Un système d'équations linéaires est donné à résoudre en utilisant la méthode gaussienne. Méthode gaussienne (élimination séquentielle des inconnues). Exemples de solutions pour les nuls

Ce calculateur en ligne trouve la solution au système équations linéaires(SLN) par la méthode gaussienne. Une solution détaillée est donnée. Pour calculer, sélectionnez le nombre de variables et le nombre d'équations. Saisissez ensuite les données dans les cellules et cliquez sur le bouton "Calculer".

x1 +x2 +x3 x1 +x2 +x3 x1 +x2 +x3 = = =

Représentation numérique :

Nombres entiers et/ou fractions communes
Nombres entiers et/ou décimaux

Nombre de places après le séparateur décimal

×

Avertissement

Effacer toutes les cellules ?

Fermer Effacer

Instructions pour la saisie des données. Les nombres sont saisis sous forme de nombres entiers (exemples : 487, 5, -7623, etc.), décimaux (ex. 67., 102,54, etc.) ou de fractions. La fraction doit être saisie sous la forme a/b, où a et b (b>0) sont des nombres entiers ou décimaux. Exemples 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7, etc.

Méthode Gauss

La méthode de Gauss est une méthode de transition du système original d'équations linéaires (utilisant des transformations équivalentes) vers un système plus facile à résoudre que le système original.

Les transformations équivalentes d'un système d'équations linéaires sont :

• échanger deux équations dans le système,
• multiplier n'importe quelle équation du système par un nombre réel non nul,
• ajouter à une équation une autre équation multipliée par un nombre arbitraire.

Considérons un système d'équations linéaires :

(1)

Écrivons le système (1) sous forme matricielle :

Hache=b

(2)

(3)

UN- appelée matrice des coefficients du système, b− côté droit des restrictions, X− vecteur de variables à trouver. Laissez classer ( UN)=p.

Les transformations équivalentes ne changent pas le rang de la matrice des coefficients ni le rang de la matrice étendue du système. L'ensemble des solutions du système ne change pas non plus sous des transformations équivalentes. L'essence de la méthode de Gauss est de réduire la matrice des coefficients UN en diagonale ou en escalier.

Construisons une matrice étendue du système :

A l'étape suivante, nous réinitialisons tous les éléments de la colonne 2, en dessous de l'élément. Si cet élément est nul, alors cette ligne est permutée avec la ligne située en dessous de cette ligne et ayant un élément non nul dans la deuxième colonne. Ensuite, réinitialisez tous les éléments de la colonne 2 sous l'élément principal un 22. Pour cela, ajoutez les lignes 3, ... m avec la chaîne 2 multipliée par − un 32 /un 22 , ..., −un m2/ un 22, respectivement. En poursuivant la procédure, nous obtenons une matrice de forme diagonale ou étagée. Soit la matrice étendue résultante de la forme :

(7)

Parce que rangA=rang(UNE|b), alors l'ensemble des solutions (7) est ( n−p)− variété. Ainsi n−p les inconnues peuvent être choisies arbitrairement. Les inconnues restantes du système (7) sont calculées comme suit. De la dernière équation que nous exprimons X p à travers les variables restantes et insérer dans les expressions précédentes. Ensuite, à partir de l’avant-dernière équation, nous exprimons X p−1 à travers les variables restantes et insérer dans les expressions précédentes, etc. Considérons la méthode gaussienne sur exemples spécifiques.

Exemples de résolution d'un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode de Gauss

Exemple 1. Rechercher décision commune systèmes d'équations linéaires par la méthode de Gauss :

Notons par unéléments ij je-ème ligne et jème colonne.

un onze . Pour ce faire, additionnez les lignes 2,3 avec la ligne 1, multipliées respectivement par -2/3, -1/2 :

Vue matricielle entrées : Hache=b, Où

Notons par unéléments ij je-ème ligne et jème colonne.

Excluons les éléments de la 1ère colonne de la matrice en dessous de l'élément un onze . Pour ce faire, additionnez les lignes 2,3 avec la ligne 1, multipliées respectivement par -1/5, -6/5 :

Nous divisons chaque ligne de la matrice par l'élément principal correspondant (si l'élément principal existe) :

Où X 3 , X

En remplaçant les expressions supérieures par les expressions inférieures, nous obtenons la solution.

Alors solution vectorielle peut être représenté ainsi :

Où X 3 , X 4 sont des nombres réels arbitraires.

Nous continuons à considérer des systèmes d'équations linéaires. Cette leçon est la troisième sur le sujet. Si vous avez une vague idée de ce qu'est un système d'équations linéaires en général, si vous vous sentez comme une théière, alors je vous recommande de commencer par les bases de la page Suivant, il est utile d'étudier la leçon.

La méthode gaussienne est simple ! Pourquoi? Le célèbre mathématicien allemand Johann Carl Friedrich Gauss a été reconnu de son vivant comme le plus grand mathématicien de tous les temps, un génie et même le surnom de «roi des mathématiques». Et tout ce qui est ingénieux, comme vous le savez, est simple !À propos, non seulement les idiots gagnent de l'argent, mais aussi les génies - le portrait de Gauss figurait sur le billet de 10 marks allemands (avant l'introduction de l'euro), et Gauss sourit toujours mystérieusement aux Allemands à partir de timbres-poste ordinaires.

La méthode Gauss est simple dans la mesure où les CONNAISSANCES D'UN ÉTUDIANT DE CINQUIÈME ANNÉE SUFFISENT pour la maîtriser. Il faut savoir additionner et multiplier ! Ce n'est pas un hasard si les enseignants envisagent souvent la méthode d'exclusion séquentielle des inconnues dans les cours au choix de mathématiques à l'école. C’est un paradoxe, mais les étudiants trouvent la méthode gaussienne la plus difficile. Rien d'étonnant - tout est question de méthodologie, et je vais essayer de parler de l'algorithme de la méthode sous une forme accessible.

Tout d'abord, systématisons un peu de connaissances sur les systèmes d'équations linéaires. Un système d'équations linéaires peut :

1) Ayez une solution unique. 2) Avoir une infinité de solutions. 3) N'avoir aucune solution (être non conjoint).

La méthode Gauss est l'outil le plus puissant et le plus universel pour trouver une solution n'importe lequel systèmes d'équations linéaires. Comme nous nous en souvenons, Règle de Cramer et méthode matricielle ne conviennent pas dans les cas où le système a une infinité de solutions ou est incohérent. Et la méthode d'élimination séquentielle des inconnues De toute façon nous mènera à la réponse! Sur Cette leçon Nous considérerons à nouveau la méthode de Gauss pour le cas n°1 (seule solution du système), un article est consacré aux situations des points n°2-3. Je remarque que l'algorithme de la méthode elle-même fonctionne de la même manière dans les trois cas.

Revenons au système le plus simple de la leçon Comment résoudre un système d'équations linéaires ? et résolvez-le en utilisant la méthode gaussienne.

La première étape consiste à écrire matrice du système étendu: . Je pense que tout le monde peut voir selon quel principe les coefficients sont écrits. La ligne verticale à l’intérieur de la matrice n’a aucune signification mathématique – il s’agit simplement d’un trait barré pour faciliter la conception.

Référence : Je te recommande de te souvenir termes algèbre linéaire. Matrice du système est une matrice composée uniquement de coefficients pour inconnues, dans cet exemple la matrice du système : . Matrice système étendue – c’est la même matrice du système plus une colonne de termes libres, dans ce cas : . Par souci de concision, n’importe laquelle des matrices peut être simplement appelée matrice.

Une fois la matrice du système étendu écrite, il est nécessaire d'effectuer certaines actions avec elle, également appelées transformations élémentaires.

Il existe les transformations élémentaires suivantes :

1) Cordes matrices Peut réarrangerà certains endroits. Par exemple, dans la matrice considérée, vous pouvez réorganiser sans douleur les première et deuxième lignes :

2) S'il y a (ou sont apparus) des lignes proportionnelles (dans un cas particulier - identiques) dans la matrice, alors vous devriez supprimer Toutes ces lignes proviennent de la matrice sauf une. Prenons par exemple la matrice . Dans cette matrice, les trois dernières lignes sont proportionnelles, il suffit donc de n'en laisser qu'une : .

3) Si une ligne zéro apparaît dans la matrice lors des transformations, alors elle doit également être supprimer. Je ne dessinerai pas bien sûr, la ligne zéro est la ligne dans laquelle tous les zéros.

4) La ligne de la matrice peut être multiplier (diviser)à n'importe quel numéro non nul. Prenons par exemple la matrice . Ici il est conseillé de diviser la première ligne par –3, et de multiplier la deuxième ligne par 2 : . Cette action est très utile car elle simplifie les transformations ultérieures de la matrice.

5) Cette transformation pose le plus de difficultés, mais en fait il n'y a rien de compliqué non plus. Vers une ligne d'une matrice, vous pouvez ajouter une autre chaîne multipliée par un nombre, différent de zéro. Regardons notre matrice à partir d'un exemple pratique : . Je vais d’abord décrire la transformation en détail. Multipliez la première ligne par –2 : , Et à la deuxième ligne on ajoute la première ligne multipliée par –2: . Maintenant, la première ligne peut être divisée « en arrière » par –2 : . Comme vous pouvez le voir, la ligne AJOUTÉE LI – n'a pas changé. Toujours la ligne À LAQUELLE EST AJOUTÉE change Utah.

