Cet article révèle la dérivation de l'équation d'une droite passant par deux points donnés dans un système de coordonnées rectangulaires situé sur un plan. Dérivons l'équation d'une droite passant par deux points donnés dans un système de coordonnées rectangulaires. Nous montrerons et résoudrons clairement plusieurs exemples liés à la matière abordée.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Avant d’obtenir l’équation d’une droite passant par deux points donnés, il faut prêter attention à certains faits. Il existe un axiome qui dit que par deux points divergents sur un plan, il est possible de tracer une ligne droite et une seule. Autrement dit, deux points donnés sur un plan sont définis par une droite passant par ces points.
Si le plan est défini par le système de coordonnées rectangulaires Oxy, alors toute ligne droite qui y est représentée correspondra à l'équation d'une ligne droite sur le plan. Il existe également un lien avec le vecteur directeur de la droite. Ces données sont suffisantes pour établir l'équation d'une droite passant par deux points donnés.
Regardons un exemple de résolution d'un problème similaire. Il est nécessaire de créer une équation pour une droite a passant par deux points divergents M 1 (x 1, y 1) et M 2 (x 2, y 2), situés dans le repère cartésien.
Dans l'équation canonique d'une ligne sur un plan, ayant la forme x - x 1 a x = y - y 1 a y, un système de coordonnées rectangulaires O x y est spécifié avec une ligne qui le coupe en un point de coordonnées M 1 (x 1, y 1) avec un vecteur guide a → = (a x , a y) .
Il est nécessaire de créer une équation canonique d'une droite a, qui passera par deux points de coordonnées M 1 (x 1, y 1) et M 2 (x 2, y 2).
La droite a a un vecteur directeur M 1 M 2 → de coordonnées (x 2 - x 1, y 2 - y 1), puisqu'elle coupe les points M 1 et M 2. Nous avons obtenu les données nécessaires afin de transformer l'équation canonique avec les coordonnées du vecteur directeur M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) et les coordonnées des points M 1 se trouvant dessus (x 1, y 1) et M 2 (x 2 , y 2) . On obtient une équation de la forme x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ou x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.
Considérez la figure ci-dessous.
Suite aux calculs, on note les équations paramétriques d'une droite sur un plan qui passe par deux points de coordonnées M 1 (x 1, y 1) et M 2 (x 2, y 2). On obtient une équation de la forme x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ ou x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .
Examinons de plus près la résolution de plusieurs exemples.
Exemple 1
Écrivez l'équation d'une droite passant par 2 points donnés de coordonnées M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.
Solution
L'équation canonique d'une ligne se coupant en deux points de coordonnées x 1, y 1 et x 2, y 2 prend la forme x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. D'après les conditions du problème, on a que x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Il est nécessaire de substituer les valeurs numériques dans l'équation x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. De là, nous obtenons que l'équation canonique prend la forme x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Réponse : x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Si vous avez besoin de résoudre un problème avec un type d'équation différent, vous pouvez d'abord passer à l'équation canonique, car il est plus facile d'en passer à une autre.
Exemple 2
Composer équation générale une ligne droite passant par des points de coordonnées M 1 (1, 1) et M 2 (4, 2) dans le système de coordonnées O x y.
Solution
Tout d’abord, vous devez écrire l’équation canonique d’une droite donnée qui passe par deux points donnés. On obtient une équation de la forme x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .
Amenons l'équation canonique à la forme souhaitée, nous obtenons alors :
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Répondre: x - 3 oui + 2 = 0 .
Des exemples de telles tâches ont été discutés dans les manuels scolaires pendant les cours d'algèbre. Les problèmes scolaires différaient en ce sens que l'équation d'une ligne droite avec pente, ayant la forme y = k x + b. Si vous avez besoin de trouver la valeur de la pente k et le nombre b pour lesquels l'équation y = k x + b définit une droite dans le système O x y qui passe par les points M 1 (x 1, y 1) et M 2 ( x 2, y 2) , où x 1 ≠ x 2. Quand x 1 = x 2 , alors le coefficient angulaire prend la valeur de l'infini, et la droite M 1 M 2 est définie par une équation générale incomplète de la forme x - x 1 = 0 .
Parce que les points M1 Et M2 sont sur une ligne droite, alors leurs coordonnées satisfont à l'équation y 1 = k x 1 + b et y 2 = k x 2 + b. Il faut résoudre le système d'équations y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b pour k et b.
Pour ce faire, on trouve k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ou k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = oui 2 - oui 2 - oui 1 x 2 - x 1 x 2 .
Avec ces valeurs de k et b, l'équation d'une droite passant par les deux points donnés devient y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ou y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Souviens-toi de ça tout de suite grande quantité les formules ne fonctionneront pas. Pour ce faire, il est nécessaire d’augmenter le nombre de répétitions dans la résolution de problèmes.
Exemple 3
Notez l'équation d'une droite à coefficient angulaire passant par des points de coordonnées M 2 (2, 1) et y = k x + b.
