Une tangente est une ligne droite , qui touche le graphique de la fonction en un point et dont tous les points sont à la distance la plus courte du graphique de la fonction. Par conséquent, la tangente passe tangentiellement au graphique de la fonction sous un certain angle et plusieurs tangentes sous un certain angle ne peuvent pas passer par le point de tangence. différents angles. Les équations tangentes et les équations normales au graphique d'une fonction sont construites à l'aide de la dérivée.
L'équation de la tangente est dérivée de l'équation de la droite .
Dérivons l'équation de la tangente, puis l'équation de la normale au graphique de la fonction.
oui = kx + b .
En lui k - pente.
De là, nous obtenons l'entrée suivante :
oui - oui 0 = k(X - X 0 ) .
Valeur dérivée F "(X 0 ) les fonctions oui = F(X) à ce point X0 égale à la pente k= tg φ tangente au graphique d'une fonction tracée par un point M0 (X 0 , oui 0 ) , Où oui0 = F(X 0 ) . C'est signification géométrique dérivé .
Ainsi, nous pouvons remplacer k sur F "(X 0 ) et obtenez ce qui suit équation de la tangente au graphique d'une fonction :
oui - oui 0 = F "(X 0 )(X - X 0 ) .
Dans les problèmes impliquant la composition de l'équation d'une tangente au graphique d'une fonction (et nous y reviendrons bientôt), il est nécessaire de réduire l'équation obtenue à partir de la formule ci-dessus à équation d'une droite sous forme générale. Pour ce faire, vous devez déplacer toutes les lettres et tous les chiffres vers la gauche de l'équation et laisser zéro sur le côté droit.
Parlons maintenant de l’équation normale. Normale - il s'agit d'une droite passant par le point de tangence au graphique de la fonction perpendiculaire à la tangente. Équation normale :
(X - X 0 ) + F "(X 0 )(oui - oui 0 ) = 0
Pour vous échauffer, il vous est demandé de résoudre vous-même le premier exemple, puis d’examiner la solution. Il y a tout lieu d’espérer que cette tâche ne sera pas une « douche froide » pour nos lecteurs.
Exemple 0. Créer une équation tangente et une équation normale pour le graphique d'une fonction en un point M (1, 1) .
Exemple 1.Écrire une équation tangente et une équation normale pour le graphique d'une fonction 
, si l'abscisse est tangente .
Trouvons la dérivée de la fonction :
Nous avons maintenant tout ce qui doit être substitué dans l’entrée donnée dans l’aide théorique pour obtenir l’équation tangente. On a
Dans cet exemple, nous avons eu de la chance : la pente s'est avérée être nulle, nous réduisons donc séparément l'équation à apparence générale n'était pas nécessaire. Nous pouvons maintenant créer l'équation normale :
Dans la figure ci-dessous : graphique d'une fonction couleur bordeaux, tangente Couleur verte, orange normal.
L'exemple suivant n'est pas non plus compliqué : la fonction, comme dans le précédent, est également un polynôme, mais la pente ne sera pas égale à zéro, donc une étape supplémentaire sera ajoutée - amenant l'équation à une forme générale.
Exemple 2.
Solution. Trouvons l'ordonnée du point tangent :
Trouvons la dérivée de la fonction :
.
Trouvons la valeur de la dérivée au point de tangence, c'est-à-dire la pente de la tangente :
Nous remplaçons toutes les données obtenues dans la « formule vierge » et obtenons l'équation tangente :
On ramène l'équation à sa forme générale (on rassemble toutes les lettres et chiffres autres que zéro sur le côté gauche, et on laisse zéro à droite) :
On compose l'équation normale :
Exemple 3.Écrivez une équation tangente et une équation normale au graphique de la fonction si l'abscisse est le point tangent.
Solution. Trouvons l'ordonnée du point tangent :
Trouvons la dérivée de la fonction :
.
Trouvons la valeur de la dérivée au point de tangence, c'est-à-dire la pente de la tangente :
.
