Enseignement de la planimétrie dans un cours scolaire. Angles à côtés mutuellement parallèles, angles à côtés mutuellement perpendiculaires

26.09.2019

Généralement, les angles sont considérés soit avec des côtés parallèles correspondants, soit avec des côtés perpendiculaires correspondants. Considérons d'abord le premier cas.

Soit deux angles ABC et DEF. Leurs côtés sont respectivement parallèles : AB || DE et Colombie-Britannique || E.F. Ces deux angles soit seront égaux, soit leur somme sera égale à 180°. Dans la figure ci-dessous, dans le premier cas ∠ABC = ∠DEF, et dans le second ∠ABC + ∠DEF = 180°.

La preuve que c’est bien le cas se résume à ce qui suit.

Considérons des angles avec des côtés parallèles correspondants, situés comme dans la première figure. En même temps, on prolonge les droites AB et EF jusqu’à leur intersection. Notons le point d'intersection par la lettre G. De plus, pour plus de clarté dans la preuve suivante, le côté BC est prolongé sur la figure.

Puisque les droites BC et EF sont parallèles, si la droite AB coupe l’une d’elles, alors elle coupera certainement l’autre. Autrement dit, la droite AB est une sécante pour deux droites parallèles. Comme on le sait, dans ce cas, les angles transversaux au niveau de la sécante sont égaux, les angles unilatéraux totalisent 180° et les angles correspondants sont égaux.

Autrement dit, quelle que soit la paire d’angles que nous prenons aux sommets B et G (un angle par rapport à l’un, l’autre par le second), nous obtiendrons toujours soit des angles égaux, soit un total de 180°.

Cependant, les droites AB et DE sont également parallèles. Pour eux, la droite EF est une sécante. Cela signifie que toutes les paires d'angles provenant des sommets G et E totaliseront 180° ou seront égales l'une à l'autre. Il s’ensuit que les paires d’angles issus des sommets B et E obéiront à cette règle.

Par exemple, considérons les angles ∠ABC et ∠DEF. L'angle ABC est égal à l'angle BGE, puisque ces angles correspondent aux droites parallèles BC et EF. À son tour, l’angle BGE est égal à l’angle DEF, puisque ces angles se correspondent lorsque AB et DE sont parallèles. Ainsi il est prouvé, ∠ABC et ∠DEF.

Considérons maintenant les angles ∠ABC et ∠DEG. L'angle ABC est égal à l'angle BGE. Mais ∠BGE et ∠DEG sont des angles unilatéraux avec des droites parallèles (AB || DE) coupées par une transversale (EF). Comme vous le savez, la somme de ces angles atteint 180°. Si l’on regarde le deuxième cas de la première figure, on se rend compte qu’il correspond au couple d’angles ABC et DEG de la deuxième figure.

donc deux différents angles, dont les côtés sont respectivement parallèles ou égaux entre eux, ou totalisent 180°. Le théorème a été prouvé.

Un cas particulier doit être noté : lorsque les coins sont tournés. Dans ce cas, ils seront évidemment égaux les uns aux autres.

Considérons maintenant les angles avec des côtés perpendiculaires correspondants. Cette affaire semble plus compliquée car arrangement mutuel les angles sont plus variés. La figure ci-dessous montre trois exemples de positionnement des coins avec des côtés perpendiculaires correspondants. Cependant, dans les deux cas, un côté du premier angle (ou son extension) est perpendiculaire à un côté du deuxième angle, et le deuxième côté du premier angle est perpendiculaire au deuxième côté du deuxième angle.

Considérons l'un des cas. Dans ce cas, nous dessinons une bissectrice dans un coin et, par un point arbitraire de celui-ci, nous traçons des perpendiculaires aux côtés de son angle.

Voici les angles ABC et DEF de côtés respectivement perpendiculaires : AB ⊥ DE et BC ⊥ EF. Sur la bissectrice de l'angle ABC, on prend le point G, par lequel sont tracées les perpendiculaires au même angle : GH ⊥ AB et GI ⊥ BC.