Solution
Pour résoudre le problème, nous utilisons une formule avec une pente, qui a la forme y = k x + b. Les coefficients k et b doivent prendre une valeur telle que cette équation corresponde à une droite passant par deux points de coordonnées M 1 (- 7, - 5) et M 2 (2, 1).
Points M1 Et M2 sont situés sur une ligne droite, alors leurs coordonnées doivent faire de l'équation y = k x + b une vraie égalité. De là, nous obtenons que - 5 = k · (- 7) + b et 1 = k · 2 + b. Combinons l'équation dans le système - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b et résolvons.
Lors de la substitution, nous obtenons cela
5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Maintenant, les valeurs k = 2 3 et b = - 1 3 sont substituées dans l'équation y = k x + b. Nous constatons que l'équation requise passant par les points donnés sera une équation de la forme y = 2 3 x - 1 3 .
Cette méthode de solution prédétermine les dépenses grande quantité temps. Il existe une manière de résoudre le problème en deux étapes.
Écrivons l'équation canonique de la droite passant par M 2 (2, 1) et M 1 (- 7, - 5), ayant la forme x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
Passons maintenant à l'équation de la pente. On obtient que : x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.
Réponse : y = 2 3 x - 1 3 .
Si dans l'espace tridimensionnel il existe un système de coordonnées rectangulaires O x y z avec deux points donnés non coïncidants avec les coordonnées M 1 (x 1, y 1, z 1) et M 2 (x 2, y 2, z 2), le droite M passant par eux 1 M 2 , il faut obtenir l'équation de cette droite.
Nous avons ces équations canoniques de la forme x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z et des équations paramétriques de la forme x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ sont capables de définir une ligne dans le système de coordonnées O x y z, passant par des points ayant des coordonnées (x 1, y 1, z 1) avec un vecteur directeur a → = (a x, a y, a z).
Droit M 1 M 2 a un vecteur directeur de la forme M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), où la droite passe par le point M 1 (x 1, y 1, z 1) et M 2 (x 2 , y 2 , z 2), donc l'équation canonique peut être de la forme x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ou x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, à son tour paramétrique x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ou x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .
Considérons un dessin qui montre 2 points donnés dans l'espace et l'équation d'une ligne droite.
Exemple 4
Écrivez l'équation d'une droite définie dans un système de coordonnées rectangulaires O x y z d'un espace tridimensionnel, passant par deux points donnés de coordonnées M 1 (2, - 3, 0) et M 2 (1, - 3, - 5).
Solution
Il faut trouver l'équation canonique. Puisque nous parlons d'espace tridimensionnel, cela signifie que lorsqu'une ligne passe par des points donnés, l'équation canonique souhaitée prendra la forme x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .
Par condition nous avons que x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Il s'ensuit que les équations nécessaires s'écriront comme suit :
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Réponse : x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
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Équation d'une droite passant par un point donné en dans cette direction. Équation d'une droite passant par deux points donnés. L'angle entre deux lignes droites. La condition de parallélisme et de perpendiculaire de deux lignes droites. Déterminer le point d'intersection de deux lignes
1. Équation d'une droite passant par un point donné UN(X 1 , oui 1) dans une direction donnée, déterminée par la pente k,
oui - oui 1 = k(X - X 1). (1)
Cette équation définit un crayon de lignes passant par un point UN(X 1 , oui 1), appelé centre du faisceau.
2. Équation d'une droite passant par deux points : UN(X 1 , oui 1) et B(X 2 , oui 2), écrit ainsi :
Le coefficient angulaire d'une droite passant par deux points donnés est déterminé par la formule
3. Angle entre les lignes droites UN Et B est l'angle dont la première ligne droite doit être tournée UN autour du point d'intersection de ces lignes dans le sens inverse des aiguilles d'une montre jusqu'à ce qu'il coïncide avec la deuxième ligne B. Si deux droites sont données par des équations avec une pente
oui = k 1 X + B 1 ,
Définition. Toute droite sur le plan peut être spécifiée par une équation du premier ordre
Hache + Wu + C = 0,
De plus, les constantes A et B ne sont pas égales à zéro en même temps. Cette équation du premier ordre s’appelle équation générale d'une droite. En fonction des valeurs constante A, B et C les cas particuliers suivants sont possibles :
C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – la droite passe par l'origine
A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - droite parallèle à l'axe Ox
B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – droite parallèle à l'axe Oy
B = C = 0, A ≠0 – la droite coïncide avec l'axe Oy
A = C = 0, B ≠0 – la droite coïncide avec l'axe Ox
L'équation d'une droite peut être représentée sous la forme sous diverses formes en fonction de conditions initiales données.
Équation d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur normal
Définition. Dans le système de coordonnées rectangulaires cartésiennes, un vecteur de composantes (A, B) est perpendiculaire à la droite, donné par l'équation Hache + Wu + C = 0.
Exemple. Trouver l'équation de la droite passant par le point A(1, 2) perpendiculaire à (3, -1).
