues il y a 4 000 ans dans l'ancienne Babylone. La nécessité de résoudre des équations non seulement du premier, mais aussi du deuxième degré, même dans les temps anciens, était due à la nécessité de résoudre des problèmes liés à la recherche des superficies de terrains et de travaux fonciers à caractère militaire, ainsi que avec le développement de l'astronomie et des mathématiques elles-mêmes. Comme mentionné précédemment, les Babyloniens ont pu résoudre les équations quadratiques vers 2000 avant JC. En utilisant la notation algébrique moderne, nous pouvons dire que des équations quadratiques incomplètes et complètes apparaissent dans leurs textes cunéiformes.
La règle pour résoudre ces équations, exposée dans les textes babyloniens, coïncide essentiellement avec les règles modernes, mais on ne sait pas comment les Babyloniens sont arrivés à cette règle. Presque tous les textes cunéiformes trouvés jusqu'à présent ne fournissent que des problèmes avec des solutions présentées sous forme de recettes, sans aucune indication sur la manière dont ils ont été trouvés.
Malgré haut niveau développement de l'algèbre à Babylone, les textes cunéiformes manquent de la notion de nombre négatif et de méthodes générales pour résoudre une équation quadratique.
1.2 Équations arabes
Certaines méthodes permettant de résoudre des équations quadratiques et d'ordre supérieur ont été développées par les Arabes. Ainsi, le célèbre mathématicien arabe Al-Khorezmi a décrit dans son livre « Al-Jabar » de nombreuses façons de résoudre diverses équations. Leur particularité était qu'Al-Khorezmi utilisait radicaux complexes trouver les racines (solutions) des équations. La nécessité de résoudre de telles équations s’imposait dans les questions de partage de l’héritage.
1.3 Équations en Inde
Des équations quadratiques ont également été résolues en Inde. Les problèmes liés aux équations quadratiques se retrouvent déjà dans le traité d'astronomie « Aryabhattiam », compilé en 499 par le mathématicien et astronome indien Aryabhatta. Un autre scientifique indien, Brahmagupta (VIIe siècle), a établi une règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduites à une seule forme conique :
aх² + bx= c, où a > 0
Dans cette équation, les coefficients, sauf a, peuvent être négatifs. La règle de Brahmagupta est essentiellement la même que la nôtre.
Dans l’Inde ancienne, les concours publics visant à résoudre des problèmes difficiles étaient courants. Un vieux livre indien dit à propos de telles compétitions : « De même que le soleil éclipse les étoiles par son éclat, ainsi un homme érudit éclipsera la gloire d’un autre dans les assemblées publiques, proposant et résolvant des problèmes algébriques. » Les problèmes étaient souvent présentés sous forme poétique.
Diverses équations, à la fois quadratiques et de degrés supérieurs, ont été résolues par nos lointains ancêtres. Ces équations ont été résolues dans des pays très différents et lointains. Le besoin d’équations était grand. Les équations étaient utilisées dans la construction, dans les affaires militaires et dans des situations quotidiennes.
Chapitre 2. Équations quadratiques et équations d'ordre supérieur
2.1 Notions de base
Une équation quadratique est une équation de la forme
où les coefficients a, b, c sont des nombres réels et a ≠ 0.
Une équation quadratique est dite réduite si son coefficient dominant est 1.
Exemple :
x2 + 2x + 6 = 0.
Une équation quadratique est dite non réduite si le coefficient dominant est différent de 1.
Exemple :
2x2 + 8x + 3 = 0.
Une équation quadratique complète est une équation quadratique dans laquelle les trois termes sont présents, autrement dit, c'est une équation dans laquelle les coefficients b et c sont non nuls.
Exemple :
3x2 + 4x + 2 = 0.
Une équation quadratique incomplète est une équation quadratique dans laquelle au moins un coefficient b, c est égal à zéro.
Ainsi, il existe trois types d'équations quadratiques incomplètes :
1) ax² = 0 (a deux racines coïncidentes x = 0).
2) ax² + bx = 0 (a deux racines x 1 = 0 et x 2 = -)
Exemple :
x1 = 0, x2 = -5.
Répondre: x 1 =0, x 2 = -5.
Si -<0 - уравнение не имеет корней.
Exemple :
Répondre: L'équation n'a pas de racines.
Si –> 0, alors x 1,2 = ±
Exemple :
Répondre: x 1,2 =±
Toute équation quadratique peut être résolue à l'aide du discriminant (b² - 4ac). Habituellement, l'expression b² - 4ac est désignée par la lettre D et est appelée le discriminant de l'équation quadratique ax² + bx + c = 0 (ou le discriminant des trois termes quadratiques ax² + bx + c)
Exemple :
x2 +14x – 23 = 0
D = b2 – 4ac = 144 + 92 = 256
x2 = 
Répondre: x 1 = 1, x 2 = - 15.
Selon le discriminant, l'équation peut ou non avoir une solution.
1) Si D< 0, то не имеет решения.
2) Si D = 0, alors l'équation a deux solutions coïncidentes x 1,2 =
3) Si D > 0, alors il a deux solutions trouvées selon la formule :
x 1,2 = 
2.2 Formules pour coefficient pair en x
Nous sommes habitués au fait que les racines d'une équation quadratique
ax² + bx + c = 0 sont trouvés par la formule
x 1,2 =
Mais les mathématiciens ne laisseront jamais passer l’occasion de faciliter leurs calculs. Ils ont constaté que cette formule peut être simplifiée dans le cas où le coefficient b est b = 2k, notamment si b est un nombre pair.
