Travaux de recherche
Sur le sujet
"Méthodes de solution équations quadratiques »
Complété:
groupe 8 classe "G"
Chef de chantier :
Benkovskaya Maria Mikhaïlovna
Buts et objectifs du projet.
1. Montrez que les mathématiques, comme toute autre science, ont leurs propres mystères non résolus.
2. Insistez sur ce qui différencie les mathématiciens penser hors des sentiers battus. Et parfois, l’ingéniosité et l’intuition d’un bon mathématicien vous étonnent tout simplement !
3. Montrer que la tentative même de résoudre des équations quadratiques a contribué au développement de nouveaux concepts et idées en mathématiques.
4. Apprenez à travailler avec diverses sources d'information.
5. Continuer travaux de recherche en mathématiques
Étapes de recherche
1. Histoire de l'émergence des équations quadratiques.
2. Définition d'une équation quadratique et de ses types.
3. Résoudre des équations quadratiques à l'aide de la formule discriminante.
4. François Viète et son théorème.
5. Propriétés des coefficients pour trouver rapidement les racines d'une équation quadratique.
6. Orientation pratique.
À travers des équations, des théorèmes
J'ai résolu beaucoup de problèmes.
(Chaucer, poète anglais, Moyen Âge.)
scène. L'histoire de l'émergence des équations quadratiques.
La nécessité de résoudre des équations non seulement du premier, mais aussi du deuxième degré, même dans les temps anciens, était due à la nécessité de résoudre des problèmes liés à la recherche de zones de terrain et de terrassements à caractère militaire, ainsi qu'à la développement de l'astronomie et des mathématiques elles-mêmes.
Les Babyloniens étaient capables de résoudre des équations quadratiques vers 2000 avant JC. La règle pour résoudre ces équations, exposée dans les textes babyloniens, coïncide essentiellement avec les règles modernes, mais on ne sait pas comment les Babyloniens en sont venus à trouver la règle. Presque tous les textes cunéiformes trouvés jusqu'à présent ne fournissent que des problèmes avec des solutions présentées sous forme de recettes, sans aucune indication sur la manière dont ils ont été trouvés.
Malgré haut niveau développement de l'algèbre à Babylone, les textes cunéiformes manquent de la notion de nombre négatif et de méthodes générales pour résoudre les équations quadratiques.
L'Arithmétique de Diophante contient une série systématique de problèmes, accompagnés d'explications et résolus en construisant des équations de différents degrés, mais elle ne contient pas de présentation systématique de l'algèbre.
Des problèmes sur les équations quadratiques se retrouvent déjà dans les traités d'astronomie « Aryabhattiam », compilés en 499. Mathématicien et astronome indien Aryabhatta. Un autre scientifique indien, Brahmagupta (VIIe siècle), décrit règle générale résoudre des équations quadratiques réduites à une unifiée forme canonique:
Le traité algébrique d'Al-Khwarizmi donne une classification des équations linéaires et quadratiques. L'auteur répertorie 6 types d'équations. Pour al-Khwarizmi, qui ne connaissait pas les nombres négatifs, les termes de chaque équation sont des additions et non des soustraits. Dans le même temps, les équations qui n'ont pas de solutions positives ne sont évidemment pas prises en compte ; lors de la résolution d'une équation quadratique incomplète, al-Khorezmi, comme tous les scientifiques jusqu'au XVIIe siècle, ne prend pas en compte la solution nulle.
Le traité d'Al-Khwarizmi est le premier livre qui nous soit parvenu, qui expose systématiquement la classification des équations quadratiques et les formules pour leur solution.
Les formules de résolution d'équations quadratiques inspirées d'al-Khwarizmi en Europe ont été présentées pour la première fois dans le Livre de l'Abacus, écrit en 1202 par le mathématicien italien Leonardo Fibonacci. Cet ouvrage volumineux se distingue par son exhaustivité et la clarté de sa présentation. L'auteur a développé de manière indépendante de nouvelles méthodes algébriques pour résoudre des problèmes et a été le premier en Europe à aborder l'introduction de nombres négatifs. Son livre a contribué à la diffusion des connaissances algébriques non seulement en Italie, mais aussi en Allemagne, en France et dans d'autres pays européens. De nombreux problèmes du « Livre du Boulier » ont été transférés dans presque tous les manuels européens des XVIe et XVIIe siècles et en partie du XVIIIe siècle.
Règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduites à une seule équation forme canonique 
pour toutes les combinaisons possibles de signes coefficients b,c n'a été formulée en Europe qu'en 1544 par M. Stiefel.
Dérivation de la formule pour résoudre une équation quadratique dans vue générale Le Viet l'a, mais le Viet n'a reconnu que des racines positives. Les mathématiciens italiens Tartaglia, Cardano, Bombelli ont été parmi les premiers au XVIe siècle à prendre en compte non seulement les racines positives, mais aussi négatives. Ce n'est qu'au XVIIe siècle, grâce aux travaux de Girrard, Descartes, Newton et d'autres scientifiques, que la méthode de résolution des équations quadratiques a été adoptée. look moderne.
Il s'avère:
Des problèmes impliquant des équations quadratiques ont été rencontrés dès 499.
DANS Inde ancienne les concours publics pour résoudre des problèmes difficiles étaient courants - OLYMPIADES .
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Date de création de la page : 2016-04-11
Comment Diophante composait et résolvait les équations quadratiques. D'où l'équation : (10+x)(10 -x) =96 ou : 100 - x2 =96 x2 - 4=0 (1) La solution x = -2 n'existe pas pour Diophante, puisque les mathématiques grecques ne connaissaient que des nombres positifs .
Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt="(!LANG : équations quadratiques en Inde. ax2 + bx = c, a>0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}
Équations quadratiques à al-Khorezmi. 1) « Les carrés sont des racines égales », c'est-à-dire ax2 + c = bx. 2) « Les carrés sont égaux aux nombres », c'est-à-dire ax2 = c. 3) « Les racines sont égales au nombre », c'est-à-dire ax = c. 4) « Les carrés et les nombres sont égaux aux racines », c'est-à-dire ax2 + c = bx. 5) « Les carrés et les racines sont égaux au nombre », c'est-à-dire ax2 + bx = c. 6) « Les racines et les nombres sont égaux aux carrés », c'est-à-dire bx + c = ax2.
Les équations quadratiques en Europe aux XIIIe et XVIIe siècles. x2 +bx = c, pour toutes les combinaisons possibles de signes des coefficients b, c n'a été formulé en Europe qu'en 1544 par M. Stiefel.
À propos du théorème de Vieta. "Si B + D multiplié par A - A 2 est égal à BD, alors A est égal à B et est égal à D." Dans le langage de l'algèbre moderne, la formulation Vieta ci-dessus signifie : si (a + b)x - x2 = ab, c'est-à-dire x2 - (a + b)x + ab = 0, alors x1 = a, x2 = b.
Méthodes de résolution d'équations quadratiques. 1. MÉTHODE : Factorisation du côté gauche de l’équation. Résolvons l'équation x2 + 10 x - 24 = 0. Factorisons le côté gauche : x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12) (x-2). Par conséquent, l'équation peut être réécrite comme suit : (x + 12)(x - 2) = 0 Puisque le produit est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul. Par conséquent, le côté gauche de l’équation devient nul à x = 2, ainsi qu’à x = - 12. Cela signifie que les nombres 2 et - 12 sont les racines de l’équation x2 + 10 x - 24 = 0.
2. MÉTHODE : Méthode d’extraction par carrés complets. Résolvons l'équation x2 + 6 x - 7 = 0. Sélectionnez sur le côté gauche carré parfait. Pour ce faire, on écrit l'expression x2 + 6 x sous la forme suivante : x2 + 6 x = x2 + 2 x 3. Dans l'expression résultante, le premier terme est le carré du nombre x, et le second est le double produit de x par 3. Par conséquent, pour obtenir un carré complet, vous devez ajouter 32, puisque x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2. Maintenant, nous transformons le côté gauche de l'équation x2 + 6 x - 7 = 0, en y ajoutant et en soustrayant 32. Nous avons : x2 + 6 x - 7 = x2 + 2 x 3 + 32 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3)2 - 16. Ainsi, équation donnée peut s'écrire comme suit : (x + 3)2 - 16 =0, (x + 3)2 = 16. Par conséquent, x + 3 - 4 = 0, x1 = 1, ou x + 3 = -4, x2 = -7 .
