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Comment découvrir la différence entre les racines d'une équation quadratique. Résoudre des équations quadratiques

Poursuivant le sujet « Résolution d'équations », le contenu de cet article vous présentera les équations quadratiques.

Regardons tout en détail : l'essence et la notation d'une équation quadratique, définissons les termes qui l'accompagnent, analysons le schéma de résolution d'équations incomplètes et complètes, familiarisons-nous avec la formule des racines et du discriminant, établissons des liens entre les racines et les coefficients, et bien sûr, nous donnerons une solution visuelle à des exemples pratiques.

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Équation quadratique, ses types

Définition 1

Équation quadratique est une équation écrite sous la forme une x 2 + b x + c = 0, Où x– variable, a , b et c– quelques chiffres, tandis que un n'est pas nul.

Souvent, les équations quadratiques sont également appelées équations du deuxième degré, car, par essence, une équation quadratique est équation algébrique deuxième degré.

Donnons un exemple pour illustrer la définition donnée : 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, etc. Ce sont des équations quadratiques.

Définition 2

Les nombres a, b et c sont les coefficients de l'équation quadratique une x 2 + b x + c = 0, tandis que le coefficient un est appelé le premier, ou senior, ou coefficient à x 2, b - le deuxième coefficient, ou coefficient à x, UN c appelé membre gratuit.

Par exemple, dans l'équation quadratique 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 le coefficient principal est 6, le deuxième coefficient est − 2 , et le terme libre est égal à − 11 . Faisons attention au fait que lorsque les coefficients b et/ou c sont négatifs, alors utilisez forme abrégée des enregistrements comme 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, pas 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Précisons également cet aspect : si les coefficients un et/ou bégal 1 ou − 1 , alors ils peuvent ne pas participer explicitement à l'écriture de l'équation quadratique, ce qui s'explique par les particularités de l'écriture des coefficients numériques indiqués. Par exemple, dans l'équation quadratique oui 2 − oui + 7 = 0 le coefficient principal est 1 et le deuxième coefficient est − 1 .

Équations quadratiques réduites et non réduites

Sur la base de la valeur du premier coefficient, les équations quadratiques sont divisées en réduites et non réduites.

Définition 3

Équation quadratique réduite est une équation quadratique dont le coefficient dominant est 1. Pour les autres valeurs du coefficient dominant, l'équation quadratique n'est pas réduite.

Donnons des exemples : les équations quadratiques x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 sont réduites, dans chacune desquelles le coefficient dominant est 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- équation quadratique non réduite, où le premier coefficient est différent de 1 .

Toute équation quadratique non réduite peut être convertie en une équation réduite en divisant les deux côtés par le premier coefficient (transformation équivalente). L’équation transformée aura les mêmes racines que l’équation non réduite donnée ou n’aura aucune racine du tout.

Considération exemple concret nous permettra de démontrer clairement le passage d'une équation quadratique non réduite à une équation quadratique réduite.

Exemple 1

Étant donné l'équation 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Il est nécessaire de convertir l’équation originale sous sa forme réduite.

Solution

Selon le schéma ci-dessus, nous divisons les deux côtés de l'équation originale par le coefficient dominant 6. On obtient alors : (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0 : 3, et c'est la même chose que : (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7 : 3 = 0 et plus loin : (6 : 6) x 2 + (18 : 6) x − 7 : 6 = 0. D'ici : x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Ainsi, une équation équivalente à celle donnée est obtenue.

Répondre: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Équations quadratiques complètes et incomplètes

Passons à la définition d'une équation quadratique. Nous y avons précisé que une ≠ 0. Une condition similaire est nécessaire pour l'équation une x 2 + b x + c = 0était précisément carré, puisqu'à une = 0 cela se transforme essentiellement en une équation linéaire bx + c = 0.

Dans le cas où les coefficients b Et c sont égaux à zéro (ce qui est possible, à la fois individuellement et conjointement), l'équation quadratique est dite incomplète.

Définition 4

Équation quadratique incomplète- une telle équation quadratique une x 2 + b x + c = 0, où au moins un des coefficients b Et c(ou les deux) est nul.

Équation quadratique complète– une équation quadratique dans laquelle tous les coefficients numériques ne sont pas égaux à zéro.

Voyons pourquoi les types d'équations quadratiques reçoivent exactement ces noms.

Lorsque b = 0, l'équation quadratique prend la forme une x 2 + 0 x + c = 0, ce qui équivaut à une x 2 + c = 0. À c = 0équation quadratique écrite comme une x 2 + b x + 0 = 0, ce qui est équivalent une x 2 + b x = 0. À b = 0 Et c = 0 l'équation prendra la forme une x 2 = 0. Les équations que nous avons obtenues diffèrent de l'équation quadratique complète en ce que leurs côtés gauches ne contiennent ni un terme avec la variable x, ni un terme libre, ni les deux. En fait, c’est ce fait qui a donné le nom à ce type d’équation – incomplète.

Par exemple, x 2 + 3 x + 4 = 0 et − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sont des équations quadratiques complètes ; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0 ; 11 · x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 · x = 0 – équations quadratiques incomplètes.

Résolution d'équations quadratiques incomplètes

La définition donnée ci-dessus permet de distinguer les types d'équations quadratiques incomplètes suivants :

  • une x 2 = 0, cette équation correspond aux coefficients b = 0 et c = 0 ;
  • a · x 2 + c = 0 à b = 0 ;
  • a · x 2 + b · x = 0 à c = 0.

Considérons séquentiellement la solution de chaque type d'équation quadratique incomplète.

Solution de l'équation a x 2 =0

Comme mentionné ci-dessus, cette équation correspond aux coefficients b Et c, égal à zéro. Équation une x 2 = 0 peut être converti en une équation équivalente x2 = 0, que nous obtenons en divisant les deux côtés de l'équation originale par le nombre un, différent de zéro. Le fait évident est que la racine de l’équation x2 = 0 c'est zéro parce que 0 2 = 0 . Cette équation n'a pas d'autres racines, ce qui s'explique par les propriétés du degré : pour tout nombre p, n'est pas égal à zéro, l'inégalité est vraie p2 > 0, d'où il résulte que lorsque p ≠ 0égalité p2 = 0 ne sera jamais atteint.

Définition 5

Ainsi, pour l'équation quadratique incomplète a x 2 = 0, il existe une racine unique x = 0.

Exemple 2

Par exemple, résolvons une équation quadratique incomplète − 3 x 2 = 0. C'est équivalent à l'équation x2 = 0, sa seule racine est x = 0, alors l'équation d'origine a une seule racine - zéro.

En bref, la solution s'écrit comme suit :

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Résoudre l'équation a x 2 + c = 0

Vient ensuite la solution d'équations quadratiques incomplètes, où b = 0, c ≠ 0, c'est-à-dire des équations de la forme une x 2 + c = 0. Transformons cette équation en déplaçant un terme d'un côté à l'autre de l'équation, en changeant le signe pour le signe opposé et en divisant les deux côtés de l'équation par un nombre qui n'est pas égal à zéro :

  • transfert c du membre de droite, ce qui donne l'équation une x 2 = − c;
  • diviser les deux côtés de l'équation par un, on se retrouve avec x = - c a .

Nos transformations sont équivalentes ; par conséquent, l'équation résultante est également équivalente à l'originale, et ce fait permet de tirer des conclusions sur les racines de l'équation. D'où sont les valeurs un Et c la valeur de l'expression - c a dépend : elle peut avoir un signe moins (par exemple, si une = 1 Et c = 2, alors - c a = - 2 1 = - 2) ou un signe plus (par exemple, si une = − 2 Et c = 6, alors - c a = - 6 - 2 = 3); ce n'est pas nul parce que c ≠ 0. Arrêtons-nous plus en détail sur les situations où - c a< 0 и - c a > 0 .

Dans le cas où - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p l'égalité p 2 = - c a ne peut pas être vraie.

Tout est différent lorsque - c a > 0 : rappelez-vous la racine carrée, et il deviendra évident que la racine de l'équation x 2 = - c a sera le nombre - c a, puisque - c a 2 = - c a. Il n'est pas difficile de comprendre que le nombre - - c a est aussi la racine de l'équation x 2 = - c a : en effet, - - c a 2 = - c a.