En fait, soit le coefficient b de l'équation quadratique ax² + bx + c = 0 b = 2k. En substituant le nombre 2k au lieu de b dans notre formule, nous obtenons :
Ainsi, les racines de l'équation quadratique ax² + 2kx + c = 0 peuvent être calculées à l'aide de la formule :
x 1,2 = 
Exemple :
5x2 - 2x + 1 = 0
L'avantage de cette formule est que ce n'est pas le nombre b qui est au carré, mais sa moitié ; ce n'est pas 4ac qu'on soustrait à ce carré, mais simplement ac, et, enfin, que le dénominateur contient non pas 2a, mais simplement a. .
Si l'équation quadratique est donnée, alors notre formule ressemblera à ceci :
Exemple :
x2 – 4x + 3 = 0
Répondre: x 1 = 3, x 2 = 1.
2.3 Théorème de Vieta
Une propriété très intéressante des racines d'une équation quadratique a été découverte par le mathématicien français François Viète. Cette propriété s'appelle le théorème de Vieta :
Pour que les nombres x 1 et x 2 soient les racines de l'équation :
ax² + bx + c = 0
il est nécessaire et suffisant pour réaliser l'égalité
x 1 + x 2 = -b/a et x 1 x 2 = c/a
Le théorème de Vieta permet de juger des signes et de la valeur absolue d'une équation quadratique
x² + bx + c = 0
1. Si b>0, c>0 alors les deux racines sont négatives.
2. Si b<0, c>0 alors les deux racines sont positives.
3. Si b>0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.
4. Si b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.
2.4 Équations quadratiques de nature particulière
1) Si a + b + c = 0 dans l'équation ax² + bx + c = 0, alors
x 1 = 1, et x 2 = .
Preuve :
Dans l'équation ax² + bx + c = 0, ses racines
x 1,2 = (1).
Représentons b à partir de l'égalité a + b + c = 0
Remplaçons cette expression dans la formule (1) :
=
Si l’on considère séparément les deux racines de l’équation, on obtient :
1) x 1 = 
2)x2 = 
Il s'ensuit : x 1 = 1, et x 2 =.
1. Exemple :
2x² - 3x + 1 = 0
une = 2, b = -3, c = 1.
a + b + c = 0, donc
2. Exemple :
418x² - 1254x + 836 = 0
Cet exemple est très difficile à résoudre à l’aide d’un discriminant, mais connaissant la formule ci-dessus, il peut être facilement résolu.
a = 418, b = -1254, c = 836.
x1 = 1 x2 = 2
2) Si a - b + c = 0, dans l'équation ax² + bx + c = 0, alors :
x 1 =-1 et x 2 =-.
Preuve :
Considérons l'équation ax² + bx + c = 0, il s'ensuit que :
x 1,2 = (2).
Représentons b à partir de l'égalité a - b + c = 0
b = a + c, remplacer dans la formule (2) :
=
On obtient deux expressions :
1) x 1 = 
2)x2 = 
Cette formule est similaire à la précédente, mais elle est aussi importante car... Les exemples de ce type sont courants.
1) Exemple :
2x² + 3x + 1 = 0
une = 2, b = 3, c = 1.
a - b + c = 0, donc
2)Exemple :
Répondre: x 1 = -1 ; x2 = -
3) Méthode » transferts ”
Les racines des équations quadratiques y² + by + ac = 0 et ax² + bx + c = 0 sont liées par les relations suivantes :
x 1 = et x 2 =
Preuve :
a) Considérons l'équation ax² + bx + c = 0
x 1,2 = = 
b) Considérons l'équation y² + by + ac = 0
oui 1,2 =
Notez que les discriminants des deux solutions sont égaux ; comparons les racines de ces deux équations. Ils diffèrent les uns des autres par un facteur déterminant, les racines de la première équation sont inférieures aux racines de la seconde par a. En utilisant le théorème de Vieta et la règle ci-dessus, il n'est pas difficile de résoudre diverses équations.
Exemple :
Nous avons une équation quadratique arbitraire
10x² - 11x + 3 = 0
Transformons cette équation selon la règle donnée
y² - 11a + 30 = 0
Nous obtenons l’équation quadratique réduite, qui peut être résolue assez facilement à l’aide du théorème de Vieta.
Soient y 1 et y 2 les racines de l'équation y² - 11y + 30 = 0
y 1 y 2 = 30 y 1 = 6
oui 1 + oui 2 = 11 oui 2 = 5
Sachant que les racines de ces équations diffèrent les unes des autres par a, alors
x1 = 6/10 = 0,6
x2 = 5/10 = 0,5
Dans certains cas, il est préférable de décider de ne pas le faire au préalable. équation donnée ax² + bx + c = 0, et le réduit y² + by + ac = 0, qui est obtenu à partir du coefficient de « transfert » donné a, puis divisez les racines trouvées par a pour trouver l'équation d'origine.
2.5 Formule Vieta pour les polynômes (équations) de degrés supérieurs
Les formules dérivées de Viète pour les équations quadratiques sont également vraies pour les polynômes de degrés supérieurs.
Laissez le polynôme
P(x) = une 0 x n + une 1 x n -1 + … +une n
A n racines différentes x 1, x 2..., x n.
Dans ce cas, il a une factorisation de la forme :
une 0 x n + une 1 x n-1 +…+ une n = une 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)
Divisons les deux côtés de cette égalité par a 0 ≠ 0 et ouvrons les parenthèses dans la première partie. On obtient l'égalité :
x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n
Mais deux polynômes sont identiquement égaux si et seulement si les coefficients de mêmes puissances sont égaux. Il s'ensuit que l'égalité
x 1 + x 2 + … + x n = -
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =
x 1 x 2 … x n = (-1) n
Par exemple, pour les polynômes du troisième degré
une 0 x³ + une 1 x² + une 2 x + une 3
Nous avons des identités
x1 + x2 + x3 = -
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
x1x2x3 = -
Quant aux équations quadratiques, cette formule est appelée formules de Vieta. Les membres de gauche de ces formules sont des polynômes symétriques à partir des racines x 1, x 2 ..., x n de cette équation, et les membres de droite sont exprimés par le coefficient du polynôme.
