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Dans cet article, une autre sélection de problèmes liés au trapèze a été réalisée pour vous. Les conditions sont en quelque sorte liées à sa ligne médiane. Types de tâches extraits de banque ouverte tâches typiques. Si vous le souhaitez, vous pouvez rafraîchir vos connaissances théoriques. Le blog a déjà abordé les tâches dont les conditions sont liées, ainsi que. En bref sur la ligne médiane :
La ligne médiane du trapèze relie les milieux des côtés latéraux. Elle est parallèle aux bases et égale à leur demi-somme.
Avant de résoudre des problèmes, regardons un exemple théorique.
Étant donné un trapèze ABCD. La diagonale AC coupant la ligne médiane forme le point K, la diagonale BD le point L. Montrer que le segment KL est égal à la moitié de la différence des bases.
Notons d'abord le fait que la ligne médiane d'un trapèze coupe en deux tout segment dont les extrémités reposent sur ses bases. Cette conclusion s'impose d'elle-même. Imaginez un segment reliant deux points des bases ; il divisera ce trapèze en deux autres. Il s'avère qu'un segment parallèle aux bases du trapèze et passant par le milieu du côté passera par le milieu de l'autre côté.
Ceci est également basé sur le théorème de Thales :
Si plusieurs segments égaux sont disposés successivement sur l'une des deux lignes et que des lignes parallèles sont tracées à travers leurs extrémités qui coupent la deuxième ligne, elles couperont alors des segments égaux sur la deuxième ligne.
C'est dedans dans ce cas K est le milieu de AC et L est le milieu de BD. Donc EK est la ligne médiane du triangle ABC, LF est la ligne médiane du triangle DCB. D'après la propriété de la ligne médiane d'un triangle :
On peut maintenant exprimer le segment KL en termes de bases :
Éprouvé!
Cet exemple est donné pour une raison. Dans les tâches de solution indépendante, une telle tâche existe. Seulement, il ne dit pas que le segment reliant les milieux des diagonales se trouve sur la ligne médiane. Considérons les tâches :
27819. Trouvez la ligne médiane du trapèze si ses bases sont 30 et 16.
Nous calculons à l'aide de la formule :
27820. La ligne médiane du trapèze est 28 et la plus petite base est 18. Trouvez la plus grande base du trapèze.
Exprimons la base plus large :
Ainsi:
27836. Une perpendiculaire tombant du sommet d'un angle obtus jusqu'à la plus grande base d'un trapèze isocèle le divise en parties ayant des longueurs 10 et 4. Trouvez la ligne médiane de ce trapèze.
Pour trouver la ligne médiane, vous devez connaître les bases. La base AB est facile à trouver : 10+4=14. Trouvons DC.
Construisons la deuxième perpendiculaire DF :
Les segments AF, FE et EB seront respectivement égaux à 4, 6 et 4. Pourquoi ?
Dans un trapèze isocèle, des perpendiculaires abaissées à la plus grande base le divisent en trois segments. Deux d'entre eux, qui ont les jambes coupées triangles rectangles, sont égaux les uns aux autres. Le troisième segment est égal à la base la plus petite, car lors de la construction des hauteurs indiquées, un rectangle est formé et dans un rectangle, les côtés opposés sont égaux. Dans cette tâche :
Donc DC=6. On calcule :
27839. Les bases du trapèze sont dans un rapport de 2:3 et la ligne médiane est de 5. Trouvez la base la plus petite.
Introduisons le coefficient de proportionnalité x. Alors AB=3x, DC=2x. Nous pouvons écrire:
Par conséquent, la plus petite base est 2∙2=4.
27840. Le périmètre d'un trapèze isocèle est de 80, sa ligne médiane est égale au côté latéral. Trouvez le côté du trapèze.
A partir de la condition, on peut écrire :
Si nous désignons la ligne médiane par la valeur x, nous obtenons :
La deuxième équation peut déjà s’écrire :
27841. La ligne médiane du trapèze est 7 et l'une de ses bases est 4 plus grande que l'autre. Trouvez la plus grande base du trapèze.
Notons la plus petite base (DC) par x, alors la plus grande (AB) sera égale à x+4. Nous pouvons l'écrire
Nous avons constaté que la base la plus petite est le début de cinq, ce qui signifie que la plus grande est égale à 9.
27842. La ligne médiane du trapèze est 12. L'une des diagonales le divise en deux segments dont la différence est 2. Trouvez la plus grande base du trapèze.
Nous pouvons facilement trouver la plus grande base du trapèze si nous calculons le segment EO. C'est la ligne médiane du triangle ADB, et AB=2∙EO.