L'équation n'aura pas d'autres racines. Nous pouvons le démontrer en utilisant la méthode de la contradiction. Pour commencer, définissons les notations pour les racines trouvées ci-dessus comme x1 Et −x1. Supposons que l'équation x 2 = - c a ait aussi une racine x2, qui est différent des racines x1 Et −x1. Nous savons qu'en substituant dans l'équation x ses racines, nous transformons l’équation en une juste égalité numérique.

Pour x1 Et −x1 on écrit : x 1 2 = - c a , et pour x2- x 2 2 = - c une . Sur la base des propriétés des égalités numériques, nous soustrayons une égalité correcte terme par terme d'une autre, ce qui nous donnera : X 1 2 − X 2 2 = 0. Nous utilisons les propriétés des opérations avec des nombres pour réécrire la dernière égalité sous la forme (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. On sait que le produit de deux nombres est nul si et seulement si au moins un des nombres est nul. De ce qui précède, il résulte que x 1 − x 2 = 0 et/ou x1 + x2 = 0, ce qui est pareil x2 = x1 et/ou X 2 = − X 1. Une contradiction évidente est apparue, car au début il a été convenu que la racine de l'équation x2 différent de x1 Et −x1. Ainsi, nous avons prouvé que l'équation n'a pas de racines autres que x = - c a et x = - - c a.

Résumons tous les arguments ci-dessus.

Définition 6

Équation quadratique incomplète une x 2 + c = 0 est équivalent à l'équation x 2 = - c a, qui :

  • n'aura pas de racines en - c a< 0 ;
  • aura deux racines x = - c a et x = - - c a pour - c a > 0.

Donnons des exemples de résolution des équations une x 2 + c = 0.

Exemple 3

Étant donné une équation quadratique 9x2 + 7 = 0. Il faut trouver une solution.

Solution

Déplaçons le terme libre vers la droite de l'équation, l'équation prendra alors la forme 9 x 2 = − 7.
Divisons les deux côtés de l'équation résultante par 9 , on arrive à x 2 = - 7 9 . Sur le côté droit, nous voyons un nombre avec un signe moins, ce qui signifie : l'équation donnée n'a pas de racine. Alors l'équation quadratique incomplète originale 9x2 + 7 = 0 n'aura pas de racines.

Répondre:équation 9x2 + 7 = 0 n'a pas de racines.

Exemple 4

L'équation doit être résolue −x2 + 36 = 0.

Solution

Déplaçons 36 vers la droite : −x2 = −36.
Divisons les deux parties par − 1 , nous obtenons x2 = 36. Sur le côté droit se trouve un nombre positif, à partir duquel nous pouvons conclure que x = 36 ou x = - 36 .
Extrayons la racine et notons le résultat final : équation quadratique incomplète −x2 + 36 = 0 a deux racines x = 6 ou x = − 6.

Répondre: x = 6 ou x = − 6.

Solution de l'équation a x 2 +b x=0

Analysons le troisième type d'équations quadratiques incomplètes, lorsque c = 0. Trouver une solution à une équation quadratique incomplète une x 2 + b x = 0, nous utiliserons la méthode de factorisation. Factorisons le polynôme qui se trouve du côté gauche de l'équation, en prenant le facteur commun entre parenthèses x. Cette étape permettra de transformer l'équation quadratique incomplète originale en son équivalent x (une x + b) = 0. Et cette équation, à son tour, équivaut à un ensemble d’équations x = 0 Et une x + b = 0. Équation une x + b = 0 linéaire, et sa racine : x = − b une.

Définition 7

Ainsi, l'équation quadratique incomplète une x 2 + b x = 0 aura deux racines x = 0 Et x = − b une.

Renforçons le matériel avec un exemple.

Exemple 5

Il faut trouver une solution à l'équation 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Solution

Nous allons le retirer x en dehors des parenthèses, nous obtenons l'équation x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Cette équation est équivalente aux équations x = 0 et 2 3 x - 2 2 7 = 0. Vous devez maintenant résoudre l'équation linéaire résultante : 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Écrivez brièvement la solution de l’équation comme suit :

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ou 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ou x = 3 3 7

Répondre: x = 0, x = 3 3 7.

Discriminant, formule pour les racines d'une équation quadratique

Pour trouver des solutions aux équations quadratiques, il existe une formule racine :

Définition 8

x = - b ± D 2 · a, où ré = b 2 − 4 une c– ce qu'on appelle le discriminant d'une équation quadratique.

Écrire x = - b ± D 2 · a signifie essentiellement que x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Il serait utile de comprendre comment cette formule a été dérivée et comment l'appliquer.

Dérivation de la formule des racines d'une équation quadratique

Soyons confrontés à la tâche de résoudre une équation quadratique une x 2 + b x + c = 0. Effectuons un certain nombre de transformations équivalentes :

  • diviser les deux côtés de l'équation par un nombre un, différent de zéro, on obtient l'équation quadratique suivante : x 2 + b a · x + c a = 0 ;
  • Sélectionnons un carré complet sur le côté gauche de l'équation résultante :
    x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c un
    Après cela, l'équation prendra la forme : x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0 ;
  • Il est maintenant possible de déplacer les deux derniers termes vers la droite, en changeant le signe en sens inverse, après quoi nous obtenons : x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
  • Enfin, on transforme l'expression écrite à droite de la dernière égalité :
    b 2 · une 2 - c une = b 2 4 · une 2 - c une = b 2 4 · une 2 - 4 · une · c 4 · une 2 = b 2 - 4 · une · c 4 · une 2 .

Ainsi, nous arrivons à l'équation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , équivalente à l'équation originale une x 2 + b x + c = 0.

Nous avons examiné la solution de telles équations dans les paragraphes précédents (résolution d'équations quadratiques incomplètes). L'expérience déjà acquise permet de tirer une conclusion concernant les racines de l'équation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 :

  • avec b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
  • lorsque b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 l'équation est x + b 2 · a 2 = 0, alors x + b 2 · a = 0.

De là, la seule racine x = - b 2 · a est évidente ;

  • pour b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, ce qui suit sera vrai : x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ou x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ce qui est identique à x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ou x = - b 2 · a - b 2 - 4 · une · c 4 · une 2 , c'est-à-dire l'équation a deux racines.

Il est possible de conclure que la présence ou l'absence de racines de l'équation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (et donc l'équation originale) dépend du signe de l'expression b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 écrit sur le côté droit. Et le signe de cette expression est donné par le signe du numérateur (dénominateur 4 et 2 sera toujours positif), c'est-à-dire le signe de l'expression b 2 − 4 une c. Cette expression b 2 − 4 une c le nom est donné - le discriminant de l'équation quadratique et la lettre D est définie comme sa désignation. Ici, vous pouvez écrire l'essence du discriminant - en fonction de sa valeur et de son signe, ils peuvent conclure si l'équation quadratique aura de vraies racines et, si oui, quel est le nombre de racines - une ou deux.

Revenons à l'équation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Réécrivons-le en utilisant la notation discriminante : x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Formulons à nouveau nos conclusions :

Définition 9

  • à D< 0 l'équation n'a pas de véritables racines ;
  • à D=0 l'équation a une racine unique x = - b 2 · a ;
  • à D > 0 l'équation a deux racines : x = - b 2 · a + D 4 · a 2 ou x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Sur la base des propriétés des radicaux, ces racines peuvent s'écrire sous la forme : x = - b 2 · a + D 2 · a ou - b 2 · a - D 2 · a. Et, lorsque nous ouvrons les modules et ramenons les fractions à un dénominateur commun, nous obtenons : x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Ainsi, le résultat de notre raisonnement a été la dérivation de la formule des racines d'une équation quadratique :

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, discriminant D calculé par la formule ré = b 2 − 4 une c.

Ces formules permettent de déterminer les deux racines réelles lorsque le discriminant est supérieur à zéro. Lorsque le discriminant est nul, l’application des deux formules donnera la même racine comme seule solution à l’équation quadratique. Dans le cas où le discriminant est négatif, si l'on essaie d'utiliser la formule de la racine d'une équation quadratique, on sera confronté à la nécessité d'extraire racine carréeà partir d'un nombre négatif, ce qui nous amènera au-delà des nombres réels. Avec un discriminant négatif, l'équation quadratique n'aura pas de racines réelles, mais une paire de racines conjuguées complexes est possible, déterminées par les mêmes formules de racines que celles que nous avons obtenues.

Algorithme de résolution d'équations quadratiques à l'aide de formules racine

Il est possible de résoudre une équation quadratique en utilisant immédiatement la formule de la racine, mais cela se fait généralement lorsqu'il est nécessaire de trouver des racines complexes.