2.6 Équations réductibles au quadratique (biquadratique)
Les équations du quatrième degré se réduisent à des équations quadratiques :
hache 4 + bx 2 + c = 0,
appelé biquadratique, et a ≠ 0.
Il suffit de mettre x 2 = y dans cette équation, donc,
ay² + par + c = 0
trouvons les racines de l'équation quadratique résultante
oui 1,2 =
Pour trouver immédiatement les racines x 1, x 2, x 3, x 4, remplacez y par x et obtenez
x² =
x1,2,3,4 = 
.
Si une équation du quatrième degré a x 1, alors elle a aussi une racine x 2 = -x 1,
Si a x 3, alors x 4 = - x 3. La somme des racines d’une telle équation est nulle.
Exemple :
2x 4 - 9x² + 4 = 0
Remplaçons l'équation dans la formule des racines des équations biquadratiques :
x1,2,3,4 = 
,
sachant que x 1 = -x 2, et x 3 = -x 4, alors :
x 3,4 = 
Répondre: x 1,2 = ±2; x 1,2 =
2.7 Etude des équations biquadratiques
Prenons l'équation biquadratique
hache 4 + bx 2 + c = 0,
où a, b, c sont des nombres réels, et a > 0. En introduisant l'inconnue auxiliaire y = x², on examine les racines de cette équation et on inscrit les résultats dans le tableau (voir annexe n°1)
2.8 Formule Cardano
Si nous utilisons le symbolisme moderne, la dérivation de la formule de Cardano peut ressembler à ceci :
X = 
Cette formule détermine les racines d'une équation générale du troisième degré :
hache 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.
Cette formule est très lourde et complexe (elle contient plusieurs radicaux complexes). Cela ne s'appliquera pas toujours, parce que... très difficile à remplir.
2.9 Équations symétriques du troisième degré
Les équations symétriques du troisième degré sont des équations de la forme
ax³ + bx² +bx + a = 0 ( 1 )
ax³ + bx² - bx – a = 0 ( 2 )
où a et b reçoivent des nombres, avec a¹0.
Montrons comment l'équation ( 1 ).
ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1) (x² - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1) (ax² +(b – une)x + une).
On trouve que l'équation ( 1 ) est équivalent à l’équation
(x + 1) (ax² +(b – a)x + a) = 0.
Cela signifie que ses racines seront les racines de l'équation
ax² +(b – a)x + a = 0
et nombre x = -1
l'équation ( 2 )
ax³ + bx² - bx - a = a(x³ - 1) + bx(x - 1) = a(x - 1) (x² + x + 1) + bx(x - 1) = (x - 1) (ax 2 + hache + a + bx) = (x - 1) (ax² +(b + a)x + a).
1) Exemple :
2x³ + 3x² - 3x – 2 = 0
Il est clair que x 1 = 1, et
x 2 et x 3 racines de l'équation 2x² + 5x + 2 = 0,
Trouvons-les grâce au discriminant :
x 1,2 = 
x2 = -, x3 = -2
2) Exemple :
5x³ + 21x² + 21x + 5 = 0
Il est clair que x 1 = -1, et
x 2 et x 3 racines de l'équation 5x² + 26x + 5 = 0,
Trouvons-les grâce au discriminant :
x 1,2 = 
x2 = -5, x3 = -0,2.
2.10 Équations réciproques
Équation réciproque – équation algébrique
une 0 x n + une 1 x n – 1 + … + une n – 1 x + une n =0,
dans laquelle a k = a n – k, où k = 0, 1, 2…n, et a ≠ 0.
Le problème de trouver les racines d'une équation réciproque se réduit au problème de trouver des solutions à une équation algébrique d'un degré inférieur. Le terme équations réciproques a été introduit par L. Euler.
Équation du quatrième degré de la forme :
hache 4 + bx 3 + cx 2 + bmx + am² = 0, (a ≠ 0).
Réduire cette équation à la forme
a (x² + m²/x²) + b(x + m/x) + c = 0, et y = x + m/x et y² - 2m = x² + m²/x²,
d'où l'équation se réduit à quadratique
ay² + par + (c-2h) = 0.
3x 4 + 5x 3 – 14x 2 – 10x + 12 = 0
Le diviser par x 2 donne l'équation équivalente
3x 2 + 5x – 14 – 5 ×, ou
Où et 
3(y 2 - 4) + 5y – 14 = 0, d'où
y 1 = y 2 = -2, donc
Et d'où
Réponse : x 1,2 = x 3,4 = .
Un cas particulier d'équations réciproques sont les équations symétriques. Nous avons parlé plus tôt des équations symétriques du troisième degré, mais il existe des équations symétriques du quatrième degré.
Équations symétriques du quatrième degré.