On retrouve l'équation tangente :
Avant de ramener l'équation à sa forme générale, il faut la « peigner » un peu : multiplier terme par terme par 4. On fait cela et amener l'équation à sa forme générale :
On compose l'équation normale :
Exemple 4.Écrivez une équation tangente et une équation normale au graphique de la fonction si l'abscisse est le point tangent.
Solution. Trouvons l'ordonnée du point tangent :
.
Trouvons la dérivée de la fonction :
Trouvons la valeur de la dérivée au point de tangence, c'est-à-dire la pente de la tangente :
.
On obtient l'équation tangente :
On ramène l'équation à sa forme générale :
On compose l'équation normale :
Une erreur courante lors de l'écriture d'équations tangentes et normales est de ne pas remarquer que la fonction donnée dans l'exemple est complexe et de calculer sa dérivée comme la dérivée d'une fonction simple. Les exemples suivants proviennent déjà de fonctions complexes(la leçon correspondante s'ouvrira dans une nouvelle fenêtre).
Exemple 5.Écrivez une équation tangente et une équation normale au graphique de la fonction si l'abscisse est le point tangent.
Solution. Trouvons l'ordonnée du point tangent :
Attention! Cette fonction- complexe, puisque l'argument tangent (2 X) est elle-même une fonction. On trouve donc la dérivée d’une fonction comme la dérivée d’une fonction complexe.
Instructions
On détermine le coefficient angulaire de la tangente à la courbe au point M.
La courbe représentant le graphique de la fonction y = f(x) est continue dans un certain voisinage du point M (y compris le point M lui-même).
Si la valeur f'(x0) n'existe pas, alors soit il n'y a pas de tangente, soit elle est verticale. Compte tenu de cela, la présence d'une dérivée de la fonction au point x0 est due à l'existence d'une tangente non verticale tangente au graphe de la fonction au point (x0, f(x0)). Dans ce cas, le coefficient angulaire de la tangente sera égal à f "(x0). Ainsi, la signification géométrique de la dérivée devient claire - le calcul du coefficient angulaire de la tangente.
Trouvez la valeur en abscisse du point tangent, qui est désigné par la lettre « a ». S'il coïncide avec un point tangent donné, alors « a » sera sa coordonnée x. Déterminer la valeur les fonctions f(a) en substituant dans l'équation les fonctions valeur en abscisse.
Déterminer la dérivée première de l'équation les fonctions f'(x) et remplacez-y la valeur du point « a ».
Prendre équation générale tangente, qui est définie comme y = f(a) = f (a)(x – a), et substituez-y les valeurs trouvées de a, f(a), f "(a). En conséquence, la solution du graphique et la tangente seront trouvées.
Résolvez le problème d'une manière différente si le point tangent donné ne coïncide pas avec le point tangent. Dans ce cas, il est nécessaire de remplacer « a » par des nombres dans l'équation tangente. Après cela, au lieu des lettres « x » et « y », remplacez la valeur des coordonnées du point donné. Résolvez l’équation résultante dans laquelle « a » est l’inconnue. Branchez la valeur résultante dans l’équation tangente.
Écrivez une équation pour une tangente avec la lettre « a » si l'énoncé du problème spécifie l'équation les fonctions et l'équation d'une droite parallèle par rapport à la tangente souhaitée. Après cela, nous avons besoin de la dérivée les fonctions, à la coordonnée au point « a ». Remplacez la valeur appropriée dans l’équation tangente et résolvez la fonction.
Exemple 1.Étant donné une fonction F(X) = 3X 2 + 4X– 5. Écrivons l’équation de la tangente au graphique de la fonction F(X) au point du graphique en abscisse X 0 = 1.
Solution. Dérivée d'une fonction F(X) existe pour tout x R. . Retrouvons-la :
= (3X 2 + 4X– 5)′ = 6 X + 4.
Alors F(X 0) = F(1) = 2; (X 0) = = 10. L'équation tangente a la forme :
oui = (X 0) (X – X 0) + F(X 0),
oui = 10(X – 1) + 2,
oui = 10X – 8.
Répondre. oui = 10X – 8.
Exemple 2.Étant donné une fonction F(X) = X 3 – 3X 2 + 2X+ 5. Écrivons l'équation de la tangente au graphique de la fonction F(X), parallèle à la droite oui = 2X – 11.