Considérons les triangles BGH et BGI. Ils sont rectangulaires car les angles H et I sont droits. Dans ceux-ci, les angles au sommet B sont égaux, puisque BG est la bissectrice de l'angle ABC. De plus, le côté BG des triangles considérés est commun et constitue l'hypoténuse de chacun d'eux. Comme on le sait, les triangles rectangles sont congrus si leurs hypoténuses et l'une d'entre elles sont égales. coins pointus. Ainsi, ∆BGH = ∆BGI.

Puisque ∆BGH = ∆BGI, alors ∠BGH = ∠BGI. Par conséquent, l'angle HGI peut être représenté non pas comme la somme de ces deux angles, mais comme l'un d'eux multiplié par 2 : ∠HGI = ∠BGH * 2.

L'angle ABC peut être représenté comme la somme de deux angles : ∠ABC = ∠GBH + ∠GBI. Puisque les angles composants sont égaux les uns aux autres (puisqu'ils sont formés par une bissectrice), l'angle ABC peut être représenté comme le produit de l'un d'eux et du nombre 2 : ∠ABC = ∠GBH * 2.

Les angles BGH et GBH sont des angles aigus triangle rectangle, ce qui signifie qu'ils totalisent 90°. Regardons les égalités résultantes :

∠BGH + ∠GBH = 90°
∠HGI = ∠BGH * 2
∠ABC = ∠GBH*2

Ajoutons les deux derniers :

∠HGI + ∠ABC = ∠BGH * 2 + ∠GBH * 2

Sortons le facteur commun des parenthèses :

∠HGI + ∠ABC = 2(∠BGH + ∠GBH)

Puisque la somme des angles entre parenthèses est de 90°, il s’avère que la somme des angles HGI et ABC donne 180° :

∠ABC + ∠HGI = 2 * 90° = 180°

Nous avons donc prouvé que la somme des angles HGI et ABC est de 180°. Regardons maintenant à nouveau le dessin et ramenons notre regard sur l'angle avec lequel l'angle ABC a des côtés perpendiculaires correspondants. C'est l'angle DEF.

Les droites GI et EF sont parallèles entre elles car elles sont toutes deux perpendiculaires à la même droite BC. Et comme vous le savez, les droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles. Pour la même raison DE || GH.

Comme cela a été prouvé précédemment, les angles ayant des côtés parallèles correspondants totalisent 180° ou sont égaux les uns aux autres. Cela signifie soit ∠DEF = ∠HGI, soit ∠DEF + ∠HGI = 180°.

Cependant, ∠ABC + ∠HGI = 180°. On en conclut que dans le cas de côtés perpendiculaires correspondants, les angles sont soit égaux, soit leur somme totalise 180°.

Bien que dans dans ce cas Nous nous sommes limités à prouver uniquement le montant. Mais si nous étendons mentalement le côté EF dans la direction opposée, nous verrons un angle égal à l'angle ABC, et en même temps ses côtés sont également perpendiculaires à l'angle ABC. L'égalité de tels angles peut être prouvée en considérant des angles avec des côtés parallèles correspondants : ∠DEF et ∠HGI.

