Aire d'un trapèze passant par les côtés. Aire d'un trapèze : comment calculer, formule

13.10.2019

La pratique de l'examen d'État unifié et de l'examen d'État de l'année dernière montre que les problèmes de géométrie posent des difficultés à de nombreux écoliers. Vous pouvez facilement y faire face si vous mémorisez toutes les formules nécessaires et vous entraînez à résoudre des problèmes.

Dans cet article, vous verrez des formules pour trouver l'aire d'un trapèze, ainsi que des exemples de problèmes avec des solutions. Vous pourrez croiser les mêmes dans les KIM lors des examens de certification ou lors des Olympiades. Par conséquent, traitez-les avec soin.

Que faut-il savoir sur le trapèze ?

Pour commencer, rappelons que trapèze est appelé un quadrilatère dans lequel deux côtés opposés, également appelés bases, sont parallèles et les deux autres ne le sont pas.

Dans un trapèze, la hauteur (perpendiculaire à la base) peut également être abaissée. Réalisé ligne médiane- c'est une droite parallèle aux bases et égale à la moitié de leur somme. Ainsi que des diagonales qui peuvent se croiser, formant des angles aigus et obtus. Ou, dans certains cas, à angle droit. De plus, si le trapèze est isocèle, un cercle peut y être inscrit. Et décrivez un cercle autour.

Formules de zone trapézoïdale

Tout d'abord, examinons les formules standard pour trouver l'aire d'un trapèze. Nous examinerons ci-dessous les moyens de calculer l'aire des trapèzes isocèles et curvilignes.

Imaginez donc que vous ayez un trapèze avec des bases a et b, dans lequel la hauteur h est abaissée jusqu'à la plus grande base. Calculer l'aire d'une figure dans ce cas est aussi simple que de décortiquer des poires. Il suffit de diviser la somme des longueurs des bases par deux et de multiplier le résultat par la hauteur : S = 1/2(a + b)*h.

Prenons un autre cas : supposons que dans un trapèze, en plus de la hauteur, il y ait une ligne médiane m. Nous connaissons la formule pour trouver la longueur de la ligne médiane : m = 1/2(a + b). Par conséquent, nous pouvons à juste titre simplifier la formule de l'aire d'un trapèze sous la forme suivante : S = m*h. En d’autres termes, pour trouver l’aire d’un trapèze, il faut multiplier la ligne médiane par la hauteur.

Considérons une autre option : le trapèze contient des diagonales d 1 et d 2, qui ne se coupent pas à angle droit α. Pour calculer l'aire d'un tel trapèze, vous devez diviser le produit des diagonales par deux et multiplier le résultat par le sin de l'angle qui les sépare : S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Considérons maintenant la formule pour trouver l'aire d'un trapèze si l'on ne sait rien de celui-ci à l'exception des longueurs de tous ses côtés : a, b, c et d. C'est encombrant et formule complexe, mais il vous sera utile de vous en souvenir, au cas où : S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

À propos, les exemples ci-dessus sont également vrais dans le cas où vous avez besoin de la formule pour l'aire d'un trapèze rectangulaire. Il s'agit d'un trapèze dont le côté jouxte les bases à angle droit.

Trapèze isocèle

trapèze, côtés qui sont égaux sont appelés isocèles. Nous examinerons plusieurs options pour la formule de l'aire d'un trapèze isocèle.

Première option : pour le cas où un cercle de rayon r est inscrit à l'intérieur d'un trapèze isocèle, et que le côté et la plus grande base forment angle vifα. Un cercle peut s'inscrire dans un trapèze à condition que la somme des longueurs de ses bases soit égale à la somme des longueurs de ses côtés.

L'aire d'un trapèze isocèle se calcule comme suit : multipliez le carré du rayon du cercle inscrit par quatre et divisez le tout par sinα : S = 4r 2 /sinα. Une autre formule d'aire est un cas particulier pour l'option lorsque l'angle entre la grande base et le côté est de 30 0 : S = 8r2.

