Soit des lignes droites dans l'espace je Et m. Par un point A de l'espace, nous traçons des lignes droites je 1 || je Et m 1 || m(Fig. 138).
A noter que le point A peut être choisi arbitrairement notamment, il peut se situer sur l'une de ces droites ; Si droit je Et m se croisent, alors A peut être pris comme point d'intersection de ces lignes ( je 1 = je Et m 1 = m).
Angle entre des lignes non parallèles je Et m est la valeur du plus petit des angles adjacents formés par des lignes sécantes je 1 Et m 1 (je 1 || je, m 1 || m). L'angle entre les lignes parallèles est considéré comme égal à zéro.
Angle entre les lignes droites je Et m noté \(\widehat((l;m))\). De la définition, il s'ensuit que si elle est mesurée en degrés, alors 0° < \(\chapeau large((l;m)) \) < 90°, et si en radians, alors 0 < \(\chapeau large((l;m)) \) < π / 2 .
Tâche.Étant donné un cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Fig. 139).
Trouvez l'angle entre les droites AB et DC 1.
Traversée des lignes droites AB et DC 1. Puisque la droite DC est parallèle à la droite AB, l'angle entre les droites AB et DC 1, selon la définition, est égal à \(\widehat(C_(1)DC)\).
Par conséquent, \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.
Direct je Et m sont appelés perpendiculaire, si \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Par exemple, dans un cube
Calcul de l'angle entre droites.
Le problème du calcul de l'angle entre deux droites dans l'espace se résout de la même manière que dans un plan. Notons φ la grandeur de l'angle entre les droites je 1 Et je 2, et via ψ - la grandeur de l'angle entre les vecteurs directeurs UN Et b ces lignes droites.
Puis si
ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (Fig. 206.6), alors φ = 180° - ψ. Évidemment, dans les deux cas, l’égalité cos φ = |cos ψ| est vraie. D'après la formule (le cosinus de l'angle entre les vecteurs non nuls a et b est égal au produit scalaire de ces vecteurs divisé par le produit de leurs longueurs) on a
$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$
ainsi,
$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$
Que les lignes droites soient données par elles-mêmes équations canoniques
$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Et \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$
Ensuite, l'angle φ entre les lignes est déterminé à l'aide de la formule
$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$
Si l'une des lignes (ou les deux) est donnée par des équations non canoniques, alors pour calculer l'angle, vous devez trouver les coordonnées des vecteurs directeurs de ces lignes, puis utiliser la formule (1).
Tache 1. Calculer l'angle entre les lignes
$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;et\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$
Les vecteurs directeurs des droites ont pour coordonnées :
une = (-√2 ; √2 ; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).
En utilisant la formule (1), nous trouvons
$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$
L’angle entre ces lignes est donc de 60°.
Tâche 2. Calculer l'angle entre les lignes
$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) et \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\fin(cas) $$
Derrière le vecteur guide UN prends la première ligne droite produit vectoriel vecteurs normaux n 1 = (3 ; 0 ; -12) et n 2 = (1; 1; -3) plans définissant cette ligne. En utilisant la formule \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) nous obtenons
$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$
De même, on retrouve le vecteur directeur de la deuxième droite :
$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$
Mais en utilisant la formule (1), nous calculons le cosinus de l'angle souhaité :
$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$
L’angle entre ces lignes est donc de 90°.
Tâche 3. DANS pyramide triangulaire Les bords MABC MA, MB et MS sont mutuellement perpendiculaires (Fig. 207) ;
leurs longueurs sont respectivement 4, 3, 6. Le point D est le milieu [MA]. Trouvez l'angle φ entre les lignes CA et DB.
Soient CA et DB les vecteurs directeurs des droites CA et DB.
Prenons le point M comme origine des coordonnées. Par la condition de l'équation, nous avons A (4 ; 0 ; 0), B(0 ; 0 ; 3), C(0 ; 6 ; 0), D (2 ; 0 ; 0). Donc \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Utilisons la formule (1) :
$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$
En utilisant la table des cosinus, nous constatons que l’angle entre les droites CA et DB est d’environ 72°.