Solution. Avec A = 3 et B = -1, composons l'équation de la droite : 3x – y + C = 0. Pour trouver le coefficient C, on substitue les coordonnées du point donné A dans l'expression résultante. 3 – 2 + C = 0, donc C = -1 . Total : l’équation recherchée : 3x – y – 1 = 0.
Équation d'une droite passant par deux points
Soit deux points M 1 (x 1, y 1, z 1) et M 2 (x 2, y 2, z 2) dans l'espace, alors l'équation de la droite passant par ces points est :
Si l'un des dénominateurs est égal à zéro, le numérateur correspondant doit être mis égal à zéro. Sur un plan, l'équation de la droite écrite ci-dessus est simplifiée :
si x 1 ≠ x 2 et x = x 1, si x 1 = x 2.
La fraction = k s'appelle pente droit.
Exemple. Trouvez l'équation de la droite passant par les points A(1, 2) et B(3, 4).
Solution. En appliquant la formule écrite ci-dessus, on obtient :
Équation d'une droite à partir d'un point et d'une pente
Si le total Ax + Bu + C = 0, cela conduit à la forme :
et désigner 
, alors l'équation résultante s'appelle équation d'une droite avec pentek.
Équation d'une droite partant d'un point et d'un vecteur directeur
Par analogie avec le point considérant l'équation d'une droite passant par un vecteur normal, vous pouvez saisir la définition d'une droite passant par un point et le vecteur directeur de la droite.
Définition. Chaque vecteur non nul (α 1, α 2), dont les composantes satisfont à la condition A α 1 + B α 2 = 0 est appelé vecteur directeur de la droite
Hache + Wu + C = 0.
Exemple. Trouver l'équation d'une droite de vecteur directeur (1, -1) et passant par le point A(1, 2).
Solution. On cherchera l'équation de la droite recherchée sous la forme : Ax + By + C = 0. Conformément à la définition, les coefficients doivent satisfaire aux conditions :
1 * A + (-1) * B = 0, soit A = B.
Alors l'équation de la droite a la forme : Ax + Ay + C = 0, ou x + y + C / A = 0. pour x = 1, y = 2 on obtient C/ A = -3, soit équation requise :
Équation d'une droite en segments
Si dans l'équation générale de la droite Ах + Ву + С = 0 С≠0, alors, en divisant par –С, on obtient : 
ou
Signification géométrique coefficients est que le coefficient UN est la coordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe Ox, et b– la coordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe Oy.
Exemple. L'équation générale de la droite x – y + 1 = 0 est donnée. Trouvez l'équation de cette droite en segments.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Équation normale d'une droite
Si les deux côtés de l'équation Ax + By + C = 0 sont multipliés par le nombre 
qui est appelée facteur de normalisation, alors on obtient
xcosφ + ysinφ - p = 0 –
équation normale d'une droite. Le signe ± du facteur de normalisation doit être choisi pour que μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Exemple. L'équation générale de la droite 12x – 5y – 65 = 0 est donnée. Il est nécessaire d'écrire différents types d'équations pour cette droite.
équation de cette droite en segments : 
équation de cette droite avec pente : (diviser par 5)
; cos φ = 12/13 ; péché φ= -5/13 ; p = 5.
Il convient de noter que toutes les droites ne peuvent pas être représentées par une équation en segments, par exemple des droites parallèles aux axes ou passant par l'origine des coordonnées.
Exemple. Coupe droite à axes de coordonnées segments positifs égaux. Écrivez une équation d'une droite si l'aire du triangle formé par ces segments est de 8 cm 2.
Solution. L'équation de la droite a la forme : , ab /2 = 8 ; ab = 16 ; une=4, une=-4. une = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.
Exemple. Écrivez une équation pour une droite passant par le point A(-2, -3) et l'origine.
Solution.
L'équation de la droite est : 
, où x 1 = y 1 = 0 ; x2 = -2 ; y2 = -3.
Angle entre des lignes droites sur un plan
Définition. Si deux lignes sont données y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, alors angle vif entre ces lignes droites sera défini comme
.
Deux droites sont parallèles si k 1 = k 2. Deux droites sont perpendiculaires si k 1 = -1/ k 2.
Théorème. Les droites Ax + Bу + C = 0 et A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sont parallèles lorsque les coefficients A 1 = λA, B 1 = λB sont proportionnels. Si aussi C 1 = λC, alors les droites coïncident. Les coordonnées du point d'intersection de deux droites sont trouvées comme solution du système d'équations de ces droites.
Équation d'une droite passant par un point donné perpendiculaire à une droite donnée
Définition. Une droite passant par le point M 1 (x 1, y 1) et perpendiculaire à la droite y = kx + b est représentée par l'équation :
Distance d'un point à une ligne
Théorème. Si un point M(x 0, y 0) est donné, alors la distance à la ligne Ax + Bу + C = 0 est déterminée comme
.