Deuxième option : on prend cette fois un trapèze isocèle, dans lequel sont tracées en plus les diagonales d 1 et d 2, ainsi que la hauteur h. Si les diagonales d'un trapèze sont perpendiculaires entre elles, la hauteur est la moitié de la somme des bases : h = 1/2(a + b). Sachant cela, il est facile de transformer la formule de l'aire d'un trapèze qui vous est déjà familière sous cette forme : S = h2.

Formule pour l'aire d'un trapèze courbe

Commençons par comprendre ce qu'est un trapèze courbe. Imaginez un axe de coordonnées et un graphique d'une fonction f continue et non négative qui ne change pas de signe dans un segment donné sur l'axe des x. Un trapèze curviligne est formé par le graphe de la fonction y = f(x) - en haut, l'axe des x est en bas (segment), et sur les côtés - des droites tracées entre les points a et b et le graphe de la fonction.

Il est impossible de calculer l'aire d'une telle figure non standard en utilisant les méthodes ci-dessus. Ici, vous devez appliquer l'analyse mathématique et utiliser l'intégrale. A savoir : la formule de Newton-Leibniz - S = ∫ b une f(x)dx = F(x)│ b une = F(b) – F(a). Dans cette formule, F est la primitive de notre fonction sur le segment sélectionné. Et la région trapèze courbé correspond à l'incrément de la primitive sur un segment donné.

Exemples de problèmes

Pour que toutes ces formules soient plus faciles à comprendre dans votre tête, voici quelques exemples de problèmes pour trouver l'aire d'un trapèze. Il serait préférable que vous essayiez d'abord de résoudre les problèmes vous-même, puis que vous compariez ensuite la réponse que vous recevez avec la solution toute faite.

Tache 1:Étant donné un trapèze. Sa plus grande base mesure 11 cm, la plus petite mesure 4 cm. Le trapèze a des diagonales, l'une de 12 cm de long, la seconde de 9 cm.

Solution : Construisez un AMRS trapézoïdal. Tracez une droite РХ passant par le sommet P de manière à ce qu'elle soit parallèle à la diagonale MC et coupe la droite AC au point X. Vous obtiendrez un triangle APХ.

Nous considérerons deux figures obtenues à la suite de ces manipulations : le triangle APX et le parallélogramme CMRX.

Grâce au parallélogramme, on apprend que PX = MC = 12 cm et CX = MR = 4 cm. D'où on peut calculer le côté AX du triangle ARX : AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

On peut aussi prouver que le triangle APX est rectangle (pour cela appliquer le théorème de Pythagore - AX 2 = AP 2 + PX 2). Et calculez son aire : S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

Ensuite, vous devrez prouver que les triangles AMP et PCX ont la même aire. La base sera l'égalité des parties MR et CX (déjà prouvée ci-dessus). Et aussi les hauteurs que vous abaissez sur ces côtés - elles sont égales à la hauteur du trapèze AMRS.

Tout cela permettra de dire que S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Tâche n°2 : Le KRMS trapézoïdal est donné. Sur ses côtés latéraux se trouvent les points O et E, tandis que OE et KS sont parallèles. On sait également que les aires des trapèzes ORME et OKSE sont dans un rapport de 1:5. RM = a et KS = b. Vous devez trouver OE.

Solution : Tracez une ligne parallèle au RK passant par le point M, et désignez le point de son intersection avec OE par T. A est le point d'intersection de la ligne passant par le point E parallèle au RK avec la base KS.

Introduisons une notation supplémentaire - OE = x. Et aussi la hauteur h 1 pour le triangle TME et la hauteur h 2 pour le triangle AEC (vous pouvez prouver indépendamment la similitude de ces triangles).