Dans la majorité des cas, cela signifie généralement rechercher non pas des racines complexes, mais réelles d'une équation quadratique. Ensuite, il est optimal, avant d'utiliser les formules pour les racines d'une équation quadratique, de déterminer d'abord le discriminant et de s'assurer qu'il n'est pas négatif (sinon nous conclurons que l'équation n'a pas de racines réelles), puis de procéder au calcul du valeur des racines.

Le raisonnement ci-dessus permet de formuler un algorithme de résolution d'une équation quadratique.

Définition 10

Pour résoudre une équation quadratique une x 2 + b x + c = 0, nécessaire:

  • selon la formule ré = b 2 − 4 une c trouver la valeur discriminante ;
  • en D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
  • pour D = 0, trouvez l'unique racine de l'équation en utilisant la formule x = - b 2 · a ;
  • pour D > 0, déterminez deux racines réelles de l'équation quadratique en utilisant la formule x = - b ± D 2 · a.

Notez que lorsque le discriminant est nul, vous pouvez utiliser la formule x = - b ± D 2 · a, cela donnera le même résultat que la formule x = - b 2 · a.

Regardons des exemples.

Exemples de résolution d'équations quadratiques

Donnons une solution aux exemples pour différentes significations discriminant.

Exemple 6

Nous devons trouver les racines de l'équation x 2 + 2 x − 6 = 0.

Solution

Notons les coefficients numériques de l'équation quadratique : a = 1, b = 2 et c = − 6. Ensuite, nous procédons selon l'algorithme, c'est-à-dire Commençons par calculer le discriminant, auquel on substituera les coefficients a, b Et c dans la formule discriminante : D = b 2 − 4 · une · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Nous obtenons donc D > 0, ce qui signifie que l’équation originale aura deux racines réelles.
Pour les trouver, nous utilisons la formule racine x = - b ± D 2 · a et, en remplaçant les valeurs correspondantes, nous obtenons : x = - 2 ± 28 2 · 1. Simplifions l'expression résultante en retirant le facteur du signe racine puis en réduisant la fraction :

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ou x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ou x = - 1 - 7

Répondre: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

Exemple 7

Besoin de résoudre une équation quadratique − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Solution

Définissons le discriminant : D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Avec cette valeur du discriminant, l'équation originale n'aura qu'une seule racine, déterminée par la formule x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Répondre: x = 3,5.

Exemple 8

L'équation doit être résolue 5 ans 2 + 6 ans + 2 = 0

Solution

Les coefficients numériques de cette équation seront : a = 5, b = 6 et c = 2. Nous utilisons ces valeurs pour trouver le discriminant : D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Le discriminant calculé est négatif, donc l’équation quadratique originale n’a pas de véritables racines.

Dans le cas où la tâche consiste à indiquer des racines complexes, nous appliquons la formule racine en effectuant des actions avec des nombres complexes :

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 je 10 ou x = - 6 - 2 je 10,

x = - 3 5 + 1 5 · je ou x = - 3 5 - 1 5 · je.

Répondre: il n'y a pas de véritables racines ; les racines complexes sont les suivantes : - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

DANS programme scolaire Il n'y a pas d'exigence standard pour rechercher des racines complexes, par conséquent, si lors de la solution le discriminant est déterminé comme négatif, la réponse est immédiatement écrite qu'il n'y a pas de racines réelles.

Formule racine pour même les seconds coefficients

La formule racine x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) permet d'obtenir une autre formule, plus compacte, permettant de trouver des solutions à des équations quadratiques à coefficient pair pour x ( ou avec un coefficient de la forme 2 · n, par exemple 2 3 ou 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Montrons comment cette formule est dérivée.

Soyons confrontés à la tâche de trouver une solution à l'équation quadratique a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . On procède selon l'algorithme : on détermine le discriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), puis on utilise la formule racine :

x = - 2 n ± D 2 une, x = - 2 n ± 4 n 2 - une c 2 une, x = - 2 n ± 2 n 2 - une c 2 une, x = - n ± n 2 - une · c une .

Soit l'expression n 2 − a · c notée D 1 (parfois elle est notée D "). Alors la formule des racines de l'équation quadratique considérée avec le deuxième coefficient 2 · n prendra la forme :

x = - n ± D 1 a, où D 1 = n 2 − a · c.

Il est facile de voir que D = 4 · D 1, ou D 1 = D 4. Autrement dit, D 1 est le quart du discriminant. Évidemment, le signe de D 1 est le même que le signe de D, ce qui signifie que le signe de D 1 peut également servir d'indicateur de la présence ou de l'absence de racines d'une équation quadratique.

Définition 11

Ainsi, pour trouver une solution à une équation quadratique de deuxième coefficient 2 n, il faut :

  • trouver D 1 = n 2 − a · c ;
  • à J 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
  • lorsque D 1 = 0, déterminez la seule racine de l'équation en utilisant la formule x = - n a ;
  • pour D 1 > 0, déterminez deux racines réelles en utilisant la formule x = - n ± D 1 a.

Exemple 9

Il faut résoudre l’équation quadratique 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Solution

Nous pouvons représenter le deuxième coefficient de l'équation donnée par 2 · (− 3) . Ensuite, nous réécrivons l'équation quadratique donnée comme 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, où a = 5, n = − 3 et c = − 32.

Calculons la quatrième partie du discriminant : D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. La valeur résultante est positive, ce qui signifie que l’équation a deux racines réelles. Déterminons-les à l'aide de la formule racine correspondante :

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ou x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ou x = - 2

Il serait possible d'effectuer des calculs en utilisant la formule habituelle des racines d'une équation quadratique, mais dans ce cas la solution serait plus lourde.

Répondre: x = 3 1 5 ou x = - 2 .

Simplifier la forme des équations quadratiques

Parfois, il est possible d'optimiser la forme de l'équation originale, ce qui simplifiera le processus de calcul des racines.

Par exemple, l’équation quadratique 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 est clairement plus pratique à résoudre que 1 200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Le plus souvent, la simplification de la forme d'une équation quadratique est réalisée en multipliant ou en divisant ses deux côtés par un certain nombre. Par exemple, nous avons montré ci-dessus une représentation simplifiée de l’équation 1 200 x 2 − 400 x − 700 = 0, obtenue en divisant les deux côtés par 100.

Une telle transformation est possible lorsque les coefficients de l'équation quadratique ne sont pas mutuellement nombres premiers. Ensuite, nous divisons généralement les deux côtés de l’équation par le plus grand diviseur commun valeurs absolues de ses coefficients.

A titre d'exemple, nous utilisons l'équation quadratique 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Déterminons le PGCD des valeurs absolues de ses coefficients : PGCD (12, 42, 48) = PGCD(PGCD (12, 42), 48) = PGCD (6, 48) = 6. Divisons les deux côtés de l'équation quadratique originale par 6 et obtenons l'équation quadratique équivalente 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

En multipliant les deux côtés d’une équation quadratique, vous vous débarrassez généralement des coefficients fractionnaires. Dans ce cas, ils sont multipliés par le plus petit commun multiple des dénominateurs de ses coefficients. Par exemple, si chaque partie de l'équation quadratique 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 est multipliée par LCM (6, 3, 1) = 6, alors elle s'écrira en plus sous forme simple X 2 + 4 X − 18 = 0 .

Enfin, notons que l'on supprime presque toujours le moins du premier coefficient d'une équation quadratique en changeant les signes de chaque terme de l'équation, ce qui est obtenu en multipliant (ou en divisant) les deux côtés par − 1. Par exemple, à partir de l'équation quadratique − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, vous pouvez passer à sa version simplifiée 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Relation entre racines et coefficients

La formule des racines des équations quadratiques, déjà connue de nous, x = - b ± D 2 · a, exprime les racines de l'équation à travers ses coefficients numériques. Sur la base de cette formule, nous avons la possibilité de préciser d'autres dépendances entre les racines et les coefficients.

Les plus célèbres et les plus applicables sont les formules du théorème de Vieta :

x 1 + x 2 = - b a et x 2 = c a.

En particulier, pour l'équation quadratique donnée, la somme des racines est le deuxième coefficient de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre. Par exemple, en regardant la forme de l’équation quadratique 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, il est possible de déterminer immédiatement que la somme de ses racines est 7 3 et que le produit des racines est 22 3.