Solution. Dérivée d'une fonction F(X) existe pour tout x R. . Retrouvons-la :
= (X 3 – 3X 2 + 2X+ 5)′ = 3 X 2 – 6X + 2.
Puisque la tangente au graphique de la fonction F(X) en abscisse X 0 est parallèle à la droite oui = 2X– 11, alors sa pente est égale à 2, soit ( X 0) = 2. Trouvons cette abscisse à partir de la condition que 3 X– 6X 0 + 2 = 2. Cette égalité n'est valable que lorsque X 0 = 0 et à X 0 = 2. Puisque dans les deux cas F(X 0) = 5, puis tout droit oui = 2X + b touche le graphique de la fonction soit au point (0; 5), soit au point (2; 5).
Dans le premier cas, l'égalité numérique 5 = 2×0 + est vraie b, où b= 5, et dans le second cas l'égalité numérique 5 = 2×2 + est vraie b, où b = 1.
Il y a donc deux tangentes oui = 2X+ 5 et oui = 2X+ 1 au graphique de la fonction F(X), parallèle à la droite oui = 2X – 11.
Répondre. oui = 2X + 5, oui = 2X + 1.
Exemple 3.Étant donné une fonction F(X) = X 2 – 6X+ 7. Écrivons l'équation de la tangente au graphique de la fonction F(X), en passant par le point UN (2; –5).
Solution. Parce que F(2) –5, puis pointez UN n'appartient pas au graphe de la fonction F(X). Laisser X 0 - abscisse du point tangent.
Dérivée d'une fonction F(X) existe pour tout x R. . Retrouvons-la :
= (X 2 – 6X+ 1)′ = 2 X – 6.
Alors F(X 0) = X– 6X 0 + 7; (X 0) = 2X 0 – 6. L’équation tangente a la forme :
oui = (2X 0 – 6)(X – X 0) + X– 6X+ 7,
oui = (2X 0 – 6)X– X+ 7.
Depuis le point UN appartient à la tangente, alors l'égalité numérique est vraie
–5 = (2X 0 – 6)×2– X+ 7,
où X 0 = 0 ou X 0 = 4. Cela signifie qu'à travers le point UN vous pouvez tracer deux tangentes au graphique de la fonction F(X).
Si X 0 = 0, alors l'équation tangente a la forme oui = –6X+ 7. Si X 0 = 4, alors l'équation tangente a la forme oui = 2X – 9.
Répondre. oui = –6X + 7, oui = 2X – 9.
Exemple 4. Fonctions données F(X) = X 2 – 2X+ 2 et g(X) = –X 2 – 3. Écrivons l’équation de la tangente commune aux graphiques de ces fonctions.
Solution. Laisser X 1 - abscisse du point de tangence de la droite souhaitée avec le graphique de la fonction F(X), UN X 2 - abscisse du point de tangence de la même droite avec le graphique de la fonction g(X).
Dérivée d'une fonction F(X) existe pour tout x R. . Retrouvons-la :
= (X 2 – 2X+ 2)′ = 2 X – 2.
Alors F(X 1) = X– 2X 1 + 2; (X 1) = 2X 1 – 2. L’équation tangente a la forme :
oui = (2X 1 – 2)(X – X 1) + X– 2X 1 + 2,
oui = (2X 1 – 2)X – X+ 2. (1)
Trouvons la dérivée de la fonction g(X):
= (–X 2 – 3)′ = –2 X.
Soit une fonction f, qui à un moment donné x 0 a une dérivée finie f (x 0). Alors la droite passant par le point (x 0 ; f (x 0)), ayant un coefficient angulaire f '(x 0), est appelée tangente.
Que se passe-t-il si la dérivée n'existe pas au point x 0 ? Il existe deux options :
- Il n’y a pas non plus de tangente au graphique. Un exemple classique est la fonction y = |x | au point (0 ; 0).
- La tangente devient verticale. C'est vrai par exemple pour la fonction y = arcsin x au point (1 ; π /2).