Nous supposerons que b > a. Les aires des trapèzes ORME et OKSE sont dans le rapport 1:5, ce qui nous donne le droit de créer l'équation suivante : (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Transformons et obtenons : h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Puisque les triangles TME et AEC sont semblables, on a h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Combinons les deux entrées et obtenons : (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Ainsi, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Conclusion

La géométrie n'est pas la science la plus simple, mais vous pouvez certainement répondre aux questions de l'examen. Il suffit de faire preuve d'un peu de persévérance dans la préparation. Et bien sûr, rappelez-vous toutes les formules nécessaires.

Nous avons essayé de rassembler toutes les formules de calcul de l'aire d'un trapèze en un seul endroit afin que vous puissiez les utiliser lorsque vous préparez les examens et révisez le matériel.

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Aire d'un trapèze. Salutations! Dans cette publication, nous examinerons cette formule. Pourquoi est-elle exactement comme ça et comment la comprendre. S’il y a de la compréhension, alors vous n’avez pas besoin de l’enseigner. Si vous souhaitez simplement consulter cette formule et de toute urgence, vous pouvez immédiatement faire défiler la page))

Maintenant en détail et dans l'ordre.

Un trapèze est un quadrilatère, deux côtés de ce quadrilatère sont parallèles, les deux autres ne le sont pas. Celles qui ne sont pas parallèles sont les bases du trapèze. Les deux autres sont appelés côtés.

Si les côtés sont égaux, alors le trapèze est appelé isocèle. Si l'un des côtés est perpendiculaire aux bases, alors un tel trapèze est dit rectangulaire.

Dans sa forme classique, un trapèze est représenté comme suit : la plus grande base est en bas, respectivement, la plus petite est en haut. Mais personne n'interdit de la représenter et vice versa. Voici les croquis :

Prochain concept important.
La ligne médiane d'un trapèze est un segment qui relie les milieux des côtés. La ligne médiane est parallèle aux bases du trapèze et égale à leur demi-somme.

Maintenant, approfondissons. Pourquoi cela est-il ainsi?

Considérons un trapèze avec des bases un et b et avec la ligne médiane je, et effectuez quelques constructions supplémentaires : tracez des lignes droites passant par les bases et des perpendiculaires passant par les extrémités de la ligne médiane jusqu'à ce qu'elles croisent les bases :

*Les désignations par lettres des sommets et autres points ne sont pas incluses intentionnellement pour éviter les désignations inutiles.

Regardez, les triangles 1 et 2 sont égaux selon le deuxième signe d'égalité des triangles, les triangles 3 et 4 sont identiques. De l'égalité des triangles découle l'égalité des éléments, à savoir les pattes (elles sont indiquées respectivement en bleu et rouge).

Maintenant attention ! Si nous « coupons » mentalement les segments bleus et rouges de la base inférieure, nous nous retrouverons alors avec un segment (c'est le côté du rectangle) égal à la ligne médiane. Ensuite, si nous « collons » les segments coupés bleu et rouge à la base supérieure du trapèze, nous obtiendrons également un segment (c'est aussi le côté du rectangle) égal à la ligne médiane du trapèze.

J'ai compris? Il s'avère que la somme des bases sera égale aux deux lignes médianes du trapèze :

Voir une autre explication

Faisons ce qui suit : construisons une ligne droite passant par la base inférieure du trapèze et une ligne droite qui passera par les points A et B :

On obtient les triangles 1 et 2, ils sont égaux le long des côtés et des angles adjacents (le deuxième signe d'égalité des triangles). Cela signifie que le segment résultant (sur le croquis il est indiqué en bleu) est égal à la base supérieure du trapèze.

Considérons maintenant le triangle :

*La ligne médiane de ce trapèze et la ligne médiane du triangle coïncident.

On sait qu'un triangle est égal à la moitié de la base qui lui est parallèle, soit :

D'accord, nous l'avons compris. Parlons maintenant de l'aire du trapèze.

