Définition. Le plus grand entier naturel, par lequel les nombres a et b sont divisés sans reste, est appelé plus grand diviseur commun (PGCD) ces chiffres.
Trouvons le plus grand diviseur commun numéros 24 et 35.
Les diviseurs de 24 sont les nombres 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 et les diviseurs de 35 sont les nombres 1, 5, 7, 35.
Nous voyons que les nombres 24 et 35 n'ont qu'un seul diviseur commun - le nombre 1. Ces nombres sont appelés mutuellement premier.
Définition. Les nombres naturels sont appelés mutuellement premier, si leur plus grand diviseur commun (PGCD) est 1.
Plus grand diviseur commun (PGCD) peut être trouvé sans écrire tous les diviseurs des nombres donnés.
En factorisant les nombres 48 et 36, on obtient :
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Parmi les facteurs inclus dans le développement du premier de ces nombres, nous biffons ceux qui ne sont pas inclus dans le développement du deuxième nombre (c'est-à-dire deux deux).
Les facteurs restants sont 2 * 2 * 3. Leur produit est égal à 12. Ce nombre est le plus grand diviseur commun des nombres 48 et 36. On trouve également le plus grand diviseur commun de trois nombres ou plus.
Trouver plus grand diviseur commun
2) parmi les facteurs inclus dans le développement d'un de ces nombres, rayer ceux qui ne sont pas inclus dans le développement d'autres nombres ;
3) trouver le produit des facteurs restants.
Si tous les nombres donnés sont divisibles par l’un d’eux, alors ce nombre est plus grand diviseur commun chiffres donnés.
Par exemple, le plus grand diviseur commun des nombres 15, 45, 75 et 180 est le nombre 15, puisque tous les autres nombres sont divisibles par lui : 45, 75 et 180.
Plus petit commun multiple (LCM)
Définition. Plus petit commun multiple (LCM) Les nombres naturels a et b sont le plus petit nombre naturel qui est un multiple de a et b. Le plus petit commun multiple (LCM) des nombres 75 et 60 peut être trouvé sans écrire les multiples de ces nombres d'affilée. Pour ce faire, décomposons 75 et 60 en facteurs premiers: 75 = 3 * 5 * 5, et 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Écrivons les facteurs inclus dans le développement du premier de ces nombres et ajoutons-y les facteurs manquants 2 et 2 du développement du deuxième nombre (c'est-à-dire que nous combinons les facteurs).
On obtient cinq facteurs 2 * 2 * 3 * 5 * 5 dont le produit est 300. Ce nombre est le plus petit commun multiple des nombres 75 et 60.
Ils trouvent également le plus petit commun multiple de trois nombres ou plus.
À trouver le plus petit commun multiple plusieurs nombres naturels, il vous faut :
1) les factoriser en facteurs premiers ;
2) noter les facteurs inclus dans le développement de l'un des nombres ;
3) ajoutez-y les facteurs manquants issus des développements des nombres restants ;
4) trouver le produit des facteurs résultants.
Notez que si l’un de ces nombres est divisible par tous les autres nombres, alors ce nombre est le plus petit commun multiple de ces nombres.
Par exemple, le plus petit commun multiple des nombres 12, 15, 20 et 60 est 60 car il est divisible par tous ces nombres.
Pythagore (VIe siècle avant JC) et ses élèves étudièrent la question de la divisibilité des nombres. Nombre, égal à la somme Ils appelaient tous ses diviseurs (sans le nombre lui-même) un nombre parfait. Par exemple, les nombres 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sont parfaits. Les prochains nombres parfaits sont 496, 8128, 33 550 336. Les Pythagoriciens ne connaissaient que les trois premiers nombres parfaits. Le quatrième - 8128 - est devenu connu au Ier siècle. n. e. Le cinquième – 33 550 336 – a été retrouvé au XVe siècle. En 1983, 27 nombres parfaits étaient déjà connus. Mais les scientifiques ne savent toujours pas s’il existe des nombres parfaits impairs ou s’il existe un nombre parfait plus grand.
L'intérêt des mathématiciens anciens pour les nombres premiers vient du fait que tout nombre est premier ou peut être représenté comme un produit. nombres premiers, c'est-à-dire que les nombres premiers sont comme des briques à partir desquelles le reste des nombres naturels est construit.
Vous avez probablement remarqué que les nombres premiers dans la série de nombres naturels apparaissent de manière inégale - dans certaines parties de la série, il y en a plus, dans d'autres, moins. Mais plus on avance dans la série de nombres, moins les nombres premiers sont courants. La question se pose : existe-t-il un dernier (le plus grand) nombre premier ? L'ancien mathématicien grec Euclide (3e siècle avant JC), dans son livre « Éléments », qui fut le principal manuel de mathématiques pendant deux mille ans, a prouvé qu'il existe une infinité de nombres premiers, c'est-à-dire que derrière chaque nombre premier se trouve un nombre premier encore plus grand. nombre.