Avec l'aide de ceci calculateur en ligne vous pouvez trouver l'angle entre des lignes droites. Donné solution détaillée avec des explications. Pour calculer l'angle entre des droites, définissez la dimension (2 si l'on considère une droite sur un plan, 3 si l'on considère une droite dans l'espace), entrez les éléments de l'équation dans les cellules et cliquez sur le bouton « Résoudre ». bouton. Voir la partie théorique ci-dessous.
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1. Angle entre des lignes droites sur un plan
Les lignes sont définies par des équations canoniques
1.1. Déterminer l'angle entre des lignes droites
Laissez les lignes dans l'espace bidimensionnel L 1 et L
Ainsi, à partir de la formule (1.4), nous pouvons trouver l'angle entre les lignes L 1 et L 2. Comme le montre la figure 1, les lignes qui se croisent forment des angles adjacents. φ Et φ 1 . Si l'angle trouvé est supérieur à 90°, alors vous pouvez trouver l'angle minimum entre les droites L 1 et L 2: φ 1 =180-φ .
De la formule (1.4), nous pouvons déduire les conditions de parallélisme et de perpendiculaire de deux droites.
Exemple 1. Déterminer l'angle entre les lignes
Simplifions et résolvons :
1.2. Condition pour les lignes parallèles
Laisser φ =0. Alors cosφ=1. Dans ce cas, l’expression (1.4) prendra la forme suivante :
| , |
| , |
Exemple 2 : Déterminer si les lignes sont parallèles
L'égalité (1.9) est satisfaite, donc les droites (1.10) et (1.11) sont parallèles.
Répondre. Les droites (1.10) et (1.11) sont parallèles.
1.3. Condition de perpendiculaire des lignes
Laisser φ =90°. Alors cosφ=0. Dans ce cas, l’expression (1.4) prendra la forme suivante :
Exemple 3. Déterminer si les lignes sont perpendiculaires
La condition (1.13) est satisfaite, donc les droites (1.14) et (1.15) sont perpendiculaires.
Répondre. Les droites (1.14) et (1.15) sont perpendiculaires.
Les lignes sont définies par des équations générales
1.4. Déterminer l'angle entre des lignes droites
Soit deux lignes droites L 1 et L 2 sont donnés par des équations générales
De la définition du produit scalaire de deux vecteurs, on a :
Exemple 4. Trouver l'angle entre les lignes
Remplacement des valeurs UN 1 , B 1 , UN 2 , B 2 po (1,23), on obtient :
Cet angle est supérieur à 90°. Trouvons l'angle minimum entre les lignes droites. Pour cela, soustrayez cet angle de 180 :
Par contre, la condition des droites parallèles L 1 et L 2 équivaut à la condition de colinéarité des vecteurs n 1 et n 2 et peut être représenté ainsi :
L'égalité (1.24) est satisfaite, donc les droites (1.26) et (1.27) sont parallèles.
Répondre. Les droites (1.26) et (1.27) sont parallèles.
1.6. Condition de perpendiculaire des lignes
Condition de perpendiculaire des lignes L 1 et L 2 peut être extrait de la formule (1.20) en remplaçant parce que(φ )=0. Alors produit scalaire (n 1 ,n 2)=0. Où
L'égalité (1.28) est satisfaite, donc les droites (1.29) et (1.30) sont perpendiculaires.
Répondre. Les droites (1.29) et (1.30) sont perpendiculaires.
2. Angle entre des lignes droites dans l'espace
2.1. Déterminer l'angle entre des lignes droites
Qu'il y ait des lignes droites dans l'espace L 1 et L 2 sont donnés par des équations canoniques
où | q 1 | et | q 2 | modules vectoriels de direction q 1 et q 2 respectivement, φ -angle entre les vecteurs q 1 et q 2 .
De l’expression (2.3) on obtient :
 .
|
Simplifions et résolvons :
 .
|
Trouvons l'angle φ
UN. Soit deux droites. Ces droites, comme indiqué au chapitre 1, forment divers angles positifs et négatifs, qui peuvent être aigus ou obtus. Connaissant l’un de ces angles, on peut facilement en trouver un autre.