Formule de l'aire trapézoïdale :

On dit : l'aire d'un trapèze est égale au produit de la moitié de la somme de ses bases et de sa hauteur.

Autrement dit, il s'avère qu'il est égal au produit de la ligne médiane et de la hauteur :

Vous avez probablement déjà remarqué que c'est une évidence. Géométriquement, cela peut s'exprimer ainsi : si nous coupons mentalement les triangles 2 et 4 du trapèze et les plaçons respectivement sur les triangles 1 et 3 :

On obtient alors un rectangle d'aire égal à la superficie notre trapèze. L'aire de ce rectangle sera égale au produit de la ligne médiane et de la hauteur, c'est-à-dire qu'on peut écrire :

Mais il ne s’agit pas ici, bien sûr, d’écrire, mais de comprendre.

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C'est tout. Bonne chance à toi!

Cordialement, Alexandre.

Instructions

Pour rendre les deux méthodes plus compréhensibles, nous pouvons donner quelques exemples.

Exemple 1 : la longueur de la ligne médiane du trapèze est de 10 cm, sa superficie est de 100 cm². Pour trouver la hauteur de ce trapèze, il faut faire :

h = 100/10 = 10 cm

Réponse : la hauteur de ce trapèze est de 10 cm

Exemple 2 : l'aire du trapèze est de 100 cm², les longueurs des bases sont de 8 cm et 12 cm. Pour connaître la hauteur de ce trapèze, vous devez effectuer l'action suivante :

h = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 cm

Réponse : la hauteur de ce trapèze est de 20 cm

note

Il existe plusieurs types de trapèzes :
Un trapèze isocèle est un trapèze dont les côtés sont égaux les uns aux autres.
Un trapèze rectangle est un trapèze dont l'un de ses angles intérieurs mesure 90 degrés.
Il convient de noter que dans un trapèze rectangulaire, la hauteur coïncide avec la longueur du côté lorsque angle droit.
Vous pouvez tracer un cercle autour d'un trapèze ou l'insérer dans une figure donnée. On ne peut inscrire un cercle que si la somme de ses bases est égale à la somme de ses côtés opposés. Un cercle ne peut être décrit qu’autour d’un trapèze isocèle.

Conseil utile

Un parallélogramme est un cas particulier de trapèze, car la définition d'un trapèze ne contredit en aucun cas la définition d'un parallélogramme. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles entre eux. Pour un trapèze, la définition fait référence uniquement à une paire de ses côtés. Par conséquent, tout parallélogramme est aussi un trapèze. L’affirmation inverse n’est pas vraie.

Sources:

comment trouver l'aire d'une formule trapézoïdale

Astuce 2 : Comment trouver la hauteur d'un trapèze si l'aire est connue

Un trapèze est un quadrilatère dont deux de ses quatre côtés sont parallèles entre eux. Côtés parallèles sont les bases de ceci, les deux autres sont les côtés de ceci trapèzes. Trouver hauteur trapèzes, si connu carré, ce sera très simple.

Instructions

Vous devez comprendre comment calculer carré original trapèzes. Il existe plusieurs formules pour cela, selon les données initiales : S = ((a+b)*h)/2, où a et b sont des bases trapèzes, et h est sa hauteur (Hauteur trapèzes- perpendiculaire, abaissé d'une base trapèzesà un autre);
S = m*h, où m est la ligne trapèzes(La ligne médiane est un segment avec des bases trapèzes et reliant les milieux de ses côtés).