Pour trouver les nombres premiers, un autre mathématicien grec de la même époque, Eratosthène, a mis au point cette méthode. Il a noté tous les nombres de 1 à un certain nombre, puis en a barré un, qui n'est ni un nombre premier ni un nombre composé, puis a barré d'un seul tous les nombres venant après 2 (nombres multiples de 2, c'est-à-dire 4, 6, 8, etc.). Le premier nombre restant après 2 était 3. Puis, après deux, tous les nombres suivant 3 (nombres multiples de 3, c'est-à-dire 6, 9, 12, etc.) ont été barrés. au final, seuls les nombres premiers sont restés non croisés.
Le matériel présenté ci-dessous est une suite logique de la théorie de l'article intitulé LCM - moindre commun multiple, définition, exemples, lien entre LCM et GCD. Ici, nous parlerons de trouver le plus petit commun multiple (LCM), Et Attention particulière Concentrons-nous sur la résolution d'exemples. Tout d’abord, nous montrerons comment le LCM de deux nombres est calculé à l’aide du PGCD de ces nombres. Ensuite, nous verrons comment trouver le plus petit commun multiple en factorisant les nombres en facteurs premiers. Après cela, nous nous concentrerons sur la recherche du LCM de trois nombres ou plus, et ferons également attention au calcul du LCM des nombres négatifs.
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Calcul du plus petit commun multiple (LCM) via GCD
Une façon de trouver le multiple le plus petit commun est basée sur la relation entre LCM et GCD. Connexion existante entre LCM et GCD vous permet de calculer le plus petit commun multiple de deux entiers positifs en utilisant un plus grand commun diviseur connu. La formule correspondante est LCM(a, b)=ab:PGCD(a, b) . Examinons des exemples de recherche du LCM à l'aide de la formule donnée.
Exemple.
Trouvez le plus petit commun multiple de deux nombres 126 et 70.
Solution.
Dans cet exemple a=126 , b=70 . Utilisons la connexion entre LCM et GCD, exprimée par la formule LCM(a, b)=ab:PGCD(a, b). Autrement dit, nous devons d’abord trouver le plus grand diviseur commun des nombres 70 et 126, après quoi nous pouvons calculer le LCM de ces nombres à l’aide de la formule écrite.
Trouvons GCD(126, 70) en utilisant l'algorithme euclidien : 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, donc, GCD(126, 70)=14.
Nous trouvons maintenant le plus petit commun multiple requis : PGCD(126, 70)=126·70 :PGCD(126, 70)= 126·70:14=630.
Répondre:
LCM(126, 70)=630 .
Exemple.
À quoi est égal LCM(68, 34) ?
Solution.
Parce que 68 est divisible par 34, alors PGCD(68, 34)=34. Calculons maintenant le plus petit commun multiple : PGCD(68, 34)=68·34:PGCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Répondre:
LCM(68, 34)=68 .
Notez que l'exemple précédent correspond à la règle suivante pour trouver le LCM pour les entiers positifs a et b : si le nombre a est divisible par b, alors le plus petit commun multiple de ces nombres est a.
Trouver LCM en factorisant des nombres
Une autre façon de trouver le plus petit commun multiple consiste à factoriser les nombres en facteurs premiers. Si vous composez un produit à partir de tous les facteurs premiers de nombres donnés, puis excluez de ce produit tous les facteurs premiers communs présents dans les développements de nombres donnés, alors le produit résultant sera égal au plus petit commun multiple des nombres donnés. .
La règle énoncée pour trouver le LCM découle de l'égalité LCM(a, b)=ab:PGCD(a, b). En effet, le produit des nombres a et b est égal au produit de tous les facteurs impliqués dans le développement des nombres a et b. À son tour, GCD(a, b) est égal au produit de tous les facteurs premiers simultanément présents dans les développements des nombres a et b (comme décrit dans la section sur la recherche de GCD en utilisant le développement des nombres en facteurs premiers).
Donnons un exemple. Sachons que 75=3·5·5 et 210=2·3·5·7. Composons le produit à partir de tous les facteurs de ces développements : 2·3·3·5·5·5·7 . Maintenant de ce produit nous excluons tous les facteurs présents à la fois dans le développement du nombre 75 et dans le développement du nombre 210 (ces facteurs sont 3 et 5), alors le produit prendra la forme 2·3·5·5·7 . La valeur de ce produit est égale au plus petit commun multiple de 75 et 210, soit CNP(75, 210)= 2·3·5·5·7=1 050.
Exemple.
Factorisez les nombres 441 et 700 en facteurs premiers et trouvez le plus petit commun multiple de ces nombres.
Solution.