3. MÉTHODE : Résolution d'équations quadratiques à l'aide de la formule. Multiplions les deux côtés de l'équation ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 par 4 a et séquentiellement nous avons : 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0, ((2 ax)2 + 2 ax b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 ax + b)2 = b 2 - 4 ac, 2 ax + b = ± √ b 2 - 4 ac, 2 ax = - b ± √ b 2 - 4 ca,
4. MÉTHODE : Résolution d'équations à l'aide du théorème de Vieta. Comme on le sait, l'équation quadratique réduite a la forme x2 + px + c = 0. (1) Ses racines satisfont au théorème de Vieta, qui pour a = 1 a la forme x 1 x 2 = q, x 1 + x 2 = - p une) x 2 – 3 x + 2 = 0 ; x 1 = 2 et x 2 = 1, puisque q = 2 > 0 et p = - 3 0 et p = 8 > 0. b) x 2 + 4 x – 5 = 0 ; x 1 = - 5 et x 2 = 1, puisque q= - 5 0 ; x 2 – 8 x – 9 = 0 ; x 1 = 9 et x 2 = - 1, puisque q = - 9
5. MÉTHODE : Résolution d'équations par la méthode du « lancer ». Considérons l'équation quadratique ax2 + bx + c = 0, où a ≠ 0. En multipliant les deux côtés par a, nous obtenons l'équation a 2 x2 + abx + ac = 0. Soit ax = y, d'où x = y/a ; on arrive alors à l'équation y2 + by + ac = 0, qui est équivalente à celle donnée. On trouve ses racines y1 et y2 en utilisant le théorème de Vieta. On obtient finalement x1 = y1/a et x1 = y2/a.
Exemple. Résolvons l'équation 2 x2 – 11 x + 15 = 0. Solution. "Jetons" le coefficient 2 au terme libre, nous obtenons ainsi l'équation y2 – 11 y + 30 = 0. D'après le théorème de Vieta, y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2 Réponse : 2, 5; 3. x 1 = 2. 5 x 2 = 3.
6. MÉTHODE : Propriétés des coefficients d'une équation quadratique. A. Soit l'équation quadratique ax2 + bx + c = 0, où a ≠ 0. 1) Si a + b + c = 0 (c'est-à-dire que la somme des coefficients est nulle), alors x1 = 1, x2 = c/A. Preuve. En divisant les deux côtés de l'équation par a ≠ 0, nous obtenons l'équation quadratique réduite x 2 + b/a x + c/a = 0. D'après le théorème de Vieta, x 1 + x 2 = - b/a, x 1 x 2 = 1 c/c. Par condition, a – b + c = 0, d'où b = a + c. Ainsi, x 1 + x 2 = - a + b/a= -1 – c/a, x 1 x 2 = - 1 (- c/a), c'est-à-dire x1 = -1 et x2 = c/ a, ce qui est ce qui devait être prouvé.
B. Si le deuxième coefficient b = 2 k – nombre pair, puis la formule des racines de B. L'équation ci-dessus x2 + px + q = 0 coïncide avec une équation générale dans laquelle a = 1, b = p et c = q. Par conséquent, pour l’équation quadratique réduite, la formule racine est
7. MÉTHODE : Solution graphique d'une équation quadratique. Si dans l'équation x2 + px + q = 0 nous déplaçons les deuxième et troisième termes vers la droite, nous obtenons x2 = - px - q. Construisons des graphiques de la dépendance y = x2 et y = - px - q.
