En mathématiques, l'un des paramètres qui décrit la position d'une droite sur le plan cartésien est le coefficient angulaire de cette droite. Ce paramètre caractérise la pente de la droite par rapport à l'axe des abscisses. Pour comprendre comment trouver la pente, rappelez d'abord la forme générale de l'équation d'une droite dans le système de coordonnées XY.

En général, toute ligne droite peut être représentée par l'expression ax+by=c, où a, b et c sont des nombres réels arbitraires, mais a 2 + b 2 ≠ 0.

En utilisant des transformations simples, une telle équation peut être amenée à la forme y=kx+d, dans laquelle k et d sont des nombres réels. Le nombre k est pente, et l'équation d'une droite de ce type est appelée une équation à coefficient angulaire. Il s'avère que pour trouver la pente, il suffit de réduire l'équation originale à la forme indiquée ci-dessus. Pour une compréhension plus complète, considérons un exemple spécifique :

Problème : Trouver la pente de la droite donnée par l'équation 36x - 18y = 108

Solution : Transformons l'équation d'origine.

Réponse : La pente requise de cette ligne est de 2.

Si, lors de la transformation de l'équation, nous avons reçu une expression comme x = const et que par conséquent nous ne pouvons pas représenter y en fonction de x, alors nous avons affaire à une droite parallèle à l'axe X. Le coefficient angulaire de telle. une ligne droite est égale à l'infini.

Pour les droites exprimées par une équation comme y = const, la pente est nulle. Ceci est typique des lignes droites parallèles à l’axe des abscisses. Par exemple:

Problème : Trouver la pente de la droite donnée par l'équation 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Solution : Réduisons l'équation originale à aspect général

24x + 12 ans - 12 ans + 28 = 4

Il est impossible d'exprimer y à partir de l'expression résultante, donc le coefficient angulaire de cette ligne est égal à l'infini et la ligne elle-même sera parallèle à l'axe Y.

Signification géométrique

Pour meilleure compréhension Regardons l'image :

Sur la figure, nous voyons un graphique d'une fonction comme y = kx. Pour simplifier, prenons le coefficient c = 0. Dans le triangle OAB, le rapport du côté BA sur AO sera égal au coefficient angulaire k. En même temps, le rapport VA/AO est la tangente angle aiguα dans triangle rectangle OAV. Il s'avère que le coefficient angulaire de la droite est égal à la tangente de l'angle que fait cette droite avec l'axe des abscisses de la grille de coordonnées.

En résolvant le problème de savoir comment trouver le coefficient angulaire d'une ligne droite, nous trouvons la tangente de l'angle entre celle-ci et l'axe X de la grille de coordonnées. Cas limites, lorsque la ligne en question est parallèle aux axes de coordonnées, confirmez ce qui précède. En effet, pour une droite décrite par l'équation y=const, l'angle entre elle et l'axe des abscisses est nul. La tangente de l'angle zéro est également nulle et la pente est également nulle.

Pour les droites perpendiculaires à l’axe des x et décrites par l’équation x=const, l’angle entre elles et l’axe des X est de 90 degrés. Tangente angle droit est égal à l'infini, et le coefficient angulaire de droites similaires est également égal à l'infini, ce qui confirme ce qui a été écrit ci-dessus.

Pente tangente

Une tâche courante souvent rencontrée dans la pratique consiste également à trouver la pente d'une tangente au graphique d'une fonction en un certain point. Une tangente est une ligne droite, la notion de pente lui est donc également applicable.

Pour savoir comment trouver la pente d’une tangente, il va falloir rappeler la notion de dérivée. La dérivée de toute fonction en un certain point est une constante numériquement égale à la tangente de l'angle formé entre la tangente au point spécifié au graphique de cette fonction et l'axe des abscisses. Il s'avère que pour déterminer le coefficient angulaire de la tangente au point x 0, nous devons calculer la valeur de la dérivée de la fonction d'origine en ce point k = f"(x 0). Regardons un exemple :

Problème : Trouver la pente de la droite tangente à la fonction y = 12x 2 + 2xe x en x = 0,1.

Solution : trouver la dérivée de la fonction d'origine sous forme générale

y"(0,1) = 24. 0,1 + 2. 0,1. e 0,1 + 2. e 0,1

Réponse : La pente requise au point x = 0,1 est de 4,831

Dans le chapitre précédent, il a été montré qu'en choisissant un certain système de coordonnées sur le plan, nous pouvons propriétés géométriques, qui caractérise les points de la droite considérée, s'exprime analytiquement par une équation entre les coordonnées courantes. On obtient ainsi l'équation de la droite. Ce chapitre examinera les équations des droites.

Pour créer une équation pour une ligne droite en coordonnées cartésiennes, vous devez d'une manière ou d'une autre définir les conditions qui déterminent sa position par rapport aux axes de coordonnées.

Dans un premier temps, nous introduirons la notion de coefficient angulaire d'une droite, qui est l'une des grandeurs caractérisant la position d'une droite sur un plan.