Factorisons les nombres 441 et 700 en facteurs premiers :
On obtient 441=3·3·7·7 et 700=2·2·5·5·7.
Créons maintenant un produit à partir de tous les facteurs impliqués dans le développement de ces nombres : 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Excluons de ce produit tous les facteurs qui sont simultanément présents dans les deux expansions (il n'y a qu'un seul de ces facteurs - c'est le nombre 7) : 2·2·3·3·5·5·7·7. Ainsi, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Répondre:
CNP(441, 700)= 44 100 .
La règle permettant de trouver le LCM en utilisant la factorisation des nombres en facteurs premiers peut être formulée un peu différemment. Si les facteurs manquants du développement du nombre b sont ajoutés aux facteurs du développement du nombre a, alors la valeur du produit résultant sera égale au plus petit commun multiple des nombres a et b..
Par exemple, prenons les mêmes nombres 75 et 210, leurs décompositions en facteurs premiers sont les suivantes : 75=3·5·5 et 210=2·3·5·7. Aux facteurs 3, 5 et 5 du développement du nombre 75 on ajoute les facteurs manquants 2 et 7 du développement du nombre 210, on obtient le produit 2·3·5·5·7 dont la valeur est égal à LCM(75, 210).
Exemple.
Trouvez le plus petit commun multiple de 84 et 648.
Solution.
On obtient d'abord les décompositions des nombres 84 et 648 en facteurs premiers. Ils ressemblent à 84=2·2·3·7 et 648=2·2·2·3·3·3·3. Aux facteurs 2, 2, 3 et 7 du développement du nombre 84 on ajoute les facteurs manquants 2, 3, 3 et 3 du développement du nombre 648, on obtient le produit 2 2 2 3 3 3 3 7, ce qui est égal à 4 536 . Ainsi, le plus petit commun multiple souhaité de 84 et 648 est 4 536.
Répondre:
LCM(84, 648)=4 536 .
Trouver le LCM de trois nombres ou plus
Le plus petit commun multiple de trois nombres ou plus peut être trouvé en trouvant séquentiellement le LCM de deux nombres. Rappelons le théorème correspondant, qui permet de trouver le LCM de trois nombres ou plus.
Théorème.
Soit des nombres entiers positifs a 1 , a 2 , …, a k, le plus petit commun multiple m k de ces nombres est trouvé en calculant séquentiellement m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Considérons l'application de ce théorème en utilisant l'exemple de la recherche du plus petit commun multiple de quatre nombres.
Exemple.
Trouvez le LCM de quatre nombres 140, 9, 54 et 250.
Solution.
Dans cet exemple, un 1 =140, un 2 =9, un 3 =54, un 4 =250.
On trouve d'abord m 2 = LOC(une 1, une 2) = LOC(140, 9). Pour ce faire, en utilisant l'algorithme euclidien, on détermine PGCD(140, 9), on a 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, donc, GCD(140, 9)=1 , d'où PGCD(140, 9)=140 9:PGCD(140, 9)= 140·9:1=1 260. C'est-à-dire m 2 =1 260.
Maintenant nous trouvons m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Calculons-le via PGCD(1 260, 54), que nous déterminons également à l'aide de l'algorithme euclidien : 1 260=54·23+18, 54=18·3. Alors pgcd(1,260, 54)=18, d'où pgcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. C'est-à-dire m 3 =3 780.
Il ne reste plus qu'à trouver m 4 = LOC(m 3, une 4) = LOC(3 780, 250). Pour ce faire, on trouve GCD(3,780, 250) en utilisant l'algorithme euclidien : 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Par conséquent, GCM(3,780, 250)=10, d’où GCM(3,780, 250)= 3 780 250 : PGCD(3 780, 250)= 3 780·250:10=94 500. C'est-à-dire m 4 =94 500.
Ainsi, le plus petit commun multiple des quatre nombres originaux est 94 500.
Répondre:
LCM(140, 9, 54, 250)=94 500.
Dans de nombreux cas, il est pratique de trouver le plus petit commun multiple de trois nombres ou plus en utilisant des factorisations premières des nombres donnés. Dans ce cas, vous devez respecter la règle suivante. Le plus petit commun multiple de plusieurs nombres est égal au produit qui se compose comme suit : les facteurs manquants du développement du deuxième nombre s'ajoutent à tous les facteurs du développement du premier nombre, les facteurs manquants du développement du premier nombre le troisième nombre est ajouté aux facteurs résultants, et ainsi de suite.
Examinons un exemple de recherche du multiple le plus petit commun à l'aide de la factorisation première.
Exemple.
Trouvez le plus petit commun multiple des cinq nombres 84, 6, 48, 7, 143.
Solution.
Tout d'abord, on obtient des décompositions de ces nombres en facteurs premiers : 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 est un nombre premier, il coïncide avec sa décomposition en facteurs premiers) et 143=11.13.