THÉORÈME 1.Égalité des angles avec des côtés mutuellement perpendiculaires :Si
à la fois pointu ou à la fois obtus et
,
, Que
. THÉORÈME 2. Propriétés de la ligne médiane d'un trapèze :UN) ligne médiane le trapèze est parallèle aux bases du trapèze ;B) la ligne médiane est égale à la moitié de la somme des bases du trapèze ;C) la ligne médiane (et seulement elle) coupe en deux tout segment compris entre les bases du trapèze. Ces propriétés sont également valables pour la ligne médiane d'un triangle, si l'on considère le triangle comme un trapèze « dégénéré » dont l'une des bases a une longueur égale à zéro. THÉORÈME 3. Sur les points d'intersection des médianes, bissectrices, altitudes d'un triangle :A) trois médianes d'un triangle se coupent en un point (c'est ce qu'on appelle le centre de gravité du triangle) et se divisent en ce point dans un rapport de 2 : 1, en comptant à partir du sommet ;B) trois bissectrices d'un triangle se coupent en un point ;C) trois altitudes se coupent en un point (c'est ce qu'on appelle l'orthocentre du triangle).THÉORÈME 4. Propriété de la médiane dans un triangle rectangle :dans un triangle rectangle, la médiane tirée de l'hypoténuse est égale à la moitié de celle-ci. Le théorème inverse est également vrai : si dans un triangle une des médianes est égale à la moitié du côté vers lequel elle est tracée, alors ce triangle est rectangleTHÉORÈME 5. propriété de la bissectrice d'un angle interne d'un triangle :La bissectrice d'un angle interne d'un triangle divise le côté vers lequel il est dessiné en parties proportionnelles aux côtés opposés :
THÉORÈME 6. Relations métriques dans un triangle rectangle :SiunEtb- jambes,c– l'hypoténuse,h- hauteur, Et - projections des jambes sur l'hypoténuse, puis : a)
; b)
; V)
; G)
; d)
THÉORÈME 7. Détermination du type de triangle en fonction de ses côtés :Laisserun, b, c– les côtés du triangle, c étant le plus grand côté ; Alors:Et si
, alors le triangle est aigu ;B) si
, alors le triangle est rectangle ;B) si
, alors le triangle est obtus.THÉORÈME 8. Relations métriques dans un parallélogramme :La somme des carrés des diagonales d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés de tous ses côtés :
. Lors de la résolution de problèmes géométriques, il faut souvent établir l'égalité de deux segments (ou angles). Indiquons trois manières principales de prouver géométriquement l’égalité de deux segments : 1) considérer les segments comme les côtés de deux triangles et prouver que ces triangles sont égaux ; 2) représenter les segments comme les côtés d'un triangle et prouver que ce triangle est isocèle ; 3 ) remplacer le segment UN un segment égal , et le segment b – égal à lui et prouver l’égalité des segments et . Tache 1.Deux lignes mutuellement perpendiculaires coupent les côtésUN B, AVANT JC., CD, ANNONCEcarréA B C Daux pointsE, F, K, Lrespectivement. Prouve-leE.K. = FL(voir figure pour la tâche n°1).R.

Riz. à la tâche n°1

Solution: 1. En utilisant le premier des chemins ci-dessus pour l'égalité de deux segments, nous dessinons les segments
Et
- puis les segments qui nous intéressent E.K. Et FL devenir les côtés de deux triangles rectangles EPK Et FML(voir figure pour la tâche n°1) . 2

Riz. à la tâche n°1

Nous avons: PK = FM(plus de détails: PK = ANNONCE, ANNONCE = UN B, UN B = FM, Moyens,PK = FM), (sous forme d'angles à côtés mutuellement perpendiculaires, théorème 1). Cela signifie (le long de la jambe et de l'angle aigu). De l'égalité des triangles rectangles, il résulte que leurs hypoténuses sont égales, c'est-à-dire segments E.K. Et FL. ■ Notez que lors de la résolution de problèmes géométriques, vous devez souvent faire des constructions supplémentaires, par exemple les suivantes : tracer une droite parallèle ou perpendiculaire à l'une de celles de la figure (comme nous l'avons fait dans la tâche 1) ; doubler la médiane du triangle afin de compléter le triangle en un parallélogramme (nous le ferons dans le problème 2), en traçant une bissectrice auxiliaire. Il existe des constructions supplémentaires utiles liées au cercle. Tâche 2.Des soirées
égalun, b, c. Calculer la médiane , dessiné du côté c (voir figure pour le problème 2).R.