Appelons l'angle d'inclinaison de la ligne droite par rapport à l'axe Ox l'angle dont l'axe Ox doit être tourné pour qu'il coïncide avec la ligne donnée (ou s'avère parallèle à celle-ci). Comme d'habitude, nous considérerons l'angle en tenant compte du signe (le signe est déterminé par le sens de rotation : antihoraire ou horaire). Puisqu'une rotation supplémentaire de l'axe Ox d'un angle de 180° l'alignera à nouveau avec la droite, l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe ne peut pas être choisi sans ambiguïté (jusqu'à un terme multiple de ) .

La tangente de cet angle est déterminée de manière unique (puisque changer l'angle ne change pas sa tangente).

La tangente de l'angle d'inclinaison de la droite à l'axe Ox est appelée coefficient angulaire de la droite.

Le coefficient angulaire caractérise la direction de la droite (on ne distingue pas ici deux directions de la droite opposées). Si la pente d’une droite est nulle, alors la droite est parallèle à l’axe des x. Avec un coefficient angulaire positif, l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe Ox sera aigu (nous considérons ici la plus petite valeur positive de l'angle d'inclinaison) (Fig. 39) ; De plus, plus le coefficient angulaire est grand, plus l'angle de son inclinaison par rapport à l'axe Ox est grand. Si le coefficient angulaire est négatif, alors l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe Ox sera obtus (Fig. 40). A noter qu'une droite perpendiculaire à l'axe Ox n'a pas de coefficient angulaire (la tangente de l'angle n'existe pas).

Suite du sujet, l'équation d'une droite sur un plan est basée sur l'étude d'une droite issue des cours d'algèbre. Cet article fournit des informations générales sur le thème de l'équation d'une droite avec une pente. Examinons les définitions, obtenons l'équation elle-même et identifions le lien avec d'autres types d'équations. Tout sera discuté à l'aide d'exemples de résolution de problèmes.

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Avant d'écrire une telle équation, il est nécessaire de définir l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe O x avec leur coefficient angulaire. Supposons qu'un système de coordonnées cartésiennes O x sur le plan soit donné.

Définition 1

L'angle d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe O x, situé dans le système de coordonnées cartésiennes O x y sur le plan, c'est l'angle qui est mesuré de la direction positive O x à la droite dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Lorsque la ligne est parallèle à O x ou y coïncide, l'angle d'inclinaison est 0. Ensuite, l'angle d'inclinaison de la droite donnée α est déterminé sur l'intervalle [ 0 , π) .

Définition 2

Pente directe est la tangente de l'angle d'inclinaison d'une droite donnée.

La désignation standard est k. À partir de la définition, nous trouvons que k = t g α . Lorsque la droite est parallèle à Ox, on dit que la pente n'existe pas, puisqu'elle va vers l'infini.

La pente est positive lorsque le graphique de la fonction augmente et vice versa. La figure montre diverses variations dans l'emplacement de l'angle droit par rapport au système de coordonnées avec la valeur du coefficient.

Pour trouver cet angle, il faut appliquer la définition du coefficient angulaire et calculer la tangente de l'angle d'inclinaison dans le plan.

Solution

De la condition nous avons que α = 120°. Par définition, la pente doit être calculée. Trouvons-le à partir de la formule k = t g α = 120 = - 3.

Répondre: k = - 3 .

Si le coefficient angulaire est connu et qu'il est nécessaire de trouver l'angle d'inclinaison par rapport à l'axe des abscisses, alors la valeur du coefficient angulaire doit être prise en compte. Si k > 0, alors l'angle droit est aigu et se trouve par la formule α = a r c t g k. Si k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Exemple 2

Déterminez l'angle d'inclinaison de la droite donnée par rapport à O x avec un coefficient angulaire de 3.

Solution

De la condition nous disons que le coefficient angulaire est positif, ce qui signifie que l'angle d'inclinaison par rapport à O x est inférieur à 90 degrés. Les calculs sont effectués à l'aide de la formule α = a r c t g k = a r c t g 3.

Réponse : α = a r c t g 3 .

Exemple 3

Trouvez l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe O x si la pente = - 1 3.

Solution

Si nous prenons la lettre k comme désignation du coefficient angulaire, alors α est l'angle d'inclinaison par rapport à une ligne droite donnée dans la direction positive O x. Donc k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

Répondre: 5π6 .

Une équation de la forme y = k x + b, où k est la pente et b est un nombre réel, est appelée l'équation d'une droite avec une pente. L'équation est typique de toute ligne droite qui n'est pas parallèle à l'axe O y.

Si l'on considère en détail une ligne droite sur un plan dans un système de coordonnées fixe, qui est spécifiée par une équation avec un coefficient angulaire qui a la forme y = k x + b. DANS dans ce cas signifie que l'équation correspond aux coordonnées de n'importe quel point de la ligne. Si l'on substitue les coordonnées du point M, M 1 (x 1, y 1) dans l'équation y = k x + b, alors dans ce cas la ligne passera par ce point, sinon le point n'appartient pas à la ligne.

Exemple 4

Une droite de pente y = 1 3 x - 1 est donnée. Calculez si les points M 1 (3, 0) et M 2 (2, - 2) appartiennent à la droite donnée.

Solution

Il faut substituer les coordonnées du point M 1 (3, 0) dans l'équation donnée, on obtient alors 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. L’égalité est vraie, ce qui signifie que le point appartient à la droite.