Preuve. Soit le point M 1 (x 1, y 1) la base d'une perpendiculaire tombant du point M à une droite donnée. Puis la distance entre les points M et M 1 :
(1)
Les coordonnées x 1 et y 1 peuvent être trouvées en résolvant le système d'équations :
La deuxième équation du système est l'équation de la droite passant par point donné M 0 est perpendiculaire à une droite donnée. Si l'on transforme la première équation du système sous la forme :
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Par 0 + C = 0,
alors, en résolvant, on obtient :
En substituant ces expressions dans l'équation (1), nous trouvons :
Le théorème a été prouvé.
Exemple. Déterminez l'angle entre les lignes : y = -3 x + 7 ; y = 2 x + 1.
k 1 = -3 ; k2 = 2 ; tgφ = 
; φ= π /4.
Exemple. Montrer que les droites 3x – 5y + 7 = 0 et 10x + 6y – 3 = 0 sont perpendiculaires.
Solution. On trouve : k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, donc les droites sont perpendiculaires.
Exemple. Sont donnés les sommets du triangle A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Trouvez l'équation de la hauteur tirée du sommet C.
Solution. On retrouve l’équation du côté AB : 
; 4 x = 6 oui – 6 ;
2 x – 3 oui + 3 = 0 ;
L'équation de hauteur requise a la forme : Ax + By + C = 0 ou y = kx + b. k = . Alors y = . Parce que l'altitude passe par le point C, alors ses coordonnées satisfont cette équation: 
d'où b = 17. Total : . 
Réponse : 3 x + 2 y – 34 = 0.
Donnons deux points M 1 (x 1,y 1) Et M 2 (x 2, y 2). Écrivons l'équation de la droite sous la forme (5), où k coefficient encore inconnu :
Depuis le point M2 appartient à une ligne donnée, alors ses coordonnées satisfont à l'équation (5) : 
. En l'exprimant à partir d'ici et en la substituant dans l'équation (5), nous obtenons l'équation requise :
Si 
cette équation peut être réécrite sous une forme plus pratique pour la mémorisation :
(6)
Exemple.Écrivez l'équation d'une droite passant par les points M 1 (1,2) et M 2 (-2,3)
Solution. 
. En utilisant la propriété de proportion et en effectuant les transformations nécessaires, on obtient l'équation générale d'une droite :
Angle entre deux droites
Considérons deux lignes droites l1 Et l2:
l1: , , Et
l2: , ,
φ est l'angle entre eux (). D'après la figure 4, il ressort clairement : .
 |
D'ici 
, ou
À l'aide de la formule (7), vous pouvez déterminer l'un des angles entre les lignes droites. Le deuxième angle est égal à .
Exemple. Deux droites sont données par les équations y=2x+3 et y=-3x+2. trouvez l’angle entre ces lignes.
Solution. D'après les équations, il est clair que k 1 =2 et k 2 =-3. En substituant ces valeurs dans la formule (7), on trouve
. Ainsi, l'angle entre ces lignes est égal à .
Conditions de parallélisme et de perpendiculaire de deux droites
Si droit l1 Et l2 sont parallèles, alors φ=0 Et tgφ=0. de la formule (7), il s'ensuit que , d'où k2 =k1. Ainsi, la condition du parallélisme de deux droites est l’égalité de leurs coefficients angulaires.
Si droit l1 Et l2 sont perpendiculaires, alors φ = π/2, α 2 = π/2+ α 1 . 
. Ainsi, la condition pour la perpendiculaire de deux droites est que leurs coefficients angulaires soient inverses en grandeur et opposés en signe.
Distance d'un point à une ligne
Théorème. Si un point M(x 0, y 0) est donné, alors la distance à la ligne Ax + Bу + C = 0 est déterminée comme
Preuve. Soit le point M 1 (x 1, y 1) la base d'une perpendiculaire tombant du point M à une droite donnée. Puis la distance entre les points M et M 1 :
Les coordonnées x 1 et y 1 peuvent être trouvées en résolvant le système d'équations :
La deuxième équation du système est l'équation d'une droite passant par un point donné M 0 perpendiculaire à une droite donnée.
Si l'on transforme la première équation du système sous la forme :
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Par 0 + C = 0,
alors, en résolvant, on obtient :
En substituant ces expressions dans l'équation (1), nous trouvons :
Le théorème a été prouvé.
Exemple. Déterminez l'angle entre les lignes : y = -3x + 7 ; y = 2x + 1.
k 1 = -3 ; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.
Exemple. Montrer que les droites 3x – 5y + 7 = 0 et 10x + 6y – 3 = 0 sont perpendiculaires.
On trouve : k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, donc les droites sont perpendiculaires.
Exemple. Sont donnés les sommets du triangle A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Trouvez l'équation de la hauteur tirée du sommet C.
On retrouve l'équation du côté AB : ; 4x = 6 ans – 6 ;
2x – 3 ans + 3 = 0 ;
L'équation de hauteur requise a la forme : Ax + By + C = 0 ou y = kx + b.
k= . Alors y = . Parce que la hauteur passe par le point C, alors ses coordonnées satisfont à cette équation : d'où b = 17. Total : .
Réponse : 3x + 2a – 34 = 0.