Dans la pratique, bien sûr, ils ne l’écrivent pas avec autant de détails, mais l’écrivent brièvement : Encore une fois : à la deuxième ligne ajouté la première ligne multipliée par –2. Une ligne est généralement multipliée oralement ou sur un brouillon, le processus de calcul mental ressemblant à ceci :

« Je réécris la matrice et réécris la première ligne : »

« Première colonne. En bas, je dois obtenir zéro. Je multiplie donc celui du haut par –2 : , et j'ajoute le premier à la deuxième ligne : 2 + (–2) = 0. J'écris le résultat sur la deuxième ligne : »

« Maintenant, la deuxième colonne. En haut, je multiplie -1 par -2 : . J'ajoute la première à la deuxième ligne : 1 + 2 = 3. J'écris le résultat sur la deuxième ligne : »

« Et la troisième colonne. En haut je multiplie -5 par -2 : . J'ajoute la première à la deuxième ligne : –7 + 10 = 3. J'écris le résultat sur la deuxième ligne : »

Veuillez comprendre attentivement cet exemple et comprendre l'algorithme de calcul séquentiel, si vous comprenez cela, alors la méthode gaussienne est pratiquement dans votre poche. Mais nous continuerons bien entendu à travailler sur cette transformation.

Les transformations élémentaires ne changent pas la solution du système d'équations

! ATTENTION: manipulations considérées ne peut pas utiliser, si on vous propose une tâche où les matrices sont données « par elles-mêmes ». Par exemple, avec « classique » opérations avec des matrices Vous ne devez en aucun cas réorganiser quoi que ce soit à l’intérieur des matrices ! Revenons à notre système. Il est pratiquement mis en pièces.

Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, réduisons-la à vue en escalier:

(1) La première ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par –2. Et encore : pourquoi multiplie-t-on la première ligne par –2 ? Pour obtenir zéro en bas, cela signifie supprimer une variable dans la deuxième ligne.

(2) Divisez la deuxième ligne par 3.

Le but des transformations élémentaires – réduire la matrice sous forme pas à pas : . Dans la conception de la tâche, ils marquent simplement les « escaliers » avec un simple crayon et entourent également les chiffres qui se trouvent sur les « marches ». Le terme « vue en escalier » lui-même n'est pas entièrement théorique, d'un point de vue scientifique et scientifique. littérature pédagogique on l'appelle souvent vue trapézoïdale ou vue triangulaire.

Grâce à des transformations élémentaires, nous avons obtenu équivalent système d'équations original :

Maintenant, le système doit être « déroulé » dans la direction opposée - de bas en haut, ce processus est appelé inverse de la méthode gaussienne.

Dans l'équation inférieure, nous avons déjà un résultat tout fait : .

Considérons la première équation du système et substituons-y la valeur déjà connue de « y » :

Considérons la situation la plus courante, lorsque la méthode gaussienne nécessite de résoudre un système de trois équations linéaires à trois inconnues.

Exemple 1

Résolvez le système d'équations en utilisant la méthode de Gauss :

Écrivons la matrice étendue du système :

Maintenant, je vais immédiatement dessiner le résultat auquel nous arriverons lors de la solution : Et je le répète, notre objectif est de donner à la matrice une forme étape par étape en utilisant des transformations élémentaires. Où commencer?

Tout d’abord, regardez le numéro en haut à gauche : Devrait presque toujours être là unité. D'une manière générale, -1 (et parfois d'autres nombres) fera l'affaire, mais d'une manière ou d'une autre, il arrive traditionnellement qu'on y place généralement un. Comment organiser une unité ? Nous regardons la première colonne - nous avons une unité finie ! Première transformation : échangez la première et la troisième lignes :

Désormais, la première ligne restera inchangée jusqu'à la fin de la solution. Maintenant, très bien.

L'unité dans le coin supérieur gauche est organisée. Maintenant, vous devez obtenir des zéros à ces endroits :

Nous obtenons des zéros en utilisant une transformation « difficile ». Nous traitons d’abord de la deuxième ligne (2, –1, 3, 13). Que faut-il faire pour obtenir zéro en première position ? Besoin de à la deuxième ligne ajoutez la première ligne multipliée par –2. Mentalement ou sur un brouillon, multipliez la première ligne par –2 : (–2, –4, 2, –18). Et nous effectuons systématiquement (encore une fois mentalement ou sur un brouillon) une addition, à la deuxième ligne on ajoute la première ligne, déjà multipliée par –2:

Nous écrivons le résultat sur la deuxième ligne :

On traite la troisième ligne de la même manière (3, 2, –5, –1). Pour obtenir un zéro en première position, il faut à la troisième ligne ajoutez la première ligne multipliée par –3. Mentalement ou sur un brouillon, multipliez la première ligne par –3 : (–3, –6, 3, –27). ET à la troisième ligne on ajoute la première ligne multipliée par –3:

Nous écrivons le résultat sur la troisième ligne :

En pratique, ces actions sont généralement réalisées oralement et écrites en une seule étape :

Pas besoin de tout compter d'un coup et en même temps. L’ordre des calculs et « l’écriture » des résultats cohérent et généralement c'est comme ça : nous réécrivons d'abord la première ligne, et nous soufflons lentement sur nous-mêmes - DE MANIÈRE CONSTANTE et ATTENTIVEMENT:
Et j'ai déjà évoqué ci-dessus le processus mental des calculs eux-mêmes.

DANS dans cet exemple C'est facile à faire, divisez la deuxième ligne par –5 (puisque tous les nombres y sont divisibles par 5 sans reste). En même temps, on divise la troisième ligne par –2, car plus les nombres sont petits, plus la solution est simple :

Au stade final des transformations élémentaires, vous devez obtenir ici un autre zéro :

Pour ça à la troisième ligne on ajoute la deuxième ligne multipliée par –2:
Essayez de comprendre cette action vous-même - multipliez mentalement la deuxième ligne par –2 et effectuez l'addition.

La dernière action effectuée est la coiffure du résultat, divisez la troisième ligne par 3.

Grâce à des transformations élémentaires, un système équivalent d'équations linéaires a été obtenu : Cool.

C’est maintenant l’inverse de la méthode gaussienne qui entre en jeu. Les équations se « déroulent » de bas en haut.

Dans la troisième équation, nous avons déjà un résultat prêt :

Regardons la deuxième équation : . La signification de « zet » est déjà connue, ainsi :

Et enfin, la première équation : . « Igrek » et « zet » sont connus, ce n'est qu'une question de petites choses :

Répondre:

Comme cela a déjà été noté à plusieurs reprises, pour tout système d'équations, il est possible et nécessaire de vérifier la solution trouvée, heureusement, c'est simple et rapide.

Exemple 2

Ceci est un exemple de solution indépendante, un échantillon de la conception finale et une réponse à la fin de la leçon.

Il convient de noter que votre évolution de la décision peut ne pas coïncider avec mon processus de décision, et c'est une caractéristique de la méthode de Gauss. Mais les réponses doivent être les mêmes !

Exemple 3

Résoudre un système d'équations linéaires en utilisant la méthode de Gauss

Nous regardons la « marche » en haut à gauche. Nous devrions en avoir un là-bas. Le problème est qu’il n’y a aucune unité dans la première colonne, donc réorganiser les lignes ne résoudra rien. Dans de tels cas, l'unité doit être organisée à l'aide d'une transformation élémentaire. Cela peut généralement se faire de plusieurs manières. J'ai fait ceci : (1) A la première ligne on ajoute la deuxième ligne, multipliée par –1. Autrement dit, nous avons mentalement multiplié la deuxième ligne par –1 et ajouté la première et la deuxième ligne, tandis que la deuxième ligne n'a pas changé.

Maintenant en haut à gauche il y a « moins un », ce qui nous convient plutôt bien. Quiconque souhaite obtenir +1 peut effectuer un mouvement supplémentaire : multiplier la première ligne par –1 (changer son signe).

(2) La première ligne multipliée par 5 a été ajoutée à la deuxième ligne. La première ligne multipliée par 3 a été ajoutée à la troisième ligne.

(3) La première ligne a été multipliée par –1, en principe c'est pour la beauté. Le signe de la troisième ligne a également été modifié et déplacé à la deuxième place, de sorte que sur la deuxième « marche », nous ayons l'unité requise.

(4) La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par 2.

(5) La troisième ligne a été divisée par 3.

Un mauvais signe qui indique une erreur de calcul (plus rarement une faute de frappe) est un « mauvais » résultat. Autrement dit, si nous obtenons quelque chose comme , ci-dessous et, par conséquent, , alors avec un degré de probabilité élevé on peut dire qu'une erreur a été commise lors des transformations élémentaires.