D'ailleurs, pour tous ces angles la valeur numérique de la tangente est la même, la différence ne peut être que dans le signe
Équations de droites. Les nombres sont les projections des vecteurs directeurs des première et deuxième droites. L'angle entre ces vecteurs est égal à l'un des angles formés par les droites. Le problème se résume donc à déterminer l’angle entre les vecteurs.
Par souci de simplicité, on peut convenir que l'angle entre deux droites est un angle aigu positif (comme, par exemple, sur la Fig. 53).
Alors la tangente de cet angle sera toujours positive. Ainsi, s’il y a un signe moins à droite de la formule (1), alors nous devons le supprimer, c’est-à-dire sauvegarder uniquement la valeur absolue.
Exemple. Déterminer l'angle entre les lignes droites
D'après la formule (1) on a
Avec. S'il est indiqué lequel des côtés de l'angle est son début et lequel est sa fin, alors, en comptant toujours la direction de l'angle dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, nous pouvons extraire quelque chose de plus de la formule (1). Comme on peut facilement le constater sur la fig. 53, le signe obtenu à droite de la formule (1) indiquera quel type d'angle - aigu ou obtus - forme la deuxième droite avec la première.
(En effet, sur la figure 53, nous voyons que l'angle entre les premier et deuxième vecteurs directeurs est soit égal à l'angle souhaité entre les lignes droites, soit en diffère de ± 180°.)
d. Si les droites sont parallèles, alors leurs vecteurs directeurs sont parallèles. En appliquant la condition de parallélisme de deux vecteurs, on obtient !
C'est une condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme de deux droites.
Exemple. Direct
sont parallèles parce que
e. Si les droites sont perpendiculaires alors leurs vecteurs directeurs sont également perpendiculaires. En appliquant la condition de perpendiculaire de deux vecteurs, on obtient la condition de perpendiculaire de deux droites, à savoir
Exemple. Direct
sont perpendiculaires du fait que
En relation avec les conditions de parallélisme et de perpendiculaire, nous résoudrons les deux problèmes suivants.
F. Tracer une ligne passant par un point parallèle à la ligne donnée
La solution s'effectue ainsi. Puisque la droite recherchée est parallèle à celle-ci, alors comme vecteur directeur on peut prendre le même que celui de la droite donnée, c'est-à-dire un vecteur avec les projections A et B. Et alors l'équation de la droite recherchée s'écrira en le formulaire (§ 1)
Exemple. Équation d'une droite passant par le point (1; 3) parallèle à la droite
il y aura la prochaine !
g. Tracer une ligne passant par un point perpendiculaire à la ligne donnée
Ici, il ne convient plus de prendre le vecteur avec les projections A et comme vecteur directeur, mais il faut prendre le vecteur perpendiculaire à celui-ci. Les projections de ce vecteur doivent donc être choisies en fonction de la condition de circularité des deux vecteurs, c'est-à-dire en fonction de la condition
Cette condition peut être remplie d'innombrables manières, puisqu'il s'agit ici d'une équation à deux inconnues. Mais le moyen le plus simple est de prendre ou. Ensuite, l'équation de la droite souhaitée sera écrite sous la forme.
Exemple. Équation d'une droite passant par le point (-7; 2) dans une droite perpendiculaire
il y aura ce qui suit (selon la deuxième formule) !
h. Dans le cas où les droites sont données par des équations de la forme
Ce document est consacré à un concept tel que l'angle entre deux lignes qui se croisent. Dans le premier paragraphe, nous expliquerons ce que c'est et le montrerons dans des illustrations. Ensuite, nous examinerons les manières dont vous pouvez trouver le sinus, le cosinus de cet angle et l'angle lui-même (nous considérerons séparément les cas avec un plan et un espace tridimensionnel), nous donnerons les formules nécessaires et montrerons avec des exemples exactement comment ils sont utilisés dans la pratique.