La distance d'un point à une ligne est déterminée par la longueur de la perpendiculaire tracée du point à la ligne.
Si la ligne est parallèle au plan de projection (h | | P 1), puis afin de déterminer la distance du point UNà une ligne droite h il faut abaisser la perpendiculaire du point UNà l'horizontale h.
Considérons un exemple plus complexe, lorsque la droite prend position générale. Qu'il soit nécessaire de déterminer la distance d'un point M.à une ligne droite UN situation générale.
Tâche de détermination distances entre lignes parallèles est résolu de la même manière que le précédent. Un point est pris sur une ligne et une perpendiculaire en est tracée sur une autre ligne. La longueur d’une perpendiculaire est égale à la distance entre droites parallèles.
Courbe du deuxième ordre est une droite définie par une équation du deuxième degré relative aux coordonnées cartésiennes actuelles. Dans le cas général, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,
où A, B, C, D, E, F sont des nombres réels et au moins un des nombres A 2 + B 2 + C 2 ≠0.
Cercle
Centre du cercle– c'est le lieu géométrique des points du plan équidistants d'un point du plan C(a,b).
Le cercle est donné par l'équation suivante :
Où x,y sont les coordonnées d'un point arbitraire sur le cercle, R est le rayon du cercle.
Signe de l'équation d'un cercle
1. Le terme avec x, y est manquant
2. Les coefficients pour x 2 et y 2 sont égaux
Ellipse
Ellipse est appelé le lieu géométrique des points dans un plan, la somme des distances de chacun d'eux à partir de deux points donnés de ce plan est appelée foyers (une valeur constante).
L'équation canonique de l'ellipse :
X et y appartiennent à l'ellipse.
a – demi-grand axe de l'ellipse
b – demi-petit axe de l'ellipse
L'ellipse a 2 axes de symétrie OX et OU. Les axes de symétrie d'une ellipse sont ses axes, le point de leur intersection est le centre de l'ellipse. L'axe sur lequel se situent les foyers s'appelle axe focal. Le point d'intersection de l'ellipse avec les axes est le sommet de l'ellipse.
Taux de compression (tension) : ε = s/a– l'excentricité (caractérise la forme de l'ellipse), plus elle est petite, moins l'ellipse s'étend le long de l'axe focal.
Si les centres de l'ellipse ne sont pas au centre C(α, β)
Hyperbole
Hyperbole est appelé lieu géométrique des points d'un plan, la valeur absolue de la différence des distances dont chacune à partir de deux points donnés de ce plan, appelés foyers, est une valeur constante différente de zéro.
Équation canonique de l'hyperbole
Une hyperbole a 2 axes de symétrie :
a – vrai demi-axe de symétrie
b – demi-axe de symétrie imaginaire
Asymptotes d'une hyperbole :
Parabole
Parabole est le lieu des points du plan équidistants d'un point F donné, appelé foyer, et d'une droite donnée, appelée directrice.
L'équation canonique d'une parabole :
У 2 =2рх, où р est la distance du foyer à la directrice (paramètre de la parabole)
Si le sommet de la parabole est C (α, β), alors l'équation de la parabole (y-β) 2 = 2р(x-α)
Si l'axe focal est pris comme axe des ordonnées, alors l'équation de la parabole prendra la forme : x 2 =2qу
Cet article poursuit le thème de l'équation d'une droite sur un plan : nous considérerons ce type d'équation comme l'équation générale d'une droite. Définissons le théorème et donnons sa preuve ; Voyons ce qu'est une équation générale incomplète d'une droite et comment effectuer des transitions d'une équation générale vers d'autres types d'équations d'une droite. Nous renforcerons l'ensemble de la théorie avec des illustrations et des solutions à des problèmes pratiques.
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Supposons qu'un système de coordonnées rectangulaires O x y soit spécifié sur le plan.
Théorème 1
Toute équation du premier degré, de la forme A x + B y + C = 0, où A, B, C sont des nombres réels (A et B ne sont pas égaux à zéro en même temps), définit une droite dans un système de coordonnées rectangulaires sur un plan. À son tour, toute ligne droite dans un système de coordonnées rectangulaires sur un plan est déterminée par une équation qui a la forme A x + B y + C = 0 pour un certain ensemble de valeurs A, B, C.
Preuve
Ce théorème se compose de deux points ; nous allons démontrer chacun d'eux.
- Montrons que l'équation A x + B y + C = 0 définit une droite sur le plan.
Soit un point M 0 (x 0 , y 0), dont les coordonnées correspondent à l'équation A x + B y + C = 0. Ainsi : A x 0 + B y 0 + C = 0. Soustrayez des côtés gauche et droit des équations A x + B y + C = 0 les côtés gauche et droit de l'équation A x 0 + B y 0 + C = 0, nous obtenons une nouvelle équation qui ressemble à A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Cela équivaut à A x + B y + C = 0.