Si nous substituons les coordonnées du point M 2 (2, - 2), alors nous obtenons une égalité incorrecte de la forme - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. On peut conclure que le point M 2 n'appartient pas à la droite.

Répondre: M 1 appartient à la lignée, mais pas M 2.

On sait que la droite est définie par l'équation y = k · x + b, passant par M 1 (0, b), par substitution on obtient une égalité de la forme b = k · 0 + b ⇔ b = b. De là on peut conclure que l'équation d'une droite avec un coefficient angulaire y = k x + b sur le plan définit une droite qui passe par le point 0, b. Il forme un angle α avec la direction positive de l'axe O x, où k = t g α.

Considérons, à titre d'exemple, une droite définie à l'aide d'un coefficient angulaire spécifié sous la forme y = 3 · x - 1. On obtient que la droite passera par le point de coordonnée 0, - 1 avec une pente de α = a r c t g 3 = π 3 radians dans le sens positif de l'axe O x. Cela montre que le coefficient est de 3.

Équation d'une droite avec une pente passant par un point donné

Il faut résoudre un problème où il faut obtenir l'équation d'une droite de pente donnée passant par le point M 1 (x 1, y 1).

L'égalité y 1 = k · x + b peut être considérée comme valide, puisque la droite passe par le point M 1 (x 1, y 1). Pour supprimer le nombre b, vous devez soustraire l'équation avec la pente des côtés gauche et droit. Il s'ensuit que y - y 1 = k · (x - x 1) . Cette égalité est appelée l'équation d'une droite de pente donnée k, passant par les coordonnées du point M 1 (x 1, y 1).

Exemple 5

Écrire une équation pour une droite passant par le point M 1 de coordonnées (4, - 1), de coefficient angulaire égal à - 2.

Solution

Par condition nous avons que x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. A partir de là, l'équation de la droite s'écrira comme suit : y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

Répondre: y = - 2 x + 7 .

Exemple 6

Écrivez l'équation d'une droite à coefficient angulaire qui passe par le point M 1 de coordonnées (3, 5), parallèle à la droite y = 2 x - 2.

Solution

Selon la condition, nous avons que les lignes parallèles ont des angles d'inclinaison coïncidents, ce qui signifie que les coefficients angulaires sont égaux. Pour trouver la pente de cette équation, vous devez vous rappeler sa formule de base y = 2 x - 2, il s'ensuit que k = 2. On compose une équation avec le coefficient de pente et on obtient :

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Répondre: y = 2 x - 1 .

Transition d'une équation de ligne droite avec une pente à d'autres types d'équations de ligne droite et inversement

Cette équation n'est pas toujours applicable pour résoudre des problèmes, car elle n'est pas tout à fait pratique à écrire. Pour ce faire, vous devez le présenter sous une forme différente. Par exemple, une équation de la forme y = k · x + b ne permet pas d'écrire les coordonnées du vecteur directeur d'une droite ou les coordonnées d'un vecteur normal. Pour ce faire, vous devez apprendre à représenter avec des équations d'un type différent.

On peut obtenir l'équation canonique d'une droite sur un plan en utilisant l'équation d'une droite avec un coefficient d'angle. Nous obtenons x - x 1 a x = y - y 1 a y . Il faut déplacer le terme b vers la gauche et diviser par l'expression de l'inégalité résultante. Nous obtenons alors une équation de la forme y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.

L'équation d'une droite avec un coefficient angulaire est devenue équation canonique cette ligne.

Exemple 7

Amener l'équation d'une droite avec un coefficient angulaire y = - 3 x + 12 sous forme canonique.

Solution

Calculons-le et présentons-le sous la forme d'une équation canonique d'une droite. On obtient une équation de la forme :

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Réponse : x 1 = y - 12 - 3.

L'équation générale d'une droite est la plus simple à obtenir à partir de y = k · x + b, mais pour cela il faut faire des transformations : y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. On passe de l'équation générale de la droite à des équations d'un type différent.

Exemple 8

Étant donné une équation en ligne droite de la forme y = 1 7 x - 2 . Découvrez si le vecteur de coordonnées a → = (- 1, 7) est un vecteur ligne normale ?

Solution

Pour résoudre il faut passer à une autre forme de cette équation, pour cela on écrit :

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Les coefficients devant les variables sont les coordonnées du vecteur normal de la ligne. Écrivons-le ainsi : n → = 1 7, - 1, donc 1 7 x - y - 2 = 0. Il est clair que le vecteur a → = (- 1, 7) est colinéaire au vecteur n → = 1 7, - 1, puisque nous avons la bonne relation a → = - 7 · n →. Il s'ensuit que le vecteur original a → = - 1, 7 est un vecteur normal de la droite 1 7 x - y - 2 = 0, ce qui signifie qu'il est considéré comme un vecteur normal pour la droite y = 1 7 x - 2.

Répondre: Est

Résolvons le problème inverse de celui-ci.

Il faut passer de la forme générale de l'équation A x + B y + C = 0, où B ≠ 0, à une équation à coefficient angulaire. Pour ce faire, nous résolvons l’équation de y. On obtient A x + B y + C = 0 ⇔ - A B x - C B .