Vous pouvez également trouver un certain nombre d’autres liens entre les racines et les coefficients d’une équation quadratique. Par exemple, la somme des carrés des racines d'une équation quadratique peut être exprimée en termes de coefficients :

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

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La résolution d’équations en mathématiques occupe une place particulière. Ce processus est précédé de nombreuses heures d'étude théorique, au cours desquelles l'étudiant apprend à résoudre des équations, à déterminer leur type et à acquérir les compétences nécessaires pour compléter l'automatisation. Cependant, la recherche de racines n’a pas toujours de sens, car il se peut qu’elles n’existent tout simplement pas. Il y a mouvements spéciaux trouver des racines. Dans cet article nous analyserons les principales fonctions, leurs domaines de définition, ainsi que les cas où leurs racines manquent.

Quelle équation n’a pas de racines ?

Une équation n’a pas de racines s’il n’y a pas d’arguments réels x pour lesquels l’équation est identiquement vraie. Pour un non-spécialiste, cette formulation, comme la plupart des théorèmes et formules mathématiques, semble très vague et abstraite, mais c'est en théorie. En pratique, tout devient extrêmement simple. Par exemple : l'équation 0 * x = -53 n'a pas de solution, puisqu'il n'existe pas de nombre x dont le produit avec zéro donnerait autre chose que zéro.

Nous allons maintenant examiner les types d’équations les plus élémentaires.

1. Équation linéaire

Une équation est dite linéaire si ses côtés droit et gauche sont représentés sous forme de fonctions linéaires : ax + b = cx + d ou sous forme généralisée kx + b = 0. Où a, b, c, d sont des nombres connus et x est un quantité inconnue. Quelle équation n’a pas de racines ? Des exemples d'équations linéaires sont présentés dans l'illustration ci-dessous.

Fondamentalement, les équations linéaires sont résolues en transférant simplement la partie numérique dans une partie et le contenu de x dans une autre. Le résultat est une équation de la forme mx = n, où m et n sont des nombres et x est une inconnue. Pour trouver x, divisez simplement les deux côtés par m. Alors x = n/m. La plupart des équations linéaires n'ont qu'une seule racine, mais il existe des cas où il y a soit une infinité de racines, soit aucune racine du tout. Lorsque m = 0 et n = 0, l'équation prend la forme 0 * x = 0. La solution d'une telle équation sera absolument n'importe quel nombre.

Cependant, quelle équation n’a pas de racines ?

Pour m = 0 et n = 0, l’équation n’a pas de racine dans l’ensemble des nombres réels. 0 * x = -1 ; 0 * x = 200 - ces équations n'ont pas de racines.

2. Équation quadratique

Une équation quadratique est une équation de la forme ax 2 + bx + c = 0 pour a = 0. La solution la plus courante passe par le discriminant. La formule pour trouver le discriminant d'une équation quadratique est : D = b 2 - 4 * a * c. Ensuite, il y a deux racines x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

Pour D > 0 l’équation a deux racines, pour D = 0 elle a une racine. Mais quelle équation quadratique n’a pas de racines ? Le moyen le plus simple d’observer le nombre de racines d’une équation quadratique consiste à tracer graphiquement la fonction, qui est une parabole. Pour un > 0 les branches sont dirigées vers le haut, pour un< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Vous pouvez également déterminer visuellement le nombre de racines sans calculer le discriminant. Pour ce faire, vous devez trouver le sommet de la parabole et déterminer dans quelle direction les branches sont dirigées. La coordonnée x du sommet peut être déterminée à l'aide de la formule : x 0 = -b / 2a. Dans ce cas, la coordonnée y du sommet est trouvée en remplaçant simplement la valeur x 0 dans l'équation d'origine.

L'équation quadratique x 2 - 8x + 72 = 0 n'a pas de racines, puisqu'elle a un discriminant négatif D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Cela signifie que la parabole ne touche pas l'axe des x et que la fonction ne prend jamais la valeur 0, donc l'équation n'a pas de véritables racines.

3. Équations trigonométriques

Les fonctions trigonométriques sont considérées sur un cercle trigonométrique, mais peuvent également être représentées dans un système de coordonnées cartésiennes. Dans cet article, nous examinerons deux fonctions trigonométriques de base et leurs équations : sinx et cosx. Puisque ces fonctions forment cercle trigonométrique de rayon 1, |sinx| et |cosx| ne peut pas être supérieur à 1. Alors, quoi équation sinx n'a pas de racines ? Considérez le graphique de la fonction sinx présenté dans l'image ci-dessous.

On voit que la fonction est symétrique et a une période de répétition de 2pi. Sur cette base, nous pouvons dire que la valeur maximale de cette fonction peut être 1 et la valeur minimale -1. Par exemple, l'expression cosx = 5 n'aura pas de racine, puisque sa valeur absolue est supérieure à un.

C'est l'exemple le plus simple d'équations trigonométriques. En fait, les résoudre peut prendre plusieurs pages, à la fin desquelles vous réalisez que vous avez utilisé la mauvaise formule et que vous devez tout recommencer. Parfois, même si vous trouvez correctement les racines, vous pouvez oublier de prendre en compte les restrictions sur l'OD, c'est pourquoi une racine ou un intervalle supplémentaire apparaît dans la réponse, et la réponse entière se transforme en erreur. Par conséquent, suivez strictement toutes les restrictions, car toutes les racines ne rentrent pas dans le cadre de la tâche.

4. Systèmes d'équations

Un système d’équations est un ensemble d’équations reliées par des crochets ou des crochets. Les accolades indiquent que toutes les équations sont exécutées ensemble. Autrement dit, si au moins une des équations n’a pas de racine ou en contredit une autre, le système entier n’a pas de solution. Les crochets indiquent le mot « ou ». Cela signifie que si au moins une des équations du système a une solution, alors tout le système a une solution.

La réponse du système c est l’ensemble de toutes les racines des équations individuelles. Et les systèmes avec accolades n’ont que des racines communes. Les systèmes d'équations peuvent inclure des fonctions complètement différentes, donc une telle complexité ne nous permet pas de dire immédiatement quelle équation n'a pas de racines.

Trouvé dans les livres de problèmes et les manuels scolaires différents typeséquations : celles qui ont des racines et celles qui n’en ont pas. Tout d’abord, si vous ne trouvez pas les racines, ne pensez pas qu’elles ne sont pas du tout là. Peut-être avez-vous commis une erreur quelque part, il vous suffit alors de revérifier soigneusement votre décision.

Nous avons examiné les équations les plus élémentaires et leurs types. Vous pouvez maintenant déterminer quelle équation n’a pas de racine. Dans la plupart des cas, cela n’est pas difficile à réaliser. Réussir à résoudre des équations ne nécessite que de l’attention et de la concentration. Entraînez-vous davantage, cela vous aidera à naviguer dans le matériel beaucoup mieux et plus rapidement.

Ainsi, l’équation n’a pas de racines si :

  • V équation linéaire mx = n valeur m = 0 et n = 0 ;
  • dans une équation quadratique, si le discriminant est inférieur à zéro ;
  • V équation trigonométrique de la forme cosx = m / sinx = n, si |m| > 0, |n| > 0 ;
  • dans un système d'équations avec accolades, si au moins une équation n'a pas de racines, et avec des crochets, si toutes les équations n'ont pas de racines.

Équations quadratiques. Discriminant. Solution, exemples.

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Types d'équations quadratiques

Qu'est-ce qu'une équation quadratique ? A quoi ça ressemble ? En terme équation quadratique le mot clé est "carré". Cela signifie que dans l'équation Nécessairement il doit y avoir un x au carré. En plus de cela, l'équation peut (ou non !) contenir uniquement X (à la première puissance) et juste un nombre. (membre gratuit). Et il ne devrait pas y avoir de X à une puissance supérieure à deux.

En termes mathématiques, une équation quadratique est une équation de la forme :

Ici a, b et c- quelques chiffres. b et c- absolument aucun, mais UN– autre chose que zéro. Par exemple:

Ici UN =1; b = 3; c = -4

Ici UN =2; b = -0,5; c = 2,2

Ici UN =-3; b = 6; c = -18

Eh bien, vous comprenez...

Dans ces équations quadratiques de gauche, il y a ensemble complet membres. X au carré avec un coefficient UN, x à la puissance première avec coefficient b Et membres gratuits s.

De telles équations quadratiques sont appelées complet.