Riz. au problème n°2

Solution : Doublez la médiane en complétant
au parallélogramme ACVR, et appliquons le théorème 8 à ce parallélogramme On obtient : , soit
, où l'on trouve :
Tâche 3.Montrer que dans tout triangle, la somme des médianes est supérieure aux ¾ du périmètre, mais inférieure au périmètre.R.
solution: 1. Considérons
(voir figure pour le problème 3) Nous avons :
;
. Parce que AM + MS > AC, Que
(1)P

Riz. au problème n°3

En effectuant un raisonnement similaire pour les triangles AMB et BMC, on obtient :
(2)
(3) En additionnant les inégalités (1), (2), (3), on obtient :
, T.
.e. nous avons prouvé que la somme des médianes est supérieure aux ¾ du périmètre. 2. Doublons la médiane BD, complétant le triangle en un parallélogramme (voir la figure du problème 3). Puis à partir de
on a: B.K. < AVANT JC. + CK, ceux.
(4) De même:
(5)

Riz. au problème n°3

(6) En additionnant les inégalités (4), (5), (6), on obtient : , soit la somme des médianes est inférieure au périmètre. ■ Tâche 4.Montrer que dans un triangle rectangle non isocèle la bissectrice angle droit coupe en deux l'angle entre la médiane et l'altitude tirée du même sommet.R.
solution: Soit ACB un triangle rectangle,

, CH – hauteur, CD – bissectrice, SM – médiane. Introduisons la notation suivante : (voir figure pour le problème 4) . 1.

comme des angles avec des côtés mutuellement perpendiculaires (). 2

Riz. au problème n°4

Parce que
(voir Théorème 4), alors SM = MV, et ensuite de
nous concluons que
Donc, 3. Puisque et (après tout, CD est une bissectrice), c'est ce qu'il fallait prouver. ■ Tâche 5.Dans un parallélogramme à côtésun Etbles bissectrices des angles internes sont dessinées (voir figure pour le problème 5). Trouver les longueurs des diagonales du quadrilatère formé à l'intersection des bissectrices.Solution: 1 . AE – bissectrice
, BP – bissectrice
(voir figure) . puisque dans un parallélogramme
ceux. alors Cela signifie que dans le triangle ABC la somme des angles A et B est égale à 90 0, alors l'angle K est égal à 90 0, c'est-à-dire que les bissectrices AE et BP sont mutuellement perpendiculaires. UN
La perpendiculaire mutuelle des bissectrices AE et DQ, BP et CF, CF et DQ se prouve logiquement. SORTIE : KLMN est un quadrilatère à angles droits, c'est-à-dire rectangle. Un rectangle a des diagonales égales, il suffit donc de trouver la longueur de l'une d'elles, par exemple KM. 2

Riz. au problème n°5

Considérons
Il a AK - à la fois la bissectrice et la hauteur. Cela signifie, premièrement, que le triangle ABP est isocèle, c'est-à-dire AB = AP = b, et, d'autre part, que le segment AK est en même temps la médiane du triangle ABP, c'est-à-dire K – le milieu de la bissectrice BP. On prouve de la même manière que M est le milieu de la bissectrice DQ. 3. Considérons le segment KM. Il coupe en deux les segments BP et DQ. Mais la ligne médiane d'un parallélogramme (notez qu'un parallélogramme est un cas particulier de trapèze ; si on peut parler de la ligne médiane d'un trapèze, alors on peut tout aussi bien parler de la ligne médiane d'un parallélogramme, qui a la même propriétés) passe par les points K et M (voir théorème 2). Cela signifie que KM est un segment sur la ligne médiane, et donc
.4. Parce que
Et
, alors KMDP est un parallélogramme, et donc. Répondre:
■ En fait, dans le processus de résolution du problème (aux étapes 1 et 2), nous avons démontré une propriété assez importante : les bissectrices des angles adjacents au côté d'un trapèze se coupent à angle droit en un point situé sur la ligne médiane du trapèze. trapèze. Il convient de noter que la principale méthode de composition des équations dans les problèmes géométriques est méthodeélément de support, qui est la suivante : un même élément (côté, angle, aire, rayon, etc.) s'exprime en grandeurs connues et inconnues par deux différentes façons et les expressions résultantes sont assimilées. Bien souvent, une zone est choisie comme élément de référenceLes figures. Alors on dit que pour construire l’équation on utilise méthode des zones. Il est nécessaire d'apprendre aux écoliers à résoudre des problèmes de base, c'est-à-dire ceux. Qui sont inclus en tant que composants dans de nombreuses autres tâches. Il s'agit par exemple de problèmes de recherche des éléments de base d'un triangle : médiane, hauteur, bissectrice, rayons de cercle inscrit et circonscrit, aire. Z problème 6.Dans le triangle ABC, les côtés AB et BC sont égaux et BH est la hauteur. Un point est pris du côté de la Colombie-BritanniqueDDonc
(voir figure pour le problème 6). Dans quel rapport est le segmentANNONCEdivise la hauteur du VN ?Solution: 1. Soit BD = un, alors CD = 4 un, AB = 5a.2