Le résultat est une équation avec une pente égale à - A B .

Exemple 9

Une équation en ligne droite de la forme 2 3 x - 4 y + 1 = 0 est donnée. Obtenir l'équation d'une droite donnée avec un coefficient angulaire.

Solution

En fonction de la condition, il faut résoudre pour y, on obtient alors une équation de la forme :

2 3 x - 4 oui + 1 = 0 ⇔ 4 oui = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Réponse : y = 1 6 x + 1 4 .

Une équation de la forme x a + y b = 1 est résolue de la même manière, appelée équation d'une droite en segments, ou type canonique x - x 1 une x = y - y 1 une y . Nous devons le résoudre pour y, alors seulement nous obtenons une équation avec la pente :

x une + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x une ⇔ y = - b une · x + b.

L'équation canonique peut être réduite à une forme avec un coefficient angulaire. Pour ce faire :

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = une y une x · x - une y une x · x 1 + y 1

Exemple 10

Il existe une droite donnée par l'équation x 2 + y - 3 = 1. Réduire sous la forme d'une équation avec un coefficient angulaire.

Solution.

En fonction de la condition, il faut transformer, on obtient alors une équation de la forme _formule_. Les deux côtés de l'équation doivent être multipliés par - 3 pour obtenir l'équation de pente requise. En transformant, on obtient :

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Répondre: y = 3 2 x - 3 .

Exemple 11

Réduisez l'équation de la ligne droite de la forme x - 2 2 = y + 1 5 à une forme avec un coefficient angulaire.

Solution

Il faut calculer l'expression x - 2 2 = y + 1 5 en proportion. Nous obtenons que 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Vous devez maintenant l'activer complètement, pour ce faire :

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Réponse : y = 5 2 x - 6 .

Pour résoudre de tels problèmes, les équations paramétriques de la droite de la forme x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ doivent être réduites à l'équation canonique de la droite, seulement après cela, on peut passer à l'équation avec le coefficient de pente.

Exemple 12

Trouvez la pente de la droite si elle est donnée par les équations paramétriques x = λ y = - 1 + 2 · λ.

Solution

Il faut passer de la vue paramétrique à la vue pente. Pour ce faire, on retrouve l'équation canonique à partir de l'équation paramétrique donnée :

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Il faut maintenant résoudre cette égalité par rapport à y pour obtenir l'équation d'une droite à coefficient angulaire. Pour ce faire, écrivons-le ainsi :

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Il s’ensuit que la pente de la droite est de 2. Ceci s’écrit k = 2.

Répondre: k = 2.

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Équation d'une droite sur un plan.
Le vecteur direction est droit. Vecteur normal

Une ligne droite sur un avion est l'une des plus simples formes géométriques, familier depuis classes juniors, et aujourd'hui nous apprendrons comment y faire face en utilisant les méthodes de géométrie analytique. Pour maîtriser la matière, il faut être capable de construire une ligne droite ; savoir quelle équation définit une droite, en particulier une droite passant par l'origine des coordonnées et des droites parallèles aux axes de coordonnées. Ces informations peut être trouvé dans le manuel Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires, je l'ai créé pour Mathan, mais la section sur la fonction linéaire s'est avérée très réussie et détaillée. Alors, chères théières, réchauffez-vous d'abord là-bas. De plus, vous devez avoir des connaissances de base sur vecteurs, sinon la compréhension du matériel sera incomplète.

Sur cette leçon Nous examinerons les façons dont vous pouvez créer une équation d’une droite sur un plan. Je recommande de ne pas négliger les exemples pratiques (même si cela semble très simple), puisque je leur fournirai des éléments élémentaires et faits importants, méthodes techniques, qui sera exigé à l'avenir, y compris dans d'autres sections de mathématiques supérieures.

• Comment écrire l’équation d’une droite avec un coefficient d’angle ?
• Comment ?
• Comment trouver un vecteur directeur en utilisant l'équation générale d'une droite ?
• Comment écrire l'équation d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur normal ?

et on commence :

Équation d'une droite avec pente

La forme « scolaire » bien connue d’une équation en ligne droite s’appelle équation d'une droite avec pente. Par exemple, si une droite est donnée par l'équation, alors sa pente est : . Considérons signification géométrique de ce coefficient et comment sa valeur affecte l'emplacement de la ligne :

Dans un cours de géométrie, il est prouvé que la pente de la droite est égale à tangente de l'angle entre la direction de l'axe positifet cette ligne: , et l'angle se « dévisse » dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Afin de ne pas encombrer le dessin, j'ai dessiné des angles uniquement pour deux lignes droites. Considérons la ligne « rouge » et sa pente. D'après ce qui précède : (l'angle « alpha » est indiqué par un arc vert). Pour la droite « bleue » avec le coefficient d'angle, l'égalité est vraie (l'angle « bêta » est indiqué par un arc marron). Et si la tangente de l'angle est connue, alors si nécessaire, elle est facile à trouver et le coin lui-même en utilisant fonction inverse– arctangente. Comme on dit, une table trigonométrique ou une microcalculatrice entre les mains. Ainsi, le coefficient angulaire caractérise le degré d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe des abscisses.