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Afin de comprendre quel est l’angle formé lorsque deux lignes se croisent, nous devons nous rappeler la définition même de l’angle, de la perpendiculaire et du point d’intersection.
Définition 1
On appelle deux droites se coupant si elles ont un point commun. Ce point est appelé point d’intersection de deux droites.
Chaque droite est divisée par un point d'intersection en rayons. Les deux lignes droites forment 4 angles, dont deux verticaux et deux adjacents. Si nous connaissons la mesure de l’un d’eux, nous pouvons alors déterminer les autres.
Disons que l'on sait que l'un des angles est égal à α. Dans ce cas, l'angle vertical par rapport à lui sera également égal à α. Pour trouver les angles restants, nous devons calculer la différence 180° - α. Si α est égal à 90 degrés, alors tous les angles seront droits. Les lignes se coupant à angle droit sont appelées perpendiculaires (un article séparé est consacré au concept de perpendiculaire).
Jetez un oeil à la photo :
Passons à la formulation de la définition principale.
Définition 2
L'angle formé par deux lignes sécantes est la mesure du plus petit des 4 angles qui forment ces deux lignes.
Une conclusion importante doit être tirée de la définition : la taille de l'angle dans ce cas sera exprimée par n'importe quel nombre réel dans l'intervalle (0, 90]. Si les lignes sont perpendiculaires, alors l'angle entre elles sera dans tous les cas égal à 90 degrés.
La capacité de trouver la mesure de l’angle entre deux lignes sécantes est utile pour résoudre de nombreux problèmes pratiques. La méthode de résolution peut être choisie parmi plusieurs options.
Pour commencer, nous pouvons prendre des méthodes géométriques. Si nous connaissons quelque chose sur les angles supplémentaires, nous pouvons alors les relier à l’angle dont nous avons besoin en utilisant les propriétés de figures égales ou similaires. Par exemple, si nous connaissons les côtés d'un triangle et devons calculer l'angle entre les lignes sur lesquelles se trouvent ces côtés, alors le théorème du cosinus convient à notre solution. Si nous avons la condition triangle rectangle, alors pour les calculs, nous aurons également besoin de la connaissance du sinus, du cosinus et de la tangente d'un angle.
La méthode des coordonnées est également très pratique pour résoudre des problèmes de ce type. Expliquons comment l'utiliser correctement.
Nous avons un système de coordonnées rectangulaires (cartésiennes) O x y, dans lequel deux lignes droites sont données. Désignons-les par les lettres a et b. Les lignes droites peuvent être décrites à l'aide de certaines équations. Les lignes originales ont un point d'intersection M. Comment déterminer l'angle recherché (notons-le α) entre ces droites ?
Commençons par formuler le principe de base pour trouver un angle dans des conditions données.
Nous savons que le concept de ligne droite est étroitement lié à des concepts tels que vecteur directeur et vecteur normal. Si nous avons une équation d’une certaine droite, nous pouvons en tirer les coordonnées de ces vecteurs. Nous pouvons faire cela pour deux lignes qui se croisent à la fois.
L’angle sous-tendu par deux lignes sécantes peut être trouvé en utilisant :
- angle entre les vecteurs directeurs ;
- angle entre les vecteurs normaux ;
- l'angle entre le vecteur normal d'une ligne et le vecteur directeur de l'autre.
Examinons maintenant chaque méthode séparément.
1. Supposons que nous ayons une droite a avec un vecteur directeur a → = (a x, a y) et une droite b avec un vecteur directeur b → (b x, b y). Traçons maintenant deux vecteurs a → et b → à partir du point d'intersection. Nous verrons ensuite qu'ils seront chacun situés sur leur propre ligne droite. Ensuite, nous avons quatre options pour eux position relative. Voir l'illustration :
Si l’angle entre deux vecteurs n’est pas obtus, alors ce sera l’angle dont nous avons besoin entre les lignes sécantes a et b. S'il est obtus, alors l'angle souhaité sera égal à l'angle adjacent à l'angle a →, b → ^. Ainsi, α = a → , b → ^ si a → , b → ^ ≤ 90 ° , et α = 180 ° - a → , b → ^ si a → , b → ^ > 90 ° .