Riz. au problème n°6

Dessinons un segment
(voir figure pour le problème 6) Puisque NK est la ligne médiane du triangle ACD DK = KC = 2 un .3. Considérons le triangle VNK. On a : BD = un,NSP = 2 un Et
. D'après le théorème de Thalès
Mais
Cela signifie
■ Si le problème nécessite de trouver le rapport d'un nombre quelconque de quantités, alors, en règle générale, le problème est résolu en utilisant la méthode des paramètres auxiliaires. Cela signifie qu'au début de la résolution du problème, nous déclarons une quantité linéaire connue, en la désignant, par exemple, par la lettre UN, puis l'exprimer à travers UN les quantités dont le rapport doit être trouvé. Lorsque la relation requise est construite, le paramètre auxiliaire UN est en train de rétrécir. C'est exactement ainsi que nous avons agi face au problème . Nos conseils : lors de la résolution de problèmes dans lesquels il est nécessaire de trouver le rapport des quantités (en particulier dans les problèmes de détermination d'un angle - après tout, en règle générale, lors du calcul d'un angle, nous parlons de trouver son fonction trigonométrique, c'est à dire. sur le rapport des côtés d'un triangle rectangle), il faut apprendre aux élèves à mettre en évidence l'introduction d'un paramètre auxiliaire comme première étape de la résolution. La méthode des paramètres auxiliaires est également utilisée dans les problèmes où figure géométrique déterminé jusqu’à la similarité. Tâche 7.Un rectangle s'inscrit dans un triangle de côtés égaux à 10, 17 et 21 cm de telle sorte que ses deux sommets soient d'un côté du triangle, et les deux autres sommets soient des deux autres côtés du triangle. Trouvez les côtés du rectangle si l'on sait que son périmètre est de 22,5 cm.R.
décision . 1. Tout d’abord, déterminons le type de triangle. Nous avons : 10 2 = 100 ; 17 2 = 289 ; 21 2 = 441. Puisque 21 2 > 10 2 + 17 2, le triangle est à angle obtus (voir Théorème 7), ce qui signifie qu'un rectangle ne peut s'y inscrire que d'une seule manière : en plaçant ses deux sommets sur le plus grand côté du triangle ABC (voir fig. . au problème 7), où AC = 21 cm, AB = 10 cm, BC = 17 cm.

Pour les angles dont les côtés sont parallèles, les propositions suivantes sont valables :

1. Si les côtés a et b d'un angle sont respectivement parallèles aux côtés a et b d'un autre angle et ont les mêmes directions qu'eux, alors les angles sont égaux.

2. Si, dans les mêmes conditions de parallélisme, les côtés a et b sont opposés aux côtés a et b, alors les angles sont également égaux.

3. Si, enfin, les côtés a et sont parallèles et de même direction, et que les côtés sont parallèles et de direction opposée, alors les angles se complètent jusqu'à ce qu'ils s'inversent.

Preuve. Démontrons la première de ces propositions. Que les côtés des angles soient parallèles et également dirigés (Fig. 191). Relions les sommets des coins par une ligne droite.