Les cas suivants sont possibles :

1) Si la pente est négative : alors la droite va grosso modo du haut vers le bas. Des exemples sont les lignes droites « bleues » et « framboise » du dessin.

2) Si la pente est positive : , alors la droite va de bas en haut. Exemples - lignes droites « noires » et « rouges » dans le dessin.

3) Si la pente est nulle : , alors l'équation prend la forme , et la droite correspondante est parallèle à l'axe. Un exemple est la ligne droite « jaune ».

4) Pour une famille de droites parallèles à un axe (il n'y a pas d'exemple sur le dessin, à part l'axe lui-même), le coefficient angulaire n'existe pas (la tangente de 90 degrés n'est pas définie).

Plus le coefficient de pente en valeur absolue est élevé, plus le graphique en ligne droite est raide..

Par exemple, considérons deux lignes droites. Ici donc, la ligne droite a une pente plus forte. Je vous rappelle que le module permet d'ignorer le signe, nous ne nous intéressons qu'à valeurs absolues coefficients angulaires.

À son tour, une ligne droite est plus raide que les lignes droites .

A l’inverse : plus le coefficient de pente en valeur absolue est petit, plus la droite est plate.

Pour les lignes droites l'inégalité est vraie, donc la droite est plus plate. Toboggan pour enfants, pour ne pas vous donner de bleus et de bosses.

Pourquoi est-ce nécessaire ?

Prolongez votre tourment La connaissance des faits ci-dessus vous permet de voir immédiatement vos erreurs, en particulier les erreurs lors de la construction de graphiques - si le dessin s'avère être « manifestement quelque chose qui ne va pas ». Il est conseillé que vous tout de suite il était clair que, par exemple, la ligne droite est très raide et va de bas en haut, et la ligne droite est très plate, pressée près de l'axe et va de haut en bas.

Dans les problèmes géométriques, plusieurs lignes droites apparaissent souvent, il est donc pratique de les désigner d'une manière ou d'une autre.

Désignations: les lignes droites sont désignées en petites lettres latines : . Une option populaire consiste à les désigner en utilisant la même lettre avec des indices naturels. Par exemple, les cinq lignes que nous venons d’examiner peuvent être désignées par .

Puisque toute ligne droite est déterminée de manière unique par deux points, elle peut être désignée par ces points : etc. La désignation implique clairement que les points appartiennent à la ligne.

Il est temps de s'échauffer un peu :

Comment écrire l’équation d’une droite avec un coefficient d’angle ?

Si un point appartenant à une certaine ligne et le coefficient angulaire de cette ligne sont connus, alors l'équation de cette ligne est exprimée par la formule :

Exemple 1

Écrivez une équation pour une droite avec une pente si l’on sait que le point appartient à la droite donnée.

Solution: Composons l'équation de la droite en utilisant la formule . Dans ce cas:

Répondre:

Examen se fait simplement. Tout d’abord, nous examinons l’équation résultante et nous assurons que notre pente est en place. Deuxièmement, les coordonnées du point doivent satisfaire cette équation. Branchons-les dans l'équation :

L'égalité correcte est obtenue, ce qui signifie que le point satisfait l'équation résultante.

Conclusion: L'équation a été trouvée correctement.

Un exemple plus délicat à résoudre par vous-même :

Exemple 2

Écrivez une équation pour une droite si l'on sait que son angle d'inclinaison par rapport à la direction positive de l'axe est et que le point appartient à cette droite.

Si vous rencontrez des difficultés, relisez le matériel théorique. Plus précisément, plus pratique, je passe à côté de nombreuses preuves.

Ça a sonné dernier appel, la fête de remise des diplômes s'est calmée, et devant les portes de notre école natale, la géométrie analytique elle-même nous attend. Les blagues sont finies... Ou peut-être qu'ils ne font que commencer =)

Nous agitons avec nostalgie notre plume vers le familier et nous familiarisons avec l'équation générale d'une ligne droite. Car en géométrie analytique, c’est exactement ce qui est utilisé :

L'équation générale d'une droite a la forme: , où sont quelques chiffres. Parallèlement, les coefficients simultanément ne sont pas égaux à zéro, puisque l’équation perd son sens.

Habillons-nous en costume et lions l'équation avec le coefficient de pente. Tout d’abord, déplaçons tous les termes vers la gauche :

Le terme avec un « X » doit être mis en première place :

En principe, l'équation a déjà la forme , mais selon les règles de l'étiquette mathématique, le coefficient du premier terme (dans ce cas) doit être positif. Changement de signes :

N'oubliez pas cette particularité technique ! On rend le premier coefficient (le plus souvent) positif !

En géométrie analytique, l'équation d'une droite sera presque toujours donnée sous la forme forme générale. Eh bien, si nécessaire, il peut être facilement réduit à la forme « école » avec un coefficient angulaire (à l'exception des droites parallèles à l'axe des ordonnées).

Demandons-nous quoi assez sais construire une ligne droite ? Deux points. Mais nous en parlerons davantage plus tard ; nous nous en tenons désormais à la règle des flèches. Chaque ligne droite a une pente bien spécifique, à laquelle il est facile de « s’adapter ». vecteur.