Pour que ce soit plus clair, des problèmes similaires peuvent être considérés : Exemple 1 : Étant donné un trapèze avec carré 68 cm² dont la ligne médiane est de 8 cm, il faut trouver hauteur donné trapèzes. Afin de résoudre ce problème, vous devez utiliser la formule dérivée précédemment :
h = 68/8 = 8,5 cm Réponse : hauteur de ceci trapèzes est de 8,5 cmExemple 2 : Soit y trapèzes carré est égale à 120 cm², la longueur des bases de ce trapèzes 8 cm et 12 cm respectivement, vous devez trouver hauteur ce trapèzes. Pour ce faire, vous devez appliquer l'une des formules dérivées :
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmRéponse : hauteur donnée trapèzeségal à 12 cm

Vidéo sur le sujet

note

Tout trapèze a un certain nombre de propriétés :

La ligne médiane d'un trapèze est égale à la moitié de la somme de ses bases ;

Le segment qui relie les diagonales d'un trapèze est égal à la moitié de la différence de ses bases ;

Si une ligne droite est tracée passant par les milieux des bases, elle coupera le point d'intersection des diagonales du trapèze ;

Un cercle peut s'inscrire dans un trapèze si la somme des bases du trapèze est égale à la somme de ses côtés.

Utilisez ces propriétés lors de la résolution de problèmes.

Astuce 3 : Comment trouver l'aire d'un trapèze si les bases sont connues

Par définition géométrique Un trapèze est un quadrilatère avec une seule paire de côtés parallèles. Ces côtés sont les siens les raisons. Distance entre les raisons appelé hauteur trapèzes. Trouver carré trapèzes possible en utilisant formules géométriques.

Instructions

Mesurez les bases et trapèzes A B C D. Habituellement, ils sont donnés sous forme de tâches. Laisser entrer dans cet exemple tâches fondation AD (a) trapèzes sera égal à 10 cm, base BC (b) - 6 cm, hauteur trapèzes BK (h) - 8 cm Utilisez géométrique pour trouver la surface. trapèzes, si les longueurs de ses bases et ses hauteurs sont connues - S= 1/2 (a+b)*h, où : - a - la taille de la base AD trapèzes ABCD, - b - la valeur de la base BC, - h - la valeur de la hauteur BK.

Que faut-il savoir sur le trapèze ?

Pour commencer, rappelons que trapèze est appelé un quadrilatère dans lequel deux côtés opposés, également appelés bases, sont parallèles et les deux autres ne le sont pas.

Dans un trapèze, la hauteur (perpendiculaire à la base) peut également être abaissée. La ligne médiane est tracée - il s'agit d'une ligne droite parallèle aux bases et égale à la moitié de leur somme. Ainsi que des diagonales qui peuvent se croiser, formant des angles aigus et obtus. Ou, dans certains cas, à angle droit. De plus, si le trapèze est isocèle, un cercle peut y être inscrit. Et décrivez un cercle autour.

Formules de zone trapézoïdale

Tout d'abord, examinons les formules standard pour trouver l'aire d'un trapèze. Nous examinerons ci-dessous les moyens de calculer l'aire des trapèzes isocèles et curvilignes.

Considérons maintenant la formule pour trouver l'aire d'un trapèze si l'on ne sait rien de celui-ci à l'exception des longueurs de tous ses côtés : a, b, c et d. Il s’agit d’une formule lourde et complexe, mais il vous sera utile de la retenir au cas où : S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Trapèze isocèle

Un trapèze dont les côtés sont égaux est appelé isocèle. Nous examinerons plusieurs options pour la formule de l'aire d'un trapèze isocèle.

Première option : pour le cas où un cercle de rayon r est inscrit à l'intérieur d'un trapèze isocèle, et que le côté et la plus grande base forment un angle aigu α. Un cercle peut s'inscrire dans un trapèze à condition que la somme des longueurs de ses bases soit égale à la somme des longueurs de ses côtés.

Formule pour l'aire d'un trapèze courbe

Il est impossible de calculer l'aire d'une telle figure non standard en utilisant les méthodes ci-dessus. Ici, vous devez appliquer l'analyse mathématique et utiliser l'intégrale. A savoir : la formule de Newton-Leibniz - S = ∫ b une f(x)dx = F(x)│ b une = F(b) – F(a). Dans cette formule, F est la primitive de notre fonction sur le segment sélectionné. Et l'aire d'un trapèze curviligne correspond à l'incrément de la primitive sur un segment donné.