Basé sur le fait que les cosinus angles égaux sont égaux, on peut réécrire les égalités résultantes comme suit : cos α = cos a → , b → ^ , si a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, si a →, b → ^ > 90°.
Dans le second cas, des formules de réduction ont été utilisées. Ainsi,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Écrivons la dernière formule avec des mots :
Définition 3
Le cosinus de l'angle formé par deux droites sécantes sera égal au module du cosinus de l'angle entre ses vecteurs directeurs.
La forme générale de la formule du cosinus de l'angle entre deux vecteurs a → = (a x , a y) et b → = (b x , b y) ressemble à ceci :
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
De là, nous pouvons en déduire la formule du cosinus de l’angle entre deux droites données :
cos α = a x b x + a y + by a x 2 + a y 2 b x 2 + by 2 = a x b x + a y + by a x 2 + a y 2 b x 2 + by 2
Ensuite, l'angle lui-même peut être trouvé à l'aide de la formule suivante :
α = a r c cos a x b x + a y + par a x 2 + a y 2 b x 2 + par y 2
Ici a → = (a x , a y) et b → = (b x , by y) sont les vecteurs directeurs des lignes données.
Donnons un exemple de résolution du problème.
Exemple 1
Dans un système de coordonnées rectangulaires sur un plan, deux lignes sécantes a et b sont données. Ils peuvent être décrits par les équations paramétriques x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R et x 5 = y - 6 - 3. Calculez l'angle entre ces lignes.
Solution
Nous avons une équation paramétrique dans notre condition, ce qui signifie que pour cette droite nous pouvons immédiatement noter les coordonnées de son vecteur directeur. Pour ce faire, il faut prendre les valeurs des coefficients du paramètre, c'est-à-dire la droite x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R aura un vecteur directeur a → = (4, 1).
La deuxième droite est décrite à l'aide de l'équation canonique x 5 = y - 6 - 3. Ici, nous pouvons prendre les coordonnées des dénominateurs. Ainsi, cette droite a un vecteur directeur b → = (5 , - 3) .
Ensuite, nous passons directement à la recherche de l’angle. Pour ce faire, remplacez simplement les coordonnées existantes des deux vecteurs dans la formule ci-dessus α = a r c cos a x · b x + a y + by a x 2 + a y 2 · b x 2 + by y 2 . Nous obtenons ce qui suit :
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °
Répondre: Ces lignes droites forment un angle de 45 degrés.
Nous pouvons résoudre un problème similaire en trouvant l’angle entre les vecteurs normaux. Si nous avons une ligne a avec un vecteur normal n a → = (n a x , n a y) et une ligne b avec un vecteur normal n b → = (n b x , n b y), alors l'angle entre eux sera égal à l'angle entre n a → et n b → ou l'angle qui sera adjacent à n a →, n b → ^. Cette méthode est illustrée dans l'image :
Les formules pour calculer le cosinus de l'angle entre les lignes qui se croisent et cet angle lui-même en utilisant les coordonnées des vecteurs normaux ressemblent à ceci :
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n by n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n by 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n by n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n by 2
Ici n a → et n b → désignent les vecteurs normaux de deux droites données.
Exemple 2
Dans un système de coordonnées rectangulaires, deux lignes droites sont spécifiées à l'aide des équations 3 x + 5 y - 30 = 0 et x + 4 y - 17 = 0. Trouvez le sinus et le cosinus de l'angle qui les sépare et la grandeur de cet angle lui-même.
Solution
Les lignes originales sont spécifiées à l'aide d'équations de lignes normales de la forme A x + B y + C = 0. Nous désignons le vecteur normal par n → = (A, B). Trouvons les coordonnées du premier vecteur normal pour une ligne et écrivons-les : n a → = (3, 5) . Pour la deuxième ligne x + 4 y - 17 = 0, le vecteur normal aura les coordonnées n b → = (1, 4). Ajoutons maintenant les valeurs obtenues à la formule et calculons le total :
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Si nous connaissons le cosinus d’un angle, nous pouvons alors calculer son sinus en utilisant l’identité trigonométrique de base. Puisque l'angle α formé par les droites n'est pas obtus, alors sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.