1) Si m = 1, alors il s'agit d'une équation symétrique de première espèce, de la forme
ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 et résolu par une nouvelle substitution
2) Si m = -1, alors il s'agit d'une équation symétrique du deuxième type, ayant la forme
ax 4 + bx 3 + cx 2 - bx + a = 0 et résolu par nouvelle substitution
2.11 Schéma Horner
Pour diviser des polynômes, la règle de « division par angle », ou schéma de Horner, est utilisée . A cet effet, les polynômes sont classés par degrés décroissants X et trouvez le terme principal du quotient Q(x) à partir de la condition selon laquelle lorsqu'il est multiplié par le terme principal du diviseur D(x), le terme principal du dividende P(x) est obtenu. Le terme trouvé du quotient est multiplié, puis par le diviseur et soustrait du dividende. Le terme principal du quotient est déterminé à partir de la condition selon laquelle, multiplié par le terme principal du diviseur, il donne le terme principal du polynôme différence, etc. Le processus se poursuit jusqu'à ce que le degré de la différence soit inférieur au degré du diviseur (voir annexe n°2).
Dans le cas des équations R = 0, cet algorithme est remplacé par le schéma de Horner.
Exemple :
x 3 + 4 x 2 + x – 6 = 0
Trouver les diviseurs du terme libre ±1 ; ± 2 ; ± 3 ; ± 6.
Notons le côté gauche de l'équation par f(x). Évidemment, f(1) = 0, x1 = 1. Divisez f(x) par x – 1. (voir annexe n° 3)
x 3 + 4x 2 + x – 6 = (x – 1) (x 2 + 5x + 6)
On note le dernier facteur Q(x). Nous résolvons l'équation Q(x) = 0.
x 2,3 = 
Répondre : 1; -2; -3.
Dans ce chapitre, nous avons donné quelques formules pour résoudre diverses équations. La plupart de ces formules permettent de résoudre des équations partielles. Ces propriétés sont très pratiques car il est beaucoup plus facile de résoudre des équations en utilisant une formule distincte pour cette équation plutôt qu'en utilisant le principe général. Nous avons fourni une preuve et plusieurs exemples pour chaque méthode.
Conclusion
Le premier chapitre a examiné l'histoire de l'émergence des équations quadratiques et des équations d'ordre supérieur. Diverses équations ont été résolues il y a plus de 25 siècles. De nombreuses méthodes permettant de résoudre de telles équations ont été créées à Babylone, en Inde. Il y a eu et il y aura toujours un besoin d’équations.
Le deuxième chapitre présente différentes manières de résoudre (trouver les racines) des équations quadratiques et des équations d'ordre supérieur. Fondamentalement, ce sont des méthodes permettant de résoudre des équations d'une nature particulière, c'est-à-dire que pour chaque groupe d'équations unies par des propriétés ou un type communs, une règle spéciale est donnée qui s'applique uniquement à ce groupe d'équations. Cette méthode (sélectionner votre propre formule pour chaque équation) est beaucoup plus simple que de trouver des racines via un discriminant.
Dans ce résumé, tous les objectifs ont été atteints et les tâches principales ont été accomplies, de nouvelles formules jusqu'alors inconnues ont été éprouvées et apprises. Nous avons travaillé sur de nombreuses variantes d'exemples avant de les inclure dans le résumé, nous avons donc déjà une idée de la façon de résoudre certaines équations. Chaque solution nous sera utile dans des études ultérieures. Cet essai a aidé à classer les anciennes connaissances et à en apprendre de nouvelles.
Références
1. Vilenkin N.Ya. "Algèbre pour la 8e année", M., 1995.
2. Galitski M.L. « Recueil de problèmes d'algèbre », M. 2002.
3. Daan-Dalmedico D. « Chemins et labyrinthes », M., 1986.
4. Zvavich L.I. « Algèbre 8e année », M., 2002.
5. Kushnir I.A. «Équations», Kyiv 1996.
6. Savin Yu.P. " Dictionnaire encyclopédique jeune mathématicien », M., 1985.
7. Mordkovitch A.G. « Algèbre 8e année », M., 2003.
8. Khudobin A.I. « Recueil de problèmes d'algèbre », M., 1973.
9. Sharygin I.F. « Cours optionnel d'algèbre », M., 1989.
Annexe 1
Etude des équations biquadratiques
| C | b | Conclusions | ||
| Sur les racines de l'équation auxiliaire ay² +by+c=0 | À propos des racines de cette équation a(x²)² +bx² +c=0 | |||
C< 0 |
b- n'importe quel nombre réel | oui< 0 ; y > 01 2 |
x = ±Öy |
|
| C > 0 | b<0 | D > 0 | x = ±Öy |
|
| D=0 | y > 0 | x = ±Öy |
||
| D< 0 | Pas de racines | Pas de racines | ||
| b ≥ 0 | Pas de racines | |||
| Pas de racines | Pas de racines | |||
y > 0 ; oui< 01 2 |
x = ±Öy |
|||
| C=0 | b > 0 | y = 0 | x = 0 | |
| b = 0 | y = 0 | x = 0 | ||
| b< 0 | y = 0 | x = 0 | ||
Annexe 2
Diviser un polynôme en un polynôme à l'aide d'un coin
| Un 0 | un 1 | un 2 | ... | un | c |
| + | |||||
| b0c | b1c | … | b n-1 c | ||
| B 0 | b1 | b2 | … | bn | = R (reste) |
Annexe 3
Schéma Horner
| Racine | |||||
| 1 | 4 | 1 | -6 | 1 | |
| x1 = 1 | |||||
| démolition | 5 | 6 | 0 | ||
| 1 | 1×1 +4 = 5 | 5×1 + 1 = 6 | 6×1 – 6 = 0 | ||
| racine | |||||
| x1 = 1 |
De l'histoire des équations quadratiques Auteur : Svetlana Radchenko, élève de 9e classe « A » Superviseur : Alabugina I.A. professeur de mathématiques MBOU « École secondaire n° 5 de Guryevsk » région de Kemerovo Domaine de présentation : mathématiques Conçu pour aider l'enseignant Total 20 diapositives Contenu Introduction……………………………………………… …………… ……………3 De l'histoire de l'émergence des équations quadratiques Équations quadratiques dans l'ancienne Babylone………………………………….4 Équations quadratiques en Inde……………… …………………… ……...5 Équations quadratiques dans Al-Khwarizmi………………………6 Comment Diophante a composé et résolu les équations quadratiques……………………..... 7 Les équations quadratiques en Europe XII – XVIII siècles……………………………………8 3. Les équations quadratiques aujourd'hui……………………………………………………… ……… .10 Méthodologie d'étude des équations quadratiques……………………………………11 10 façons de résoudre des équations quadratiques…………………………….12 Algorithme de résolution d'équations quadratiques incomplètes ………… ………………13 Algorithme pour résoudre une équation quadratique complète…………………………..14 Résolution des équations quadratiques données…………………………………15 4. Applications pratiques des équations quadratiques pour résoudre des problèmes appliqués……………………………………………………………………………….16 5. Conclusion. ……………………………………………………………………………………18 1. 