Et si b= 0, qu'obtient-on ? Nous avons X sera perdu à la première puissance. Cela se produit lorsqu'il est multiplié par zéro.) Il s'avère, par exemple :

5x 2 -25 = 0,

2x2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Etc. Et si les deux coefficients b Et c sont égaux à zéro, alors c’est encore plus simple :

2x2 =0,

-0,3x2 =0

De telles équations dans lesquelles quelque chose manque sont appelées équations quadratiques incomplètes. Ce qui est tout à fait logique.) Veuillez noter que x au carré est présent dans toutes les équations.

Au fait, pourquoi UN ne peut pas être égal à zéro ? Et tu remplaces à la place UN zéro.) Notre X au carré disparaîtra ! L'équation deviendra linéaire. Et la solution est complètement différente...

Ce sont tous les principaux types d’équations quadratiques. Complet et incomplet.

Résolution d'équations quadratiques.

Résolution d'équations quadratiques complètes.

Les équations quadratiques sont faciles à résoudre. Selon des formules et claires règles simples. Dans un premier temps, il faut pour équation donnée conduire à vue standard, c'est-à-dire au formulaire :

Si l'équation vous est déjà donnée sous cette forme, vous n'avez pas besoin de faire la première étape.) L'essentiel est de déterminer correctement tous les coefficients, UN, b Et c.

La formule pour trouver les racines d'une équation quadratique ressemble à ceci :

L'expression sous le signe racine s'appelle discriminant. Mais plus sur lui ci-dessous. Comme vous pouvez le voir, pour trouver X, on utilise seulement a, b et c. Ceux. coefficients d’une équation quadratique. Remplacez simplement soigneusement les valeurs a, b et c Nous calculons dans cette formule. Remplaçons avec vos propres signes ! Par exemple, dans l'équation :

UN =1; b = 3; c= -4. Ici, nous l'écrivons :

L'exemple est presque résolu :

C'est la réponse.

C'est très simple. Et quoi, tu penses qu’il est impossible de se tromper ? Eh bien, oui, comment...

Les erreurs les plus courantes sont la confusion avec les valeurs des signes a, b et c. Ou plutôt, pas avec leurs signes (où se tromper ?), mais avec la substitution de valeurs négatives dans la formule de calcul des racines. Ce qui aide ici, c'est un enregistrement détaillé de la formule avec des nombres spécifiques. S'il y a des problèmes avec les calculs, fais ça!

Supposons que nous devions résoudre l'exemple suivant :

Ici un = -6; b = -5; c = -1

Disons que vous savez que vous obtenez rarement des réponses du premier coup.

Eh bien, ne soyez pas paresseux. Il faudra environ 30 secondes pour écrire une ligne supplémentaire et le nombre d'erreurs. diminuera fortement. On écrit donc en détail, avec toutes les parenthèses et signes :

Cela semble incroyablement difficile à rédiger avec autant de soin. Mais il semble que ce soit le cas. Essayez-le. Eh bien, ou choisissez. Quoi de mieux, vite ou bien ?

En plus, je te rendrai heureux. Après un certain temps, il ne sera plus nécessaire de tout écrire avec autant de soin. Cela se passera bien tout seul. Surtout si vous utilisez les techniques pratiques décrites ci-dessous. Cet exemple diabolique avec un tas d'inconvénients peut être résolu facilement et sans erreurs !

Mais souvent, les équations quadratiques semblent légèrement différentes. Par exemple, comme ceci : L'avez-vous reconnu ?) Oui ! Ce.

équations quadratiques incomplètes

Résolution d'équations quadratiques incomplètes. a, b et c.

Ils peuvent également être résolus à l’aide d’une formule générale. Il vous suffit de bien comprendre à quoi ils sont égaux ici. L'avez-vous compris ? Dans le premier exemple une = 1 ; b = -4 ; c UN ? Il n'y est pas du tout ! Eh bien oui, c'est vrai. En mathématiques, cela signifie que c = 0 ! C'est ça. Remplacez plutôt zéro dans la formule c, et nous réussirons. Idem avec le deuxième exemple. Seulement nous n'avons pas zéro ici, UN b !

Avec

Mais les équations quadratiques incomplètes peuvent être résolues beaucoup plus simplement. Sans aucune formule. Considérons la première équation incomplète. Que pouvez-vous faire du côté gauche ? Vous pouvez retirer X des parenthèses ! Sortons-le.
Et alors ? Et le fait que le produit est égal à zéro si et seulement si l’un des facteurs est égal à zéro ! Vous ne me croyez pas ? D'accord, alors trouvez deux nombres non nuls qui, une fois multipliés, donneront zéro !
Ça ne marche pas ? C'est ça... On peut donc écrire en toute confiance :, x1 = 0.

x2 = 4 Tous. Ce seront les racines de notre équation. Les deux conviennent. En remplaçant l'un d'entre eux dans l'équation d'origine, nous obtenons l'identité correcte 0 = 0. Comme vous pouvez le voir, la solution est beaucoup plus simple que d'utiliser la formule générale. Permettez-moi, en passant, de noter quel X sera le premier et lequel sera le second - absolument indifférent. Il est pratique d'écrire dans l'ordre, x1 - ce qui est plus petit et- ce qui est plus grand.

La deuxième équation peut également être résolue simplement. Déplacez 9 vers la droite. On obtient :

Il ne reste plus qu’à extraire la racine de 9, et c’est tout. Il s'avérera :

Aussi deux racines . x1 = -3, x2 = 3.

C’est ainsi que sont résolues toutes les équations quadratiques incomplètes. Soit en plaçant X entre parenthèses, soit en déplaçant simplement le nombre vers la droite puis en extrayant la racine.
Il est extrêmement difficile de confondre ces techniques. Tout simplement parce que dans le premier cas il faudra extraire la racine de X, ce qui est en quelque sorte incompréhensible, et dans le second cas il n'y a rien à sortir des parenthèses...

Discriminant. Formule discriminante.

Mot magique discriminant ! Rarement un lycéen n’a pas entendu ce mot ! L’expression « nous résolvons grâce à un discriminant » inspire confiance et rassure. Car il ne faut pas s’attendre à des ruses de la part du discriminant ! C'est simple et sans problème à utiliser.) Je vous rappelle la formule la plus générale pour résoudre n'importe lequeléquations quadratiques :

L'expression sous le signe racine est appelée discriminant. Généralement, le discriminant est désigné par la lettre D. Formule discriminante :

D = b 2 - 4ac

Et qu’y a-t-il de si remarquable dans cette expression ? Pourquoi méritait-il un nom spécial ? Quoi le sens du discriminant ? Après tout -b, ou 2a dans cette formule, ils ne l'appellent pas spécifiquement... Des lettres et des lettres.

Voici le truc. Lors de la résolution d'une équation quadratique à l'aide de cette formule, il est possible seulement trois cas.

1. Le discriminant est positif. Cela signifie que la racine peut en être extraite. Que la racine soit bien ou mal extraite est une autre question. Ce qui est important, c'est ce qui est extrait en principe. Alors votre équation quadratique a deux racines. Deux solutions différentes.

2. Le discriminant est nul. Vous aurez alors une solution. Puisque ajouter ou soustraire zéro au numérateur ne change rien. À proprement parler, il ne s’agit pas d’une seule racine, mais deux identiques. Mais, dans une version simplifiée, il est d'usage de parler de une solution.

3. Le discriminant est négatif. La racine carrée d’un nombre négatif ne peut pas être prise. Tant pis. Cela signifie qu'il n'y a pas de solutions.

Pour être honnête, lors de la simple résolution d’équations quadratiques, le concept de discriminant n’est pas vraiment nécessaire. Nous substituons les valeurs des coefficients dans la formule et comptons. Tout y arrive tout seul, deux racines, une et aucune. Cependant, lors de la résolution de tâches plus complexes, sans connaissance sens et formule du discriminant je ne peux pas m'en sortir. Surtout dans les équations avec paramètres. De telles équations sont de la voltige pour l'examen d'État et l'examen d'État unifié !)

Donc, comment résoudre des équations quadratiquesà travers le discriminant dont vous vous souvenez. Ou vous avez appris, ce qui n'est pas mal non plus.) Vous savez déterminer correctement a, b et c. Savez-vous comment ? attentivement remplacez-les dans la formule racine et attentivement compter le résultat. As-tu compris que mot-clé Ici - attentivement ?

Prenez maintenant note des techniques pratiques qui réduisent considérablement le nombre d’erreurs. Les mêmes qui sont dus à l'inattention... Pour lesquels cela devient plus tard douloureux et offensant...