Nous facturons l'inverse : dans la conception des exemples, ils ne réécrivent souvent pas le système lui-même, mais les équations sont « tirées directement de la matrice donnée ». Le trait inverse, je vous le rappelle, fonctionne de bas en haut. Oui, voici un cadeau :

Répondre: .

Exemple 4

Résoudre un système d'équations linéaires en utilisant la méthode de Gauss

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même, c'est un peu plus compliqué. Ce n'est pas grave si quelqu'un est confus. Solution complète et plan d’échantillonnage à la fin de la leçon. Votre solution peut être différente de la mienne.

Dans la dernière partie, nous examinerons quelques fonctionnalités de l'algorithme gaussien. La première caractéristique est que parfois certaines variables sont absentes des équations du système, par exemple : Comment écrire correctement la matrice du système étendu ? J'ai déjà parlé de ce point en classe. La règle de Cramer. Méthode matricielle. Dans la matrice étendue du système, on met des zéros à la place des variables manquantes : D’ailleurs, c’est un exemple assez simple, puisque la première colonne comporte déjà un zéro, et qu’il y a moins de transformations élémentaires à effectuer.

La deuxième caractéristique est la suivante. Dans tous les exemples considérés, nous avons placé soit –1, soit +1 sur les « marches ». Est-ce qu'il pourrait y avoir d'autres numéros ? Dans certains cas, ils le peuvent. Considérez le système : .

Ici, sur la « marche » en haut à gauche, nous avons un deux. Mais nous remarquons le fait que tous les nombres de la première colonne sont divisibles par 2 sans reste - et l'autre est deux et six. Et les deux en haut à gauche nous conviendront ! Dans un premier temps, vous devez effectuer les transformations suivantes : ajoutez la première ligne multipliée par –1 à la deuxième ligne ; à la troisième ligne, ajoutez la première ligne multipliée par –3. Nous obtenons donc les zéros nécessaires dans la première colonne.

Ou un autre exemple conventionnel : . Ici, le trois sur la deuxième « marche » nous convient également, puisque 12 (l'endroit où nous devons obtenir zéro) est divisible par 3 sans reste. Il est nécessaire d'effectuer la transformation suivante : ajoutez la deuxième ligne à la troisième ligne, multipliée par –4, ce qui permettra d'obtenir le zéro dont nous avons besoin.

La méthode de Gauss est universelle, mais elle présente une particularité. Vous pouvez apprendre en toute confiance à résoudre des systèmes en utilisant d'autres méthodes (méthode de Cramer, méthode matricielle) littéralement dès la première fois - ils ont un algorithme très strict. Mais pour avoir confiance dans la méthode gaussienne, vous devez « vous familiariser » et résoudre au moins 5 à 10 dix systèmes. Par conséquent, au début, il peut y avoir de la confusion et des erreurs dans les calculs, et cela n’a rien d’inhabituel ou de tragique.

Temps d'automne pluvieux devant la fenêtre.... Par conséquent, pour tous ceux qui en veulent plus exemple complexe pour une solution indépendante :

Exemple 5

Résolvez un système de 4 équations linéaires à quatre inconnues en utilisant la méthode de Gauss.

Une telle tâche n’est pas si rare dans la pratique. Je pense que même une théière qui a étudié en profondeur cette page comprendra intuitivement l'algorithme permettant de résoudre un tel système. Fondamentalement, tout est pareil - il y a juste plus d'actions.

Les cas où le système n'a pas de solutions (incohérent) ou a une infinité de solutions sont abordés dans la leçon Systèmes incompatibles et systèmes avec une solution commune. Là, vous pouvez corriger l'algorithme considéré de la méthode gaussienne.

Je te souhaite du succès!

Solutions et réponses :

Exemple 2 : Solution : Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, mettons-la sous une forme pas à pas.
Transformations élémentaires effectuées : (1) La première ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par –2. La première ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par –1. Attention! Ici, vous pourriez être tenté de soustraire la première de la troisième ligne ; je vous recommande fortement de ne pas la soustraire - le risque d'erreur augmente considérablement. Pliez-le ! (2) Le signe de la deuxième ligne a été modifié (multiplié par –1). Les deuxième et troisième lignes ont été inversées. note , que sur les « marches » on se contente non seulement d'un, mais aussi de –1, ce qui est encore plus pratique. (3) La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par 5. (4) Le signe de la deuxième ligne a été modifié (multiplié par –1). La troisième ligne était divisée par 14.

Inverse:

Répondre : .

Exemple 4 : Solution : Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, mettons-la sous une forme pas à pas :

Conversions effectuées : (1) Une deuxième ligne a été ajoutée à la première ligne. Ainsi, l’unité souhaitée est organisée sur la « marche » supérieure gauche. (2) La première ligne multipliée par 7 a été ajoutée à la deuxième ligne. La première ligne multipliée par 6 a été ajoutée à la troisième ligne.

Avec la deuxième « étape », tout empire , les « candidats » sont les nombres 17 et 23, et nous avons besoin soit d'un, soit de –1. Les transformations (3) et (4) viseront à obtenir l'unité souhaitée (3) La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par –1. (4) La troisième ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par –3. L'élément requis à la deuxième étape a été reçu. . (5) La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par 6. (6) La deuxième ligne a été multipliée par –1, la troisième ligne a été divisée par –83.

Inverse:

Répondre :

Exemple 5 : Solution : Écrivons la matrice du système et, à l'aide de transformations élémentaires, mettons-la sous une forme pas à pas :

Conversions effectuées : (1) Les première et deuxième lignes ont été inversées. (2) La première ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par –2. La première ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par –2. La première ligne a été ajoutée à la quatrième ligne, multipliée par –3. (3) La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par 4. La deuxième ligne a été ajoutée à la quatrième ligne, multipliée par –1. (4) Le signe de la deuxième ligne a été modifié. La quatrième ligne a été divisée par 3 et placée à la place de la troisième ligne. (5) La troisième ligne a été ajoutée à la quatrième ligne, multipliée par –5.

Inverse:

Répondre :

Soit un système de linéaire équations algébriques, qui doit être résolu (trouver de telles valeurs des inconnues xi qui transforment chaque équation du système en égalité).

On sait qu'un système d'équations algébriques linéaires peut :

1) N'avoir aucune solution (être non conjoint).
2) Avoir une infinité de solutions.
3) Ayez une seule solution.

Comme on s'en souvient, la règle de Cramer et la méthode matricielle ne conviennent pas dans les cas où le système a une infinité de solutions ou est incohérent. Méthode Gauss – l'outil le plus puissant et le plus polyvalent pour trouver des solutions à n'importe quel système d'équations linéaires, lequel dans tous les cas nous mènera à la réponse! L'algorithme de la méthode lui-même fonctionne de la même manière dans les trois cas. Si les méthodes Cramer et matricielles nécessitent une connaissance des déterminants, alors pour appliquer la méthode de Gauss, vous n'avez besoin que de la connaissance des opérations arithmétiques, ce qui la rend accessible même aux élèves du primaire.

Transformations matricielles augmentées ( c'est la matrice du système - une matrice composée uniquement des coefficients des inconnues, plus une colonne de termes libres) systèmes d'équations algébriques linéaires dans la méthode de Gauss :

1) Avec troki matrices Peut réarrangerà certains endroits.

2) si des lignes proportionnelles (dans un cas particulier – identiques) apparaissent (ou existent) dans la matrice, alors vous devriez supprimer Toutes ces lignes proviennent de la matrice sauf une.

3) si une ligne zéro apparaît dans la matrice lors des transformations, alors elle doit également être supprimer.

4) une ligne de la matrice peut être multiplier (diviser)à n’importe quel nombre autre que zéro.

5) sur une ligne de la matrice, vous pouvez ajouter une autre chaîne multipliée par un nombre, différent de zéro.

Dans la méthode de Gauss, les transformations élémentaires ne changent pas la solution du système d'équations.

La méthode Gauss comprend deux étapes :

1. "Déplacement direct" - à l'aide de transformations élémentaires, amener la matrice étendue d'un système d'équations algébriques linéaires à une forme échelonnée "triangulaire": les éléments de la matrice étendue situés en dessous de la diagonale principale sont égaux à zéro (déplacement descendant). Par exemple, à ce type :

Pour ce faire, effectuez les étapes suivantes :

1) Considérons la première équation d'un système d'équations algébriques linéaires et le coefficient pour x 1 est égal à K. La deuxième, la troisième, etc. nous transformons les équations comme suit : nous divisons chaque équation (coefficients pour les inconnues, y compris les termes libres) par le coefficient pour l'inconnue x 1, qui est dans chaque équation, et multiplions par K. Après cela, nous soustrayons le premier du second équation (coefficients pour inconnues et termes libres). Pour x 1 dans la deuxième équation, nous obtenons le coefficient 0. De la troisième équation transformée, nous soustrayons la première équation jusqu'à ce que toutes les équations sauf la première, pour x 1 inconnu, aient un coefficient 0.

2) Passons à l'équation suivante. Soit la deuxième équation et le coefficient pour x 2 égal à M. Nous procédons avec toutes les équations « inférieures » comme décrit ci-dessus. Ainsi, « sous » l'inconnue x 2, il y aura des zéros dans toutes les équations.