2. 6. Liste des références…………………… ………………………………… …………….19 2 Introduction Considérez comme malheureux ce jour ou cette heure où vous n'avez rien appris de nouveau, n'avez rien ajouté à votre éducation. Jan Amos Comenius 3 Les équations quadratiques constituent le fondement sur lequel repose le majestueux édifice de l'algèbre. Ils sont largement utilisés pour résoudre des équations et des inégalités trigonométriques, exponentielles, logarithmiques, irrationnelles et transcendantales. Les équations quadratiques occupent une place prépondérante dans le cours d'algèbre scolaire. Une grande partie du temps du cours de mathématiques à l'école est consacrée à leur étude. Fondamentalement, les équations quadratiques répondent à des objectifs pratiques spécifiques. La plupart des problèmes concernant les formes spatiales et les relations quantitatives dans le monde réel se résument à la résolution de divers types d'équations, y compris les équations quadratiques. En maîtrisant les moyens de les résoudre, les gens trouvent des réponses à diverses questions issues de la science et de la technologie. De l'histoire de l'émergence des équations quadratiques Babylone antique : déjà environ 2000 ans avant JC, les Babyloniens savaient résoudre les équations quadratiques. Des méthodes étaient connues pour résoudre des équations quadratiques complètes et incomplètes. Par exemple, dans l'ancienne Babylone, les équations quadratiques suivantes ont été résolues : 4 Inde Les problèmes résolus à l'aide d'équations quadratiques se trouvent dans le traité d'astronomie « Aryabhattiam », écrit par l'astronome et mathématicien indien Aryabhatta en 499 après JC. Un autre scientifique indien, Brahmagupta, a esquissé une règle universelle pour résoudre une équation quadratique réduite à sa forme canonique : ax2+bx=c ; De plus, il a été supposé que tous les coefficients, à l'exception de « a », pourraient être négatifs. La règle formulée par le scientifique coïncide essentiellement avec la règle moderne. 5 Équations quadratiques d'Al-Khorezmi : Dans le traité algébrique d'Al-Khorezmi, une classification des équations linéaires et quadratiques est donnée. L'auteur dénombre 6 types d'équations, les exprimant ainsi : « Les carrés sont égaux aux racines », c'est-à-dire ax2 = bx.; « Les carrés sont égaux aux nombres », c'est-à-dire ax2 = c ; « Les racines sont égales au nombre », c'est-à-dire ax = c ; « Les carrés et les nombres sont égaux aux racines », c'est-à-dire ax2 + c = bx; « Les carrés et les racines sont égaux au nombre », c'est-à-dire ax2 + bx = c ; « Les racines et les nombres sont égaux aux carrés », c'est-à-dire bx + c = ax2. 6 Comment Diophante a composé et résolu des équations quadratiques : L'un des mathématiciens grecs anciens les plus originaux était Diophante d'Alexandrie. Ni l'année de naissance ni la date du décès de Diophante n'ont été précisées ; On pense qu'il a vécu au IIIe siècle. ANNONCE Parmi les œuvres de Diophante, la plus importante est l'Arithmétique, dont 13 livres, dont 6 seulement ont survécu à ce jour. L'Arithmétique de Diophante ne contient pas une présentation systématique de l'algèbre, mais elle contient un certain nombre de problèmes, accompagnés d'explications et résolus en construisant des équations de différents degrés. Lors de la composition d'équations, Diophante sélectionne habilement les inconnues pour simplifier la solution. 7 Équations quadratiques en Europe aux XIIe-XVIIe siècles : Le mathématicien italien Leonard Fibonacci a développé indépendamment de nouveaux exemples algébriques de résolution de problèmes et a été le premier en Europe à introduire des nombres négatifs. La règle générale de résolution des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique x2 + bх = с pour toutes les combinaisons possibles de signes et de coefficients b, c a été formulée en Europe en 1544 par Michael Stiefel. 8 François Viète Le mathématicien français F. Viète (1540-1603) introduisit un système de symboles algébriques et développa les fondements de l'algèbre élémentaire. Il fut l'un des premiers à désigner les nombres par des lettres, ce qui développa considérablement la théorie des équations. La dérivation de la formule pour résoudre une équation quadratique sous forme générale est disponible auprès de Vieth, mais Vieth n'a reconnu que les racines positives. 9 Les équations quadratiques aujourd'hui La capacité à résoudre des équations quadratiques sert de base à la résolution d'autres équations et de leurs systèmes. Apprendre à résoudre des équations commence par leurs types les plus simples, et le programme détermine l'accumulation progressive de leurs types et du « fonds » de transformations identiques et équivalentes, à l'aide duquel vous pouvez réduire une équation arbitraire au plus simple. Le processus de développement de techniques généralisées de résolution d'équations dans un cours d'algèbre scolaire devrait également être construit dans cette direction. Dans un cours de mathématiques au lycée, les élèves sont confrontés à de nouvelles classes d'équations, de systèmes ou à une étude approfondie d'équations déjà connues. 10 Méthodes d'étude des équations quadratiques Au début de l'étude d'un cours d'algèbre systématique, l'attention principale est portée. consacré aux méthodes de résolution d'équations quadratiques, qui deviennent un objet d'étude particulier. Ce sujet se caractérise par une grande profondeur de présentation et la richesse des liens établis avec son aide pédagogique, ainsi que par la validité logique de la présentation. Elle occupe donc une place exceptionnelle dans la lignée des équations et des inégalités. Un point important dans l'étude des équations quadratiques est la prise en compte du théorème de Vieta, qui affirme l'existence d'une relation entre les racines et les coefficients de l'équation quadratique réduite. La difficulté de maîtriser le théorème de Vieta tient à plusieurs circonstances. Tout d’abord, il faut prendre en compte la différence entre les théorèmes direct et inverse. 