Équation tangente
Toute droite non verticale est donnée par une équation de la forme y = kx + b, où k est la pente. La tangente ne fait pas exception, et pour créer son équation en un point x 0, il suffit de connaître la valeur de la fonction et la dérivée en ce point.
Soit donc une fonction y = f (x) qui a une dérivée y = f '(x) sur le segment. Alors en tout point x 0 ∈ (a ; b) une tangente peut être tracée au graphique de cette fonction, qui est donnée par l'équation :
y = f '(x 0) (x − x 0) + f (x 0)
Ici f '(x 0) est la valeur de la dérivée au point x 0, et f (x 0) est la valeur de la fonction elle-même.
Tâche. Étant donné la fonction y = x 3 . Écrivez une équation pour la tangente au graphique de cette fonction au point x 0 = 2.
Équation tangente : y = f '(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Le point x 0 = 2 nous est donné, mais il faudra calculer les valeurs f (x 0) et f '(x 0).
Tout d’abord, trouvons la valeur de la fonction. Tout est simple ici : f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8 ;
Trouvons maintenant la dérivée : f '(x) = (x 3)' = 3x 2 ;
Nous substituons x 0 = 2 dans la dérivée : f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12 ;
Au total, nous obtenons : y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
C'est l'équation tangente.
Tâche. Écrivez une équation pour la tangente au graphique de la fonction f (x) = 2sin x + 5 au point x 0 = π /2.
Cette fois, nous ne décrirons pas chaque action en détail - nous indiquerons seulement étapes clés. Nous avons:
f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7 ;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x ;
f '(x 0) = f '(π /2) = 2cos (π /2) = 0 ;
Équation tangente :
y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
DANS ce dernier cas la ligne droite s'est avérée horizontale, car son coefficient angulaire k = 0. Il n'y a rien de mal à cela - nous sommes juste tombés sur un point extrême.
Considérons la figure suivante :
Il représente une certaine fonction y = f(x), qui est différentiable au point a. Le point M avec les coordonnées (a; f(a)) est marqué. Un MR sécant est tracé via un point arbitraire P(a + ∆x; f(a + ∆x)) du graphique.
Si maintenant le point P est déplacé le long du graphique vers le point M, alors la droite MR tournera autour du point M. Dans ce cas, ∆x tendra vers zéro. De là, nous pouvons formuler la définition d’une tangente au graphique d’une fonction.
Tangente au graphique d'une fonction
La tangente au graphique d'une fonction est la position limite de la sécante lorsque l'incrément de l'argument tend vers zéro. Il faut comprendre que l'existence de la dérivée de la fonction f au point x0 signifie qu'en ce point du graphique il y a tangenteà lui.
Dans ce cas, le coefficient angulaire de la tangente sera égal à la dérivée de cette fonction en ce point f’(x0). C'est la signification géométrique de la dérivée. La tangente au graphique d'une fonction f différentiable au point x0 est une certaine droite passant par le point (x0;f(x0)) et ayant un coefficient angulaire f'(x0).
Équation tangente
Essayons d'obtenir l'équation de la tangente au graphique d'une fonction f au point A(x0; f(x0)). L’équation d’une droite de pente k a la forme suivante :
Puisque notre coefficient de pente est égal à la dérivée f'(x0), alors l'équation prendra la forme suivante : y = f'(x0)*x + b.
Calculons maintenant la valeur de b. Pour ce faire, on utilise le fait que la fonction passe par le point A.
f(x0) = f’(x0)*x0 + b, à partir de là nous exprimons b et obtenons b = f(x0) - f’(x0)*x0.
Nous substituons la valeur résultante dans l'équation tangente :
y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).
y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
Considérons exemple suivant: trouver l'équation de la tangente au graphique de la fonction f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 au point x = 2.
2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.
3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.
4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.
5. Remplacez les valeurs obtenues dans la formule tangente, nous obtenons : y = 1 + 4*(x - 2). En ouvrant les parenthèses et en ramenant des termes similaires, nous obtenons : y = 4*x - 7.
Réponse : y = 4*x - 7.
Schéma général de composition de l'équation tangente au graphique de la fonction y = f(x) :
1. Déterminez x0.
2. Calculez f(x0).
3. Calculer f'(x)