L'équation résultante A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 est une condition nécessaire et suffisante pour la circularité des vecteurs n → = (A, B) et M 0 M → = (x - x 0, oui - oui 0 ) . Ainsi, l'ensemble des points M (x, y) définit une droite dans un repère rectangulaire perpendiculaire à la direction du vecteur n → = (A, B). On peut supposer que ce n'est pas le cas, mais alors les vecteurs n → = (A, B) et M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) ne seraient pas perpendiculaires, et l'égalité A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ne serait pas vrai.
Par conséquent, l'équation A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 définit une certaine ligne dans un système de coordonnées rectangulaires sur le plan, et donc l'équation équivalente A x + B y + C = 0 définit le même ligne. C'est ainsi que nous avons démontré la première partie du théorème.
- Preuve que toute ligne droite dans un système de coordonnées rectangulaires sur un plan peut être spécifiée par une équation du premier degré A x + B y + C = 0.
Définissons une droite a dans un système de coordonnées rectangulaires sur un plan ; le point M 0 (x 0 , y 0) par lequel passe cette droite, ainsi que le vecteur normal de cette droite n → = (A, B) .
Soit aussi un point M (x, y) - une virgule flottante sur une ligne. Dans ce cas, les vecteurs n → = (A, B) et M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) sont perpendiculaires entre eux, et leur produit scalaire il y a un zéro :
n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0
Réécrivons l'équation A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, définissons C : C = - A x 0 - B y 0 et comme résultat final nous obtenons l'équation A x + B y + C = 0.
Ainsi, nous avons prouvé la deuxième partie du théorème, et nous avons prouvé le théorème dans son ensemble.
Définition 1
Une équation de la forme A x + B y + C = 0 - Ce équation générale d'une droite sur un plan dans un système de coordonnées rectangulairesOxy.
Sur la base du théorème éprouvé, nous pouvons conclure qu'une droite et son équation générale définie sur un plan dans un système de coordonnées rectangulaires fixes sont inextricablement liées. Autrement dit, la droite originale correspond à son équation générale ; l'équation générale d'une droite correspond à une droite donnée.
De la preuve du théorème, il résulte également que les coefficients A et B pour les variables x et y sont les coordonnées du vecteur normal de la droite, qui est donné par l'équation générale de la droite A x + B y + C = 0.
Considérons exemple spécifiqueéquation générale d'une droite.
Soit l'équation 2 x + 3 y - 2 = 0, qui correspond à une ligne droite dans un système de coordonnées rectangulaires donné. Le vecteur normal de cette droite est le vecteur n → = (2 , 3) . Traçons la ligne droite donnée dans le dessin.
On peut également affirmer ceci : la droite que l'on voit sur le dessin est déterminée par l'équation générale 2 x + 3 y - 2 = 0, puisque les coordonnées de tous les points d'une droite donnée correspondent à cette équation.
On peut obtenir l'équation λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 en multipliant les deux côtés de l'équation générale de la droite par un nombre λ non égal à zéro. L'équation résultante est équivalente à l'équation générale originale, elle décrira donc la même ligne droite sur le plan.
Définition 2Équation générale complète d'une droite– une telle équation générale de la droite A x + B y + C = 0, dans laquelle les nombres A, B, C sont différents de zéro. Sinon l'équation est incomplet.
Analysons toutes les variations de l'équation générale incomplète d'une droite.
- Lorsque A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, l'équation générale prend la forme B y + C = 0. Une telle équation générale incomplète définit dans un système de coordonnées rectangulaires O x y une droite parallèle à l'axe O x, puisque pour toute valeur réelle de x la variable y prendra la valeur -CB. Autrement dit, l'équation générale de la droite A x + B y + C = 0, lorsque A = 0, B ≠ 0, précise le lieu des points (x, y), dont les coordonnées sont égales au même nombre -CB.
- Si A = 0, B ≠ 0, C = 0, l'équation générale prend la forme y = 0. Ce équation incomplète définit l'axe des abscisses O x .
- Lorsque A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, on obtient une équation générale incomplète A x + C = 0, définissant une droite parallèle à l'ordonnée.
- Soit A ≠ 0, B = 0, C = 0, alors l'équation générale incomplète prendra la forme x = 0, et c'est l'équation de la droite de coordonnées O y.
- Enfin, pour A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, l'équation générale incomplète prend la forme A x + B y = 0. Et cette équation décrit une droite qui passe par l’origine. En fait, la paire de nombres (0, 0) correspond à l'égalité A x + B y = 0, puisque A · 0 + B · 0 = 0.
Illustrons graphiquement tous les types ci-dessus d'équation générale incomplète d'une droite.
Exemple 1
On sait que la droite donnée est parallèle à l'axe des ordonnées et passe par le point 2 7, - 11. Il est nécessaire d'écrire l'équation générale de la droite donnée.