11 10 façons de résoudre des équations quadratiques : Factoriser le côté gauche de l'équation. Méthode de sélection d'un carré complet. Résoudre des équations quadratiques à l'aide de la formule. Résoudre des équations à l'aide du théorème de Vieta. Résolution d'équations par la méthode du « lancer ». Propriétés des coefficients d'une équation quadratique. Solution graphique d'une équation quadratique.< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, c'est-à-dire - = m, où m>0, l'équation x2 = m a deux racines Ainsi, une équation quadratique incomplète peut avoir deux racines, une racine ou aucune racine. 13 Algorithme pour résoudre une équation quadratique complète. Ce sont des équations de la forme ax2 + bx + c = 0, où a, b, c reçoivent des nombres et ≠ 0, x est une inconnue. Toute équation quadratique complète peut être convertie en forme afin de déterminer le nombre de racines de l'équation quadratique et de trouver ces racines. Les cas suivants de résolution d'équations quadratiques complètes sont considérés : D< 0, D = 0, D >0. 1. Si D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D > 0, alors l'équation quadratique ax2 + bx + c = 0 a deux racines, qui sont trouvées par les formules : ; 14 Solution des équations quadratiques réduites Théorème de F. Vieta : La somme des racines de l'équation quadratique réduite est égale au deuxième coefficient pris de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre. En d’autres termes, si x1 et x2 sont les racines de l’équation x2 +px + q = 0, alors x1 + x2 = - p, x1 x2 = q. (*) Le théorème inverse du théorème de Vieta : Si les formules (*) sont valables pour les nombres x1, x2, p, q, alors x1 et x2 sont les racines de l'équation x2 + px + q = 0. 15 Applications pratiques d'équations quadratiques pour résoudre des problèmes appliqués Bhaskar ( 1114-1185) - le plus grand mathématicien et astronome indien du XIIe siècle. Il a dirigé l'observatoire astronomique d'Ujjain. Bhaskara a écrit le traité « Siddhanta-shiromani » (« Couronne d'enseignement »), composé de quatre parties : « Lilavati » est consacré à l'arithmétique, « Bizhaganita » à l'algèbre, « Goladhaya » aux sphériques et « Granhaganita » à la théorie de mouvements planétaires. Bhaskara a obtenu les racines négatives des équations, même s'il doutait de leur signification. Il possède l'une des premières conceptions de machine à mouvement perpétuel. 16 Un des problèmes du célèbre mathématicien indien du XIIe siècle. Bhaskara : La solution de Bhaskara montre que l'auteur savait que les racines des équations quadratiques sont à deux valeurs. 17 Conclusion Le développement de la science de la résolution des équations quadratiques a parcouru un chemin long et épineux. Ce n’est qu’après les travaux de Stiefel, Vieta, Tartaglia, Cardano, Bombelli, Girard, Descartes et Newton que la science de la résolution des équations quadratiques a pris sa forme moderne. L'importance des équations quadratiques ne réside pas seulement dans l'élégance et la brièveté de la résolution des problèmes, bien que cela soit également très important. Il est tout aussi important que l'utilisation d'équations quadratiques lors de la résolution de problèmes permette souvent de découvrir de nouveaux détails, de faire des généralisations intéressantes et des clarifications suggérées par l'analyse des formules et des relations résultantes. En étudiant la littérature et les ressources Internet liées à l'histoire du développement des équations quadratiques, je me suis demandé : « Qu'est-ce qui a motivé les scientifiques qui ont vécu une époque si difficile à s'engager dans la science, même sous la menace de la mort ? C'est probablement avant tout la curiosité de l'esprit humain qui est la clé du développement de la science. Les questions sur l'essence du Monde, sur la place de l'homme dans ce monde hantent à tout moment les personnes pensantes, curieuses et intelligentes. Les gens se sont toujours efforcés de se comprendre eux-mêmes et de comprendre leur place dans le monde. Regardez à l'intérieur de vous-même, peut-être que votre curiosité naturelle souffre parce que vous avez cédé au quotidien et à la paresse ? Le sort de nombreux scientifiques constitue 18 exemples à suivre. Tous les noms ne sont pas connus et populaires. Pensez-y : qu’est-ce que j’aime aux yeux de mes proches ? Mais le plus important est ce que je ressens par rapport à moi-même, suis-je digne de respect ? Pensez-y... Références 1. Zvavich L.I. « Algèbre 8e année », M., 2002. 2. Savin Yu.P. « Dictionnaire encyclopédique d'un jeune mathématicien », M., 1985. 3. Yu.N Makarychev « Algèbre 8e année », M, 2012. 4. https://ru.wikipedia.org 5. http://www. ido.rudn.ru/nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index- 2427. html 19 Merci de votre attention 20
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Lycée rural Kopyevskaya
10 façons de résoudre des équations quadratiques
Responsable : Patrikeeva Galina Anatolyevna,
professeur de mathématiques
village Kopevo, 2007
1. Histoire du développement des équations quadratiques
1.1 Équations quadratiques dans l'ancienne Babylone
1.2 Comment Diophante a composé et résolu les équations quadratiques
1.3 Équations quadratiques en Inde
1.4 Équations quadratiques d'al-Khorezmi
1.5 Équations quadratiques en Europe XIII - XVII siècles
1.6 À propos du théorème de Vieta
2. Méthodes de résolution d'équations quadratiques
Conclusion
Littérature
1. Histoire du développement des équations quadratiques
1.1 Équations quadratiques dans l'ancienne Babylone
La nécessité de résoudre des équations non seulement du premier, mais aussi du deuxième degré, même dans l'Antiquité, était due à la nécessité de résoudre des problèmes liés à la recherche des superficies de terrains et aux travaux d'excavation à caractère militaire. comme pour le développement de l’astronomie et des mathématiques elles-mêmes. Les équations quadratiques ont pu être résolues vers 2000 avant JC. e. Babyloniens.