Dans ce cas, deux cas sont possibles : la droite passe à l'intérieur des coins ou à l'extérieur de ces coins (Fig. 191, b). Dans les deux cas la preuve est évidente : donc, dans le premier cas

mais d'où le sort-on ? Dans le deuxième cas nous avons

et le résultat découle encore une fois des égalités

Nous laissons les preuves des propositions 2 et 3 au lecteur. On peut dire que si les côtés des angles sont respectivement parallèles, alors les angles sont soit égaux, soit leur somme donne l'angle opposé.

Évidemment, ils sont égaux si les deux sont simultanément aigus ou les deux sont obtus, et leur somme est égale si l'un d'eux est aigu et l'autre est obtus.

Les angles avec des côtés perpendiculaires correspondants sont égaux ou complémentaires les uns aux autres jusqu'à un angle droit.

Preuve. Soit a un angle (Fig. 192), et O le sommet de l'angle formé par les lignes droites, respectivement, il peut s'agir de l'un des quatre angles formés par ces deux lignes droites). Faisons pivoter l'angle (c'est-à-dire ses deux côtés) autour de son sommet O à angle droit ; on obtient un angle égal à celui-ci, mais dont les côtés sont perpendiculaires aux côtés de l'angle de rotation indiqué sur la Fig. 192 passant par Elles sont parallèles aux droites formant un angle a donné. Par conséquent, les angles signifient que les angles sont égaux ou forment un angle inversé au total.

Un angle est une partie d'un plan délimitée par deux rayons émanant d'un même point. Les rayons qui limitent l’angle sont appelés les côtés de l’angle.

Le point d’où émergent les rayons s’appelle le sommet de l’angle. Schéma de désignation des coins

Regardons l'exemple de l'angle représenté sur la figure 1.

L'angle représenté sur la figure 1 peut être désigné de trois manières :

Les angles sont appelés angles égaux s’ils peuvent être combinés. Si l'intersection de deux droites produit quatre angles égaux , alors ces angles sont appelés angles droits (Fig. 2). Les lignes droites sécantes formant des angles droits sont appelées.

les lignes perpendiculaire Si par un point A, ne se trouvant pas sur une ligne l, une ligne est tracée perpendiculairement à la ligne l et coupant la ligne l jusqu'au point B, alors on dit qu'à partir du point B perpendiculaire AB est déposé sur la ligne l (Fig. 3). Le point B est appelé.

base de la perpendiculaire AB Note. La longueur du segment AB est appelée.

distance du point A à la droite l Angle de 1° (un degré) appelé l'angle qui constitue une quatre-vingt-dixième partie

angle droit. Un angle k fois supérieur à un angle de 1° est appelé angle de.

k° (k degrés)

Les angles sont également mesurés en radians. Vous pouvez en savoir plus sur les radians dans la section de notre ouvrage de référence « Mesure des angles. Degrés et radians".

Tableau 1 - Types d'angles selon la valeur en degrés	Dessin	Types d'angles
	Propriétés des coins	Angle droit
	Un angle droit vaut 90°	Angle vif
	Angle aigu inférieur à 90°	Angle obtus
	Angle obtus supérieur à 90° mais inférieur à 180°	Angle droit
		L'angle de rotation est de 180°
	Cet angle est supérieur à 180° mais inférieur à 360°	Plein angle
	L'angle complet est de 360°	Angle égal à zéro

Propriétés des coins

Cet angle est de 0°

Propriété:

Un angle droit vaut 90°

Cet angle est de 0°

Un angle droit vaut 90°

Angle aigu inférieur à 90°

Cet angle est de 0°

Angle aigu inférieur à 90°

Angle obtus supérieur à 90° mais inférieur à 180°

Cet angle est de 0°

Angle obtus supérieur à 90° mais inférieur à 180°

L'angle de rotation est de 180°

Cet angle est de 0°

Angle supérieur à droit

Cet angle est supérieur à 180° mais inférieur à 360°

Cet angle est de 0°

Cet angle est supérieur à 180° mais inférieur à 360°

L'angle complet est de 360°

Cet angle est de 0°

L'angle complet est de 360°

Cet angle est de 0°

Tableau 1 - Types d'angles selon la valeur en degrés	Dessin	Types d'angles
	Tableau 2 - Types d'angles selon l'emplacement des côtés	Angles verticaux
	Les angles verticaux sont égaux	Angles adjacents
		La somme des angles adjacents est de 180°
		Les angles avec des côtés respectivement parallèles sont égaux si les deux sont aigus ou les deux sont obtus
		La somme des angles dont les côtés sont parallèles est égale à 180° si l'un d'eux est aigu et l'autre obtus.
		Les angles avec des côtés respectivement perpendiculaires sont égaux si les deux sont aigus ou les deux sont obtus