Qu'avons-nous ? On dit que la ligne médiane est égale à 12 et la différence entre les segments EO et ОF est égale à 2. On peut écrire deux équations et résoudre le système :
Il est clair que dans ce cas, vous pouvez sélectionner une paire de nombres sans calculs, ce sont 5 et 7. Mais néanmoins, résolvons le système :
Donc EO=12-5=7. Ainsi, la plus grande base est égale à AB=2∙EO=14.
27844. Dans un trapèze isocèle, les diagonales sont perpendiculaires. La hauteur du trapèze est de 12. Trouvez sa ligne médiane.
Notons immédiatement que la hauteur passant par le point d'intersection des diagonales d'un trapèze isocèle se situe sur l'axe de symétrie et divise le trapèze en deux trapèzes rectangulaires égaux, c'est-à-dire que les bases de cette hauteur sont divisées en deux.
Il semblerait que pour calculer la ligne médiane, il faille trouver des raisons. Ici, une petite impasse surgit... Comment, connaissant la hauteur, dans ce cas, calculer les bases ? Certainement pas! Il existe de nombreux trapèzes de ce type avec une hauteur fixe et des diagonales se coupant à un angle de 90 degrés. Que dois-je faire?
Regardez la formule de la ligne médiane d'un trapèze. Après tout, nous n’avons pas besoin de connaître les raisons elles-mêmes ; il suffit de connaître leur somme (ou leur demi-somme). Nous pouvons le faire.
Puisque les diagonales se coupent à angle droit, des triangles rectangles isocèles sont formés de hauteur EF :
De ce qui précède, il s’ensuit que FO=DF=FC et OE=AE=EB. Écrivons maintenant à quoi correspond la hauteur, exprimée par les segments DF et AE :
La ligne médiane est donc 12.
*En général, c'est un problème, comme vous le comprenez, pour le calcul mental. Mais je suis sûr que l’explication détaillée fournie est nécessaire. Et donc... Si vous regardez le dessin (à condition que l'angle entre les diagonales soit respecté lors de la construction), l'égalité FO=DF=FC, et OE=AE=EB attire immédiatement votre attention.
Les prototypes incluent également des types de tâches avec des trapèzes. Il est construit sur une feuille de papier dans une cage et il faut trouver la ligne médiane ; le côté de la cage est généralement égal à 1, mais il peut avoir une valeur différente.
27848. Trouvez la ligne médiane du trapèze A B C D, si les côtés des cellules carrées sont égaux à 1.
C'est simple, calculez les bases par cellules et utilisez la formule : (2+4)/2=3
Si les bases sont construites selon un angle par rapport à la grille cellulaire, il existe deux manières de le faire. Par exemple!
Un quadrilatère dont seulement deux côtés sont parallèles s’appelle trapèze.
Les côtés parallèles d'un trapèze sont appelés ses les raisons, et les côtés qui ne sont pas parallèles sont appelés côtés. Si côtés sont égaux, alors un tel trapèze est isocèle. La distance entre les bases s'appelle la hauteur du trapèze.
Trapèze de la ligne médiane
La ligne médiane est un segment reliant les milieux des côtés latéraux du trapèze. La ligne médiane du trapèze est parallèle à ses bases.
Théorème:
Si la ligne droite traversant le milieu d’un côté est parallèle aux bases du trapèze, alors elle coupe le deuxième côté du trapèze.
Théorème:
La longueur de la ligne médiane est égale à la moyenne arithmétique des longueurs de ses bases
Minnesota || AB || CCAM = MD ; BN = NC
Ligne médiane MN, AB et CD - bases, AD et BC - côtés latéraux
MN = (AB + DC)/2
Théorème:
La longueur de la ligne médiane d'un trapèze est égale à la moyenne arithmétique des longueurs de ses bases.
La tâche principale: Montrer que la ligne médiane d'un trapèze coupe en deux un segment dont les extrémités se situent au milieu des bases du trapèze.
Ligne médiane du Triangle
Le segment reliant les milieux des deux côtés d’un triangle est appelé la ligne médiane du triangle. Il est parallèle au troisième côté et sa longueur est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
Théorème: Si une ligne coupant le milieu d'un côté d'un triangle est parallèle à l'autre côté du triangle, alors elle coupe le troisième côté en deux.
AM = MC et BN = NC =>
Application des propriétés de la ligne médiane d'un triangle et d'un trapèze
Diviser un segment en un certain nombre de parties égales.
Tâche : Divisez le segment AB en 5 parties égales.