En utilisant la notation algébrique moderne, on peut dire que dans leurs textes cunéiformes il y a, en plus des textes incomplets, comme par exemple des équations quadratiques complètes :
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
La règle pour résoudre ces équations, exposée dans les textes babyloniens, coïncide essentiellement avec la règle moderne, mais on ne sait pas comment les Babyloniens sont arrivés à cette règle. Presque tous les textes cunéiformes trouvés jusqu'à présent ne fournissent que des problèmes avec des solutions présentées sous forme de recettes, sans aucune indication sur la manière dont ils ont été trouvés.
Malgré le haut niveau de développement de l'algèbre à Babylone, les textes cunéiformes manquent du concept de nombre négatif et de méthodes générales pour résoudre les équations quadratiques.
1.2 Comment Diophante a composé et résolu les équations quadratiques.
L'arithmétique de Diophante ne contient pas une présentation systématique de l'algèbre, mais elle contient une série systématique de problèmes, accompagnés d'explications et résolus en construisant des équations de différents degrés.
Lors de la composition d'équations, Diophante sélectionne habilement les inconnues pour simplifier la solution.
Voici par exemple l'une de ses tâches.
Problème 11."Trouver deux nombres en sachant que leur somme est 20 et leur produit est 96"
Diophante raisonne ainsi : des conditions du problème il résulte que les nombres requis ne sont pas égaux, puisque s'ils étaient égaux, alors leur produit ne serait pas égal à 96, mais à 100. Ainsi, l'un d'eux sera supérieur à la moitié de leur somme, soit . 10 + x, l'autre est moins, c'est-à-dire 10. La différence entre eux 2x .
D'où l'équation :
(10 + x)(10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
D'ici x = 2. L'un des nombres requis est égal à 12 , autre 8 . Solution x = -2 car Diophante n'existe pas, puisque les mathématiques grecques ne connaissaient que des nombres positifs.
Si nous résolvons ce problème en choisissant l'un des nombres requis comme inconnu, nous arriverons alors à une solution à l'équation
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20y + 96 = 0. (2)
Il est clair qu'en choisissant comme inconnue la demi-différence des nombres requis, Diophante simplifie la solution ; il parvient à réduire le problème à la résolution d'une équation quadratique incomplète (1).
1.3 Équations quadratiques en Inde
Les problèmes liés aux équations quadratiques se retrouvent déjà dans le traité d'astronomie « Aryabhattiam », compilé en 499 par le mathématicien et astronome indien Aryabhatta. Un autre scientifique indien, Brahmagupta (VIIe siècle), a exposé la règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduites à une seule. forme canonique:
ah 2 + b x = c, a > 0. (1)
Dans l'équation (1), les coefficients, sauf UN, peut aussi être négatif. La règle de Brahmagupta est essentiellement la même que la nôtre.
Dans l’Inde ancienne, les concours publics visant à résoudre des problèmes difficiles étaient courants. Un vieux livre indien dit à propos de telles compétitions : « De même que le soleil éclipse les étoiles par son éclat, ainsi un homme érudit éclipsera la gloire d’un autre dans les assemblées publiques, proposant et résolvant des problèmes algébriques. » Les problèmes étaient souvent présentés sous forme poétique.
C’est l’un des problèmes du célèbre mathématicien indien du XIIe siècle. Bhaskars.
Problème 13.
« Un troupeau de singes fringants, et douze le long des vignes...
Les autorités, après avoir mangé, se sont amusées. Ils ont commencé à sauter, à se suspendre...
Il y en a sur la place, partie huit. Combien y avait-il de singes ?
Je m'amusais dans la clairière. Dis-moi, dans ce pack ?
La solution de Bhaskara indique qu'il savait que les racines des équations quadratiques sont à deux valeurs (Fig. 3).
L'équation correspondant au problème 13 est :
( x /8) 2 + 12 = x
Bhaskara écrit sous couvert :
x2 - 64x = -768
et, pour compléter le côté gauche de cette équation en un carré, ajoute aux deux côtés 32 2 , puis on obtient :
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x-32 = ± 16,
x1 = 16, x2 = 48.