Solution
Une droite parallèle à l'axe des ordonnées est donnée par une équation de la forme A x + C = 0, dans laquelle A ≠ 0. La condition précise également les coordonnées du point par lequel passe la ligne, et les coordonnées de ce point répondent aux conditions de l'équation générale incomplète A x + C = 0, c'est-à-dire l'égalité est vraie :
UNE 2 7 + C = 0
À partir de là, il est possible de déterminer C si nous donnons à A une valeur non nulle, par exemple A = 7. Dans ce cas, on obtient : 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Nous connaissons les deux coefficients A et C, les substituons dans l'équation A x + C = 0 et obtenons l'équation de droite requise : 7 x - 2 = 0
Répondre: 7 x - 2 = 0
Exemple 2
Le dessin montre une ligne droite ; vous devez écrire son équation.
Solution
Le dessin donné nous permet de prendre facilement les données initiales pour résoudre le problème. On voit sur le dessin que la droite donnée est parallèle à l'axe O x et passe par le point (0, 3).
La droite parallèle à l'abscisse est déterminée par l'équation générale incomplète B y + C = 0. Trouvons les valeurs de B et C. Les coordonnées du point (0, 3), puisque la droite donnée le traverse, satisferont l'équation de la droite B y + C = 0, alors l'égalité est valable : B · 3 + C = 0. Fixons B à une valeur autre que zéro. Disons B = 1, auquel cas à partir de l'égalité B · 3 + C = 0 on peut trouver C : C = - 3. Nous utilisons valeurs connues B et C, on obtient l'équation recherchée de la droite : y - 3 = 0.
Répondre: oui - 3 = 0 .
Équation générale d'une droite passant par un point donné dans un plan
Laissez la ligne donnée passer par le point M 0 (x 0 , y 0), alors ses coordonnées correspondent à l'équation générale de la ligne, c'est-à-dire l'égalité est vraie : A x 0 + B y 0 + C = 0. Soustrayons les côtés gauche et droit de cette équation des côtés gauche et droit de l'équation générale complète de la droite. On obtient : A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, cette équation est équivalente à l'équation générale originale, passe par le point M 0 (x 0, y 0) et a une normale vecteur n → = (A, B) .
Le résultat que nous avons obtenu permet d'écrire l'équation générale d'une droite avec les coordonnées connues du vecteur normal de la droite et les coordonnées d'un certain point de cette droite.
Exemple 3
Étant donné un point M 0 (- 3, 4) par lequel passe une droite, et le vecteur normal de cette droite n → = (1 , - 2) . Il est nécessaire d'écrire l'équation de la droite donnée.
Solution
Les conditions initiales permettent d'obtenir les données nécessaires pour compiler l'équation : A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Alors:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0
Le problème aurait pu être résolu différemment. L'équation générale d'une droite est A x + B y + C = 0. Le vecteur normal donné permet d'obtenir les valeurs des coefficients A et B, alors :
A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0
Trouvons maintenant la valeur de C en utilisant le point M 0 (- 3, 4) spécifié par la condition du problème, par lequel passe la droite. Les coordonnées de ce point correspondent à l'équation x - 2 · y + C = 0, c'est-à-dire - 3 - 2 4 + C = 0. Donc C = 11. L'équation de droite requise prend la forme : x - 2 · y + 11 = 0.
Répondre: x - 2 oui + 11 = 0 .
Exemple 4
Étant donné une droite 2 3 x - y - 1 2 = 0 et un point M 0 situé sur cette droite. Seule l'abscisse de ce point est connue, et elle est égale à - 3. Il faut déterminer l'ordonnée d'un point donné.
Solution
Désignons les coordonnées du point M 0 par x 0 et y 0 . Les données sources indiquent que x 0 = - 3. Puisque le point appartient à une droite donnée, alors ses coordonnées correspondent à l'équation générale de cette droite. Alors l'égalité sera vraie :
2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0
Définir y 0 : 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2
Répondre: - 5 2
Transition de l'équation générale d'une droite à d'autres types d'équations d'une droite et vice versa
Comme nous le savons, il existe plusieurs types d’équations pour une même droite sur un plan. Le choix du type d'équation dépend des conditions du problème ; il est possible de choisir celui qui convient le mieux pour le résoudre. La capacité de convertir une équation d’un type en une équation d’un autre type est ici très utile.
Considérons d'abord la transition de l'équation générale de la forme A x + B y + C = 0 à l'équation canonique x - x 1 a x = y - y 1 a y.
Si A ≠ 0, alors on déplace le terme B y vers la droite de l'équation générale. Sur le côté gauche, nous retirons A des parenthèses. En conséquence, nous obtenons : A x + C A = - B y.
Cette égalité peut s'écrire sous forme de proportion : x + C A - B = y A.
Si B ≠ 0, on laisse uniquement le terme A x du côté gauche de l'équation générale, on transfère les autres du côté droit, on obtient : A x = - B y - C. On sort – B des parenthèses, alors : A x = - B y + C B .
Réécrivons l'égalité sous forme de proportion : x - B = y + C B A.
Bien entendu, il n’est pas nécessaire de mémoriser les formules obtenues. Il suffit de connaître l'algorithme des actions pour passer d'une équation générale à une équation canonique.
Exemple 5
L'équation générale de la droite 3 y - 4 = 0 est donnée. Il faut la transformer en une équation canonique.