Pour trouver le LCM de ces nombres, aux facteurs du premier nombre 84 (ils sont 2, 2, 3 et 7), il faut ajouter les facteurs manquants du développement du deuxième nombre 6. La décomposition du nombre 6 ne contient pas de facteurs manquants, puisque les 2 et 3 sont déjà présents dans la décomposition du premier nombre 84. Ensuite, aux facteurs 2, 2, 3 et 7, nous ajoutons les facteurs manquants 2 et 2 issus du développement du troisième nombre 48, nous obtenons un ensemble de facteurs 2, 2, 2, 2, 3 et 7. Il ne sera pas nécessaire d’ajouter des multiplicateurs à cet ensemble à l’étape suivante, puisque 7 y est déjà contenu. Enfin, aux facteurs 2, 2, 2, 2, 3 et 7 on ajoute les facteurs manquants 11 et 13 issus du développement du nombre 143. On obtient le produit 2·2·2·2·3·7·11·13, qui est égal à 48,048.
Poursuivons la conversation sur le plus petit commun multiple, que nous avons commencée dans la section "LCM - plus petit commun multiple, définition, exemples". Dans cette rubrique, nous examinerons les moyens de trouver le LCM pour trois nombres ou plus, et nous examinerons la question de savoir comment trouver le LCM d'un nombre négatif.
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Calcul du plus petit commun multiple (LCM) via GCD
Nous avons déjà établi la relation entre le plus petit commun multiple et le plus grand commun diviseur. Apprenons maintenant comment déterminer le LCM via GCD. Voyons d’abord comment procéder pour les nombres positifs.
Définition 1
Vous pouvez trouver le plus petit commun multiple par le plus grand commun diviseur en utilisant la formule LCM (a, b) = a · b : PGCD (a, b).
Exemple 1
Vous devez trouver le LCM des nombres 126 et 70.
Solution
Prenons a = 126, b = 70. Remplaçons les valeurs dans la formule de calcul du plus petit commun multiple par le plus grand commun diviseur LCM (a, b) = a · b : PGCD (a, b) .
Trouve le pgcd des nombres 70 et 126. Pour cela nous avons besoin de l'algorithme euclidien : 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, donc PGCD (126 , 70) = 14 .
Calculons le LCM : LCD (126, 70) = 126 70 : PGCD (126, 70) = 126 70 : 14 = 630.
Répondre: LCM(126, 70) = 630.
Exemple 2
Trouvez les nombres 68 et 34.
Solution
PGCD dans dans ce cas Ce n’est pas difficile puisque 68 est divisible par 34. Calculons le plus petit commun multiple en utilisant la formule : LCM (68, 34) = 68 34 : PGCD (68, 34) = 68 34 : 34 = 68.
Répondre: LCM(68, 34) = 68.
Dans cet exemple, nous avons utilisé la règle pour trouver le plus petit commun multiple des entiers positifs a et b : si le premier nombre est divisible par le second, le LCM de ces nombres sera égal au premier nombre.
Trouver LCM en factorisant des nombres
Examinons maintenant la méthode de recherche du LCM, qui repose sur la factorisation des nombres en facteurs premiers.
Définition 2
Pour trouver le plus petit commun multiple, nous devons effectuer un certain nombre d’étapes simples :
- nous composons le produit de tous les facteurs premiers des nombres pour lesquels nous devons trouver le LCM ;
- nous excluons tous les facteurs premiers des produits résultants ;
- le produit obtenu après élimination des facteurs premiers communs sera égal au LCM des nombres donnés.
Cette méthode de recherche du plus petit commun multiple est basée sur l'égalité LCM (a, b) = a · b : PGCD (a, b). Si vous regardez la formule, cela deviendra clair : le produit des nombres a et b est égal au produit de tous les facteurs qui participent à la décomposition de ces deux nombres. Dans ce cas, le pgcd de deux nombres est égal au produit de tous les facteurs premiers simultanément présents dans les factorisations des deux nombres donnés.
Exemple 3
Nous avons deux nombres 75 et 210. Nous pouvons les factoriser de la manière suivante : 75 = 3 5 5 Et 210 = 2 3 5 7. Si vous composez le produit de tous les facteurs des deux nombres d’origine, vous obtenez : 2 3 3 5 5 5 7.
Si l'on exclut les facteurs communs aux nombres 3 et 5, nous obtenons un produit de la forme suivante : 2 3 5 5 7 = 1050. Ce produit sera notre LCM pour les numéros 75 et 210.
Exemple 4
Trouver le LCM des nombres 441 Et 700 , en factorisant les deux nombres en facteurs premiers.
Solution
Trouvons tous les facteurs premiers des nombres donnés dans la condition :
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Nous obtenons deux chaînes de nombres : 441 = 3 3 7 7 et 700 = 2 2 5 5 7.