3) Passer à l'équation suivante et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il reste une dernière inconnue et le terme libre transformé.

1. Le « mouvement inverse » de la méthode de Gauss consiste à obtenir une solution à un système d’équations algébriques linéaires (le mouvement « ascendant »).

À partir de la dernière équation « inférieure », nous obtenons une première solution : l’inconnue x n. Pour ce faire, nous résolvons l'équation élémentaire A * x n = B. Dans l'exemple donné ci-dessus, x 3 = 4. Nous substituons la valeur trouvée dans l'équation suivante « supérieure » et la résolvons par rapport à la prochaine inconnue. Par exemple, x 2 – 4 = 1, c'est-à-dire x 2 = 5. Et ainsi de suite jusqu'à trouver toutes les inconnues.

Exemple.

Résolvons le système d'équations linéaires en utilisant la méthode de Gauss, comme le conseillent certains auteurs :

Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, mettons-la sous une forme pas à pas :
Nous regardons la « marche » en haut à gauche. Nous devrions en avoir un là-bas. Le problème est qu’il n’y a aucune unité dans la première colonne, donc réorganiser les lignes ne résoudra rien. Dans de tels cas, l'unité doit être organisée à l'aide d'une transformation élémentaire. Cela peut généralement se faire de plusieurs manières. Faisons cela: . À la première ligne, nous ajoutons la deuxième ligne, multipliée par –1. Autrement dit, nous avons mentalement multiplié la deuxième ligne par –1 et ajouté la première et la deuxième ligne, tandis que la deuxième ligne n'a pas changé.

Maintenant en haut à gauche il y a « moins un », ce qui nous convient plutôt bien. Quiconque souhaite obtenir +1 peut effectuer une action supplémentaire : multiplier la première ligne par –1 (changer son signe).

Étape 2 . La première ligne, multipliée par 5, a été ajoutée à la deuxième ligne. La première ligne, multipliée par 3, a été ajoutée à la troisième ligne.

Étape 3 . La première ligne a été multipliée par –1, en principe c'est pour la beauté. Le signe de la troisième ligne a également été modifié et déplacé à la deuxième place, de sorte que sur la deuxième « marche », nous ayons l'unité requise.

Étape 4 . La troisième ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par 2.

Étape 5 . La troisième ligne a été divisée par 3.

Un signe qui indique une erreur de calcul (plus rarement une faute de frappe) est un « mauvais » résultat. Autrement dit, si nous obtenons quelque chose comme (0 0 11 |23) ci-dessous et, par conséquent, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, alors avec un degré de probabilité élevé, nous pouvons dire qu'une erreur a été commise au cours de l'élémentaire transformations.

Faisons l’inverse : dans la conception des exemples, le système lui-même n’est souvent pas réécrit, mais les équations sont « tirées directement de la matrice donnée ». Le mouvement inverse, je vous le rappelle, fonctionne de bas en haut. Dans cet exemple, le résultat était un cadeau :

x3 = 1
x2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, donc x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Répondre:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Résolvons le même système en utilisant l'algorithme proposé. On a

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Divisez la deuxième équation par 5 et la troisième par 3. Nous obtenons :

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

En multipliant les deuxième et troisième équations par 4, on obtient :

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Soustrayons la première équation des deuxième et troisième équations, nous avons :

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Divisez la troisième équation par 0,64 :

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Multipliez la troisième équation par 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

En soustrayant la deuxième de la troisième équation, nous obtenons une matrice étendue « échelonnée » :

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Ainsi, puisque l'erreur s'est accumulée lors des calculs, on obtient x 3 = 0,96 soit environ 1.

x 2 = 3 et x 1 = –1.

En résolvant de cette manière, vous ne vous tromperez jamais dans les calculs et, malgré les erreurs de calcul, vous obtiendrez le résultat.

Cette méthode de résolution d'un système d'équations algébriques linéaires est facile à programmer et ne prend pas en compte caractéristiques spécifiques coefficients pour inconnues, car en pratique (dans les calculs économiques et techniques) on a affaire à des coefficients non entiers.

Je te souhaite du succès! Rendez-vous en classe ! Tuteur.

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Méthode Gauss parfait pour résoudre des systèmes d’équations algébriques linéaires (SLAE). Elle présente de nombreux avantages par rapport aux autres méthodes :

• premièrement, il n'est pas nécessaire d'examiner d'abord la cohérence du système d'équations ;
• deuxièmement, la méthode de Gauss peut résoudre non seulement les SLAE dans lesquels le nombre d'équations coïncide avec le nombre de variables inconnues et la matrice principale du système est non singulière, mais également des systèmes d'équations dans lesquels le nombre d'équations ne coïncide pas avec le nombre de variables inconnues ou le déterminant de la matrice principale est égal à zéro ;
• troisièmement, la méthode gaussienne conduit à des résultats avec un nombre relativement faible d'opérations de calcul.

Bref aperçu de l'article.

Tout d’abord, nous donnons les définitions nécessaires et introduisons les notations.

Ensuite, nous décrirons l'algorithme de la méthode de Gauss pour le cas le plus simple, c'est-à-dire pour les systèmes d'équations algébriques linéaires, le nombre d'équations dans lesquelles coïncide avec le nombre de variables inconnues et le déterminant de la matrice principale du système est pas égal à zéro. Lors de la résolution de tels systèmes d'équations, l'essence de la méthode de Gauss est la plus clairement visible, à savoir l'élimination séquentielle des variables inconnues. Par conséquent, la méthode gaussienne est également appelée méthode d'élimination séquentielle des inconnues. Nous allons vous montrer solutions détaillées plusieurs exemples.

En conclusion, nous considérerons la solution par la méthode de Gauss de systèmes d'équations algébriques linéaires dont la matrice principale est soit rectangulaire, soit singulière. La solution à de tels systèmes présente certaines caractéristiques que nous examinerons en détail à l'aide d'exemples.

Navigation dans les pages.

Définitions et notations de base.

Considérons un système de p équations linéaires à n inconnues (p peut être égal à n) :

Où sont les variables inconnues, sont les nombres (réels ou complexes) et sont les termes libres.

Si , alors le système d'équations algébriques linéaires est appelé homogène, sinon - hétérogène.

L'ensemble des valeurs de variables inconnues pour lesquelles toutes les équations du système deviennent des identités est appelé décision du SLAU.

S’il existe au moins une solution à un système d’équations algébriques linéaires, alors on l’appelle articulation, sinon - non conjoint.

Si un SLAE a une solution unique, alors on l'appelle certain. S’il existe plusieurs solutions, le système s’appelle incertain.

On dit que le système est écrit en formulaire de coordonnées, s'il a la forme
.

Ce système en forme matricielle les enregistrements ont la forme , où - la matrice principale du SLAE, - la matrice de la colonne des inconnues, - la matrice des termes libres.

Si nous ajoutons une colonne-matrice de termes libres à la matrice A comme (n+1)ième colonne, nous obtenons ce qu'on appelle matrice étendue systèmes d'équations linéaires. Généralement, une matrice étendue est désignée par la lettre T et la colonne de termes libres est séparée par une ligne verticale des colonnes restantes, c'est-à-dire

La matrice carrée A est appelée dégénérer, si son déterminant est nul. Si , alors la matrice A est appelée non dégénéré.

Le point suivant doit être noté.

Si vous effectuez les actions suivantes avec un système d'équations algébriques linéaires

• échanger deux équations,
• multiplier les deux côtés de n'importe quelle équation par un nombre réel (ou complexe) k arbitraire et non nul,
• aux deux côtés de n'importe quelle équation, ajoutez les parties correspondantes d'une autre équation, multipliées par un nombre arbitraire k,

alors vous obtenez un système équivalent qui a les mêmes solutions (ou, tout comme l'original, n'a pas de solutions).

Pour une matrice étendue d'un système d'équations algébriques linéaires, ces actions nécessiteront d'effectuer des transformations élémentaires avec les lignes :

• en échangeant deux lignes,
• multiplier tous les éléments de n'importe quelle ligne de la matrice T par un nombre k non nul,
• ajouter aux éléments de n'importe quelle ligne d'une matrice les éléments correspondants d'une autre ligne, multipliés par un nombre arbitraire k.

Nous pouvons maintenant passer à la description de la méthode de Gauss.

Résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires, dans lesquels le nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues et la matrice principale du système est non singulière, en utilisant la méthode de Gauss.

Que ferions-nous à l’école si on nous confiait la tâche de trouver une solution à un système d’équations ? .

Certains feraient ça.

Notez qu'en ajoutant le côté gauche de la première au côté gauche de la deuxième équation, et le côté droit au côté droit, vous pouvez vous débarrasser des variables inconnues x 2 et x 3 et trouver immédiatement x 1 :

Nous substituons la valeur trouvée x 1 =1 dans les première et troisième équations du système :

Si nous multiplions les deux côtés de la troisième équation du système par -1 et les ajoutons aux parties correspondantes de la première équation, nous nous débarrassons de la variable inconnue x 3 et pouvons trouver x 2 :

Nous substituons la valeur résultante x 2 = 2 dans la troisième équation et trouvons la variable inconnue restante x 3 :

D'autres auraient fait différemment.