1.4 Équations quadratiques dans al-Khorezmi
Dans le traité algébrique d'Al-Khorezmi, une classification des équations linéaires et quadratiques est donnée. L'auteur dénombre 6 types d'équations, les exprimant ainsi :
1) « Les carrés sont égaux aux racines », c'est-à-dire hache 2 + c = b X.
2) « Les carrés sont égaux aux nombres », c'est-à-dire hache 2 = c.
3) « Les racines sont égales au nombre », c'est-à-dire ah = s.
4) « Les carrés et les nombres sont égaux aux racines », c'est-à-dire hache 2 + c = b X.
5) « Les carrés et les racines sont égaux aux nombres », c'est-à-dire ah 2 + bx = art.
6) « Les racines et les nombres sont égaux aux carrés », c'est-à-dire bx + c = hache 2 .
Pour al-Khorezmi, qui a évité l’utilisation de nombres négatifs, les termes de chacune de ces équations sont des additions et non des soustraits. Dans ce cas, les équations qui n’ont pas de solutions positives ne sont évidemment pas prises en compte. L'auteur présente des méthodes pour résoudre ces équations en utilisant les techniques d'al-jabr et d'al-muqabala. Bien entendu, ses décisions ne coïncident pas complètement avec les nôtres. Sans compter que c'est purement rhétorique, il faut noter par exemple que lors de la résolution d'une équation quadratique incomplète du premier type
al-Khorezmi, comme tous les mathématiciens avant le XVIIe siècle, ne prend pas en compte la solution zéro, probablement parce que dans des problèmes pratiques spécifiques, cela n'a pas d'importance. Lors de la résolution d'équations quadratiques complètes, al-Khorezmi expose les règles pour les résoudre à l'aide d'exemples numériques particuliers, puis de preuves géométriques.
Problème 14.« Le carré et le nombre 21 sont égaux à 10 racines. Trouvez la racine" (impliquant la racine de l'équation x 2 + 21 = 10x).
La solution de l'auteur ressemble à ceci : divisez le nombre de racines par deux, vous obtenez 5, multipliez 5 par lui-même, soustrayez 21 du produit, ce qui reste est 4. Prenez la racine de 4, vous obtenez 2. Soustrayez 2 de 5 , vous en obtenez 3, ce sera la racine souhaitée. Ou ajoutez 2 à 5, ce qui donne 7, c'est aussi une racine.
Le traité d'Al-Khorezmi est le premier livre qui nous soit parvenu, qui expose systématiquement la classification des équations quadratiques et donne des formules pour leur solution.
1.5 Équations quadratiques en Europe XIII - XVIIIe bb
Les formules permettant de résoudre des équations quadratiques sur le modèle d'al-Khwarizmi en Europe ont été présentées pour la première fois dans le Livre de l'Abacus, écrit en 1202 par le mathématicien italien Leonardo Fibonacci. Cet ouvrage volumineux, qui reflète l'influence des mathématiques, tant des pays d'Islam que de la Grèce antique, se distingue par son exhaustivité et la clarté de sa présentation. L'auteur a développé indépendamment de nouveaux exemples algébriques de résolution de problèmes et a été le premier en Europe à aborder l'introduction de nombres négatifs. Son livre a contribué à la diffusion des connaissances algébriques non seulement en Italie, mais aussi en Allemagne, en France et dans d'autres pays européens. De nombreux problèmes du Livre de l'Abacus ont été utilisés dans presque tous les manuels européens des XVIe et XVIIe siècles. et en partie XVIII.
La règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduite à une seule forme canonique :
x2 + bx = c,
pour toutes les combinaisons possibles de signes de coefficient b , Avec n'a été formulée en Europe qu'en 1544 par M. Stiefel.
La dérivation de la formule pour résoudre une équation quadratique sous forme générale est disponible auprès de Vieth, mais Vieth n'a reconnu que les racines positives. Les mathématiciens italiens Tartaglia, Cardano, Bombelli furent parmi les premiers au XVIe siècle. En plus des racines positives, les racines négatives sont également prises en compte. Seulement au 17ème siècle. Grâce aux travaux de Girard, Descartes, Newton et d'autres scientifiques, la méthode de résolution des équations quadratiques prend une forme moderne.
1.6 À propos du théorème de Vieta
Le théorème exprimant la relation entre les coefficients d'une équation quadratique et ses racines, du nom de Vieta, fut formulé par lui pour la première fois en 1591 comme suit : « Si B + D, multiplié par UN - UN 2 , est égal BD, Que UN est égal DANS et égal D ».
Pour comprendre Vieta, il faut se rappeler que UN, comme toute voyelle, signifiait l'inconnu (notre X), les voyelles DANS, D- coefficients pour l'inconnu. Dans le langage de l’algèbre moderne, la formulation Vieta ci-dessus signifie : s’il y a
(un + b )x - x 2 = ab ,
x 2 - (un + b )x + une b = 0,
x 1 = une, x 2 = b .
Exprimant la relation entre les racines et les coefficients des équations avec des formules générales écrites à l'aide de symboles, Viète a établi l'uniformité dans les méthodes de résolution des équations. Cependant, la symbolique du Viet est encore loin d'être look moderne. Il ne reconnaissait pas les nombres négatifs et, par conséquent, lors de la résolution d'équations, il ne considérait que les cas où toutes les racines étaient positives.
2. Méthodes de résolution d'équations quadratiques
Les équations quadratiques sont le fondement sur lequel repose le majestueux édifice de l’algèbre. Les équations quadratiques sont largement utilisées pour résoudre des équations et des inégalités trigonométriques, exponentielles, logarithmiques, irrationnelles et transcendantales. Nous savons tous comment résoudre des équations quadratiques depuis l’école (8e année) jusqu’à l’obtention du diplôme.