Un vecteur parallèle à une ligne est appelé vecteur directeur de cette ligne.. Il est évident que toute ligne droite a un nombre infini de vecteurs directeurs, et tous seront colinéaires (codirectionnels ou non - cela n'a pas d'importance).

Je désignerai le vecteur direction comme suit : .

Mais un seul vecteur ne suffit pas pour construire une droite ; le vecteur est libre et n’est lié à aucun point du plan. Par conséquent, il est également nécessaire de connaître un point appartenant à la ligne.

Comment écrire l’équation d’une droite à l’aide d’un point et d’un vecteur directeur ?

Si un certain point appartenant à une ligne et le vecteur directeur de cette ligne sont connus, alors l'équation de cette ligne peut être compilée à l'aide de la formule :

On l'appelle parfois équation canonique de la droite .

Que faire quand une des coordonnées est égal à zéro, nous le comprendrons dans des exemples pratiques ci-dessous. Au fait, veuillez noter - les deux à la fois les coordonnées ne peuvent pas être égales à zéro, puisque le vecteur zéro ne spécifie pas de direction spécifique.

Exemple 3

Écrire une équation pour une ligne droite en utilisant un point et un vecteur directeur

Solution: Composons l'équation d'une droite en utilisant la formule. Dans ce cas:

En utilisant les propriétés de proportion on se débarrasse des fractions :

Et on ramène l'équation à sa forme générale :

Répondre:

En règle générale, il n'est pas nécessaire de faire un dessin dans de tels exemples, mais par souci de compréhension :

Dans le dessin, nous voyons le point de départ, le vecteur directeur d'origine (il peut être tracé à partir de n'importe quel point du plan) et la ligne droite construite. À propos, dans de nombreux cas, il est plus pratique de construire une ligne droite à l'aide d'une équation avec un coefficient angulaire. Il est facile de transformer notre équation en forme et de sélectionner facilement un autre point pour construire une ligne droite.

Comme indiqué au début du paragraphe, une ligne droite a un nombre infini de vecteurs directeurs, et tous sont colinéaires. Par exemple, j'ai dessiné trois de ces vecteurs : . Quel que soit le vecteur directeur choisi, le résultat sera toujours la même équation en ligne droite.

Créons une équation d'une droite en utilisant un point et un vecteur directeur :

Résoudre la proportion :

Divisez les deux côtés par –2 et obtenez l’équation familière :

Les personnes intéressées peuvent tester les vecteurs de la même manière ou tout autre vecteur colinéaire.

Résolvons maintenant le problème inverse :

Comment trouver un vecteur directeur en utilisant l'équation générale d'une droite ?

Très simple :

Si une ligne est donnée par une équation générale dans un système de coordonnées rectangulaires, alors le vecteur est le vecteur direction de cette ligne.

Exemples de recherche de vecteurs directeurs de lignes droites :

L’énoncé nous permet de trouver un seul vecteur directeur parmi un nombre infini, mais nous n’en avons pas besoin de plus. Bien que dans certains cas il soit conseillé de réduire les coordonnées des vecteurs directeurs :

Ainsi, l'équation spécifie une ligne droite parallèle à l'axe et les coordonnées du vecteur de direction résultant sont commodément divisées par –2, obtenant exactement le vecteur de base comme vecteur de direction. Logique.

De même, l'équation spécifie une ligne droite parallèle à l'axe, et en divisant les coordonnées du vecteur par 5, on obtient le vecteur unitaire comme vecteur de direction.

Maintenant, faisons-le vérification de l'exemple 3. L'exemple a augmenté, je vous rappelle donc que nous y avons compilé l'équation d'une droite en utilisant un point et un vecteur direction

Premièrement, en utilisant l'équation de la droite on restitue son vecteur direction : – tout va bien, nous avons reçu le vecteur original (dans certains cas le résultat peut être un vecteur colinéaire à celui d'origine, et cela se remarque généralement facilement par la proportionnalité des coordonnées correspondantes).

Deuxièmement, les coordonnées du point doivent satisfaire l'équation. Nous les substituons dans l'équation :

L'égalité correcte a été obtenue, ce dont nous sommes très heureux.

Conclusion: La tâche a été accomplie correctement.

Exemple 4

Écrire une équation pour une ligne droite en utilisant un point et un vecteur directeur

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. La solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon. Il est fortement conseillé de vérifier à l’aide de l’algorithme qui vient d’être évoqué. Essayez de toujours (si possible) vérifier un brouillon. C’est stupide de faire des erreurs là où elles peuvent être évitées à 100 %.

Dans le cas où l'une des coordonnées du vecteur directeur est nulle, procédez très simplement :

Exemple 5

Solution: La formule ne convient pas puisque le dénominateur du côté droit est zéro. Il y a un moyen de s'en sortir ! En utilisant les propriétés de proportion, nous réécrivons la formule sous la forme, et le reste roule le long d'une ornière profonde :

Répondre:

Examen:

1) Restaurer le vecteur directeur de la ligne :
– le vecteur résultant est colinéaire au vecteur directeur d’origine.