Résolvons la première équation du système par rapport à la variable inconnue x 1 et substituons l'expression résultante dans les deuxième et troisième équations du système afin d'en exclure cette variable :

Résolvons maintenant la deuxième équation du système pour x 2 et substituons le résultat obtenu dans la troisième équation pour en éliminer la variable inconnue x 2 :

D'après la troisième équation du système, il ressort clairement que x 3 =3. De la deuxième équation on trouve , et à partir de la première équation, nous obtenons .

Des solutions familières, n'est-ce pas ?

La chose la plus intéressante ici est que la deuxième méthode de résolution est essentiellement la méthode d'élimination séquentielle des inconnues, c'est-à-dire la méthode gaussienne. Lorsque nous avons exprimé les variables inconnues (d'abord x 1, à l'étape suivante x 2) et les avons substituées dans les équations restantes du système, nous les avons ainsi exclues. Nous avons procédé à l'élimination jusqu'à ce qu'il ne reste qu'une seule variable inconnue dans la dernière équation. Le processus d’élimination séquentielle des inconnues est appelé méthode gaussienne directe. Après avoir terminé l’avancée, nous avons la possibilité de calculer la variable inconnue trouvée dans la dernière équation. Avec son aide, à partir de l'avant-dernière équation, nous trouvons la prochaine variable inconnue et ainsi de suite. Le processus de recherche séquentielle de variables inconnues tout en passant de la dernière équation à la première est appelé inverse de la méthode gaussienne.

Il convient de noter que lorsque nous exprimons x 1 en termes de x 2 et x 3 dans la première équation, puis substituons l'expression résultante dans les deuxième et troisième équations, les actions suivantes conduisent au même résultat :

En effet, une telle procédure permet également d'éliminer la variable inconnue x 1 des deuxième et troisième équations du système :

Des nuances avec l'élimination des variables inconnues à l'aide de la méthode gaussienne surviennent lorsque les équations du système ne contiennent pas certaines variables.

Par exemple, dans SLAU dans la première équation, il n'y a pas de variable inconnue x 1 (en d'autres termes, le coefficient devant elle est nul). Par conséquent, nous ne pouvons pas résoudre la première équation du système pour x 1 afin d'éliminer cette variable inconnue des équations restantes. La sortie de cette situation est d'échanger les équations du système. Puisque nous considérons des systèmes d'équations linéaires dont les déterminants des matrices principales sont différents de zéro, il existe toujours une équation dans laquelle la variable dont nous avons besoin est présente, et nous pouvons réorganiser cette équation dans la position dont nous avons besoin. Pour notre exemple, il suffit d'intervertir la première et la deuxième équation du système , vous pouvez alors résoudre la première équation pour x 1 et l'exclure des équations restantes du système (bien que x 1 ne soit plus présent dans la deuxième équation).

Nous espérons que vous comprenez l’essentiel.

Décrivons Algorithme de la méthode gaussienne.

Supposons que nous devions résoudre un système de n équations algébriques linéaires à n inconnues variables de la forme , et que le déterminant de sa matrice principale soit différent de zéro.

Nous supposerons cela, puisque nous pouvons toujours y parvenir en interchangeant les équations du système. Éliminons la variable inconnue x 1 de toutes les équations du système, en commençant par la seconde. Pour ce faire, à la deuxième équation du système on ajoute la première, multipliée par , à la troisième équation on ajoute la première, multipliée par , et ainsi de suite, à la nième équation on ajoute la première, multipliée par . Le système d'équations après de telles transformations prendra la forme

où et .

Nous serions arrivés au même résultat si nous avions exprimé x 1 en termes d'autres variables inconnues dans la première équation du système et substitué l'expression résultante dans toutes les autres équations. Ainsi, la variable x 1 est exclue de toutes les équations, à partir de la seconde.

Ensuite, nous procédons de la même manière, mais seulement avec une partie du système résultant, qui est marquée sur la figure

Pour ce faire, à la troisième équation du système on ajoute la seconde, multipliée par , à la quatrième équation on ajoute la seconde, multipliée par , et ainsi de suite, à la nième équation on ajoute la seconde, multipliée par . Le système d'équations après de telles transformations prendra la forme

où et . Ainsi, la variable x 2 est exclue de toutes les équations, à partir de la troisième.

Ensuite, nous procédons à l'élimination de l'inconnu x 3, et nous agissons de la même manière avec la partie du système marquée sur la figure

On continue donc la progression directe de la méthode gaussienne jusqu'à ce que le système prenne la forme

A partir de ce moment on commence l'inverse de la méthode gaussienne : on calcule x n à partir de la dernière équation comme , en utilisant la valeur obtenue de x n on trouve x n-1 à partir de l'avant-dernière équation, et ainsi de suite, on trouve x 1 à partir de la première équation .

Regardons l'algorithme à l'aide d'un exemple.

À partir de la dernière équation « inférieure », nous obtenons une première solution : l’inconnue x n. Pour ce faire, nous résolvons l'équation élémentaire A * x n = B. Dans l'exemple donné ci-dessus, x 3 = 4. Nous substituons la valeur trouvée dans l'équation suivante « supérieure » et la résolvons par rapport à la prochaine inconnue. Par exemple, x 2 – 4 = 1, c'est-à-dire x 2 = 5. Et ainsi de suite jusqu'à trouver toutes les inconnues.

Méthode Gauss.

Solution.

Le coefficient a 11 est différent de zéro, passons donc à la progression directe de la méthode gaussienne, c'est-à-dire à l'exclusion de la variable inconnue x 1 de toutes les équations du système sauf la première. Pour ce faire, aux côtés gauche et droit des deuxième, troisième et quatrième équations, ajoutez les côtés gauche et droit de la première équation, multipliés respectivement par . Et :

La variable inconnue x 1 a été éliminée, passons à l'élimination de x 2 . Aux côtés gauche et droit des troisième et quatrième équations du système, nous ajoutons les côtés gauche et droit de la deuxième équation, multipliés respectivement par Et :

Pour terminer la progression vers l'avant de la méthode gaussienne, nous devons éliminer la variable inconnue x 3 de la dernière équation du système. Ajoutons respectivement aux côtés gauche et droit de la quatrième équation les côtés gauche et droit de la troisième équation, multipliés par :

Vous pouvez commencer l'inverse de la méthode gaussienne.

De la dernière équation que nous avons ,
de la troisième équation nous obtenons,
dès la seconde,
du premier.

Pour vérifier, vous pouvez remplacer les valeurs obtenues des variables inconnues dans le système d'équations d'origine. Toutes les équations se transforment en identités, ce qui indique que la solution utilisant la méthode de Gauss a été trouvée correctement.

Répondre:

Donnons maintenant une solution au même exemple en utilisant la méthode gaussienne en notation matricielle.

À partir de la dernière équation « inférieure », nous obtenons une première solution : l’inconnue x n. Pour ce faire, nous résolvons l'équation élémentaire A * x n = B. Dans l'exemple donné ci-dessus, x 3 = 4. Nous substituons la valeur trouvée dans l'équation suivante « supérieure » et la résolvons par rapport à la prochaine inconnue. Par exemple, x 2 – 4 = 1, c'est-à-dire x 2 = 5. Et ainsi de suite jusqu'à trouver toutes les inconnues.

Trouver la solution du système d'équations Méthode Gauss.

Solution.

La matrice étendue du système a la forme . En haut de chaque colonne se trouvent les variables inconnues qui correspondent aux éléments de la matrice.

L'approche directe de la méthode gaussienne consiste ici à réduire la matrice étendue du système à une forme trapézoïdale à l'aide de transformations élémentaires. Ce processus est similaire à l’élimination des variables inconnues que nous avons effectuée avec le système sous forme de coordonnées. Maintenant, vous verrez cela.

Transformons la matrice pour que tous les éléments de la première colonne, à partir de la seconde, deviennent nuls. Pour ce faire, aux éléments des deuxième, troisième et quatrième lignes on ajoute les éléments correspondants de la première ligne multipliés par , et en conséquence :

Ensuite, nous transformons la matrice résultante de sorte que dans la deuxième colonne, tous les éléments, à partir de la troisième, deviennent nuls. Cela correspondrait à éliminer la variable inconnue x 2 . Pour ce faire, aux éléments des troisième et quatrième lignes on ajoute les éléments correspondants de la première ligne de la matrice, multipliés respectivement par Et :

Il reste à exclure la variable inconnue x 3 de la dernière équation du système. Pour ce faire, aux éléments de la dernière ligne de la matrice résultante on ajoute les éléments correspondants de l'avant-dernière ligne, multipliés par :

Il est à noter que cette matrice correspond à un système d'équations linéaires

qui a été obtenu plus tôt après un mouvement vers l'avant.

Il est temps de faire demi-tour. En notation matricielle, l'inverse de la méthode gaussienne consiste à transformer la matrice résultante telle que la matrice marquée sur la figure

est devenu diagonal, c'est-à-dire a pris la forme

où sont quelques chiffres.