Exemples de problèmes

Tache 1:Étant donné un trapèze. Sa plus grande base mesure 11 cm, la plus petite mesure 4 cm. Le trapèze a des diagonales, l'une de 12 cm de long, la seconde de 9 cm.

Nous considérerons deux figures obtenues à la suite de ces manipulations : le triangle APX et le parallélogramme CMRX.

Grâce au parallélogramme, on apprend que PX = MC = 12 cm et CX = MR = 4 cm. D'où on peut calculer le côté AX du triangle ARX : AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

On peut aussi prouver que le triangle APX est rectangle (pour cela appliquer le théorème de Pythagore - AX 2 = AP 2 + PX 2). Et calculez son aire : S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

Tout cela permettra de dire que S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Ainsi, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Conclusion

Assurez-vous de parler de cet article à vos camarades de classe et amis sur les réseaux sociaux. Qu'il y ait plus de bonnes notes à l'examen d'État unifié et aux examens d'État !

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Le trapèze aux multiples côtés... Il peut être arbitraire, isocèle ou rectangulaire. Et dans chaque cas, il faut savoir comment trouver l'aire d'un trapèze. Bien entendu, le plus simple est de mémoriser les formules de base. Mais parfois, il est plus facile d’en utiliser un dérivé prenant en compte toutes les caractéristiques d’une figure géométrique particulière.

Quelques mots sur le trapèze et ses éléments

Tout quadrilatère dont les deux côtés sont parallèles peut être appelé trapèze. En général, elles ne sont pas égales et sont appelées bases. Le plus grand est celui du bas et l’autre est celui du haut.

Les deux autres côtés s'avèrent latéraux. Dans un trapèze arbitraire, ils ont des longueurs différentes. S'ils sont égaux, alors la figure devient isocèle.

Si soudainement l'angle entre n'importe quel côté et la base s'avère être égal à 90 degrés, alors le trapèze est rectangulaire.

Toutes ces fonctionnalités peuvent aider à résoudre le problème de la recherche de l'aire d'un trapèze.

Parmi les éléments de la figure qui peuvent être indispensables pour résoudre des problèmes, on peut souligner les suivants :

la hauteur, c'est-à-dire un segment perpendiculaire aux deux bases ;
la ligne médiane, qui a à ses extrémités les milieux des côtés latéraux.

Quelle formule peut être utilisée pour calculer l’aire si la base et la hauteur sont connues ?

Cette expression est donnée comme base car le plus souvent on peut reconnaître ces grandeurs même lorsqu'elles ne sont pas données explicitement. Ainsi, pour comprendre comment trouver l'aire d'un trapèze, vous devrez additionner les deux bases et les diviser par deux. Multipliez ensuite la valeur obtenue par la valeur de la hauteur.

Si nous désignons les bases par 1 et a 2 et la hauteur par n, alors la formule pour l'aire ressemblera à ceci :

S = ((une 1 + une 2)/2)*n.

La formule qui calcule la superficie si sa hauteur et sa ligne médiane sont données

Si vous regardez attentivement la formule précédente, il est facile de remarquer qu’elle contient clairement la valeur de la ligne médiane. A savoir la somme des bases divisée par deux. Supposons que la ligne médiane soit désignée par la lettre l, alors la formule pour l'aire devient :

S = l * n.

Capacité à trouver une zone en utilisant les diagonales

Cette méthode sera utile si l'angle qu'ils forment est connu. Supposons que les diagonales soient désignées par les lettres d 1 et d 2 et que les angles entre elles soient α et β. Ensuite, la formule pour trouver l'aire d'un trapèze s'écrira comme suit :

S = ((d 1 * d 2)/2) * péché α.

Vous pouvez facilement remplacer α par β dans cette expression. Le résultat ne changera pas.