Premier rendez-vous . Ne soyez pas paresseux avant de résoudre une équation quadratique et de la mettre sous forme standard. Qu'est-ce que cela signifie?
Disons qu'après toutes les transformations vous obtenez l'équation suivante :

Ne vous précipitez pas pour écrire la formule racine ! Vous aurez presque certainement des chances mélangées a, b et c. Construisez correctement l’exemple. D'abord X au carré, puis sans carré, puis le terme libre. Comme ça:

Et encore une fois, ne vous précipitez pas ! Un moins devant un X au carré peut vraiment vous contrarier. C'est facile d'oublier... Débarrassez-vous du moins. Comment? Oui, comme enseigné dans le sujet précédent ! Nous devons multiplier l’équation entière par -1. On obtient :

Mais maintenant, vous pouvez écrire en toute sécurité la formule des racines, calculer le discriminant et terminer la résolution de l'exemple. Décidez par vous-même.

Vous devriez maintenant avoir les racines 2 et -1. Réception deuxième. Vérifiez les racines ! D'après le théorème de Vieta. N'ayez pas peur, je vous explique tout ! Vérification dernier équation. Ceux. celui que nous avons utilisé pour écrire la formule racine. Si (comme dans cet exemple) le coefficient une = 1 , vérifier les racines est facile. Il suffit de les multiplier. Le résultat devrait être un membre libre, c'est-à-dire dans notre cas -2. Attention, pas 2, mais -2 ! Membre gratuit avec ton signe

. Si ça ne marche pas, c’est qu’ils ont déjà fait une erreur quelque part. Recherchez l'erreur. b Si cela fonctionne, vous devez ajouter les racines. Dernière et dernière vérification. Le coefficient doit être Avec opposé b familier. Dans notre cas -1+2 = +1. Un coefficient
, qui est avant le X, est égal à -1. Donc tout est correct ! C'est dommage que cela ne soit si simple que pour des exemples où x au carré est pur, avec un coefficient une = 1.

Mais vérifiez au moins de telles équations ! Il y aura de moins en moins d'erreurs. Troisième réception . Si votre équation a des coefficients fractionnaires, débarrassez-vous des fractions ! Multipliez l'équation par dénominateur commun

, comme décrit dans la leçon « Comment résoudre des équations ? Transformations identiques ». Lorsque vous travaillez avec des fractions, des erreurs continuent de s'infiltrer pour une raison quelconque...

À propos, j'ai promis de simplifier le mauvais exemple avec un tas d'inconvénients. S'il te plaît! Le voici.

Afin de ne pas se tromper avec les moins, on multiplie l'équation par -1. On obtient :

C'est ça! Résoudre est un plaisir !

Alors, résumons le sujet.:

Conseils pratiques 1. Avant de résoudre, nous mettons l'équation quadratique sous forme standard et la construisons.

2. S'il y a un coefficient négatif devant X au carré, on l'élimine en multipliant l'équation entière par -1.

3. Si les coefficients sont fractionnaires, on élimine les fractions en multipliant l'équation entière par le facteur correspondant.

4. Si x au carré est pur, son coefficient est égal à un, la solution peut être facilement vérifiée à l’aide du théorème de Vieta. Fais-le!

Maintenant, nous pouvons décider.)

Résoudre des équations :

8x2 - 6x + 1 = 0

x2 + 3x + 8 = 0

x2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Réponses (en désarroi) :

On peut donc écrire en toute confiance :
x2 = 5

x 1,2 =2

x1 = 2
x2 = -0,5

x - n'importe quel nombre

x1 = -3
x2 = 3

aucune solution

x1 = 0,25
x2 = 0,5

Est-ce que tout rentre ? Super! Les équations quadratiques ne sont pas un casse-tête. Les trois premiers ont fonctionné, mais pas les autres ? Alors le problème ne vient pas des équations quadratiques. Le problème réside dans les transformations identiques des équations. Jetez un oeil au lien, c'est utile.

Ça ne marche pas vraiment ? Ou ça ne marche pas du tout ? Ensuite, l'article 555 vous aidera. Tous ces exemples y sont détaillés. Montré principal erreurs dans la solution. Bien entendu, on parle aussi de l'utilisation de transformations identiques dans la solution différentes équations. Aide beaucoup !

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Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

DANS société moderne la capacité d'effectuer des opérations avec des équations contenant une variable au carré peut être utile dans de nombreux domaines d'activité et est largement utilisée dans la pratique dans les développements scientifiques et techniques. On en trouve des preuves dans la conception des navires maritimes et fluviaux, des avions et des missiles. À l'aide de tels calculs, les trajectoires de mouvement d'une grande variété de corps, y compris des objets spatiaux, sont déterminées. Les exemples de résolution d'équations quadratiques sont utilisés non seulement dans les prévisions économiques, dans la conception et la construction de bâtiments, mais également dans les circonstances quotidiennes les plus ordinaires. Ils peuvent être nécessaires lors de randonnées, lors d'événements sportifs, dans les magasins pour faire des achats et dans d'autres situations très courantes.

Décomposons l'expression en ses facteurs constitutifs

Le degré d'une équation est déterminé par la valeur maximale du degré de la variable que contient l'expression. S'il est égal à 2, alors une telle équation est dite quadratique.

Si nous parlons dans le langage des formules, alors les expressions indiquées, quelle que soit leur apparence, peuvent toujours être mises sous la forme lorsque le côté gauche de l'expression est constitué de trois termes. Parmi eux : ax 2 (c'est-à-dire une variable au carré avec son coefficient), bx (une inconnue sans carré avec son coefficient) et c (une composante libre, c'est-à-dire un nombre ordinaire). Tout cela du côté droit est égal à 0. Dans le cas où un tel polynôme manque d'un de ses termes constitutifs, à l'exception de l'axe 2, on parle d'équation quadratique incomplète. Des exemples de solutions à de tels problèmes, dans lesquels les valeurs des variables sont faciles à trouver, doivent être considérés en premier.

Si l’expression semble avoir deux termes sur le côté droit, plus précisément ax 2 et bx, le moyen le plus simple de trouver x est de mettre la variable entre parenthèses. Maintenant, notre équation ressemblera à ceci : x(ax+b). Ensuite, il devient évident que soit x=0, soit le problème revient à trouver une variable à partir de l'expression suivante : ax+b=0. Ceci est dicté par l'une des propriétés de la multiplication. La règle stipule que le produit de deux facteurs donne 0 seulement si l’un d’eux est nul.

Exemple

x=0 ou 8x - 3 = 0

En conséquence, nous obtenons deux racines de l'équation : 0 et 0,375.

Des équations de ce type peuvent décrire le mouvement de corps sous l'influence de la gravité, qui ont commencé à se déplacer à partir d'un certain point pris comme origine des coordonnées. Ici la notation mathématique prend la forme suivante : y = v 0 t + gt 2 /2. En substituant les valeurs nécessaires, en assimilant le côté droit à 0 et en trouvant d'éventuelles inconnues, vous pouvez connaître le temps qui s'écoule depuis le moment où le corps se lève jusqu'au moment où il tombe, ainsi que de nombreuses autres quantités. Mais nous en reparlerons plus tard.

Factoriser une expression

La règle décrite ci-dessus permet de résoudre ces problèmes de manière plus cas difficiles. Regardons des exemples de résolution d'équations quadratiques de ce type.

X2 - 33x + 200 = 0

Ce trinôme quadratique est complet. Tout d’abord, transformons l’expression et factorisons-la. Il y en a deux : (x-8) et (x-25) = 0. On a donc deux racines 8 et 25.

Des exemples de résolution d'équations quadratiques en 9e année permettent avec cette méthode de trouver une variable dans des expressions non seulement du deuxième, mais même du troisième et du quatrième ordre.

Par exemple : 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Lors de la factorisation du côté droit en facteurs avec une variable, il y en a trois, à savoir (x+1), (x-3) et (x+ 3).

En conséquence, il devient évident que cette équation a trois racines : -3 ; -1 ; 3.