Exemple 1) Résolvons graphiquement l'équation x2 - 3 x - 4 = 0 (Fig. 2). Solution. Écrivons l'équation sous la forme x2 = 3 x + 4. Construisons une parabole y = x2 et une droite y = 3 x + 4. La droite y = 3 x + 4 peut être construite à l'aide de deux points M (0; 4) et N (3 ; 13) . Réponse : x1 = - 1 ; x2 = 4
8. MÉTHODE : Résolution d'équations quadratiques à l'aide d'un compas et d'une règle. trouver les racines d’un compas carré et d’une règle (Fig. 5). équations Alors, par le théorème sécant, on a OB OD = OA OC, d'où OC = OB OD/ OA = x1 x2/ 1 = c/a. ax2 + bx + c = 0 en utilisant
Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="1) Le rayon du cercle est supérieur à l'ordonnée du centre (AS > SK, ou R > un +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.!}
9. MÉTHODE : Résolution d'équations quadratiques à l'aide d'un nomogramme. z 2 + pz + q = 0. L'échelle curviligne du nomogramme est construite selon les formules (Fig. 11) : En supposant OS = p, ED = q, OE = a (le tout en cm), De la similarité des triangles SAN et CDF on obtient la proportion
Exemples. 1) Pour l'équation z 2 - 9 z + 8 = 0, le nomogramme donne les racines z 1 = 8, 0 et z 2 = 1, 0 (Fig. 12). 2) A l'aide d'un nomogramme, on résout l'équation 2 z 2 - 9 z + 2 = 0. Divisons les coefficients de cette équation par 2, on obtient l'équation z 2 - 4, 5 z + 1 = 0. Le nomogramme donne le racines z 1 = 4 et z 2 = 0, 5. 3) Pour l'équation z 2 - 25 z + 66 = 0, les coefficients p et q sont hors échelle, on effectue la substitution z = 5 t, on obtient le équation t 2 - 5 t + 2, 64 = 0, que nous résolvons à l'aide de nomogrammes et obtenons t 1 = 0,6 et t 2 = 4, 4, à partir desquels z 1 = 5 t 1 = 3, 0 et z 2 = 5 t 2 = 22,0.
10. MÉTHODE : Méthode géométrique pour résoudre des équations quadratiques. Exemples. 1) Résolvons l'équation x2 + 10 x = 39. Dans l'original, ce problème est formulé comme suit : « Le carré et les dix racines sont égaux à 39 » (Fig. 15). Pour le côté requis x du carré d'origine, nous obtenons
y2 + 6 y - 16 = 0. La solution est présentée sur la Fig. 16, où y2 + 6 y = 16, ou y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. Solution. Les expressions y2 + 6 y + 9 et 16 + 9 représentent géométriquement le même carré, et l'équation originale y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 est la même équation. De là, nous obtenons que y + 3 = ± 5, ou y1 = 2, y2 = - 8 (Fig. 16).
Kovalchuk Kirill
Le projet « Les équations quadratiques à travers les siècles et les pays » présente aux étudiants les mathématiciens dont les découvertes sont à la base du progrès scientifique et technologique, développe l'intérêt pour les mathématiques en tant que matière basée sur la familiarité avec le matériel historique, élargit les horizons des étudiants et les stimule activité cognitive et la créativité.
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Travail de projet d'un élève de 8e année de l'école secondaire municipale n° 17 du village de Borisovka Kirill Kovalchuk Superviseur G.V. Mulyukova
Les équations quadratiques à travers les siècles et les pays
Objectif du projet : Présenter aux étudiants les scientifiques en mathématiques, dont les découvertes sont à la base du progrès scientifique et technologique. Montrer l'importance des travaux des scientifiques pour le développement de la géométrie et de la physique.???????????? Démontrer clairement l’application découvertes scientifiques dans la vie. Développer un intérêt pour les mathématiques en tant que matière basée sur la familiarité avec le matériel historique. Élargir les horizons des étudiants, stimuler leur activité cognitive et leur créativité
La nécessité de résoudre des équations non seulement du premier degré, mais aussi du second, dans l'Antiquité, était due à la nécessité de résoudre des problèmes liés à la recherche des superficies des parcelles terrestres, avec le développement de l'astronomie et des mathématiques elles-mêmes. Les équations quadratiques ont pu être résolues vers 2000 avant JC. e. Babyloniens. Les règles pour résoudre ces équations énoncées dans les textes babyloniens sont essentiellement les mêmes que celles modernes, mais ces textes manquent du concept de nombre négatif et de méthodes générales pour résoudre les équations quadratiques.