Le produit de tous les facteurs ayant participé à la décomposition de ces nombres aura la forme : 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Trouvons des facteurs communs. C'est le numéro 7. Excluons-le de produit total: 2 2 3 3 5 5 7 7. Il s'avère que NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Répondre: LOC(441, 700) = 44 100.
Donnons une autre formulation de la méthode pour trouver le LCM en décomposant les nombres en facteurs premiers.
Définition 3
Auparavant, nous excluions du nombre total les facteurs communs aux deux nombres. Maintenant, nous allons procéder différemment :
- Factorisons les deux nombres en facteurs premiers :
- ajouter au produit des facteurs premiers du premier nombre les facteurs manquants du deuxième nombre ;
- on obtient le produit, qui sera le LCM souhaité de deux nombres.
Exemple 5
Revenons aux nombres 75 et 210, pour lesquels nous avons déjà recherché le LCM dans un des exemples précédents. Décomposons-les en facteurs simples : 75 = 3 5 5 Et 210 = 2 3 5 7. Au produit des facteurs 3, 5 et 5 les nombres 75 ajoutent les facteurs manquants 2 Et 7 numéros 210. On a: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Il s'agit du LCM des nombres 75 et 210.
Exemple 6
Il faut calculer le LCM des nombres 84 et 648.
Solution
Factorisons les chiffres de la condition en facteurs simples : 84 = 2 2 3 7 Et 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Ajoutons au produit les facteurs 2, 2, 3 et 7
nombres 84 facteurs manquants 2, 3, 3 et
3
numéros 648. Nous obtenons le produit 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Il s'agit du plus petit commun multiple de 84 et 648.
Répondre: LCM(84, 648) = 4 536.
Trouver le LCM de trois nombres ou plus
Quel que soit le nombre de nombres auxquels nous avons affaire, l'algorithme de nos actions sera toujours le même : nous trouverons séquentiellement le LCM de deux nombres. Il existe un théorème pour ce cas.
Théorème 1
Supposons que nous ayons des entiers une 1 , une 2 , … , une k. CNP mk ces nombres sont trouvés en calculant séquentiellement m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).
Voyons maintenant comment le théorème peut être appliqué pour résoudre des problèmes spécifiques.
Exemple 7
Vous devez calculer le plus petit commun multiple de quatre nombres 140, 9, 54 et 250 .
Solution
Introduisons la notation : a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Commençons par calculer m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Appliquons l'algorithme euclidien pour calculer le PGCD des nombres 140 et 9 : 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. On obtient : PGCD (140, 9) = 1, PGCD (140, 9) = 140 9 : PGCD (140, 9) = 140 9 : 1 = 1 260. Par conséquent, m 2 = 1 260.
Calculons maintenant en utilisant le même algorithme m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Lors des calculs on obtient m 3 = 3 780.
Il suffit de calculer m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Nous suivons le même algorithme. On obtient m 4 = 94 500.
Le LCM des quatre nombres de l’exemple de condition est 94 500.
Répondre: CNP (140, 9, 54, 250) = 94 500.
Comme vous pouvez le constater, les calculs sont simples, mais assez laborieux. Pour gagner du temps, vous pouvez procéder autrement.
Définition 4
Nous vous proposons l'algorithme d'actions suivant :
- nous décomposons tous les nombres en facteurs premiers ;
- au produit des facteurs du premier nombre on ajoute les facteurs manquants du produit du deuxième nombre ;
- au produit obtenu à l'étape précédente on ajoute les facteurs manquants du troisième nombre, etc. ;
- le produit résultant sera le plus petit commun multiple de tous les nombres de la condition.
Exemple 8
Vous devez trouver le LCM de cinq nombres 84, 6, 48, 7, 143.
Solution
Factorisons les cinq nombres en facteurs premiers : 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Les nombres premiers, qui sont le nombre 7, ne peuvent pas être pris en compte dans les facteurs premiers. Ces nombres coïncident avec leur décomposition en facteurs premiers.
Prenons maintenant le produit des facteurs premiers 2, 2, 3 et 7 du nombre 84 et ajoutons-y les facteurs manquants du deuxième nombre. Nous avons décomposé le nombre 6 en 2 et 3. Ces facteurs sont déjà dans le produit du premier nombre. Nous les omettons donc.
Nous continuons à ajouter les multiplicateurs manquants. Passons au nombre 48, du produit des facteurs premiers duquel on prend 2 et 2. Ensuite, on additionne le facteur premier de 7 du quatrième nombre et les facteurs de 11 et 13 du cinquième. On obtient : 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Il s’agit du plus petit commun multiple des cinq nombres originaux.
Répondre: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.
Trouver le plus petit commun multiple de nombres négatifs
Afin de trouver le plus petit commun multiple de nombres négatifs, ces nombres doivent d'abord être remplacés par des nombres de signe opposé, puis les calculs doivent être effectués à l'aide des algorithmes ci-dessus.