Tableau 2 - Types d'angles selon l'emplacement des côtés

La somme des angles dont les côtés sont perpendiculaires est égale à 180° si l'un d'eux est aigu et l'autre obtus.

Propriété des angles verticaux :

Les angles verticaux sont égaux

Les angles verticaux sont égaux

Propriété des angles adjacents :

Angles avec côtés parallèles correspondants

Les angles avec des côtés respectivement parallèles sont égaux si les deux sont aigus ou les deux sont obtus

Propriété des angles avec des côtés parallèles correspondants :

La somme des angles dont les côtés sont parallèles est égale à 180° si l'un d'eux est aigu et l'autre obtus.

Angles avec côtés perpendiculaires correspondants

Les angles avec des côtés respectivement perpendiculaires sont égaux si les deux sont aigus ou les deux sont obtus

Propriété des angles avec des côtés perpendiculaires correspondants :

La somme des angles dont les côtés sont perpendiculaires est égale à 180° si l'un d'eux est aigu et l'autre obtus.

Définition . La bissectrice d'un angle est le rayon qui coupe l'angle en son milieu.

Tâche . Montrer que les bissectrices des angles adjacents sont perpendiculaires.

Solution . Considérez la figure 4.

Sur cette figure, les angles AOB et BOC sont adjacents, et les rayons OE et OD sont les bissectrices de ces angles. Parce que le

2α + 2β = 180°.

Q.E.D.

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53.Angles (angles internes) d'un triangle on appelle trois angles, dont chacun est formé de trois rayons émergeant des sommets du triangle et passant par les deux autres sommets.

54. Théorème de la somme des angles du triangle. La somme des angles d'un triangle est de 180°.

55. Coin extérieur d'un triangle est un angle adjacent à un angle de ce triangle.

56. Coin extérieur Triangle égal à la somme deux angles d'un triangle qui ne lui sont pas adjacents.

57. Si les trois coins Triangle épicé, alors le triangle s'appelle à angle aigu.

58. Si un des coins Triangle émoussé, alors le triangle s'appelle à angle obtus.

59. Si un des coins Triangle droit, alors le triangle s'appelle rectangulaire.

60. Le côté d'un triangle rectangle opposé à l'angle droit s'appelle hypoténuse(mot grec gyipotenusa - « contraction »), et deux côtés formant un angle droit - jambes(mot latin katetos – « plomb ») .

61. Théorème sur les relations entre les côtés et les angles d'un triangle. Dans un triangle le plus grand angle est opposé au plus grand côté, et retour, Le plus grand côté se trouve à l’opposé du plus grand angle.

62. Dans un triangle rectangle L'hypoténuse est plus longue que la jambe.

parce que Le plus grand côté se trouve toujours à l’opposé du plus grand angle.

Signes d'un triangle isocèle.

Si dans un triangle deux angles sont égaux, alors il est isocèle ;

Si dans un triangle la bissectrice est la médiane ou la hauteur,
alors ce triangle est isocèle ;

Si dans un triangle la médiane est la bissectrice ou la hauteur, Que

ce triangle est isocèle ;

Si dans un triangle la hauteur est médiane ou bissectrice,

alors ce triangle est isocèle.

64. Théorème. Inégalité triangulaire. La longueur de chaque côté d'un triangle est supérieure à la différence et inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés:

Propriétés des angles d'un triangle rectangle.

La somme de deux angles aigus d'un triangle rectangle est 90°.

UN + B = 90°