. (vers 365 - 300 avant JC) - mathématicien grec ancien, auteur des premiers traités théoriques sur les mathématiques qui nous sont parvenus. Euclide, ou Euclide
Les débuts d'Euclide Là où le Nil se confond avec la mer, dans l'ancienne terre chaude des pyramides vivait le mathématicien grec - le bien informé et sage Euclide. Il a étudié la géométrie, il a enseigné la géométrie. Il a écrit une grande œuvre. Le nom de ce livre est « Les débuts ».
Euclide 3ème siècle avant JC Euclide a résolu des équations quadratiques en utilisant une méthode géométrique. Voici l'un des problèmes du traité grec ancien : « Il y a une ville avec une frontière en forme de carré avec un côté de taille inconnue, au centre de chaque côté il y a une porte. Il y a un pilier à une distance de 20bu (1bu=1,6m) de la porte nord. Si tu pars de porte sud 14b tout droit, puis tourner vers l'ouest et continuer encore 1775b, vous apercevez un pilier. La question est : de quel côté de la frontière de la ville ? »
Pour déterminer le côté inconnu du carré, on obtient l'équation quadratique x ² +(k+l)x-2kd =0. DANS dans ce cas l'équation a la forme x ² +34x-71000=0, d'où x=250bu l x d k
Les équations quadratiques en Inde Des problèmes sur les équations quadratiques se retrouvent également dans le traité d'astronomie « Aryabhattiam », compilé en 499 par le mathématicien et astronome indien Aryabhatta. Un autre scientifique indien, Brahmagupta, a établi une règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique : ax ² +bx=c , a>0 Les concours publics pour résoudre des problèmes difficiles étaient courants dans l'Inde ancienne. L'un des vieux livres indiens dit ce qui suit à propos de telles compétitions : « De même que le soleil éclipse les étoiles avec son éclat, ainsi homme instruitéclipser la gloire d’autrui dans les assemblées populaires en proposant et en résolvant des problèmes algébriques.
L'un des problèmes du célèbre mathématicien indien du XIIe siècle Bhaskara. Un troupeau de singes fringants, ayant mangé à volonté, s'est amusé. Huitième partie d'entre eux sur la place je m'amusais dans la clairière. Et douze sur les vignes... Ils se mirent à sauter en se suspendant... Combien y avait-il de singes, dis-moi, dans ce troupeau ?
Solution. () 2 +12 = x, x 2 - 64x +768 = 0, a = 1, b = -64, c = 768, alors D = (-64) 2 -4 1 768 = 1024 > 0. X 1, 2 = , x 1 = 48, x 2 = 16. Réponse : Il y avait 16 ou 48 singes. Résolvons le problème.
La formule des racines d’une équation quadratique a été « redécouverte » à plusieurs reprises. L'une des premières dérivations de cette formule qui a survécu jusqu'à nos jours appartient au mathématicien indien Brahmagupta. Le scientifique d'Asie centrale al-Khwarizmi, dans son traité « Kitab al-jerb wal-mukabala », a obtenu cette formule en isolant un carré complet.
Comment al-Khorezmi a-t-il résolu cette équation ? Il a écrit : « La règle est la suivante : doublez le nombre de racines, x = 2x · 5 dans ce problème vous obtenez cinq, multipliez 5 par ce qui lui est égal, cela devient vingt-cinq, 5 · 5 = 25 ajoutez cela à trente -neuf, 25 + 39 devient soixante-quatre , 64 en prends la racine, ce sera huit, 8 et soustrait de cette moitié le nombre de racines, c'est-à-dire cinq, 8-5 restera trois - ceci et 3 seront le racine du carré que vous recherchiez." Et la deuxième racine ? La deuxième racine n’a pas été trouvée puisque les nombres négatifs n’étaient pas connus. x2 +10x = 39
Équations quadratiques en Europe 13-17 siècles. Les formules permettant de résoudre des équations quadratiques inspirées d'al-Khwarizmi en Europe ont été présentées pour la première fois dans le « Livre du Boulier », écrit en 1202 par le mathématicien italien Leonardo Fibonacci. Cet ouvrage volumineux, qui reflète l'influence des mathématiques des pays islamiques et Grèce antique, se distingue à la fois par l'exhaustivité et la clarté de sa présentation. L'auteur a développé indépendamment de nouveaux solutions algébriques problèmes et a été le premier en Europe à aborder l’introduction de nombres négatifs. Son livre a contribué à la diffusion des connaissances algébriques non seulement en Italie, mais aussi en Allemagne, en France et dans d'autres pays européens. De nombreux problèmes du Livre de l'Abacus ont été utilisés dans presque tous les manuels européens des XVIe et XVIIe siècles. et partiellement 18.