Solution
Écrivons l'équation originale sous la forme 3 y - 4 = 0. On procède ensuite selon l'algorithme : le terme 0 x reste à gauche ; et sur le côté droit on met - 3 entre parenthèses ; on obtient : 0 x = - 3 y - 4 3 .
Écrivons l'égalité résultante sous forme de proportion : x - 3 = y - 4 3 0 . Ainsi, nous avons obtenu une équation de forme canonique.
Réponse : x - 3 = y - 4 3 0.
Pour convertir l'équation générale d'une droite en équations paramétriques, allez d'abord à Forme canonique puis transition de équation canonique ligne droite aux équations paramétriques.
Exemple 6
La droite est donnée par l'équation 2 x - 5 y - 1 = 0. Notez les équations paramétriques de cette droite.
Solution
Faisons le passage de l'équation générale à l'équation canonique :
2 x - 5 ans - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 ans + 1 ⇔ 2 x = 5 ans + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2
Maintenant, nous prenons les deux côtés de l'équation canonique résultante égaux à λ, alors :
x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R
Répondre:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R
L'équation générale peut être convertie en une équation d'une droite de pente y = k · x + b, mais seulement lorsque B ≠ 0. Pour la transition, on laisse le terme B y à gauche, le reste est transféré à droite. On obtient : B y = - A x - C . Divisons les deux côtés de l'égalité résultante par B, différent de zéro : y = - A B x - C B.
Exemple 7
L'équation générale de la droite est donnée : 2 x + 7 y = 0. Vous devez convertir cette équation en équation de pente.
Solution
Effectuons les actions nécessaires selon l'algorithme :
2 x + 7 oui = 0 ⇔ 7 oui - 2 x ⇔ y = - 2 7 x
Répondre: y = - 2 7 x .
A partir de l'équation générale d'une droite, il suffit simplement d'obtenir une équation en segments de la forme x a + y b = 1. Pour effectuer une telle transition, nous déplaçons le nombre C vers la droite de l'égalité, divisons les deux côtés de l'égalité résultante par – C et, enfin, transférons les coefficients des variables x et y aux dénominateurs :
A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1
Exemple 8
Il faut transformer l'équation générale de la droite x - 7 y + 1 2 = 0 en l'équation de la droite en segments.
Solution
Déplaçons 1 2 vers la droite : x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .
Divisons les deux côtés de l'égalité par -1/2 : x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .
Répondre: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .
En général, la transition inverse est également facile : d'autres types d'équations à l'équation générale.
L'équation d'une droite en segments et une équation avec un coefficient angulaire peuvent être facilement converties en une équation générale en rassemblant simplement tous les termes du côté gauche de l'égalité :
x a + y b ⇔ 1 a x + 1 by - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
L'équation canonique est convertie en une équation générale selon le schéma suivant :
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
Pour passer des paramètres paramétriques, passez d'abord au canonique, puis au général :
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0
Exemple 9
Les équations paramétriques de la droite x = - 1 + 2 · λ y = 4 sont données. Il faut écrire l’équation générale de cette droite.
Solution
Passons des équations paramétriques aux équations canoniques :
x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0
Passons du canonique au général :
x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0
Répondre: oui - 4 = 0
Exemple 10
L'équation d'une droite dans les segments x 3 + y 1 2 = 1 est donnée. Il est nécessaire de faire une transition vers apparence généraleéquations
Solution:
On réécrit simplement l'équation sous la forme requise :
x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0
Répondre: 1 3 x + 2 oui - 1 = 0 .
Établir une équation générale d'une droite
Nous avons dit plus haut que l'équation générale peut être écrite avec les coordonnées connues du vecteur normal et les coordonnées du point par lequel passe la droite. Une telle ligne droite est définie par l'équation A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Nous y avons également analysé un exemple correspondant.
Maintenant, regardons plus exemples complexes, dans lequel vous devez d'abord déterminer les coordonnées du vecteur normal.
Exemple 11
Étant donné une droite parallèle à la droite 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Le point M 0 (4, 1) par lequel passe la ligne donnée est également connu. Il est nécessaire d'écrire l'équation de la droite donnée.
Solution
Les conditions initiales nous disent que les droites sont parallèles, alors, comme vecteur normal de la droite dont il faut écrire l'équation, on prend le vecteur direction de la droite n → = (2, - 3) : 2 x - 3 ans + 3 3 = 0. Nous connaissons maintenant toutes les données nécessaires pour créer l’équation générale de la droite :
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0
Répondre: 2 x - 3 et - 5 = 0 .
Exemple 12
La droite donnée passe par l'origine perpendiculaire à la droite x - 2 3 = y + 4 5. Il est nécessaire de créer une équation générale pour une droite donnée.
Solution
Le vecteur normal d'une ligne donnée sera le vecteur directeur de la ligne x - 2 3 = y + 4 5.
Alors n → = (3, 5) . La droite passe par l'origine, c'est-à-dire passant par le point O (0, 0). Créons une équation générale pour une droite donnée :
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0
Répondre: 3 x + 5 oui = 0 .
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