Exemple 9
LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) et LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
De telles actions sont autorisées car si nous acceptons cela un Et − un– les nombres opposés,
alors l'ensemble des multiples d'un nombre un correspond à l'ensemble des multiples d'un nombre − un.
Exemple 10
Il faut calculer le LCM des nombres négatifs − 145 Et − 45 .
Solution
Remplaçons les chiffres − 145 Et − 45 à leurs homologues 145 Et 45 . Maintenant, en utilisant l'algorithme, nous calculons le LCM (145, 45) = 145 · 45 : PGCD (145, 45) = 145 · 45 : 5 = 1 305, après avoir préalablement déterminé le PGCD à l'aide de l'algorithme euclidien.
On obtient que le LCM des nombres est − 145 et − 45 équivaut à 1 305 .
Répondre: LCM (− 145, − 45) = 1 305.
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Pour comprendre comment calculer le LCM, il faut d’abord déterminer la signification du terme « multiple ».
Un multiple de A est un nombre naturel divisible par A sans reste. Ainsi, les nombres multiples de 5 peuvent être considérés comme 15, 20, 25, etc.
Il peut y avoir des diviseurs d'un nombre spécifique Quantité limitée, mais il existe un nombre infini de multiples.
Un multiple commun de nombres naturels est un nombre qui est divisible par eux sans laisser de reste.
Comment trouver le plus petit commun multiple de nombres
Le plus petit commun multiple (LCM) des nombres (deux, trois ou plus) est le plus petit nombre naturel divisible par tous ces nombres.
Pour trouver le LOC, vous pouvez utiliser plusieurs méthodes.
Pour les petits nombres, il est pratique d'écrire tous les multiples de ces nombres sur une ligne jusqu'à ce que vous trouviez quelque chose de commun entre eux. Les multiples sont désignés par la lettre majuscule K.
Par exemple, les multiples de 4 peuvent s’écrire ainsi :
K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Ainsi, vous voyez que le plus petit commun multiple des nombres 4 et 6 est le nombre 24. Cette notation se fait comme suit :
LCM(4, 6) = 24
Si les nombres sont grands, trouvez le commun multiple de trois nombres ou plus, il est alors préférable d'utiliser une autre méthode de calcul du LCM.
Pour terminer la tâche, vous devez factoriser les nombres donnés en facteurs premiers.
Vous devez d'abord écrire la décomposition du plus grand nombre sur une ligne, et en dessous - le reste.
La décomposition de chaque nombre peut contenir un nombre différent de facteurs.
Par exemple, factorisons les nombres 50 et 20 en facteurs premiers.
Dans l’expansion du plus petit nombre, il y a que souligner les facteurs qui sont absents dans l’expansion du premier. grand nombre, puis ajoutez-les-y. Dans l’exemple présenté, il manque un deux.
Vous pouvez maintenant calculer le plus petit commun multiple de 20 et 50.
LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Donc le produit de facteurs premiers plus et les facteurs du deuxième nombre qui n'ont pas été inclus dans l'expansion du plus grand nombre seront le plus petit commun multiple.
Pour trouver le LCM de trois nombres ou plus, vous devez tous les factoriser en facteurs premiers, comme dans le cas précédent.
A titre d'exemple, vous pouvez trouver le plus petit commun multiple des nombres 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Ainsi, seuls deux deux du développement de seize n'ont pas été inclus dans la factorisation d'un plus grand nombre (un est dans le développement de vingt-quatre).
Il faut donc les ajouter à l’expansion d’un plus grand nombre.
LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Il existe des cas particuliers pour déterminer le plus petit commun multiple. Ainsi, si l'un des nombres peut être divisé sans reste par un autre, alors le plus grand de ces nombres sera le plus petit commun multiple.
Par exemple, le LCM de douze et vingt-quatre est vingt-quatre.
S'il est nécessaire de trouver le plus petit commun multiple de nombres premiers qui n'ont pas de diviseurs identiques, alors leur LCM sera égal à leur produit.
Par exemple, LCM (10, 11) = 110.
Deuxième numéro : b=
Séparateur de milliers Sans séparateur d'espace "´
Résultat:
Plus grand diviseur commun PGCD ( un,b)=6
Plus petit commun multiple de LCM ( un,b)=468
Le plus grand nombre naturel pouvant être divisé sans reste par les nombres a et b s'appelle plus grand diviseur commun(PGCD) de ces nombres. Noté pgcd(a,b), (a,b), pgcd(a,b) ou hcf(a,b).
Multiple moins commun Le LCM de deux entiers a et b est le plus petit nombre naturel divisible par a et b sans reste. Noté LCM(a,b), ou lcm(a,b).