Ces transformations sont similaires aux transformations directes de la méthode gaussienne, mais sont effectuées non pas de la première ligne à la dernière, mais de la dernière à la première.

Ajouter aux éléments des troisième, deuxième et première lignes les éléments correspondants de la dernière ligne, multipliés par , encore et encore respectivement:

Ajoutez maintenant aux éléments des deuxième et première lignes les éléments correspondants de la troisième ligne, multipliés respectivement par et par :

A la dernière étape de la méthode gaussienne inverse, aux éléments de la première ligne on ajoute les éléments correspondants de la deuxième ligne, multipliés par :

La matrice résultante correspond au système d'équations , d'où l'on trouve les variables inconnues.

Répondre:

NOTE.

Lors de l'utilisation de la méthode Gauss pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires, les calculs approximatifs doivent être évités, car cela peut conduire à des résultats complètement incorrects. Nous vous recommandons de ne pas arrondir les décimales. Mieux de décimales passez aux fractions ordinaires.

À partir de la dernière équation « inférieure », nous obtenons une première solution : l’inconnue x n. Pour ce faire, nous résolvons l'équation élémentaire A * x n = B. Dans l'exemple donné ci-dessus, x 3 = 4. Nous substituons la valeur trouvée dans l'équation suivante « supérieure » et la résolvons par rapport à la prochaine inconnue. Par exemple, x 2 – 4 = 1, c'est-à-dire x 2 = 5. Et ainsi de suite jusqu'à trouver toutes les inconnues.

Résoudre un système de trois équations en utilisant la méthode de Gauss .

Solution.

Notez que dans cet exemple les variables inconnues ont une désignation différente (non pas x 1, x 2, x 3, mais x, y, z). Passons aux fractions ordinaires :

Excluons l'inconnue x des deuxième et troisième équations du système :

Dans le système résultant, la variable inconnue y est absente dans la deuxième équation, et y est présente dans la troisième équation, donc intervertissons les deuxième et troisième équations :

Ceci complète la progression directe de la méthode de Gauss (il n'est pas nécessaire d'exclure y de la troisième équation, puisque cette inconnue n'existe plus).

Commençons le mouvement inverse.

De la dernière équation on trouve ,
de l'avant-dernier


de la première équation que nous avons

Répondre:

X = 10, y = 5, z = -20.

Résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires dans lesquels le nombre d'équations ne coïncide pas avec le nombre d'inconnues ou la matrice principale du système est singulière, en utilisant la méthode de Gauss.

Les systèmes d'équations dont la matrice principale est rectangulaire ou carrée singulière peuvent n'avoir aucune solution, peuvent avoir une seule solution ou peuvent avoir un nombre infini de solutions.

Nous allons maintenant comprendre comment la méthode de Gauss permet d'établir la compatibilité ou l'incompatibilité d'un système d'équations linéaires, et dans le cas de sa compatibilité, de déterminer toutes les solutions (ou une seule solution).

En principe, le processus d’élimination des variables inconnues dans le cas de tels SLAE reste le même. Il convient toutefois de détailler certaines situations qui peuvent survenir.

Passons à l'étape la plus importante.

Supposons donc que le système d'équations algébriques linéaires, après avoir terminé la progression vers l'avant de la méthode de Gauss, prenne la forme et pas une seule équation n'a été réduite à (dans ce cas on conclurait que le système est incompatible). Se pose question logique: "Que faire ensuite"?

Écrivons les variables inconnues qui viennent en premier dans toutes les équations du système résultant :

Dans notre exemple, ce sont x 1, x 4 et x 5. Sur les côtés gauches des équations du système, nous ne laissons que les termes qui contiennent les variables inconnues écrites x 1, x 4 et x 5, les termes restants sont transférés vers le côté droit des équations avec le signe opposé :

Donnons aux variables inconnues qui se trouvent à droite des équations des valeurs arbitraires, où - nombres arbitraires :

Après cela, les membres droits de toutes les équations de notre SLAE contiennent des nombres et nous pouvons procéder à l'inverse de la méthode gaussienne.

De la dernière équation du système nous obtenons, de l'avant-dernière équation nous trouvons, de la première équation nous obtenons

La solution d'un système d'équations est un ensemble de valeurs de variables inconnues

Donner des chiffres différentes significations, nous obtiendrons différentes solutions du système d’équations. Autrement dit, notre système d’équations a une infinité de solutions.

Répondre:

Où - des nombres arbitraires.

Pour consolider le matériel, nous analyserons en détail les solutions de plusieurs autres exemples.

À partir de la dernière équation « inférieure », nous obtenons une première solution : l’inconnue x n. Pour ce faire, nous résolvons l'équation élémentaire A * x n = B. Dans l'exemple donné ci-dessus, x 3 = 4. Nous substituons la valeur trouvée dans l'équation suivante « supérieure » et la résolvons par rapport à la prochaine inconnue. Par exemple, x 2 – 4 = 1, c'est-à-dire x 2 = 5. Et ainsi de suite jusqu'à trouver toutes les inconnues.

Résoudre un système homogène d'équations algébriques linéaires Méthode Gauss.

Solution.

Excluons la variable inconnue x des deuxième et troisième équations du système. Pour ce faire, aux côtés gauche et droit de la deuxième équation, on ajoute respectivement les côtés gauche et droit de la première équation, multipliés par , et aux côtés gauche et droit de la troisième équation, on ajoute les côtés gauche et droit de la deuxième équation. côtés droits de la première équation, multiplié par :

Excluons maintenant y de la troisième équation du système d’équations résultant :

Le SLAE résultant est équivalent au système .

Nous laissons du côté gauche des équations du système uniquement les termes contenant les variables inconnues x et y, et déplaçons les termes avec la variable inconnue z vers la droite :

Dans cet article, la méthode est considérée comme une méthode de résolution de systèmes d'équations linéaires (SLAE). La méthode est analytique, c'est-à-dire qu'elle permet d'écrire un algorithme de solution dans vue générale, puis remplacez-y les valeurs d'exemples spécifiques. Contrairement à la méthode matricielle ou aux formules de Cramer, lors de la résolution d'un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode de Gauss, vous pouvez également travailler avec celles qui ont un nombre infini de solutions. Ou alors ils ne l'ont pas du tout.

Que signifie résoudre en utilisant la méthode gaussienne ?

Tout d’abord, nous devons écrire notre système d’équations. Cela ressemble à ceci. Prenons le système :

Les coefficients sont écrits sous forme de tableau et les termes libres sont écrits dans une colonne séparée à droite. La colonne contenant les termes libres est séparée pour plus de commodité. La matrice qui comprend cette colonne est appelée étendue.

Ensuite, la matrice principale avec les coefficients doit être réduite à une forme triangulaire supérieure. C’est le point principal de la résolution du système par la méthode gaussienne. En termes simples, après certaines manipulations, la matrice doit ressembler à ce que sa partie inférieure gauche ne contienne que des zéros :

Ensuite, si vous écrivez à nouveau la nouvelle matrice sous forme de système d'équations, vous remarquerez que la dernière ligne contient déjà la valeur de l'une des racines, qui est ensuite substituée dans l'équation ci-dessus, une autre racine est trouvée, et ainsi de suite.

Ceci est une description de la solution par la méthode gaussienne dans la forme la plus Plan général. Que se passe-t-il si soudainement le système n’a plus de solution ? Ou y en a-t-il une infinité ? Pour répondre à ces questions et à bien d’autres, il est nécessaire de considérer séparément tous les éléments utilisés dans la résolution de la méthode gaussienne.

Matrices, leurs propriétés

Aucun sens caché pas dans la matrice. C'est simple moyen pratique enregistrer des données pour des opérations ultérieures avec eux. Même les écoliers n’ont pas besoin d’en avoir peur.

La matrice est toujours rectangulaire, car elle est plus pratique. Même dans la méthode Gauss, où tout se résume à construire une matrice de forme triangulaire, un rectangle apparaît dans l'entrée, uniquement avec des zéros aux endroits où il n'y a pas de nombres. Les zéros ne sont peut-être pas écrits, mais ils sont implicites.

La matrice a une taille. Sa « largeur » est le nombre de lignes (m), sa « longueur » est le nombre de colonnes (n). Ensuite, la taille de la matrice A (des lettres latines majuscules sont généralement utilisées pour les désigner) sera notée A m×n. Si m=n, alors cette matrice est carrée, et m=n est son ordre. En conséquence, tout élément de la matrice A peut être désigné par ses numéros de ligne et de colonne : a xy ; x - numéro de ligne, modifications, y - numéro de colonne, modifications.

B n'est pas le point principal de la décision. En principe, toutes les opérations peuvent être effectuées directement avec les équations elles-mêmes, mais la notation sera beaucoup plus lourde et il sera beaucoup plus facile de s'y perdre.

Déterminant

La matrice a également un déterminant. C'est une caractéristique très importante. Il n'est pas nécessaire de découvrir sa signification maintenant ; vous pouvez simplement montrer comment il est calculé, puis indiquer quelles propriétés de la matrice il détermine. Le moyen le plus simple de trouver le déterminant consiste à utiliser les diagonales. Des diagonales imaginaires sont dessinées dans la matrice ; les éléments situés sur chacun d'eux sont multipliés, puis les produits résultants sont additionnés : diagonales avec une pente vers la droite - avec un signe plus, avec une pente vers la gauche - avec un signe moins.