Dans ce cas, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.
Réponse : cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Faisons le tri dernier cas– trouver l’angle entre des droites si l’on connaît les coordonnées du vecteur directeur d’une droite et du vecteur normal de l’autre.
Supposons que la droite a ait un vecteur directeur a → = (a x , a y) et que la droite b ait un vecteur normal n b → = (n b x , n b y) . Nous devons mettre ces vecteurs à l’écart du point d’intersection et considérer toutes les options pour leurs positions relatives. Voir sur la photo :
Si l'angle entre vecteurs donnés pas plus de 90 degrés, il s'avère que cela complétera l'angle entre a et b en un angle droit.
une → , n b → ^ = 90 ° - α si une → , n b → ^ ≤ 90 ° .
S'il fait moins de 90 degrés, alors nous obtenons ce qui suit :
a → , n b → ^ > 90 ° , alors a → , n b → ^ = 90 ° + α
En utilisant la règle d'égalité des cosinus d'angles égaux, on écrit :
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α pour a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos une → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α pour une → , n b → ^ > 90 ° .
Ainsi,
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , une → , n b → ^ > 0 - cos une → , n b → ^ , une → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Formulons une conclusion.
Définition 4
Pour trouver le sinus de l'angle entre deux droites se coupant sur un plan, vous devez calculer le module du cosinus de l'angle entre le vecteur directeur de la première droite et le vecteur normal de la seconde.
Écrivons les formules nécessaires. Trouver le sinus d'un angle :
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n par a x 2 + a y 2 n b x 2 + n par y 2
Trouver l'angle lui-même :
α = a r c sin = a x n b x + a y n par a x 2 + a y 2 n b x 2 + n par y 2
Ici a → est le vecteur directeur de la première ligne, et n b → est le vecteur normal de la seconde.
Exemple 3
Deux droites qui se croisent sont données par les équations x - 5 = y - 6 3 et x + 4 y - 17 = 0. Trouvez l'angle d'intersection.
Solution
Nous prenons les coordonnées du guide et du vecteur normal à partir des équations données. Il s'avère que a → = (- 5, 3) et n → b = (1, 4). Nous prenons la formule α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 et calculons :
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Veuillez noter que nous avons repris les équations du problème précédent et obtenu exactement le même résultat, mais de manière différente.
Répondre:α = a r c sin 7 2 34
Présentons une autre façon de trouver l'angle souhaité en utilisant les coefficients angulaires de droites données.
Nous avons une ligne a, qui est définie dans un système de coordonnées rectangulaires en utilisant l'équation y = k 1 x + b 1, et une ligne b, définie comme y = k 2 x + b 2. Ce sont des équations de droites avec des pentes. Pour trouver l'angle d'intersection, on utilise la formule :
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, où k 1 et k 2 sont les pentes des droites données. Pour obtenir cet enregistrement, des formules permettant de déterminer l'angle grâce aux coordonnées des vecteurs normaux ont été utilisées.
Exemple 4
Il y a deux droites qui se coupent dans un plan, donné par des équations y = - 3 5 x + 6 et y = - 1 4 x + 17 4 . Calculez la valeur de l'angle d'intersection.
Solution
Les coefficients angulaires de nos lignes sont égaux à k 1 = - 3 5 et k 2 = - 1 4. Ajoutons-les à la formule α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 et calculons :
α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34
Répondre:α = a r c cos 23 2 34
Dans les conclusions de ce paragraphe, il convient de noter que les formules pour trouver l'angle données ici ne doivent pas être apprises par cœur. Pour ce faire, il suffit de connaître les coordonnées des guides et/ou vecteurs normaux de droites données et de pouvoir les déterminer par différents typeséquations. Mais il vaut mieux se souvenir ou noter les formules pour calculer le cosinus d'un angle.