François Viète - le plus grand mathématicien du 16ème siècle
Avant F. Vieta, la résolution d'une équation quadratique s'effectuait selon ses propres règles sous la forme d'arguments et de descriptions verbaux très longs, des actions plutôt lourdes. Ils ne pouvaient même pas écrire l’équation elle-même ; cela nécessitait un travail assez long et complexe. description verbale. Il a inventé le terme « coefficient ». Il a proposé que les quantités requises soient désignées par des voyelles et les données par des consonnes. Grâce au symbolisme de Vieta, on peut écrire l'équation quadratique sous la forme : ax 2 + bx + c =0. Théorème : La somme des racines de l'équation quadratique donnée est égale au deuxième coefficient pris de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre. Bien que ce théorème soit appelé « théorème de Vieta », il était connu avant lui et il l’a seulement transformé sous sa forme moderne. Vieta est appelé le « père de l'algèbre »
L’humanité a parcouru un long chemin depuis l’ignorance vers la connaissance, remplaçant continuellement les connaissances incomplètes et imparfaites par des connaissances de plus en plus complètes et parfaites. Dernier mot
Nous vivons dans début XXI siècle, attire l'antiquité. Chez nos ancêtres, nous remarquons avant tout ce qui leur manque d'un point de vue moderne, et généralement nous ne remarquons pas ce qui nous manque nous-mêmes par rapport à eux.
Ne les oublions pas...
Merci de votre attention !
Représentants de diverses civilisations : Egypte ancienne, Babylone antique, Grèce antique, Inde ancienne, Chine ancienne, Orient médiéval, l'Europe maîtrisait les techniques de résolution d'équations quadratiques.
Pour la première fois, les mathématiciens de l’Égypte ancienne étaient capables de résoudre une équation quadratique. L'un des papyrus mathématiques contient le problème suivant :
"Trouvez les côtés d'un champ en forme de rectangle si son aire est de 12 et ses longueurs sont égales à sa largeur." « La longueur du champ est de 4 », précise le papyrus.
Des millénaires ont passé et les nombres négatifs sont entrés dans l'algèbre. En résolvant l'équation x²= 16, nous obtenons deux nombres : 4, –4.
Bien sûr, dans le problème égyptien on prendrait X = 4, puisque la longueur du corps ne peut être qu'une quantité positive.
Les sources qui nous sont parvenues indiquent que les scientifiques anciens disposaient de techniques générales pour résoudre des problèmes avec des quantités inconnues. La règle de résolution des équations quadratiques exposée dans les textes babyloniens est essentiellement la même que la règle moderne, mais on ne sait pas comment les Babyloniens « sont arrivés jusqu’ici ». Mais dans presque tous les papyrus et textes cunéiformes trouvés, seuls des problèmes avec des solutions sont donnés. Les auteurs n’accompagnaient qu’occasionnellement leurs calculs numériques de commentaires étriqués tels que : « Regardez ! », « Faites ceci ! », « Vous avez trouvé le bon ! »
Le mathématicien grec Diophante a composé et résolu des équations quadratiques. Son Arithmétique ne contient pas une présentation systématique de l'algèbre, mais elle contient une série systématique de problèmes, accompagnés d'explications et résolus en construisant des équations de différents degrés.
Les problèmes de composition d'équations quadratiques se retrouvent déjà dans le traité d'astronomie « Aria-bhatiam », compilé en 499 par le mathématicien et astronome indien Aryabhatta.
Un autre scientifique indien, Brahmagupta (7e siècle), a exposé la règle générale pour résoudre les équations quadratiques de la forme ax² + bx = c.