Il est extrêmement important de noter que le déterminant ne peut être calculé que pour une matrice carrée. Pour une matrice rectangulaire, vous pouvez procéder comme suit : choisir le plus petit parmi le nombre de lignes et le nombre de colonnes (que ce soit k), puis marquer au hasard k colonnes et k lignes dans la matrice. Les éléments à l'intersection des colonnes et des lignes sélectionnées formeront une nouvelle matrice carrée. Si le déterminant d'une telle matrice est un nombre non nul, on l'appelle la base mineure de la matrice rectangulaire d'origine.

Avant de commencer à résoudre un système d’équations à l’aide de la méthode gaussienne, cela ne fait pas de mal de calculer le déterminant. S'il s'avère nul, alors on peut immédiatement dire que la matrice a soit un nombre infini de solutions, soit aucune. Dans un cas aussi triste, il faut aller plus loin et se renseigner sur le rang de la matrice.

Classement du système

Il existe une chose telle que le rang d'une matrice. C'est l'ordre maximum de son déterminant non nul (si l'on se souvient de la base mineure, on peut dire que le rang d'une matrice est l'ordre de la base mineure).

En fonction de la situation du rang, le SLAE peut être divisé en :

• Articulation. U Dans les systèmes joints, le rang de la matrice principale (constituée uniquement de coefficients) coïncide avec le rang de la matrice étendue (avec une colonne de termes libres). De tels systèmes ont une solution, mais pas nécessairement une, donc en plus systèmes communs divisée en:
• - certain- avoir une seule solution. Dans certains systèmes, le rang de la matrice et le nombre d'inconnues (ou le nombre de colonnes, ce qui revient au même) sont égaux ;
• - indéfini - avec un nombre infini de solutions. Le rang des matrices dans de tels systèmes est inférieur au nombre d’inconnues.
• Incompatible. U Dans de tels systèmes, les rangs des matrices principale et étendue ne coïncident pas. Les systèmes incompatibles n’ont pas de solution.

La méthode de Gauss est bonne car lors de la solution elle permet d'obtenir soit une preuve sans ambiguïté de l'incohérence du système (sans calculer les déterminants des grandes matrices), soit une solution sous forme générale pour un système avec un nombre infini de solutions.

Transformations élémentaires

Avant de procéder directement à la résolution du système, vous pouvez le rendre moins encombrant et plus pratique pour les calculs. Ceci est réalisé grâce à des transformations élémentaires - de telle sorte que leur mise en œuvre ne change en rien la réponse finale. Il convient de noter que certaines des transformations élémentaires données ne sont valables que pour les matrices dont la source était le SLAE. Voici une liste de ces transformations :

1. Réorganisation des lignes. Évidemment, si vous modifiez l'ordre des équations dans l'enregistrement système, cela n'affectera en rien la solution. Par conséquent, les lignes de la matrice de ce système peuvent également être interverties, sans oublier bien sûr la colonne des termes libres.
2. Multiplier tous les éléments d'une chaîne par un certain coefficient. Très utile! Il peut être utilisé pour raccourcir gros chiffres dans la matrice ou supprimer les zéros. Comme d'habitude, de nombreuses décisions ne changeront pas, mais d'autres opérations deviendront plus pratiques. L'essentiel est que le coefficient ne soit pas égal à zéro.
3. Suppression des lignes avec des facteurs proportionnels. Cela découle en partie du paragraphe précédent. Si deux lignes ou plus d'une matrice ont des coefficients proportionnels, alors lorsque l'une des lignes est multipliée/divisée par le coefficient de proportionnalité, deux (ou, encore une fois, plus) lignes absolument identiques sont obtenues, et les lignes supplémentaires peuvent être supprimées, laissant seulement un.
4. Suppression d'une ligne nulle. Si, lors de la transformation, une ligne est obtenue quelque part dans laquelle tous les éléments, y compris le membre libre, sont nuls, alors une telle ligne peut être appelée zéro et expulsée de la matrice.
5. Ajouter aux éléments d'une ligne les éléments d'une autre (dans les colonnes correspondantes), multipliés par un certain coefficient. La transformation la plus discrète et la plus importante de toutes. Cela vaut la peine de s'y attarder plus en détail.

Ajouter une chaîne multipliée par un facteur

Pour faciliter la compréhension, il convient de décomposer ce processus étape par étape. Deux lignes sont extraites de la matrice :

une 11 une 12 ... une 1n | b1

un 21 un 22 ... un 2n | b2

Disons que vous devez ajouter le premier au second, multiplié par le coefficient "-2".

une" 21 = une 21 + -2×une 11

une" 22 = une 22 + -2×une 12

une" 2n = une 2n + -2×une 1n

Ensuite, la deuxième ligne de la matrice est remplacée par une nouvelle et la première reste inchangée.

une 11 une 12 ... une 1n | b1

une" 21 une" 22 ... une" 2n | b 2

Il convient de noter que le coefficient de multiplication peut être choisi de telle sorte que, suite à l'ajout de deux lignes, l'un des éléments nouvelle ligneétait égal à zéro. Par conséquent, il est possible d’obtenir une équation dans un système où il y aura une inconnue en moins. Et si vous obtenez deux de ces équations, alors l'opération peut être refaite et obtenir une équation qui contiendra deux inconnues de moins. Et si à chaque fois vous mettez à zéro un coefficient de toutes les lignes qui sont inférieures à celui d'origine, alors vous pouvez, comme des escaliers, descendre tout en bas de la matrice et obtenir une équation avec une inconnue. C’est ce qu’on appelle la résolution du système par la méthode gaussienne.

En général

Qu'il y ait un système. Il a m équations et n racines inconnues. Vous pouvez l'écrire ainsi :

La matrice principale est compilée à partir des coefficients du système. Une colonne de termes libres est ajoutée à la matrice étendue et, pour plus de commodité, séparée par une ligne.

• la première ligne de la matrice est multipliée par le coefficient k = (-a 21 /a 11) ;
• la première ligne modifiée et la deuxième ligne de la matrice sont ajoutées ;
• au lieu de la deuxième ligne, le résultat de l'ajout du paragraphe précédent est inséré dans la matrice ;
• maintenant, le premier coefficient de la nouvelle deuxième ligne est a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Maintenant, la même série de transformations est effectuée, seules les première et troisième lignes sont impliquées. Ainsi, à chaque étape de l'algorithme, l'élément a 21 est remplacé par a 31. Puis tout se répète pour un 41,... un m1. Le résultat est une matrice où le premier élément des lignes est zéro. Vous devez maintenant oublier la ligne numéro un et exécuter le même algorithme, en commençant par la ligne deux :

• coefficient k = (-a 32 /a 22) ;
• la deuxième ligne modifiée est ajoutée à la ligne « courante » ;
• le résultat de l'addition est substitué dans les troisième, quatrième, etc. lignes, tandis que la première et la deuxième restent inchangées ;
• dans les lignes de la matrice, les deux premiers éléments sont déjà égaux à zéro.

L'algorithme doit être répété jusqu'à ce que le coefficient k = (-a m,m-1 /a mm) apparaisse. Cela signifie que dans dernière fois l'algorithme a été exécuté uniquement pour l'équation inférieure. Maintenant, la matrice ressemble à un triangle ou a une forme en escalier. En fin de compte, il y a l’égalité a mn × x n = b m. Le coefficient et le terme libre sont connus, et la racine s'exprime à travers eux : x n = b m /a mn. La racine résultante est remplacée dans la ligne supérieure pour trouver x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Et ainsi de suite par analogie : dans chaque ligne suivante, il y a une nouvelle racine, et, après avoir atteint le « sommet » du système, vous pouvez trouver de nombreuses solutions. Ce sera le seul.

Quand il n'y a pas de solutions

Si dans l'une des lignes de la matrice tous les éléments sauf le terme libre sont égaux à zéro, alors l'équation correspondant à cette ligne ressemble à 0 = b. Il n’y a pas de solution. Et puisqu'une telle équation est incluse dans le système, alors l'ensemble des solutions de l'ensemble du système est vide, c'est-à-dire dégénéré.

Quand il existe un nombre infini de solutions

Il peut arriver que dans la matrice triangulaire donnée, il n'y ait pas de lignes avec un élément de coefficient de l'équation et un terme libre. Il n’y a que des lignes qui, une fois réécrites, ressembleraient à une équation avec deux variables ou plus. Cela signifie que le système possède un nombre infini de solutions. Dans ce cas, la réponse peut être donnée sous la forme d’une solution générale. Comment faire?

Toutes les variables de la matrice sont divisées en variables de base et gratuites. Les plus basiques sont ceux qui se trouvent « au bord » des lignes de la matrice d’étapes. Le reste est gratuit. Dans la solution générale, les variables de base sont écrites via des variables libres.