Comment connaître l'aire si tous les côtés de la figure sont connus ?

Il existe également des situations où les côtés exacts de cette figure sont connus. Cette formule est lourde et difficile à retenir. Mais probablement. Que les côtés aient la désignation : a 1 et a 2, la base a 1 est supérieure à a 2. Alors la formule d’aire prendra la forme suivante :

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (en 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + en 1 2 - en 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2 ).

Méthodes de calcul de l'aire d'un trapèze isocèle

La première tient au fait qu’un cercle peut y être inscrit. Et, connaissant son rayon (il est noté par la lettre r), ainsi que l'angle à la base - γ, vous pouvez utiliser la formule suivante :

S = (4 * r 2) / péché γ.

La dernière formule générale, qui repose sur la connaissance de tous les côtés de la figure, sera considérablement simplifiée du fait que les côtés ont la même signification :

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (en 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).

Méthodes de calcul de l'aire d'un trapèze rectangulaire

Il est clair que n'importe lequel des éléments ci-dessus conviendra à n'importe quel chiffre. Mais parfois, il est utile de connaître une caractéristique d’un tel trapèze. Cela réside dans le fait que la différence entre les carrés des longueurs des diagonales est égale à la différence constituée des carrés des bases.

Souvent, les formules d'un trapèze sont oubliées, tandis que les expressions des aires d'un rectangle et d'un triangle sont mémorisées. Ensuite, vous pouvez utiliser une méthode simple. Divisez le trapèze en deux formes, s'il est rectangulaire, ou en trois. L'un sera certainement un rectangle et le second, ou les deux autres, seront des triangles. Après avoir calculé les aires de ces figures, il ne reste plus qu'à les additionner.

C'est un moyen assez simple de trouver l'aire d'un trapèze rectangulaire.

Et si les coordonnées des sommets du trapèze étaient connues ?

Dans ce cas, vous devrez utiliser une expression qui permettra de déterminer la distance entre les points. Il peut être appliqué trois fois : afin de connaître les deux bases et une hauteur. Et puis il suffit d'appliquer la première formule, décrite un peu plus haut.

Pour illustrer cette méthode, l’exemple suivant peut être donné. Étant donné les sommets de coordonnées A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Vous devez connaître l'aire de la figure.

Avant de trouver l'aire du trapèze, vous devez calculer les longueurs des bases à partir des coordonnées. Vous aurez besoin de la formule suivante :

longueur du segment = √((différence des premières coordonnées des points) 2 + (différence des secondes coordonnées des points) 2 ).

La base supérieure est désignée AB, ce qui signifie que sa longueur sera égale à √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3. La base inférieure est CD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.

Vous devez maintenant tracer la hauteur du haut vers la base. Soit son début au point A. La fin du segment sera sur la base inférieure au point de coordonnées (5; 1), soit le point H. La longueur du segment AN sera égale à √((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Il ne reste plus qu'à substituer les valeurs résultantes dans la formule de l'aire d'un trapèze :

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Le problème a été résolu sans unités de mesure, car l'échelle de la grille de coordonnées n'était pas spécifiée. Cela peut être un millimètre ou un mètre.

Exemples de problèmes

N ° 1. État. L'angle entre les diagonales d'un trapèze arbitraire est connu, il est égal à 30 degrés. La plus petite diagonale a une valeur de 3 dm et la seconde est 2 fois plus grande. Il est nécessaire de calculer l'aire du trapèze.

Solution. Vous devez d’abord connaître la longueur de la deuxième diagonale, car sans cela, il ne sera pas possible de calculer la réponse. Ce n'est pas difficile à calculer, 3 * 2 = 6 (dm).

Vous devez maintenant utiliser la formule appropriée pour la surface :

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Le problème est résolu.

Répondre: L'aire du trapèze est de 4,5 dm2.