Dans l'Inde ancienne, les concours publics visant à résoudre des problèmes difficiles étaient courants. L’un des vieux livres indiens sur de telles compétitions dit ce qui suit : « De même que le soleil éclipse les étoiles par son éclat, ainsi un homme érudit éclipsera la gloire d’un autre dans les assemblées publiques, proposant et résolvant des problèmes algébriques. » Les problèmes étaient souvent présentés sous forme poétique.
C’est l’un des problèmes du célèbre mathématicien indien du XIIe siècle. Bhaskars :
Un troupeau de singes fringants
Après avoir mangé à ma guise, je me suis bien amusé.
La huitième partie jouait dans la clairière de la place.
Et douze sur les vignes... se mirent à sauter, à se suspendre...
Combien y avait-il de singes ?
Dis-moi, dans ce pack ?
La solution de Bhaskara montre qu'il savait que les racines des équations quadratiques sont à deux valeurs.
Les textes mathématiques chinois les plus anciens qui nous soient parvenus remontent à la fin du Ier siècle. Colombie-Britannique Au IIe siècle. Colombie-Britannique Mathématiques en neuf livres a été écrit. Plus tard, au VIIe siècle, il fut inclus dans la collection des « Dix traités classiques », qui fut étudiée pendant plusieurs siècles. Le traité « Mathématiques en neuf livres » explique comment extraire racine carrée en utilisant la formule du carré de la somme de deux nombres.
La méthode s'appelait « tian-yuan » (littéralement « élément céleste ») - c'est ainsi que les Chinois désignaient une quantité inconnue.
Le premier manuel de résolution de problèmes largement connu est l'œuvre du scientifique de Bagdad du IXe siècle. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Le mot «al-jabr» est devenu au fil du temps le mot bien connu «algèbre», et le travail d'al-Khorezmi lui-même est devenu le point de départ du développement de la science de la résolution des équations. Le traité algébrique d'Al-Khwarizmi donne une classification des équations linéaires et quadratiques. L'auteur dénombre six types d'équations, les exprimant ainsi :
-carrés égaux à des racines, c'est-à-dire ah ² = bх;
-carrés en nombre égal, c'est-à-dire ah ² = s;
-les racines sont égales au nombre, c'est-à-dire ax = c;
-les carrés et les nombres sont égaux aux racines, c'est-à-dire ah ²+ с = bх;
-les carrés et les racines sont égaux au nombre, c'est-à-dire ah ² + bх = с;
-les racines et les nombres sont égaux aux carrés, c'est-à-dire bx + c = hache ²;
Le traité d'Al-Khwarizmi est le premier livre qui nous soit parvenu, qui expose systématiquement la classification des équations quadratiques et donne des formules pour leur solution.
Les formules de résolution d'équations quadratiques inspirées d'al-Khwarizmi en Europe ont été présentées pour la première fois dans le Livre de l'Abacus, écrit en 1202 par le mathématicien italien Leonardo Fibonacci. L'auteur a développé indépendamment de nouveaux exemples algébriques résoudre des problèmes et a été le premier en Europe à introduire des nombres négatifs. Son livre a contribué à la diffusion des connaissances algébriques non seulement en Italie, mais aussi en Allemagne, en France et dans d'autres pays européens. De nombreux problèmes du « Livre du Boulier » ont été inclus dans presque tous les manuels européens des XVIe et XVIIe siècles. et en partie du XVIIIe siècle.
Règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique x ² + bх = с, pour toutes les combinaisons possibles de signes des coefficients b et с n'a été formulé en Europe qu'en 1544 par M. Stiefel.
Vieta a une dérivation générale de la formule pour résoudre une équation quadratique, mais il n'a également reconnu que les racines positives. Les mathématiciens italiens Tartaglia, Cardano, Bombelli furent parmi les premiers au XVIe siècle. En plus des racines positives et négatives, elles sont prises en compte. Ce n'est qu'au XVIIe siècle, grâce aux travaux de Girard, Descartes, Newton et d'autres scientifiques, que la méthode de résolution des équations quadratiques a pris sa forme moderne.
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