Racine carrée

Un autre cas équation incomplète le deuxième ordre est une expression représentée dans le langage des lettres de telle manière que le côté droit est construit à partir des composantes ax 2 et c. Ici, pour obtenir la valeur de la variable, le terme libre est transféré à côté droit, puis la racine carrée est prise des deux côtés de l'égalité. Il convient de noter que dans dans ce cas Il y a généralement deux racines de l’équation. Les seules exceptions peuvent être les égalités qui ne contiennent aucun terme avec, où la variable est égale à zéro, ainsi que les variantes d'expressions lorsque le côté droit s'avère négatif. DANS ce dernier cas Il n'y a aucune solution, car les actions ci-dessus ne peuvent pas être effectuées avec des racines. Des exemples de solutions à des équations quadratiques de ce type doivent être pris en compte.

Dans ce cas, les racines de l’équation seront les nombres -4 et 4.

Calcul de la superficie du terrain

La nécessité de ce type de calculs est apparue dans l'Antiquité, car le développement des mathématiques s'est déroulé en grande partie dans ces domaines. des temps lointainsétait due à la nécessité de déterminer avec la plus grande précision les superficies et les périmètres des parcelles.

Nous devrions également considérer des exemples de résolution d’équations quadratiques basées sur des problèmes de ce type.

Supposons donc qu'il y ait un terrain rectangulaire dont la longueur est supérieure de 16 mètres à la largeur. Vous devriez connaître la longueur, la largeur et le périmètre du site si vous savez que sa superficie est de 612 m 2.

Pour commencer, créons d’abord l’équation nécessaire. Notons x la largeur de la zone, alors sa longueur sera (x+16). De ce qui a été écrit, il s'ensuit que l'aire est déterminée par l'expression x(x+16), qui, selon les conditions de notre problème, est 612. Cela signifie que x(x+16) = 612.

La résolution d’équations quadratiques complètes, et cette expression est exactement cela, ne peut pas se faire de la même manière. Pourquoi? Bien que le côté gauche contienne toujours deux facteurs, leur produit n’est pas du tout égal à 0, c’est pourquoi différentes méthodes sont utilisées ici.

Discriminant

Tout d'abord, effectuons les transformations nécessaires, puis apparence de cette expression ressemblera à ceci : x 2 + 16x - 612 = 0. Cela signifie que nous avons reçu une expression sous une forme correspondant au standard spécifié précédemment, où a=1, b=16, c=-612.

Cela pourrait être un exemple de résolution d’équations quadratiques à l’aide d’un discriminant. Ici calculs nécessaires sont réalisés selon le schéma : D = b 2 - 4ac. Cette grandeur auxiliaire permet non seulement de retrouver les grandeurs recherchées dans une équation du second ordre, elle détermine la grandeur options possibles. Si D>0, il y en a deux ; pour D=0, il y a une racine. Dans le cas D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

À propos des racines et de leur formule

Dans notre cas, le discriminant est égal à : 256 - 4(-612) = 2704. Cela suggère que notre problème a une réponse. Si vous connaissez k, la solution des équations quadratiques doit être poursuivie en utilisant la formule ci-dessous. Il permet de calculer les racines.

Cela signifie que dans le cas présenté : x 1 =18, x 2 =-34. La deuxième option dans ce dilemme ne peut pas être une solution, car les dimensions du terrain ne peuvent pas être mesurées en quantités négatives, ce qui signifie que x (c'est-à-dire la largeur du terrain) est de 18 m. À partir de là, nous calculons la longueur : 18. +16=34, et le périmètre 2(34+ 18)=104(m2).

Exemples et tâches

Nous poursuivons notre étude des équations quadratiques. Des exemples et des solutions détaillées de plusieurs d’entre eux seront donnés ci-dessous.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Déplaçons tout vers la gauche de l’égalité, effectuons une transformation, c’est-à-dire que nous obtiendrons le type d’équation que l’on appelle habituellement standard et l’assimilerons à zéro.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

En ajoutant des similaires, nous déterminons le discriminant : D = 49 - 48 = 1. Cela signifie que notre équation aura deux racines. Calculons-les selon la formule ci-dessus, ce qui signifie que le premier d'entre eux sera égal à 4/3 et le second à 1.

2) Résolvons maintenant des mystères d'un autre genre.

Voyons s'il y a des racines ici x 2 - 4x + 5 = 1 ? Pour obtenir une réponse complète, réduisons le polynôme à la forme habituelle correspondante et calculons le discriminant. Dans l’exemple ci-dessus, il n’est pas nécessaire de résoudre l’équation quadratique, car ce n’est pas du tout l’essence du problème. Dans ce cas, D = 16 - 20 = -4, ce qui signifie qu’il n’y a vraiment pas de racines.

Théorème de Vieta

Il est pratique de résoudre des équations quadratiques en utilisant les formules ci-dessus et le discriminant, lorsque la racine carrée est extraite de la valeur de ce dernier. Mais cela n’arrive pas toujours. Cependant, il existe de nombreuses façons d'obtenir les valeurs des variables dans ce cas. Exemple : résolution d'équations quadratiques à l'aide du théorème de Vieta. Elle porte le nom de celui qui vécut au XVIe siècle en France et fit une brillante carrière grâce à ses talents mathématiques et ses relations à la cour. Son portrait est visible dans l'article.

Le schéma remarqué par le célèbre Français était le suivant. Il a prouvé que les racines de l’équation totalisent numériquement -p=b/a et que leur produit correspond à q=c/a.

Examinons maintenant les tâches spécifiques.

3x2 + 21x-54 = 0

Pour plus de simplicité, transformons l'expression :

x2 + 7x - 18 = 0

Utilisons le théorème de Vieta, cela nous donnera ceci : la somme des racines est -7, et leur produit est -18. De là, nous obtenons que les racines de l'équation sont les nombres -9 et 2. Après vérification, nous nous assurerons que ces valeurs variables correspondent réellement à l'expression.

Graphique et équation parabolique

Les concepts de fonction quadratique et d'équations quadratiques sont étroitement liés. Des exemples en ont déjà été donnés plus tôt. Examinons maintenant quelques énigmes mathématiques plus en détail. Toute équation du type décrit peut être représentée visuellement. Une telle relation, dessinée sous forme de graphique, s’appelle une parabole. Ses différents types sont présentés dans la figure ci-dessous.

Toute parabole a un sommet, c'est-à-dire un point d'où émergent ses branches. Si a>0, ils vont vers l'infini, et quand a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Les représentations visuelles des fonctions aident à résoudre toutes les équations, y compris les équations quadratiques. Cette méthode est dite graphique. Et la valeur de la variable x est la coordonnée en abscisse aux points où la ligne graphique coupe 0x. Les coordonnées du sommet peuvent être trouvées en utilisant la formule qui vient d'être donnée x 0 = -b/2a. Et en substituant la valeur résultante dans l'équation originale de la fonction, vous pouvez découvrir y 0, c'est-à-dire la deuxième coordonnée du sommet de la parabole, qui appartient à l'axe des ordonnées.

L'intersection des branches d'une parabole avec l'axe des abscisses

Il existe de nombreux exemples de résolution d'équations quadratiques, mais il existe également des modèles généraux. Regardons-les. Il est clair que l'intersection du graphique avec l'axe 0x pour a>0 n'est possible que si y 0 prend valeurs négatives. Et pour un<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Sinon D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

À partir du graphique de la parabole, vous pouvez également déterminer les racines. L’inverse est également vrai. Autrement dit, s'il n'est pas facile d'obtenir une représentation visuelle d'une fonction quadratique, vous pouvez assimiler le côté droit de l'expression à 0 et résoudre l'équation résultante. Et connaissant les points d'intersection avec l'axe 0x, il est plus facile de construire un graphique.

De l'histoire

En utilisant des équations contenant une variable carrée, autrefois, ils effectuaient non seulement des calculs mathématiques et déterminaient les aires des figures géométriques. Les anciens avaient besoin de tels calculs pour réaliser de grandes découvertes dans les domaines de la physique et de l'astronomie, ainsi que pour faire des prévisions astrologiques.

Comme le suggèrent les scientifiques modernes, les habitants de Babylone ont été parmi les premiers à résoudre des équations quadratiques. Cela s'est produit quatre siècles avant notre ère. Bien entendu, leurs calculs étaient radicalement différents de ceux actuellement acceptés et se sont révélés beaucoup plus primitifs. Par exemple, les mathématiciens mésopotamiens n’avaient aucune idée de l’existence des nombres négatifs. Ils n'étaient pas non plus familiers avec d'autres subtilités que tout écolier moderne connaît.