Pour plus de commodité, la matrice est d'abord réécrite dans un système d'équations. Ensuite, dans le dernier d’entre eux, où il ne reste exactement qu’une seule variable de base, elle reste d’un côté et tout le reste est transféré de l’autre. Ceci est fait pour chaque équation avec une variable de base. Ensuite, dans les équations restantes, lorsque cela est possible, l'expression obtenue est substituée à la variable de base. Si le résultat est à nouveau une expression contenant une seule variable de base, elle est à nouveau exprimée à partir de là, et ainsi de suite, jusqu'à ce que chaque variable de base soit écrite sous forme d'expression à variables libres. C'est la solution générale de SLAE.

Vous pouvez également trouver la solution de base du système - donner des valeurs aux variables libres, puis pour ce cas spécifique, calculer les valeurs des variables de base. Il existe un nombre infini de solutions particulières qui peuvent être proposées.

Solution avec des exemples spécifiques

Voici un système d'équations.

Pour plus de commodité, il vaut mieux créer immédiatement sa matrice

On sait que lorsqu'elle est résolue par la méthode gaussienne, l'équation correspondant à la première ligne restera inchangée à la fin des transformations. Par conséquent, il sera plus rentable si l'élément supérieur gauche de la matrice est le plus petit - alors les premiers éléments des lignes restantes après les opérations deviendront zéro. Cela signifie que dans la matrice compilée il sera avantageux de mettre la deuxième ligne à la place de la première.

deuxième ligne : k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

une" 21 = une 21 + k×une 11 = 3 + (-3)×1 = 0

une" 22 = une 22 + k×une 12 = -1 + (-3)×2 = -7

une" 23 = une 23 + k×une 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

troisième ligne : k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

une" 3 1 = une 3 1 + k×une 11 = 5 + (-5)×1 = 0

une" 3 2 = une 3 2 + k×une 12 = 1 + (-5)×2 = -9

une" 3 3 = une 33 + k×une 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Maintenant, pour ne pas vous tromper, vous devez écrire une matrice avec les résultats intermédiaires des transformations.

Évidemment, une telle matrice peut être rendue plus pratique pour la perception à l'aide de certaines opérations. Par exemple, vous pouvez supprimer tous les « moins » de la deuxième ligne en multipliant chaque élément par « -1 ».

Il convient également de noter que dans la troisième ligne, tous les éléments sont des multiples de trois. Ensuite, vous pouvez raccourcir la ligne par ce nombre, en multipliant chaque élément par "-1/3" (moins - en même temps, pour supprimer valeurs négatives).

Ça a l'air beaucoup plus joli. Nous devons maintenant laisser de côté la première ligne et travailler avec les deuxième et troisième. La tâche consiste à ajouter la deuxième ligne à la troisième ligne, multipliée par un coefficient tel que l'élément a 32 devienne égal à zéro.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (si lors de certaines transformations la réponse ne s'avère pas être un nombre entier, il est recommandé de maintenir l'exactitude des calculs pour laisser il est « tel quel », sous la forme fraction commune, et seulement alors, lorsque les réponses sont reçues, décidez s'il faut arrondir et convertir vers une autre forme d'enregistrement)

une" 32 = une 32 + k×une 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

une" 33 = une 33 + k×une 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

La matrice est réécrite avec de nouvelles valeurs.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Comme vous pouvez le constater, la matrice résultante a déjà une forme échelonnée. Par conséquent, d’autres transformations du système utilisant la méthode gaussienne ne sont pas nécessaires. Ce que vous pouvez faire ici, c'est supprimer le coefficient global "-1/7" de la troisième ligne.

Maintenant, tout est beau. Il ne reste plus qu'à réécrire la matrice sous la forme d'un système d'équations et à calculer les racines

x + 2y + 4z = 12 (1)

7a + 11z = 24 (2)

L'algorithme par lequel les racines vont maintenant être trouvées est appelé le mouvement inverse dans la méthode gaussienne. L'équation (3) contient la valeur z :

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Et la première équation nous permet de trouver x :

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Nous avons le droit de qualifier un tel système de commun, voire de définitif, c'est-à-dire d'avoir une solution unique. La réponse s'écrit sous la forme suivante :

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Un exemple de système incertain

L'option de résolution d'un certain système à l'aide de la méthode de Gauss a été analysée ; il est maintenant nécessaire de considérer le cas si le système est incertain, c'est-à-dire qu'une infinité de solutions peuvent être trouvées pour lui.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

L'apparence même du système est déjà alarmante, car le nombre d'inconnues est n = 5, et le rang de la matrice système est déjà exactement inférieur à ce nombre, car le nombre de lignes est m = 4, c'est-à-dire l'ordre le plus élevé du carré déterminant est 4. Cela signifie qu'il existe un nombre infini de solutions et qu'il faut rechercher son apparence générale. La méthode Gauss pour les équations linéaires vous permet de le faire.

Tout d'abord, comme d'habitude, une matrice étendue est compilée.

Deuxième ligne : coefficient k = (-a 21 /a 11) = -3. Dans la troisième ligne, le premier élément est avant les transformations, vous n'avez donc pas besoin de toucher à quoi que ce soit, vous devez le laisser tel quel. Quatrième ligne : k = (-a 4 1 /a 11) = -5

En multipliant tour à tour les éléments de la première ligne par chacun de leurs coefficients et en les ajoutant aux lignes requises, on obtient une matrice de la forme suivante :

Comme vous pouvez le constater, les deuxième, troisième et quatrième rangées sont constituées d'éléments proportionnels les uns aux autres. Les deuxième et quatrième sont généralement identiques, donc l'un d'eux peut être supprimé immédiatement, et le reste peut être multiplié par le coefficient « -1 » et obtenir la ligne numéro 3. Et encore une fois, sur deux lignes identiques, laissez-en une.

Le résultat est une matrice comme celle-ci. Bien que le système n'ait pas encore été écrit, il est nécessaire de déterminer ici les variables de base - celles qui correspondent aux coefficients a 11 = 1 et a 22 = 1, et les variables libres - tout le reste.

Dans la deuxième équation, il n'y a qu'une seule variable de base - x 2. Cela signifie qu'il peut être exprimé à partir de là en l'écrivant via les variables x 3 , x 4 , x 5 , qui sont libres.

Nous substituons l'expression résultante dans la première équation.

Le résultat est une équation dans laquelle la seule variable de base est x 1 . Faisons la même chose avec cela qu'avec x 2.

Toutes les variables de base, au nombre de deux, sont exprimées en termes de trois variables libres ; nous pouvons maintenant écrire la réponse sous forme générale ;

Vous pouvez également spécifier une des solutions particulières du système. Pour de tels cas, les zéros sont généralement choisis comme valeurs pour les variables libres. Alors la réponse sera :

16, 23, 0, 0, 0.

Un exemple de système non coopératif

La résolution de systèmes d'équations incompatibles à l'aide de la méthode gaussienne est la plus rapide. Elle se termine immédiatement dès qu'à l'une des étapes on obtient une équation sans solution. C'est-à-dire que l'étape de calcul des racines, qui est assez longue et fastidieuse, est éliminée. On considère le système suivant :

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Comme d'habitude, la matrice est compilée :

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Et cela se réduit à une forme pas à pas :

k1 = -2k2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Après la première transformation, la troisième ligne contient une équation de la forme

sans solution. Par conséquent, le système est incohérent et la réponse sera l’ensemble vide.

Avantages et inconvénients de la méthode

Si vous choisissez la méthode pour résoudre les SLAE sur papier avec un stylo, la méthode discutée dans cet article semble la plus attrayante. Il est beaucoup plus difficile de se perdre dans les transformations élémentaires que si vous devez rechercher manuellement un déterminant ou une matrice inverse délicate. Cependant, si vous utilisez des programmes pour travailler avec des données de ce type, par exemple des feuilles de calcul, il s'avère que ces programmes contiennent déjà des algorithmes permettant de calculer les principaux paramètres des matrices - déterminant, mineurs, inverse, etc. Et si vous êtes sûr que la machine calculera elle-même ces valeurs et ne fera pas d'erreurs, il est plus conseillé d'utiliser la méthode matricielle ou les formules de Cramer, car leur application commence et se termine par le calcul des déterminants et des matrices inverses. .

Application

Puisque la solution gaussienne est un algorithme et que la matrice est en fait un tableau à deux dimensions, elle peut être utilisée en programmation. Mais comme l'article se positionne comme un guide « pour les nuls », il faut dire que l'endroit le plus simple pour appliquer la méthode est les feuilles de calcul, par exemple Excel. Là encore, tout SLAE saisi dans un tableau sous forme de matrice sera considéré par Excel comme un tableau à deux dimensions. Et pour les opérations avec eux, il existe de nombreuses commandes intéressantes : addition (vous ne pouvez ajouter que des matrices de même taille !), multiplication par un nombre, multiplication de matrices (également avec certaines restrictions), trouver les matrices inverses et transposées et, surtout , calculant le déterminant. Si cette tâche chronophage est remplacée par une seule commande, il est possible de déterminer beaucoup plus rapidement le rang de la matrice et donc d'établir sa compatibilité ou son incompatibilité.