2) Remplacez les coordonnées du point dans l'équation :

L'égalité correcte est obtenue

Conclusion: tâche terminée correctement

La question se pose, pourquoi s'embêter avec la formule s'il existe une version universelle qui fonctionnera dans tous les cas ? Il y a deux raisons. Premièrement, la formule se présente sous la forme d'une fraction on s'en souvient beaucoup mieux. Et deuxièmement, l’inconvénient de la formule universelle est que le risque de confusion augmente considérablement lors du remplacement des coordonnées.

Exemple 6

Écrivez une équation pour une ligne droite en utilisant un point et un vecteur directeur.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même.

Revenons aux deux points omniprésents :

Comment écrire l’équation d’une droite à l’aide de deux points ?

Si deux points sont connus, alors l'équation d'une droite passant par ces points peut être compilée à l'aide de la formule :

En fait, c'est un type de formule et voici pourquoi : si deux points sont connus, alors le vecteur sera le vecteur direction de la ligne donnée. En classe Vecteurs pour les nuls nous avons considéré tâche la plus simple– comment trouver les coordonnées d'un vecteur à partir de deux points. D’après ce problème, les coordonnées du vecteur direction sont :

Note : les points peuvent être « échangés » et la formule peut être utilisée . Une telle solution sera équivalente.

Exemple 7

Écrire l'équation d'une droite en utilisant deux points .

Solution: On utilise la formule :

Peigner les dénominateurs :

Et mélangez le jeu :

Il est maintenant temps de se débarrasser des nombres fractionnaires. Dans ce cas, vous devez multiplier les deux côtés par 6 :

Ouvrez les parenthèses et rappelez-vous l’équation :

Répondre:

Examen est évident - les coordonnées des points initiaux doivent satisfaire l'équation résultante :

1) Remplacez les coordonnées du point :

Une véritable égalité.

2) Remplacez les coordonnées du point :

Une véritable égalité.

Conclusion: L'équation de la droite est écrite correctement.

Si au moins un des points ne satisfait pas à l’équation, recherchez une erreur.

Il convient de noter que la vérification graphique dans ce cas est difficile, car construire une ligne droite et voir si les points lui appartiennent , pas si simple.

Je noterai quelques aspects techniques supplémentaires de la solution. Peut-être que dans ce problème, il est plus rentable d'utiliser la formule miroir et, aux mêmes points faire une équation :

Moins de fractions. Si vous le souhaitez, vous pouvez effectuer la solution jusqu'au bout, le résultat devrait être la même équation.

Le deuxième point est d’examiner la réponse finale et de déterminer si elle pourrait être davantage simplifiée ? Par exemple, si vous obtenez l’équation , alors il convient de la réduire par deux : – l’équation définira la même droite. Cependant, c'est déjà un sujet de conversation sur position relative des lignes.

Ayant reçu la réponse dans l'exemple 7, juste au cas où, j'ai vérifié si TOUS les coefficients de l'équation sont divisibles par 2, 3 ou 7. Bien que le plus souvent de telles réductions soient effectuées lors de la solution.

Exemple 8

Écrire une équation pour une droite passant par les points .

Ceci est un exemple de solution indépendante, qui vous permettra de mieux comprendre et pratiquer les techniques de calcul.

Semblable au paragraphe précédent : si dans la formule l'un des dénominateurs (la coordonnée du vecteur directeur) devient nul, puis on le réécrit sous la forme . Encore une fois, remarquez à quel point elle a l’air maladroite et confuse. Je ne vois pas l'intérêt de donner des exemples pratiques, puisque nous avons déjà effectivement résolu ce problème (voir n° 5, 6).

Vecteur normal direct (vecteur normal)

Qu'est-ce qui est normal ? En mots simples, la normale est perpendiculaire. Autrement dit, le vecteur normal d’une ligne est perpendiculaire à une ligne donnée. Évidemment, toute droite en possède un nombre infini (ainsi que des vecteurs directeurs), et tous les vecteurs normaux de la droite seront colinéaires (codirectionnels ou non, cela ne fait aucune différence).

Les gérer sera encore plus facile qu'avec des vecteurs guides :

Si une ligne est donnée par une équation générale dans un système de coordonnées rectangulaires, alors le vecteur est le vecteur normal de cette ligne.

Si les coordonnées du vecteur directeur doivent être soigneusement « extraites » de l'équation, alors les coordonnées du vecteur normal peuvent être simplement « supprimées ».

Le vecteur normal est toujours orthogonal au vecteur directeur de la ligne. Vérifions l'orthogonalité de ces vecteurs en utilisant produit scalaire:

Je vais donner des exemples avec les mêmes équations que pour le vecteur direction :

Est-il possible de construire une équation d’une droite étant donné un point et un vecteur normal ? Je le ressens dans mes tripes, c’est possible. Si le vecteur normal est connu, alors la direction de la ligne droite elle-même est clairement définie - il s'agit d'une "structure rigide" avec un angle de 90 degrés.

Comment écrire l'équation d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur normal ?