Comment calculer l'angle entre les lignes qui se croisent dans l'espace
Le calcul d'un tel angle peut se réduire au calcul des coordonnées des vecteurs directeurs et à la détermination de l'amplitude de l'angle formé par ces vecteurs. Pour de tels exemples, le même raisonnement que celui que nous avons donné précédemment est utilisé.
Supposons que nous ayons un système de coordonnées rectangulaires situé dans un espace tridimensionnel. Il contient deux droites a et b avec un point d'intersection M. Pour calculer les coordonnées des vecteurs directeurs, il faut connaître les équations de ces droites. Notons les vecteurs directeurs a → = (a x , a y , a z) et b → = (b x , b y , b z) . Pour calculer le cosinus de l'angle qui les sépare, on utilise la formule :
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Pour trouver l'angle lui-même, nous avons besoin de cette formule :
α = a r c cos a x b x + a y by + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Exemple 5
Nous avons une ligne définie dans l'espace tridimensionnel en utilisant l'équation x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. On sait qu'il coupe l'axe O z. Calculez l'angle d'origine et le cosinus de cet angle.
Solution
Désignons l'angle qui doit être calculé par la lettre α. Notons les coordonnées du vecteur directeur de la première droite – a → = (1, - 3, - 2) . Pour l'application de l'axe, nous pouvons prendre vecteur de coordonnées k → = (0, 0, 1) à titre indicatif. Nous avons reçu les données nécessaires et pouvons les ajouter à la formule souhaitée :
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
En conséquence, nous avons constaté que l'angle dont nous avons besoin sera égal à a r c cos 1 2 = 45 °.
Répondre: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
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Instructions
note
Période fonction trigonométrique la tangente est égale à 180 degrés, ce qui signifie que les angles d'inclinaison des droites ne peuvent, en valeur absolue, dépasser cette valeur.
Si pistes sont égaux les uns aux autres, alors l'angle entre ces lignes est égal à 0, puisque ces lignes coïncident ou sont parallèles.
Pour déterminer la valeur de l'angle entre les lignes qui se croisent, il est nécessaire de déplacer les deux lignes (ou l'une d'entre elles) vers une nouvelle position en utilisant la méthode de translation parallèle jusqu'à ce qu'elles se coupent. Après cela, vous devriez trouver l’angle entre les lignes qui se croisent.
Tu auras besoin de
- Règle, triangle rectangle, crayon, rapporteur.
Instructions
Alors, donnons le vecteur V = (a, b, c) et le plan A x + B y + C z = 0, où A, B et C sont les coordonnées de la normale N. Alors le cosinus de l'angle α entre les vecteurs V et N est égal à : cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).
Pour calculer l'angle en degrés ou en radians, vous devez calculer l'inverse de la fonction cosinus à partir de l'expression résultante, c'est-à-dire arccosinus:α = arcscos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).
Exemple : trouver coin entre vecteur(5, -3, 8) et avion, donné équation générale 2 x – 5 y + 3 z = 0. Solution : notez les coordonnées du vecteur normal du plan N = (2, -5, 3). Remplacez tout valeurs connues dans la formule donnée : cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.
Vidéo sur le sujet
Une droite qui a un point commun avec un cercle est tangente au cercle. Une autre caractéristique de la tangente est qu'elle est toujours perpendiculaire au rayon tracé jusqu'au point de contact, c'est-à-dire que la tangente et le rayon forment une ligne droite. coin. Si deux tangentes à un cercle AB et AC sont tracées à partir d'un point A, alors elles sont toujours égales l'une à l'autre. Détermination de l'angle entre les tangentes ( coin ABC) est élaboré à l’aide du théorème de Pythagore.
Instructions
Pour déterminer l'angle, vous devez connaître le rayon du cercle OB et OS et la distance du point de départ de la tangente au centre du cercle - O. Ainsi, les angles ABO et ASO sont égaux, le rayon OB est, par exemple, 10 cm, et la distance au centre du cercle AO est de 15 cm. Déterminez la longueur de la tangente à l'aide de la formule conformément au théorème de Pythagore : AB =. Racine carrée de AO2 – OB2 ou 152 - 102 = 225 – 100 = 125 ;