Les entiers a et b sont appelés mutuellement premier, s'ils n'ont pas de diviseurs communs autres que +1 et −1.
Plus grand diviseur commun
Soit deux nombres positifs un 1 et un 2 1). Il faut trouver le diviseur commun de ces nombres, c'est-à-dire trouver un tel numéro λ , qui divise les nombres un 1 et un 2 en même temps. Décrivons l'algorithme.
1) Dans cet article, le mot nombre sera compris comme un nombre entier.
Laisser un 1 ≥ un 2 et laissez
Où m 1 , un 3 sont des nombres entiers, un 3 <un 2 (reste de la division un 1 par un 2 devrait être moins un 2).
Faisons comme si λ divise un 1 et un 2 alors λ divise m 1 un 2 et λ divise un 1 −m 1 un 2 =un 3 (Énoncé 2 de l'article « Divisibilité des nombres. Test de divisibilité »). Il s’ensuit que tout diviseur commun un 1 et un 2 est le diviseur commun un 2 et un 3. L’inverse est également vrai si λ diviseur commun un 2 et un 3 alors m 1 un 2 et un 1 =m 1 un 2 +un 3 est également divisible par λ . Donc le diviseur commun un 2 et un 3 est aussi un diviseur commun un 1 et un 2. Parce que un 3 <un 2 ≤un 1, alors on peut dire que la solution au problème de trouver le diviseur commun des nombres un 1 et un 2 réduit au problème plus simple de trouver le diviseur commun des nombres un 2 et un 3 .
Si un 3 ≠0, alors on peut diviser un 2 sur un 3. Alors
,
Où m 1 et un 4 sont des nombres entiers, ( un 4 reste de la division un 2 sur un 3 (un 4 <un 3)). Par un raisonnement similaire, nous arrivons à la conclusion que les diviseurs communs des nombres un 3 et un 4 coïncide avec les diviseurs communs des nombres un 2 et un 3, et aussi avec des diviseurs communs un 1 et un 2. Parce que un 1 , un 2 , un 3 , un 4, ... sont des nombres qui diminuent constamment, et comme il existe un nombre fini d'entiers entre un 2 et 0, puis à un moment donné n, reste de la division un non un n+1 sera égal à zéro ( un n+2 =0).
.
Tout diviseur commun λ Nombres un 1 et un 2 est aussi un diviseur de nombres un 2 et un 3 , un 3 et un 4 , .... un n et un n+1 . L'inverse est également vrai, les diviseurs communs des nombres un n et un n+1 sont aussi des diviseurs de nombres un n−1 et un n , .... , un 2 et un 3 , un 1 et un 2. Mais le diviseur commun des nombres un n et un n+1 est un nombre un n+1 , parce que un n et un n+1 sont divisibles par un n+1 (rappelez-vous que un n+2 =0). Ainsi un n+1 est aussi un diviseur de nombres un 1 et un 2 .
Notez que le numéro un n+1 est le plus grand diviseur des nombres un n et un n+1 , puisque le plus grand diviseur un n+1 est lui-même un n+1 . Si un n+1 peut être représenté comme un produit d'entiers, alors ces nombres sont aussi des diviseurs communs de nombres un 1 et un 2. Nombre un n+1 est appelé plus grand diviseur commun Nombres un 1 et un 2 .
Nombres un 1 et un 2 peut être un nombre positif ou négatif. Si l'un des nombres est égal à zéro, alors le plus grand diviseur commun de ces nombres sera égal à la valeur absolue de l'autre nombre. Le plus grand diviseur commun de zéros n’est pas défini.
L'algorithme ci-dessus s'appelle Algorithme euclidien trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres entiers.
Un exemple de recherche du plus grand diviseur commun de deux nombres
Trouvez le plus grand diviseur commun de deux nombres 630 et 434.
- Étape 1. Divisez le nombre 630 par 434. Le reste est 196.
- Étape 2. Divisez le nombre 434 par 196. Le reste est 42.
- Étape 3. Divisez le nombre 196 par 42. Le reste est 28.
- Étape 4. Divisez le nombre 42 par 28. Le reste est 14.
- Étape 5. Divisez le nombre 28 par 14. Le reste est 0.
À l'étape 5, le reste de la division est 0. Par conséquent, le plus grand diviseur commun des nombres 630 et 434 est 14. Notez que les nombres 2 et 7 sont également des diviseurs des nombres 630 et 434.
Nombres premiers entre eux
Définition 1. Soit le plus grand diviseur commun des nombres un 1 et un 2 est égal à un. Ensuite, ces numéros sont appelés nombres premiers entre eux, n'ayant pas de diviseur commun.
Théorème 1. Si un 1 et un 2 nombres premiers entre eux, et λ un nombre, puis n'importe quel diviseur commun de nombres λa 1 et un 2 est aussi un diviseur commun des nombres λ Et un 2 .