Solution:
Soit p un rayon aléatoire dont l'origine est le point A et qui ne se trouve pas sur la droite AB. Nous réservons séquentiellement 5 segments égaux sur p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Nous connectons A 5 à B et traçons de telles lignes passant par A 4, A 3, A 2 et A 1 qui sont parallèles à A 5 B. Elles coupent AB respectivement aux points B 4, B 3, B 2 et B 1. Ces points divisent le segment AB en 5 parties égales. En effet, à partir du trapèze BB 3 A 3 A 5 on voit que BB 4 = B 4 B 3. De la même manière, à partir du trapèze B 4 B 2 A 2 A 4 on obtient B 4 B 3 = B 3 B 2
Alors qu'à partir du trapèze B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Alors de B 2 AA 2 il s'ensuit que B 2 B 1 = B 1 A. En conclusion on obtient :
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Il est clair que pour diviser le segment AB en un autre nombre de parties égales, il faut projeter le même nombre de segments égaux sur le rayon p. Et puis continuez de la manière décrite ci-dessus.
Aire d'un trapèze. Salutations! Dans cette publication, nous examinerons cette formule. Pourquoi est-elle exactement comme ça et comment la comprendre. S’il y a de la compréhension, alors vous n’avez pas besoin de l’enseigner. Si vous souhaitez simplement consulter cette formule et de toute urgence, vous pouvez immédiatement faire défiler la page))
Maintenant en détail et dans l'ordre.
Un trapèze est un quadrilatère, deux côtés de ce quadrilatère sont parallèles, les deux autres ne le sont pas. Celles qui ne sont pas parallèles sont les bases du trapèze. Les deux autres sont appelés côtés.
Si les côtés sont égaux, alors le trapèze est appelé isocèle. Si l'un des côtés est perpendiculaire aux bases, alors un tel trapèze est dit rectangulaire.
Dans sa forme classique, un trapèze est représenté comme suit : la plus grande base est en bas, respectivement, la plus petite est en haut. Mais personne n'interdit de la représenter et vice versa. Voici les croquis :
Prochain concept important.
La ligne médiane d'un trapèze est un segment qui relie les milieux des côtés. La ligne médiane est parallèle aux bases du trapèze et égale à leur demi-somme.
Maintenant, approfondissons. Pourquoi cela est-il ainsi?
Considérons un trapèze avec des bases un et b et avec la ligne médiane je, et effectuez quelques constructions supplémentaires : tracez des lignes droites passant par les bases et des perpendiculaires passant par les extrémités de la ligne médiane jusqu'à ce qu'elles croisent les bases :
*Les désignations par lettres des sommets et autres points ne sont pas incluses intentionnellement pour éviter les désignations inutiles.
Regardez, les triangles 1 et 2 sont égaux selon le deuxième signe d'égalité des triangles, les triangles 3 et 4 sont identiques. De l'égalité des triangles découle l'égalité des éléments, à savoir les pattes (elles sont indiquées respectivement en bleu et rouge).
Maintenant attention ! Si nous « coupons » mentalement les segments bleus et rouges de la base inférieure, nous nous retrouverons alors avec un segment (c'est le côté du rectangle) égal à la ligne médiane. Ensuite, si nous « collons » les segments coupés bleu et rouge à la base supérieure du trapèze, nous obtiendrons également un segment (c'est aussi le côté du rectangle) égal à la ligne médiane du trapèze.
J'ai compris? Il s'avère que la somme des bases sera égale aux deux lignes médianes du trapèze :
Voir une autre explication
Faisons ce qui suit : construisons une ligne droite passant par la base inférieure du trapèze et une ligne droite qui passera par les points A et B :
On obtient les triangles 1 et 2, ils sont égaux le long des côtés et des angles adjacents (le deuxième signe d'égalité des triangles). Cela signifie que le segment résultant (sur le croquis il est indiqué en bleu) est égal à la base supérieure du trapèze.
Considérons maintenant le triangle :
*La ligne médiane de ce trapèze et la ligne médiane du triangle coïncident.
On sait qu'un triangle est égal à la moitié de la base qui lui est parallèle, soit :
D'accord, nous l'avons compris. Parlons maintenant de l'aire du trapèze.
Formule de l'aire trapézoïdale :
On dit : l'aire d'un trapèze est égale au produit de la moitié de la somme de ses bases et de sa hauteur.
Autrement dit, il s'avère qu'il est égal au produit de la ligne médiane et de la hauteur :
Vous avez probablement déjà remarqué que c'est une évidence. Géométriquement, cela peut s'exprimer ainsi : si nous coupons mentalement les triangles 2 et 4 du trapèze et les plaçons respectivement sur les triangles 1 et 3 :
On obtient alors un rectangle d'aire égal à la superficie notre trapèze. L'aire de ce rectangle sera égale au produit de la ligne médiane et de la hauteur, c'est-à-dire qu'on peut écrire :
Mais il ne s’agit pas ici, bien sûr, d’écrire, mais de comprendre.
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C'est tout. Bonne chance à toi!
Cordialement, Alexandre.