Peut-être même avant les scientifiques de Babylone, le sage indien Baudhayama a commencé à résoudre des équations quadratiques. Cela s'est produit environ huit siècles avant l'ère du Christ. Certes, les équations du second ordre, les méthodes de résolution qu'il a données, étaient les plus simples. Outre lui, des mathématiciens chinois s’intéressaient également autrefois à des questions similaires. En Europe, les équations quadratiques n'ont commencé à être résolues qu'au début du XIIIe siècle, mais elles ont ensuite été utilisées dans leurs travaux par de grands scientifiques tels que Newton, Descartes et bien d'autres.

Les problèmes d'équations quadratiques sont étudiés à la fois dans le cadre des programmes scolaires et dans les universités. Il s'agit d'équations de la forme a*x^2 + b*x + c = 0, où x- variable, a, b, c – constantes ; un<>0 . La tâche consiste à trouver les racines de l’équation.

Signification géométrique de l'équation quadratique

Le graphique d'une fonction représentée par une équation quadratique est une parabole. Les solutions (racines) d'une équation quadratique sont les points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses (x). Il s’ensuit qu’il y a trois cas possibles :
1) la parabole n'a pas de points d'intersection avec l'axe des abscisses. Cela signifie qu'il se trouve dans le plan supérieur avec les branches vers le haut ou dans le plan inférieur avec les branches vers le bas. Dans de tels cas, l’équation quadratique n’a pas de racines réelles (elle a deux racines complexes).

2) la parabole a un point d'intersection avec l'axe Ox. Un tel point est appelé sommet de la parabole et l'équation quadratique y acquiert sa valeur minimale ou maximale. Dans ce cas, l’équation quadratique a une racine réelle (ou deux racines identiques).

3) Le dernier cas est plus intéressant en pratique - il y a deux points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses. Cela signifie qu’il existe deux véritables racines de l’équation.

Sur la base de l'analyse des coefficients des puissances des variables, des conclusions intéressantes peuvent être tirées sur l'emplacement de la parabole.

1) Si le coefficient a est supérieur à zéro, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut ; s’il est négatif, les branches de la parabole sont dirigées vers le bas ;

2) Si le coefficient b est supérieur à zéro, alors le sommet de la parabole se situe dans le demi-plan gauche, s'il prend une valeur négative, alors dans le demi-plan droit.

Dérivation de la formule pour résoudre une équation quadratique

Transférons la constante de l'équation quadratique

pour le signe égal, on obtient l'expression

Multipliez les deux côtés par 4a

Pour obtenir un carré complet à gauche, ajoutez b^2 des deux côtés et effectuez la transformation

De là, nous trouvons

Formule pour le discriminant et les racines d'une équation quadratique

Le discriminant est la valeur de l'expression radicale. S'il est positif, alors l'équation a deux racines réelles, calculées par la formule. Lorsque le discriminant est nul, l'équation quadratique a une solution (deux racines coïncidentes), qui peut être facilement obtenue à partir de la formule ci-dessus pour D=0. Lorsque le discriminant est négatif, l'équation n'a pas de racines réelles. Cependant, les solutions de l'équation quadratique se trouvent dans le plan complexe et leur valeur est calculée à l'aide de la formule

Théorème de Vieta

Considérons deux racines d'une équation quadratique et construisons une équation quadratique sur leur base. Le théorème de Vieta lui-même découle facilement de la notation : si nous avons une équation quadratique de la forme. alors la somme de ses racines est égale au coefficient p pris de signe opposé, et le produit des racines de l'équation est égal au terme libre q. La représentation formelle de ce qui précède ressemblera à Si dans une équation classique la constante a est différente de zéro, alors vous devez diviser l'équation entière par elle, puis appliquer le théorème de Vieta.

Calendrier d'équation quadratique de factorisation

Laissez la tâche se définir : factoriser une équation quadratique. Pour ce faire, nous résolvons d’abord l’équation (trouvons les racines). Ensuite, nous substituons les racines trouvées dans la formule d'expansion de l'équation quadratique. Cela résoudra le problème.

Problèmes d'équation quadratique

Tâche 1. Trouver les racines d'une équation quadratique

x^2-26x+120=0 .

Solution : notez les coefficients et remplacez-les dans la formule discriminante

La racine de cette valeur est 14, elle est facile à trouver avec une calculatrice, ou à retenir avec un usage fréquent, cependant, pour plus de commodité, à la fin de l'article je vais vous donner une liste de carrés de nombres que l'on peut souvent rencontrer dans de tels problèmes.
Nous substituons la valeur trouvée dans la formule racine

et nous obtenons

Tâche 2. Résoudre l'équation

2x2 +x-3=0.

Solution : Nous avons une équation quadratique complète, écrivons les coefficients et trouvons le discriminant


En utilisant des formules connues, nous trouvons les racines de l'équation quadratique

Tâche 3. Résoudre l'équation

9x2 -12x+4=0.

Solution : Nous avons une équation quadratique complète. Déterminer le discriminant

Nous avons un cas où les racines coïncident. Trouvez les valeurs des racines à l'aide de la formule

Tâche 4. Résoudre l'équation

x^2+x-6=0 .

Solution : Dans les cas où il existe de petits coefficients pour x, il est conseillé d’appliquer le théorème de Vieta. Par sa condition on obtient deux équations

A partir de la deuxième condition on constate que le produit doit être égal à -6. Cela signifie que l’une des racines est négative. Nous avons la paire de solutions possibles suivante (-3;2), (3;-2) . Compte tenu de la première condition, nous rejetons la deuxième paire de solutions.
Les racines de l'équation sont égales

Problème 5. Trouvez les longueurs des côtés d'un rectangle si son périmètre est de 18 cm et son aire est de 77 cm 2.

Solution : La moitié du périmètre d’un rectangle est égale à la somme de ses côtés adjacents. Notons x comme le plus grand côté, puis 18-x est son plus petit côté. L'aire du rectangle est égale au produit de ces longueurs :
x(18-x)=77;
ou
x2 -18x+77=0.
Trouvons le discriminant de l'équation

Calculer les racines de l'équation

Si x=11, Que 18 = 7, l'inverse est également vrai (si x=7, alors 21's=9).

Problème 6. Factoriser l'équation quadratique 10x 2 -11x+3=0.

Solution : Calculons les racines de l'équation, pour cela on trouve le discriminant

Nous substituons la valeur trouvée dans la formule racine et calculons

Nous appliquons la formule de décomposition d'une équation quadratique par racines

En ouvrant les parenthèses, nous obtenons une identité.

Équation quadratique avec paramètre

Exemple 1. À quelles valeurs de paramètres UN , l'équation (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 a-t-elle une racine ?

Solution : Par substitution directe de la valeur a=3 on voit qu'elle n'a pas de solution. Ensuite, nous utiliserons le fait qu’avec un discriminant nul l’équation a une racine de multiplicité 2. Écrivons le discriminant

Simplifions-le et assimilons-le à zéro

Nous avons obtenu une équation quadratique relative au paramètre a, dont la solution peut être facilement obtenue à l’aide du théorème de Vieta. La somme des racines est 7 et leur produit est 12. Par simple recherche on établit que les nombres 3,4 seront les racines de l'équation. Puisque nous avons déjà rejeté la solution a=3 au début des calculs, la seule correcte sera - une=4. Ainsi, lorsque a=4, l’équation a une racine.

Exemple 2. À quelles valeurs de paramètres UN ,équation une(une+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 a plus d'une racine ?

Solution : Considérons d'abord les points singuliers, ce seront les valeurs a=0 et a=-3. Lorsque a=0, l'équation sera simplifiée sous la forme 6x-9=0 ; x=3/2 et il y aura une racine. Pour a= -3 on obtient l'identité 0=0.
Calculons le discriminant

et trouver la valeur de a à laquelle il est positif

De la première condition on obtient a>3. Pour le second, on retrouve le discriminant et les racines de l'équation


Déterminons les intervalles où la fonction prend des valeurs positives. En substituant le point a=0 on obtient 3>0 . Ainsi, en dehors de l’intervalle (-3;1/3) la fonction est négative. N'oublie pas le point une = 0, qui devrait être exclu car l’équation originale contient une racine.
En conséquence, nous obtenons deux intervalles qui satisfont aux conditions du problème

Il y aura de nombreuses tâches similaires dans la pratique, essayez de comprendre les tâches vous-même et n'oubliez pas de prendre en compte les conditions qui s'excluent mutuellement. Étudiez bien les formules de résolution d'équations quadratiques ; elles sont souvent nécessaires dans les calculs de divers problèmes et sciences.