Preuve. Considérons l'algorithme euclidien pour trouver le plus grand diviseur commun des nombres un 1 et un 2 (voir ci-dessus).
.
Des conditions du théorème, il s'ensuit que le plus grand diviseur commun des nombres un 1 et un 2 et donc un n et un n+1 vaut 1. C'est-à-dire un n+1 =1.
Multiplions toutes ces égalités par λ , Alors
.
Soit le diviseur commun un 1 λ Et un 2 oui δ . Alors δ est inclus comme multiplicateur dans un 1 λ , m 1 un 2 λ et en un 1 λ -m 1 un 2 λ =un 3 λ (voir "Divisibilité des nombres", Énoncé 2). Plus loin δ est inclus comme multiplicateur dans un 2 λ Et m 2 un 3 λ , et est donc inclus comme facteur dans un 2 λ -m 2 un 3 λ =un 4 λ .
En raisonnant ainsi, nous sommes convaincus que δ est inclus comme multiplicateur dans un n−1 λ Et m n−1 un n λ , et donc dans un n−1 λ −m n−1 un n λ =un n+1 λ . Parce que un n+1 =1, alors δ est inclus comme multiplicateur dans λ . Donc le nombre δ est le diviseur commun des nombres λ Et un 2 .
Considérons des cas particuliers du théorème 1.
Conséquence 1. Laisser un Et c Les nombres premiers sont relativement b. Puis leur produit ca est un nombre premier par rapport à b.
Vraiment. D'après le théorème 1 ca Et b ont les mêmes diviseurs communs que c Et b. Mais les chiffres c Et b relativement simple, c'est-à-dire avoir un seul diviseur commun 1. Alors ca Et b ont également un seul diviseur commun 1. Par conséquent ca Et b mutuellement simples.
Conséquence 2. Laisser un Et b nombres premiers entre eux et laissez b divise eak. Alors b divise et k.
Vraiment. De la condition d'approbation eak Et b avoir un diviseur commun b. En vertu du théorème 1, b doit être un diviseur commun b Et k. Ainsi b divise k.
Le corollaire 1 peut être généralisé.
Conséquence 3. 1. Laissez les chiffres un 1 , un 2 , un 3 , ..., un m sont premiers par rapport au nombre b. Alors un 1 un 2 , un 1 un 2 · un 3 , ..., un 1 un 2 un 3 ··· un m, le produit de ces nombres est premier par rapport au nombre b.
2. Ayons deux rangées de nombres
de telle sorte que chaque nombre de la première série est premier dans le rapport de chaque nombre de la deuxième série. Ensuite le produit
Vous devez trouver des nombres divisibles par chacun de ces nombres.
Si un nombre est divisible par un 1, alors il a la forme sa 1 où s un certain nombre. Si q est le plus grand commun diviseur des nombres un 1 et un 2, alors
Où s 1 est un entier. Alors
est multiples de nombres les moins courants un 1 et un 2 .
un 1 et un 2 sont relativement premiers, donc le plus petit commun multiple des nombres un 1 et un 2:
Nous devons trouver le plus petit commun multiple de ces nombres.
De ce qui précède, il s'ensuit que tout multiple de nombres un 1 , un 2 , un 3 doit être un multiple de nombres ε Et un 3 et retour. Soit le plus petit commun multiple des nombres ε Et un 3 oui ε 1 . Ensuite, des multiples de nombres un 1 , un 2 , un 3 , un 4 doit être un multiple de nombres ε 1 et un 4 . Soit le plus petit commun multiple des nombres ε 1 et un 4 oui ε 2. Ainsi, nous avons découvert que tous les multiples de nombres un 1 , un 2 , un 3 ,...,un m coïncide avec des multiples d'un certain nombre ε n, qui est appelé le plus petit commun multiple des nombres donnés.
Dans le cas particulier où les nombres un 1 , un 2 , un 3 ,...,un m sont relativement premiers, alors le plus petit commun multiple des nombres un 1 , un 2, comme représenté ci-dessus, a la forme (3). Ensuite, puisque un 3 premiers par rapport aux nombres un 1 , un 2 alors un 3 nombre premier un 1 · un 2 (Corollaire 1). Signifie le plus petit commun multiple des nombres un 1 ,un 2 ,un 3 est un nombre un 1 · un 2 · un 3. En raisonnant de la même manière, nous arrivons aux affirmations suivantes.
Déclaration 1. Le plus petit commun multiple des nombres premiers un 1 , un 2 , un 3 ,...,un m est égal à leur produit un 1 · un 2 · un 3 ··· un m.
Déclaration 2. Tout nombre divisible par chacun des nombres premiers entre eux un 1 , un 2 , un 3 ,...,un m est également divisible par leur produit un 1 · un 2 · un 3 ··· un m.