Si un certain point appartenant à une droite et le vecteur normal de cette droite sont connus, alors l'équation de cette droite est exprimée par la formule :

Ici, tout s'est déroulé sans fractions ni autres surprises. C'est notre vecteur normal. Aimez-le. Et respect =)

Exemple 9

Écrivez l'équation d'une droite étant donné un point et un vecteur normal. Trouvez le vecteur direction de la ligne.

Solution: On utilise la formule :

L’équation générale de la droite a été obtenue, vérifions :

1) « Supprimer » les coordonnées du vecteur normal de l'équation : – oui, en effet, le vecteur original a été obtenu à partir de la condition (ou un vecteur colinéaire doit être obtenu).

2) Vérifions si le point satisfait l'équation :

Une véritable égalité.

Une fois que nous serons convaincus que l’équation est correctement composée, nous terminerons la deuxième partie de la tâche, la plus simple. On sort le vecteur directeur de la droite :

Répondre:

Sur le dessin, la situation ressemble à ceci :

À des fins de formation, une tâche similaire à résoudre de manière indépendante :

Exemple 10

Écrivez l'équation d'une droite étant donné un point et un vecteur normal. Trouvez le vecteur direction de la ligne.

La dernière partie de la leçon sera consacrée aux choses moins courantes, mais aussi espèce importanteéquations d'une droite sur un plan

Équation d'une droite en segments.
Équation d'une droite sous forme paramétrique

L'équation d'une droite en segments a la forme , où sont des constantes non nulles. Certains types d'équations ne peuvent pas être représentés sous cette forme, par exemple la proportionnalité directe (puisque le terme libre est égal à zéro et qu'il n'y a aucun moyen d'en obtenir un du côté droit).

Il s’agit, au sens figuré, d’une équation de type « technique ». Une tâche courante consiste à équation générale représenter une droite sous la forme d'une équation d'une droite en segments. En quoi est-ce pratique ? L'équation d'une droite en segments permet de retrouver rapidement les points d'intersection d'une droite avec axes de coordonnées, ce qui peut être très important dans certains problèmes de mathématiques supérieures.

Trouvons le point d'intersection de la ligne avec l'axe. On réinitialise le « y » et l’équation prend la forme . Le point souhaité est obtenu automatiquement : .

Idem avec l'axe – le point où la droite coupe l’axe des ordonnées.

Apprenez à prendre des dérivées de fonctions. La dérivée caractérise le taux de changement d'une fonction à un certain point situé sur le graphique de cette fonction. Dans ce cas, le graphique peut être une ligne droite ou courbe. Autrement dit, la dérivée caractérise le taux de changement d'une fonction à un moment donné. Souviens-toi règles générales, par lequel les dérivés sont pris, et ensuite seulement passer à l'étape suivante.

• Lisez l'article.
• Comment prendre les dérivées les plus simples, par exemple la dérivée équation exponentielle, décrit. Les calculs présentés dans les étapes suivantes seront basés sur les méthodes qui y sont décrites.

Apprenez à distinguer les problèmes dans lesquels la pente doit être calculée via la dérivée d'une fonction. Les problèmes ne vous demandent pas toujours de trouver la pente ou la dérivée d’une fonction. Par exemple, on vous demandera peut-être de trouver le taux de changement d’une fonction au point A(x,y). Il peut également vous être demandé de trouver la pente de la tangente au point A(x,y). Dans les deux cas il faut prendre la dérivée de la fonction.

Prenez la dérivée de la fonction qui vous est donnée. Il n'est pas nécessaire de créer un graphique ici, vous n'avez besoin que de l'équation de la fonction. Dans notre exemple, prenons la dérivée de la fonction. Prendre le dérivé selon les méthodes décrites dans l'article mentionné ci-dessus :

• Dérivé:

Remplacez les coordonnées du point qui vous est donné dans la dérivée trouvée pour calculer la pente. La dérivée d'une fonction est égale à la pente en un certain point. En d'autres termes, f"(x) est la pente de la fonction en tout point (x,f(x)). Dans notre exemple :

• Trouver la pente de la fonction f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) au point A(4,2).
• Dérivée d'une fonction :
  • f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
• Remplacez la valeur de la coordonnée « x » de ce point :
  • f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
• Trouvez la pente :
• Fonction pente f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) au point A(4,2) est égal à 22.

Si possible, vérifiez votre réponse sur un graphique. N'oubliez pas que la pente ne peut pas être calculée en tout point. Le calcul différentiel examine fonctions complexes et des graphiques complexes, où la pente ne peut pas être calculée en chaque point et, dans certains cas, les points ne se trouvent pas du tout sur les graphiques. Si possible, utilisez une calculatrice graphique pour vérifier que la pente de la fonction qui vous est donnée est correcte. Sinon, tracez une tangente au graphique au point qui vous est indiqué et demandez-vous si la valeur de pente que vous avez trouvée correspond à ce que vous voyez sur le graphique.

• La tangente aura la même pente que le graphique de la fonction en un certain point. Pour tracer une tangente en un point donné, déplacez-vous vers la gauche/droite sur l'axe X (dans notre exemple, 22 valeurs vers la droite), puis vers le haut d'une sur l'axe Y. Marquez le point, puis connectez-le au. point qui vous est donné. Dans notre exemple, reliez les points de coordonnées (4,2) et (26,3).