N ° 2. État. Dans le trapèze ABCD, les bases sont les segments AD et BC. Le point E est le milieu du côté SD. De là, une perpendiculaire est tracée à la droite AB, l'extrémité de ce segment est désignée par la lettre H. On sait que les longueurs AB et EH sont respectivement égales à 5 et 4 cm. Il faut calculer l'aire. du trapèze.

Solution. Vous devez d’abord faire un dessin. Puisque la valeur de la perpendiculaire est inférieure au côté vers lequel elle est dessinée, le trapèze sera légèrement allongé vers le haut. EH sera donc à l’intérieur de la figure.

Pour voir clairement les progrès dans la résolution du problème, vous devrez effectuer une construction supplémentaire. A savoir, tracez une ligne droite qui sera parallèle au côté AB. Les points d'intersection de cette droite avec AD sont P, et avec la continuation de BC sont X. La figure résultante VHRA est un parallélogramme. De plus, sa superficie est égale à celle requise. Cela est dû au fait que les triangles obtenus lors de la construction supplémentaire sont égaux. Cela résulte de l'égalité du côté et de deux angles qui lui sont adjacents, l'un vertical, l'autre transversal.

Vous pouvez trouver l'aire d'un parallélogramme à l'aide d'une formule qui contient le produit du côté et de la hauteur abaissée sur celui-ci.

Ainsi, l'aire du trapèze est de 5 * 4 = 20 cm 2.

Répondre: S = 20 cm2.

N ° 3. État. Les éléments d'un trapèze isocèle ont les valeurs suivantes : base inférieure - 14 cm, supérieure - 4 cm, angle aigu - 45º. Vous devez calculer sa superficie.

Solution. Soit la plus petite base désignée BC. La hauteur tirée du point B sera appelée VH. Puisque l’angle est de 45º, le triangle ABH sera rectangulaire et isocèle. Donc AN=VN. De plus, AN est très facile à trouver. Elle est égale à la moitié de la différence des bases. Soit (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Les bases sont connues, les hauteurs sont calculées. Vous pouvez utiliser la première formule, évoquée ici, pour un trapèze arbitraire.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).

Répondre: La surface requise est de 45 cm 2.

N° 4. État. Il existe un trapèze arbitraire ABCD. Les points O et E sont pris sur ses côtés latéraux, de sorte que OE soit parallèle à la base de AD. La superficie du trapèze AOED est cinq fois plus grande que celle de l'OVSE. Calculez la valeur OE si les longueurs des bases sont connues.

Solution. Vous devrez tracer deux droites parallèles AB : la première passant par le point C, son intersection avec OE est le point T ; la seconde passant par E et le point d'intersection avec AD sera M.

Soit l'inconnu OE=x. La hauteur du plus petit trapèze OVSE est n 1, le plus grand AOED est n 2.

Puisque les aires de ces deux trapèzes sont liées entre 1 et 5, on peut écrire l’égalité suivante :

(x + une 2) * n 1 = 1/5 (x + une 1) * n 2

n 1 / n 2 = (x + une 1) / (5 (x + une 2)).

Les hauteurs et les côtés des triangles sont proportionnels par construction. Par conséquent, nous pouvons écrire une égalité supplémentaire :

n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a 1 - x).

Dans les deux dernières entrées du côté gauche, il y a des valeurs égales, ce qui signifie que nous pouvons écrire que (x + a 1) / (5(x + a 2)) est égal à (x - a 2) / (a 1 fois).

Un certain nombre de transformations sont nécessaires ici. Multipliez d’abord en croix. Des parenthèses apparaîtront pour indiquer la différence des carrés, après avoir appliqué cette formule vous obtiendrez une courte équation.

Dans celui-ci, vous devez ouvrir les parenthèses et déplacer tous les termes avec le « x » inconnu vers côté gauche, puis prenez la racine carrée.

Répondre: x = √ ((une 1 2 + 5 une 2 2) / 6).